相交线与平行线竞赛试题讲解学习

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相交线与平行线解析含答案

相交线与平行线解析含答案一、选择题1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1=15°，∠3=130°．则∠2的度数是()A．37.5°B．75°C．50°D．65°【答案】D【解析】【分析】先根据条件和邻补角的性质求出∠1的度数，然后即可求出∠2的度数．【详解】）∵∠3=130°，∠1+∠3=180°，∴∠1=180°-∠3=50°，∵∠2-∠1=15°，∴∠2=15°+∠1=65°；故答案为D.【点睛】本题考查角的运算，邻补角的性质，比较简单.2．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为A．80°B．50°C．30°D．20°【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．3．如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB交BD于点O，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠F＝∠G，则图中与∠ECB相等的角有( )A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】B【解析】【分析】由对顶角关系可得∠EOD=∠COB，则由∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，再结合CE是角平分线即可判断.【详解】解：由∠EOD+∠OBF=∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，结合CE是角平分线可得∠ECB=∠ACE=∠CBF，再由EC∥BF可得∠ACE=∠F=∠G，则由三角形内角和定理可得∠GDC=∠CBF.综上所得，∠ECB=∠ACE=∠CBF=∠F=∠G=∠GDC，共有5个与∠ECB相等的角，故选择B.【点睛】本题综合考查了平行线的判定及性质.4．如图AD∥BC,∠B=30o,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为（）A．30o B．60o C．90o D．120o【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB=∠ADE，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠DEC=∠B+∠BDE=60°．故选B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．5．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p,q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】到l1距离为2的直线有2条，到l2距离为1的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是（2，1）的点．【详解】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是2，1的点，即距离坐标是（2，1）的点，因而共有4个．故选：D．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题时注意：到一条已知直线距离为定值的直线有两条．6．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于()A．81°B．99°C．108°D．120°【答案】B【解析】试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o，∵153C ∠=o ，∴27DBC ∠=o ，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.7．如图，AB ∥EF ，设∠C ＝90°，那么x 、y 和z 的关系是（）A ．y ＝x+zB ．x+y ﹣z ＝90°C ．x+y+z ＝180°D ．y+z ﹣x ＝90°【答案】B【解析】【分析】过C 作CM ∥AB ，延长CD 交EF 于N ，根据三角形外角性质求出∠CNE ＝y ﹣z ，根据平行线性质得出∠1＝x ，∠2＝∠CNE ，代入求出即可．【详解】解：过C 作CM ∥AB ，延长CD 交EF 于N ，则∠CDE ＝∠E+∠CNE ，即∠CNE ＝y ﹣z∵CM ∥AB ，AB ∥EF ，∴CM ∥AB ∥EF ，∴∠ABC ＝x ＝∠1，∠2＝∠CNE ，∵∠BCD ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y ﹣z ＝90°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．8．如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为( )A．75°B．72°C．70°D．65°【答案】B【解析】【分析】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，已知AB∥CD，根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1，再由∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，可得5∠2=180°，即可求得∠2=36°，所以∠AEF=∠3=∠1=72°【详解】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，∵AB∥CD，∴∠3=∠1，∵∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，∴5∠2=180°，即∠2=36°，∴∠AEF=∠3=∠1=72°故选B．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．9．如图，下列条件中能判定//DE AC 的是( )A ．EDC EFC ∠=∠B ．AEF ACD ∠=∠C ．34∠=∠D ．12∠=∠【答案】C【解析】【分析】对于A ，∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的，据此进行判断；对于B 、D ，∠AFE=∠ACD ，∠1=∠2是EF 和BC 被AC 所截得到的同位角和内错角，据此进行判断；对于C ，∠3=∠4这两个角是AC 与DE 被EC 所截得到的内错角，据此进行判断.【详解】∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行；∠AFE=∠ACD,∠1=∠2是EF 和BC 被AC 所截得到的同位角和内错角,因而可以判定EF ∥BC,但不能判定DE ∥AC ；∠3=∠4这两个角是AC 与DE 被EC 所截得到的内错角,可以判定DE ∥AC.故选C.【点睛】本题考查平行线的判定，掌握相关判定定理是解题的关键.10．如图，直线 a ∥b ∥c ，直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若∠1＝30°，则∠2 等于（）A ．40°B ．60°C ．50°D ．70° 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等得1324==∠∠，∠∠，再根据直角三角板的性质得341290+=+=︒∠∠∠∠，即可求出∠2的度数．【详解】∵a ∥b ∥c∴1324==∠∠，∠∠∵直角三角板的直角顶点落在直线 b 上∴341290+=+=︒∠∠∠∠∵∠1＝30°∴290160=︒-=︒∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线和三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角板的性质是解题的关键．11．若a ⊥b ，c ⊥d ，则a 与c 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：①当b ∥d 时；②当b 和d 相交但不垂直时；③当b 和d 垂直时；即可得出a 与c 的关系．【详解】当b ∥d 时a ∥c ；当b 和d 相交但不垂直时，a 与c 相交；当b 和d 垂直时，a 与c 垂直；a 和c 可能平行，也可能相交，还可能垂直．故选：D ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，掌握平行、垂直、相交的性质是解题的关键．12．如图，下列说法一定正确的是（）A ．∠1和∠4是内错角B ．∠1和∠3是同位角C ．∠3和∠4是同旁内角D ．∠1和∠C 是同位角【答案】D【解析】【分析】根据内错角、同位角以及同旁内角的定义进行判断即可．【详解】解：A 、∠2和∠4是内错角，故本选项错误；B 、∠1和∠C 是同位角，故本选项错误；C 、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；D 、∠1和∠C 是同位角，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．13．如图所示，某同学的家在P 处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C 路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A ．两点确定一条直线B ．垂直线段最短C ．两点之间线段最短D ．三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的定义判断即可.【详解】解：Q 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,∴ 选:B.【点睛】直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称“垂线段最短”．14．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••，即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯，解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=；故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.15．下列命题错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．两直线平行，内错角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A 、平行四边形的对角线互相平分，正确；B 、两直线平行，内错角相等，正确；C 、等腰三角形的两个底角相等，正确；D 、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D 错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.16．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【详解】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C ．【点睛】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图，直线//a b ，将一块含45︒角的直角三角尺（90︒∠=C ）按所示摆放．若180︒∠=，则2∠的大小是（）A ．80︒B ．75︒C ．55︒D ．35︒【答案】C【解析】【分析】先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解：给图中各角标上序号，如图所示：∵//a b∴3180︒∠=∠=（两直线平行，同位角相等），又∵34,25∠=∠∠=∠（对顶角相等），∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，同位角相等）、对顶角的性质（对顶角相等），熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.18．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A ．115°B ．120°C ．145°D ．135°【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．19．如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（）A．34°B．56°C．66°D．54°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=34°，∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．故选B．考点：平行线的性质．20．如图，在下列四组条件中，不能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180°【答案】A【解析】【分析】根据各选项中各角的关系，利用平行线的判定定理，分别分析判断AB、CD是否平行即可．【详解】A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A不能判断；B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故B能判断；C、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C能判断；D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故D能判断，故选A．【点睛】本题考查了平行线的判定．掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．。

竞赛数学：相交线与平行线

竞赛数学：相交线与平行线在竞赛试题中，平行和垂直是做为基础知识应用在一些综合性的题目之中，单独出题的情况很少，但当平行和垂直的性质与实际情况结合时，往往也会被做为新题型来考查.【例1】请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点个数.【思考与分析】本题有多种分类，如以两条直线的位置关系分类，再考虑第三条直线的位置；又如以三条直线交点的个数分类等.下面我们就第二种分类加以说明.解：（1）如图1，三条直线互相平行，此时交点个数为0；（2）如图2，三条直线相交于同一点，此时交点个数为1；（3）如图3，三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3；（4）如图4，其中两条直线平行，都与第三条直线相交，此时交点个数为2.综上所述，平面内三条直线的交点个数为0或1或2或3个.（如果按第一种情况进行分类研究，又该如何呢？请大家思考一下.）反思：求解中（2）、（3）两种情况称为三条直线两两相交.当题目中图形不全或不确定时，我们一定要注意分类.【例2】（1）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法.（2）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由. 【思考与分析】“6条直线相交且任意3条都不共点”，要解决这个问题，我们可以首先画出两条相交直线，这样可以发现若不出现3条直线共点可以出现平行线.对于（2）中所求，可以根据（1）得到的结论先对其进行推理，不要盲目的画图.解：（1）在平面上任取一点A，过A作两直线m1与n1.在n1 上取两点B、C，在m1上取两点D、G.过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示.由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交.（2）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又因没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.根据直线去数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为因为这与交点个数应为整数矛盾.所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的.反思：本题在说明理由时应用了假设法.利用假设推导出结果是否与题中条件冲突.这与我们以后要学的反证法相类似.【例3】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）对.A. 4对B. 8对C. 12对D. 16对【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF 和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例4】有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31名交警，刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤，请你画出公路示意图.【思考与解】我们可以把公路想象成直线，岔口想象成交点，由警察的人数及题意可知，10条直线刚好有31个交点.根据前面所学知识，平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点，现在只要求出现31个交点，就要减去14个交点，这种情况下，通常采取两种办法：（1）多条直线共点；（2）出现平行线.根据题意，方法（1）不能实现，所以想到使用平行线.在某一方向上有5 条直线互相平行，则减少10个交点，若6条直线平行，则可减少15个交点，所以这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个点要去掉，换一个方向取3条平行线，即可再减少3个交点，这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行即可，如图所示：【小结】本题考查我们对知识的综合应用能力，在做题时，要牢牢把握平行线的性质，与图形结合，从简单的图形推理找出问题的入手点.【例5】把正方形ABCD边AD平移得到EF，作出平移后的正方形能有几种作法？【思考与分析】据题意，平移是指正方形整体平移，只有一个.我们根据以前学过的作图方法和本周学的平移作图，作法有如下几个：作法1：过E作EF的垂线，截取EG＝EF，过G点作EF的平行线，截取GH＝EF（注意截取方向），连接FH就得到平移后的正方形.如图（1）.作法2：过E、F分别作EF的垂线，截取EG＝EF，FH＝EF（注意截取方向），连接GH，就得到平移后的正方形.如图（1）.作法3：过F作EF的垂线，截取FH＝EF，过H点作EF的平行线，截取GH＝EF（注意截取方向），连接EG就得到平移后的正方形.如图（1）.作法4：过E作AC的平行线，过F作BD的平行线，截取EH=AC，FG=BD （注意截取方向）.连接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.如图（2）.作法5：连接EA，FD，过B点作EA的平行线，过C作FD的平行线.截取BG=EA，CH=FD（注意截取方向）.如图（3）.连接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.【小结】平移变换不改变图形的形状、大小和方向.连结对应点的线段平行且相等.要描述一个平移变换，必须指出平移的方向和移动的距离．【例6】电脑游戏上有一种俄罗斯方块的游戏，游戏规则：在所给各种各样的方块中，通过平移、旋转的方式，罗列方块使之排满每一横行，每排满一行，便消去一行，得100分，依次类推（本题特殊规定，只准平移），小方块在屏幕顶端居中出现（奇数列时居中偏左）．现在电脑屏幕上显示（如图所示）.（1）若按规定，想得分，甲方块需要怎样平移，才可能直接得分或为以后打下得分基础？乙方块呢？（2）若你把甲方块放到左侧，发现屏幕已暗示出丙方块为形状，在这种情况下，丙方块只需如何移动，便可得多少分？（注：屏幕上一共有10行10列）【思考与分析】第（1）题观察甲方块与底部方块的特点，我们可得出平移方式.第（2）题将丙方块通过平移嵌入空隙之中，即可得分.解：（1）甲方块可左移3个单位，下移7个单位放到屏幕左侧；乙方块需向右平移3个单位，下移8个单位，放到屏幕右侧.（可用其他平移方式）（2）丙方块下移7个单位，便可排满2行，得200分.【小结】解本题的关键是将各个方块通过平移嵌成一个长方形，需根据方块和现有图形选择合理的平移方式.【例7】如图1，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？【思考与分析】若P点在C、D之间运动时，我们只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB＝∠PAC+∠PBD；若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则可以分为如图2和如图3两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有∠APB＝∠PBD－∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.解：若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：如图1，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE ＝∠PBD，所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：（1）如图2，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB ＝∠BPE-∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.（2）如图3，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，又因为l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB ＝∠APE-∠BPE，即∠APB＝∠PAC-∠PBD.【小结】我们做这类题的时候可以发现：点的移动带动角的位置变化，角的位置变化决定了角之间的关系.因此我们可以利用分类思想来分析题意，解决多种情况的讨论.。

七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线

专题24 相交线与平行线阅读与思考在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行.当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键．两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定(1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行；(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质(1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；(3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝080，∠CDE ＝0140，则∠BCD ＝__________.（安徽省中考试题）(2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0115，∠A ＝025，则∠E ＝___________.（浙江省杭州市中考试题）DB图②FECA解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解.【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手．A BCDGHEFF DE BCA例2题图例3题图【例3】如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF .（天津市竞赛试题）解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形．【例4】如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝43∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题）DEC AB 图1解题思路：分别过点E ，F 作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系.ABFCD E例4题图例5题图【例5】如图，已知∠1＝ ∠2，∠C ＝∠D ，求证：∠A ＝∠F .解题思路：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，是解这类问题的基本思路.【例6】(1)已知平面内有4条直线a ，b ，c 和d ，直线a ，b 和c 相交于一点，直线b ，c 和d 也相交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由．(2)作第5条直线e 与(1)中的直线d 平行. 说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：(1)先设直线a ，b ，c 的交点为P ，直线b ，c ，d 的交点为Q ，证得P 与Q 实为同一点，得出结论．(2)绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质.FA BC1 DE 2能力训练A 级1．在同一平面内有1a ，2a ，3a …，10a 十条直线，如果1a //2a ，2a ⊥3a ，3a //4a ，4a ⊥5a ，5a //6a ，6a ⊥7a ，…，那么1a 与10a 的位置关系是____________.2．如图，已知AE ∥BD ，∠1＝0130，∠2＝030，则∠C ＝__________．（湖南省常德市中考试题）3．如图，直线a ，b 都与直线c 相交，下列命题中，能判断a ∥b 的条件是_____________（把你认为正确的序号填在横线上）①∠1＝∠2； ②∠3＝∠6； ③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝0180．（陕西省中考试题）第4题图21第3题图第2题图7865432121DA ECBab4. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2__________.（山东省烟台市中考试题）5．下面四个命题中正确的是( )．A ．相等的两个角是对顶角B ．和等于0180的两个角互为邻补角 C ．连结两点的最短线是过这两点的直线D ．两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直（“希望杯”邀请赛试题）6．下列命题①两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直．②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等． ③两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直． ④两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直．其中正确的有( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，DH ∥EG ∥BC ，且DC ∥EF ，那么图中与∠BFE 相等的角(不包括∠BFE )的个数是( )． A.2 B ．4 C ．5 D ．6（山东省菏泽地区中考试题）8．如图，AB ∥CD ∥EF ∥GH ，AE ∥DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与∠ɑ相等的角的个数为m （不包括∠a 本身），与∠β互补的角的个数为n ．若a ≠β，则m ＋n 的值是( )．A. 8B. 9C. 10D. 11第8题图第7题图βαCFG AGDHBBEDHE9．如图，已知AB ∥ED ，∠NCB ＝030，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ，求∠B 的度数．10.如图，已知E 是AB ，CD 外一点，∠D ＝∠B ＋∠E ，求证：AB ∥CD .ABED NCM11.平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？（吉林省竞赛试题）ABEDC12.如图，已知CD ∥EF ，∠1＋∠2＝∠ABC ，求证：AB //GF .（重庆市竞赛试题）B 级1. 如图，∠A ＝060，∠1＝∠2，则∠ADC 的度数是___________. 2．如图，直线a ∥b ，那么x 的度数是____________.（五城市联赛试题）ba第1题图第2题图第3题图x48°30°30°120°21C'D'EABADBCDC F3．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D '，C '的位置，若∠EFB ＝065，则∠AED '＝__________.（山东省中考试题）4．如图，已知DE ∥BC ，∠2＝070，∠1＝040，那∠EBA 的度数是_____________.AC21EBDlk4321第4题图第5题图5. 如图，直线k ∥l ，∠4－∠3＝∠3－∠2＝∠2一∠3＝d ＞0．其中∠3＜090，∠1＝050，则∠4最大可能的整数值是( )．A. 1070B ．1080C ．1090D ．11006. 如图，AB ∥CD ∥EF ，EH ⊥CD 于H ，则∠BAC ＋∠ACE ＋∠CEH 等于( )． A ．1800B ．2700C ．3600D ．4500(北京市竞赛试题）7．如图，两直线AB ，CD 平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ ( )． A ．6300B. 7200C ．8000D. 9000（“希望杯”邀请赛试题）BDFAC654321HACBDEF GH第6题图第7题图8．两条直线a ，b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1，A 2…，A 10，直线b 上顺次有9个点B 1，B 2，…，B 3，将a 上每一个点与b 上每一个点相连可得线段．若没有三条线段相交于同一点，则这些线段的交点个数是( )A. 90B.1620C.6480D.20069．如图，已知两条平行线AB ，CD 被直线EF 所截，交点分别为G ，H ，P 为HD 上任意一点，过P 点的直线交HF 于O 点，求证：∠HOP ＝∠AGF －∠HPO .O PA BCD10．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD .求FC 的长．(2013年“《数学周报》”杯竞赛试题)D FMBC11．平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于260．（莫斯科八年级竞赛试题）12．⑴如图①，MA 1∥NA 2，则∠A 1＋∠A 2＝_________.如图②，MA 1∥NA 3，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＝_________. 如图③，MA 1∥NA 4，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＝_________. 如图④，MA 1∥NA 5，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＋∠A 5＝_________.从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论.（2）如图5，n NA ||MA 1，则=∠++∠+∠+∠n A A A A 321 .（3）利用上述结论解决问题：如图已知CD ||AB ，AB E ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，140E =∠，求B FD ∠的度数.A 6A nA 5A 4A 2A 1 MNA 2（第21题）A 1MNA 3A 2 A 1MNA 3A 4A 2 A 1MNA 3 A 5A 4 A 2 A 1MNA 3 图①图②图③ 图④图⑤FEBACD图⑥专题24 相交线与平行线例1 （1）40° 过点 C 作CF ∥AB ，则∠BCF ＝∠ABC ＝80°．∠DCF ＝180°—140°＝40°，∴∠BCD ＝80°－40°=40°.（2）90° 过点E 作EM ∥AB ，∴AB ∥CD ，∴EM ∥CD ，∠AEM =180°—25°=155°. ∠CEM =180°—115°=65°，∴∠E =∠AE —∠CEM =155°-65°=90°.例2 D 提示：原图可分解为8个基本图形.例3 提示：由DF ∥CE 得，∠BDF =∠BCE ，∠FDE =∠DEC ，AC ∥DE ，得∠DEC =∠ECA .例4 过E 作EM ∥AB .∴AB ∥于CD ，∴EM ∥CD . ∴∠AEC =∠AEM +∠CEM =∠EAB +∠ECD .同理：∠AFC =∠FAB +∠FCD .∴∠AEC =∠FAB +∠FCD +∠EAF +∠ECF =∠AFC +¼∠EAB +14+∠ECD =∠AFC +¼∠AEC .故∠AFC =¾∠AEC .例5 提示：先证BD ∥CE ，再证DF ∥BC .例6 （1）直线a ，b ，c ，d 共有1个交点，理由如下：设直线a ，b ，c 的交点为P ，直线b ，c ，d 的交点为Q .这意味着点P 和点Q都是直线b 和c 的交点.而两条不同直线至多有一个交点.因此P和Q 必为同一个点.即4条直线a ，b ，c 和d 相交于同一个点.因此这4条直线只有一个交点.(2)不妨设（1）中交点为O .因为作的第5条直线e 与（1）中的直线d 平行，所以直线e 和直线d 没有公共点，因此这些e 不过点O .而直线a ，b ，c 与直线e 必然都相交.如图所示.设直线e 与直线a ，b ，c 分别相交于点A ，B ，C .这时有A ，B ，C ，O 共四个不同的点.可以连出OA ，OB ，OC ，AB ，AC ，BC 共6条不同的线段.A 级1. 1a //10a2.20°3.①②③④4.90°5.D6.B7.C8.D提示：m =5，n =6，m +n =5+6=11. 9.60° 10.提示：过点E 作EF ∥AB . 11如图所示.12.作CK ∥FG ，延长GF ，CD 交于H 点，则∠1+∠2=∠ABC ，故∠ABC +∠BCK =180°，即CK ∥AB ，AB ∥GF .B级1.120°2.72°3.50°4.30°5.C 提示：∠2=50°+d，∠3=50°+2d，∠4=50°+3d，又∵∠3=50°+2d<90°，∴d<20°，∠4=50°+3d<110°.故∠4的最大整数值为109°.6.B7.D8.B 提示：由题意知每一个交点由a上两点和b上两点所确定.在a上取两点有种情况，在b上取两点有种情况，故交点个数为45*36=1620个.9.提示：过点O作CD的平行线.10.如图，设N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB.又MF∥AD，∴∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN.∴FN=MN=½AB.因此FC=FN+NC=½AB+12AC=½(AB+AC）=½（7+11）=9.11.提示：在平面上任取一点O，将已知的七条直线平移过点O，它们把以O为圆心的圆周角分成14个彼此相邻的角a₁,a₂,……，。

(专题精选)初中数学相交线与平行线难题汇编附答案解析

（专题精选）初中数学相交线与平行线难题汇编附答案解析一、选择题1．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂直线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的定义判断即可.【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,选:B.【点睛】直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称“垂线段最短”．2．如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（）A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360°C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180°【答案】D【解析】试题解析：如图，作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠α+∠AEF=180°，∵EF ∥CD ，∴∠γ=∠DEF ，而∠AEF+∠DEF=∠β，∴∠α+∠β=180°+∠γ，即∠α+∠β-∠γ=180°．故选：D ．3．如图，下列能判定AB ∥CD 的条件有几个（）（1）12∠=∠ （2）34∠=∠（3）5B ∠=∠ （4）180B BCD ∠+∠=︒．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定逐一判定即可.【详解】因为12∠=∠，所有AD ∥BC ，故（1）错误.因为34∠=∠，所以AB ∥CD ，故（2）正确.因为5B ∠=∠，所以AB ∥CD ，故（3）正确.因为180B BCD ∠+∠=︒，所以AB ∥CD ，故（4）正确.所以共有3个正确条件.故选B【点睛】本题考查的是平行线的判定，找准两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角、同旁内角、内错角是关键.4．如图，已知AB ∥DC ，BF 平分∠ABE ，且BF ∥DE ，则∠ABE 与∠CDE 的关系是（）A ．∠ABE ＝2∠CDEB ．∠ABE ＝3∠CDEC ．∠ABE ＝∠CDE +90°D ．∠ABE +∠CDE ＝180°【解析】【分析】延长BF与CD相交于M，根据两直线平行，同位角相等可得∠M=∠CDE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠ABF，从而求出∠CDE=∠ABF，再根据角平分线的定义解答．【详解】解：延长BF与CD相交于M，∵BF∥DE，∴∠M=∠CDE，∵AB∥CD，∴∠M=∠ABF，∴∠CDE=∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∴∠ABE=2∠CDE．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，作辅助线，是利用平行线的性质的关键，也是本题的难点．5．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65°B．115°C．125°D．130°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE 平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．考点：平行线的性质．6．如图，AB CD ∥，BF 平分ABE ∠，且BF DE ，则ABE ∠与D ∠的关系是（）A ．2ABE D ∠=∠B ．180ABE D ∠+∠=︒C ．90ABED ∠=∠=︒D ．3ABE D ∠=∠【答案】A【解析】【分析】延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得D G ∠=∠，再根据两直线平行，同位角相等可得G ABF ∠=∠，然后根据角平分线的定义解答．【详解】证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ，//AB CD ，D G ∴∠=∠，//BF DE ，G ABF ∴∠=∠，D ABF ∴∠=∠， BF 平分ABE ∠，22ABE ABF D ∴∠=∠=∠，即2ABE D ∠=∠．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．7．如图所示，b ∥c ，a ⊥b ，∠1=130°，则∠2=（）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】B【解析】【分析】证明∠3=90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题．【详解】如图，反向延长射线a 交c 于点M ，∵b ∥c ，a ⊥b ，∴a ⊥c ，∴∠3=90°，∵∠1=90°+∠4，∴130°=90°+∠4，∴∠4=40°，∴∠2=∠4=40°，故选B ．【点睛】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识8．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O(AD>AB).下列说法：①AB=CD;②AOB AOD S S ∆∆=;③∠ABD=∠CBD;④对边AB,CD 之间的距离相等且等于BC 的长。

第五章相交线与平行线复习题附解析

第五章相交线与平行线复习题附解析一、选择题1．如图是一块长方形ABCD 的场地，长102AB m =，宽51AD m =，从A 、B 两处入口的中路宽都为1m ，两小路汇合处路宽为2m ，其余部分种植草坪，则草坪面积为（）A ．5050m 2B ．5000m 2C ．4900m 2D ．4998m 22．下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是（）A ．平行四边形的两组对边分别平行B ．矩形的对角线相等C ．四边相等的四边形是菱形D ．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和3．如图，直角三角形ABC 的直角边AB =6，BC =8，将直角三角形ABC 沿边BC 的方向平移到三角形DEF 的位置，DE 交AC 于点G ，BE =2，三角形CEG 的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC 平移的距离是4；②EG =4.5；③AD ∥CF ；④四边形ADFC 的面积为6．其中正确的结论是A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 4．如图，直线a ∥b ，把三角板的直角顶点放在直线b 上，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A ．45°B ．35°C ．30°D ．25°5．如图，四边形ABCD 是正方形，直线a ，b ，c 分别通过A 、D 、C 三点，且a ∥b ∥c ．若a 与b 之间的距离是3，b 与c 之间的距离是6，则正方形ABCD 的面积是（）A．36 B．45 C．54 D．646．如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E-∠F=48°，则∠CDE的度数为( )．A．16°B．32°C．48°D．64°7．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（）A．61°B．58°C．48°D．41°9．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（）A．垂直B．两条直线互相平行C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线10．如图，△ABC经平移得到△EFB，则下列说法正确的有（）①线段AC的对应线段是线段EB；②点C的对应点是点B；③AC∥EB；④平移的距离等于线段BF的长度．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB与直线l1的夹角∠2=________．12．如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝_____（度）．13．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为____________．14．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对．15．探究题：(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有______对．(用含n的式子表示)16．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM于点C，AB平分∠DAC，直线DB平分∠FBC，若∠ACB=100°，则∠DBA的度数为________．17．一副直角三角尺叠放如图 1 所示，现将 45°的三角尺ADE 固定不动，将含 30°的三角尺ABC 绕顶点 A 顺时针转动（旋转角不超过 180 度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 2：当∠BAD=15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为________．18．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD=120°，则∠BOD=__________°．19．如图，∠AOB＝60°，在∠AOB的内部有一点P，以P为顶点，作∠CPD，使∠CPD的两边与∠AOB的两边分别平行，∠CPD的度数为_______度．20．跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格；在格中，每次可向前跳l格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有_________种方法．三、解答题21．阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ．彤彤是这样做的：过点E 作EF //AB ，则有∠BEF ＝∠B ．∵AB //CD ，∴EF //CD ．∴∠FED ＝∠D ．∴∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．即∠BED ＝∠B +∠D ．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数；（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，直接写出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．22．如图①，已知直线12l l //，且3l 和12,l l 分别相交于,A B 两点，4l 和12,l l 分别相交于,C D 两点，点P 在线段AB 上，记1 23ACP BDP CPD ∠∠∠∠∠∠＝，＝，＝．（1）若120,355︒︒∠=∠=，则2∠=_____；（2）试找出123∠∠∠，，之间的数量关系，并说明理由；（3）应用（2）中的结论解答下列问题；如图②，点A 在B 处北偏东42︒的方向上，若88BAC ︒∠=，则点 A 在C 处的北偏西_____的方向上；（4）如果点P 在直线3l 上且在,A B 两点外侧运动时，其他条件不变，试探究1 23∠∠∠，，之间的关系(点 P 和,A B 两点不重合)，直接写出结论即可．23．已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 相交于点E ．（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，①若∠ABC =50º，∠ADC =70º，求∠BED 的度数；②请直接写出∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系；（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，试猜想∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系，并说明理由．24．已知直线AB CD ∥，直线EF 与直线AB 、CD 分别相交于点E 、F ．（1）如图1，若160∠=︒，求2∠，3∠的度数；（2）若点P 是平面内的一个动点，连接PE 、PF ，探索EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系；①当点P 在图2的位置时，请写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系并证明； ②当点P 在图3的位置时，请写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系并证明； ③当点P 在图4的位置时，请直接写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系．25．问题情境：如图1，//AB CD ，128PAB ∠=︒，124PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是过点P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．（1）按照小明的思路，写出推算过程，求APC ∠的度数．（2）问题迁移：如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，当点P 在线段OB 上时，请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．26．将一副三角板中的两个直角顶点C 叠放在一起（如图①），其中30A ∠=︒，60B ∠=︒，45D E ∠=∠=︒.（1）猜想BCD ∠与ACE ∠的数量关系，并说明理由；（2）若3BCD ACE ∠=∠，求BCD ∠的度数；（3）若按住三角板ABC 不动，绕顶点C 转动三角DCE ，试探究BCD ∠等于多少度时//CE AB ，并简要说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【详解】解：由图可知：矩形ABCD 中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（102-2）米，宽为（51-1）米．所以草坪的面积应该是长×宽=（102-2）（51-1）=5000（米2）．故选B ．2．B解析：B【分析】分别判断该命题的原命题和逆命题后即可确定正确的选项．【详解】解：A、平行四边形的两组对边分别平行，成立，逆命题为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，成立，逆命题为对角线相等的四边形是矩形，不成立，符合题意；C、四边相等的四边形是菱形，成立，逆命题为菱形的四条边相等，成立，不符合题意；D、直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，成立，逆命题为两边的平方和等于第三边的平方的三角形为直角三角形，成立，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查的是命题和定理的知识，正确的写出它的逆命题是解题的关键．3．B解析：B【解析】分析：(1)对应线段的长度即是平移的距离；(2)根据EC的长和△CEG的面积求EG；(3)平移前后，对应点的连线平行且相等；(4)根据平行四边形的面积公式求.详解：(1)因为点B，E是对应点，且BE＝2，所以△ABC平行的距离是2，则①错误；②根据题意得，13.5×2＝(8－2)EG，解得EG＝4.5，则②正确；③因为A，D是对应点，C，F是对应点，所以AD∥CF，则③正确；④平行四边形ADFC的面积为AB·CF＝AB·BE＝6×2＝12，则④错误.故选B.点睛：本题考查了平移的性质，平移的性质有：①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等.4．C解析：C【分析】由a与b平行，利用两直线平行同位角相等求出∠3的度数，再利用平角定义及∠4为直角，即可确定出所求角的度数．【详解】【解答】解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝60°，∵∠4＝90°，∠3+∠4+∠2＝180°，∴∠2＝30°．故选：C．【点睛】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，利用直角转化角是一种比较常见的方法，在一条直线上，3个角共顶点，且有一个角为直角，则另两个角的和为90°．5．B解析：B【分析】过A 作AM ⊥直线b 于M ，过D 作DN ⊥直线c 于N ，求出∠AMD ＝∠DNC ＝90°，AD ＝DC ，∠1＝∠3，根据AAS 推出△AMD ≌△CND ，根据全等得出AM ＝CN ，求出AM ＝CN ＝4，DN ＝8，在Rt △DNC 中，由勾股定理求出DC 2即可．【详解】解：如图：过A 作AM ⊥直线b 于M ，过D 作DN ⊥直线c 于N ，则∠AMD ＝∠DNC ＝90°，∵直线b ∥直线c ，DN ⊥直线c ，∴∠2+∠3＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，在△AMD 和△CND 中1390AMD CND AD CD ⎧∠=∠⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△AMD ≌△CND （AAS ），∴AM ＝CN ，∵a 与b 之间的距离是3，b 与c 之间的距离是6，∴AM ＝CN ＝3，DN ＝6，在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC 2＝DN 2+CN 2＝32+62＝45，即正方形ABCD 的面积为45，故选：B ．【点睛】本题主要考查了根据平行线的性质证明三角形全等，准确分析是解题的关键．6．B解析：B【解析】【分析】已知BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，根据角平分线分定义可得∠ABE=12∠ABF，∠CDF=12∠CDE；过点E作EM//AB，点F作FN//AB，即可得////AB CD EM//FN，由平行线的性质可得∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，由此可得∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=12∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +12∠CDE，又因2∠BED-∠BFD=48°，即可得2（12∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +12∠CDE）=48°，由此即可求得∠CDE=32°.【详解】∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，∴∠ABE=12∠ABF，∠CDF=12∠CDE，过点E作EM//AB，点F作FN//AB，∵//AB CD，∴////AB CD EM//FN，∴∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=12∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +12∠CDE，∵2∠BED-∠BFD=48°，∴2（12∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +12∠CDE）=48°，∴∠CDE=32°.故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质确定有关角之间的关系是解决问题的关键. 7．B解析：B【分析】根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可．【详解】①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，比如等腰梯形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦，是假命题（此弦非直径）；④平行于同一条直线的两直线互相平行，是真命题；故选B．【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．8．B解析：B【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．【详解】如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条折射光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．9．D解析：D【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．故选：D．【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断．10．D解析：D【分析】根据平移的特点分别判断各选项即可．【详解】∵△ABC经平移得到△EFB∴点A、B、C的对应点分别为E、F、B，②正确∴BE是AC的对应线段，①正确∴AC∥EB，③正确平移距离为对应点连线的长度，即BF的长度，④正确故选：D【点睛】本题考查平移的特点，注意，在平移过程中，一定要把握住对应点，仅对应点的连线之间才有平行、相等的一些关系．二、填空题11．【解析】试题分析：如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，∴∠1=∠3=25°．∴∠4=60°-25°=35°，∴∠2=∠4=35解析：035【解析】试题分析：如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，∴∠1=∠3=25°．∴∠4=60°-25°=35°，∴∠2=∠4=35°．考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．12．75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m∥n，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180解析：75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m∥n，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180，解得：x=17，则∠1=（3x+24）°=75°．故答案为75．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠1+∠2=180°是解题关键．13．68°【分析】如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．【详解】解：如图，延长DC交BG于M．由题意解析：68°【分析】如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．【详解】解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．则有22x y GMCx y E=+∠⎧⎨=+∠⎩①②，①-2×②得：∠GMC=2∠E,∵∠E=34°，∴∠GMC=68°，∵AB∥CD，∴∠GMC=∠B=68°，故答案为:68°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的能力题．14．24【解析】【分析】根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.【详解】解：如图所示观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和解析：24【解析】【分析】根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.【详解】解：如图所示观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和E有2对；A和F有2对.B和C有2对；B和D有2对；B和E有2对；B和F没有同旁内角.C和D有2对，C和E没有同旁内角，C和F有2对.D和E有2对；D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.故答案是：24.【点睛】本题主要考察三线八角中的同旁内角，正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键. 15．(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)【解析】试题分析：根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都解析：(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)【解析】试题分析：根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．试题解析：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有 2对．（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有 12对，内错角有 6对，同旁内角有 6对．（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n（n-1）对，内错角有 n（n-1）对，同旁内角有n（n-1）对，点睛：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．16．50°【解析】解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC 内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线解析：50°【解析】解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线BD平分∠FBC，∴∠5=12（180°﹣∠4）=12（180°﹣80°+2x）=50°+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5=180°﹣x﹣（80°﹣2x）﹣（50°+x）=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x=50°．故答案为50°．点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．17．45°，60°，105°，135°．【解析】分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．详解：如图，当AC∥DE时,∠BAD=∠DAE=45°；当BC∥AD时,∠DAE=∠解析：45°，60°，105°，135°．【解析】分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．详解：如图，当AC∥DE时,∠BAD=∠DAE=45°；当BC∥AD时,∠DAE=∠B=60°；当BC∥AE时,∵∠EAB=∠B=60°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；当AB∥DE时,∵∠E=∠EAB=90°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.故答案为45°,60°,105°,135°.点睛：本题考查了平行线的判定与性质.要证明两直线平行，需使其所构成的同位角、内错角相等（或同旁内角是否互补）.18．30°【分析】先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．【详解】解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=解析：30°【分析】先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．【详解】解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=12∠EOC=30°（角平分线定义），∴∠BOD=30°（对顶角相等）．故答案为：30．【点睛】本题考查由角平分线的定义，结合补角的性质，易求该角的度数．19．60或120【分析】根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得．【详解】由题意，分以下两种情况：（1）如图1，，（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错解析：60或120【分析】根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得．【详解】由题意，分以下两种情况：PC OB PD OA，（1）如图1，//,//∠︒（两直线平行，同位角相等），∴=∠=AOBPDB60CPD∠︒（两直线平行，内错角相等）；∴=∠=PDB60PC OB PD OA，（2）如图2，//,//∴=∠=∠︒（两直线平行，同位角相等），AOBPDB60∠=︒-∴∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）；DP D180120C P B∠的度数为60︒或120︒，综上，CPD故答案为：60或120．【点睛】本题考查了平行线的性质，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．20．8【分析】理解已知条件是解答此题的关键，跳格总共有6格，第一次只能跳1格，后面的可以跳2格或者1格，当全部都是1格，或者部分1格部分2格，整理出所有的情况即可求出答案.【详解】当全部都只跳1解析：8【分析】理解已知条件是解答此题的关键，跳格总共有6格，第一次只能跳1格，后面的可以跳2格或者1格，当全部都是1格，或者部分1格部分2格，整理出所有的情况即可求出答案.【详解】当全部都只跳1格时，1种方法；当有1次跳2格，其他全部1格，有4种方法；当有2次跳2格时，其他全部1格，有3种方法；不存在3次或者更多跳2格的情况综上共有1+4+3=8种方法.【点睛】本题考查数列的递推式,实际上我们解题时抓住实际问题的本质,写出满足条件的数列,利用数列的递推式写出结果.三、解答题21．（1）65°；（2）11 18022αβ︒-+【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．【详解】（1）如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF=∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．即∠BED=∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=12∠ABC=30°，∠EDC=12∠ADC=35°，∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．答：∠BED的度数为65°；（2）如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF +∠EBA =180°．∴∠BEF =180°﹣∠EBA ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，∴∠FED =∠EDC ．∴∠BEF +∠FED =180°﹣∠EBA +∠EDC ．即∠BED =180°﹣∠EBA +∠EDC ，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∴∠EBA =12∠ABC =12α，∠EDC =12∠ADC =12β， ∴∠BED =180°﹣∠EBA +∠EDC =180°﹣12α +12β．答：∠BED 的度数为180°﹣12α +12β．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．22．（1）35︒；（2）123∠+∠=∠，理由见解析；（3）46︒；（4）当P 点在A 的上方时，321∠=∠-∠，当P 点在B 的下方时，312∠=∠-∠．【分析】（1）由题意直接根据平行线的性质和三角形内角和定理进行分析即可求解；（2）由题意过点P 作//PM AC ，进而利用平行线的性质进行分析证明即可；（3）根据题意过A 点作//AF BD ，则////A BD CE ，进而利用平行线的性质即可求解；（4）根据题意分当P 点在A 的上方与当P 点在B 的下方两种情况进行分类讨论即可．【详解】解：()1∵12l l //，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，在△PCD 中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，∴∠3=∠1+∠2，则有∠2=∠3-∠1=35︒，故答案为：35︒；()2123∠+∠=∠理由如下：过点P 作//PM AC//AC BD////AC PM BD ∴12CPM DPM ∴∠=∠∠=∠，12CPM DPM CPD ∴∠+∠=∠+∠=∠()3过A 点作//AF BD ，则////A BD CE ，则BAC DBA ACE ∠∠+∠＝，故答案为：46︒；()4当P 点在A 的上方时，如图 2，∴∠1=∠FPC ．∵14//l l ，∴2//PF l ，∴∠2=∠FPD∵∠CPD=∠FPD-∠FPC∴∠CPD=∠2-∠1，即321∠=∠-∠．当P 点在B 的下方时，如图 3，∴∠2=∠GPD∵12l l //，∴1//PG l ，∴∠1=∠CPG∵∠CPD=∠CPG-∠GPD∴∠CPD=∠1-∠2，即312∠=∠-∠．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．23．（1）①∠BED=60º；②∠BED=12∠ABC+12∠ADC；（2）∠BED=180º-1 2∠ABC+12∠ADC，理由见解析．【分析】（1）①过点E作EF∥AB，然后说明AB∥CD∥EF，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．（2）过点E作EF∥AB，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．【详解】（1）①如图1，过点E作EF∥AB．∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABC=50º，∠ADC=70º∴∠ABE=12∠ABC=150252⨯=°°，∠EDC=12∠ADC=170352⨯︒=︒， ∴∠BEF=25º，∠DEF=35º，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25º+35º=60º；②∵AB ∥CD∴AB ∥CD ∥EF∴∠ABE=∠BEF=12∠ABC ，∠EDC=∠DEF=12∠ADC ；． ∴∠BED=∠BEF +∠DEF =12∠ABC+12∠ADC ∴∠BED=12∠ABC+12∠ADC （2）如图2，过点E 作EF ∥AB ．∵AB ∥CD∴AB ∥CD ∥EF∴∠EDC=∠DEF ，∵∠ABE+∠BEF=180º，∴∠BEF=180º-∠ABE ．∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∴∠ABE=12∠ABC ，∠DEF=12∠ADC ， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180º-12∠ABC+12∠ADC ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．24．（1）360∠=︒；（2）①EPF PEB PFD ∠=∠+∠，证明见解析；②360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=，证明见解析；③EPF PEB PFD ∠=∠-∠或EPF PFD PEB ∠+∠=∠．【分析】（1）根据对顶角相等求∠2，根据两直线平行，同位角相等求∠3；（2）①过点P 作MN ∥AB ，根据平行线的性质得∠EPM =∠PEB ，且有MN ∥CD ，所以∠MPF =∠PFD ，然后利用等式性质易得∠EPF =∠PEB +∠PFD ．②③的解题方法与①一样，分别过点P 作MN ∥AB ，然后利用平行线的性质得到三个角之间的关系．【详解】（1）解：∵12∠=∠，160∠=︒，∴260∠=︒；∵AB CD ∥，∴3160∠=∠=︒ .（2）①EPF PEB PFD ∠=∠+∠.过点P 作MN AB ，则EPM PEB ∠=∠.∵AB CD ∥，MN AB ， ∴MN CD ∥，∴MPF PFD ∠=∠，∴EPM MPF PEB PFD ∠+∠=∠+∠，即EPF PEB PFD ∠=∠+∠.②360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=，过点P 作MN AB ，则180PEB EPN ∠+∠=︒，∵AB CD ∥，MN AB ， ∴MN CD ∥，∴180NPF PFD ∠+∠=︒，∴360PEB EPN NPF PFD ∠+∠+∠+∠=︒.即360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=.③EPF PEB PFD ∠=∠-∠或EPF PFD PEB ∠+∠=∠.写对一种即可．理由：如图4，过点P 作PM ∥AB ，∵AB ∥CD ，MP ∥AB ，∴MP∥CD，∴∠PEB=∠MPE，∠PFD=∠MPF，∵∠EPF+∠FPM=∠MPE，∴∠EPF+∠PFD=∠PEB．【点睛】本题主要考查了平行公理的推论和平行线的性质，结合图形作出辅助线构造出三线八角是解决此题的关键.25．（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．【分析】（1）过P作PE∥AB，先推出PE∥AB∥CD，再通过平行线性质可求出∠APC；（2）过P作PE∥AB交AC于E，先推出AB∥PE∥DC，然后根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；（3）过点P作PE∥AB交OA于点E，同（2）中方法根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，∴∠APE=52°，∠CPE=56°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；（2）∠APC=α+β．理由如下：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）∠APC=β-α．理由如下：过点P作PE∥AB交OA于点E，同（2）可得，α=∠APE ，β=∠CPE ，∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．26．（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由详见解析；（2）135°；（3）BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD ，即可得到∠BCD+∠ACE 的度数；（2）设∠ACE=α，则∠BCD=3α，依据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠BCD 的度数；（3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当∠BCD 等于150°或30°时，CE//4B.【详解】解：（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由如下：90BCD ACB ACD ACD ∠=∠+∠=︒+∠，∴90BCD ACE ACD ACE ∠+∠=︒+∠+∠9090180=︒+︒=︒；（2）如图①，设ACE α∠=，则3BCD α∠=，由（1）可得180BCD ACE ∠+∠=︒，∴3180αα+=︒，∴45α=，∴3135BCD α∠==︒；（3）分两种情况：①如图1所示，当//AB CE 时，180120BCE B ∠=︒-∠=︒，又90DCE ∠=︒，∴36012090150BCD ∠=︒-︒-︒=︒；②如图2所示，当//AB CE 时，60BCE B ∠=∠=︒，又90DCE ∠=︒，∴906030BCD ∠=︒-︒=︒.综上所述，BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.。

相交线与平行线常考题目及问题详解(绝对经典)

（1）AB∥EF．
（2）AB∥ND．
45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．
求证：DF∥AB．
46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC．
（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC=．
（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC=．
28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB．
（2）求∠DFC的度数．
29．看图填空，并在括号内注明说理依据．
如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？
解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），
43．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．
（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．
44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：
11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．

2020-2021学年人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》竞赛题(解析版)

2020-2021学年人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》竞赛题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一，单项选择题（本大题共8小题）1．如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∥ABE 和∥CDE，BF∥DE，∥F 与∥ABE 互补，则∥F 的度数为A．30°B．35°C．36°D．45°【答案】C【解析】【分析】延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.【详解】解：如图延长BG交CD于G∵BF∵ED又∵DF 平分∵CDE，∵∵CDE=2∵F，∵BF∵ED∵∵CGF=∵EDF=2∵F，∵AB∵CD∵∵ABF=∵CGF=2∵F，∵BF平分∵ABE∵∵ABE=2∵ABF=4∵F，又∵∵F 与∵ABE 互补∵∵F +∵ABE =180°即5∵F=180°，解得∵F=36°故答案选C.【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.2．如下图，下列条件中：∥∥B+∥BCD=180°；∥∥1=∥2；∥∥3=∥4；∥∥B=∥5，能判定AB∥CD的条件为（）A．∥∥∥∥B．∥∥∥C．∥∥∥D．∥∥∥【答案】C【详解】解：∵∵∵B+∵BCD=180°，∵∵∵1=∵2，∵AD∵BC；∵∵∵3=∵4，∵AB∵CD；∵∵∵B=∵5，∵AB∵CD；∵能得到AB∵CD的条件是∵∵∵．故选C．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行.3．∥如图1,AB∥CD,则∥A +∥E +∥C=180°；∥如图2,AB∥CD,则∥E =∥A +∥C;∥如图3,AB∥CD,则∥A +∥E－∥1=180° ；∥如图4,AB∥CD,则∥A=∥C +∥P.以上结论正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】∵如图1，过点E作EF∵AB，因为AB∵CD，所以AB∵EF∵CD，所以∵A+∵AEF=180°，∵C+∵CEF=180°，所以∵A+∵AEC+∵C=∵A+∵AEF+∵C+∵CEF=180°+180°=360°，则∵错误；∵如图2，过点E作EF∵AB，因为AB∵CD，所以AB∵EF∵CD，所以∵A=∵AEF，∵C=∵CEF，所以∵A+∵C=∵AEC+∵AEF=∵AEC，则∵正确；∵如图3，过点E作EF∵AB，因为AB∵CD，所以AB∵EF∵CD，所以∵A+∵AEF=180°，∵1=∵CEF，所以∵A+∵AEC-∵1=∵A+∵AEC-∵CEF=∵A+∵AEF=180°，则∵正确；∵如图4，过点P作PF∵AB，因为AB∵CD，所以AB∵PF∵CD，所以∵A=∵APF，∵C=∵CPF，所以∵A=∵CPF+∵APC=∵C+∵APC，则∵正确；故选C.4．如图，∥1=70°，直线a平移后得到直线b，则∥2-∥3（）A．70°B．180°C．110°D．80°【答案】C【解析】【分析】作AB∵a,先证AB∵a∵b，由平行线性质得∵2=180°-∵1+∵3，变形可得结果.【详解】作AB∵a,由直线a平移后得到直线b，所以，AB∵a∵b所以，∵2=180°-∵1+∵3，所以，∵2-∵3=180°-∵1=180°-70°=110°.故选：C【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.5．下列说法：∥两点确定一条直线；∥连接两点的线段叫做两点的距离；∥两点之间，线段最短；∥由两条射线组成的图形叫做角；∥若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】分析：根据直线公理对∵进行判断；根据两点之间的距离的定义对∵进行判断；根据线段公理对∵进行判断；根据角的定义对∵进行判断；根据线段的中点的定义对∵进行判断．详解：根据直线公理：两点确定一条直线，所以∵正确；连接两点的线段的长度叫做两点的距离，所以∵错误；两点之间，线段最短，所以∵正确；有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以∵错误；若AB =BC ，且B 点在AB 上，则点B 是AC 的中点，所以∵错误．故选B ．点睛：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．6．如图，直线//AB CD ，点E 在CD 上，点O 、点F 在AB 上，EOF ∠的角平分线OG 交CD 于点G ，过点F 作FH OE ⊥于点H ，已知148OGD ∠=︒，则OFH ∠的度数为（）A ．26ºB ．32ºC ．36ºD ．42º【答案】A【解析】【分析】依据∵OGD=148°，可得∵EGO=32°，根据AB∵CD ，可得∵EGO =∵GOF ，根据GO 平分∵EOF ，可得∵GOE =∵GOF ，等量代换可得：∵EGO=∵GOE=∵GOF=32°，根据FH OE ⊥，可得：OFH ∠=90°-32°-32°=26°【详解】解：∵ ∵OGD=148°,∵∵EGO=32°∵AB∵CD ，∵∵EGO =∵GOF,∵EOF ∠的角平分线OG 交CD 于点G ,∵∵GOE =∵GOF,∵∵EGO=32°∵EGO =∵GOF∵GOE =∵GOF,∵∵GOE=∵GOF=32°,∵FH OE ⊥,∵OFH ∠=90°-32°-32°=26°故选A.【点睛】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．7．如图，已知AB∥CD∥EF ，则∥x 、∥y 、∥z 三者之间的关系是( )A ．180x y z ++=°B ．180x y z +-=°C ．360x y z ++=°D ．+=x z y【答案】B【分析】根据平行线的性质可得∵CEF=180°-y，x=z+∵CEF，利用等量代换可得x=z+180°-y，再变形即可．【详解】解：∵CD∵EF，∵∵C+∵CEF=180°，∵∵CEF=180°-y，∵AB∵CD，∵x=z+∵CEF，∵x=z+180°-y，∵x+y-z=180°，故选：B．8．如图a是长方形纸带，∥DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∥CFE的度数是（）A．102°B．108°C．124°D．128°【答案】A【解析】【分析】先由矩形的性质得出∵BFE=∵DEF=26°，再根据折叠的性质得出∵CFG=180°-2∵BFE，∵CFE=∵CFG-∵EFG即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∵AD∵BC，∵∵BFE=∵DEF=26°，∵∵CFE=∵CFG-∵EFG=180°-2∵BFE-∵EFG=180°-3×26°=102°，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．二、填空题（本大题共6小题）9．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE∥CD)，若∥A=120°，∥B=150°,则∥C 的度数是________【答案】150°【解析】如图，过点B作BG∵AE，因为AE∵CD，所以AE∵BG∵CD.所以∵A=∵2，∵1+∵C=180°.因为∵A=120°，所以∵2=120°，所以∵1=150°-120°=30°.所以∵C=180°-30°=150°，故答案为150°.10．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∥EBA、∥EPC的角平分线于点F，已知∥F ＝40°，则∥E＝_____度．【答案】80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∵FMA=12∵CPE=∵F+∵1，∵ANE=∵E+2∵1=∵CPE=2∵FMA，即∵E=2∵F=2×40°=80°.故答案为80.11．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对．【答案】24【解析】【分析】根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.【详解】解：如图所示观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和E 有2对；A和F有2对.B和C有2对；B和D有2对；B和E有2对；B和F没有同旁内角.C和D有2对，C和E没有同旁内角，C和F有2对.D和E有2对；D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.故答案是：24.【点睛】本题主要考察三线八角中的同旁内角，正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键. 12．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM 于点C，AB平分∥DAC，直线DB平分∥FBC，若∥ACB=100°，则∥DBA的度数为________．【答案】50°【解析】解：如图，设∵DAB=∵BAC=x，即∵1=∵2=x．∵EF∵GH，∵∵2=∵3．在∵ABC内，∵4=180°﹣∵ACB﹣∵1﹣∵3=180°﹣∵ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线BD平分∵FBC，∵∵5=12（180°﹣∵4）=12（180°﹣80°+2x）=50°+x，∵∵DBA=180°﹣∵3﹣∵4﹣∵5=180°﹣x﹣（80°﹣2x）﹣（50°+x）=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x=50°．故答案为50°．点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．13．如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB//CD,若∥FEC=10°，两个正方形临边夹角为150°，则∥1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)【答案】70．【解析】【详解】作IF∵AB,GK∵AB,JH∵AB因为AB∵CD所以，AB∵CD∵ IF∵GK∵JH所以，∵IFG=∵FEC=10°所以，∵GFI=90°-∵IFG=80°所以，∵KGF=∵GFI=80°所以，∵HGK=150°-∵KGF=70°所以，∵JHG=∵HGK=70°同理，∵2=90°-∵JHG=20° 所以，∵1=90°-∵2=70°故答案为70 【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．14．如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB ⊥，5BC =，将直角梯形ABCD 沿AB 方向平移2个单位得到直角梯形EFGH ，HG 与BC 交于点M ，且1CM =，则图中阴影部分面积为______.【答案】9 【分析】由平移得到直角梯形ABCD 与直角梯形EFGH 全等，所以它们的面积相等，都减去直角梯形BMHE 的面积，得到阴影部分的面积等于直角梯形FGMB 的面积，再根据已知条件求得BM 、BF 、GF 的长度，代入梯形面积的公式即可求得结果. 【详解】由平移得直角梯形ABCD 与直角梯形EFGH 全等，∵S梯形ABCD=S梯形EFGH，∵S阴影=S梯形FGMB，∵GF=BC=5，CM=1，∵BM=4，∵BF=2，∵S阴影= 11()(45)29 22BM GF BF+⋅=+⨯=.故此题填9.【点睛】此题考查平移的性质，图形平移前后的面积不变，因此将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积，降到了难度，这是解此题的关键.三、解答题（本大题共4小题）15．如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∥1＝∥2，∥3＝∥4，求证：AD∥BE.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：先根据平行线的性质得出∵4=∵BAE．再根据∵3=∵4可知∵3=∵BAE．由∵1=∵2，得出∵1+∵CAE=∵2+∵CAE即∵BAE=∵CAD，故∵3=∵CAD，由此可得出结论．试题解析：证明：∵AB∵CD，∵∵4=∵BAE．∵∵3=∵4，∵∵3=∵BAE．∵∵1=∵2，∵∵1+∵CAE=∵2+∵CAE，即∵BAE=∵CAD，∵∵3=∵CAD，∵AD∵BE．16．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，CB∥y轴交y轴负半轴于B（0，b），且|a﹣3|+（b+4）2＝0，S四边形AOBC＝16．（1）求点C的坐标．（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD∥AC时，∥ODA的角平分线与∥CAE 的角平分线的反向延长线交于点P，求∥APD的度数；（点E在x轴的正半轴）．（3）如图3，当点D在线段OB上运动时，作DM∥AD交BC于M点，∥BMD、∥DAO 的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∥N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．【答案】(1) C（5，﹣4）;(2)90°;(3)见解析.【解析】分析：（1）利用非负数的和为零，各项分别为零，求出a，b即可；（2）用同角的余角相等和角平分线的意义即可；（3）利用角平分线的意义和互余两角的关系简单计算证明即可．详解：（1）∵（a﹣3）2+|b+4|=0，∵a﹣3=0，b+4=0，∵a=3，b=﹣4，∵A（3，0），B（0，﹣4），∵OA=3，OB=4，∵S四边形AOBC=16．∵0.5（OA+BC）×OB=16，∵0.5（3+BC）×4=16，∵BC=5，∵C是第四象限一点，CB∵y轴，∵C（5，﹣4）；（2）如图，延长CA，∵AF是∵CAE的角平分线，∵∵CAF=0.5∵CAE，∵∵CAE=∵OAG，∵∵CAF=0.5∵OAG，∵AD∵AC，∵∵DAO+∵OAG=∵PAD+∵PAG=90°，∵∵AOD=90°，∵∵DAO+∵ADO=90°，∵∵ADO=∵OAG，∵∵CAF=0.5∵ADO，∵DP是∵ODA的角平分线，∵∵ADO=2∵ADP，∵∵CAF=∵ADP，∵∵CAF=∵PAG，∵∵PAG=∵ADP，∵∵APD=180°﹣（∵ADP+∵PAD）=180°﹣（∵PAG+∵PAD）=180°﹣90°=90°即：∵APD=90°（3）不变，∵ANM=45°理由：如图，∵∵AOD=90°，∵∵ADO+∵DAO=90°，∵DM∵AD，∵∵ADO+∵BDM=90°，∵∵DAO=∵BDM，∵NA是∵OAD的平分线，∵∵DAN=0.5∵DAO=0.5∵BDM，∵CB∵y轴，∵∵BDM+∵BMD=90°，∵∵DAN=0.5（90°﹣∵BMD），∵MN是∵BMD的角平分线，∵∵DMN=0.5∵BMD，∵∵DAN+∵DMN=0.5（90°﹣∵BMD）+0.5∵BMD=45°在∵DAM中，∵ADM=90°，∵∵DAM+∵DMA=90°，在∵AMN中，∵ANM=180°﹣（∵NAM+∵NMA）=180°﹣（∵DAN+∵DAM+∵DMN+∵DMA）=180°﹣[（∵DAN+DMN）+（∵DAM+∵DMA）] =180°﹣（45°+90°）=45°，∵D点在运动过程中，∵N的大小不变，求出其值为45°点睛：此题是四边形综合题，主要考查了非负数的性质，四边形面积的计算方法，角平分线的意义，解本题的关键是用整体的思想解决问题，也是本题的难点.17．如图，已知AM∥BN，∥A=60°，点P是射线M上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∥ABP和∥PBN，分别交射线AM于点C，D,（1）∥CBD=（2）当点P运动到某处时，∥ACB=∥ABD，则此时∥ABC=（3）在点P运动的过程中，∥APB与∥ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．【答案】（1）60°；（2）30°；（3）不变．【分析】（1）由AM∵BN可得∵ABN=180°-∵A，再由BC、BD均为角平分线可求解；（2）由AM∵BN可得∵ACB=∵CBN，再由∵ACB=∵ABD可得∵ABC =∵DBN；（3）由AM∵BN可得∵APB=∵PBN，再由BD为角平分线即可解答.【详解】解：（1）∵AM∵BN，∵∵ABN=180°﹣∵A=120°，又∵BC，BD分别平分∵ABP和∵PBN，∵∵CBD=∵CBP+∵DBP=12（∵ABP+∵PBN）=12∵ABN=60°，故答案为60°．（2）∵AM∵BN，∵∵ACB=∵CBN，又∵∵ACB=∵ABD，∵∵CBN=∵ABD，∵∵ABC=∵ABD﹣∵CBD=∵CBN﹣∵CBD=∵DBN，∵∵ABC=∵CBP=∵DBP=∵DBN，∵∵ABC=12∵ABN=30°，故答案为30°．（3）不变．理由如下：∵AM∵BN，∵∵APB=∵PBN，∵ADB=∵DBN，又∵BD平分∵PBN，∵∵ADB=∵DBN=12∵PBN=12∵APB，即∵APB：∵ADB=2：1．【点睛】本题考查了平行线的性质.18．问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∥EFG＝90°，∥EGF＝60°)”为主题开展数学活动．操作发现(1)如图(1)，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∥2＝2∥1，求∥1的度数；(2)如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∥AEF与∥FGC之间的数量关系；结论应用(3)如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∥AEG ＝α，则∥CFG等于______(用含α的式子表示)．【答案】(1)∵1＝40°；(2)∵AEF+∵GFC＝90°；(3)60°﹣α．【分析】（1）依据AB∵CD，可得∵1=∵EGD，再根据∵2=2∵1，∵FGE=60°，即可得出∵EGD1 3 =（180°﹣60°）=40°，进而得到∵1=40°；（2）根据AB∵CD，可得∵AEG+∵CGE=180°，再根据∵FEG+∵EGF=90°，即可得到∵AEF+∵GFC=90°；（3）根据AB∵CD，可得∵AEF+∵CFE=180°，再根据∵GFE=90°，∵GEF=30°，∵AEG=α，即可得到∵GFC=180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α．【详解】（1）如图1．∵AB∵CD，∵∵1=∵EGD．又∵∵2=2∵1，∵∵2=2∵EGD．又∵∵FGE=60°，∵∵EGD13=（180°﹣60°）=40°，∵∵1=40°；（2）如图2．∵AB∵CD，∵∵AEG+∵CGE=180°，即∵AEF+∵FEG+∵EGF+∵FGC=180°．又∵∵FEG+∵EGF=90°，∵∵AEF+∵GFC=90°；（3）如图3．∵AB∵CD，∵∵AEF+∵CFE=180°，即∵AEG+∵FEG+∵EFG+∵GFC=180°．又∵∵GFE=90°，∵GEF=30°，∵AEG=α，∵∵GFC=180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α．故答案为60°﹣α．【点睛】本题考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．试卷第21页，总21页。

七年级数学竞赛第21讲相交线与平行线

第21讲相交线与平行线知能概述相交或平行是同一平面内两条直线的基本位置关系。

当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用。

与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用，有以下两方面的应用：角的计算与证明；两条直线位置关系的确定。

问题解决例1．(1)O为平面上一点，过O在这个平面上引2005条不同的直线l1，l2，l3…，l2005，则可形成对以O为顶点的对顶角。

(山东省聊城市竞赛题) (2)若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有对同旁内角。

(江苏省竞赛题)解题思路：对于(1)，从简单情形出发，利用递推关系；对于(2),4条直线两两相交，每两个交点之间就有一条线段，而每条线段的两侧各有一对同旁内角，于是将问题转化为确定线段的条数。

例2．如图，两直线AB，CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（）A．630° B．720° C．800° D．900°(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：分别过E，F，G，H作AB，CD的平行线，运用同旁内角互补求解。

例3．如图，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠C，∠AEC之间具有怎样的关系?并说明理由。

解题思路：这是一道结论开放的探究性问题，由于E点位置的不确定性，可引起对E点不同位置的分类讨论(如夹在AB，CD之间或之外、内折或外折等)，这是解本例的关键。

例4．如图，已知AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：BC∥EF。

解题思路：怎样利用条件AF∥CD?如何证明BC∥EF?需作辅助线，对内连线或向外补形可得到不同的证法。

例5．平面上有6条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°。

相交线与平行线专项训练及解析答案

相交线与平行线专项训练及解析答案一、选择题1．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①符合对顶角的性质，故本小题正确；②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；③符合平行线的判定定理，故本小题正确；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．故选B．2．如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（）A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360°C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180°【答案】D【解析】试题解析：如图，作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°，∵EF∥CD，∴∠γ=∠DEF，而∠AEF+∠DEF=∠β，∴∠α+∠β=180°+∠γ，即∠α+∠β-∠γ=180°．故选：D ．3．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，故①正确；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B ，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C ．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．4．如图，已知正五边形ABCDE ，AF ∥CD ，交DB 的延长线于点F ，则∠DFA 的度数是（）A ．28°B ．30°C ．38°D ．36°【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，得到∠DFA=∠CDB ，根据三角形的内角和求出∠CDB 的度数从而得到∠DFA 的度数.【详解】解：∠C=(52)1801085︒-⨯=，且CD=CB ， ∴∠CDB=∠CBD ∵由三角形的内角和∠C+∠CDB+∠CBD=180°∴∠CDB+∠CBD=180°-∠C =180°-108°=72°∴∠CDB==∠CBD=72362︒︒= 又∵AF ∥CD∴∠DFA=∠CDB=36°（两直线平行，内错角相等）故选D【点睛】本题主要考查多边形的基本概念和三角形的基本概念，正n 边形的内角读数为(2)180n n-⨯.5．下列结论中：①若a=b a b ；②在同一平面内，若a ⊥b ，b//c ，则a ⊥c ；③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离；33( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：①若a=b 0≥a b②在同一平面内，若a ⊥b,b//c ，则a ⊥c ，正确③直线外一点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离 33正确的个数有②④两个6．如图，下列推理错误的是( )A．因为∠1＝∠2，所以c∥d B．因为∠3＝∠4，所以c∥dC．因为∠1＝∠3，所以a∥b D．因为∠1＝∠4，所以a∥b【答案】C【解析】分析：由平行线的判定方法得出A、B、C正确，D错误；即可得出结论．详解：根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠2，所以c∥d，故正确；根据同位角相等，两直线平行，可知因为∠3＝∠4，所以c∥d，故正确；因为∠1和∠3的位置不符合平行线的判定，故不正确；根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠4，所以a∥b，故正确.故选：C.点睛：本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．7．如图所示，b∥c，a⊥b，∠1=130°，则∠2=（）．A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】【分析】证明∠3=90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题．【详解】如图，反向延长射线a交c于点M，∵b∥c，a⊥b，∴∠3=90°，∵∠1=90°+∠4，∴130°=90°+∠4，∴∠4=40°，∴∠2=∠4=40°，故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识8．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．9．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．对顶角互补C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等D ．如果点P 的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P 在直线y x =-的图像上．【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质定理对A 、C 进行判断；利用对顶角的性质对B 进行判断；根据直角坐标系下点坐标特点对D 进行判断．【详解】A ．两直线平行，同位角相等，故A 是假命题；B ．对顶角相等，故B 是假命题；C ．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故C 是假命题；D ．如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P 在直线y x =-的图像上，故D 是真命题故选：D【点睛】本题考查了真命题与假命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．利用了平行线性质、对顶角性质、直角坐标系中点坐标特点等知识点．10．如图，11,,33AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（）A ．60︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】B【解析】【分析】延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．【详解】延长BC 、EF 交于点G∵//AB EF∴180ABG BGE +=︒∠∠∵60FCD ∠=︒∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠2236012033ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803=︒-⨯︒ 80=︒故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．11．下列图形中线段PQ 的长度表示点P 到直线a 的距离的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【详解】由题意得PQ ⊥a ，P 到a 的距离是PQ 垂线段的长，故选C ．【点睛】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是解题关键．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解析】【分析】已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD＝36°，∴∠EDC＝72°﹣36°＝36°，∴∠DEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠A＝∠ABD，∠DBE＝∠BDE，∠DEC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠ABC＝∠C，∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共5个，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是解题的关键．13．如图，∠BCD ＝95°，AB ∥DE ，则∠α与∠β满足（）A ．∠α+∠β＝95°B ．∠β﹣∠α＝95°C ．∠α+∠β＝85°D ．∠β﹣∠α＝85°【答案】D【解析】【分析】过点C 作CF ∥AB ，然后利用两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补进行推理证明即可.【详解】解：过点C 作CF ∥AB∵AB ∥DE ，CF ∥AB∴AB ∥DE ∥CF∴∠BCF=∠α∠DCF+∠β=180°∴∠BCD ＝∠BCF +∠DCF∴∠α+180°-∠β=95°∴∠β﹣∠α＝85°故选：D【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是本题的解题关键.14．如图，直线//a b ，将一块含45︒角的直角三角尺（90︒∠=C ）按所示摆放．若180︒∠=，则2∠的大小是（）A ．80︒B ．75︒C ．55︒D ．35︒【答案】C【解析】【分析】先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解：给图中各角标上序号，如图所示：∵//a b∴3180︒∠=∠=（两直线平行，同位角相等），又∵34,25∠=∠∠=∠（对顶角相等），∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，同位角相等）、对顶角的性质（对顶角相等），熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.15．如图，1B ∠=∠，2C ∠=∠，则下列结论正确的个数有（）①//AD BC ；②B D ∠=∠；③//AB CD ；④2180B ∠+∠=︒A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】根据∠1=∠B可判断AD∥BC，再结合∠2=∠C可判断AB∥CD，其余选项也可判断.【详解】∵∠1=∠B∴AD∥BC，①正确；∴∠2+∠B=180°，④正确；∵∠2=∠C∴∠C+∠B=180°∴AB∥CD，③正确∴∠1=∠D，∴∠D=∠B，②正确故选：A【点睛】本题考查平行的证明和性质，解题关键是利用AD∥BC推导出∠B+∠2=180°，为证AB∥DC 作准备.16．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°，再根据角平分线的定义可得答案．【详解】∵DE∥BC，∴∠1=∠ABC=70°，∵BE平分∠ABC，∴1352CBE ABC∠=∠=︒，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．17．下列说法中错误的个数是( )(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(3)不相交的两条直线叫做平行线；(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】（1）应强调过直线外一点，故错误；（2）正确；（3）不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否是在同一平面内，所以错误；（4）有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，角平分线的两个角也满足，但可以不是,故错误.错误的有3个，故选C.18．如图，小慧从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，此时需要将方向调整到与出发时一致，则方向的调整应为（）A．左转80°B．右转80°C．左转100°D．右转100°【答案】B【解析】【分析】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，由题意可得∠A=60°，∠1=20°，根据平行线的性质可得∠A=∠2，∠3=∠1+∠2，进而可得答案.【详解】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，∵此时需要将方向调整到与出发时一致，∴此时沿CE方向行走，∵从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，∴∠A=60°，∠1=20°，AM∥BN，CE∥AB，∴∠A=∠2=60°，∠1+∠2=∠3∴∠3=∠1+∠2=20°+60°=80°，∴应右转80°.故选B.【点睛】本题考查了方向角有关的知识及平行线的性质，解答时要注意以北方为参照方向，进行角度调整.19．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（）A ．110°B ．120°C ．140°D ．150° 【答案】B【解析】【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b 中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B ．20．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••，即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯，解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=；故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.。

第十三章相交线平行线(能力提升)(解析版)

第十三章相交线平行线（能力提升）考试时间：90分钟注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题（共6小题）1.如图，下列不能判定DF∥AC的条件是（）A．∠A＝∠BDF B．∠2＝∠4C．∠1＝∠3D．∠A+∠ADF＝180°【答案】B【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行即可判断．【解答】解：A．∠A＝∠BDF，由同位角相等，两直线平行，可判断DF∥AC；B．∠2＝∠4，不能判断DF∥AC；C．∠1＝∠3由内错角相等，两直线平行，可判断DF∥AC；D．∠A+∠ADF＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断DF∥AC；故选：B．【知识点】平行线的判定2.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．90°B．100°C．105°D．110°【答案】B【分析】根据平行线的性质即可求解．【解答】解：延长BC至G，如下图所示，由题意得，AF∥BE，AD∥BC，∵AF∥BE，∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵AD∥BC，∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等），∴∠4＝∠1＝40°，∵CD∥BE，∴∠6＝∠4＝40°（两直线平行，同位角相等），∵这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，∴∠5＝∠6＝40°，∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故选：B．【知识点】平行线的性质3.如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝36°，则∠E＝（）A．82°B．84°C．97°D．90°【答案】B【分析】根据平行线的性质即可求解．【解答】解：过E作直线MN∥AB，如下图所示，∵AB∥MN，∴∠3+∠4+∠BEM＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠MEC＝∠1+∠2（两直线平行，内错角相等），∴∠BEC＝∠MEC+∠BEM＝180°﹣∠3﹣∠4+∠1+∠2，∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BEC＝180°﹣2∠4+2∠1，∴∠4﹣∠1＝90°﹣，∵四边形BECF内角和为360°，∴∠4+∠BEC+∠180°﹣∠1+∠F＝360°，∴+∠F＝90°，由，∴，故选：B．【知识点】平行线的性质4.如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（）A．两直线平行，同位角相等B．同旁内角互补，两直线平行C．内错角相等，两直线平行D．同位角相等，两直线平行【答案】A【分析】根据两直线平行，同位角相等求解．【解答】解：根据两直线平行，同位角相等得到直线a和直线b的夹角与直线b和直线PC的夹角相等．故选：A．【知识点】平行线的判定与性质5.已知l1∥l2，一块含30°的直角三角板如图所示放置，∠1＝20°，则∠2＝（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】C【分析】先根据三角形外角的性质求出∠EDG的度数，再由平行线的性质得出∠4CEF度数，由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：如图，根据对顶角的性质得：∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠EDG是△ADG的外角，∴∠EDG＝∠A+∠3＝30°+20°＝50°，∵l1∥l2，∴∠EDG＝∠CEF＝50°，∵∠4+∠FEC＝90°，∴∠FEC＝90°﹣50°＝40°，∴∠2＝40°．故选：C．【知识点】平行线的性质6.如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A．∵∠1＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵AD∥BC∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）C．∵∠BAD+∠ABC＝180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）D．∵∠DAM＝∠CBM∴AD∥BC（两直线平行，同位角相等）【答案】D【分析】根据平行线的判定与性质逐一进行推论即可．【解答】解：A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；所以A正确；B．∵AD∥BC，∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）；所以B正确；C．∵∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；所以C正确；D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），所以D错误．故选：D．【知识点】平行线的判定与性质二、填空题（共12小题）7.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，∠BED＝25°，则∠D＝°．【答案】130【分析】根据平行线的性质可求∠ABE＝25°，∠ABD+∠D＝180°，再利用角平分线的定义可求解∠ABD的度数，进而可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠BED＝25°，∴∠ABE＝∠BED＝25°，∠ABD+∠D＝180°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝50°，∴∠D＝180°﹣∠ABD＝180°﹣50°＝130°，故答案为130．【知识点】平行线的性质8.如图，将一个宽度相等的纸条沿AB折叠一下，如果∠1＝136°，那么∠2＝．【答案】112°【分析】根据平行线的性质可求解∠EAB+∠2＝180°，∠DAE＝136°，再利用折叠的性质可求解．【解答】解：如图，AC∥BD，∴∠EAB+∠2＝180°，∠DAE＝∠1，∵∠1＝136°，∴∠DAE＝136°，由折叠可知：∠DAB＝∠EAB＝∠DAE，∴∠EAB＝68°，∴∠2＝180°﹣68°＝112°．故答案为112°．【知识点】平行线的性质9.如图，已知∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝105°，则∠4＝．【答案】75°【分析】由同旁内角互补，两直线平行可得l1∥l2，可得∠3+∠6＝180°，即可求解．【解答】解：如图，∵∠2＝∠5＝100°，∠1＝80°，∴∠1+∠2＝180°，∴l1∥l2，∴∠3+∠6＝180°，∴∠6＝180°﹣∠3＝75°，∴∠4＝∠6＝75°，故答案为：75°．【知识点】平行线的判定与性质10.如图，将一个矩形纸片沿BC折叠，若∠ABC＝24°，则∠ACD的度数为．【答案】132°【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝∠1＝24°，根据折叠可得∠2＝24°，然后再算∠ACD的度数即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝24°，由折叠得：∠1＝∠2＝24°，∴∠ACD＝180°﹣24°﹣24°＝132°，故答案为：132°．【知识点】平行线的性质11.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是．【答案】5【分析】作PE⊥BC于E，根据平行线的性质得到AD⊥CD，根据角平分线的性质计算，得到答案．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，∴P A＝PE＝PD，∵AD＝10，∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，故答案为：5．【知识点】平行线的性质、角平分线的性质12.如图，点F在∠BAC的平分线AP上，点E在AB上，且EF∥AC，若∠BEF＝40°，则∠AFE＝°．【答案】20【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到∠AFE的度数．【解答】解：∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵EF∥AC，∴∠EF A＝∠CAP，∴∠BAP＝∠EF A，∵∠BEF＝40°，∠BEF＝∠BAP+∠EF A，∴∠BAP＝∠EF A＝20°，即∠AFE＝20°，故答案为：20．【知识点】平行线的性质13.如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，则∠BON的度数为．【答案】55°【分析】根据角平分线的定义求出∠MOA的度数，根据邻补角的性质计算即可．【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠MOC＝35°，∴∠MOA＝∠MOC＝35°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠MOA＝180°﹣90°﹣35°＝55°．故选：55°．【知识点】余角和补角、对顶角、邻补角、角平分线的定义14.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为cm．【答案】5【分析】只要证明△BDF和△CEF为等腰三角形，即可解决问题．【解答】证明：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∴△BDF和△CEF为等腰三角形；∵DF＝BD，CE＝EF，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），∴EC＝5（cm），故答案为：5．【知识点】等腰三角形的判定与性质、平行线的性质15.如图，三角形ABC中，D是AB上一点，F是BC上一点，E，H是AC上的点，EF的延长线交AB的延长线于点G，连接DE，DH，DE∥BC．若∠CEF＝∠CHD，∠EFC＝∠ADH，∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，则∠ADE的度数为．【答案】76°【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵∠CEF＝∠CHD，∴DH∥GE，∴∠ADH＝∠G，∵∠EFC＝∠ADH，∵∠BFG＝∠EFC，∴∠G＝∠BFG，∴∠ABC＝∠G+∠BFG＝2∠EFC，∵∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，∴∠EFC＝38°，∴∠ABC＝76°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝76°，故答案为：76°．【知识点】平行线的性质16.如图所示，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，若∠BDE＝20°，那么∠BED＝．【答案】140°【分析】由AD∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠CBD的度数，由折叠的性质可得出∠EBD的度数，结合∠CBE＝∠CBD+∠EBD可得出∠CBE的度数，由AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠BED的度数．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠BDE＝20°．由折叠的性质可知：∠EBD＝∠CBD＝20°，∴∠CBE＝∠CBD+∠EBD＝40°．∵AD∥BC，∴∠BED＝180°﹣∠CBE＝140°．故答案为：140°．【知识点】平行线的性质、翻折变换（折叠问题）17.如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是（只填序号）．【答案】①②③【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，故答案为：①②③．【知识点】同位角、内错角、同旁内角18.如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝．其中正确的有．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②④【分析】求出∠EBD+∠ABC＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，求出∠ABC＝∠GBC，根据角平分线的定义即可判断①；根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCG，求出∠ACB＝∠GBC，根据平行线的判定即可判断②；根据余角的定义即可判断③；根据平行线的性质得出∠EBG＝∠A＝α，求出∠EBD＝EBG＝，根据平行线的性质得出∠EBD+∠BDF＝180°，即可判断④．【解答】解：∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠EBD+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，∵BD平分∠EBG，∴∠EBD＝∠DBG，∴∠ABC＝∠GBC，即BC平分∠ABG，故①正确；∵AE∥CF，∴∠ABC＝∠BCG，∵CB平分∠ACF，∴∠ACB＝∠BCG，∵∠ABC＝∠GBC，∴∠ACB＝∠GBC，∴AC∥BG，故②正确；与∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4个，故③错误；∵AC∥BG，∠A＝α，∴∠EBG＝∠A＝α，∵∠EBD＝∠DBG，∴∠EBD＝EBG＝，∵AB∥CF，∴∠EBD+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°﹣，故④正确；故答案为：①②④．【知识点】平行线的判定与性质、余角和补角三、解答题（共7小题）19.如图，在△ABC的三边上有D，E，F三点，点G在线段DF上，∠1与∠2互补，∠3＝∠C．（1）若∠C＝40°，求∠BFD的度数；（2）判断DE与BC的位置关系，并说明理由．【分析】（1）由∠1与∠2互补，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出AC∥DF，再利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠BFD的度数；（2）由（1）可知∠BFD＝∠C，结合∠C＝∠3可得出∠BFD＝∠3，再利用“内错角相等，两直线平行”即可找出DE∥BC．【解答】解：（1）∵∠1与∠2互补，∴AC∥DF，∴∠BFD＝∠C＝40°；（2）DE∥BD，理由如下：由（1）可知：∠BFD＝∠C，∵∠C＝∠3，∴∠BFD＝∠3，∴DE∥BC．【知识点】平行线的判定与性质20.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB＝80°，∠B＝24°，求∠P的度数．【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得出∠CAD的度数，在△ACD中，利用三角形内角和定理可求出∠ADC的度数，结合对顶角相等可得出∠PDE的度数，再在△PDE中利用三角形内角和定理可求出∠P的度数．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝80°，∠B＝24°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝76°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝38°．在△ACD中，∠ACD＝80°，∠CAD＝38°，∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝62°，∴∠PDE＝∠ADC＝62°．∵PE⊥BC于E，∴∠PED＝90°，∴∠P＝180°﹣∠PDE﹣∠PED＝28°．【知识点】三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角、邻补角21.已知：如图∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，请你说明∠1与∠2相等吗？为什么？解：因为∠AED＝∠C（已知）所以∥（）所以∠B+∠BDE＝180°（）因为∠DEF＝∠B（已知）所以∠DEF+∠BDE＝180°（）所以∥（）所以∠1＝∠2 （）．【答案】【第1空】DE【第2空】BC【第3空】同位角相等，两直线平行【第4空】两直线平行，同旁内角互补【第5空】等量代换【第6空】EF【第7空】AB【第8空】同旁内角互补，两直线平行，【第9空】两直线平行，内错角相等【分析】先判断出DE∥BC得出∠B+∠BDE＝180°，再等量代换，即可判断出EF∥AB即可．【解答】解：因为∠AED＝∠C（已知）所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行）所以∠B+∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠DEF＝∠B（已知）所以∠DEF+∠BDE＝180°（等量代换）所以EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）所以∠1＝∠2 （两直线平行，内错角相等）．故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，等量代换EF，AB，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等．【知识点】平行线的判定与性质22.如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，判断∠AED与∠C的大小关系．阅读下面的解答过程，填空并填写理由．解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠4＝180°（邻补角定义），∴∠2＝∠4 （）．∴AB∥EF（）．∴∠3＝（）．又∵∠3＝∠B（已知），∴（）＝∠B（等量代换）．∴DE∥BC（）．∴∠AED＝∠C（）．【答案】【第1空】同角的补角相等【第2空】内错角相等，两直线平行【第3空】∠ADE【第4空】∠ADE【第5空】同位角相等，两直线平行【第6空】两直线平行，同位角相等【分析】根据平行线的判定与性质即可完成填空．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠4＝180°（邻补角定义），∴∠2＝∠4 （同角的补角相等）．∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠ADE．又∵∠3＝∠B（已知），∴∠ADE＝∠B（等量代换）．∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）故答案为：同角的补角相等，内错角相等，两直线平行；∠ADE，∠ADE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【知识点】平行线的判定与性质23.探究：如图①，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空解：∵DE∥BC∴∠DEF＝．（）∵EF∥AB，∴＝∠ABC．（）∴∠DEF＝∠ABC．（等量代换）∵∠ABC＝50°，∴∠DEF＝．应用：如图②，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，若∠ABC＝65°，则∠DEF＝．【答案】【第1空】∠EFC【第2空】两直线平行，内错角相等【第3空】∠EFC【第4空】两直线平行，同位角相等【第5空】50°【第6空】115°【分析】探究：依据两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等，即可得到∠DEF＝50°．应用：依据两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠DEF＝180°﹣65°＝115°．【解答】解：探究：∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFC．（两直线平行，内错角相等）∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC．（两直线平行，同位角相等）∴∠DEF＝∠ABC．（等量代换）∵∠ABC＝50°，∴∠DEF＝50°．故答案为：∠EFC，两直线平行，内错角相等，∠EFC，两直线平行，同位角相等，50°；应用：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE＝60°．（两直线平行，同位角相等）∵EF∥AB，∴∠ADE+∠DEF＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠DEF＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．【知识点】平行线的性质、相交线24.已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请证明∠DAE+2∠C＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．（直接写出结果）【分析】（1）根据AC∥BD，可得∠DAE＝∠C，再根据∠C＝∠D，即可得到∠DAE＝∠D，则结论得证；（2）根据∠CGB是△ADG是外角，即可得到∠CGB＝∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C＝90°，进而得出2∠C+∠DAE＝90°；（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根据2∠C+∠DAE＝90°，即可得到2（180°﹣8α）+α＝90°，求得α的值，由三角形内角和定理得到∠BAD的度数．【解答】（1）证明：∵AC∥BD，∴∠DAE＝∠BDA，∵∠BDA＝∠C，∴∠DAE＝∠C，∴AD∥BC；（2）证明：如图2，设CE与BD相交于点G，∠BGA＝∠BDA+DAE，∵BD⊥BC，∴∠BGA+∠C＝90°，∴∠BDA+∠DAE+∠C＝90°，∵∠BDA＝∠C，∴∠DAE+2∠C＝90°；（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∵∠DFE+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵2∠C+∠DAE＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝45°，△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．答：∠BAD的度数是99°．【知识点】平行线的判定与性质25.三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．（1）如图1，求证：CF∥AB；（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE 平分∠ABG，求∠CBG的度数．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成证明；（2）如图2，过点E作EK∥AB，可得CF∥AB∥EK，再根据平行线的性质即可得结论；（3）根据∠EBC：∠ECB＝7：13，可以设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，然后根据∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，13x+7x+100＝180，求出x的值，进而可得结果．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠BCF+∠ADE＝180°．∴∠BCF+∠B＝180°．∴CF∥AB；（2）解：如图2，过点E作EK∥AB，∴∠BEK＝∠ABE＝40°，∵CF∥AB，∴CF∥EK，∴∠CEK＝∠ACF＝60°，∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；（3）∵BE平分∠ABG，∴∠EBG＝∠ABE＝40°，∵∠EBC：∠ECB＝7：13，∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，∴13x+7x+100＝180，解得x＝4，∴∠EBC＝7x°＝28°，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．【知识点】平行线的判定与性质。

(完整版)初一平行线与相交线经典试题

第一章：平行线与相交线考点1：余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B 互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、厦门，2分）已知：∠A= 30○，则∠A的补角是________度．解：150○点拨：此题考查了互为补角的性质．【考题1－2】（2004、青海，3分）如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB 于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：(30 分钟) (答案：220 ) 1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（）A．两个互补的角中必有一个是钝角B．一个角的补角一定比这个角大C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D．相等的角一定互余4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○，那么从A处观测到C处的方向为（）A．南偏西32○B．东偏南32○C．南偏西58○D．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=_8．如图l－2－2，AB⊥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．0个B．l个C．2个D．3个9．如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________10．已知∠A和∠B互余，∠A与∠C互补，∠B与∠C的和等于周角的13，求∠A+∠B+∠C的度数．11．如图如图1―2―3，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD的度数；（2）求∠AOB和∠DOC的度数；（3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？考点2：同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质一、考点讲解：1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行．2．“三线八角”的识另：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．3．平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.二、经典考题剖析：【考题2－1】（2004贵阳，3分）如图1―2―4，直线a ∥b，则∠A CB＝________解：78○点拨：过点C作CD平行于a，因为a∥b，所以CD∥b．则∠A C D＝2 8○，∠DCB=5 0○．所以∠ACB＝78○．【考题2－2】（2004、开福，6分）如图1―2―5，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，∠1=5 0○求∠2的度数．解：65○点拨：由AB∥CD，得∠BEF＝180○－∠1=130○，∠BEG=∠2．又因为EG平分∠BEF，所以∠2=∠BEG=12∠BEF=65°（根据平行线的性质）三、针对性训练：( 40分钟) (答案：220 ) 1．如图1－2－6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．l个B．2个C．3个D．4个2．下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交；（3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；（4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行。

相交线与平行线下)100题含解析相交线与平行线

相交线与平行线100题一．选择题（共45小题）1．（2014•铜仁地区）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．2．（2012春•鼓楼区校级期中）平面内有两两相交的三条直线，若最多有m个交点，最少有n个交点，则m+n等于（）A．1B．2C．3D．43．下列说法正确的是（）（1）如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1与∠2与∠3互为补角；（2）如果∠A+∠B=90°，那么∠A是余角；（3）互为补角的两个角的平分线互相垂直；（4）有公共顶点且又相等的角是对顶角；（5）如果两个角相等，那么它们的余角也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2014•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON 的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°5．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=90°，则∠AOE与∠DOB的关系是（）A．对顶角B．互补的两个角C．互余的两个角D．一对相等的角6．如图，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是（）A．∠1=90°，∠2=30°，∠3=∠4=60°B．∠1=∠3=90°，∠2=∠4=30°C．∠1=∠3=90°，∠2=∠4=60°D．∠1=∠3=90°，∠2=60°，∠4=30°7．（2014•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠58．如图，已知AB⊥MN于E，下列条件中不能得到CD⊥MN的是（）A．CD∥AB B．∠CFE=∠AEM C．∠CFE+∠AEF=180°D．∠CFE+∠CFN=180°9．（2014•汕尾）如图，能判定EB∥AC的条件是（）A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE 10．（2009秋•翠屏区期末）已知如图，∠A=135°，∠B=45°，在下面的说法中，一定正确的是（）A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠C=135°，∠D=45°D．∠C=45°，∠D=135°11．（2007春•西城区期末）下列命题中，错误的是（）A．对顶角的角平分线互为反向延长线B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行C．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补D．同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段叫做这两条平行线的距离12．（2011秋•岳阳楼区校级期末）下列说法中正确的有（）①同位角相等．②凡直角都相等．③一个角的余角一定比它的补角小．④在直线、射线和线段中，直线最长．⑤两点之间的线段的长度就是这两点间的距离．⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角一定相等．A．0个B．1个C．2个D．3个13．（2011春•灌南县校级期末）如图，下列推理正确的是（）A．∵MA∥NB，∴∠1=∠3B．∵∠2=∠4，∴MC∥ND C．∵∠1=∠3，∴MA∥NB D．∵MC∥ND，∴∠1=∠3 14．（2012春•金台区期末）如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠EBC=∠BCF，则∠ABE与∠FCD的关系是（）A．同位角且相等B．不是同位角但相等C．是同位角但不相等D．不是同位角也不相等15．（2013春•下城区期末）如图，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）A．6个B．5个C．4个D．3个16．（2015•河北一模）如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面积为5，则△ABD的面积为（）A．4B．5C．10D．无法判断17．（2014•安顺）如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°18．（2014•龙岩）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（）A．40°B．50°C．70°D．80°19．（2014•荆州）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是（）A．155°B．145°C．110°D．35°20．（2011秋•射洪县校级期末）如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中错误的是（）A．AB=CDB．CE=FGC．A、B两点间距离就是线段AB的长度D．l1与l2两平行线间的距离就是线段CD的长度21．（2009春•常州期末）如图，∠1=120°，∠2=60°，∠3=65°，则∠4等于（）A．40°B．50°C．65°D．115°22．（2009秋•长春校级期末）如图，已知∠1=∠2，∠3=60°，则∠4=（）A．80°B．70°C．60°D．50°23．（2014春•乳山市期末）如图，AC⊥CD于C，ED⊥CD于D，AB∥EF，∠CAE=25°，∠BAE=10°，则∠DEF=（）A．30°B．35°C．40°D．45°24．（2013春•下城区期末）如图，∠1=100°，∠2=100°，且∠3：∠1=6：5，则∠4的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°25．（2005春•武昌区期末）如图，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，则∠3为（）A．45°B．60°C．65°D．70°26．（2014春•苏州期末）如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，∠E=50°，则∠F=（）A．40°B．50°C．60°D．70°27．（2008秋•江苏校级期末）如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，则图中与∠DFM 相等的角（不含它本身）的个数为（）A．5B．6C．7D．828．（2008春•江岸区期末）如图，AB∥CD，∠D=∠E，∠B=110°，则∠D为（）A．70°B．60°C．55°D．45°29．（2014春•宜宾校级期末）如图，矩形纸片ABCD中，沿折痕EF折叠，得∠EFG=40°，∠AEG的度数为（）A．98°B．99°C．100°D．101°30．如图所示，AD∥BC，∠BCD=50°，∠B=80°，CA平分∠BCD，则∠CAD与∠BAC的度数分别为（）A．25°，75°B．75°，25°C．20°，50°D．25°，65°31．如图，已知AB∥CD，直线EF交AB于E，交CD于F，∠1=∠2，则下列判断不正确的是（）A．FN∥EM B．∠MEB=∠NFC C．∠1+∠AEF=180°D．∠AEM=∠DFN 32．（2006春•襄城区期末）如图，AB∥CD，OE平分∠AOC，OE⊥OF，∠C=60°，则∠BOF的度数为（）A．15°B．30°C．60°D．90°33．（2013•台湾）附图中直线L、N分别截过∠A的两边，且L∥N．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，何者正确？（）A．∠2+∠5＞180°B．∠2+∠3＜180°C．∠1+∠6＞180°D．∠3+∠4＜180°34．（2014春•招远市期末）如图，直线l1，l2分别截射线AB，AC，若l1∥l2，则下列各角度数关系正确的是（）A．∠5+∠1=180°B．∠4+∠2＞180°C．∠6+∠3＜180°D．∠4+∠6＜180°35．（2009春•成华区期末）如图，已知AB∥EF，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．270°B．360°C．450°D．540°36．（2011春•抚州校级期末）如图，AB∥CD，∠BED=110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD=（）A．110°B．115°C．125°D．130°37．（2013春•太仓市期末）如图，已知AB∥CD，则∠a、∠B和∠y之间的关系为（）A．α+β﹣γ=180°B．α+γ=βC．α+β+γ=360°D．α+β﹣2γ=180°38．（2013秋•永州期末）如图，AB∥CD，用含α，β，γ的式子表示θ，则θ=（）A．180°+α+β﹣γB．180°+γ﹣α﹣βC．β+γ﹣αD．α+γ﹣β39．（2014•鄂州）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°40．（2014•长沙二模）如图，AB∥EF，BC⊥CD于C，∠ABC=30°，∠DEF=45°，则∠CDE等于（）A．105°B．75°C．135°D．115°41．（2014春•武昌区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E=360°B．∠A+∠D=∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E=180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A=90°42．（2013秋•招远市期末）如图，AB∥EF∥CD，连接BD，ED，则下列等式中正确的是（）A．∠1﹣∠2+∠3=180°B．∠1+∠2﹣∠3=180°C．∠2+∠3﹣∠1=180°D．∠1+∠2+∠3=180°43．（2013春•石景山区期末）如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，若∠1=155°，则∠BEF的度数为（）A．50°B．12.5°C．25°D．15°44．（2014春•招远市期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A=110°，第二次拐的角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数为（）A．120°B．130°C．140°D．150°45．（2014春•海淀区期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，EG⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．下列说法正确的是（）①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S△AFG=S△GFC；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGF=50°．A．①③④B．②③C．①②③D．①②③④二．填空题（共45小题）46．（2014春•新泰市期末）如图，已知直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE．则∠BOD=．47．（2013春•黄山期末）如图，已知直线AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE=．48．（2013秋•昌平区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=60°，∠1=2∠2，则∠2=°，∠AOE=°．49．（2014春•霸州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC =度，∠COB=度．50．（2013•河北模拟）如图，直线AB与直线CD相交于点O，射线OP平分∠AOD，若∠BOC=130°，则∠COP 的度数为．51．（2010秋•江阴市期末）已知直线AB和CD相交于O点，OE⊥AB，∠1=55°，则∠BOD=度；若OF平分∠DOB，则∠EOF的度数是度．52．（2011秋•大兴区期末）如图，三条直线相交于一点，按从小到大的顺序排列∠1，∠2，∠3为．53．（2014春•武昌区期末）如图，已知∠α与∠β共顶点O，∠α+∠β＜180°，∠α=∠β．若∠β的邻补角等于∠α，则∠β=度．54．（2011•平塘县校级模拟）如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是．55．看图填空：（1）∠1和∠4是角；（2）∠1和∠3是角；（3）∠2和∠D是角；（4）∠3和∠D是角；（5）∠4和∠D是角；（6）∠4和∠B是角．56．如图所示，AB与BC被AD所截得的内错角是；DE与AC被AD所截得的内错角是；∠1与∠4是直线被直线截得的角，图中同位角有对．57．（2011秋•岳阳楼区校级期末）如图所示，其中共有对对顶角．58．（2014春•富顺县校级期末）如图所示，同位角一共有对，内错角一共有对，同旁内角一共有有对．59．（2004秋•奉贤区期末）如图：a∥b，图中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7中同位角有对．60．如图，DH∥EO∥BC，EF∥CD，则与∠BFE相等的角，不包括∠BFE有个．61．如果两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的度数之比为3：6，那么这两个角分别等于和．62．（2014春•东城区期末）如图，直线a，b被直线c所截，现给出四个条件：①∠1=∠5；②∠2=∠7；③∠2+∠8=180°；④∠4=∠7．其中能说明a∥b的条件序号为．63．（2014•湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b平行．64．（2011•开县校级模拟）如图，BC∥DE，∠1=105°，∠AED=65°，则∠A=．65．（2014春•丰城市校级期中）如图∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°，则∠4=度．66．（2014•温州）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=度．67．（2014春•兴业县期末）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是．68．（2011秋•东营期末）如图，若AB∥DE，BC∥FE，∠E+∠B=度．69．（2009•沙坪坝区校级模拟）如图，EF∥GH，点A在EF上，AP，AQ分别交GH于点B、C，且AP⊥AQ，∠PBG=35°，则∠FAC=．70．（2012•温州模拟）如图，AB∥CD，CD∥EF，∠A=110°，∠E=30°，则∠ACE=．71．（2012•开县校级模拟）如图，直线a∥b，直线m分别交a、b于A、B两点，CB⊥m，垂足为B，若∠1=25°，则∠2=．72．（2014•广东模拟）将三角板ABC按如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中∠CAB=90°，且CF恰好平分∠ACB．若∠CBA=30°，则∠DAC的度数是．73．如图，如果AB∥EF，BC∥DE，那么∠E和∠B满足的关系．74．如图，直线a∥b，∠1=72°，∠2=130°，那么∠3+∠4=．75．（2009•荆州校级模拟）如图，a∥b，∠1=105°，∠2=140°，则∠3的度数是．76．（2012•湛江模拟）如图所示，AB平行CD，AE与CE相交于点E，∠BAE=30°，∠DCE=40°．∠1=，∠2=．77．（2014•孝南区校级模拟）如图，已知直线AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF=62°，则∠GFC=度．78．（2011•北京模拟）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=140°，则∠C=．79．（2013•深圳模拟）如图，AB∥CD，∠CFE=112°，ED平分∠BEF，交CD于D，则∠EDF=度．80．（2012•河南模拟）如图直线a与直线b平行，则|x﹣y|的值是．81．（2013秋•云阳县期末）如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE=70°，∠ECD=150°，则∠BEC=°．82．如图，AB∥EF，设∠C=90°，那么x，y，z的关系是．83．（2009•荆州二模）如图，直线MN∥PQ，∠ABM=30°，∠D=40°，∠EFQ=70°，则∠C+∠E=．84．（2011•鸠江区校级自主招生）如图，DC∥AB，∠BAE=∠BCD，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B=度．85．（2009•琼海模拟）如图，∠1=∠2，要判断AB∥DF，需要增加条件．86．（2013秋•翠屏区校级期末）将一直角三角形与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论①∠1=∠2，②∠3=∠4，③∠2+∠4=90°，④∠4+∠5=180°，其中正确的有（填序号）．87．（2012•诸城市校级模拟）如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE 的面积为．88．（2012春•盐都区期末）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=130°，则∠2=度．89．（2014•鹿城区校级二模）如图，在四边形纸片ABCD中，∠A=100°，∠C=40°，现将其右下角向内翻折得△FGE，折痕为EF，恰使GF∥CD，GE∥AD，则∠B=度．90．如图（1）是长方形纸条，将纸条沿EF折叠成图（2），再沿AF折叠成图（3），已知图（3）中的∠CFE=120°，则图（1）中∠DEF的度数是．三．解答题（共10小题）91．（2014•益阳）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．92．如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1）∵∠2=∠3（已知），∴∥（）（2）∵∠2=∠5（已知），∴∥（）（3）∵∠2+∠1=180°（已知），∴∥（）（4）∵∠5=∠3（已知），∴∥（）（5）∵∠4+∠6=180°（已知），∴∥（）（6）∵AB∥CD，AB∥EF（已知），∴∥（）93．如图，∠PCN=45°，直线CP与CN分别交AQ、EF于点B、D，∠ABC=20°，∠CDE=25°，试说明：AQ∥EF．94．如图，若∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，试证明：AB∥DE．95．如图所示，两平面镜OM、ON的夹角为∠θ，入射光线AB沿着与镜面ON平行的方向照射到镜面OM上，经过两次反射后的反射光线CD平行于镜面OM，求∠θ的度数．96．如图，已知∠3+∠DCB=180°，∠1=∠2，∠CME：∠GEM=4：5，求∠CME的度数．97．如图，已知BD∥AC，CE∥BA，且D、A、E在同一条直线上，设∠BAC=x，∠D+∠E=y．（1）试用x的一次式表示y；（2）当x=90°，且∠D=2∠E时，DB与EC具有怎样的位置关系？98．（1）阅读填空：如图1，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．解：∠B+∠E=∠BCE过点C作CF∥AB，则∠B=∠1【】又∵AB∥DE，AB∥CF，∴CF∥DE∴∠E=∠2【】∴∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠BCE．（2）应用解答：观察上面图形与结论，解决下面的问题：如图2，∠DAB+∠B+∠BCE=360°，作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数．（3）拓展深化：如图3，在前面的条件下，若点P是AB上一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQR，PM∥QR，PN平分∠APQ，下列结论：①∠APQ+∠NPM的值不变；②∠NPM的度数不变，可以证明，只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．99．（2014•赤峰）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF 的关系（不要求证明）．100．（2007•福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．相交线与平行线100题参考答案与试题解析一．选择题（共45小题）1．（2014•铜仁地区）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．解答：解：利用对顶角的定义可得出：符合条件的只有C，故选：C．2．（2012春•鼓楼区校级期中）平面内有两两相交的三条直线，若最多有m个交点，最少有n个交点，则m+n等于（）A．1B．2C．3D．4解答：解：平面内两两相交的三条直线，最多有3个交点，最少有1个交点，即m=3，n=1，∴m+n=4．故选D．3．下列说法正确的是（）（1）如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1与∠2与∠3互为补角；（2）如果∠A+∠B=90°，那么∠A是余角；（3）互为补角的两个角的平分线互相垂直；（4）有公共顶点且又相等的角是对顶角；（5）如果两个角相等，那么它们的余角也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个解答：解：（1）互为补角的应是两个角而不是三个，故错误；（2）没说明∠A是∠B的余角，故错误；（3）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故错误；（4）根据对顶角的定义可判断此命题错误．（5）相等角的余角相等，故正确．综上可得（5）正确．故选A．4．（2014•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON 的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°解答：解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．故选：C．5．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=90°，则∠AOE与∠DOB的关系是（）A．对顶角B．互补的两个角C．互余的两个角D．一对相等的角解答：解：∵∠DOE=90°，∴∠EOC=90°，即∠AOC+∠AOE=90°，∵∠AOC=∠DOB，∴∠DOB+∠AOE=90°，即∠AOE与∠DOB互余．故选C．6．如图，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是（）A．∠1=90°，∠2=30°，∠3=∠4=60°B．∠1=∠3=90°，∠2=∠4=30°C．∠1=∠3=90°，∠2=∠4=60°D．∠1=∠3=90°，∠2=60°，∠4=30°解答：解：根据对顶角相等，可知∠2=60°∠4=30°．由平角的定义知，∠3=180°﹣∠2﹣∠4=90°，所以∠1=∠3=90°．故选D．7．（2014•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5解答：解：∠1的同位角是∠5，故选：D．8．如图，已知AB⊥MN于E，下列条件中不能得到CD⊥MN的是（）A．CD∥AB B．∠CFE=∠AEM C．∠CFE+∠AEF=180°D．∠CFE+∠CFN=180°解答：解：A、∵CD∥AB，AB⊥MN，∴CD⊥MN．B、∵∠CFE=∠AEM，∴CD∥AB（同位角相等，两直线平行）．∵AB⊥MN，∴CD⊥MN．C、∵∠CFE+∠AEF=180°，∴CD∥AB，（同旁内角互补两直线平行）∵AB⊥MN，∴CD⊥MN．D、∵∠CFE与∠CFN是邻补角，当然有∠CFE+∠CFN=180°，不能得到CD⊥MN．故选D．9．（2014•汕尾）如图，能判定EB∥AC的条件是（）A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE解答：解：A、∠C=∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；B、∠A=∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；C、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意；D、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．故选：D．10．（2009秋•翠屏区期末）已知如图，∠A=135°，∠B=45°，在下面的说法中，一定正确的是（）A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠C=135°，∠D=45°D．∠C=45°，∠D=135°解答解：∵∠A=135°，∠B=45°，∴∠A+∠B=135°+45°=180°，∴AD∥BC．故选：A．11．（2007春•西城区期末）下列命题中，错误的是（）A．对顶角的角平分线互为反向延长线B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行C．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补D．同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段叫做这两条平行线的距离解答：解：A、对顶角的角平分线成180°的角，它们互为反向延长，所以A选项的说法正确；B、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以B选项的说法正确；C、如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，所以C选项的说法正确；D、同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段长叫做这两条平行线的距离，所以D选项的说法错误．故选D．12．（2011秋•岳阳楼区校级期末）下列说法中正确的有（）①同位角相等．②凡直角都相等．③一个角的余角一定比它的补角小．④在直线、射线和线段中，直线最长．⑤两点之间的线段的长度就是这两点间的距离．⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角一定相等．A．0个B．1个C．2个D．3个解答：解：①只有两直线平行，同位角才相等，故本小题错误；②凡直角都相等，正确；③根据定义，一个角的余角比补角小90°，所以一个角的余角一定比它的补角小，正确；④在直线、射线和线段中，只有线段有长短，直线是向两方无限延伸的，没有长度，故本小题错误；⑤两点之间的线段的长度就是这两点间的距离，正确；⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故本小题错误；所以，正确的有②③⑤共3个．故选D．13．（2011春•灌南县校级期末）如图，下列推理正确的是（）A．∵MA∥NB，∴∠1=∠3B．∵∠2=∠4，∴MC∥ND C．∵∠1=∠3，∴MA∥NB D．∵MC∥ND，∴∠1=∠3解答：解：A、由MA∥NB，能够得到∠1+∠2=∠3+∠4（两直线平行，同位角相等），若∠1，∠2的大小不确定，则不能判定∠1=∠3；故A错误．B、因为∠2=∠4，则MC∥ND（同位角相等，两直线平行）；故B正确．C、由∠1=∠3，不能判定MA∥NB，因为∠1、∠3不是NB、MA两直线截得的同位角；故C错误．D、由MC∥ND，可得∠2=∠4，而不能得到∠1=∠3；故D错误．故选B．14．（2012春•金台区期末）如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠EBC=∠BCF，则∠ABE与∠FCD的关系是（）A．同位角且相等B．不是同位角但相等C．是同位角但不相等D．不是同位角也不相等解答：解：∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC=∠DCB=90°，∵∠EBC=∠BCF，∴∠ABE=∠FCD．故选：B．15．（2013春•下城区期末）如图，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）A．6个B．5个C．4个D．3个解答：解：如图，∵EG∥DB，∴∠1=∠2，∠1=∠3，∵AB∥EF∥DC，∴∠2=∠4，∠3=∠5=∠6，∴与∠1相等的角有∠2、∠3、∠4、∠5、∠6共5个．故选B．16．（2015•河北一模）如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面积为5，则△ABD的面积为（）A．4B．5C．10D．无法判断解答：解：∵在五边形ABCDE中，AB∥DE，∴点E、点D到直线AB上的垂线段相等，即在△ABE与△ABD中，边AB上的高线相等，∴△ABE与△ABD是同底等高的两个三角形，S△ABE =S△ABD=5．故选：B．17．（2014•安顺）如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°解答：解：∵QR∥OB，∴∠AQR=∠AOB=40°，∠PQR+∠QPB=180°；∵∠AQR=∠PQO，∠AQR+∠PQO+∠RQP=180°（平角定义），∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°，∴∠QPB=180°﹣100°=80°．故选：B．18．（2014•龙岩）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（）A．40°B．50°C．70°D．80°解答：解：∵∠1=∠2，∠3=40°，∴∠1=×（180°﹣∠3）=×（180°﹣40°）=70°，∵a∥b，∴∠4=∠1=70°．故选：C．19．（2014•荆州）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是（）A．155°B．145°C．110°D．35°解答：解：如图，∵AB∥ED，∠ECF=70°，∴∠BAC=∠ECF=70°，∴∠FAB=180°﹣∠BAC=110°．又∵AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠BAC=35°，∴∠FAG=∠FAB+∠BAG=145°．故选：B．20．（2011秋•射洪县校级期末）如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中错误的是（）A．AB=CDB．CE=FGC．A、B两点间距离就是线段AB的长度D．l1与l2两平行线间的距离就是线段CD的长度解答：解：A、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AB=CD，故本选项正确；B、∵l1∥l2，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，∴边形CEGF是平行四边形，∴CE=FG，故本选项正确；C、∵AB是线段，∴A、B两点间距离就是线段AB的长度，故本选项正确；D、∵CE⊥l2于点E，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项错误．故选D．21．（2009春•常州期末）如图，∠1=120°，∠2=60°，∠3=65°，则∠4等于（）A．40°B．50°C．65°D．115°解答：解：∵∠1=120°，∠2=60°，120°+60°=180°，∴这两个角所在的两条直线平行，∴∠4=∠3=65°．故本题选C．22．（2009秋•长春校级期末）如图，已知∠1=∠2，∠3=60°，则∠4=（）A．80°B．70°C．60°D．50°解答：解：∵∠1=∠2，2=∠5（对顶角相等）∴∠1=∠5，∴a∥b，（内错角相等，两直线平行）∴∠4=∠3=60°，故选C．23．（2014春•乳山市期末）如图，AC⊥CD于C，ED⊥CD于D，AB∥EF，∠CAE=25°，∠BAE=10°，则∠DEF=（）A．30°B．35°C．40°D．45°解答：解：∵AC⊥CD，ED⊥CD，∴∠C=∠D=90°，∴AC∥DE，∴∠CAE=∠DEF=25°，∵AB∥EF，∠BAE=10°，∴∠BAE=∠CEF=10°，∴∠DEF=∠DEA+∠CEA=25°+10°=35°，故选B．24．（2013春•下城区期末）如图，∠1=100°，∠2=100°，且∠3：∠1=6：5，则∠4的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°解答：解：∵∠1=100°，∠3：∠1=6：5，∴∠3=120°．∵∠1=100°，∠2=100°，即∠1=∠2，∴a∥b，∴∠4=∠3=120°．故选C．25．（2005春•武昌区期末）如图，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，则∠3为（）A．45°B．60°C．65°D．70°解答：解：∵∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∴∠1+∠3=90°，∠2+（90°﹣∠3）=180°，∴∠1+∠2=180°，∴l1∥l2，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4=115°，∴∠3=180°﹣115°=65°．故选C．26．（2014春•苏州期末）如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，∠E=50°，则∠F=（）A．40°B．50°C．60°D．70°解答：解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠EBC=∠BCF，∴EB∥CF，∴∠F=∠E=50°．故选B．27．（2008秋•江苏校级期末）如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，则图中与∠DFM 相等的角（不含它本身）的个数为（）A．5B．6C．7D．8解答：解：∵FM平分∠EFD，∴∠EFM=∠DFM=∠CFE，∵EG平分∠AEF，∴∠AEG=∠GEF=∠AEF，∵EM平分∠BEF，∴∠BEM=∠FEM=∠BEF，∴∠GEF+∠FEM=（∠AEF+∠BEF）=90°，即∠GEM=90°，∠FEM+∠EFM=（∠BEF+∠CFE），∵AB∥CD，∴∠EGF=∠AEG，∠CFE=∠AEF∴∠FEM+∠EFM=（∠BEF+∠CFE）=（BEF+∠AEF）=90°，∴在△EMF中，∠EMF=90°，∴∠GEM=∠EMF，∴EG∥FM，∴与∠DFM相等的角有：∠EFM、∠GEF、∠EGF、∠AEG以及∠GEF、∠EGF、∠AEG三个角的对顶角．故选C．28．（2008春•江岸区期末）如图，AB∥CD，∠D=∠E，∠B=110°，则∠D为（）A．70°B．60°C．55°D．45°解答：解：∵AB∥CD，∴∠BFD=∠B=110°．又∵∠D=∠E，∴∠D=110°÷2=55°．故选C29．（2014春•宜宾校级期末）如图，矩形纸片ABCD中，沿折痕EF折叠，得∠EFG=40°，∠AEG的度数为（）A．98°B．99°C．100°D．101°解答：解：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=40°由对称性可知∠GEF=∠DEF=40°．∴∠AEG=180°﹣∠GEF﹣∠DEF=100°．故选C．30．如图所示，AD∥BC，∠BCD=50°，∠B=80°，CA平分∠BCD，则∠CAD与∠BAC的度数分别为（）A．25°，75°B．75°，25°C．20°，50°D．25°，65°解答：解：∵∠BCD=50°，CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠BCD=25°，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠BCA=25°；∵∠B=80°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠BCA=75°．故选：A．31．如图，已知AB∥CD，直线EF交AB于E，交CD于F，∠1=∠2，则下列判断不正确的是（）A．FN∥EM B．∠MEB=∠NFC C．∠1+∠AEF=180°D．∠AEM=∠DFN解答：解：A、由∠1=∠2可得FN∥EM；故结论正确；B、由AB∥CD可得∠BED=∠CFE，由A证得的结论可推得：∠MEB=∠NFC；故结论正确；C、由AB∥CD可得∠AEF+∠CFE=180°，故原结论错误；D、由AB∥CD可得∠AEF=∠DFE，由A证得的结论可推得：∠AEM=∠DFC；故结论正确．故选C．32．（2006春•襄城区期末）如图，AB∥CD，OE平分∠AOC，OE⊥OF，∠C=60°，则∠BOF的度数为（）A．15°B．30°C．60°D．90°解答：解：∵AB∥CD，∠C=60°，∴∠BOC=∠C=60°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°，∵OE平分∠AOC，∴∠BOC=∠AOC=×120°=60°，∵OE⊥OF，∴∠COF=90°﹣60°=30°，∴∠BOF=∠BOC﹣∠COF=60°﹣30°=30°．故选B．33．（2013•台湾）附图中直线L、N分别截过∠A的两边，且L∥N．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，何者正确？（）A．∠2+∠5＞180°B．∠2+∠3＜180°C．∠1+∠6＞180°D．∠3+∠4＜180°解答：解：根据三角形的外角性质，∠3=∠1+∠A，∵∠1+∠2=180°，∴∠2+∠3=∠2+∠1+∠A＞180°，故B选项错误；∵L∥N，∴∠3=∠5，∴∠2+∠5=∠2+∠1+∠A＞180°，故A选项正确；C、∵∠6=180°﹣∠5，∴∠1+∠6=∠3﹣∠A+180°﹣∠5=180°﹣∠A＜180°，故本选项错误；D、∵L∥N，∴∠3+∠4=180°，故本选项错误．故选A．34．（2014春•招远市期末）如图，直线l1，l2分别截射线AB，AC，若l1∥l2，则下列各角度数关系正确的是（）A．∠5+∠1=180°B．∠4+∠2＞180°C．∠6+∠3＜180°D．∠4+∠6＜180°解答：解：∵l1∥l2，∠3=∠1，∴∠2=∠6，∠3+∠6=180°，即∠1+∠6=180°，选项C错误；而AB与AC不平行，故∠5≠∠6，即∠5+∠1≠180°，选项A错误；∠4+∠6≠180°，即∠4+∠2＞180°，选项B正确，选项D错误；故选B35．（2009春•成华区期末）如图，已知AB∥EF，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．270°B．360°C．450°D．540°解答：解：如图，分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，则∠B+∠BCG=180°，∠GCD+∠HDC=180°，∠HDE+∠DEF=180°，∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF=180°×3=540°，∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°．故选D．36．（2011春•抚州校级期末）如图，AB∥CD，∠BED=110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD=（）A．110°B．115°C．125°D．130°解答：解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，∵∠BED=110°，∴∠ABE+∠CDE=250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）=125°，∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．故选C．37．（2013春•太仓市期末）如图，已知AB∥CD，则∠a、∠B和∠y之间的关系为（）A．α+β﹣γ=180°B．α+γ=βC．α+β+γ=360°D．α+β﹣2γ=180°解答：解：过点E作EF∥AB∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD．∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）∵∠β=∠AEF+∠FED又∵∠γ=∠EDC（已知）∴∠α+∠β﹣∠γ=180°．故选A．38．（2013秋•永州期末）如图，AB∥CD，用含α，β，γ的式子表示θ，则θ=（）A．180°+α+β﹣γB．180°+γ﹣α﹣βC．β+γ﹣αD．α+γ﹣β解答：解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠AEM=α，∠CFN=β，∠FEM+∠EFN=180°，∴∠EFN=γ﹣β，∴∠FEM=180°﹣∠EFN=180°﹣γ+β，∴θ=∠AEM+∠FEM=α+（180°﹣γ+β）=180°+α+β﹣γ．故选A．39．（2014•鄂州）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°解答：解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选：A．40．（2014•长沙二模）如图，AB∥EF，BC⊥CD于C，∠ABC=30°，∠DEF=45°，则∠CDE等于（）A．105°B．75°C．135°D．115°解答：解：作CM∥AB，DN∥AB，由AB∥EF，得到AB∥CM∥DN∥EF，∴∠ABC=∠BCM=30°，∠DEF=∠GDE=45°，∠MCD=∠CDG，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠MCD=∠CDG=60°，∴∠CDE=∠CDG+∠GDE=105°．故选A41．（2014春•武昌区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E=360°B．∠A+∠D=∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E=180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A=90°解答：解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，则∠A=∠ACG，∠EDH=180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH=∠DCG，∴∠C=∠ACG+∠CDH=∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E=180°．故选C．42．（2013秋•招远市期末）如图，AB∥EF∥CD，连接BD，ED，则下列等式中正确的是（）A．∠1﹣∠2+∠3=180°B．∠1+∠2﹣∠3=180°C．∠2+∠3﹣∠1=180°D．∠1+∠2+∠3=180°解答：解：如图，延长CD，∵EF∥CD，∴∠4=180°﹣∠3，∵AB∥CD，∴∠1=∠2+∠4，∴∠1=∠2+180°﹣∠3，整理得，∠1﹣∠2+∠3=180°．故选A．43．（2013春•石景山区期末）如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，若∠1=155°，则∠BEF的度数为（）A．50°B．12.5°C．25°D．15°解答：解：∵∠AFE=180°﹣∠1=180°﹣155°=25°，又∵EF∥AC，∴∠CAF=∠AFE=25°，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠CAF=50°，∵EF∥AC，∴∠BEF=∠BAC=50°．故选A．44．（2014春•招远市期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A=110°，第二次拐的角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数为（）A．120°B．130°C．140°D．150°解答：解：延长FC，AB，交于点E，如图所示，∵AD∥CE，∴∠A=∠E=110°，∵∠ABC为△BCE的外角，∴∠BCE=∠ABC﹣∠E=40°，∴∠BCF=140°．故选C45．（2014春•海淀区期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，EG⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．下列说法正确的是（）①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S△AFG=S△GFC；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGF=50°．A．①③④B．②③C．①②③D．①②③④解答：解：①中，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，∴∠GAC+∠GCA=∠BAC+∠ACD=×180°=90°，∵∠GAC+∠GCA+AGC=∠180°，∴AG⊥CG；②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE；③中，根据三角形的面积公式，∵AF=CF，∴S△AFG =S△CFG；④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180°．又∵∠EGH：∠ECH=2：7，∴∠EGH=180°×=40°，∠ECH=180°×=140°．∵CG平分∠ECH，∴∠FCG=∠ECH=70°，根据直角三角形的两个锐角互余，得∠EGC=20°．∵FG=FC，∴∠FGC=∠FCG=70°，∴∠EGF=50°．故上述四个都是正确的．故选D．二．填空题（共45小题）46．（2014春•新泰市期末）如图，已知直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE．则∠BOD=15°．解答：解：∵OA⊥OB，∠BOE=2∠AOE．∴∠AOE=30°，∴∠AOF=180°﹣∠AOE=180°﹣30°=150°，∵OC平分∠AOF，∴∠AOC=75°，∴∠BOD=180°﹣∠BOA﹣∠AOC=180°﹣90°﹣75°=15°故答案为：15°．47．（2013春•黄山期末）如图，已知直线AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE= 25°．解答：解：∵OG⊥AD，∴∠GOD=90°，∵∠EOF=∠BOC=35°，又∵∠FOG=30°，∴∠DOE=∠GOD﹣∠EOF﹣∠GOF=90°﹣35°﹣30°=25°，故答案为：25°．48．（2013秋•昌平区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=60°，∠1=2∠2，则∠2=20°，∠AOE= 140°．解答：解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=60°，∵∠1=2∠2，∠1+∠2=60°，∴∠2=20°；∵∠AOC+∠BOD=180°，∴∠BOD=180°﹣∠AOC=120°，∵∠AOE=∠AOD+∠EOD=120°+20°=140°，故答案为：20，140．49．（2014春•霸州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC= 52度，∠COB=128度．解答：解：∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，又∠EOD=38°，∴∠DOB=90°﹣38°=52°，∵∠AOC=∠DOB，∴∠AOC=52°，∵∠COB与∠AOC互补，∴∠COB=180°﹣52°=128°．故答案为：52；128．50．（2013•河北模拟）如图，直线AB与直线CD相交于点O，射线OP平分∠AOD，若∠BOC=130°，则∠COP 的度数为115°．解答：解：∵∠BOC=130°，∴∠AOD=∠BOC=130°，∵OP平分∠AOD，∴∠POD=∠AOD=×130°=65°，∴∠COP=180°﹣∠POD=180°﹣65°=115°．故答案为：115°．51．（2010秋•江阴市期末）已知直线AB和CD相交于O点，OE⊥AB，∠1=55°，则∠BOD=35度；若OF平分∠DOB，则∠EOF的度数是107.5度．解答：解：∵OE⊥AB，∠1=55°，∴∠AOC=90°﹣∠1=90°﹣55°=35°，又∵∠BOD=∠AOC，∴∠BOD=35°；∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，又∵OF平分∠DOB，∴∠BOF=∠DOB=×35°=17.5°，∠EOF=∠EOB+∠BOF=90°+17.5°=107.5°．故答案分别为：35°；107.5°．52．（2011秋•大兴区期末）如图，三条直线相交于一点，按从小到大的顺序排列∠1，∠2，∠3为∠1＜∠3＜∠2．解答：解：根据图形，∠1=180°﹣60°﹣70°=180°﹣130°=50°，根据对顶角相等，∠2=70°，∠3=60°，所以∠1＜∠3＜∠2．故答案为：∠1＜∠3＜∠2．53．（2014春•武昌区期末）如图，已知∠α与∠β共顶点O，∠α+∠β＜180°，∠α=∠β．若∠β的邻补角等于∠α，则∠β=120度．解答：解：设∠α=x，则∠β=3x，根据题意得：解得：，解得：x=40°，∴∠β=3x=120°，故答案为：120．54．（2011•平塘县校级模拟）如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是垂线段最短．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．55．看图填空：（1）∠1和∠4是邻补角；（2）∠1和∠3是对顶角；（3）∠2和∠D是内错角；（4）∠3和∠D是同旁内角；（5）∠4和∠D是同位角；（6）∠4和∠B是同位角．解答：解：（1）∠1和∠4是邻补角，故答案为：邻补；（2）∠1和∠3是对顶角，故答案为：对顶；（3）∠2和∠D是内错角，故答案为：内错；（4）∠3和∠D是同旁内角，故答案为：同旁内；（5）∠4和∠D是同位角，故答案为：同位；（6）∠4和∠B是同位角，故答案为：同位．56．如图所示，AB与BC被AD所截得的内错角是∠1与∠3；；DE与AC被AD所截得的内错角是∠2与∠4；∠1与∠4是直线AE、ED被直线AD截得的角，图中同位角有6对．解答：解：，AB与BC被AD所截得的内错角是∠1与∠3；DE与AC被AD所截得的内错角是∠2与∠4；∠1与∠4是直线AE、ED被直线AD截得的角，图中同位角有4对，故答案为：∠1与∠3，∠2与∠4，AE、ED，AD，6．57．（2011秋•岳阳楼区校级期末）如图所示，其中共有4对对顶角．解答：解：如图，在顶点H处有2对对顶角，在顶点C处有2对对顶角，所以，共有2+2=4对对顶角．故答案为：4．58．（2014春•富顺县校级期末）如图所示，同位角一共有6对，内错角一共有4对，同旁内角一共有有4对．解答：解：同位角一共有6对，分别是∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；内错角一共有4对，分别是∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；同旁内角一共有4对，分别是∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9．故答案为：6，4，4．59．（2004秋•奉贤区期末）如图：a∥b，图中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7中同位角有3对．解答：解：观察图形可知：∠1的同位角是∠4，∠3的同位角是，5，∠7的同位角是∠6，∴图中同位角有3个．故答案为：3．60．如图，DH∥EO∥BC，EF∥CD，则与∠BFE相等的角，不包括∠BFE有5个．。

数学数学第五章相交线与平行线的专项培优易错试卷练习题附解析

数学数学第五章相交线与平行线的专项培优易错试卷练习题附解析一、选择题1．如图，∠1＝20º，AO ⊥CO ，点B 、O 、D 在同一条直线上，则∠2的度数为（）A ．70ºB ．20ºC ．110ºD ．160º2．①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( )A ．、1个B ．2个C ．3个D ．4个3．将一副三角板按如图放置，则下列结论①13∠=∠；②如果230∠=，则有//AC DE ；③如果245∠=，则有//BC AD ；④如果4C ∠=∠，必有230∠=，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．③④D ．①②③④4．下列说法：①两点确定一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④由两条射线组成的图形叫做角；⑤若AB ＝BC ，则点B 是线段AC 的中点．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题中，假命题的个数为（）（1）“是任意实数，”是必然事件；（2）抛物线的对称轴是直线；（3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为；（4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生；（5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票一定有1张会中奖；（6）函数与轴必有两个交点．A ．2B ．3C ．4D ．56．已知两个角的两边两两互相平行，则这两个角的关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．相等且互补7．已知：点A ，B ，C 在同一条直线上，点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，如果AB =10cm ，AC =8cm ，那么线段MN 的长度为（）A ．6cmB ．9cmC ．3cm 或6cmD ．1cm 或9cm8．下列图中的“笑脸”，由如图平移得到的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，△ABC 经平移得到△EFB ，则下列说法正确的有（）①线段AC 的对应线段是线段EB ；②点C 的对应点是点B ；③AC ∥EB ；④平移的距离等于线段BF 的长度．A ．1B ．2C ．3D ．410．下列命题中，是真命题的是（）A ．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行B ．相等的角是对顶角C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行二、填空题11．如图，已知AB 、CD 相交于点O,OE ⊥AB 于O ，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；12．如图，//AB CD ，FN AB ⊥，垂足为点O ，EF 与CD 交于点G ，若130∠=︒，则2∠=______．13．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少40°，则∠α的度数为_______．14．如图，请你添加一个条件．．．．使得AD ∥BC ，所添的条件是__________．15．如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，28HG cm =，5MG cm =，4MC cm =，则阴影部分的面积是___16．如果一张长方形的纸条，如图所示折叠，那么∠α等于____．17．如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为_____．18．如图所示，AB ∥CD ，EC ⊥CD ．若∠BEC ＝30°，则∠ABE 的度数为_____．19．如图，直线////a b c ，直角三角板的直角顶点落在直线b 上，若135∠=︒，则2∠等于_______．20．如图，直角△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．三、解答题21．已知AB ∥CD(1)如图1，求证：∠ABE ＋∠DCE －∠BEC ＝180°(2)如图2，∠DCE 的平分线CG 的反向延长线交∠ABE 的平分线BF 于F①若BF ∥CE ，∠BEC ＝26°，求∠BFC②若∠BFC －∠BEC ＝74°，则∠BEC ＝________°22．问题情境（1）如图①，已知360B E D ∠+∠+∠=︒，试探究直线AB 与CD 有怎样的位置关系？并说明理由．小明给出下面正确的解法：直线AB 与CD 的位置关系是//AB CD ．理由如下：过点E 作//EF AB （如图②所示）所以180B BEF ∠+∠=︒（依据1）因为360B BED D ∠+∠+∠=︒（已知）所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=︒所以180FED D ∠+∠=︒所以//EF CD （依据2）因为//EF AB所以//AB CD （依据3）交流反思上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？“依据1”：________________________________；“依据2”：________________________________；“依据3”：________________________________．类比探究（2）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件________时，有//AB CD ．拓展延伸（3）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件_________时，有//AB CD ．23．如图1，直线AB 与直线OC 交于点O ，()090BOC αα∠=︒<<．小明将一个含30的直角三角板PQD 如图1所示放置，使顶点P 落在直线AB 上，过点Q 作直线MN AB 交直线OC 于点H (点H 在Q 左侧)．（1）若PD OC ∥，45NQD ∠=︒，则α=__________︒．（2）若PQH ∠的角平分线交直线AB 于点E ，如图2．①当QE OC ∥，60α=︒时，求证：OC PD ．②小明将三角板保持PD OC ∥并向左平移，运动过程中，PEQ ∠=__________．(用α表示)．24．AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点．（1）如图1，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；（2）如图2，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，点E 在射线BA 上，过点E 作EF ∥PC ，作∠PEG ＝∠PEF ，点G 在直线CD 上，作∠BEG 的平分线EH 交PC 于点H ，若∠APC ＝30°，∠PAB ＝140°，求∠PEH 的度数．25．直线AB ∥CD ，点M ，N 分别在直线AB ，CD 上，点E 为平面内一点．(1)如图①，探究∠AME ，∠MEN ，∠ENC 的数量关系，并说明理由；(2)如图②，∠AME =30°，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠ENC ，EQ ∥NP ，求∠FEQ 的度数；（3）如图③，点G 为CD 上一点，∠AMN =m ∠EMN ，∠GEK =m ∠GEM ，EH ∥MN 交AB 于点H ，直接写出∠GEK ，∠BMN ，∠GEH 之间的数量关系(用含m 的式子表示)．26．将一副三角板中的两个直角顶点C 叠放在一起（如图①），其中30A ∠=︒，60B ∠=︒，45D E ∠=∠=︒.（1）猜想BCD ∠与ACE ∠的数量关系，并说明理由；（2）若3BCD ACE ∠=∠，求BCD ∠的度数；等于多少度时（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究BCDCE AB，并简要说明理由.//【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由AO⊥CO和∠1＝20º求得∠BOC＝70º，再由邻补角的定义求得∠2的度数．【详解】∵AO⊥CO和∠1＝20º，∴∠BOC＝90 º-20 º＝70º，又∵∠2+∠BOC＝180 º（邻补角互补），∴∠2＝110º．故选：C．【点睛】考查了邻补角和垂直的定义，解题关键是利用角的度数之间的和差的关系求未知的角的度数．2．C解析：C【详解】①如图1，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；③如图3，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故选C.3．D解析：D【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据230∠=求出∠1与∠E 的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B 的度数大小即可判断③；利用4C ∠=∠求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.【详解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90︒，∴∠1=∠3，故①正确；∵230∠=，∴190260∠=-∠=∠E=60︒，∴∠1=∠E ，∴AC ∥DE ，故②正确；∵245∠=，∴345∠=，∵45B ∠=,∴∠3=∠B,∴//BC AD ,故③正确；∵4C ∠=∠45=，∴∠CFE=∠C 45=，∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，∴∠1=∠E=60,∴∠2=90︒-∠1=30，故④正确，故选：D.【点睛】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.4．B解析：B【解析】分析：根据直线公理对①进行判断；根据两点之间的距离的定义对②进行判断；根据线段公理对③进行判断；根据角的定义对④进行判断；根据线段的中点的定义对⑤进行判断．详解：根据直线公理：两点确定一条直线，所以①正确；连接两点的线段的长度叫做两点的距离，所以②错误；两点之间，线段最短，所以③正确；有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以④错误；若AB=BC，且B点在AB上，则点B是AC的中点，所以⑤错误．故选B．点睛：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．5．C解析：C【解析】试题解析：（1）“a是任意实数，|a|-5＞0”是不确定事件，是假命题；（2）抛物线y=（2x+1）2的对称轴是直线x=-，是假命题；（3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为，是假命题；（4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生，是真命题；（5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票中奖的可能性很大，但不是一定中奖，是假命题；（6）函数y=-9（x+2014）2+与x轴必有两个交点，是真命题，则假命题的个数是4；故选C．考点：命题与定理．6．C解析：C【解析】分类讨论：两个角的两边方向是否相同.若相同，则相等；否则互补.故选C. 7．D解析：D【解析】试题分析：有两种情况：①点C在AB上，②点C在AB的延长线上，这两种情况根据线段的中点的性质，可得BM、BN的长，再利用线段的和、差即可得出答案．解：（1）点C在线段AB上，如：点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，MB=12AB=5，BN=12CB=4，MN=BM-BN=5-4=1cm；（2）点C在线段AB的延长线上，如：点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，MB=12AB=5，BN=12CB=4，MN=MB+BN=5+4=9cm，故选D．点睛：本题考查了两点间的距离. 解题的关键在于要利用分类讨论思想结合线段中点的性质、线段的和差进行解答．8．D解析：D【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．【详解】解：A、B、C都是由旋转得到的，D是由平移得到的．故选：D．【点睛】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．9．D解析：D【分析】根据平移的特点分别判断各选项即可．【详解】∵△ABC经平移得到△EFB∴点A、B、C的对应点分别为E、F、B，②正确∴BE是AC的对应线段，①正确∴AC∥EB，③正确平移距离为对应点连线的长度，即BF的长度，④正确故选：D【点睛】本题考查平移的特点，注意，在平移过程中，一定要把握住对应点，仅对应点的连线之间才有平行、相等的一些关系．10．A解析：A【解析】分析：根据平行线的判定与性质，对顶角的性质，平行线的作图，逐一判断即可.详解：根据平行公理的推论，可知：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故正确；根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，故不正确；根据两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故不正确；根据平行公理，可知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确. 故选A.点睛：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟记公理的内容和特点，找到反例说明即可.二、填空题11．62【详解】∵，，∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.解析：62【详解】∵OE AB ⊥，28EOC ∠=，∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.12．120°【分析】过点F 作PT//AB ，则有PT//CD ，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.【详解】过点F 作PT//AB ，如图，∴∠OFP=∠N解析：120°【分析】过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.【详解】过点F作PT//AB，如图，∴∠OFP=∠NOA⊥∵FN AB∴∠NOA=90゜∴∠OFP=90゜∵AB//CD∴CD//PT∴∠DGF=∠GFP∵∠DGF=∠1=30゜∴∠GFP=30゜∴∠2=∠OFP+∠GFP=90゜+30゜=120゜故答案为：120゜【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等．13．或【分析】由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补，再由题意，其中一个角比另一个角的3倍少，可得出答案．【详解】解：设为x，则为，若两角互补，则，解得，；若两角相等，则，解得，．故答案解析：125︒或20︒【分析】由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补，再由题意，其中一个角比另一个角的3倍少40︒，可得出答案．【详解】解：设β∠为x ，则α∠为340x -︒，若两角互补，则340180x x +-︒=︒，解得55x =︒，125α∠=︒；若两角相等，则340x x =-︒，解得20x =︒，20α∠=︒．故答案为：125︒或20︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是注意若∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用．14．∠EAD＝∠B 或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B 时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAC＝∠C 时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAB+∠B解析：∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C【解析】当∠EAD ＝∠B 时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAC ＝∠C 时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC ，故答案是：∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C 或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.15．130cm2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD ，那么GH=CD ，BC=FG ，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD ，再根据梯形的面积计解析：130cm 2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH ≌梯形ABCD ，那么GH=CD ，BC=FG ，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD ，再根据梯形的面积计算公式计算即可．【详解】解：∵直角梯形EFGH 是由直角梯形ABCD 平移得到的，∴梯形EFGH ≌梯形ABCD ，∴GH=CD ，BC=FG ，∵梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，∴S 梯形ABCD -S 梯形EFMD =S 梯形EFGH -S 梯形EFMD ，∴S阴影=S梯形MGHD=12（DM+GH）•GM=12（28-4+28）×5=130（cm2）．故答案是130cm2．【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等．16．70°．【分析】依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCE=140°，由折叠可得：，∴∠解析：70°．【分析】依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCE=140°，由折叠可得：12DCF DCE ∠=∠，∴∠α=70°．故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．17．48°【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，∵AB∥CD，∠B＝75°解析：48°【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，∵AB∥CD，∠B＝75°，∴∠EFC＝∠B＝75°，又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．18．120°．【分析】先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．【详解】过点E作EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEC=90°，解析：120°．【分析】先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．【详解】过点E作EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEC =90°，所以∠GEB =90°﹣30°=60°，因为EG ∥AB ，所以∠ABE =180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．19．【分析】如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.【详解】如图所示，∵，，∴，∴∠4=90°−∠3=55°，∵，∴∠2解析：55︒【分析】如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.【详解】如图所示，∵//a b ，135∠=︒，∴335∠=︒，∴∠4=90°−∠3=55°，∵////a b c，∴∠2=∠4=55°.故答案为：55°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.20．12【解析】分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的解析：12【解析】分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．故答案为12．点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．三、解答题21．（1）详见解析；（2）①103°；②32°【分析】（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可求∠B=∠BEF，∠C+∠CEF=180°，进而可证明结论；（2）①易求∠ABE=52°，根据（1）的结论可求解∠DCE=154°，根据角平分线的定义可得∠DCG=77°，过点F作FN∥AB，结合平行线的性质利用∠BFC=∠BFN+∠NFC可求解；②根据平行线的性质即角平分线的定义可求解∠BFC=∠FCE=180°-∠ECG=180°-（90°12∠BEC）=90°+12∠BEC，结合已知条件∠BFC-∠BEC=74°可求解∠BEC的度数．【详解】（1）证明：如图1，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴DC∥EF，∴∠B=∠BEF，∠C+∠CEF=180°，∴∠C+∠B-∠BEC=180°，即：∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°；（2）解：①∵FB∥CE，∴∠FBE=∠BEC=26°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠FBE=52°，由（1）得：∠DCE=180°-∠ABE+∠BEC=180°-52°+26°=154°，∵CG平分∠ECD，∴∠DCG=77°，过点F作FN∥AB，如图2，∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠BFN=∠ABF=26°，∠NFC=∠DCG=77°，∴∠BFC=∠BFN+∠NFC=103°；②∵BF∥CE，∴∠BFC=∠ECF，∠FBE=∠BEC，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠FBE=2∠BEC，由（1）知：∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°，∴2∠BEC+∠DCE-∠BEC=180°，∴∠DCE=180°-∠BEC，∵CG平分∠DCE，∴∠ECG=12∠DCE=12（180°-∠BEC）=90°-12∠BEC，∴∠BFC=∠FCE=180°-∠ECG=180°-（90°-12∠BEC）=90°+12∠BEC，∵∠BFC-∠BEC=74°，∴∠BFC=74°+∠BEC，即74°+∠BEC=90°+12∠BEC，解得∠BEC=32°．故答案为：32°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．22．（1）两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）∠B＋∠E＋∠F＋∠D＝540°；（3）∠B ＋∠E＋∠D－∠F＝180°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定，平行公理的推论回答即可；（2）过点E、F分别作GE∥HF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补及已知条件求得同旁内角∠ABE＋∠BEG＝180°，得到AB∥GE，再根据平行线的传递性来证得AB∥CD；（3）过点E、F分别作ME∥FN∥CD，根据两直线平行，内错角相等及已知条件求得同旁内角∠B＋∠BEM＝180°，得到AB∥ME，再根据平行线的传递性来证得AB∥CD．【详解】解：（1）由题意可知：“依据1”：两直线平行，同旁内角互补；“依据2”：同旁内角互补，两直线平行；“依据3”：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B＋∠E＋∠F＋∠D＝540°时，有AB∥CD．理由：如图，过点E、F分别作GE∥HF∥CD，则∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFD＋∠CDF＝180°，∴∠GEF＋∠EFD＋∠FDC＝360°；又∵∠B＋∠BEF＋∠EFD＋∠D＝540°，∴∠ABE＋∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD；（3）当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B＋∠E＋∠D－∠F＝180°时，有AB∥CD．如图，过点E、F分别作ME∥FN∥CD，则∠MEF＝EFN，∠D＝∠DFN，∵∠B＋∠BEF＋∠D－∠EFD＝180°，∴∠B＋∠BEM＋∠MEF＋∠D－∠EFN－∠DFN＝180°，∴∠B＋∠BEM＝180°，∴AB∥ME，∴AB∥CD．【点睛】本题考查平行线的判定和性质的综合应用，作出合适的辅助线，灵活运用平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．23．（1）45；（2）①详见解析；②302α︒+或602α︒-；【分析】（1）根据平行线性质可得180********BPD ∠=︒-︒-︒-︒=︒，再根据平行线性质得BOC BPD ∠=∠；（2）①根据平行线性质得160BOC ∠=∠=︒，2160∠=∠=︒，结合角平分线定义可证180DQE PDQ ∠+∠=︒，得PD QE ∥，根据平行线传递性可再证PD OC ∥； ②分两种情况分析：当Q 在H 的右侧时，根据平行线性质可得∠BPD=∠BOC=α，∠MQP=∠QPB=60°+α，根据角平分线性质∠MQE=12（60°+α），故∠PEQ=∠MQE ；当Q 在H 的右侧时，与上面同理，∠NQE=12（180°-60°-α），∠PEQ=∠NQE ．【详解】（1）由45NQD ∠=︒，MNAB ,可得180********BPD ∠=︒-︒-︒-︒=︒，而PD OC ∥，则有BOC BPD ∠=∠．故45BPD α=∠=︒ （2）∵QE OC ∥，60BOC α∠==︒，∴160BOC ∠=∠=︒，又∵MN AB ，∴2160∠=∠=︒，又∵QE 平分PQH ∠，∴3260∠=∠=︒，又∵430∠=︒，∴4390DQE ∠=∠+∠=︒，且90PDQ ∠=︒，∴180DQE PDQ ∠+∠=︒，∴PD QE ∥，∵QE OC ∥，∴PD OC ∥．②当Q 在H 的右侧时，∵PD ∥OC∴∠BPD=∠BOC=α∵MN ∥AB∴∠MQP=∠QPB=60°+α又∵QE 平分∠MQP∴∠MQE=12（60°+α）=30°+12α ∴∠PEQ=∠MQE=30°+12α 当Q 在H 的左侧时∵PD ∥OC∴∠BPD=∠BOC=α∵MN ∥AB∴∠NQP=180°-60°-α又∵QE 平分∠NQP∠NQE=12（180°-60°-α）=60°-12α ∴∠PEQ=∠NQE=60°-12α∴302PEQ α∠=︒+或602α︒-．【点睛】考核知识点：平移、平行线判定和性质综合运用．熟练运用平行线性质和判定，分类讨论问题是关键．24．（1）∠A +∠C +∠APC ＝360°，证明详见解析；（2）∠APC ＝∠A −∠C ，证明详见解析；（3）55°．【分析】（1）首先过点P 作PQ ∥AB ，结合题意得出AB ∥PQ ∥CD ，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC ＝360°；（2）作PQ ∥AB ，结合题意得出AB ∥PQ ∥CD ，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC ＝∠A −∠C ；（3）由（2）知，∠APC ＝∠PAB −∠PCD ，先利用平行线性质得出∠BEF ＝∠PQB ＝110°，然后进一步得出∠PEG ＝12∠FEG ，∠GEH ＝12∠BEG ，最后根据∠PEH ＝∠PEG −∠GEH 即可得出答案．【详解】（1）∠A+∠C+∠APC ＝360°，证明如下：如图1所示，过点P 作PQ ∥AB ，∴∠A+∠APQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：如图2所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，∴∠APC＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝110°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝110°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝12∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝12∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH＝12∠FEG−12∠BEG＝12∠BEF＝55°．【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.25．（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，见解析；（2）∠FEQ=15°；（3）∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．【分析】（1）过点E作l∥AB，利用平行线的性质可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代换可得结论；（2）利用角平分线的性质可得∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN=∠ENP=12∠ENC，由（1）的结论可得∠MEN=∠AME+∠ENC，等量代换得出结论；（3）由已知可得∠EMN=1m∠BMN，∠GEN=1m∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM=∠ENM=1m∠AMN，因为∠GEH=∠GEM-∠HEM，等量代换得出结论．【详解】解：(1)过点E作l∥AB，∵AB∥CD，∴l∥AB∥CD∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE．∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠MEN=∠AME+∠ENC；（2）∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，∴∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠ENC．∵EQ∥NP，∴∠QEN=∠ENP=12∠ENC．由（1）可得∠MEN =∠AME +∠ENC ，∴∠MEN -∠ENC =∠AME =30°．∴∠FEQ =∠NEF -∠NEQ =12（∠MEN -∠ENC ）=12×30°=15°； (3)∠BMN +∠GEK -m ∠GEH =180°．理由如下：∵∠AMN =m ∠EMN ，∠GEK =m ∠GEM ， ∴∠EMN =1m ∠AMN ，∠GEM =1m∠GEK ． ∵EH ∥MN ，∴∠HEM =∠EMN =1m ∠AMN ． ∵∠GEH =∠GEM -∠HEM =1m ∠GEK -1m∠AMN ， ∴m ∠GEH =∠GEK -∠AMN ．∵∠BMN +∠AMN =180°，∴∠BMN +∠GEK -m ∠GEH =180°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理以及角平分线的定义等知识点，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．26．（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由详见解析；（2）135°；（3）BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD ，即可得到∠BCD+∠ACE 的度数；（2）设∠ACE=α，则∠BCD=3α，依据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠BCD 的度数；（3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当∠BCD 等于150°或30°时，CE//4B.【详解】解：（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由如下：90BCD ACB ACD ACD ∠=∠+∠=︒+∠，∴90BCD ACE ACD ACE ∠+∠=︒+∠+∠9090180=︒+︒=︒；（2）如图①，设ACE α∠=，则3BCD α∠=，由（1）可得180BCD ACE ∠+∠=︒，∴3180αα+=︒，∴45α=，∴3135BCD α∠==︒；（3）分两种情况：①如图1所示，当//AB CE 时，180120BCE B ∠=︒-∠=︒，又90DCE ∠=︒，∴36012090150BCD ∠=︒-︒-︒=︒；②如图2所示，当//AB CE 时，60BCE B ∠=∠=︒，又90DCE ∠=︒，∴906030BCD ∠=︒-︒=︒.综上所述，BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.。

相交线与平行线难题汇编附答案解析

相交线与平行线难题汇编附答案解析一、选择题1.如图，直线 AD II BC , C 30 ,()【答案】B 【解析】【分析】根据平行线的判定得出 AC// DE ,根据垂直定义得出/ ACB=/ CDB=/ CDA=90，再根据三角形内角和定理求出即可. 【详解】37.5 C. 45 °D . 40ADB : BDC1:3，贝y DBC 的度数是【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可得出ADC 180 30 150，再结合ADB : BDC可得出答案. 【详解】解：••• AD//BC ,••• ADC 1: 3即可得出 C 30ADB : ADBADB 的度数，最后，根据两直线平行，内错角相等即180 BDC 15030 1501: 3 —37.5 1 3ADB 37.5••• DBC故选：B . 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质,难度不大，熟记平行线性质的内容是解此题的关键.2.如图，已知 ABC ，若AC② A 3 ；③3 EDB ;④2与 3互补；⑤BC , CD AB ,1 2，下列结论：①AC//DE ;B ，其中正确的有()A . 2个【答案】C 【解析】 B . 3个 C. 4个 D . 5个3•/ 1 = / 2,•AC// DE,故①正确；AC丄BC, CD丄AB,•/ ACB=/ CDB=90 ,•/ A+/ B=90° , / 3+/ B=90°,•/ A=/ 3，故②正确；-AC // DE, AC丄BC, ••• DEX BC,•••/ DEC=/ CDB=90 ,•••/ 3+/ 2=90° (/ 2 和/ 3 互余)，/ 2+/ EDB=90 ,•••/ 3=/ EDB,故③ 正确，④ 错误；•/ AC丄BC, CD丄AB,•••/ ACB=/ CDA=90 ,•••/ A+/ B=90°，/ 1 + / A=90° ,•••/ 1 = / B,故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C.【点睛】此题考查平行线的判定和性质, 理是解题的关键.三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推AB // CD的条件有几个（（3）)(4) B BCD 180 .C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定逐一判定即可【详解】因为因为因为因为所以共有2，所有AD/ BC,故（1）错误.4，所以AB // CD，故（2）正确.5，所以AB // CD，故（3）正确.BCD 180，所以AB // CD，故（4）正确. 3个正确条件.3.如图，下列能判定故选B 【点睛】本题考查的是平行线的判定，找准两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角、同旁内角、内错角是关键-4.女0图，已知 AB // DC, BF 平分/ ABE ,且BF// DE,则/ ABE 与/ CDE 的关系是（【解析】【分析】延长BF 与CD 相交于M ，根据两直线平行，同位角相等可得/行，内错角相等可得/ M=/ ABF ,从而求出/ CDE=/ ABF ,再根据角平分线的定义解答. 【详解】解：延长BF 与CD 相交于M , •/ BF // DE,•••/ M=/ CDE, -AB // CD,• / M=/ ABF , • / CDE=/ ABF ,BF 平分/ ABE,• / ABE=2 / ABF ,本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，作辅助线，是利用平行线的性质的关键，也是本题的难点.5.如图，AB // CD, AE 平分/ CAB 交 CD 于点 E ,若/ C=50° 则/ AED=()B ./ ABE = 3/ CDEC./ ABE =/ CDE+90【答案】AD ./ ABE+/ CDE= 180M=/CDE 再根据两直线平• / ABE=2 / CDE【答案】B【解析】试题分析：••• AB/ CD,.・./ C+/ CAB=180 ,v / C=5C °, /./ CAB=180 - 50°=130°,•/ AE 平分/ CAB,.../ EAB=65 , •/ AB / CD,；/ EAB+/ AED=180 , A / AED=180 - 65°=115°, 故选B .考点：平行线的性质.6.如图 AD // BC ,/ B =30o，DB 平分/ ADE ,则/ DEC 的度数为（）【解析】-AD // BC,• / ADB=/ DBC, DB 平分/ ADE • / ADB=/ ADE ,•••/ B=30°,•••/ ADB=/ BDE=30 , 贝U/ DEC=/ B+/ BDE=60 . 故选B .【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出/D ./ ABC+/ BCD = 180【答案】AAB // CD的是（7.如图，在下列四组条件中，不能判断 A . / 1 = / 2 B ./ 3=/4A . 65C. 125 D .130B . 60°C. 90° D . 120°ADB 的度数是解题关键.C./ ABD =/ BDCB . 115 【答案】BA . 30°【解析】【分析】根据各选项中各角的关系，利用平行线的判定定理，分别分析判断可. 【详解】A、■:厶B、T/ 1 = / 2,3=/ 4,ABD=/••• AD// BC （内错角相等，两直线平行），故••• AB/ CD （内错角相等，两直线平行），故BDC, ••• AB//CD（内错角相等，两直线平行）A不能判断；B能判断；，故C能判断；D能判断,C、T/D、T/ ABC+/ BCD= 180 ° •• AB / CD （同旁内角互补，两直线平行），故故选A.【点睛】本题考查了平行线的判定•掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键.BF 平分ABE，且BF P DE , 则ABE与D的关系是（）A. ABE 2 DB. ABE D 180C. ABE D 90【答案】A【解析】D. ABE【分析】延长DE交AB的延长线于G，根据两直线平行，直线平行，同位角相等可得G ABF，然后根据角平分线的定义解答.【详解】证明：如图，延长DE交AB的延长线于G ,内错角相等可得 D G，再根据两Q AB//CD ,D G,Q BF//DE ,G ABF ,D ABF ,Q BF 平分ABE ,ABE 2 ABF 2 D，即ABE 2 D . 故选：A.AB CD是否平行即本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键.9.下列说法中，正确的是（）A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 垂于同一条直线的两条直线平行D. 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角一定相等【答案】B 【解析】【分析】根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可. 【详解】故选：B . 【点睛】此题考查平行线的性质和判定，平行线公理及推论，能熟记知识点的内容是解题的关键.a //b ,再根据两直线平行同位角相等可得/ 3=/ 6，再根据对顶角相等可得/ 4.GA 、B 、C 、D 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项符合题意；在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意；如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意； 2 180 , 3 100，贝y 4()B . 70C. 80D . 100【答案】【解【分析】首先证明【详解】hC解：•••/ 1+/ 5=180°, / 1 + / 2=180°,•••/ 2=/ 5, a II b , •••/ 3=/ 6=100°,•••/ 4=180°-100 °=80° .故选：C. 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键是掌握两直线平行同位角相等.11.下列说法中错误的个数是()(1) 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑶不相交的两条直线叫做平行线；(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角. A . 1个B . 2个 C. 3个【答案】C 【解析】应强调过直线外一点，故错误；正确；不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否是在同一平面内，所以错误；有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，角平分线的两个角也满足,但可以不是，故错误•错误的有3个，故选C.【解析】【分析】D . 4个(1) (2) (3) (4)AB , AB 相交于点0, OE , OF 为射线，则对顶角有( )B . 2对C. 3对 D . 4对h【答案】B根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断 .【详解】图中对顶角有：/ AOC 与/ BOD 、/ AOD 与/ BOC 共2对. 故选B . 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角.本题关键是分清楚已知的角是哪两条直线相交形成的，根据角的两条边，找出它的反向延长线形成的夹角即可13•如图，在矩形 ABCD 中，AB 6 , BC 8，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD 的最小值是（）【解析】【分析】根据题意，当PC 丄BD 时，PB PC PD 有最小值，由勾股定理求出 BD 的长度，由三角形的面积公式求出 PC 的长度，即可求出最小值. 【详解】解：如图，当PC 丄BD 时，PB PC PD BD PC 有最小值，在矩形 ABCD 中,/ A=/ BCD=90 , AB=CD=6, AD=BC=8, 由勾股定理，得••• PB PD BD=10,在△BCD 中，由三角形的面积公式，得^BD?PC=1BC?CD , 2 - 1P C二丄 8 6 ,2PC 4.8,• PB PC PD 的最小值是：PB PC PD BD PC 10 4.8 14.8;A . 16【答案】D B . 15.2 C. 15 D .14.8BD 8210， 1 即丄 210故选：D. 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到 PC 最短.【解析】解：①符合对顶角的性质，故本小题正确; ② 两直线平行，内错角相等，故本小题错误； ③ 符合平行线的判定定理，故本小题正确；④ 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误. 故选B .15.如图，/ BCD ^ 95° AB// DE ,则/ a 与/ B 满足（）【解析】【分析】过点C 作CF / AB,然后利用两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补进行推理证明即可. 【详解】解：过点C 作CF / AB•/ AB / DE, CF / AB••• AB / DE / CF14•下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等.其中真命题的个数是（）A . 1个【答案】BB . 2个 C. 3个 D . 4个A. / a+/ 3= 95【答案】D B./ 3—/ a= 95 ° C./ a+/ 3= 85D./ 3-/ a= 85• ••/ BCF=Z a/ DCF+/ 3=180°•••/ BCD- / BCF +/ DCF • ••/ a+180°-/ 3=95°.••/ 3-/ a= 85° 故选：D【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是本题的解题关键16•如图，AB//CD,EG、EH、FH 分别平分CEF, DEF, EFB,则图中与BFH相等的角（不含它本身）的个数是（）CEF EFB,CE G又••• EG、FH分别平分CEF ,EGB （两直线平行，内错角相等），EFB,【解析】【分析】C. 7D. 8先根据平行线的性质得到CEF得到CEG FEG EFHEFB ,BFH ,CEG EGB，再利用把角平分线的性质最后对顶角相等和等量替换得到答案.【详解】做如下标记,解：如图,CEG FEG EFH BFH ,又••• CEG NEG , FEG MEN , EGB AGP （对顶角相等），••• BFH =换）CEG FEG EFH MEN NED EGF AGP （等量替故与 BFH 相等的角有7个, 故C 为答案.【点睛】本题主要考查直线平行的性质、对顶角的性质（对顶角相等）、角平分线的性质（角平分线把角分为两个大小相等的角）还有等量替换，把所学知识灵活运用是解题的关键17.如图，直线a,b 被直线c 所截，则图中的 1与2是（）【解析】【分析】根据1与 2的位置关系，由内错角的定义即可得到答案【详解】解：••• 1与 2在截线a,b 之内，并且在直线 c 的两侧,•••由内错角的定义得到1与 2是内错角，故B 为答案.【点睛】【解析】【分析】A .同位角【答案】BB .内错角 C.同旁内角 D .邻补角本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角、内角、邻补角是解题的关键.邻补角的定义，理解内错角、同位角、同旁 18.如图，在 VABC 中，AB AC ，线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若 A 30，直线a // b ，顶点C 在直线b 上，直 1 145，贝y 2的度数是（）C. 40 °D . 45 【答案】 CAED 的度数，再根据平行线的性质得同位角相等，即可求得【详解】••• AB AC ，且 A 30 ,故选：C .【点睛】本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容•等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 ;三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；两直线平行，同位角相等.【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得/ 仁/ABC=70，再根据角平分线的定义可得答案.【详解】•••DE // BC,•••/ 仁/ABC=70 ,•/ BE 平分/ ABC,故选：B . 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等.先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得 ACB 度数，由三角形外角的性质可得 ACB 3075 , 在 ADE 中，••• A AED 145 ,AED 145 145 30 115 ,•/ a//b , AED 2 ACB ,即 2 11575 40 , CBE-ABC 35 , 2D . 7020.已知直线m // n ,将一块含30。

40相交线与平行线竞赛题讲解

相交线与平行线竞赛题讲解1、如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有个．(安徽省中考题）2、如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）．A．4对B．8对C．12对D．16对（“希望杯”邀请赛试题)3、如图,已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE=30°，∠E＝10°求征：AB∥EF．4、、如图,在ΔABC中,CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线．求证：∠EDF＝∠BDF．（天津市竞赛题)5、探究：(1)如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E,你能说明为什么吗?(2）反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将E点移至图c所示位置,情况又如何？(5)在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6)在图e中，若AB∥CD,又得到什么结论?学力训练1．如图，已知AE∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M,NN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND= ．（湖北成宁市中者题）2．如图,若直线a，b分别与直线c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2一∠3=90°，∠4=115°，那么∠3= ．3．如图，已知AB∥CD,∠1=100°，∠2=120°，则∠α= ．(内蒙古中考题)4．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是度．5．如图,下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是( ）．A．∠l=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°(南通市中考题）6．．已知线段AB的长为10cm,点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，符合条件l的条数为（）．A．1 B．2 C．3 D．4(安徽省中考题)7．如图，直线a、b都与直线c相交,给出下列条件:(1）∠l=∠2；(2)∠3＝∠6;（3)∠4+∠7＝180°；(4）∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的是( )．A．（1)、（3）B．（2)、（4) C．（1）、(3)、(4）D．（1)、(2）、（3)、（4）(江苏盐城市中考题)8．如图，AB∥EF∥DC，EG∥DB,则图中与∠1相等的角(∠1除外）共有( )．A．6个D．5个C．4个D．3个(湖北省荆门市中考题）9．如图，已知∠l+∠2＝180°,∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并对结论进行证明．10．如图，已知∠1十∠2=180°，∠A ＝∠C ，AD 平分∠BDF ．求证：BC 平分∠DBE ．11．在同—平面内有2002条直线a 1，a 2，…，a 2002，如果a 1⊥a 2，a 2∥a 3，a 3⊥a 4，a 4∥a 5,…，那么a 1与a 2002的位置关系是．12．若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角对．(江苏省竞赛题）13．如图,已知21//l l ，AB ⊥1l ,∠ABC=130°，则∠α= ．14．如图，直线AB ∥CD ，∠EFA=30°,∠FGH=90°，∠HMN ＝30°，∠CNP= 50°，则∠GHM 的大小是．（“希望杯”邀请赛试题)15．如图，D 、G 是ΔABC 中AB 边上的任意两点，DE ∥BC ，GH ∥DC ，则图中相等的角共有( ）．A ，4对B ．5对C ．6对D ．7对（“数学新蕾”竞赛题)16．如图，若AB ∥CD ，则（ )．A ．∠1＝∠2+∠3B ．∠1＝∠3一∠2C ．∠1+∠2+∠3＝180° ∠l 一∠2十∠3＝180°17．如图，AB ∥CD ∥EF ，EH ⊥CD 于H ，则∠BAC+∠ACE+∠CEH 等于( )．A ．180°B ．270°C ． 360°D ． 450°18．如图，AB ∥EF ，∠C ＝90°,则α、β和γ的关系是( ）．A ． β=α+γB ．α+β+γ＝180°C ．α+β－γ＝180°D ．β+γ－α＝180°19．如图,已知AB ∥CD,P 为HD 上任意一点，过P 点的直线交HF 于O 点，试问：∠HOP 、∠AGF 、∠HPO 有怎样的关系？用式子表示并证明．20．如图，已知AB∥CD,α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D,证明:β=2α．21．平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点．(1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；（2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个);(3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为6,2l，15？(4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？22．如图,已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB,OE 平分∠COF．(1)求∠EOB的度数．（2)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律;若不变，求出这个比值．(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况,使∠OEC＝∠OBA?若存在,求出其度数；若不存在，说明理由．23、四边形ABCD中，∠A =140,∠D =80．(1）如图1，若∠B=∠C,试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE AD∥，试求出∠C的度数；（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E,试求出∠BEC的度数．DB A EDBAEDBAC图2图1第23题图3。

初一竞赛讲座(相交线、平行线)

初一数学竞赛系列讲座相交线、平行线一、知识要点：1．平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。

2．两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3．垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

4．在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。

5．利用平行公理及其推论证明或求解。

二、例题精讲例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,求∠3的度数。

解：∵ a ∥b ， ∴ ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)∴ ∠1＝∠2 (等式性质) 则 3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142°∴ ∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。

例2．已知：如图(2)， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B -∠D=24°，求∠GEF 的度数。

解：∵AB ∥EF ∥CD ∴∠B=∠BEF ，∠DEF=∠D （两直线平行，内错角相等）∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知）即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换）则∠B+∠D=96°（等式性质）∵∠B -∠D=24°（已知）图(2) ∴∠B=60°（等式性质）即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG 平分∠BEF （已知）∴∠GEF=21∠BEF=30°（角平分线定义）例3．如图（3），已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。

2021年秋七年级数学竞赛专家讲座第6讲相交线与平行线 (1)

DCBADCBAFEDCBA第六讲：相交线与平行线一、知识框架二、典型例题1.以下说法正确的有( B )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③假设两个角不相等,那么这两个角必然不是对顶角; ④假设两个角不是对顶角,那么这两个角不相等. 个个个个 2.如下图,以下说法不正确的选项是( D )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 3.以下说法正确的有( C )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点能够任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. 个个个个4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原先的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ A ）A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°GF EDCBA 12l 3l 2l 1 O34l 3l 2l 112xzy A BCDE5．如图，假设AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D ，那么以下结论必然成立．．．．的是（ C ） A. CD>AD <BC C. BC>BD D. CD<BD 分析：考察垂线段的性质、大体图形——“双垂直”图形6．如图,已知AB ∥CD,直线EF 别离交AB,CD 于E,F,EG•平分∠BEF,假设∠1=72°,则∠2=____54°___.7．如图,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,那么图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( C ) •个个个个8．如图，直线l 1、l 2、l 3交于O 点，图中显现了几对对顶角，假设n 条直线相交呢？答案：3对，n(n+1)9. 如图，在44⨯的正方形网格中，321∠∠∠，，的大小关系是_________．答案：∠1=∠2>∠310. 如下图,L 1,L 2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想) 答案：36°11．如下图,已知AB ∥CD,别离探讨以下四个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.(1) (2) (3) (4) （1）分析：过点P 作PE//AB ∠APE+∠A+∠C=360° （2）∠P=∠A+∠C （3）∠P=∠C-∠A, （4）∠P=∠A-∠C1 2 312．如图，假设AB//EF ，∠C= 90°，求x+y-z 度数。

相交线与平行线奥数题

相交线与平行线奥数题
【原创实用版】
目录
1.相交线与平行线的定义与特点
2.相交线与平行线在平面与立体空间中的表现
3.相交线与平行线的性质与判定
4.相交线与平行线在数学竞赛中的应用
5.结论
正文
一、相交线与平行线的定义与特点
相交线是指在平面上具有交点的两条直线，而平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。

在立体空间中，相交线是指具有交点的两条直线，而平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线，或者在空间中永远不会相交的两条直线。

二、相交线与平行线在平面与立体空间中的表现
在平面内，相交线表现为两条直线有一个交点，而平行线表现为两条直线永远不会相交。

在立体空间中，相交线表现为两条直线有一个交点，而平行线表现为两条直线永远不会相交，或者两条直线在空间中永远不会相交。

三、相交线与平行线的性质与判定
相交线的性质包括：相交线上的任意一点到另一条直线的距离都相等；相交线所形成的同位角相等。

平行线的性质包括：平行线上的任意一点到另一条直线的距离都相等；平行线所形成的同位角相等。

判定相交线与平行线的方法包括：如果两条直线有一个交点，则这两
条直线相交；如果两条直线永远不会相交，则这两条直线平行。

另外，可以使用平行公理和同位角定理来判定。

四、相交线与平行线在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，相交线与平行线的应用非常广泛，例如解决几何问题、线性代数问题等。

许多数学竞赛题目都会涉及到相交线与平行线的知识点。

五、结论
相交线与平行线是几何学中的基本概念，其在平面与立体空间中的表现不同，但都具有重要的性质与判定方法。

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1.如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）A、80B、50C、30D、202.将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（）A、43°B、47°C、30°D、60°3.如图，直线a∥b，那么∠x的度数是_________ ．4.如图，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。

试说明：∠BFE=∠FEC。

A BC DFE5.如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=70O，(1)求∠EDC的度数；(2)若∠BCD=40O，试求∠BED的度数．5.如图，DB∥FG∥EC，∠ACE=36°，AP平分∠BAC，∠PAG=12°，则∠ABD= _________ 度．6.已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．7.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．8.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．9.如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由．（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分∠DBE吗？为什么？10.四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，（1）分别在图1、图2、图3下面的横线上写出AE与CF的位置关系；（2）选择其中一个图形，证明你得出的结论．11已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？12.已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD．13.如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．14.如图AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．15.如图，∠1=∠2，∠2=∠G，试猜想∠2与∠3的关系并说明理由．16.如图，点E、F、M、N分别在线段AB、AC、BC上，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，判断∠CEB 与∠NFB是否相等？请说明理由．17.如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？18.如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．试判断CH 和DF的位置关系并说明理由．19.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．20如图，已知：点A在射线BG上，∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠EAB=∠BCD．求证：EF∥CD．21.如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，CM平分∠BCD交AF于M，FN平分∠AFE交CD于N．试判断CM与FN的位置关系，并说明理由．22.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC边上，连接AC交EF于G，∠1=∠BAC．（1）求证：EF∥CD；（2）若∠CAF=15°，∠2=45°，∠3=20°，求∠B和∠ACD的度数．23.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6cm ，CD=4cm ，BC=BD=10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE ∥AB ；（2）设△PEQ 的面积为y （cm2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ=225S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．1.如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是____度。

第1题第2题第3题第4题 2．如图，把矩形沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（） 3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（）4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o ，那么∠2的度数是（）5. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与∠2互余的角是．第5题第6题6．光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜 AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。

若已知∠1=55°，∠3=75°，那么∠2等于（）1 A EDCBF21 1 23123 45 6123456a ABCD7.、把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A 、115°B 、120°C 、145°D 、1358、如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 中的直线b 上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（）A 、30°B 、45°C 、40°D 、50°第7题第8题第9题第10题9、如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为（）A 、25°B 、30°C 、20°D 、35°10、如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE 等于（） A 、23° B 、16° C 、20° D 、26°11、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（） A 、43° B 、47° C 、30° D 、60°12、如图，已知L1∥L2，MN 分别和直线l1、l2交于点A 、B ，ME 分别和直线l1、l2交于点C 、D ，点P 在MN 上（P 点与A 、B 、M 三点不重合）．（1）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由；（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）．13.如图（6），DE ⊥AB ，EF ∥AC ，∠A=35°，求∠DEF 的度数。

14．如图14，AD 是CAB ∠的角平分线，//DE AB ，//DF AC ，EF 交AD 于点O ．请问：（1）DO 是EDF ∠的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（2）若将结论与AD 是CAB ∠的角平分线、//DE AB 、//DF AC 中的任一条件交换，•所得命题正确吗？15.如图，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。

试说明：AD ∥BE 。

AD BCEF 1 2 3 4EDBC′FCD ′A16.如图，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°，45A ∠=°，那么E ∠的大小为（）（A ）70° （B ）80° （C ）90° （D ）100°17.图(二)中有四条互相不平行的直线L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角。

关于这七个角的度数关系，下列何者正确？A ．742∠∠∠＋＝B 。

613∠∠∠＋＝C ．︒∠∠∠180641＝＋＋D 。

︒∠∠∠360532＝＋＋ 18.如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于A .70°B .65°C .50°D .25°19．平面上有11条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现36个交点，怎样安排才能办到？画出一种图形。

20.（a ）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。

（b ）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。

21．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A 落在A ′处，BC 为折痕，如果BD 为∠ABE 的平分线，则∠CBD=（） A ．80° B ．90° C ．100° D ．70°22．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 、CD 相交，则有（）A ．∠1+∠2﹣∠3=180°B ．∠1﹣∠2+∠3=180°C ．∠3+∠2﹣∠1=180°D ．∠1+∠2+∠3=180°23．如图，光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3= _________ °．24题25题26题24．如图，O是直线AB上一点，已知∠1＞∠2，那么∠2与（∠1﹣∠2）之间的关系一定是_________．25．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2=_________．27．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是_________度．26．将一个直角三角板和一把矩形直尺按如图放置，若∠α=54°，则∠β的度数是_________．27．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分∠AEF，过点F 作FP⊥EP，垂足为P，若∠PEF=30°，则∠PFC=_________度．28．如图AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，且EG平分∠AEF，∠1=34°，则∠2=_________．29．如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=_________度．30．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=___度．31．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？32．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。