数学建模学校选址问题

学校选址问题摘要本文为解决学校选址问题，建立了相应的数学模型。

针对模型一首先，根据已知信息，对题目中给出的数据进行处理分析。

在保证每个小区,学生至少有一个校址可供选择的情况下，运用整数规划中的0-1规划法，列出建校方案的目标函数与其约束条件，通过LINGO软件，使用计算机搜索算法进行求解。

得出建立校址的最少数目为4个。

再运用MATLAB软件编程，运行得到当建校的个数为4个时，学首先，对文中给出的学校建设成本参数表和各校区1到6年级学龄儿童的平均值（样本均值）进行分析，可知20个小区估计共有4320个学龄儿童，当每个学校的平均人数都小于600时，至少需要建设8个学校；其次，模型一得到最少的建校数目为4个，运用MATLAB软件编程，依次列出学校个数为4、5、6、7、8时的最优建校方案，分别算出其最优建校方案下的总成本；最后，通过对比得出，最低的建校总成本为1650万，即选取校址10、11、13、14、15、16建设学校。

最后，我们不但对模型进行了灵敏度分析，，保证了模型的有效可行。

关键词：MATLAB灵敏度 0-1规划总成本选址1 问题重述当代教育的普及，使得学校的建设已成为不得不认真考虑的问题。

1.1已知信息1、某地新开发的20个小区需要建设配套的小学，备选的校址共有16个，各校址覆盖的小区情况如表1所示：2、在问题二中，每建一所小学的成本由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模学校基础设施成本构成，规模成本指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该学校学生数有关，同时与学校所处地域有关。

设第i 个备选校址的建校成本i c 可表示为（单元：元）学生人数)600-(50100200010⎩⎨⎧⨯⨯⨯+=i i i c βα，若学生人数超过600人，其中i α和i β由表2给出：并且考虑到每一小区的学龄儿童数会随住户的迁移和时间发生变化，当前的精确数据并不能作为我们确定学校规模的唯一标准，于是我们根据小区规模大小用统计方法给出每个小区的学龄儿童数的估计值，见表3：1.2提出问题1、要求建立数学模型并利用数学软件求解出学校个数最少的建校方案。

2、求出总成本最低的建校方案。

2 问题假设与符号说明2.1 问题假设1 每个学校配备的师资力量是同等的2 每个小区的学生到附近小学上学的概率相同3 每个学校各年级的收费相同4 建设学校期间建筑材料的价格不会发生变化 2.2 符号说明 i c ：（1,2,316i =……）第i 个备选校址的建校成本 i α：（1,2,316i =……）学校建设成本（单位：百万元）i β：（1,2,316i =……）学校建设的成本参数i x ：（1,2,316i =……）学校的选址数目 C ：建校的总成本3 问题分析学校选址是一类带有复杂约束条件的优化与规划问题，在学校选址过程中，要从小区的覆盖情况、人数、费用等方面综合考虑，合理安排学校选址方案。

问题1的分析首先，根据已知信息可知,新开发的20个小区需要建设配套的小学,设备选取的校址共有16个；然后，结合附表1中备选校址表，对其进行处理分析，可知各校址覆盖的小区情况，运用整数规划中的0-1规划法，在保证每个小区至少有一个可供选择校址的前提下，列出建校方案的目标函数，并写出与其有关约束条件的不等式；最后，通过LINGO 软件，使用计算机搜索法，算出建设学校的最少个数，由于LINGO 软件只能求解得到一种方案，因此再运用MATLAB 软件编程，求解得出的各种方案，即为在满足学校个数最少情况下的建校方案。

问题2的分析首先,每建一所小学的成本由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模、学校基本设施成本构成，规模成本指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该校学生数和其所处地域有关。

由题目中给出备选校址的建校成本关系式可知，在学校人数大于等于600人时，（1）如果选择校址7~1建设学校，每增加一个人，学校的建设成本增加6000元。

（2）如果选择校址12~8建设学校，每增加一个人，学校的建设成本增加4000元 （3）如果选择校址16~13建设学校，每增加一个人，学校的建设成本增加2000元 其次，根据问题1的分析，结合题目中给出的建校成本关系式，可以算出建校个数最少时的最低成本。

由于同一个小区可能被多个校址覆盖，因此在处理被多个校址覆盖的小区人数时，需要遵循两个原则，（1）保证每个学校的学生尽量达到600人。

（2）当同一小区被不同的学校覆盖时，把该小区的学生分配到建校成本较低的学校。

（3）当建设不同校址成本相同，且都满600人时，就平均分配。

然后，通过对各小区1到6年级学龄儿童数平均值的处理分析，得到20个小区大约共有4320个学龄儿童。

当每个学校的平均人数都小于600时，至少需要建设8个学校，才可能使建校费用达到最省。

运用MATLAB 软件编程依次求解出学校个数为5、6、7、8时的最优建校方案，算出每个方案所花费的费用。

最后，通过对比，得出总成本最低的建校方案。

4 模型的建立与求解4.1 模型一的建立与求解根据问题1的分析，某地新开发的20个小区需要建设配套的小学，设备选的校址共有16个，要求出学校个数最少的建校方案，需保证每一个小区至少有一个小学可供选择，每个校址覆盖小区的情况见附表1。

我们把每个校址设为)1615,3,2,1(，⋯⋯=i x i ，由于每个校址覆盖小区的不同，可知同一小区被不同校址覆盖的情况，见下表要求出建校个数最少的方案，显然是优化问题，针对问题特殊性，我们选用0—1规划来解决这个问题。

在保证每个小区的孩子至少有一个学校可供选择前提下，根据上表中每一个小区对应的不同覆盖情况，使得覆盖数必需要大于等于1，由此来列出约束条件。

本问题是要解决建校个数最小的方案，即是求建校个数的最小值，用此来确定目标函数。

如下：目标函数：161min i i z x ==∑约束条件：1(1,4,5,11)1(1,2,11,15,16)1(1,2,3,15,16)1(1,4,5,11,16)1(2,3,6,12,15,16)1(1,4,8,11)1(4,5,8,9,11)1(2,5,6,16)1(5,6,9,10,14)1(6,7,10,.i iiiiii iiii i i iiiiii x i xi xi x i xi xi x i x i x i x i s t ≥=≥=≥=≥=≥=≥=≥=≥=≥=≥=∑∑∑∑∑∑∑∑∑12,14)1(2,3,5,6,7,12,15)1(4,8,13)1(5,8,9,13)1(5,9,1013,14)1(7,9,10,14)1(6,7,10,12)1(8,9,13)1(8,9,10,13)1(7,9,10)1(2,3,6,7,12,15)iii ii i iii i ii iiiiii iiixi xi x i xi xi x i x i xi x i xi ≥=≥=≥=≥=≥=≥=≥=≥=≥=≥=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑，01(1,2,3,16)ix i ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎩∑或……计算机随机搜索的算法及编程实现采用计算机搜索算法，我们基于三点考虑：一方面，满足约束的建校方案不止一种，应该从所有的可能方案中搜索选择最佳的建校方案；另一方面，采取计算机搜索算法可以提高模型的推广价值及结果的可信度；最后，计算机搜索避免了对结果最优的理论证明，因为在搜索过程中结果的最优性已经得到证明。

因此，我们给出计算机搜索的算法，流程图如图4-1所示。

图4-1 模型1的算法流程图同时，我们应用LINGO 软件，以题目中给出的数据为例，编程实现（见附录B ）得出4min =z即最少建校个数为4个，又结合matlab 编程，可解出当建校个数为4时，各种不同的方案(过程见附录C)，求出有22种方案，见表2⎩⎨⎧=)(0)(1个校址未选中第个校址被选中第i i x i4.2 模型二的建立与求解根据问题2的分析，每建一所学校的成本由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模设施成本构成，规模成本是指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该校的学生数有关，同时与学校所处地域有关。

由题目中给出的计算建校成本方法，即200010010(600)60050600i i i c βα⨯⎧⨯⨯-⎪=+⎨⎪⎩学生人数学校人数超过学生人数小于等于 i c 表示建校的总费用，即固定成本与规模成本的和，i α为固定成本，i β为计算成本规模的系数。

,i i αβ的取值和学校所处的地域即校址有关，每个校址对应不同,i i αβ的数值见附表2由题目中给出的各个小区1到6年级学龄儿童数平均值，可知20个小区大概一共有4320个学生，考虑到每个小学的人数都可能小于600人，至少要建8个学校，但在此问题中，要求的是总成本最低的建校方案，根据常识，如果建的学校个数越少，总成本可能也是最少的，所以在保证每个小区的孩子都有一个学校可供选择的前提下，使建校的个数尽量少，在模型一中，算出建校个数最少时为4，即我们在此只选建校个数为4，5，6，7，8的方案来进行比较，得出总费用最少的那个建校方案。

第一步：当建校个数为4时，有22种方案（模型一中已求出），筛选出总费用最少的方案。

通过matlab 对每一种方案的固定费用进行编程，求出第1种方案，第4种方案，第8种方案的固定费用都达到最低14（百万）（过程见附录D ），因此我们选用这三种方案来进行比较。

取出总费用最低的方案。

由于不同校址可能同时覆盖同一个小区，因此要对小区的人数进行调配，调配原则如下：（1）每个校址都尽量调到600左右。

（2）因为1~7七个校址，每增加一个人就得增加6000元，8~12五个校址，每增加一个人就得增加4000元，13~16四个校址，每增加一个人就得增加2000元，所以把能调配的人数，尽量分配到成本较低的校址，当然要保证前几个校址都满600人时。

（3）当建设不同校址成本相同，且都满600人时，就平均分配。

第1种方案选择5，8，10，15这四个校址，由附表1可知5，8，10，15这四个校址分别覆盖小区的情况，附表3可知每个小区的学龄儿童数。

根据以上的调配原则我们对各个小区的学龄儿童数进行了合理分配，使总费用达到最少，分配方案如下：根据以上表格可算出不同校址，建校的总费用（单位：百万元），即 校址5的分配人数等于600，即建校址5总费用为55c α= 55c =校址8的分配人数大于600，即建校址8的总费用为8 3.50.10.04(1110600)c =+⨯⨯-8 5.54c = 校址10的分配人数大于600，即建校址10的总费用为10 3.50.10.04(1570600)c =+⨯⨯-107.38c = 校址15的分配人数大于600，即建校址15的总费用为1520.050.04(1040600)c =+⨯⨯-15 2.88c =即建这四个校址的总费用为581015C c c c c =+++20.8C =第4种方案选择4，9，12，16这四个校址，按照以上的调配原则，对这四个校址进行人数的分配，如下表按照以上算每个校址的总费用的方法，分为人数小于等于600，大于600的两种情况来进行计算，可得建校的总费用如下表即建这四个校址的总费用为C=+++59.06 4.7 2.46C=21.22第8种方案选择2，10，11，13这四个校址，按照同样的方法，算出建这四个校址的总费用，如下表由以上表格可知，建这四个校址的总费用为C=+++7.46 5.74 4.22 3.54C=20.96通过对以上的三种方案进行比较，可知当建校个数为4时，选择第1种方案，校址为5，8，10，15时，建校的总费用达到最小C=20.8第二步：当建校个数为5时，用matlab编程求解出有349种方案可供选择，在求出349方案的基础上，进行编程求出第1种方案的固定费用达到最小，为13（百万）。