(完整版)高考真题：复数
专题03 复数问题(解析版)
专题03 复数问题【高考真题】1．(2022·全国乙理) 已知z ＝1－2i ，且z ＋a z －＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－21．答案 A 解析 z －＝1＋2i ，z ＋a z －＋b ＝1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝(1＋a ＋b )＋(2a －2i)i ，由z ＋a z －＋b＝0，得a ＝1，b ＝－2，故选A ．2．(2022·全国乙文) 设(1＋2i)a ＋b ＝2i ，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－1B ．a ＝1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝－1，b ＝－12．答案 A 解析 因为a ，b 为实数，(a ＋b )＋2a i ＝2i ，所以a ＋b ＝0，2a ＝0，解得，a ＝1，b ＝－1．故选A ．3．(2022·全国甲理) 若z ＝－1＋3i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．－13＋33i D ．－13－33i 3．答案 C 解析 z －＝－1－3i ，z z －＝(－1＋3i)(－1－3i)＝4，z z z －－1＝z 3＝－13＋33i ．故选C ．4．(2022·全国甲文) 若z ＝1＋i ．则|i z ＋3z －|＝( )A ．45B ．42C ．25D ．2 24．答案 D 解析 因为z ＝1＋i ．所以i z ＋3z －＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z －|＝22．故选D ．5．(2022·新高考Ⅰ) 若i(1－z )＝1，则z ＋z －＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．25．答案 D 解析 由题设有1－z ＝1i＝－i ，所以z ＝1＋i ，故z ＋z －＝2，故选D ． 6．(2022·新高考Ⅰ) (2＋2i)(1－2i)＝( )A ．－2＋4iB ．－2－4iC ．6＋2iD ．6－2i6．答案 D 解析 (2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i ＋2i ＝6－2i ，故选D ．7．(2022·北京) 若复数z 满足i z ＝3－4i ＝，则|z |＝( )A ．1B ．5C ．7D ．257．答案 B 解析 由题意有z ＝3－4i i＝1＋i ，故|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5．故选B ． 8．(2022·浙江)已知a ，b ∈R ，a ＋3i ＝(b ＋i) i(i 为虚数单位)，则( )A ．a ＝1，b ＝－3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D ．a ＝1，b ＝38．答案 B 解析 a ＋3i ＝－1＋b i ，而a ，b 为实数，故a ＝－1，b ＝3，故选B ．【知识总结】1．复数的相关概念及运算法则(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类①z 是实数⇔b ＝0；②z 是虚数⇔b ≠0；③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.(2)共轭复数复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数z ＝a －b i.(3)复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2.(4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． ()其中a ，b ，c ，d ∈R2．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i.(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i. (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )．【同类问题】题型一 复数的概念1．(2021·浙江)已知a ∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．31．答案 C 解析 方法一 因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3．方法二 因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋i i＝1－3i ，所以a ＝－3．2．(2020·全国Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z 等于( )A ．1－iB ．1＋iC ．－iD ．i2．答案 D 解析 因为z ＝1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i＝－i ，所以z ＝i ． 3．若复数z 满足z (1＋i )i 32－i＝1－i ，则复数z 的虚部为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－13．答案 C 解析 ∵z (1＋i )i 32－i＝1－i ，∴z (1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)，∴z (1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z 的虚部为1．4．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |等于( )A ．0B ．1C ．2D ．24．答案 D 解析 方法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2．方法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2．5．已知x 1＋i＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2i D ．1－2i5．答案 B 解析 由x 1＋i ＝1－y i ，得x 1－i 1＋i 1－i＝1－y i ，即x 2－x 2i ＝1－y i ，∴⎩⎨⎧ x 2＝1，x 2＝y ，解得x＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i ，∴其共轭复数为2－i ．6．(2021·上海)已知z ＝1－3i ，则|z －－i|＝________．6．答案5 解析 ∵z ＝1－3i ，∴z －＝1＋3i ，∴z －－i ＝1＋3i －i ＝1＋2i ，∴|z －－i|＝12＋22＝5．7．如果复数2＋b i i(b ∈R )的实部与虚部相等，那么b ＝( ) A ．－2 B ．1 C ．2 D ．47．答案 A 解析2＋b i i ＝（2＋b i ）（－i ）i （－i ）＝b －2i ，所以实部为b ，虚部为－2，故b 的值为－2，故选A ．8．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．8．答案 －1 解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1． 9．(多选)若复数z ＝21＋i，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为－1 B ．|z |＝2 C ．z 2为纯虚数 D ．z 的共轭复数为－1－i9．答案 ABC 解析 z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－2i 2＝1－i ，对于A ，z 的虚部为－1，正确；对于B ，模长|z |＝2，正确；对于C ，因为z 2＝(1－i)2＝－2i ，故z 2为纯虚数，正确；对于D ，z 的共轭复数为1＋i ，错误．10．(多选)(2022·武汉模拟)下列说法正确的是( )A ．若|z |＝2，则z ·z ＝4B ．若复数z 1，z 2满足|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等D ．“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件10．答案 AD 解析 若|z |＝2，则z ·z ＝|z |2＝4，故A 正确；设z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，可得|z 1＋z 2|2＝(a 1＋a 2)2＋(b 1＋b 2)2＝|z 1－z 2|2＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2则a 1a 2＋b 1b 2＝0，而z 1z 2＝(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝a 1a 2－b 1b 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i ＝2a 1a 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i 不一定为0，故B 错误；当z ＝1－i 时，z 2＝－2i 为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数，则a 2－1≠0，即a ≠±1，所以“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件，故D 正确． 题型二 复数的四则运算11．(2021·新高考全国Ⅰ)已知z ＝2－i ，则z (z ＋i)等于( )A ．6－2iB ．4－2iC ．6＋2iD ．4＋2i11．答案 C 解析 因为z ＝2－i ，所以z (z ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i ．12．(2021·北京)在复平面内，复数z 满足(1－i)·z ＝2，则z ＝( )A ．1B ．iC ．1－iD ．1＋i12．答案 D 解析 由题意可得z ＝21－i ＝2·（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ． 13．(2020·新高考全国Ⅰ)2－i 1＋2i等于( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i13．答案 D 解析 2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－5i 5＝－i ． 14．(2021·全国乙)设i z ＝4＋3i ，则z 等于( )A ．－3－4iB ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i14．答案 C 解析 方法一 (转化为复数除法运算)因为i z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i i ＝(4＋3i)(－i)i －i＝ －4i －3i 2－i 2＝3－4i ． 方法二 (利用复数的代数形式)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由i z ＝4＋3i ，可得i(a ＋b i)＝4＋3i ，即－b ＋a i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝4，a ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，所以z ＝3－4i ． 方法三 (巧用同乘技巧)因为i z ＝4＋3i ，所以i z ·i ＝(4＋3i)·i ，所以－z ＝4i －3，所以z ＝3－4i ．15．(2021·全国乙)设2(z ＋z －)＋3(z －z －)＝4＋6i ，则z ＝( )A ．1－2iB ．1＋2iC ．1＋iD ．1－i15．答案 C 解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，代入2(z ＋z －)＋3(z －z －)＝4＋6i ，可得4a ＋6b i ＝ 4＋6i ，所以a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i ．16．(2021·全国甲)已知(1－i)2z ＝3＋2i ，则z ＝( )A ．－1－32iB ．－1＋32iC ．－32＋iD ．－32－i 16．答案 B 解析 z ＝3＋2i （1－i ）2＝3＋2i －2i＝3i －22＝－1＋32i ． 17．(多选)(2022·湛江一模)若复数z ＝3－i ，则( )A ．|z |＝2B ．|z |＝4C ．z 的共轭复数z －＝3＋i D ．z 2＝4－23i17．答案 AC 解析 依题意得|z |＝（3）2＋（－1）2＝2，故A 正确，B 错误；z －＝3＋i ，C 正确； z 2＝(3－i)2＝3－23i ＋i 2＝2－23i ，D 错误．18．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝________． 18．答案 －i 解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i ＝－3i 3＝－i ． 19．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且z 1－i＝3＋2i ，则a ＝________，b ＝________． 19．答案 5 1 解析 由z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则z ＝a －b i ，所以z1－i ＝1＋i 2(a －b i)＝a ＋b 2＋a －b 2i ＝3＋2i ，故a ＋b 2＝3，a －b 2＝2，所以a ＝5，b ＝1． 20．(多选)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0．下列命题中正确的是( )A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 220．答案 BC 解析 由|i|＝|1|，知A 错误；z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又z 1≠0，所以z 2＝z 3，故B 正确；|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，又z 2＝z 3，所以|z 2|＝|z 2|＝|z 3|，故C 正确，令z 1＝i ，z 2＝－i ，满足z 1z 2＝|z 1|2，不满足z 1＝z 2，故D 错误．题型三 复数的几何意义21．(2021·新高考全国Ⅱ)复数2－i 1－3i在复平面内对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限21．答案 A 解析2－i 1－3i ＝(2－i )(1＋3i )10＝5＋5i 10＝1＋i 2，所以该复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，该点在第一象限．22．已知i 是虚数单位，则复数z ＝i 2 023＋i(i －1)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．答案 C 解析 因为z ＝i 2 023＋i(i －1)＝－i －1－i ＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限．23．若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2，2)B ．(－2，0)C ．(0，2)D ．[0，2)23．答案 B 解析 z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i 在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，a 2－2<0，解得 －2<a <0．24．如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i24．答案 D 解析 由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i＝1－i ＋41＋i 1－i 1＋i＝1－i ＋4＋4i 2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i ． 25．(2020·北京)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1，2)，则i·z 等于( )A ．1＋2iB ．－2＋iC ．1－2iD ．－2－i25．答案 B 解析 由题意知，z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i ．26．在复平面内，复数z －＝5i 3－4i(i 为虚数单位)，则z 对应的点的坐标为( ) A ．(3，4) B ．(－4，3) C ．⎝⎛⎭⎫45，－35 D ．⎝⎛⎭⎫－45，－35 26．答案 D 解析 因为z －＝5i 3－4i ＝5i （3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3i －45＝－45＋35i ，所以z ＝－45－35i ，所以复数z 所对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫－45，－35． 27．(2019·全国Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝127．答案 C 解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )，∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1．28．(2020·全国Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________．28．答案 23 解析 方法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ，2z 2＝(3－a )＋(1－b )i ．因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4，所以3＋a 2＋1＋b 2＝4，①，3－a 2＋1－b 2＝4，②，①2＋②2，得a 2＋b 2＝12．所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝23．方法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →．由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2，可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝23．故|z 1－z 2|＝|BA →|＝23．29．已知复数z 满足|z －1－i|≤1，则|z |的最小值为( )A ．1B ．2－1C ．2D ．2＋129．答案 B 解析 令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由题意有(x －1)2＋(y －1)2≤1，∴|z |的最小值即为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z |的最小值为2－1．30．(多选)欧拉公式e x i ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )A ．复数e 2i 对应的点位于第二象限B ．πi 2e 为纯虚数C ．复数e x i 3＋i 的模长等于12D ．πi 6e 的共轭复数为12－32i 30．答案 ABC 解析 对于A ，e 2i ＝cos 2＋isin 2，因为π2<2<π，即cos 2<0，sin 2>0，复数e 2i 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，πi 2e ＝cos π2＋isin π2＝i ，πi 2e 为纯虚数，B 正确；对于C ，e x i 3＋i ＝cos x ＋isin x 3＋i ＝(cos x ＋isin x )(3－i)(3＋i)(3－i)＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x 4i ，于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x i 3＋i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ＋sin x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x －cos x 42＝12，C 正确；对于D ，πi 6e ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，其共轭复数为32－12i ，D 不正确．。
高考数学《复数》专项练习(含答案)
【复数】专项练习参考答案1．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，那么a ＝( )〔A 〕−3 〔B 〕−2 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】A【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ．2．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，那么i =x y +( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】B【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |x x y x y x x y +==+=所以故应选B ．3．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕设复数z 满足i 3i z +=-，那么z ＝( ) 〔A 〕12i -+ 〔B 〕12i - 〔C 〕32i + 〔D 〕32i - 【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，应选C ．4．〔2021全国Ⅱ卷，理1，5分〕(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是( )〔A 〕(31)-， 〔B 〕(13)-， 〔C 〕(1,)∞+ 〔D 〕(3)∞--，5．〔2021全国Ⅲ卷，文2，5分〕假设43i z =+，那么||zz ＝( ) 〔A 〕1 〔B 〕1- 〔C 〕43i 55+ 〔D 〕43i 55-【答案】D【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．那么43i ||55z z ==-，应选D ．6．〔2021全国Ⅲ卷，理2，5分〕假设z ＝1＋2i ，那么4i1zz =-( ) (A)1 (B)−1 (C)i (D)−i 【答案】C【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，那么4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，应选C ． 7．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，那么z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i【答案】C【解析一】(z －1)i ＝1＋i ⇒ zi －i ＝1＋i ⇒ zi ＝1＋2i ⇒ z ＝1＋2i i＝(1＋2i)i i 2＝2－i ．应选C ．【解析二】(z －1)i ＝1＋i ⇒ z －1＝1＋i i⇒ z ＝1＋i i＋1 ⇒z ＝(1＋i)i i 2＋1＝2－i ．应选C ．8．〔2021全国Ⅰ卷，理1，5分〕设复数z 满足1+z1z-＝i ，那么|z|＝( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】A 【解析一】1+z1z-＝i ⇒ 1＋z ＝i(1－z) ⇒ 1＋z ＝i －zi ⇒ z ＋zi ＝－1＋i ⇒ (1＋i)z ＝－1＋i ⇒9．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕假设a 为实数，且2＋ai 1＋i＝3＋i ，那么a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 【答案】D【解析】由得2＋ai ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，应选D ．10．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕假设a 为实数，且(2＋ai)(a －2i)＝－4i ，那么a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】(2＋ai)(a －2i)＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＋4i ＝0⇒ 4a ＋a 2i ＝0 ⇒ a ＝0．11．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕设z ＝11＋i＋i ，那么|z|＝( )A ．12 B ．√22 C ．√32 D ．2 【答案】B 【解析】z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，因此|z|＝√(12)2＋(12)2＝√12＝√22，应选B ．12．(1＋i )3(1－i )2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D 【解析】(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i)(1－i )2·＝(1＋i 2＋2i)(1＋i)1＋i 2－2i＝＝2i(1＋i)－2i＝－(1＋i)＝－1－i ，应选D ．13．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕1＋3i 1－i＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i【答案】B 【解析】1＋3i 1－i＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i ，应选B ．14．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，那么z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A【解析】由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，应选A ．15．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕1＋2i (1－i )2＝( )A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 【答案】B 【解析】1＋2i(1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i (－2i )i＝－2＋i 2＝－1＋12i ，应选B ．16．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕假设复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，那么z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4 D ．45 【答案】D【解析】∵|4＋3i|＝√42＋32＝5，∴(3－4i)z ＝5，∴z＝53－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，虚部为45，应选D ．17．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕|21＋i|＝( )A ．2√2B ．2C ．√2D ．1【答案】C 【解析】|21＋i|＝|2(1－i )2|＝|1－i|＝22)1(1-+＝√2．选C ．18〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 【答案】A【解析】由题意得z ＝2i1－i＝2i ·(1＋i )(1−i )(1＋i)＝2i ＋2i 22＝2i−22＝－1＋i ，应选A ．19．〔2021全国卷，文2，5分〕复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－I C ．－1＋iD ．－1－i【答案】D【解析】z ＝－3＋i 2＋i＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i ，应选D ．20．〔2021全国卷，文2，5分〕复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C 【解析】5i 1－2i＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5(i －2)5＝－2＋i ，应选C ．21．〔2021北京，文2，5分〕复数( ) 〔A 〕i 〔B 〕1＋i 〔C 〕 〔D 〕【答案】A 【解析】，应选A ．22．〔2021北京，理9，5分〕设，假设复数在复平面内对应的点位于实轴上，那么_____________． 【答案】－1【解析】(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋ai ＋i 2＝a ＋i ＋ai －1＝(a －1)＋(1＋a)i ，由题意得虚部为0，即(1＋a)＝0，解得a ＝－1． 23．〔2021江苏，文/理2，5分〕复数其中i 为虚数单位，那么z 的实部是____．【答案】524．〔2021山东，文2，5分〕假设复数21iz =-，其中i 为虚数单位，那么z ＝( ) 〔A 〕1＋i〔B 〕1−i〔C 〕−1＋i 〔D 〕−1−i【答案】B25．〔2021山东，理1，5分〕假设复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，那么z ＝( )〔A 〕1＋2i 〔B 〕1-2i 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i --【答案】B26．〔2021上海，文/理2，5分〕设32iiz +=，其中i 为虚数单位，那么z 的虚部等于_______． 【答案】-312i=2i+-i -1i -12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i)5+++++-===--+a ∈R (1i)(i)a ++a =(12i)(3i),z =+-【解析】32i 23i,iz +==-故z 的虚部等于−3．27．〔2021四川，文1，5分〕设i 为虚数单位，那么复数(1＋i)2＝( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2＋2i 【答案】C【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，应选C ．28．〔2021天津，文9，5分〕i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，那么z 的实部为_______．【答案】1【解析】2(1)211i i iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．29．〔2021天津，理9，5分〕,a b ∈R ，i 是虚数单位，假设(1+i)(1-b i)＝a ，那么ab的值为____．【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．。
复数(2012-2021)高考数学真题
复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1 CD ．22．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0B ．1CD ．23．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4iD ．4i .4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））复数113i -的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3106．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2BC D ．17．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2iD ．–1–2i9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．B ．12C ．1 D12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i +=A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i +=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+14．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i - B ．13i + C ．3i +D ．33i +18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（ ）A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B CD ．221．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．−3B ．−2C ．2D ．322．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BC D ．223．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i -24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则z z =A ．1B ．1-C ．4355i +D ．4355i -26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．229．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））若a 为实数,且2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3- C ．3 D ．430．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1-B ．0C ．1D ．231．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2.32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））A ．B ．C ．D ．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A ．- 5B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)i i +=- A ．112i -- B ．112i -+ C ．112i + D ．112i - 36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4D ．4537．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i +=A ．B ．2CD ．138．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32iz i-+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i --40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p。
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
高中数学《复数》高考真题汇总(详解)——精品文档
高中数学《复数》高考真题汇总（详解）1.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+2.复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（ ） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==5.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=26.已知21i =-，则i(1)=（ ）i i C.i D.i 7.设i 为虚数单位，则51ii-=+（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3iD.2+3i8．已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 9.在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i10. i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（ ）A.－1B.1C.i -D.i11. i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i 12．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）A.1＋iB.5＋5iC.-5-5iD.-1－i 13.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3 14. i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-115.复数3223ii+=-（ ） A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i16.已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 17. i 33i=+ （ ） A.13412- B.13412+ C.1326i + D.1326- 18.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A.EB.FC.GD.H19.某程序框图如左图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ） A. k ＞4? B.k ＞5? C. k ＞6? D.k ＞7? 20.如果执行下图（左）的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于（ ）A.720B.360C.240D.12021.如果执行上图（右）的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（ ） A.1m nC - B.1m nA - C.m n C D.mn A22.某程序框图如下图（左）所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） A.k >4? B.k >5? C. k >6? D. k >7?23.【2010·天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.3标准答案1.【答案】D【解析】可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错；B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错；C 项，y z z 2≥-，故C 错；D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题. 2.【答案】A【解析】本试题主要考查复数的运算.231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. 3.【答案】A【解析】本题考查复数的运算及几何意义.1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 4.【答案】A【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力. 由121ii a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A.5.【答案】D【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2. 6.【答案】B【解析】直接乘开，用21i =-代换即可.(1)i i =，选B. 7.【答案】C【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题. 8.【答案】B 9.【答案】C 10. 【答案】A【解析】由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1. 11.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 12.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
复数高考真题一解析
复数高考真题一解析一、选择题解析1. 题目分析本题考查了复数的基本概念和运算规则。
考生需要理解复数的定义以及加减乘除等基本运算的性质。
2. 解题步骤首先，明确题目中给出的复数表达式。
然后，根据复数的运算法则，逐步化简表达式。
在计算过程中，注意实部与虚部的分离与合并。
3. 具体解答设复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，其中 $a, b, c, d$ 均为实数。
根据复数的加法法则，$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
根据复数的乘法法则，$z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$。
由于 $i^2 = -1$，所以 $z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
4. 常见错误在计算过程中，考生容易忽视 $i^2 = -1$ 的性质，导致结果错误。
此外，实部与虚部的合并时，要注意项的系数相加。
二、填空题解析1. 题目分析本题考查了复数的模和共轭的计算方法。
考生需要掌握复数模的定义以及共轭复数的概念。
2. 解题步骤首先，根据复数的模的定义，计算复数的模长。
然后，根据共轭复数的定义，求出给定复数的共轭。
3. 具体解答设复数 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数。
复数 $z$ 的模为 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。
复数 $z$ 的共轭为 $\overline{z} = a - bi$。
4. 常见错误在计算模长时，考生有时会忘记开平方根。
在求共轭复数时，易忽略改变虚部的符号。
三、解答题解析1. 题目分析本题考查了复数在几何上的应用，特别是复平面上的表示和复数与三角形的结合。
2. 解题步骤首先，根据题意将复数表示在复平面上。
然后，利用复数的性质解决几何问题。
在解题过程中，要注意复数与三角形边长和角度的对应关系。
高考数学复数习题及答案 百度文库
一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 2．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）A ．12BCD ．23．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ）A ．97- B ．7 C ．97 D ．7-4．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15- D ．15i - 5．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．iC iD i6．若复数z 满足()322i z i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35i - C ．35 D ．35i 7．若1m i i+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1 D8．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ）A ．1B C ．2 D ．4 9．复数12i z i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．已知复数z 的共轭复数212i z i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -11．已知i 为虚数单位，则43i i =-（ ）A ．2655i +B ．2655i -C ．2655i -+D ．2655i -- 12．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5BC ．2D 13．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限14．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）A ．1B C D ．2 15．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0 B ．12 C ．1 D ．2二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．若复数351i z i -=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限18．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 19．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =20．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 21．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限22．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 23．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限24．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =-D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =26．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限27．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=28．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z29．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】.故选：C解析：C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-. 故选：C2．B【分析】先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解.【详解】由于，则.故选：B解析：B【分析】 先利用复数的除法运算将1=-i z i 化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】 由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+，则||2z ===. 故选：B3．B【分析】先求出，再解不等式组即得解.【详解】依题意，，因为复数为纯虚数，故，解得.故选：B【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B【分析】 先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解. 【详解】 依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 为纯虚数，故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =. 故选：B【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.4．A【分析】先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部.【详解】因为，所以其虚部是.故选：A.解析：A【分析】 先由复数的除法运算化简复数23i i-+，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】 因为22(3)26133(3)(3)1055i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 故选：A.5．D【分析】先对化简，求出，从而可求出【详解】解：因为，所以，故选：D解析：D【分析】 先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D 6．A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得，其虚部为，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A. 7．C【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.【详解】由题是纯虚数，为纯虚数，所以m=1.故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.【详解】由题1m i i+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1.故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.8．B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 9．A【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题 解析：A【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】 由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限， 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.【分析】先化简，由此求得，进而求得的虚部.【详解】，所以，则的虚部为.故选：A解析：A【分析】 先化简z ，由此求得z ，进而求得z 的虚部.【详解】()()()()212251212125i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z i ，则z 的虚部为1.故选：A11．C【分析】对的分子分母同乘以，再化简整理即可求解.【详解】，故选：C解析：C【分析】 对43i i-的分子分母同乘以3i +，再化简整理即可求解. 【详解】 ()()()434412263331055i i i i i i i i +-+===-+--+， 故选：C12．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 13．A【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A.解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】 因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.14．B【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模．【详解】由题意，∴．故选：B ．解析：B【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．15．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】 由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=．故选：C ．二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.18．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 19．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.20．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误； 当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.21．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.22．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.24．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则122z =-，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．26．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；2211112222122222ω----====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误.故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.27．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】 本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．28．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.29．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
复数—(2018-2022)高考真题汇编
复数—（2018-2022）高考真题汇编一、单选题(共35题；共70分)1．（2分）（2022·浙江）已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1，b=−3B．a=−1，b=3C．a=−1，b=−3D．a=1，b=3【答案】B【解析】【解答】由题意得a+3i=bi−1，由复数相等定义，知a=−1，b=3.故答案为：B【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．2．（2分）（2022·新高考Ⅱ卷）(2+2i)(1−2i)=（）A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i【答案】D【解析】【解答】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，故答案为：D【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.3．（2分）（2022·全国乙卷）设(1+2i)a+b=2i，其中a，b为实数，则（）A．a=1，b=−1B．a=1，b=1C．a=−1，b=1D．a=−1，b=−1【答案】A【解析】【解答】易得(a+b)+2ai=2i，根据复数相等的充要条件可得a+b=0，2a=2，解得：a=1，b=−1．故选：A【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则以及复数相等的充要条件即可求解.4．（2分）（2022·全国甲卷）若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【解答】解：由题意得， z =−1−√3i ，则zz =(−1+√3i)(−1−√3i)=4 则z zz−1=−1+√3i 3=−13+√33i .故选：C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.5．（2分）（2022·全国甲卷）若 z =1+i ．则 |iz +3z̅|= （ ）A ．4√5B ．4√2C ．2√5D ．2√2【答案】D【解析】【解答】解：因为z=1+i ，所以iz +3z =i (1+i )+3(1−i )=2−2i ，所以 |iz +3z|=√4+4=2√2 ． 故选：D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念先求得iz +3z =2−2i ，再由复数的求模公式即可求出.6．（2分）（2022·全国乙卷）已知 z =1−2i ，且 z +az̅+b =0 ，其中a ，b 为实数，则（ ）A ．a =1，b =−2B ．a =−1，b =2C ．a =1，b =2D ．a =−1，b =−2【答案】A【解析】【解答】易知 z̅=1+2i 所以 z +az̅+b =1−2i +a(1+2i)+b =(1+a +b)+(2a −2)i 由 z +az̅+b =0 ，得 {1+a +b =02a −2=0，即 {a =1b =−2 . 故选：A【分析】先求得 z̅ ，再代入计算，由实部与虚部都为零解方程组即可. 7．（2分）（2022·北京）若复数 z 满足 i ⋅z =3−4i ，则 |z|= （ ）A ．1B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】【解答】由已知条件可知 z =3−4ii=−4−3i ，所以 |z|=√(−4)2+(−3)2=5 . 故答案为：B【分析】根据复数的代数运算以及模长公式，进行计算即可.8．（2分）（2022·新高考Ⅱ卷）若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，z=1−1i=1−ii2=1+i，则z̅=1−i，则z+z̅=2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，z̅，再求z+z̅即可.9．（2分）（2021·新高考Ⅱ卷）复数2−i1−3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【解答】解：2−i1−3i=(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，表示的点为(12，12)，位于第一象限.故答案为：A【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可10．（2分）（2021·北京）在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=（）A．2+i B．2−i C．1−i D．1+i 【答案】D【解析】【解答】解：z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.11．（2分）（2021·浙江）已知a∈R，(1+ai)i=3+i，(i为虚数单位)，则a=（）A．-1B．1C．-3D．3【答案】C【解析】【解答】因为(1+ai)i=3+i，所以1+ai=3+ii=3i−1i·i=1−3i利用复数相等的充分必要条件可得：a=−3.故答案为：C.【分析】根据复数相等的条件，即可求得a的值。
历年高考数学真题(全国卷整理版)完整版完整版
参考公式：如果事件 A、B互斥，那么球的表面积公式P( A B) P( A) P(B)S 4R2如果事件 A、B相互独立，那么其中 R表示球的半径P(A B) P( A) P(B)球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么V3R3n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k次的概率4其中 R 表示球的半径P n (k ) C n k p k (1 p)n k (k 0,1,2, n)普通高等学校招生全国统一考试一、选择题13i 1、复数i =1A 2+I B2-I C 1+2i D 1- 2i2、已知集合 A ＝{1.3.m }，B＝{1，m} ,A B ＝ A, 则 m=A0或3 B 0或3C1或3 D 1或33椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为A x2y2=1Bx2y2=1 16++12128C x2y2=1Dx2y28+12+=1 444已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C1D1中，AB=2 ，CC1= 2 2 E 为 CC1的中点，则直线 AC 1与平面 BED 的距离为A2B3C2D1（5）已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n， a5=5， S5=15，则数列的前100项和为10099(C)99101(A)(B)(D)100101101100（6）△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若a· b=0， |a|=1， |b|=2，则(A)（B）(C)(D)3（7）已知α为第二象限角，sinα＋ sinβ =3，则 cos2α = 5555--(C) 9(D)3(A)3（B）9（8）已知 F1、 F2 为双曲线 C： x2-y2=2的左、右焦点，点P 在 C 上， |PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2=1334(A) 4（B）5(C)4(D)51（9）已知 x=ln π， y=log52 ，z=e2，则(A)x ＜ y＜ z（B）z＜x＜y(C)z ＜ y＜ x(D)y ＜ z＜ x(10) 已知函数y＝ x2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则c＝（A ）-2 或 2 （B）-9 或 3 （C）-1 或 1 （D）-3 或 1（11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12 种（ B）18 种（ C）24 种（ D）36 种7（12）正方形 ABCD 的边长为1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE ＝ BF ＝3。
(完整word版)高考真题：复数
高考真题：复数一、单选题1i （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i2．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z=（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2=（A ）0 （B ）2 （C ）2i （D ）2+2i4．设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 45 （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i -6．若43i z =+，则（A ）1 （B ）1- （C （D 7．若z=1+2i ，则41i zz =- A ． 1 B ． −1 C ． i D ． −i8．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ． 12i -+B ． 12i -C ． 32i +D ． 32i -9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ． ()31-，B ． ()13-， C ． ()1,+∞ D ． ()3-∞-， 10．设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）A ． −3B ． −2C ． 2D ． 311．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y（A ）1 （B （C （D ）212．(2017高考新课标III，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ． 12B ． √22C ． √2D ． 213．若复数(1−i )(a +i )在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． (−∞,1)B ． (−∞,−1)C ． (1,+∞)D ． (−1,+∞)14．已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =A ． -2iB ． 2iC ． -2D ． 215．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． （–∞，1）B ． （–∞，–1）C ． （1，+∞）D ． （–1，+∞）16．已知R a ∈， i 是虚数单位，若z a =， 4z z ⋅=，则a =（）A ． 1或1-B ． 或C ．D ． 17．3+i 1+i =( )A ． 1+2iB ． 1−2iC ． 2+iD ． 2−i18．，2017新课标全国卷II 文科）(1+i )(2+i )=A ． 1−iB ． 1+3iC ． 3+iD ． 3+3i19．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限20．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ，p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ，p 3：若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2，p 4：若复数z ∈R ，则z̅∈R .其中的真命题为A ． p 1,p 3B ． p 1,p 4C ． p 2,p 3D ． p 2,p 421．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ． i(1+i)2B ． i 2(1−i)C ． (1+i)2D ． i(1+i)二、填空题22，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________.23．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a _______. 24．设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.25．已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii -+为实数，则a 的值为__________．参考答案1．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】B. 2．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故2,1-==b a ，则12i z =-，选B.3．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）试题分析：22(1i)12i i 2i +=++=，故选C.【答案】A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）【解析】 试题分析：二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.5．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.6．D【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】D ． 【考点】复数的运算、共轭复数、复数的模 【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．7．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析： ()()44112121i i i zz i i ==-+--，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 视频 8．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.【考点】 复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.视频9．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量OZ uuu r . 视频 10．A 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：(1+2i)(a +i)=a −2+(1+2a)i ，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 2=−1中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.11．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以故选B.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.12．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】由题意可得z =2i 1+i ，由复数求模的法则可得|z 1z 2|=|z 1||z 1|，则|z |=|2i ||1+i |=√2=√2.故选C.【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)z 1±z 2=z 1±z 2，(2)z 1×z 2=z 1×z 2；(3)z ⋅z̅=|z |2=|z̅|2，(4)||z 1|−|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|，(5)|z 1z 2|=|z 1|×|z 2|，(6)|z 1z 2|=|z 1||z 1|. 13．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设z =(1−i )(a +i )=(a +1)+(1−a )i ，因为复数对应的点在第二象限，所以{a +1<01−a >0，解得：a <−1，故选B. 14．A【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】由i 1i z =+得()()22i 1i z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2∈±2i∈(2)∈i,∈∈i.15．B 【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以10{ 10a a +<->，解得： 1a <-，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量OZ uuu v .16．A【来源】【全国百强校】河北省曲周县第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.17．D【来源】江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试数学（理）试题【解析】3+i 1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i+i+11+1=4−2i 2=2−i故选D18．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】由题意(1+i )(2+i )=2+3i +i 2=1+3i ，故选B. 点睛:首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a +b i )(c +d i )=(ac −bd)+ (ad +bc)i (a,b,c,d ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a +b i (a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为√a 2+b 2、对应点为(a,b)、共轭复数为a −b i .19．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】()i 2i 12i z =-+=--，则表示复数()i 2i z =-+的点位于第三象限. 所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()()i i i ,,,a b c d ac bd ad bc a b c d R ++=-++∈.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数()i ,a b a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应的点为(),a b 、共轭复数为i.a b -20．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】令z =a +b i (a,b ∈R)，则由1z =1a+b i =a−b ia 2+b 2∈R 得b =0，所以z ∈R ，故p 1正确；当z =i 时，因为z 2=i 2=−1∈R ，而z =i ∉R 知，故p 2不正确；当z 1=z 2=i 时，满足z 1⋅z 2=−1∈R ，但z 1≠z 2，故p 3不正确；对于p 4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成z =a +b i (a,b ∈R)的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.21．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ ()2i 1i 1i -=-+ , 2(1i)2i += , ()i 1i 1i +=-+ ,所以选C.22．-3【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷精编版）【解析】z 的虚部等于−3. 【考点】复数的运算、复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目来看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.23．2【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析：由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩故答案为2．【考点】复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如答案第7页，总7页 i i i()(a+b )(c+d )=(ac bd)+(ad +bc)a,b,c,d -∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为、共轭复数为i a b -.24．1-【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】 试题分析：由题意得(1i)(i)1(1)i 1a a a a ++=-++∈⇒=-R .【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.25．-2【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版） 【解析】()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a i i i i ----+--+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. 【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(),z a bi a b R =+∈，当0b ≠时， z 为虚数，当0b =时， z 为实数，当0,0a b =≠时， z 为纯虚数.。
高考数学专题02 复数(解析版)
专题02 复数一、单选题1．（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数()()2i 1i z a =++（其中i 为虚数单位，a R ∈）在复平面内对应的点为()1,3，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．1-D ．0【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为()()()2i 1i 22i z a a a =++=-++， 又因为复数在复平面内对应的点为()1,3，所以2123a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a = 故选：A2．（2022·河北保定·高三期末）()()2212i 1i --+=（ ） A ．32i -- B ．36i -- C ．32i - D ．36i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】22(12i)(1i)34i 2i 36i --+=---=--.故选：B3．（2022·河北张家口·高三期末）已知12z i =-，则5iz=（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．105i -D ．105i -+【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】()()()5i 12i 5i 5i2i 12i 12i 12i z +===-+--+， 故选：A.4．（2021·福建·莆田二中高三期末）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10C ．11D ．无数【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4kZ ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数z 满足()23i 32i z -=+，则z =（ ）A．12 B C ．1 D 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件结合复数除法计算复数z ，进而计算z 的模作答. 【详解】因复数z 满足()23i 32i z -=+，则32i (32i)(23i)13ii 23i (23i)(23i)13z +++====--+， 所以1z =. 故选：C6．（2022·山东枣庄·高三期末）已知i 为虚数单位，则2022i =（ ）． A ．1 B ．1- C ．I D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】由于41i =，故2022i 可以化简为2i ，即可得到答案. 【详解】20224505+22i i ==i ⨯=1-.故选：B.7．（2022·山东德州·高三期末）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】21i 22|2i |i i +=+=-=z =则复数z 在复平面内所对应的点坐标为⎝⎭，在第一象限.故选：A8．（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z 是纯虚数，11iz+-是实数，则z =（ ） A ．－i B ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【解析】 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B9．（2022·山东临沂·高三期末）已知复数26i1iz +=-，i 为虚数单位，则z =（ ）A．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，然后求得z . 【详解】 ()()()()()()()()26i 1i 26i 1i 13i 1i 24i1i 1i 2z ++++===++=-+-+，z =故选：C10．（2022·湖北武昌·高三期末）已知复数1i z =-，则2iz=-（ ） A ．13i 55-B ．13i 55--C ．13i 55-+D ．1355i +【答案】D 【解析】 【分析】先得出z ，由复数的乘法运算可得答案. 【详解】复数1i z =-，则1i z =+则()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 2i 5z ++++===---+ 故选：D11．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知复数数列{}n a 满足12i a =，1i i 1n n a a +=++，N n *∈，（i 为虚数单位），则10a =（ ） A ．2i B ．2i - C ．1i + D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】推导出数列{}i n a -是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得10a 的值. 【详解】由已知可得()1i i i n n a a +-=-，因此，数列{}i n a -是以1i i a -=为首项，以i 为公比的等比数列，所以，91010i i i i 1a -=⋅==-，故101i a =-+.故选：D.12．（2022·湖北江岸·高三期末）已知()12i 43i z -=-，则z =（ ） A ．10i +B ．2i +C ．2i -D ．25i +【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】 由已知可得()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，因此，2i z =-. 故选：C.13．（2022·湖北襄阳·高三期末）下面是关于复数22i 1i z =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）A ．2z =B ．复数z 在复平面内对应点在直线y x =上C ．z 的共轭复数为11i 22-D ．z 的虚部为1i 2-【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项即得． 【详解】∵22i 11i 1i 1i 2z ---===--，所以z =A 错误；所以复数z 在复平面内对应点坐标为11(,)22--，在直线y x =上，B 正确；所以z 的共轭复数为11i 22-+，C 错误；所以z 的虚部为12-，D 错误．故选：B ．14．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）复数4i1iz =+，则z =（ ） A ．22i -- B ．22i -+C ．22i +D ．22i -【答案】D 【解析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+ ，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.15．（2022·湖北·高三期末）已知复数121i,i z z =-=，则复数12z z 的共轭复数的模为（ ） A ．12 B2C ．2 D【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得121i z z =--，再根据共轭复数的概念与模的公式计算即可. 【详解】解：因为121i,i z z =-=， 所以()121iii 1i 1i z z -==--=--， 所以复数12z z 的共轭复数为1i -+.故选：D16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若1i z =-+．设zz ω=，则ω=（ ） A ．2i B ．2C ．22i +D ．22i -【答案】B 【解析】 【分析】根据1i z =-+求出1i z =--，结合复数的乘法运算即可. 【详解】由1i z =-+，得1i z =--，所以2(1i)(1i)=(i 1)=2zz ω==-+----. 故选：B17．（2022·湖南常德·高三期末）已知复数z 满足：()1i i z +=，则z z ⋅=（ ）A ．12 B C ．1D ．i 2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数的除法运算求出z ，然后根据复数的乘法运算即可求出结果. 【详解】 因为(1)z i i +=， 所以()()i 1i i 1i 11i 1i (1i)1i 222z -+====+++-， 因此11111i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=.故选：A.18．（2022·湖南娄底·高三期末）复数()i 3i z =-⋅在复平面内对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘法法则计算出z ，然后可得其对应点的坐标，得所在象限． 【详解】∵()3i i 13i z =-=+⋅，∴z 在复平面内对应的点为()1,3，位于第一象限． 故选：A ．19．（2022·湖南郴州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数z 满足()i 123i 4z +=+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B 【解析】根据复数的模和除法运算，即可得到答案； 【详解】 |43i |55(12i)12i 12i 12i 5z +-====-++ ∴12i z =+，故选：B20．（2022·广东揭阳·高三期末）复数z 满足()1i 1i(i z +=-为虚数单位)，则z 的模为（ ） A．12-B ．12C ．1 D【答案】C 【解析】 【分析】先做除法运算求出复数z ，再根据复数模的计算公式求其模. 【详解】由()1i 1i z +=-得1ii 1iz -==-+，从而i 1z =-= 21．（2022·广东潮州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数21i 1i -=+z ，则z 的虚部为（ ）A ．0B ．－1C ．－iD ．1【答案】B 【解析】 【分析】化简复数z 1i =-， z 的虚部为i 前面的系数，即可得到答案. 【详解】21i 22(1-i)1i 1i 1i (1i)(1-i)z -====-+++.则z 的虚部为－1.故选：B.22．（2022·广东罗湖·高三期末）已知复数()1i i =+⋅z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D 【解析】求出复数z，进而可得其共轭复数.【详解】()1i i=1+iz=+⋅-，则1iz=--故选：D.23．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数z满足(1i)|1|+=z，则z=（）A．1i-B．1i+C．22i-D．22i+【答案】B【解析】【分析】结合复数除法运算求出z，进而得出z.【详解】因为21i1i===-+z，所以1iz=+．故选：B24．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足1i12iz+=+其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．3i5--B．3i5-+C．3i5-D．3i5+【答案】D 【解析】【分析】化简可得3i5z-=，根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】因为1i(1i)(12i)3i12i(12i)(12i)5z++--===++-，所以3i5z+ =，故选：D．25．（2022·江苏通州·高三期末）20221i1i-⎛⎫=⎪+⎝⎭（）A ．1B ．iC ．－1D ．－i【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法和复数的乘方运算计算． 【详解】21i (1i)i 1i (1i)(1i)--==-+-+， 所以2022202221i (i)i 11i -⎛⎫=-==- ⎪+⎝⎭．故选：C ．26．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知复数z 满足()1i 4i z +=，则z =（ ） A．2 B C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()()()()4i 1i 4i2i 1i 22i 1i 1i 1i z -===-=+++-，因此，z = 故选：C.27．（2022·江苏扬州·高三期末）若复数z ＝202112i +（i 为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数z ＝202112i +，得到其对应点的坐标即可解决.【详解】z 202112i ==+12i =+2i 21i 555-=-， 则z 在复平面上对应的点为21(,)55Z -，Z 位于第四象限.故选：D28．（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．－12＋52iB ．12＋52iC ．12－52iD ．－12－52i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】 ∵(1－i)z ＝2＋3i, ∴()()()()23i 1i 23i 15i 15i 1i 1i 1i 222z +++-+====-+-+-. 故选：A.29．（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z 满足202120222023i 4i 3i z =-，则z ＝（ ） A ．4＋3i B ．4－3iC ．3＋4iD ．3－4i【答案】C 【解析】 【分析】将202120222023i 4i 3i z =-中的202120222023i ,i ,i ，根据41i = 化简，即可得答案. 【详解】 因为41i =，故由202120222023i 4i 3i z =-可得：23i 4i 3i z =-，即4i 334i z =+=+， 故选：C.30．（2022·江苏苏州·高三期末）设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】 【分析】用复数的乘法法则及纯虚数的定义即可. 【详解】(1i)(1i)1i i 1(1)i a a a a a -+=+-+=++-为纯虚数，10a ∴+=，1a ∴=-，故选:A ．31．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C. 二、多选题32．（2022·河北唐山·高三期末）已知复数i z a b =+（,a b ∈R 且0b ≠），z 是z 的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．z z +∈R B ．z z -∈RC ．z z ⋅∈RD ．zz∈R【答案】AC 【解析】 【分析】由题知i z a b =-，进而根据复数的加减乘除运算依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，i z a b =+，i z a b =-，所以2z z a +=∈R ，故正确； 对于B 选项，i z a b =+，i z a b =-，2i z z b -=∉R ，故错误；对于C 选项，i z a b =+，i z a b =-，22z z a b ⋅=+∈R ，故正确；对于D 选项，i z a b =+，i z a b =-，()22222222i i i i z a b ab z a a b a b a b b a b --===+-+-+， 所以当0a =时，z z ∈R ，当0a ≠时，zz ∉R ，故错误.故选：AC33．（2022·山东莱西·高三期末）已知复数()21i z a a =+-，i 为虚数单位，a R ∈，则下列正确的为（ ）A ．若z 是实数，则1a =-B ．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上C ．zD ．若21z z =+，则1a =±【答案】BC 【解析】 【分析】以实数定义求出参数a 判断选项A ；以复数z 对应点的坐标判断选项B ；求出复数z 的模判断选项C ；以复数相等求出参数a 判断选项D. 【详解】选项A ：由复数()21i z a a =+-是实数可知210a -=，解之得1a =±.选项A 判断错误；选项B ：复数()21i z a a =+-在复平面内对应点2(,1)Z a a -，其坐标满足方程21y x =-，即点2(,1)Z a a -位于抛物线21y x =-上. 判断正确；选项C ：由()21i z a a =+-，可得z ===判断正确； 选项D ：21z z =+ 即()()221i =2121i a a a a +-+--可得()2221121a a a a =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解之得1a =-.选项D 判断错误. 故选：BC34．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【解析】 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，z z ==，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC35．（2022·江苏如皋·高三期末）关于复数12z =- (i 为虚数单位)，下列说法正确的是（ ）A ．|z |＝1B ．z ＋z 2＝－1C ．z 3＝－1D ．(z ＋1)3＝i【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D. 【详解】由复数12z =-,可得||1z == ，故A 正确；2211112222z z +=--=-- ，故B 正确；3222111()1222z z z =⋅=--+--=，故C 错误；3221111(1)(1)(1)(((12222z z z ⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误， 故选：AB.36．（2022·江苏苏州·高三期末）下列命题正确的是（ ） A ．若12,z z 为复数，则1212z z z z =⋅ B ．若,a b 为向量，则a b a b ⋅=⋅C ．若12,z z 为复数，且1212z z z z +=-，则120z z =D ．若,a b 为向量，且a b a b +=-，则0a b ⋅= 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】令1i z a b =+，()2i ,,,R z c d a b c d =+∈，，12()i z z ac bd ad bc =-++，12z z ===1z =2z =1212z z z z ∴=⋅，A 对；cos a b a b θ⋅=⋅⋅，cos a b a b a b θ∴⋅=⋅⋅=⋅不一定成立，B 错； 12()()i z z a c b d +=+++，12()()i z z a c b d -=-+-，1212z z z z -=+，0ac bd ∴+=，12(i)(i)()i 0z z a b c d ac bd ad bc =++=-++≠，C 错．将a b a b +=-两边平方并化简得0a b ⋅=，D 对. 故选：AD 三、填空题37．（2021·福建·莆田二中高三期末）设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______ 【答案】5π 【解析】 【分析】依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解； 【详解】解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π38．（2022·广东佛山·高三期末）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________. 【答案】28i -- 【解析】 【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答. 【详解】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--. 故答案为：28i --39．（2022·江苏常州·高三期末）i 是虚数单位，已知复数z 满足等式2i0i z z+=，则z 的模z =________．【解析】 【分析】以复数运算规则和复数模的运算性质对已知条件进行变形整理，是本题的简洁方法. 【详解】 由2i 0i z z +=，可得2i i z z =- 则有2ii z z-=，即i 2i 2z z ⨯=⨯-=，故有z =。
复数十年高考题(带详细解析)
复 数●试题类编※1.设复数z 1=－1+i ，z 2=2321+i ，则arg 21z z 等于（ ） A.－125π B.125π C.127π D.1213π2.复数z =iim 212+-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限※3.如果θ∈（2π，π），那么复数（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）的辐角的主值是（ ）A.θ＋49π B.θ＋4πC.θ4π-D.θ＋47π 4．复数（2321+i ）3的值是（ ） A. －i B.i C.－1 D.15.如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）※6.已知复数ｚ＝i 62+，则arg z 1是（ ）A.6πB.611πC.3π D.35π图12—1※7.设复数z 1＝－1－i 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转65π后得到向量2OZ ，令2OZ 对应的复数z 2的辐角主值为θ，则tan θ等于（ ）A.2－3B.－2＋3C.2＋3D.－2－3※8.在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ ）A.23B.－23iC.3－3iD.3+3i※9.复数z ＝)5sin5(cos3ππi --（i 是虚数单位）的三角形式是（ ）A.3［cos （5π-）＋i sin （5π-）］ B.3（cos5π＋i sin5π）C.3（cos54π＋i sin 54π）D.3（cos56π＋i sin 56π） 10.复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 11.设复数z 1＝2sin θ＋i cos θ（4π＜θ＜2π)在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转43π后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为z 2＝ r （cos ϕ＋i sin ϕ），则tan ϕ等于（ ）A.1tan 2tan 2-θθB.1tan 21tan 2+-θθC.1tan 21+θD.1tan 21-θ※12.复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是（ ）A.i 2123±B.i 2123±-C.±i 2123+ D.±i 2123- 13.复数54)31()22(i i -+等于（ ） A.1+3i B.－1+3i C.1－3iD.－1－3i14.设复数z =－2321+i （i 为虚数单位），则满足等式z n =z 且大于1的正整数n 中最小的是（ ）A.3B.4C.6D.715.如果复数z 满足|z +i |+|z －i |=2，那么|z +i +1|的最小值是（ ）A.1B.2C.2D.5二、填空题16.已知z 为复数，则z +z ＞2的一个充要条件是z 满足 .17.对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i （x 1、y 1、x 2、y 2为实数），定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2．设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为 ．18.若z ∈C ，且（3＋z ）i ＝1（i 为虚数单位），则z ＝ ．19.若复数z 满足方程z i =i －1（i 是虚数单位），则z =_____. 20.已知a =ii213+--（i 是虚数单位），那么a 4=_____.21.复数z 满足（1+2i ）z =4+3i ，那么z =_____. 三、解答题22.已知z 、w 为复数，（1＋3i ）z 为纯虚数，w ＝iz+2，且|w |＝52，求w ．23.已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b z＝（a＋2z）2．24.已知z7＝1（z∈C且z≠1）.（Ⅰ）证明1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0；（Ⅱ）设z的辐角为α，求cosα＋cos2α＋cos4α的值.※25.已知复数z1＝i（1－i）3.（Ⅰ）求arg z1及|z1|；（Ⅱ）当复数z满足|z|＝1，求|z－z1|的最大值.26.对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z 2n －1，n ∈N ｝． （Ⅰ）设α是方程x ＋21=x的一个根，试用列举法表示集合M α； （Ⅱ）设复数ω∈M z ，求证：M ω⊆M z ．27.对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z n ，n ∈N ｝． （Ⅰ）设z 是方程x +x1=0的一个根，试用列举法表示集合M z ．若在M z 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）若集合M z 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．28.设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|2z－m|＝52（m∈R），求z和m的值.29.已知复数z0＝1－mi（M＞0），z＝x＋yi和ω＝x′＋y′i，其中x，y，x′，y′均为z·z，|ω|＝2|z|．实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有ω＝（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；（Ⅱ）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.※30.设复数z ＝3cos θ＋i ·2sin θ.求函数y ＝θ－arg z （0＜θ＜2）的最大值以及对应的θ值.※31.已知方程x 2＋（4＋i ）x ＋4＋ai ＝0（a ∈R ）有实数根b ，且z =a +bi ，求复数z （1－ci ）（c ＞0）的辐角主值的取值范围.※32.设复数z满足4z+2z=33+i，ω=sinθ－i cosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.※33.已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2的模.※34.已知向量OZ 所表示的复数z 满足（z －2）i =1+i ，将OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转4π得1OZ ，设1OZ 所表示的复数为z ′，求复数z ′+2i 的辐角主值.※35.已知复数z =2321+i ，w =2222+i ，求复数zw +zw 3的模及辐角主值.36.已知复数z =2321+i ，ω=2222+i .复数z ω，z 2ω3在复数平面上所对应的点分别是P 、Q .证明：△OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）.37.设虚数z 1，z 2满足z 12=z 2.（1）若z 1、z 2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z 1、z 2； ※（2）若z 1=1+mi （m ＞0，i 为虚数单位），ω=z 2－2，ω的辐角主值为θ，求θ的取值范围.38.设z 是虚数，w =z +z1是实数，且－1＜ω＜2. （Ⅰ）求|z |的值及z 的实部的取值范围； （Ⅱ）设u =zz+-11，求证：u 为纯虚数； （Ⅲ）求w －u 2的最小值.39.已知复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|＝1，且z 1+z 2=2321+i .求z 1、z 2的值.※40.设复数z=cosθ+i sinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和辐角.※41.在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+3i，求Z1和Z3对应的复数.※42.已知z =1+i ，（Ⅰ）设w =z 2+3z －4，求w 的三角形式.（Ⅱ）如果122+-++z z bax z =1－i ，求实数a ，b 的值.43.设w 为复数，它的辐角主值为43π，且ωω4)(2-为实数，求复数w .答案解析1.答案：B解析一：通过复数与复平面上对应点的关系，分别求出z 1、z 2的辐角主值.arg z 1=43π，arg z 2=3π.所以argπππ12534321=-=z z ∈［0，2π）， ∴arg12521=z z π. 解析二：因为i i i i i z z )2123()2123()2321)(1(2321121++-=-+-=++-=. 在复平面的对应点在第一象限.故选B评述：本题主要考查复数的运算法则及几何意义、辐角主值等概念，同时考查了灵活运用知识解题的能力，体现了数形结合的思想方法.2.答案：A解析：由已知z =51)21)(21()21)(2(212=-+--=+-i i i i m i i m ［（m －4）－2（m +1）i ］在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎨⎧<+>-0104m m 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.3.答案：B解析：（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）＝2（cos4π＋i sin4π）（cos θ＋i sin θ）＝2［cos （θ＋4π）＋i sin （θ＋4π）］∵θ∈（2π，π） ∴θ＋4π∈（43π，45π） ∴该复数的辐角主值是θ＋4π．4.答案：C解法一：（2321+i ）3＝（cos60°＋i sin60°）3＝cos180°＋i sin180°＝－1 解法二：i i 2321,2321+-=-=+ωω， ∴1)()()2321(333-=-=-=+ωωi 5.答案：D 6.答案：D 解法一：35arg 21arg ),3sin 3(cos 22)2321(22ππππ=-=+=+=z z i i z 解法二：)31(2i z +=∴22311iz -=∴z 1,0223,0221<->应在第四象限，tan θ＝3-，θ＝arg z 1． ∴argz 1是35π． 7.答案：C 解析：∵arg z 1＝45π，arg z 2＝125π ∴tan θ＝tan125π＝tan75°＝tan （45°＋30°）＝323333+=-+． 8.答案：B解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是i i i i i 32)2321)(33()]3sin()3)[cos(33(-=--=-+--ππ．9.答案：C解法一：采用观察排除法.复数)5sin5(cos3ππi z--=对应点在第二象限，而选项A 、B 中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D 不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.解法二：把复数)5sin5(cos3ππi z --=直接化为复数的三角形式，即).54sin 54(cos 3)]5sin()5[cos(3)5sin5cos(3ππππππππi i i z +=-+-=+-= 10.答案：D 解析：ππππ1223arg 47,47arg ,6arg 02121<⋅<=<<z z z z ． 11.答案：A解析：设z 1＝2sin θ＋i cos θ＝|z 1|（cos α＋i sin α）， 其中|z 1|＝||sin 2cos ,cos sin 4122z θαθθ=+， sin α＝||cos 1z θ（24πθπ<<）． ∴z 2＝|z 1|·［cos （α43π-）＋i sin （α43π-）］ ＝r （cos ϕ＋i sin ϕ）．∴tan ϕ＝1tan 21tan 2cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos )43cos()43sin(cos sin -+=-+=-+=--=θθθθθθααααπαπαϕϕ12.答案：D 解法一：∵－i =cos23π+i sin 23π ∴－i 的三个立方根是cos 3223sin 3223ππππk i k +++（k =0，1，2）当k =0时，i i i =+=+2sin 2cos 323sin 323cos ππππ； 当k =1时，i i i 212367sin 67cos 3223sin 3223cos --=+=+++ππππππ；当k =2时，i i i 2123611sin 611cos 3423sin 3423cos-=+=+++ππππππ. 故选D.解法二：由复数开方的几何意义，i 与－i 的另外两个立方根表示的点均匀地分布在以原点为圆心，1为半径的圆上，于是另外两个立方根的虚部必为－21,排除A 、B 、C ，选D. 评述：本题主要考查了复数开方的运算，既可用代数方法求解，也可用几何方法求解，但由题干中的提示，几何法解题较简捷.13.答案：B解法一：)4sin4(cos2222ππi i +=+，故（2+2i ）4=26（cos π+i sin π）=－26，1－)3sin3(cos23ππi i -=，故35sin35cos 2)31(55ππi i +=-.于是i i i i i 31)2321(22)35sin 35(cos2)31()22(5654+=--=+-=-+ππ, 所以选B.解法二：原式=i i i i i 23212)2321()2(21)2321(2)1(1622554--=+--=+--+i i i314)31(4314+-=--=+-=∴应选B解法三：2+2i 的辐角主值是45°，则（2+2i ）4的辐角是180°；1－3i 的一个辐角是－60°，则（1－3i ）5的辐角是－300°，所以54)31()22(i i -+的一个辐角是480°，它在第二象限，从而排除A 、C 、D ，选B.评述：本题主要考查了复数的基本运算，有一定的深刻性，尤其是选择项的设计，隐藏着有益的提示作用，考查了考生观察问题、思考问题、分析问题的综合能力.14.答案：B 解析：z =－2321+i 是z 3=1的一个根，记z =ω，ω4=ω，故选B. 15.答案：A解析：设复数z 在复平面的对应点为z ，因为|z +i |+|z －i |=2，所以点Z 的集合是y 轴上以Z 1（0，－1）、Z 2（0，1）为端点的线段.|z +1+λ|表示线段Z 1Z 2上的点到点（－1，－1）的距离.此距离的最小值为点Z 1（0，－1）到点（－1，－1）的距离，其距离为1.评述：本题主要考查两复数之差的模的几何意义，即复平面上两点间的距离. 16.答案：Rez ＞1解析：设z =a +bi ，如果z +z ＞2，即2a ＞2∴a ＞1反之，如果a ＞1，则z +z =2a ＞2，故z +z ＞2的一个充要条件为Rez ＞1. 评述：本题主要考查复数的基本概念、基本运算及充要条件的判断方法. 17.答案：2π解析：设i y x z i y x zOP OP 221121,+=+=∵w 1⊙w 2＝0 ∴由定义x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OP 1⊥OP 2 ∴∠P 1OP 2＝2π．18.答案：z ＝－3－i解析：∵（3＋z ）i ＝1 ∴3＋z ＝－i ∴z ＝－3－i 19.答案：1－i解析：∵z i =i －1，∴ii z 1-==（i －1）（－i ）=1+i∴z =1－i . 20.答案：－4 解析：a 4=［（i i 213+--）2］2=［5)21)(3(i i ---］4=（555i +-）4=（－1+i ）4=（－2i ）2=－421.答案：2+i 解析：由已知i ii i i i z-=-++=+-+=++=25)83(6441)21)(34(2134，故z =2+i .22.解法一：设z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则（1＋3i ）z ＝a －3b ＋（3a ＋b ）i ． 由题意，得a ＝3b ≠0．∵|ω|＝25|2|=+iz， ∴|z |＝10522=+b a ． 将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±15． 故ω＝±ii++2515＝±（7－i ）． 解法二：由题意，设（1＋3i ）z ＝ki ，k ≠0且k ∈R ， 则ω＝)31)((i i k ki++．∵|ω|＝52，∴k ＝±50．故ω＝±（7－i ）． 23.解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝（a ＋2b ）＋（a －2b ）i ，（a ＋2z ）2＝（a ＋2）2－4＋4（a ＋2）i ＝（a 2＋4a ）＋4（a ＋2）i ， 因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z ＝（a ＋2z ）2得⎩⎨⎧+=-+=+).2(42,422a b a a a b a 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0， 解得a 1＝－2，a 2＝－4， 对应得b 1＝－1，b 2＝2．所以，所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2． 24.（Ⅰ）解法一：z ，z 2，z 3，…，z 7是一个等比数列.∴由等比数列求和公式可得：011171=--=--=--=zzz z z z z a q a a S n n ∴1＋z ＋z 2＋z 3＋…＋z 6＝0解法二：S ＝1＋z ＋z 2＋…＋z 6 ① zS ＝z ＋z 2＋z 3＋…+z 6＋z 7 ②∴①－②得（1－z ）S ＝1－z 7＝0 ∴S ＝z-10＝0 （Ⅱ）z 7＝1，z ＝cos α＋i sin α∴z 7＝cos7α＋i sin7α＝1，7α＝2k π z ＋z 2＋z 4＝－1－z 3－z 5－z 6＝－1－［cos （2k π－4α）＋i sin （2k π－4α）＋cos （2k π－2α）＋i sin （2k π－2α）＋cos （2k π－α）＋i sin （2k π－α）］＝－1－（cos4α－i sin4α＋cos2α－i sin2α＋cos α－i sin α） ∴2（cos α＋cos2α＋cos4α）＝－1，cos α＋cos2α＋cos4α＝－21 解法二：z 2·z 5＝1，z 2＝551-=z z同理z 3＝4-z ，z ＝6-z∴z ＋z 2＋z 4＝－1－4-z －2-z －z ∴z ＋z ＋2-z ＋z ＋4-z ＋z ＝－1 ∴cos2α＋cos α＋cos4α＝21-25.（Ⅰ）解：z 1＝i （1－i ）3＝i （－2i ）（1－i ）＝2（1－i ） ∴|z 1|＝222222=+，arg z 1＝22（cos 47π＋i sin 47π）∴arg z 1＝47π （Ⅱ）解法一：|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋i sin θ |z －z 1|＝|cos θ＋i sin θ－2＋2i | ＝)4sin(249)2(sin )2(cos 22πθθθ-+=++-当sin （θ4π-）＝1时|z －z 1|2取得最大值9＋42 从而得到|z －z 1|的最大值22＋1解法二：|z |＝1可看成z 为半径为1，圆心为（0，0）的圆. 而z 1可看成在坐标系中的点（2，－2） ∴|z －z 1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图12—2可知：|z －z 1|max＝22＋126.（Ⅰ）解：∵α是方程x 2－2x ＋1＝0的根∴α1＝22（1＋i ）或α2＝22（1－i ） 图12—2当α1＝22（1＋i ）时，∵α12＝i ，α12n －1＝1121)(αααnn i = ∴)}1(22),1(22),1(22),1(22{}1,,1,{11111i i i i i i M -+---+=--=ααααα 当α2＝22（1－i ）时，∵α22＝－i ∴12}1,,1,{2222ααααααM i i M =--=∴M α＝)1(22),1(22),1(22),1(22{i i i i -+---+｝ （Ⅱ）证明：∵ω∈M z ，∴存在M ∈N ，使得ω＝z 2m －1于是对任意n ∈N ，ω2n －1＝z (2m －1)(2n －1)由于（2m －1）（2n －1）是正奇数，ω2n －1∈M z ，∴M ω⊆M z ． 27.解：（Ⅰ）∵z 是方程x 2＋1＝0的根， ∴z 1＝i 或z 2＝－i ，不论z 1＝i 或z 2＝－i ， M z ＝｛i ，i 2，i 3，i 4｝＝｛i ，－1，－i ，1｝ 于是P ＝31C 224=． （Ⅱ）取z ＝i 2321+-， 则z 2＝2321--i 及z 3＝1． 于是M z ＝｛z ，z 2，z 3｝或取z ＝2321--i ．（说明：只需写出一个正确答案）． 28.解：设z ＝x ＋yi （x 、y ∈R ）， ∵|z |＝5，∴x 2＋y 2＝25， 而（3＋4i ）z ＝（3＋4i ）（x ＋yi ）＝（3x －4y ）＋（4x ＋3y ）i ，又∵（3＋4i ）z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， ∴3x －4y ＋4x ＋3y ＝0，得y ＝7x ∴x ＝±22，y ＝±227 即z ＝±（22＋227i ）；2z ＝±（1＋7i ）．当2z ＝1＋7i 时，有|1＋7i －m |＝52，即（1－m ）2＋72＝50， 得m =0，m =2. 当2z ＝－（1＋7i ）时，同理可得m ＝0，m ＝－2．29.解：（Ⅰ）由题设，|ω|＝|0z ·z |＝|z 0||z |＝2|z |， ∴|z 0|＝2，于是由1＋m 2＝4，且m ＞0，得m ＝3，因此由x ′＋y ′i ＝)31(i -·i y x y x yi x )3(3)(-++=+，得关系式⎪⎩⎪⎨⎧-='+='yx y y x x 33（Ⅱ）设点P （x ，y ）在直线y =x +1上，则其经变换后的点Q （x ′，y ′）满足⎪⎩⎪⎨⎧--='++='1)13(3)31(x y x x 消去x ，得y ′＝（2－3）x ′－23＋2，故点Q 的轨迹方程为y ＝（2－3）x －23＋2．（Ⅲ）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为y =kx +b （k ≠0）.解：∵该直线上的任一点P （x ，y ），其经变换后得到的点Q （x ＋3y ，3x －y ）仍在该直线上，∴3x －y ＝k （x ＋3y ）＋b ，即－（3k ＋1）y ＝（k －3）x ＋b ，当b ≠0时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-kk k 31)13(无解，故这样的直线不存在. 当b ＝0，由kk k 31)13(-=+-， 得3k 2＋2k 3-＝0，解得k ＝33或k ＝3-， 故这样的直线存在，其方程为y ＝33x 或y ＝3-x . 评述：本题考查了复数的有关概念，参数方程与普通方程的互化，变换与化归的思想方法，分类讨论的思想方法及待定系数法等.30.解：由0＜θ＜2π得tan θ＞0．由z ＝3cos θ＋i ·2sin θ，得0＜arg z ＜2π及tan （arg z ）＝32cos 3sin 2=θθtan θ故tan y ＝tan （θ－arg z ）＝θθθθθtan 2tan 31tan 321tan 32tan 2+=+-∵θtan 3＋2tan θ≥26 ∴θθtan 2tan 31+≤126 当且仅当θtan 3＝2tan θ（0＜θ＜2π）时， 即tan θ＝26时，上式取等号. 所以当θ＝arctan26时，函数tan y 取最大值126 由y ＝θ－arg z 得y ∈（2,2ππ-）．由于在（2,2ππ-）内正切函数是递增函数，函数y 也取最大值arctan126． 评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.31.解：∵方程x 2＋（4＋i ）x ＋4＋ai ＝0（a ∈R ）有实根b ， ∴b 2＋（4＋i ）b ＋4＋ai ＝0， 得b 2＋4b ＋4＋（b ＋a ）i ＝0，即有⎩⎨⎧=+=++00442a b b b∴⎩⎨⎧-==,22b a得z =a +bi =2－2i ，∴i c c ci i ci z )22(22)1)(22()1(-++=-+=-． 当0≤c ≤1时，复数z （1－ci ）的实部大于0，虚部不小于0， ∴复数z （1－ci ）的辐角主值在［0，2π) 范围内，有arg ［z （1－ci ）］＝arctanc c 2222+-＝arctan （c+12－1），∵0＜c ≤1，∴0≤c+12－1＜1， 有0≤arctan （c +12－1）＜4π， ∴0≤arg ［z （1－ci ）］＜4π．当c ＞1时，复数z （1－ci ）的实部大于0，虚部小于0， ∴复数z （1－ci ）的辐角主值在（23π，2π） 范围内，有arg ［z （1－ci ）］＝2π＋arctan c c 2222+-＝2π＋arctan （c+12－1）．∵c ＞1，∴－1＜c+12－1＜0， 有4π-＜arctan （c +12－1）＜0，∴47π＜arg ［z （1－ci ）］＜2π． 综上所得复数z （1－ci ）（c ＞0）的辐角主值的取值范围为［0，4π)∪（47π，2π）．评述：本题主要考查复数的基本概念和考生的运算能力，强调了考生思维的严谨性. 32.解：设z =a +bi （a ，b ∈R ），则z =a －bi ，代入4z +2z =33+i得4（a +bi ）+2（a －bi ）=33+i .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2123b a .∴z =2123+i . |z －ω|=|2123+i －（sin θ－i cos θ）| =)6sin(22cos sin 32)cos 21()sin 23(2πθθθθθ--=+-=-+- ∵－1≤sin （θ－6π）≤1，∴0≤2－2sin （θ－6π）≤4.∴0≤|z －ω|≤2.评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.33.解：由（z 1－2）i =1+i 得z 1=ii+1+2=（1+i ）（－i ）+2=3－i ∵z 2的虚部为2.∴可设z 2=a +2i （a ∈R ） z 1·z 2=（3－i ）（a +2i ）=（3a +2）+（6－a ）i 为实数. ∴6－a =0，即a =6 因此z 2=6+2i ，|z 2|=1022622=+.34.解：由（z －2）i =1+i 得z =ii+1+2=3－i ∴z ′=z ［cos （－4π）+i sin （－4π）］=（3－i ）（2222-i ）=2－22iz ′+2i =2－2i =2（2222-i ）=2（cos 47π+i sin 47π） ∴arg （z 1+2i ）=47π评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念. 35.解法一：zw +zw 3=zw （1+w 2）=（2321+i ）（2222+i ）（1+i ） =22（1+i ）2（2321+i ）=)2123(2)2321(222i i i +-=+⋅ )65sin 65(cos2ππi += 故复数zw +zw 3的模为2，辐角主值为65π. 解法二：w =2222+i =cos 4π+i sin 4πzw +zw 3=z （w +w 3）=z ［（cos4π+i sin4π）+（cos4π+i sin4π）3］=z ［（cos4π+i sin4π）+（cos43π+i sin 43π）］=z （i i 22222222+-+） =)2123(22)2321(i i i +-=⨯+)65sin 65(cos 2ππi += 故复数zw +zw 3的模为2，辐角主值为65π.评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力. 36.证法一：)6sin()6cos(2123ππ-+-=-=i i z ω=4sin 4cos 2222ππi i +=+于是z ω=cos12π+i sin 12π，ωz =cos （－12π）+i sin （－12π）.z 2ω3=［cos （－3π）+i sin （－3π）］×（cos43π+i sin 43π）=cos 125π+i sin 125π 因为OP 与OQ 的夹角为125π－（－12π）=2π.所以OP ⊥OQ又因为|OP |=|ωz |=1，|OQ |=|z 2ω3|=|z |2|ω|3=1 ∴|OP |=|OQ |.由此知△OPQ 为等腰直角三角形. 证法二：∵z =cos （－6π）+i sin （－6π）.∴z 3=－i 又ω=4sin 4cos 2222ππi i +=+. ∴ω4=－1于是i z z z z z z z z ===2433232||ωωωωωωωω 由此得OP ⊥OQ ，|OP |=|OQ |故△OPQ 为等腰直角三角形. 37.解：（1）因为z 1、z 2是一个实系数一元二次方程的两个根，所以z 1、z 2是共轭复数. 设z 1=a +bi （a ，b ∈R 且b ≠0），则z 2=a －bi于是（a +bi ）2=（a －bi ），于是⎩⎨⎧-==-bab a b a 222解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2321b a∴i z i z i z i z 2321,23212321,23212121+-=--=--=+-=或（2）由z 1=1+mi （m ＞0），z 12=z 2得z 2=（1－m 2）+2mi∴ω=－（1+m 2）+2mi tan θ=－mm m m 12122+-=+由m ＞0，知m +m1≥2，于是－1≤tan θ≤0 又 －（m 2+1）＜0，2m ＞0，得43π≤θ＜π 因此所求θ的取值范围为［43π，π）. 38.解：（Ⅰ）设z =a +bi ，a 、b ∈R ，b ≠0 则w =a +bi +i ba bb b a a a bi a )()(12222+-+++=+ 因为w 是实数，b ≠0，所以a 2＋b 2=1，即|z |=1.于是w =2a ，－1＜w =2a ＜2，－21＜a ＜1， 所以z 的实部的取值范围是（－21，1）. （Ⅱ）i a bb a bi b a bi a bi a z z u 1)1(2111112222+=++---=++--=+-=. 因为a ∈（－21，1），b ≠0，所以u 为纯虚数. （Ⅲ）1212112)1(12)1(222222++-=+--=+-+=++=-a a a a a a a a a b a u w .3]11)1[(2-+++=a a . 因为a ∈（－21，1），所以a +1＞0， 故w －u 2≥2·211)1(+⋅+a a －3=4－3=1. 当a +1=11+a ，即a =0时，w －u 2取得最小值1. 39.解：由|z 1＋z 2|=1，得（z 1+z 2）（21z z +）=1，又|z 1|=|z 2|=1，故可得z 12z +1z z 2=－1，所以z 12z 的实部=1z z 2的实部=－21.又|1z z 2|=1，故1z z 2的虚部为±23， 1z z 2=－21±23i ，z 2=z 1)2321(i ±-. 于是z 1+z 1i i 2321)2321(+=±-， 所以z 1=1，z 2=i 2321+-或z 1=i 2321+-，z 2=1. 所以⎪⎩⎪⎨⎧+-==i z z 2321121，或⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1232121z i z 40.解法一：z 2+z =（cos θ+i sin θ）2+cos θ+i sin θ=cos2θ+i sin2θ+cos θ+i sin θ =2cos23θcos 2θ+i ·2sin 23θcos 2θ=2cos 2θ（cos 23θ+i sin 23θ）=－2cos2θ［cos （π+23θ）+i sin （π+23θ）］∵θ∈（π，2π），∴2θ∈（2π，π），∴－2cos2θ＞0 ∴复数z 2+z 的模为－2cos2θ，辐角为2k π+π+23θ（k ∈Z ）解法二：z 2+z =z （1+z ）=（cos θ+i sin θ）（1+cos θ+i sin θ） =（cos θ+i sin θ）（2cos 22θ+i ·2sin 2θcos 2θ） =2cos2θ（cos θ+i sin θ）（cos 2θ+i sin 2θ）=2cos 2θ（cos 23θ+i sin 23θ）以下同解法一.41.解法一：如图12—3，设Z 1、Z 3对应的复数分别为z 1、z 3，则由复数乘除法的几何意义有z 1＝21z 2［cos （4π-）＋i sin （4π-）］＝i i i 213213)2222)(31(21-++=-+图12—3z 3＝i i i i z 231231)2222)(31(21)4sin 4(cos 212++-=++=+ππ．注：求出z 1后，z 3＝iz 1＝i 231231++- 解法二：设Z 1、Ｚ3对应的复数分别是z 1、z 3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得⎩⎨⎧=-=+213231iz z z z z z∴z 1＝21z 2（1－i ）＝21（1－3i ）（1－i ）＝213231-++i z 3＝z 2－z 1＝（1＋3i ）－（213231-++i ）＝231231++-i 评述：本题主要考查复数的基本概念和几何意义，以及运算能力.此题以复平面上的简单几何图形为背景，借以考查复数的向量表示与复数运算的几何意义等基本知识，侧重概念、性质的理解与掌握，以及运算能力和转化的思想，对复数教学有良好的导向作用.42.解：（Ⅰ）由z =1+i ，有w =（1+i ）2＋3（1－i ）－4=－1－i ，所以w 的三角形式是2（cos ππ45sin 45i +）（Ⅱ）由z =1+i ，有iia b a i i b i a i z z b az z )2()(1)1()1()1()1(12222+++=++-+++++=+-++ ＝（a ＋2）－（a ＋b ）i由题设条件知，（a +2）－（a +b ）i =1－i .根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧-=+-=+1)(12b a a解得⎩⎨⎧=-=21b a所以实数a ，b 的值分别为－1，2.评述：本题考查了共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力. 43.解：因为w 为复数，arg w ＝π43，所以设w =r （cos π43＋i sin π43）， 则R,])4(4[22)4)(1(22)4)(2222(1]4)23sin 23(cos )[43sin 43(cos 14)(222222∈-++=-+=---=---=-i r r ri r i r i r i r i r i r w w ππππ，从而4－r 2＝0，得r =2. 因此w ＝2（cos )43sin 43ππi +＝－2＋2i ．。
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一、复数选择题1．已知复数1z i =+，则21z +=（ ）A ．2B C ．4 D ．5 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．1- 4．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ）A ．2a >或1a <-B ．1a >或2a <-C ．12a -<<D ．21a -<< 6．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 8．已知复数()211i z i-=+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i +D ．1i - 9．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i10．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．813．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ）A ．1-B ．12-C ．13D ．1 14．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0B ．12C ．1D ．215．题目文件丢失！二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1- 18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -19．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =20．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 21．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 22．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．z 可能为实数 C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12-23．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ） A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =24．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =25．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i 5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 26．下面四个命题，其中错误的命题是（ ） A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数 27．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --28．以下命题正确的是（ ） A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 29．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数30．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．B【分析】先求出，再计算出模.【详解】，，.故选：B.解析：B【分析】 先求出21z+，再计算出模. 【详解】 1z i =+，()()()21221112111i i z i i i -∴+=+=+=-++-，21z∴+==. 故选：B.2．D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.【详解】因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.故选：D解析：D【分析】 运用复数除法的运算法则化简复数534i i-的表示，最后选出答案即可. 【详解】 因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i i i i i i ⋅+-===-+--+， 所以在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D 3．D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】，它为纯虚数，则，解得．故选：D ．解析：D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-． 故选：D ．4．B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B5．A【分析】根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为，，所以，，所以或.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.解析：A【分析】根据虚数不能比较大小可得a b =，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->，所以2a >或1a <-.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键，属于基础题. 6．B【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限.故选：B.解析：B【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限.【详解】21i z i=-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.7．D【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵，，∴，，∴，，∴，故选：D.解析：D【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--，)()51711+=--+=-，∴))55121-+=--， 故选：D.8．B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意可得，则.故答案为：B解析：B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，然后根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意可得()()()()()212111111i i i z i i i ii i ---===--=--++-，则1z i =-+. 故答案为：B 9．C【分析】求出，即可得出，求出虚部.【详解】，，其虚部是1.故选：C.解析：C【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部.【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1. 故选：C. 10．C【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选：C ．解析：C【分析】由已知得到2021(2)(2)i i i z -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i i i -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限，故选：C ．11．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ．解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 12．D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】，故 则故选：D解析：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D13．B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =- 故选：B14．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】 由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=．故选：C ．15．无二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．18．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.19．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 20．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.21．BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】 解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.22．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.23．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题24．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．25．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.26．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.27．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-，对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.28．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.29．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 30．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确, 故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模。
高考数学复数习题及答案
高考复习试卷含答案一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．(2017·山东)复数3－i1－i等于 ( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 答案：C解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2＝2＋i.故选C.2．(2017·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i答案：D解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i.3．(2017·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 答案：D解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2－a ＋(a ＋2)i2，则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D.4．(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( )A ．2iB ．0C ．－2iD ．－2 答案：B解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B.5．(2017·北京朝阳4月)复数z ＝2－i1＋i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－32i ，它对应的点在第四象限，故选D.6．(2017·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则ba的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12答案：A解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a的值为－2，故选A.7．(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝14－3i ，故选B.8．(2017·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6C.23πD.56π 答案：D解析：3－i 对应的点为(3，－1)，所求直线的斜率为－33，则倾斜角为56π，故选D. 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b ic ＋d i为实数，则( )A ．bc ＋ad ≠0B ．bc －ad ≠0C ．bc －ad ＝0D ．bc ＋ad ＝0 答案：C解析：因为a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ，所以由题意有bc －adc 2＋d2＝0⇒bc －ad ＝0.10．已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝ ( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25iD.15－25i 答案：D 解析：由z ＝1－2i 知z ＝1＋2i ，于是1z ＝11＋2i ＝1－2i 1＋4＝15－25i.故选D.11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．6B ．－6C ．0 D.16答案：A解析：z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝(3＋2b )＋(6－b )i 5是实数，则实数b 的值为6，故选A.12．(2017·广东)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B解析：α(i )表示i n ＝1的最小正整数n ，因i 4k ＝1(k ∈N *)，显然n ＝4，即α(i )＝4.故选B. 13．若z ＝12＋32i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于( )A ．－12＋32i B ．－3＋33iC ．6＋33iD ．－3－33i 答案：B解析：∵T r ＋1＝C r 4x4－r (－z )r ， 由4－r ＝2得r ＝2，∴a 2＝C 24(－z )2＝6×(－12－32i )2＝－3＋33i .故选B.14．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B解析：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞90°，B ＞90°－A ， ∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴z 对应的点在第二象限．15．如果复数2－bi1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2答案：C解析：2－bi 1＋2i ＝(2－bi )(1－2i )5＝(2－2b )5＋(－4－b )5i由2－2b 5＝－－4－b 5得b ＝－23.16．设函数f (x )＝－x 5＋5x 4－10x 3＋10x 2－5x ＋1，则f (12＋32i )的值为( )A ．－12＋32i B.32－12iC.12＋32i D ．－32＋12i 答案：C解析：∵f (x )＝－(x －1)5∴f (12＋32i )＝－(12＋32i －1)5＝－ω5(其中ω＝－12＋32i )＝－ω＝－(－12－32i )＝12＋32i .17．若i 是虚数单位，则满足(p ＋qi )2＝q ＋pi 的实数p ，q 一共有 ( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 答案：D解析：由(p ＋qi )2＝q ＋pi 得(p 2－q 2)＋2pqi ＝q ＋pi ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ p 2－q 2＝q ，2pq ＝p .解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝0，q ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝－1，或⎩⎨⎧p ＝32，q ＝12，或⎩⎨⎧p ＝－32，q ＝12，因此满足条件的实数p ，q 一共有4对．总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特别注意不要出现漏解现象，如由2pq ＝p 应得到p ＝0或q ＝12.18．已知(2x 2－x p )6的展开式中，不含x 的项是2027，那么正数p 的值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：由题意得：C 46·1p 4·22＝2027，求得p ＝3.故选C. 总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x 的项，即找常数项．19．复数z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系，即z ＝a ＋bi ，与复平面上的点Z (a ，b )对应，由z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )知：a ＝－lg(x 2＋2)＜0，又2x ＋2－x －1≥22x ·2－x －1＝1＞0；∴－(2x ＋2－x －1)＜0，即b ＜0.∴(a ，b )应为第三象限的点，故选C.20．设复数z ＋i (z ∈C )在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积，若复数ω在映射f 下的象为－1＋2i ，则相应的ω为 ( )A ．2B ．2－2iC ．－2＋iD ．2＋i 答案：A解析：令ω＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则ω＝[a ＋(b －1)i ]＋i ， ∴映射f 下ω的象为[a －(b －1)i ]·i ＝(b －1)＋ai ＝－1＋2i .∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝－1，a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝2.∴ω＝2. 第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
专题02 复数(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)
专题02复数考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1求复数的实部与虚部（10年4考）2020·全国卷、2020·江苏卷、2018·江苏卷、2016·天津卷、2016·江苏卷、2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·北京卷1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。
考点2复数相等（10年7考）2023·全国甲卷、2022·浙江卷、2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·浙江卷、2016·天津卷、2015·全国卷、2015·全国卷、2015·上海卷考点3复数的分类（10年2考）2017·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2015·天津卷考点4共轭复数（10年10考）2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2021·新Ⅰ卷全国考点5复数的模（10年9考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷、2019·浙江卷考点6复数的几何意义（10年8考）2023·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2019·全国卷、2019·全国卷、2018·北京卷、2017·全国卷、2017·北京卷、2016·全国卷考点01求复数的实部与虚部1．（2020·全国·高考真题）复数113i-的虚部是（）A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020·江苏·高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是.3．（2018·江苏·高考真题）若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．4．（2016·天津·高考真题）i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z +=，则z 的实部为.5．（2016·江苏·高考真题）复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是.6．（2016·全国·高考真题）设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．−3B ．−2C ．2D ．37．（2015·重庆·高考真题）复数()12i i +的实部为.8．（2015·北京·高考真题）复数()1i i +的实部为．考点02复数相等1．（2023·全国甲卷·高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A ．-1B ．0·C ．1D ．22．（2022·浙江·高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022·全国乙卷·高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021·全国乙卷·高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i-6．（2017·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b +=，ab =．7．（2016·天津·高考真题）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a ，则ab的值为.8．（2015·全国·高考真题）若a 为实数,且2i3i 1ia +=++,则=a A ．4-B ．3-C ．3D ．49．（2015·全国·高考真题）若a 为实数且()()2i 2i 4i a a +-=-，则=a A ．1-B ．0C ．1D ．210．（2015·上海·高考真题）若复数满足，其中是虚数单位，则.考点03复数的分类1．（2017·全国·高考真题）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)2．（2017·全国·高考真题）设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则R z ∈；2p ：若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈；3p ：若复数12,z z 满足12R z z ∈，则12z z =；4p ：若复数z R ∈，则R z ∈.其中的真命题为A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 3．（2017·天津·高考真题）已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii-+为实数，则a 的值为．4．（2015·天津·高考真题）i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为.考点04共轭复数1．（2024·全国甲卷·高考真题）设z，则z z ⋅=（）A ．2-B C ．D ．22．（2024·全国甲卷·高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023·全国乙卷·高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．2i-D ．2i +5．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．0D ．16．（2022·全国甲卷·高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．7．（2022·全国甲卷·高考真题）若1z =-，则1zzz =-（）A ．1-B ．1-C ．1i33-+D ．1i33--8．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021·全国乙卷·高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i -10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i-B ．42i-C ．62i+D ．42i+考点05复数的模1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．22．（2023·全国乙卷·高考真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2CD ．53．（2022·全国甲卷·高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．4．（2022·北京·高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020·全国·高考真题）若312i i z =++，则||=z （）A ．0B ．1CD ．26．（2020·全国·高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1C D ．27．（2020·全国·高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +，则12||z z -=.8．（2019·全国·高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2BC D ．19．（2019·天津·高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为.10．（2019·浙江·高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =.考点06复数的几何意义1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A ．12i+B ．2i-+C ．12i-D ．2i--5．（2019·全国·高考真题）设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2019·全国·高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=7．（2018·北京·高考真题）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．（2017·全国·高考真题）复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（2017·北京·高考真题）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．（–∞，1）B ．（–∞，–1）C ．（1，+∞）D ．（–1，+∞）10．（2016·全国·高考真题）已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-，B ．(13)-，C ．(1,)+∞D ．(3)-∞-，。
2024全国高考真题数学汇编：复数章节综合
2024全国高考真题数学汇编复数章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）若1i 1z z =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i+2．（2024全国高考真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1CD ．23．（2024全国高考真题）设z =，则z z ⋅=（）A ．2-B C ．D ．24．（2024北京高考真题）已知1i i z =--，则z =（）．A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i+5．（2024全国高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2二、填空题6．（2024天津高考真题）已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅=．7．（2024上海高考真题）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．参考答案1．C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.2．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--，则z =故选：C.3．D【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2z z =-=.故选：D4．C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得()i 1i i 1z =--=-.故选：C.5．A【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A6．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527⋅=+-=-.故答案为：7.7．2【分析】设1i,R z b b ∈=+且0b ≠，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m∈R ，2232310 1b mbb bb⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m=，故答案为：2.。
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A． B． C． D．
18．（2017新课标全国卷II文科）
A． B．
C． D．
19．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
20．设有下面四个命题
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 ，则 .
视频
8．C
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）
【解析】试题分析：由 得 ，所以 ，故选C.
【考点】复数的运算，共轭复数
【名师点睛】复数 的共轭复数是 ，据此先化简再计算即可.
视频
9．A
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）
【解析】试题分析：
视频
10．A
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）
【解析】
试题分析： ，由已知，得 ，解得 ，选A.
【考点】复数的概念及复数的乘法运算
【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.
（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4
5．复数
（A）i（B）1+i（C） （D）
6．若 ，则 =
（A）1（B） （C） （D）
7．若z=1+2i，则
A．1 B．−1 C．i D．−i
8．设复数z满足 ，则 =
A． B． C． D．
9．已知 在复平面内对应的点在第四象限，则相等，其中 为实数，则 （ ）
A．−3B．−2C．2D．3
11．设 ，其中x，y是实数，则
（A）1（B） （C） （D）2
12．(2017高考新课标III，理3)设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
A． B．
C． D．2
13．若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是
7．C
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）
【解析】试题分析： ，故选C．
【考点】复数的运算、共轭复数．
【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．
6．D
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）
【解析】
试题分析： ，故选D．
【考点】复数的运算、共轭复数、复数的模
【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把 换成−1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．
要使复数 对应的点在第四象限,应满足 ，解得 ，故选A.
【考点】复数的几何意义
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．
复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．
复数z＝a＋bi（a，b∈R） 平面向量 .
【解析】
试题分析：设 ，则 ，故 ，则 ，选B.
3．C
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）
试题分析： ，故选C.
【答案】A
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）
【解析】
试题分析：二项式 的展开式的通项为 ，令 ，则 ，故展开式中含 的项为 ，故选A.
24．设 ，若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 _______________.
25．已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 的值为__________．
参考答案
1．B
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）
【解析】
试题分析： ，选B.
2．B
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）
其中的真命题为
A． B．
C． D．
21．下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．i(1+i)2B．i2(1−i)
C．(1+i)2D．i(1+i)
二、填空题
22．设 ，其中 为虚数单位，则z的虚部等于______________________.
23．已知 ，i是虚数单位，若（1 i）（1 bi）=a，则 的值为_______.
11．B
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）
【解析】
试题分析：因为 所以 故选B.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.
高考真题：复数
一、单选题
1．若复数 ，其中i为虚数单位，则 =
（A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i
2．若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=
（A）1+2i（B）1 2i（C） （D）
3．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=
（A）0（B）2（C）2i（D）2+2i
4．设i为虚数单位，则 的展开式中含x4的项为
A． B．
C． D．
14．已知i是虚数单位,若复数z满足 ,则 =
A．-2iB．2iC．-2D．2
15．若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A．（–∞，1）B．（–∞，–1）
C．（1，+∞）D．（–1，+∞）
16．已知 ， 是虚数单位，若 ， ，则 （ ）
A．1或 B． 或 C． D．
5．A
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）
【解析】
试题分析： ，故选A.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.