求解电场强度13种方法(附例题)

求解电场强度方法分类赏析一．必会的基本方法：1．运用电场强度定义式求解例 1. 质量为 m 、电荷量为 q 的质点，在静电力作用下以恒定速率 v 沿圆弧从 A 点运动 到 B 点 ,，其速度方向改变的角度为 θ（弧度）， AB 弧长为 s ，求 AB 弧中点的场强 E 。

【解析】 :质点在静电力作用下做匀速圆周运动，则其所需的向心力由位于圆心处的点v2s电荷产生电场力提供。

由牛顿第二定律可得电场力 F = F 向 = m v 。

由几何关系有 r =s， r场源电荷的电性来决定。

2．运用电场强度与电场差关系和等分法求解例 2（ 2012 安徽卷）．如图 1-1 所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强 电场，其中坐标原点 O 处的电势为 0V ，点 A 处的电势为 6V ，点 B 处的电势为 3V ，则电场 强度的大小为 AA ． 200V /mB ． 200 3V /mC ． 100V / mD ． 100 3V /m（ 1） 在匀强电场中两点间的电势差 U = Ed ， d 为两点沿电场强度方向的距离。

在一些 非强电场中可以通过取微元或等效的方法来进行求解。

（2 若已知匀强电场三点电势，则利用“等分法”找出等势点，画出等势面，确定电场 线，再由匀强电场的大小与电势差的关系求解。

3．运用“电场叠加原理”求解例 3（2010 海南）.如右图 2， M 、N 和 P 是以 MN 为直径的半圈弧上的三点， O 点为半 圆弧的圆心， MOP 60 ．电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于 M 、N 两点， 这时 O 点电场强度的大小为 E 1；若将 N 点处的点电荷移至 P则 O 点的场场强大小变为 E 2 ， E 1 与 E 2 之比为 B所以 F = v 2ms根据电场强度的定义有F mv 2=q qs方向沿半径方向，指向由图2A．1: 2 B．2:1 C．2: 3 D．4: 3．必备的特殊方法：4．运用平衡转化法求解例4．一金属球原来不带电，现沿球的直径的延长线放置图3一均匀带电的细杆 MN ，如图 3 所示。

金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上 三点的场强大小分别为 E a 、E b 、 E c ，三者相比（ ）A ．E a 最大B ．E b 最大C ．E c 最大D ．E a = E b = E c【解析】 :导体处于静电平衡时，其内部的电场强度处处为零，故在球内任意点，感应 电荷所产生的电场强度应与带电细杆 MN 在该点产生的电场强度大小相等， 方向相反。

均匀 带电细杆 MN 可看成是由无数点电荷组成的。

a 、b 、c 三点中， c 点到各个点电荷的距离最 近，即细杆在 c 点产生的场强最大，因此，球上感应电荷产生电场的场强 c 点最大。

故正确 选项为 C 。

点评： 求解感应电荷产生的电场在导体内部的场强，转化为求解场电荷在导体内部的 场强问题，即 E 感 = -E 外 （负号表示方向相反） 。

5．运用“对称法”（又称“镜像法”）求解例 5．（2013 新课标 I ） 如图 4，一半径为 R 的圆盘上均匀分布着电荷量为 Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心 c 的轴线上有 a 、 b 、d 三个点， a 和 b 、 b 和 c 、 c 和 d 间的距离均的大小为 （k 为静电力常量 ）根据对称性可知，均匀薄板在 d 处所形成的电场强度大小也为电荷在 d 点场强 E 3 = kq2 ，方向水平向左。

根据叠加原理可知， （3R ）210kq 。

9R 2 点评：对称法是利用带电体电荷分布具有对称性，或带电体产生的电场具有对称性的特点来求合电场强度的方法。

通常有中心对称、轴对称等。

例 7 如图 6 所示，在一个接地均匀导体球的右侧 P 点距球心的距离为 d ，球半径为 R.。

在 P 点放置一个电荷 量为 +q 的点电荷。

试求导体球感应电荷在 P 点的电场强 度大小。

析与解：如图 6 所示，感应电荷在球上分布不均匀， 靠近 P 一侧较密，关于 OP 对称，因此感应电荷的等效分布点在 OP 连线上一点 P ′。

设 P ′距离 O 为 r ，导体球接地，故球心 O 处电势为零。

根据电 势叠加原理可知，导体表面感应电荷总电荷量 Q 在 O 点引起的电势与点电荷 q 在 O 点引导kq kQ R起的电势之和为零，即 k d q + k R Q = 0，即感应电荷量 Q = d R q 。

同理， Q 与 q 在球面上任a 、b 、c 为 R ，在 a 点处有一电荷量为 q （q>O ） 的固定点电荷 .已知 b 点处的场强为零，则d 点处场强B. kC. k解析】 :点电荷 +q 在 b 点场强为 E 1、薄板在 b 点场强为 E 2， b 点场强为零是 E 1与 E 2 叠加引起的， 且两者在此处产生的电场强度大小相等， 方向相反， 大小 E 1 = E 2 =kqR 2E 2，方向水平向左；点 d 点场 E d = E 2 + E 3 =D.图6中 α为球面上任意一点与 O 连线和 OP 的夹角，具有任意性。

将 Q 代入上式并进行数学变 换后得 d 2r 2–R 4 = (2 Rrd 2 – 2R 3d)cos α，由于对于任意 α角，该式都成立，因此， r 满足的关 系是2kqQ = kdRq2(d r)2 = (d 2 R 2)2据电场强度定义可知感应电荷在 P 点所产生的电场强度 E = F = 2kdRq2 2 q (d 2 R 2 )26．运用“等效法”求解例 6．( 2013 安徽卷) .如图 5 所示， xOy 平面是无穷大导体的表面， 该导体充满 z 0 的空间， z 0的空间为真空。

将电荷为 q 的点电荷置于 z 轴上 z=h 处，则在 xOy 平面上会产解析】 :求金属板和点电荷产生的合场强，显然用现在的公式直接求解比较困难。

能否用中学所学的知识灵活地迁移而解决呢？当然可以。

由于 xOy 平面是无穷大导体的表面，电势为 0，而一对等量异号的电荷在其连线的中垂线上电势也为 0，因而可以联想成图 6 中所示的两个等量异号电荷组成的静电场等效替代原电场。

根据电场叠加原理，容易求得 z h点的场强， E k h q 2 k q k40q2，故选项 D 正确。

2(2h)2(3h )29h 2( 2 )点评：( 1)等效法的实质在效果相同的情况下， 利用问题中某些相似或相同效果进行知 识迁移的解决问题方法，往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。

( 2) 本题也可以用排除法求解 .仅点电荷 q 在 z h 处产生的场强就是 k 4q 2 ，而合场2h2强一定大于 k 4q 2 ，符合的选项只有 D 正确。

h 2意点引起的电势叠加之后也为零，即 kQ kqR 22Rr cos r 2R 2 2Rd cos d 2，其根据库仑定律可知感应电荷与电荷q 间的相互作用力 生感应电荷。

空间任意一点处的电场皆是由点电荷 q 和导体表面上的感应电荷共同激发的。

已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z 轴上 z h 处的场强大小为( k 为静电力常A. k4q h 2B. k 94h q 2C. k 32q 29h2D. k 40q 9h 2图5图6例 6 如图 5（ a）所示，距无限大金属板正前方l 处，有正点电荷 q，金属板接地。

求距金属板 d 处 a 点的场强 E （点电荷 q 与 a 连线垂直于金属板）析与解：a 点场强 E 是点电荷 q 与带电金属板产生的场强的矢量和。

画出点电荷与平行金属板间的电场线并分析其的疏密程度及弯曲特征，会发现其形状与等量异种点电荷电场中的电场线分布相似，金属板位于连线中垂线上，其电势为零，设想金属板左侧与 +q 对称处放点电荷 -q，其效果与 +q 及金属板间的图5电场效果相同。

因此，在 +q 左侧对称地用–q 等效替代金属板，如图 5（b）所示。

所以， a点电场强度 E a = kq[ 1212 ]。

(l d)2(l d) 27运用“微元法”求解例7．（ 2006?甘肃） .ab 是长为 l 的均匀带电细杆， P1、P2 是位于 ab 所在直线上的两点，位置如图 7 所示． ab 上电荷产生的静电场在 P1处的场强大小为E1，在 P2处的场强大小为 E2．则以下说法正确的是（）A 两处的电场方向相同， E1> E2B 两处的电场方向相反， E1>E2C 两处的电场方向相同， E1< E2D 两处的电场方向相反， E1<E2．图7【解析】: 将均匀带电细杆等分为很多段，每段可看作点电荷，由于细杆均匀带电，我们取a 关于 P 1的对称点 a′，则 a 与 a′关于 P1点的电场互相抵消，整个杆对于P1 点的电场，仅仅相对于 a′b部分对于 P 1的产生电场．而对于 P2，却是整个杆都对其有作用，所以， P2 点的场强大．设细杆带正电 ,根据场的叠加，这些点电荷在P1 的合场强方向向左，在 P2 的合场强方向向右，且 E1<E2．故选 D ．点评：（1）因为只学过点电荷的电场或者匀强电场，而对于杆产生的电场却没有学过，因而需要将杆看成是由若干个点构成，再进行矢量合成．（2）微元法就是将研究对象分割成许多微小的单位，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，找出每一个微元的性质与规律，然后通过累积求和的方式求出整体的性质与规律。

严格的说，微分法是利用微积分的思想处理物理问题的一种思想方法例 8 如图 7（ a ）所示，一个半径为 R 的均匀 带电细圆环，总量为 Q 。

求圆环在其轴线上与环 心 O 距离为 r 处的 P 产生的场强。

析与解：圆环上的每一部分电荷在 P 点都产 生电场，整个圆环在 P 所建立电场的场强等于各 部分电荷所产生场强的叠加。

如图 7（ b ）在圆环k q kQ l2 2=2 2r 2 R 2 2 R(r 2 R 2)整个圆环在 P 点产生的电场强度为所有微元产生的场强矢量和。

根据对称性原理可， 所有微元在 P 点产生场强沿垂直于轴线方向的分量相互抵消，所以整个圆环在 P 点产生场 中各微元产生的场强沿轴线方向分量之和，即8．运用“割补法”求解例 8. 如图 8 所示，用长为 L 的金属丝弯成半径为 r 的圆弧，但在 A 、B 之间留有宽度 为 d 的间隙，且 d 远远小于 r ，将电量为 Q 的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场 强度。

【解析】 :假设将这个圆环缺口补上，并且已补缺部分的电荷密度 与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀 分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷 可视为两个相应点的r 点电荷，它们在圆心 O 处产生的电场叠加后合场强为零。