第5章：双变量回归：区间估计与假设检验(1)

这一原假设不能被拒绝，而不是说确定要接受它。但
为方便，常用接受原假设。
“零”原假设与“2－t”法则
在计量经济学中，我们常常要检验某一个变量对于应变量的 解释能力，或变量的显著性，这一问题就表述为对应的系数 是否可约束为零，对于模型（5.1）或收入与消费模型，这个
问题即为H0：2 0，即零原假设或简称为零假设。显然，对 于这样的问题，任何其它的原假设如2 =C，而C不等0，均不可
(n
2)
ˆ
2 2
~
2 (n 2)，给出了检验这
一假设的统计量，将ˆ 2 42.1591, d. f . 8代入(在原假设之下)，
有计算的值为
2
ˆ 2
(8) *
3.97
2
选定显著性水平0.05，可查得 2的两个临界值分别为
2 (10.05/ 2 )
(8)
2.1797和 (20.05/ 2 )
1
这一式子的意义为：在假定2 2时，ˆ2以概率1－落入其中的区间
[
* 2
t
/ 2 se( ˆ2
)]。若估计的ˆ2
落在这个区间外，则拒绝原假设H
，若落
0
在区间内，则不能拒绝。
由此可以看出，置信区间检验方法中，是根据估计的ˆ2 构造一个以以某
种概率包含有真实但未知的2的一个范围或区间。
而在显著性检验中，则是根据原假设H
体参数的真值。
4 只要ˆ2不知道，则这个置信区间为随机区间。 一旦样本确定，估计出一个ˆ2的值，这时就是一个固定区 间了，这是真实2或在区间内，或在区间外，从而概念只能
是1或0。
5.3
回归系数1和
的置信区间
2
在扰动项服从正态分布的假定下，估计的系数ˆ1和ˆ2
都服从正态分布。
均值： E(ˆ1) 1
2
ˆ 2 (n 2) 2
~
2 (n 2)
用这一统计量进行显著性检验,其决策机制列入表5.2.
暨南大学经济学院统计系 陈文静
26
例子：前述消费与收入模型，所计算的ˆ 2 42.1591, d. f . 8
如设定原和备假设为：H0： 2 85? H1： 2 85
这显然是双尾检验, 2
x
ˆ2 t/2se(ˆ2 )
决策规则：构造一个2的100(1 )%置信区间。
若
2在假设H
0下落入此区间，就不要拒绝H
。
0
若落在此区间之外，则不拒绝H
。
0
假设检验：显著性检验法
1. 检验回归系数的显著性：t检验
显著性检验最基本的问题是构造一个合适的统计量 （作为估计量），以及在原假设之下的抽样分布（本课 程基于经典的统计量，其分布已知），通过计算这一统 计量的样本值，进而与临界值比较，如落入接受域，则 不拒绝原假设，而不落入接受域即落入拒绝域，则拒绝 原假设。几乎所有假设检验，均按这一原理而实现。这 一思想的核心是，设定原假设和备选假设，构造统计量 以及推导它在原假设下的分布，利用这一分布检验假设， 所以这种思想实质上是先行假定原假设为真，从而有统 计量在原假设下的分布，基于此检验假设。
第三步：确定显著性水平为5%，则查t分布表得出临界值
自由度为n
2，临界值t
2
2.306, t
t
2，则拒绝H
。
0
f(t) Reject regi on
t Distribution
Region of acceptance
Rej ect regi on
/2
()
/2
-tc 0
tc t
red area = rejection region for 2-sided4t.1e3 st
能检验所对应的变量对应变量是否具有解释能力。
暨南大学经济学院统计系 陈文静
31
2倍t法则
零假设检验有一常用的法则： “2倍t法则”：如果自由度大于或等于20，显著性水平
为0.05，则所计算的（t t＝(ˆ2 0) / se(ˆ2 )）的绝对值超 过2时，就可以拒绝零假设H0：2 0。
暨南大学经济学院统计系 陈文静
相联系？
暨南大学经济学院统计系 陈文静
2
置信区间
由于标准差是度量估计量的精度，所以可利用标准差 来构造置信区间，这样，形成区间估计可以表述为：
确定决定区间的数 (基于标准差)和显著性水平， 使总体参数 2落入这一区间的概率（置信水平）为1 ：
Pr(ˆ2 2 ˆ2 ) 1
暨南大学经济学院统计系 陈文静
那么置信区间包含真实2的概率就为95%。
暨南大学经济学院统计系 陈文静
5
Pr(ˆ2 2 ˆ2 ) 1的说明： 1 正确表述：置信区间包含真实参数2的概率为1
错误表述： 2落入区间的概率为1 。 2 置信区间是根据点估计量ˆ2构造的，所以是随机区间。 因为不同的样本估计得出的ˆ2是不同的，ˆ2是随机的。 3 在重复抽样中，平均来看，有100%（1-）次包含着总
ˆ 2 2
/2
2
(n 2)
ˆ 2 2
1
/
2
]
1
5.5 假设检验
虚拟假设：通常是研究者(对某一回归参数的) 非预期取值的一种表述。虚拟假设的表示是在 非预期的取值范围前加上符号“ H0：”。例如， 如果你预期系数是正值，那么0或负的系数就是 非预期的取值范围，于是虚拟假设为：
虚拟假设H0 : 0?(这是你的非预期的取值范围）
Pr[ˆ2 t /2se(ˆ2 ) 2 ˆ2 t /2se(ˆ2 )] 1
的置信区间为：
2
ˆ2 t /2se(ˆ2 )
5.4 2 的? 置信区间
在ui的正态性假定下，变量：
2
(n
2)
ˆ
2 2
~
2 (n 2)
利用 2分布建立 2 的置信区间：
Pr(
2 1
/2
2
2/2 )
1
Pr[(n 2)
(If t < - tc ==> reject H0 ) (If t > - tc ==> not reject H0 )
Left-tail
t
(ˆ2
2
)
se(ˆ2 )
t(n 2)
置信区间：Pr[t /2
(ˆ2 2 ) se(ˆ2 )
t /2 ]
1
Pr[2*
t /2se(ˆ2 )
ˆ2
* 2
t /2se(ˆ2 )]
暨南大学经济学院统计系 陈文静
15
t检验法：
第一步：建立原假设和备择假设
H0：2 0.3
H1：2 0.3
第二步：根据回归估计得出ˆ2 0.5091，se(ˆ2 ) 0.0357
根据样本信息和H
0假设下的
2
0.3计算t值
t
(ˆ2
2
)
se(ˆ2 )
0.5091 0.3 0.0357
5.86
E(ˆ2 ) 2
方差：var(
ˆ1
)：
2
1
n
X
2 i
2
xi2
var(
ˆ2
)：
2
2
2
xi2
ˆ1
N
(
1
,
2
1
)
ˆ2
N
(2
,
2

)
以ˆ2为例进行分析，标准化变量：
Z
ˆ2 2 se(ˆ2 )
(ˆ2
2)
xi2
若总体方差 2已知，则我们利用正态分布来进行分析。
若总体方差 2未知，则只能用估计的方差ˆ 2来进行代替。
3
注释
置信区间：ˆ2 置信系数： 1 显著性水平： 置信下限：ˆ2 直线上限：ˆ2
暨南大学经济学院统计系 陈文静
4
进一步解释
置信区间是根据点估计量ˆ2构造出来的一个区间，
要使得它把总体参数的真值包括在区间内的概率
为1
，从而区间估计量给出了一个真实
会落
2
入其中的数值范围。若 5%，则置信水平为95%，
这时回归系数的分布将会发生变化，服从t分布。
t
ˆ2 2 se(ˆ2 )
估计量 参数 估计量的标准误的估计值
(ˆ2 2 )
xi2 t(n 2)
ˆ
用t分布来建立置信区间：
Pr(t 2 t t 2 ) 1
Pr(t /2
t
t /2 )
Pr t /2
(ˆ2 2 ) se(ˆ2 )
t /2
第5章 双变量回归：区间估计与 假设检验
暨南大学经济学院统计学系 陈文静
5.2 区间估计—一些基本概念
区间估计的思想：对于已有的点估计如ˆ2，希望基于
这一点估计构造一个区间，使总体真值
以较高的概
2
率被包含在这一区间内，既然是区间，所要解决的问
题就是如何构造即确定区间的左右端点（我们一般考
虑对称区间），且这种区间如何与概率（显著性水平）
32
建立原假设与备选假设
一般而言，建立原和备假设没有一个统一的 规则，通常是基于我们所研究的问题而定， 或者是基于检验目的，如在模型中应检验某 些或某个变量的显著性，则建立对应的系数 为零作为原假设。另一方面， 有些假设通
常是根据所研究的问题所隐含的意义而建立， 这样的假设往往具有较为丰富的经济学意义。 或者是由经济学金融学理论或实际经济行为 而建立假设。通过检验假设来证实经济学理 论或实际行为的正确与否。
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33
显著性水平
通常选定的显著性水平，其实质含义为犯第I类错误的 概率，所谓第I类错误是指，在原假设为真时，拒绝这
一正确的原假设，即去真。而对应的取伪的概率即为