卫星运动

卫星椭圆轨道问题探析

顾家国

江苏省大港中学 江苏 镇江 212028

（又称第一宇宙速度），此时卫星以最大速度绕地球表面作圆周运动；当发射速度达

gR 2时（又称第二宇宙速

度），卫星以地球球心为焦点作抛物线运动，当然再也不可能返回地球，因为抛物线为非闭合曲线；当发射速度介于

gR 和gR 2之间时，卫星作椭圆运动，并随发射速度的增大椭圆越

扁，地球为椭圆的一个焦点，发射点为近地点；当卫星速度大于

gR 2而小于第三宇宙速度

时，它将在地球引力范围内作双曲线运动，当卫星脱离地球引力后，将绕太阳运动成为太阳的一个行星，如果控制发射速度和轨道，它也可成为其它行星的卫星；当发射速度大于第三宇宙速度时，卫星将脱离太阳系的束缚，向其他星系运动。

对于圆轨道，由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力，因此可方便地可以求解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量。但对于椭圆轨道，相对来说求解某些问题有一定的困难，下面就卫星椭圆轨道的几个问题逐一分析说明。

一、椭圆上任一点的曲率半径。

根据数学知识，曲率半径由公式3

2

2

2

)x y r y x x y ''+=''''''

-（给出，为了便于求导，借助椭圆的参

数方程cos x a φ=，sin y b φ=（a 、b 分别为椭圆的半长轴、半短轴），把x 、y 的一、二阶

导数代入r 表达式，有32

2

2

2

2

sin cos )a b r ab

φφ+=

（．在远地点和近地点，参数Φ分别取0、

π代入，得到在椭圆上(,0)a ±这两个点所在处的曲率半径相同，等于

2

b

a

,不等于a c +或

a c -，式中c 为椭圆焦距。该知识点中的数学能力要求已超出高中要求，但是其结论有必要

作适当的介绍。

例题1：某卫星沿椭圆轨道绕地球运行，近地点离地球中心的距离是c ,远地点离地球中心的距离为d ,若卫星在近地点的速率为c v ,则卫星在远地点时的速率d v 是多少？

解析：做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于r 。所以，在近地点时有2

2

c v M m G

m

c

r

=，在远地点时有2

2

d v M m G

m

d

r

=，上述两式相比得

c d

v d v c

=

，故

d c c v v d

=

。学生易错的解是：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有

2

2

c

v M m G

m

c

c

=，在远地点时有2

2

d v M m G

m

d

d

=

，上述两式相比得

c d

V V =

d c V =

，

以上错误在于认为做椭圆运动的卫星，在近地点和远地点的轨道曲率半径不同，且分别为c 和d ，这种错误在知道了椭圆曲率半径的概念后就不会犯了。

二、卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度和向心加速度。 根据牛顿第二定律，卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度由公式2

M m G

m a R

=求

解，式中R 为地球球心到卫星的距离，即椭圆的一个焦点到卫星的距离。卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时，万有引力全部用来提供向心力，这时卫星的加速度就是向心加速度，而在椭圆轨道上运动的卫星，万有引力没有全部用来提供向心力，向心加速度将不再等于卫星在轨道上运动的加速度。

卫星在轨道上某点运动的向心力为2

n v

F m r

=，式中r 是该点所在椭圆轨道的曲率半径，

向心加速度n n F a m

=

，在远地点，卫星受到地球的万有引力2

G M m F G

R

=，式中R 是卫星和地

球地心之间的距离。卫星此时运动所需要的向心力2

n v

F m

r

=， r R ≠，且G n F F =，卫星此

时的加速度等于向心加速度，即n a a =，卫星之后在万有引力作用下向地球靠近做向心运动，万有引力产生两个作用效果，一方面提供沿轨道切向的切向力，对卫星做正功，使卫星速率越来越大，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向，万有引力产生的切向加速度a τ和法向加速度即向心加速度n a 之间的关系，如图1所示。到达近地点时，G n F F =，n a a =，卫星之后远离地球做离心运动，万有引力同样产生两个作用效果，一方面提供沿轨道切向的切向力，对卫星做负功，使卫星速率越来越小，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向，

直到远地点，周而复始。在整个运动过程中，只有近地点和远地点两个位置，G n F F =，

n a a =，其他位置n a a ≠。

例题2：发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：

A 、卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度