卫星运动

卫星椭圆轨道问题探析顾家国江苏省大港中学 江苏 镇江 212028（又称第一宇宙速度），此时卫星以最大速度绕地球表面作圆周运动；当发射速度达gR 2时（又称第二宇宙速度），卫星以地球球心为焦点作抛物线运动，当然再也不可能返回地球，因为抛物线为非闭合曲线；当发射速度介于gR 和gR 2之间时，卫星作椭圆运动，并随发射速度的增大椭圆越扁，地球为椭圆的一个焦点，发射点为近地点；当卫星速度大于gR 2而小于第三宇宙速度时，它将在地球引力范围内作双曲线运动，当卫星脱离地球引力后，将绕太阳运动成为太阳的一个行星，如果控制发射速度和轨道，它也可成为其它行星的卫星；当发射速度大于第三宇宙速度时，卫星将脱离太阳系的束缚，向其他星系运动。

对于圆轨道，由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力，因此可方便地可以求解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量。

但对于椭圆轨道，相对来说求解某些问题有一定的困难，下面就卫星椭圆轨道的几个问题逐一分析说明。

一、椭圆上任一点的曲率半径。

根据数学知识，曲率半径由公式3222)x y r y x x y ''+=''''''-（给出，为了便于求导，借助椭圆的参数方程cos x a φ=，sin y b φ=（a 、b 分别为椭圆的半长轴、半短轴），把x 、y 的一、二阶导数代入r 表达式，有322222sin cos )a b r abφφ+=（．在远地点和近地点，参数Φ分别取0、π代入，得到在椭圆上(,0)a ±这两个点所在处的曲率半径相同，等于2ba,不等于a c +或a c -，式中c 为椭圆焦距。

该知识点中的数学能力要求已超出高中要求，但是其结论有必要作适当的介绍。

例题1：某卫星沿椭圆轨道绕地球运行，近地点离地球中心的距离是c ,远地点离地球中心的距离为d ,若卫星在近地点的速率为c v ,则卫星在远地点时的速率d v 是多少？解析：做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于r 。

所以，在近地点时有22c v M m Gmcr=，在远地点时有22d v M m Gmdr=，上述两式相比得c dv d v c=，故d c c v v d=。

学生易错的解是：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有22cv M m Gmcc=，在远地点时有22d v M m Gmdd=，上述两式相比得c dV V =d c V =，以上错误在于认为做椭圆运动的卫星，在近地点和远地点的轨道曲率半径不同，且分别为c 和d ，这种错误在知道了椭圆曲率半径的概念后就不会犯了。

二、卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度和向心加速度。

根据牛顿第二定律，卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度由公式2M m Gm a R=求解，式中R 为地球球心到卫星的距离，即椭圆的一个焦点到卫星的距离。

卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时，万有引力全部用来提供向心力，这时卫星的加速度就是向心加速度，而在椭圆轨道上运动的卫星，万有引力没有全部用来提供向心力，向心加速度将不再等于卫星在轨道上运动的加速度。

卫星在轨道上某点运动的向心力为2n vF m r=，式中r 是该点所在椭圆轨道的曲率半径，向心加速度n n F a m=，在远地点，卫星受到地球的万有引力2G M m F GR=，式中R 是卫星和地球地心之间的距离。

卫星此时运动所需要的向心力2n vF mr=， r R ≠，且G n F F =，卫星此时的加速度等于向心加速度，即n a a =，卫星之后在万有引力作用下向地球靠近做向心运动，万有引力产生两个作用效果，一方面提供沿轨道切向的切向力，对卫星做正功，使卫星速率越来越大，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向，万有引力产生的切向加速度a τ和法向加速度即向心加速度n a 之间的关系，如图1所示。

到达近地点时，G n F F =，n a a =，卫星之后远离地球做离心运动，万有引力同样产生两个作用效果，一方面提供沿轨道切向的切向力，对卫星做负功，使卫星速率越来越小，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向，直到远地点，周而复始。

在整个运动过程中，只有近地点和远地点两个位置，G n F F =，n a a =，其他位置n a a ≠。

例题2：发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图2所示。

则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：A 、卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度B、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度C、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率D、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度解析：根据牛顿第二定律可得2rGMmFa==，即卫星的加速度a只与卫星到地心的距离r 有关，所以A选项错误，B选项正确。

因为轨道1和轨道3是圆轨道，所以222M m vG mr mr rω==，所以V=rGM，3rGM=ω，即D选项正确，C选项错误。

三、卫星在椭圆轨道上运动的周期。

根据开普勒第三定律，所有地球的卫星，无论轨道是圆，还是椭圆，它们运动周期的平方和半长轴的三次方之比是定值。

圆形轨道的半长轴就是圆的半径。

例题3：飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆与地球表面在B点相切，地球半径为R0,如图3所示。

求飞船由A点到B点所需的时间。

解析：设飞船的椭圆轨道的半长轴为a，由图可知02R Ra+=.设飞船沿椭圆轨道运行的周期为T′，由开普勒第三定律得：3323R aT T='.飞船从A到B的时间2Tt'=.由以上三式求解得t==四、圆规道和椭圆轨道之间的变换。

根据例题2可知，在发射卫星的过程中，受运载火箭发射能力的局限，卫星往往不能直接由火箭送入最终运行的空间轨道，而是要在一个椭圆轨道上先行过渡。

在地面跟踪测控网的跟踪测控下，选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令，通过一定的推力改变卫星的运行速图2a图1 图3度，通常要在椭圆轨道与圆轨道相切点开动发动机进行加速来实现变轨，实现发射目标。

从圆轨道1变换到椭圆轨道2，火箭要在轨道1和轨道2的相切点附近进行助推,让此时卫星受到的万有引力不足以提供卫星运动的向心力，卫星开始沿椭圆轨道2做离心运动，速率越来越小，在远地点附近卫星的速度较小，卫星所受的万有引力大于所需的向心力，卫星将做向心运动，在此时对卫星进行加速，使万有引力刚好提供卫星在轨道3上做圆周运动的向心力，使卫星从椭圆轨道2变换到圆规道3上运行。

卫星返回时，通过相反的过程回到地面。

例题4：如下图是我国“嫦娥一号”发射及绕月简图，设下图中卫星是逆时针方向运动的，阅读如下材料回答问题：2007年10月25日17时55分，北京航天飞行控制中心对嫦娥一号卫星实施首次变轨并获得成功，首次变轨是在远地点发动机点火使卫星加速的。

卫星的近地点高度由约200公里抬高到了约600公里，如图4所示，卫星正式进入绕地16小时轨道。

接下来卫星在近地点处还要借助自身发动机的推动，经过三次变轨即进入绕地24小时轨道、绕地48小时轨道，最后进入地月转移轨道，经过漫长的运行后接近月球，在月球近月点的位置仍要借助自身的发动机的作用，使卫星的速度发生变化，被月球引力俘获后进入绕月12小时轨道、绕月3.5小时轨道，最终进入绕月127分钟的圆形轨道，进行约一年的月球探索之旅。

关于卫星在绕地由16小时轨道到48小时轨道、绕月由12小时轨道到127分钟轨道的过程中下列说法正确的是（ ）A 、卫星绕地、绕月运行均需要向后喷气加速，才能到相应的轨道。

B 、卫星绕地运行需要向后喷气加速，才能到相应的轨道。

C 、卫星绕地、绕月运行均需要向前喷气减速，才能到相应的轨道。

D 、卫星绕月运行需要向前喷气减速，才能到相应的轨道。

图4解析：卫星在绕地16小时轨道上运行时，到达近地点处，应该是向后喷气，据反冲现象得速度增大，所需要的向心力增大，而此时地球与卫星之间的引力不变化，即向心力不足，做离心运动，“嫦娥一号”到绕地24小时的轨道上运行。

同理到达预定时间在近地点加速到绕地48小时轨道上运行，第四次变轨指的是最后一次在近地点加速到地月转移轨道上，这才是真正意义上的奔月。

通过分析知B 正确。

卫星在绕月12小时轨道上运行时，到达近月点处，应该是向前喷气，据反冲现象使速度减小，所需要的向心力减小，而此时卫星所受的引力不变化，即引力大于运动物体所需要的向心力，达到此条件，物体就要离开原来的轨迹向内部做向心运动，“嫦娥一号”到绕月 3.5小时的轨道上运行。

同理到达预定时间在近月点减速到绕月127分钟轨道上圆周动，通过分析知D 正确。

五、卫星在椭圆轨道上运动的机械能。

卫星在轨道上运动的总机械能E 等于其动能和势能之和。

根据万有引力定律，地球和卫星之间的引力势能为P G M m E R=-，式中R 是地球地心和卫星之间的距离。

动能212K E m v =，卫星在运动过程中，不考虑其他星体对它的作用，其机械能守恒。

如图4所示，A 、B 两点为卫星运动的近地点和远地点，A v 、B v 分别表示卫星在这两点的速度。

根据例题1的结论，可得.......(1)A Bv a c v a c+=-，卫星在A 、B 两点的机械能分别为：21......(2)2A AG M m E m v a c =--，21......(3)2B B G M m E m v a c=-+,根据机械能守恒，......(4)A B E E =,由（1）（2）（3）（4）式可解得2()()A a c G M v a c a+=-，2()()B a c G M v a c a-=+,把结果代入（2）和（3）式，得到卫星运动的总机械能2G M m E a=-。

从此式可看出，在以地球为焦点的若干个椭圆轨道中，椭圆的半长轴越长，卫星的总机械能越大，发射时需要的能量就越大，因此发射高轨道卫星难度较大。

以上是针对地球和地球的卫星展开讨论的，对于太阳系或其他星系中行星椭圆轨道的一些规律和上述情况类似。

B图4。