福建省永春县第一中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题Word版含答案

永春一中高一年下学期期末考数学科试卷（2018.07）考试时间：120分钟试卷总分：150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。

1．下列各式中，值为2-的是( )A ．22sin 75cos 75︒+︒ B ．2sin 75cos 75︒︒C ．22sin 151︒- D ．22cos 15sin 15︒-︒2．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数应为( )A ．10B ．12C ．18D ．243．下列说法正确的是( )A ．某厂一批产品的次品率为10%，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品；B ．气象部门预报明天下雨的概率是90﹪，说明明天该地区90﹪的地方要下雨，其余 10﹪的地方不会下雨；C ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈；D ．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5．4．执行如右图所示的程序框图，若输出的值为21，则 判断框内应填 ( )A ．5?n ≥B ．6?n >C ．5?n >D ．6?n < 5．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x ﹣y=0上，则()()3sin 3cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．32C ．2-D ．126．两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为( )A ．61B ．81C ．91D ．1217．某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学 生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用 下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均 每人的课外阅读时间为 ( )A ．0.6小时B ．0.8小时C ．0.9小时D ．1.1小时 8．设α为锐角，若sin ＝，则cos ＝( ) A ． B ． C ． D ．－9．若向量i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，且a 与b 的夹角为锐角， 则实数m 的取值范围是 ( ) A ． B ．(－∞，－2)∪C ．∪D ．10．某单位共有A 、B 、C 三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁，又已知A 和B 两部门人员平均年龄为30岁，B 和C 两部门人员平均年龄为34岁，则该单位全体人员的平均年龄为( )A ．34 岁B ．35 岁C ．36岁D ．37岁11．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数()603sin3tF t =+ (其中020t ≤≤)给出，()F t 的单位是辆/分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ． [15，20]B ．[10，15]C ．[5，10]D ．[0，5] 12．通常，满分为100分的试卷，60分为及格线．若 某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这 100人的卷面分数按照[)[)[]96,84,,48,36,36,24 分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格 人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采 用“开方乘以10取整” 的方法进行换算以提高及格率（实数a 的取整等于不超过a 的最大整数）， 如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的 最终考试成绩，则按照这种方式求出的及格率与实际 及格率的差是( )A ．0.45B ．0.52C ．0.60D ．0.82第12题图第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。

13．若向量(2,4)AB = ，(2,)BC n =- ，(0,2)AC =，则n =．14．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为______．15．已知函数()sin()f x A x πφ=+ 的部分图象如右图所示，点C B ,是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于E D ,两点， 则)()(CE BE BE BD -⋅+的值为.16．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数， 将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从 大到小排成的三位数记为D (a ) (例如a ＝815，则I (a )＝158， D (a )＝851)。

阅读如右图所示的程序框图，运行相应的程序， 任意输入一个a ，输出的结果b ＝_____。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在答题卡各自题目的答题区域内作答。

17．（本小题满分10分）某教师为了了解本校高三学生一模考试的数学成绩情况，将所教两个班级的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．（1）分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；（2）若规定成绩不小于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率．18．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α和β，0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其终边分别交单位圆于A、B两点．若A、B两点的横坐标分别是3,510-．（1）求tanα，tanβ的值；（2）求扇形AOB（与劣弧AB对应的扇形)的面积S的值．19.（本小题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示) ，其中样本数据分组区间为：[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系x O y中，设向量()c o s s i nαα=，a，()sin cosββ=-，b，(12=-c．（1）若+=a b c，求sin()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．21.（本小题满分12分）为了研究考前“限时抢分”强化训练次数x 与答题正确率%y 的关系，对某校某班学生进行了关注统计，得到如表数据：（1）求关于的线性回归方程，并预测答题正确率是的强化训练次数（四舍五入，保留整数）；（2）若用3ii y x +（1,2,3,4i =）表示统计数据的“强化均值”（四舍五入，保留整数），若“强化均值”的标准差在区间[0,2)内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑ ， a y bx =- ，样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差为s =22.（本小题满分12分）已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a x b x x ==- ，设函数[](),0,f x a b x π=⋅∈ ． （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的单调区间；（3）设函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像， 若不等式()()sin 20f x h x x m ++-<有解，求实数m 的取值范围．永春一中高一年下学期期末考数学科参考答案（2018.07）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13.2-14.13 15. 2 16.495三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分） （1）由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25，26位的是108，109，数量最多的是103， 故甲班数学成绩的中位数是108.5， 众数是103； （4分）乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24，25位的是106，107，数量最多的是 92和101，故乙班数学成绩的中位数是106．5，众数为92和101． （8分）（2） 由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为202505=；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为183488=．（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）由条件知cosα =，c osβ =﹣．…… 2分∵0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sinα = ，sinβ ==，…… 4分则tanα = = ，tanβ = =﹣7；……6分（2）∵∠AOB=β﹣α，∴tan ∠AOB=tan （β﹣α）== = ，…… 8分∵0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴0＜β﹣α＜π，则β﹣α=．…… 10分即扇形AOB的圆心角θ=∴22111122248S lr r ππθ===⨯⨯=. …… 12分 19.（本小题满分12分）（1）因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1，所以a=0.006. …… 3分 （2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为 (0.022+0.018)×10=0.4．所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4. …… 6分 （3）受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人)，记为A 1,A 2,A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人)，记为B 1,B 2. …… 8分 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,A 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},…… 10分 因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1,B 2}, …… 11分所以所抽取2人的评分都在[40,50)的的概率为110p =.…… 12分20．（本小题满分12分）解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ， 所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ．…… 3分 因为+=a b c，所以22+=a bc ，即a 2 2 a ⋅b b 2 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-． …… 6分 （2）因为5π6α=，所以()12=，a ．依题意，()1sin cos 2ββ+=--，b c ． …… 7分 因为()//+a b c，所以)()11cos sin 022ββ---=．化简得，11sin 22ββ=，所以()π1sin 32β-=． …… 10分 因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<． 所以ππ36β-=，即π2β=． …… 12分20．（本小题满分12分）解：（1）由所给数据计算得： 2.5x =，40y =，………………………（2分）41470i i i x y xy =-=∑，422145i i x x =-=∑，4142214701454i ii i i x y x ybx x==-===-∑∑ ，………………………（4分）4014 2.55a y bx =-=-⨯= ，所求回归直线方程是145y x =+，………………………（6分）由100145x =+，得 6.79x =预测答题正确率是100%的强化训练次数为7次．…（8分） （2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5,6,8,9，平均数是7，………（10分）“强化均值”的标准差是2s ==<，所以这个班的强化训练有效．………………………（12分） 22.（本小题满分12分）（1）222991()sin cos 1cos cos cos cos 888f x x x x x x x =+-=-+-=-+- ……（2分）211()(cos )28f x x ∴=--+， []()1710,1cos 188x x f x π∈∴-≤≤∴-≤≤()f x ∴的值域为171,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………（4分）（2）由211()(cos )28f x x =--+， 令cos t x =，则()211()()28f x g t t ==--+当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，112t ≤≤，且cos t x =为减函数又211()()28g t t =--+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上时减函数，()f x ∴在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，112t -≤≤，且cos t x =为减函数 又211()()28g t t =--+在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上时增函数，()f x ∴在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 综上，()f x 的单调增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间为,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………（8分） （3） 函数21()cos cos 8f x x x =-+-，[]0,x π∈的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，2211()cos cos sin sin 2288h x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=-+++-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 依题意，不等式()()sin 2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设5()()sin 2cos sin sin 24y f x h x x x x x=++=--+52sin cos cos sin ,0,42x x x x x π⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦令[]cos sin ,0,1,142t x x x x t ππ⎛⎫⎡⎤=-=+∈∴∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ， 则[]2211,1,142y t t t t ⎛⎫=-+-=--∈- ⎪⎝⎭∴函数()()sin 2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.∴min 94m y >=-故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.………（12分）。