2018高考数学大一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布列课时达标检测五十七古典概型与几何概型理

课时达标检测(五十七) 古典概型与几何概型[练基础小题——强化运算能力]1．(2017·武汉模拟)在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：选D 因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0<4x －3≤1，即34<x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14，故选D. 次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( )A.12B.13C.23D.34解析：选D 抛掷两次该玩具共有16种情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，…，(4,4)．其中乘积是偶数的有12种情况：(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是P ＝1216＝34. 3．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中用m 表示，假设数字具有随机性，则乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为________.解析：由14(87＋89＋91＋93)＝14(85＋90＋91＋90＋m )，得m ＝4，即m ＝4时，甲、乙两个小组的平均成绩相等．设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，m 的取值有0,1,2，…，9，共10种可能，其中，当m ＝5,6，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，故所求概率为510＝12. 答案：124．(2017·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24. 答案：π24[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3. 2．从集合A ＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率为( )A.112B.16C.14D.12解析：选B 根据题意可知，总的基本事件(k ，b )共有4×3＝12个，直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限，则k >0，b >0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率P ＝212＝16，故选B. 3．如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )A.512B.12C.23D.34解析：选C 由题意可知S 阴＝⎠⎛04x d x ＝23x 32| 40＝163，S 长方形＝4×2＝8，则所求概率P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23. 4．(2017·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点， PB ＋ PC ＋2 PA ＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为 PB ＋ PC ＋2 PA ＝0，所以点P是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △P BC S △ABC ＝12，故选C. 5．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P(a ，b)，记“点P(a ，b)落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n≤5，n ∈N)，若事件C n 发生的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：选D 分别从集合A 和B 中随机取出一个数，确定平面上的一个点P (a ，b )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a ＋b ＝2的有1种情况，a ＋b ＝3的有2种情况，a ＋b ＝4的有2种情况，a ＋b ＝5的有1种情况，所以可知若事件C n 发生的概率最大，则n 的所有可能值为3和4.6．某公司有一批专业技术人员，其中年龄在35～50岁的本科生和研究生分别有30人和20人，现用分层抽样法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取3人，则至少有1人为研究生的概率为( )A.110B.12C.710D.910解析：选D 设容量为5的样本中研究生的人数为m ，由题意可得2030＋20＝m 5，解得m ＝2，则样本中有研究生2人，分别记为A ，B ，本科生3人，分别记为a ，b ，c ，所以从中任意抽取3人的所有情况有(A ，B ，a )，(A ，B ，b )，(A ，B ，c )，(A ，a ，b )，(A ，a ，c )，(A ，b ，c )，(B ，a ，b )，(B ，a ，c )，(B ，b ，c )，(a ，b ，c )，共10种，3人均为本科生的情况只有(a ，b ，c )1种，故至少有1人为研究生的概率为1－110＝910. 二、填空题7．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e >5的概率是________．有b ＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a ，b )共有36种情况．则所求事件的概率P ＝636＝16. 答案：168．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，若从区间[－5,5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．解析：令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－ －1 5－ －5＝310. 答案：3109．已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点．在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH |<2的概率为________．解析：如图，设E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，则满足|PH |<2的点P 在△AEH ，扇形HEF 及△DFH 内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为14π 2 2＋12×1×1×22×2＝π8＋14. 答案：π8＋1410．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．解析：设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2 4种情况，则所求概率为P ＝412＝13. 答案：13三、解答题11．从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40,50)；第二组[50,60)；……；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率．解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)内的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1，所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1＝4.(2)设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”，由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这4名学生分别为a ，b ，c ，d ，成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40＝2(人)，记这2名学生分别为e ，f ，则选取2名学生的所有可能结果为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(a ，e )，(a ，f )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共9种，所以P (A )＝915＝35. 12．现有8个质量和外形一样的球，其中A 1，A 2，A 3为红球的编号，B 1，B 2，B 3为黄球的编号，C 1，C 2为蓝球的编号，从三种颜色的球中分别选出一个球，放到一个盒子内．(1)求红球A 1被选中的概率；(2)求黄球B 1和蓝球C 1不全被选中的概率．解：从三种不同颜色的球中分别选出一球，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些事件的发生是等可能的．(1)用M 表示“红球A 1被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，事件M 由6个基本事件组成，因而P (M )＝618＝13. (2)用N 表示“黄球B 1和蓝球C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N －表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N －由3个基本事件组成，所以P (N －)＝318＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56.。