7-1 基本概念
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z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
3
1.常微分方程
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程.
有 将 y，y 及 y 代入原方程的左边， (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程， 所以该函数是 所给二阶微分方程的解.
2014-5-25 10
例2 y, ,, n ) 0 dx dx
n
(1)
dy dny dy dny 这里F(x,y, , , n ) 0是x, y, , , n 的已知函数, dx dx dx dx dny 而且一定含有 n , y是未知函数, x是自变量. dx
7
三 微分方程的解
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件):
又因为该函数含有两个任意常数，
故y c1e c2e 是方程y 5 y 4 y 0
-4x " '
x
的通解.
11
y c1e c2e
'
x
-4x
由初始条件 y(0) 2, y (0) 1有
c1 c2 2 c1 4c2 1
解以上方程组得
第七章
第一节
微 分 方 程
微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
2014-5-25
引例1. 一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) ,则有如下关系式:
dy 2x dx y x 1 2
由 ① 得
如
dy (2) xdy ydx 0 ; (1) 2 x; dx 3 2 d x dx (3) tx x 0; 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t; 4 dt dt
都是常微分方程
4
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程. 如
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程.
注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称 为微分方程或方程.
5
二、微分方程的阶 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数称为微分方程的阶数. 如:
① ② (C为任意常数)
2
由 ② 得 C =1, 因此所求曲线方程为 y x 1 .
2
一、微分方程的基本概念
定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微 分）的关系式称为微分方程. 例1：下列关系式都是微分方程
dy (1) 2x ; dx
d x dx (3) tx x 0 ; 2 dt dt
" '
c1 3, c2 1
故方程y 5 y 4 y 0满足初始条件 y (0) 2, y (0) 1的特解为
'
y 3e e
x
-4x
12
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元
函数 y = y(x) ， 其图形是一条平面曲线，我们称 它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的
说明:
通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 ( x y ) y 0 有解 y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 .
9
例 1 验证函数 y = 3e – x – xe – x 是方程 y + 2y + y = 0 的解. 解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得 y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
x
c2e 是方程y 5 y 4 y 0
-4x " '
的通解, 并求满足初始条件 y (0) 2, y ' (0) 1的特解.
解： 由于 y 5 y 4 y
" ' x -4x ' x -4x 5 ( c e c e ) 4 ( c e c e ) (c1e c2e ) 1 2 1 2 x -4x x -4x 4(c e x c e-4x ) (c1e 16c2e ) 5(c1e 4c2e ) 1 2 0 x -4x "
一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分 曲线族中的一条确定的曲线. 这 就 是 微 分 方 程 的 通解与特解的几何意义.
2014-5-25
13 13
dy dx
, , y ( n 1) ( x0 ) y0 ( n 1) y ( x0 ) y0 , y( x0 ) y0
2x
d 2S
引例1
通解:
特解:
y x 1 2 2 y x C y x2 1
引例2
dt2
0.4
ds d t t 0
20 s t 0 0 , 2 s 0.2 t C1t C2 s 0.2 t 2 20 t
dy (1) 2x dx
2 3
(2) xdy ydx 0
是一阶微分方程；
d x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
是二阶微分方程；
是四阶微分方程.
6
n阶微分方程的一般形式为
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
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1.常微分方程
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程.
有 将 y，y 及 y 代入原方程的左边， (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程， 所以该函数是 所给二阶微分方程的解.
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例2 y, ,, n ) 0 dx dx
n
(1)
dy dny dy dny 这里F(x,y, , , n ) 0是x, y, , , n 的已知函数, dx dx dx dx dny 而且一定含有 n , y是未知函数, x是自变量. dx
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三 微分方程的解
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件):
又因为该函数含有两个任意常数，
故y c1e c2e 是方程y 5 y 4 y 0
-4x " '
x
的通解.
11
y c1e c2e
'
x
-4x
由初始条件 y(0) 2, y (0) 1有
c1 c2 2 c1 4c2 1
解以上方程组得
第七章
第一节
微 分 方 程
微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
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引例1. 一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) ,则有如下关系式:
dy 2x dx y x 1 2
由 ① 得
如
dy (2) xdy ydx 0 ; (1) 2 x; dx 3 2 d x dx (3) tx x 0; 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t; 4 dt dt
都是常微分方程
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2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程. 如
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程.
注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称 为微分方程或方程.
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二、微分方程的阶 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数称为微分方程的阶数. 如:
① ② (C为任意常数)
2
由 ② 得 C =1, 因此所求曲线方程为 y x 1 .
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一、微分方程的基本概念
定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微 分）的关系式称为微分方程. 例1：下列关系式都是微分方程
dy (1) 2x ; dx
d x dx (3) tx x 0 ; 2 dt dt
" '
c1 3, c2 1
故方程y 5 y 4 y 0满足初始条件 y (0) 2, y (0) 1的特解为
'
y 3e e
x
-4x
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一般地，微分方程的每一个解都是一个一元
函数 y = y(x) ， 其图形是一条平面曲线，我们称 它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的
说明:
通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 ( x y ) y 0 有解 y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 .
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例 1 验证函数 y = 3e – x – xe – x 是方程 y + 2y + y = 0 的解. 解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得 y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
x
c2e 是方程y 5 y 4 y 0
-4x " '
的通解, 并求满足初始条件 y (0) 2, y ' (0) 1的特解.
解： 由于 y 5 y 4 y
" ' x -4x ' x -4x 5 ( c e c e ) 4 ( c e c e ) (c1e c2e ) 1 2 1 2 x -4x x -4x 4(c e x c e-4x ) (c1e 16c2e ) 5(c1e 4c2e ) 1 2 0 x -4x "
一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分 曲线族中的一条确定的曲线. 这 就 是 微 分 方 程 的 通解与特解的几何意义.
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13 13
dy dx
, , y ( n 1) ( x0 ) y0 ( n 1) y ( x0 ) y0 , y( x0 ) y0
2x
d 2S
引例1
通解:
特解:
y x 1 2 2 y x C y x2 1
引例2
dt2
0.4
ds d t t 0
20 s t 0 0 , 2 s 0.2 t C1t C2 s 0.2 t 2 20 t
dy (1) 2x dx
2 3
(2) xdy ydx 0
是一阶微分方程；
d x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
是二阶微分方程；
是四阶微分方程.
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n阶微分方程的一般形式为