定积分的简单应用——求体积(推荐文档)

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定积分在几何和物理中的应用

定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积，还可以应用到物理学、工程学中。

在本文中，我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。

一、计算面积我们首先来看一个简单的例子，如果我们想要计算一个曲线所围成的面积，我们需要怎么做呢？假设曲线为y=f(x)，我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为函数值f(x)，则该小矩形的面积为f(x)Δx。

我们将所有小矩形的面积相加，得到所求的曲线面积S：S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。

这里的∫符号代表积分符号，具体的计算方法不在本文中详细说明。

二、计算体积在物理学中，我们经常需要计算物体的体积，定积分也可以帮助我们实现这一目的。

比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积，我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积，每个小圆柱的体积可以表示为：V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加，得到所求的立体体积V：V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中，重心和质心是非常重要的概念。

对于一个平面图形或者一个立体体形，它的重心和质心分别表示为：重心：(∫xdS)/(∫dS)质心：(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元，x则表示距离中心的距离。

我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。

四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛，比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。

举一个简单的例子，假设质量为m的物体从高度为h处自由落下，当它下落到高度为y 时，它的速度为v，我们可以使用动能和势能的转化关系求出v，设重力加速度为g，则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy，同时增加的动能为(1/2)mv^2，因此：mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态，以及计算其他物理量的值。

高中数学同步教学第4章 §3 定积分的简单应用

0
0
＝π(12x2－15x5)|01＝π(12－15)＝π×130＝130π.
• 4．由曲线y＝x2,直线x＝1,x＝2与x轴所围成的平面图形绕x
31π 5
轴[解旋析转] 一设周所得所旋得转旋体的转体体积的为体V，积为________.
则 V＝2π(x2)2dx＝2πx4dx＝5πx5|12＝315π.
1
1
互动探究学案
命题方向1 ⇨不分割型平面图形面积的求解
• 典例 1 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形16 的面积为____.
• [思路分析] 从图形上可以看出,所求图形的面积可以转化为一个三角形与一个曲边三角形面积的差,进而可以用定积分求出面积．为了确定出积分的上、下限,我们需要求出直线[解和析抛] 物解线方程的组交yy点＝＝xx的，2，横坐标．
第四章定积分
• 本章知识概述：本章的主要内容是定积分的概念,计算和简单应用．
• 教科书通过曲边梯形面积问题,变速直线运动物体的路程问题,变力做功等问题,充分演示了定积分概念产生的背景以及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们处理积分的计算问题提供了有力工具,教科书主要介绍了求简单图形的面积和求简单旋转体的体积．
1．平面图形的面积如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b f(x)dx 表
a
示由__直__线__x_＝__a_,x_＝__b_(_a_≠_b_)_,y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(_x)_______所围成的曲边梯形的面积． 2．简单几何体的体积
得 x1＝0，x2＝1. 故所求图形的面积为
S＝1xdx－1x2dx
0
0

高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用

极限
当n→∞时，积分和的极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，取每个小区间的任意一点ξi，对应的函数值为f(ξi)，则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用，如计算变力做功、液体静压力等，需要进一步学习和掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域，如计算收益、成本等经济量，为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展，定积分与计算机技术的结合将越来越紧密，如利用计算机进行定积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极值点，从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹凸性，从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下，通过构造拉格朗日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数，可以采用数值计算方法（如牛顿法、梯度下降法等）来逼近最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积分求解平面图形的面积，如求解由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用，如求解变力做功、液体静压力等问题中涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领域的应用，如求解由需求曲线和价格曲线围成的面积所表示的消费者剩余或生产者剩余等。

试论定积分在物理及其他领域的应用

试论定积分在物理及其他领域的应用1. 引言1.1 定积分的基本概念定积分是微积分的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

定积分的基本概念可以简单地理解为一个函数在一定区间内的累积效果。

在几何学中，定积分可以用来计算曲线下面积，图形的面积和体积等问题。

在数学上，定积分可以看作是不定积分的反运算，通过定积分我们可以求解函数的定积分值。

在实际应用中，定积分被广泛运用于物理、工程、经济等领域。

它的应用使得复杂问题的计算变得简单清晰。

通过定积分，我们可以计算出物体的质量、力的大小、功的大小等物理量。

在力学中，定积分可以用来描述物体的运动规律，计算出物体的位置、速度和加速度等。

在电磁学中，定积分常常用来计算电场强度、磁场强度等问题。

在热力学中，定积分可以用来计算热量、熵等热力学量。

在工程学中，定积分可以帮助工程师计算出工程设计中的各种参数。

在经济学中，定积分在求解供求关系、成本、收益等问题上起着重要作用。

定积分在各个领域中都有着重要的应用价值。

它的基本概念对于理解定积分的应用具有重要意义。

通过深入研究定积分的基本概念，可以更好地理解其在不同领域中的具体应用。

1.2 定积分在物理领域的重要性定积分在物理领域的重要性体现在多个方面，首先在力学中，定积分可以用来描述物体的质量、速度、加速度、力和能量等物理量随时间的变化，从而帮助解决力学中的各种问题。

在电磁学中，定积分可以用来描述电流、电荷、电场、磁场等物理量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决电磁学中的各种问题。

在热力学中，定积分可以用来描述热量、温度、熵等热力学量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决热力学中的各种问题。

在工程学和经济学中，定积分也有着重要的应用，可以用来描述工程和经济系统中的各种物理量的变化规律，从而帮助解决工程和经济学中的各种问题。

定积分在物理领域中的重要性不可忽视，它为我们理解和应用物理定律提供了重要的数学工具和方法。

2. 正文2.1 定积分在力学中的应用在力学中，定积分是一个非常重要的数学工具，它可以用来描述物体在运动过程中的各种性质和运动规律。

定积分体积计算

定积分体积计算定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积、体积以及质量等问题。

在工程、物理、经济学等领域中，定积分都有着广泛的应用。

在本文中，我们将详细介绍定积分的概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用定积分。

首先，让我们来了解一下什么是定积分。

定积分是通过将一个区间划分成许多小的子区间，然后计算每个子区间内函数值乘以区间长度的和来逼近一个曲线与坐标轴围成的面积。

当子区间的数量趋向于无穷大，每个子区间的长度趋向于无穷小时，这个和就收敛到一个确定的值，我们称之为定积分。

定积分具有以下几个重要的性质。

首先，定积分与函数的连续性有关，如果函数在一个区间上连续，那么定积分存在且唯一。

其次，定积分是可加性的，即如果一个函数在一个区间上求定积分，然后在另一个区间上求定积分，最后将两个结果相加，得到的结果就是整个区间上的定积分。

此外，定积分具有平移不变性和尺度性质，即如果一个函数在一个区间上求定积分，然后将这个区间整体平移或者伸缩，最后再求定积分，得到的结果与原来的结果相同。

接下来，我们将介绍一些常用的计算定积分的方法。

对于一些简单的函数，可以直接通过积分表格来查找对应的积分公式进行计算。

但是对于一些复杂的函数，我们可以使用积分的性质来简化计算过程。

例如，我们可以通过换元积分法将一个复杂的函数转化成一个简单的形式，然后再进行计算。

此外，我们还可以通过分部积分法将一个积分转化成两个积分的和，从而简化计算。

在实际应用中，定积分有着广泛的用途。

例如，在工程学中，我们常常需要计算一些复杂形状的体积，比如建筑物的体积、水坝的容量等，这时候就可以通过定积分来求解。

在物理学中，定积分可以用来计算物体的质量、动量等。

在经济学中，我们可以用定积分来计算某个商品的需求量、消费量等。

定积分的应用范围广泛，而且能够准确地描述问题，因此是微积分不可或缺的一部分。

综上所述，定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积、体积以及质量等问题。

高中数学第一章导数及其应用1定积分的简单应用定积分在物理中的应用素材

定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分.微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分最重要的思想就是用"微元"与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想,‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用.定义：设函数f(x)在［a,b]上有界，在[a,b ］中任意插入若干个分点 a=X0〈X1〈...〈Xn —1<Xn=b 把区间[a ，b ］分成n 个小区间 [X0，X1]，..。

[Xn —1，Xn]。

在每个小区间[Xi —1，Xi ］上任取一点ξi(Xi -1≤ξi≤Xi ），作函数值f(ξi ）与小区间长度的乘积f(ξi ）△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对［a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法,只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f （x)在区间[a ，b]上的定积分，记作: ()dx x f a b⎰即： ()()ini ia bx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x ）作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b ，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.在[a ，b]上任取子区间[x ，x+dx ］，在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F （x ）在区间［a,b ］上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a 〈b ），求电场力所做的功。

定积分的应用--简单几何体的体积

结论 2
旋转体由曲线x=( y), y a, y b
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b (( y))2dy b x2dy
a
a
探究3 设两抛物线y x2 2x, y x2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V ？
Vi xi2 xi
圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和：
V （02 x0 xi2 xi 12 xn )
所以求体积是定积分问题。
解：圆锥体的体积为：
V

1

0

x2dx

3
x3
1 0

3
简单几何体的体积
设旋转体是由连续曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a＜b)及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成，设在区间[a，b]上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为 A(x)＝πf2(x)，则体积为 V＝bπf2(x)dx.
角形可以看作是由直线 y=x ，x=1 及 x 轴所围成的
平面图形。
y
y
o
x
x
o
1
xi
xi
把这个三角形分割成许多垂直于 x 轴的小梯形，
设第 i 个小梯形的宽是 xi ，它绕 x 轴旋转一周就得
到一个厚xi 度是的小圆台。
当xi 很小时，每个小圆台近似于底面半径为 xi 的小圆柱，因此，小圆台的体积近似为
( f (x) g(x))
四、课堂小结
本节课用定积分解决了简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
简单几何体的体积

定积分的应用（论文）

定积分的应用中文摘要：本文简要的讨论了定积分在数学、物理学的基本应用。

数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积；物理方面包括应用定积分去求变力对物体所做的功以及求电场的场强。

此外定积分在求数列极限、证明不等式、求和以及因式分解等方面也有广泛的应用；本文在阐述定积分的应用时，充分使用了“微元法”这一基本思路，它是我们解决许多实际问题的核心。

关键词：微元法定积分电场强度数列极限Abstract: This paper discussed the definite integral in mathematics, physics of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph, Physical aspects including application of definite integral to change to the object force and the work done for electric field. Besides definite integral in the beg sequence limit, proof, inequality summation factoring decomposition and has a wide application in, Based on the expatiation of the definite integral of application, make full use of the "micro element method" the basic idea, it is we solve many practical problems at the core.Key W ords: Micro element method definite integral electric intensity sequence limit引言：恩格斯曾经指出，微积分是变量数学最重要的部分，微积分是数学的一个重要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具；如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展，如：气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用得到微积分。

高等数学：第十讲旋转体的体积

1. 微元法的思想
第三步：所有小薄片的体积近似值之和近似等于黄瓜的体积
2. 旋转体的体积公式
由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体叫做旋转体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
特点：用垂直于旋转轴的平面去截旋转体，横截面为圆。
2. 旋转体的体积公式
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f x ,直线 x a、x b
P
r
x x dx h x
[x, x d x]
3. 例题
．
以d x 为底的曲边梯形绕 x轴旋转而成的圆薄片的体积用圆柱
的体积代替得体积元素为，
dV ( r x)2 d x
h
圆锥体的体积为
V
h
0
r h
x
2
d
x
r2
h2x3 3h Fra bibliotek0hr2
3
y
P
rx h
r
o
x
x
3. 例题
．
例2 求由抛物线y x 与直线y 0 ，y 1 和y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积
c
o
x
3. 例题
例1 连接坐标原点 O 及点 P h, r 的直线、直线 x h 及 x 轴
围成一个直角三角形.将它绕 x 轴旋转构成一个底半径为 r ，
高为 h 的圆锥体，计算圆锥体的体积。
解直线 OP 方程为
y
y r x h
取积分变量为 x，积分区间为 o
[0, h]. 在 [0, h] 上任取小区间
定积分应用之旋转体的体积
目录
01
微元法的思想
02 旋转体的体积公式

定积分在几何,物理学中的简单应用

定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。

它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。

首先，定积分在几何学中的简单应用。

比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。

它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。

它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。

其次，定积分也可以用在物理学中。

比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。

它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。

最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。

比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。

还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。

以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。

定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。

只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。

- 1 -。

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为（）A.−4B.−2C.2D.42. 由直线x=0，x=2，y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为（）A.46 15πB.43π C.1615π D.83π3. 由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（）A.1 3B.53C.73D.1134. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A.5 6B.1C.53D.25. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A.3π10B.π2C.π5D.7π106. 函数y=sin x，y=cos x在区间(π4，5π4)内围成图形的面积为（）A.√2B.2√2C.3√2D.4√27. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=1处，力F(x)所做的功为（）A.(3+e2)JB.(3+12e2)J C.(52+12e2)J D.(2+e2)J8. 由曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.4B.103C.163D.1549. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是（）A.∫f ba (x)dx B.|∫f ba (x)dx|C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc 2(x)dxD.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc2(x)dx10. 直线y =x 与曲线y =√x 3围成的平面图形的面积是．（） A.14 B.2 C.1D.1211. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0)，若∫f 10(x)dx =f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．12. y =cos x 与直线x =0，x =π及x 轴围成平面区域面积为________．13. 由曲线y =|x|，y =−|x|，x =2，x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V =________．14. 两曲线x −y =0，y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________．15. 由曲线y =x 2和直线x =0，x =1，以及y =0所围成的图形面积是________． 16.若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10=π12据此类比：将曲线y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V =________．17. 在直角坐标平面内，由直线x=1，x=2，y=0和曲线y=1所围成的平面区域的x面积是________．18. 在xOy平面上，将抛物线弧y=1−x2(0≤x≤1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D，如图中曲边三角形OAB及内部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0, y)(0≤y≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为(1−y)π，试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出Ω的体积值为________．19. 函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x2−x围成的图形的面积等于________．2ax2−a2x)dx，则f(a)的最大值为________．20. 已知f(a)=∫(1x2在第一象限内的交点为P.21. 已知曲线C1：y2=2x与C2：y=12(1)求曲线C2在点P处的切线方程；(2)求两条曲线所围成图形的面积S.22. 求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．23. 已知曲线C:y=x2(x≥0)，直线l为曲线C在点A(1, 1)处的切线．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积．24. 如图一是火力发电厂烟囱示意图．它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体，烟囱最细处的直径为10m，最下端的直径为12m，最细处离地面6m，烟囱高14m，试求该烟囱占有空间的大小．（精确到0.1m3）25.(1)已知复数z的共轭复数是z¯，且z⋅z¯−3iz=10，求z；1−3ix所围成的平面图形的面积．(2)求曲线y=√x与直线x+y=2，y=−1326.（1）已知(√x +2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列．求n ．（2）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），求所投的点落在叶形图内部的概率．27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积：（1）y ＝sin x(π4≤x ≤π)，x =π4，y ＝0；（2）y ＝x 2，y ＝2x 2，x ＝1；（3）y ＝x 2，y =√x ．28. 求由y =4−x 2与直线y =2x −4所围成图形的面积．29. 已知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0．（1）求S 0．（2）求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积．30. 已知函数y =f(x)的图形如图所示，给出y =f(x)与x =10和x 轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过1的面积估计值，可以怎么做？31. 已知曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0由C 与围成封闭图形记为M ．（1）求M 的面积；（2）若M 绕x 轴旋转一周，求由M 围成的体积．32. 已知f(x)为一次函数，且f(x)=x ∫f 20(t)dt +1，（1）求函数f(x)的解析式；（2）若g(x)=x ⋅f(x)，求曲线y =g(x)与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．33. 已知圆锥的高为ℎ，底半径为r ，用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，推导圆锥体积的计算公式． [提示：（1）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn ，2r n，3r n…，(n−1)r n，r ；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n 2)×πr 2n 2，当n 越来越大时所趋向的值．]．34. 求曲线y =√x(0≤x ≤4)上的一条切线，使此切线与直线x =0，x =4以及曲线y =√x 所围成的平面图形的面积最小．35. 过点(0, 1)作曲线L:y =ln x 的切线，切点为A ．又L 与x 轴交于B 点，区城D 由L 、x 轴与直线AB 围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．36. 求曲线y =2x −x 2，y =2x 2−4x 所围成图形的面积．37. 已知∫(103ax +1)(x +b)dx =0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．38. 求下列曲线所围成图形的面积：曲线y=cos x，x=π2，x=3π2，y=0．39. 求曲线y=sin x与直线x=−π2，x=5π4，y=0所围成的平面图形的面积．40. 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x−x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．参考答案与试题解析数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 1.【答案】 D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx ，即可得出结论．【解答】解：由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=4．故选：D ． 2.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】由题意此几何体的体积可以看作是∫π20(1−x 2)2dx ，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意几何体的体积； ∫π20(1−x 2)2dx=π(x −23x 3+15x 5)|02=π(2−23×23+15×25) =4615π 故选A ． 3. 【答案】 C【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：直线x =1，x =2，y =0与抛物线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为S =∫x 221dx =13x 3|12=83−13=73，故选：C ．4.【答案】 A【考点】定积分的简单应用【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解，然后求出曲线y =x 2+2与y =3x 的交点坐标，然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积，根据定积分的定义解之即可．【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x =[13X 3+2X −32X 2]01=56 故选：A 5.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可．【解答】解：设旋转体的体积为V ，则v =∫π10(x −x 4)dx =π(12x 2−15x 5)|01=3π10．故旋转体的体积为：3π10．故选A ． 6. 【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】根据定积分的几何意义，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx ，然后利用公式求出sin x −cos x 的原函数F(x)，算出F(5π4)−F(π4)的值，即为所求图形的面积．【解答】解：根据题意，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx =(−cos x −sin x +C)|π45π4 （其中C 为常数） ∴ S =(−cos 5π4−sin5π4+C)−(−cos π4−sin π4+C)=(√22+√22+C)−(−√22−√22+C)=2√2 故选B 7.【答案】 C【考点】定积分的简单应用【解析】先根据题意建立关系式∫(103+e 2x )dx ，然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可．【解答】解：根据题意可知F(x)所做的功为∫(103+e 2x )dx =(3x +12e 2x )|01=3+12e 2−12=52+12e 2故选C ．8.【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：联立直线y =x −2，曲线y =√x 构成方程组，解得{x =4,y =2,联立直线y =x −2，y =0构成方程组，解得{x =2,y =0,如图所示：∴曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积S=∫√x40dx−∫(42x−2)dx=2x32|04 −(1x2−2x)|24=163−2=103．故选B．9.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用定积分定积分的简单应用【解析】先根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段，然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积，从而求出所求．【解答】解：根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积S=∫fc1a (x)dx−∫fc2c1(x)dx+∫fcc2(x)dx故选：D10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先画出画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形，然后求出交点横坐标得到积分上下限，然后利用定积分表示出图形的面积，根据定积分的运算法则进行求解即可．【解答】解：画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形图形关于原点对称，交点的横坐标为−1，1∴直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形的面积是∫(1−1√x3−x)dx=2∫(1√x3−x)dx=2(34x43−12x2)|01=2(34−12−0)=12故选D ．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 11.【答案】 √33【考点】定积分的简单应用【解析】求出定积分∫f 10(x)dx ，根据方程ax 02+c =∫f 10(x)dx 即可求解．【解答】解：∵ f(x)=ax 2+c(a ≠0)，∴ f(x 0)=∫f 10(x)dx =[ax 33+cx]01=a3+c ．又∵f(x 0)=ax 02+c ．∴ x 02=13，∵ x 0∈[0, 1]∴ x 0=√33． 12.【答案】2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍，最后结合定积分计算面积即可．【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍， ∴ S =2∫cos π20xdx =2 故答案为2．13.【答案】323π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）用定积分求简单几何体的体积【解析】作出曲线围成的封闭图象，根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论．【解答】解：曲线y=|x|，y=−|x|，x=2，x=−2合成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为2，高为4的圆柱，去掉2个底面半径为2，高为2的圆锥，则对应的体积为π×42−2×13π×22×2=16π−16π3=323π，故答案为：323π14.【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为3，积分下限为0，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为3，积分下限为0；两曲线x−y=0，y=x2−2x所围成的图形的面积是∫(33x−x2)dx而∫(303x−x2)dx=(32x2−13x3)|03=272−9=92∴曲边梯形的面积是92故答案为92．15. 【答案】13【考点】定积分在求面积中的应用【解析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y =x 2在区间[0, 1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：∵ 曲线y =x 2和直线L:x =1的交点为A(1, 1)，∴ 曲线C:y =x 2、直线L:x =1与x 轴所围成的图形面积为 S =∫x 210dx =13x 3|01=13．故答案为：13．16. 【答案】81π2【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：根据类比推理得体积V =∫π90(√y)2dy =∫π90ydy =12πy 2|09=81π2，故答案为：81π2.17.【答案】 ln 2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来，然后根据定积分的定义求出面积即可．【解答】解：由题意，S =∫1x 21dx =ln x|12=ln 2．故答案为：ln 2． 18. 【答案】√34π 【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即可得出结论．【解答】解：(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π⋅√34=√34π．故答案为√34π． 19. 【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积．【解答】解：函数的导数为f′(x)=3x 2−2x +1，则在(1, 2)处的切线斜率k =f′(1)=3−2+1=2，则对应的切线方程为y −2=2(x −1)，即y =2x ，由{y =x 2−x y =2x，解得x =3或x =0，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(302x −x 2+x)dx =(32x 2−13x 3)| 30 =92，故答案为：92．20. 【答案】29【考点】定积分的简单应用【解析】先根据定积分的运算公式求出f(a)的解析式，然后利用二次函数的图象和性质即可求出f(a)的最大值．【解答】解：f(a)=∫(102ax 2−a 2x)dx =(23ax 3−12a 2x 2)|01=23a −12a 2∴ 当a =23时，f(a)取最大值，最大值为29 故答案为：29三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分） 21.【答案】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43. 22. 【答案】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1【考点】定积分的简单应用【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1 23. 【答案】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积．【解答】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．24.【答案】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 3【考点】用定积分求简单几何体的体积双曲线的特性【解析】由题意建立坐标系，得到如图的双曲线，烟囱最细处的直径为10m 即2a =10，最下端的直径为12m ，最细处离地面6m ，即双曲线经过(−6, 6)，烟囱高14m ，即自变量范围为−6到8，由此利用定积分的值得到体积．【解答】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 325.【答案】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )，则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)，同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．【考点】复数的运算共轭复数复数代数形式的混合运算定积分在求面积中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )，则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)，同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．26. 【答案】解：（1）∵ (√x 2x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴ 1+n(n−1)2×14=n ，整理得n 2−9n +8=0，n 1=1（舍） n 2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A ，由几何概型的概率公式得： P(A)=叶形图面积AOBC 的面积=∫(10√x−x 2)dx1=(23x 32−13x 3)|01=13…【考点】二项式定理的应用定积分在求面积中的应用等差数列的性质几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】（1）由题意可得，C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12，解关于n 的方程即可；（2）由几何概型的概率公式可知，需求叶形图的面积，利用定积分∫(10√x −x 2)dx 可求叶形图的面积，从而使问题解决．【解答】解：（1）∵ (√x 2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴1+n(n−1)2×14=n，整理得n2−9n+8=0，n1=1（舍）n2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A，由几何概型的概率公式得：P(A)=叶形图面积AOBC的面积=∫(1√x−x2)dx1=(23x32−13x3)|01=13…27.【答案】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识求出结果．【解答】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．28.【答案】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x3−x2+8x)|−42=36．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x 3−x 2+8x)|−42=36．29. 【答案】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx =π[x2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π22【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分在求面积中的应用【解析】（1）根据题意可知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0=∫sin π0xdx ，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为V =π∫sin 2π0xdx ，根据定积分的定义解之即可．【解答】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx=π[x 2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π2230.【答案】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx =(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5．若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，利用待定系数法确定函数关系式，利用定积分求出面积估计值；若要误差小可分段求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积．【解答】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx=(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5．若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 31. 【答案】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx =π(x 22−x 312)|04=8π3．【考点】用定积分求简单几何体的体积旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】（1）求得交点坐标，可得积分区间，即可求M 的面积；（2）旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．【解答】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx=π(x 22−x 312)|04=8π3．32.【答案】解：（1）设f(x)=kx +b ， ∵ f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， ∴ kx +b =x •(kt 22+bt)|02+1，∴ kx +b =(2k +2b)x +1，∴ k =−2，b =1， ∴ f(x)=−2x +1，；2)g(x)=xf(x)=−2x 2+x ， ∴ V =π∫[120xf(x)]2dx =π240．【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分【解析】（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数f(x)的解析式；（2）求出g(x)，应用定积分来求旋转体的体积．【解答】解：（1）设f(x)=kx+b，∵f(x)=x∫f2(t)dt+1，∴kx+b=x•(kt22+bt)|02+1，∴kx+b=(2k+2b)x+1，∴k=−2，b=1，∴f(x)=−2x+1，；2)g(x)=xf(x)=−2x2+x，∴V=π∫[120xf(x)]2dx=π240．33.【答案】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎn⋅16n(n+1)(2n+1)⋅πr2n2=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法，进行推到【解答】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎ⋅1n(n+1)(2n+1)⋅πr22=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积34.【答案】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2√x −x0)即y=y02+2√x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022x√x)dx=2y0+x−163=2√x0x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=22+√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据导数的几何意义求出曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．【解答】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2x −x0)即y=y02+2x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022√x√x)dx=2y0+√x−163=2√x0√x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=2√2+√22．35.【答案】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)，则{k =1aka +1=b ln a =b ，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx =8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】求出A 的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示．【解答】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)，则{k =1aka +1=b ln a =b，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx=8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．36. 【答案】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先求出两曲线的交点坐标，利用定积分的应用即可求出对应图形的面积．【解答】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 37. 【答案】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 【考点】定积分的简单应用【解析】先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设ab =t 则a +b =−3t+12，再利用构造法构造a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根，然后利用判别式可求出a ．b 的取值范围．【解答】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 38.【答案】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍，最后结合定积分计算面积即可．【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．39. 【答案】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】求曲线y =sin x 与直线x =−π2，x =5π4，y =0所围成的平面图形的面积【解答】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 40.【答案】由 {y =kx y =x −x2 得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112 ∴ (1−k)3=12 ∴ k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ．故k 的值为：k =1−√432．【考点】定积分的简单应用【解析】先由 {y =kx y =x −x 2 得 {x =1−k y =k −k 2 ，根据直线y ＝kx 分抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 下面利用定积分的计算公式即可求得k 值．【解答】由 {y =kx y =x −x 2得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112试卷第31页，总31页 ∴ (1−k)3=12 ∴k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ．故k 的值为：k =1−√432．。

高中数学选修2-2-定积分的概念及其简单应用

定积分的概念及其简单应用知识集结知识元定积分的应用知识讲解1．定积分的应用【应用概述】正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．例1：定积分|sin x|dx的值是．解：|sin x|dx＝＝﹣cos x+cos x＝1+1+0﹣（﹣1）＝3．这个题如果这样子出，|sin x|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．【定积分在求面积中的应用】1、直角坐标系下平面图形的面积2、极坐标系下平面图形的面积由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为3、用定积分求平面图形的面积的步骤a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；c）具体计算定积分，求出图形的面积．例题精讲定积分的应用例1.直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（）A．B．C．D．例2.由曲线，直线y=x所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．1例3.抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积是（）A．B．C．5D．用定积分研究简单几何体的体积知识讲解1．用定积分求简单几何体的体积【知识点的知识】1、已知平行截面面积的立体的体积2、旋转体的体积例题精讲用定积分研究简单几何体的体积例1.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2=4y，x2=-4y，x=4，x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1=V2B．V1=V2C．V1=V2D．V1=2V2例2.曲线y=e x，直线x=0，x=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积是（）A．B．C．D．例3.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．。

1.7定积分的简单应用(zi用)

22 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4 x) |84
40 3
法2：s 8 2xdx 1 4 (8 4)
0
2
22 3
3
x2
|80
8
X型求解法
2 2 16 2 8 40
3
3
法3：s
4
[(4
y)
1
y2 ]dy
0
2
(4
y
1 2
y2
1 6
y3
)
|04
x 1 y2 2
x 4 y
4 4 1 42 1 43 40
4
(0 ≤ x ≤ 2) (单位:N)的作用下,沿着 ( x 2)
与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 处(单位:m),则力 F(x)所
作的功为( )J
(A)44 (B)46 (C)48 (D)50
B
析：W
4
F ( x)dx
2
10dx
4
(3x 4)dx
0
0
2
10 x
|02
的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积
如图阴影所示：
所以：
S 2 (x2 1)dx 1 (x2 1)dx
1
1
x
( x3 x) 2 ( x3 x) 1 8
3
13
1 3
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y f (x)
1.7定积分的简单应用
定积分在几何和物理中的应用
1.7.1 定积分的简单应用
定积分在几何中的应用

(完整版)定积分的简单应用——求体积

4.2定积分的简单应用(二)复习：（1）求曲边梯形面积的方法是什么？（2）定积分的几何意义是什么？（3）微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。

求体积问题也是定积分的一个重要应用。

下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。

1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ？分析：在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。

设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -∆=-，1,2,,i n =L 。

这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ∆的小圆片，如图乙所示。

当i x ∆很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。

因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=∆该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈∆+∆++∆L这个问题就是积分问题，则有：22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==⎰⎰归纳：设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=⎰ 2. 利用定积分求旋转体的体积（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2）分清端点（3）确定几何体的构造（4）利用定积分进行体积计算3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为2()b a V g y dy π=⎰类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。

积分在计算物体体积和质量等问题中的应用

本科学年论文论文题目：积分在计算物体体积和质量等问题中的应用学生XX：学号：专业：班级：指导教师：完成日期：2011年12 月20 日目录内容摘要1关键词1序言2一、定积分的微小元素法31、内容要点32、曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义43、计算面积的元素法步骤：4二、空间立体的体积41、平行截面面积为已知的立体体积42、旋转体的体积7三、重积分在几何中的应用10四、重积分在物理学中的应用111、三重积分的概念122．三重积分的定义133、三重积分的物理意义：134、三重积分的性质14五、质量14参考文献16积分在计算物体体积和质量等问题中的应用内容摘要掌握定积分计算基本技巧；并用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（旋转体的体积平行截面面积为已知的立体体积等）。

对于重积分的计算其基本思想是将重积分化为累次积分进行计算.本文首先给出如何应用定积分的微元法（元素法）再到运用定积分解决实际问题，最后引出二重积分，三重积分。

再通过例子研究积分性质在计算实际问题中的应用.关键词：积分体积质量定积分序言用找出未知量的元素（微元）的方法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。

运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法是解决积分问题的重要思想。

而重积分是一元函数定积分的推广，是多元函数积分学的重要组成部分，在几何学与物理学中都得到了广泛的应用.在几何上，重积分可用来求空间曲面的面积、求空间区域的体积.在物理上，重积分可用来求物体的质量等.但与定积分相比较，重积分的计算除了与被积函数的结构有关外，更大程度上与积分区域的特点有关.下面就针对积分对于计算物体体积和质量的问题进行分析.一、定积分的微小元素法1、内容要点定积分概念的引入，体现了一种思想，它就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”的可以看成是“均匀”的。