2017年春季新版浙教版八年级数学下学期第5章、特殊平行四边形单元复习试卷2

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浙教版八年级数学下册第5章特殊平行四边形单元检测试题(有答案)

第5章特殊平行四边形单元检测试题（满分100分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A.对角线相等的四边形B.对角线垂直的四边形C.对角线互相平分且相等的四边形D.对角线互相垂直平分的四边形2. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是（）A.甲量得窗框两组对边分别相等B.乙量得窗框对角线相等C.丙量得窗框的一组邻边相等D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等3. 四边形ABCD是平行四边形，还需要补充一个条件使它为矩形，下列条件正确的是（）A. AO=BOB. AB=ADC. ∠BOA=90∘D. ∠BAC=90∘4. 下列关于矩形的说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分5. 在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE // CA，DF // BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90∘，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个6. 如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A.△ABD与△ABC的周长相等B.△ABD与△ABC的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍7. 如图，▱ABCD，从下列四个条件：从①AB=BC，②∠ABC=90∘，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，不能使▱ABCD为正方形的是（）A.①②B.②③C.①③D.②④8. 已知正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，“爱琢磨”学习小组的小明说“若EG⊥FH，则EG=FH”，小红说“若EG=FH，则EG⊥FH”．则他们的说法（）A.小明正确B.小红正确C.都正确D.都不正确9. 在四边形ABCD中，如果AB // CD，AB=BC，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件不可以是（）A.AB=DCB.AD // BCC.AC⊥BDD.AB=AD10. 如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的（）A.1 8B.14C.17D.2√2二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB=7，则▱ABCD的周长为________．12. 木工师傅做一个宽60cm，高80cm的矩形木框，为稳固起见，制作时需要在对角顶点间加一根木条，则木条的长为________cm．13. 正方形ABCD的对角线AC=8，则它的边AB=________．14. 如图，在四边形ABCD中，AD // BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A=________度时，就能推出四边形ABCD是矩形．15. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．16. 点P是四边形ABCD内一点，若PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则给△APB添加一个条件________使四边形EFGH为正方形.17. 如图，菱形ABCD中，AB=5cm，BD=6cm，则AC的长为________cm．18. 若矩形的一条对角线长为2，两条对角线的一个交角为60∘，则矩形两邻边中较长的一边长为________．19. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC=6，BD=8，若DE // AC，CE // BD，则OE的长为________．20. 如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE // AC交AB于E，DF // AB交AC于F，若添加条件________，则四边形AEDF是矩形；若添加条件________，则四边形AEDF是菱形；若添加条件________，则四边形AEDF是正方形．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BC于点E，BE:ED=1:3，AD=6cm，求AE的长．22. M为平行四边形ABCD的边AB的中点，且MD=MC，你能说明平行四边形ABCD一定为矩形吗？说明你的理由．23. 如图，已知E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE=AC．（1）求∠E的度数；（2）若AB=√2cm，求S△ACE．24. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积．25. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）求∠ACB的度数．26. 如图，点F是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AC且交AD于E，交CD的延长线于点G，连接CE，AG．（1）求证：△ADG≅△CDE．（2）当CE平分∠ACD时，DG=2，求tan∠AGD的值．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：如图所示：∵ 四边形EFGH是矩形，∵ ∠E=90∘，∵ EF // AC，EH // BD，∵ ∠E+∠EAG=180∘，∠E+∠EBO=180∘，∵ ∠EAO=∠EBO=90∘，∵ 四边形AEBO是矩形，∵ ∠AOB=90∘，∵ AC⊥BD，故选：B．2.【答案】D【解答】解：A、两组对边相等可以为正方形，平行四边形，菱形，矩形等，所以甲错误；B、对角线相等的图形有正方形，菱形，矩形等，所以乙错误；C、邻边相等的图形有正方形，菱形，所以丙错误；D、根据矩形的判定（矩形的对角线平分且相等），故D正确．故选D．3.【答案】A【解答】解：当AO=BO时，可得AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定；当AB=AD时，可判断平行四边形ABCD是菱形；当∠BOA=90∘时，可判断平行四边形ABCD是菱形；当∠BAC=90∘时，不能判断平行四边形ABCD是矩形.故选A.4.【答案】B【解答】A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；5.【答案】A【解答】解：∵ DE // CA，DF // BA，∵ 四边形AEDF是平行四边形；∵ ∠BAC=90∘，∵ 四边形AEDF是矩形；∵ AD平分∠BAC，∵ ∠EAD=∠FAD，∵ ∠FAD=∠ADF，∵ AF=DF，∵ 四边形AEDF是菱形；∵ AD⊥BC且AB=AC，∵ AD平分∠BAC，∵ 四边形AEDF是菱形；故①②③正确．故选A．6.【答案】B【解答】解：A、∵ 四边形ABCD是菱形，∵ AB=BC=AD，∵ AC<BD，∵ △ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；B、∵ S△ABD=12S平行四边形ABCD，S△ABC=12S平行四边形ABCD，∵ △ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；D、菱形的面积等于两条对角线之积的1，故此选项错误；2故选：B．7.【答案】B【解答】解：A、∵ 四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90∘时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ 当②∠ABC=90∘时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵ 四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ 当②∠ABC=90∘时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．故选：B．8.【答案】A【解答】证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，∵ 四边形ABCD是正方形，∵ ∠B=∠C=90∘，BC=AB，∵ EM⊥CD∵ 四边形BCME是矩形，∵ EM=BC，同理HN=AB，∵ EM=HN，由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN，∵ ∠FHN+∠HOG=∠MEG+∠EON=90∘，∵ ∠EON=∠HOG，∵ ∠FHN=∠MEG，∵ △HFN≅△EGM，∵ EG=HF；小明的说法是正确的；如图，在BC上找两个点F和F′，使BF′=CF取AD的中点H，连接FH和F′H，易证HF=HF′，作EG⊥HF′，其中点E在AB上，点G在CD上，由上题可知EG=F′H=FH，但HF和EG不互相垂直，小红的说法是错误的．故选：A．9.【答案】D【解答】解：A、∵ AB // CD，AB=DC，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ AB=BC，∵ ▱ABCD是菱形，故本选项错误；B、∵ AB // CD，AD // BC，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ AB=BC，∵ ▱ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵ AB=BC，AC⊥BD，∵ BD平分AC，且∠ABD=∠CBD，∵ AB // CD，∵ ∠ABD=∠CDB，∵ ∠CBD=∠CDB，∵ AC⊥BD，∵ AC平分BD，∵ 四边形ABCD是菱形，故本选项错误；D、AB // CD，AB=BC，AB=AD，四边形ABCD可以是以AB、CD为底边的等腰梯形，故本选项正确．故选D．10.【答案】A【解答】∵ 由图知：小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三角形的面积之和，∵ 计算得小正方形的面积=92，∵ 大正方形面积＝6×6＝36，∵ 小正方形的面积：大正方形面积的＝1:8．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】28【解答】解：∵ AC平分∠DAB，∵ ∠DAC=∠BAC，∵ 四边形ABCD为平行四边形，∵ ∠B=∠D，在△ADC和△ABC中，{∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC，∵ △ADC≅△ABC，∵ AD=AB，∵ 四边形ABCD为菱形，∵ AD=AB=BC=CD=7，▱ABCD的周长为：7×4=28，故答案为：28．12.【答案】100【解答】解：设这条木板的长度为x厘米，由勾股定理得：x2=802+602，解得x=100cm．故答案为100．13.【答案】4√2【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，∵ AB=BC，∠ABC=90∘，故AC=√2AB，即AB=4√2．故答案为：4√2．14.【答案】90【解答】解：∵ 四边形ABCD中，AD // BC，且AD=BC，∵ 四边形ABCD为平行四边形，∵ 有一个角为90∘的平行四边形是矩形，∵ 添加∠A=90∘就能推出四边形ABCD是矩形，故答案为：90．15.【答案】∠BAD=90∘【解答】解：∵ 四边形ABCD为菱形，∵ 当∠BAD=90∘时，四边形ABCD为正方形．故答案为∠BAD=90∘．16.【答案】△APB是等腰直角三角形【解答】解：如图：连接AC,BD，设AC,BD交点为O，AC与EH交于点N，AP与BD交于点M，∵ ∠APB=∠CPD，∴ ∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，{AP=BP，∠APC=∠BPD，PC=PD∴ △APC≅△BPD(SAS)，∴ AC=BD，∵ 点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，∵ EH//FG，EF//HG，EF=12AC,FG=12BD，∵ 四边形EFGH是菱形，∵ △APC≅△BPD，∴ ∠CAP=∠DBP，∵ ∠AMO=∠BMP，∴ ∠BOA=∠APB=90▱，∵ ∠EHG=∠ENO=∠AOB=∠NHG=90∘,∵ 四边形EFGH是正方形，故答案为：△APB是等腰直角三角形.17.【答案】8【解答】解：如图所示：∵ 菱形ABCD中，AB=5cm，BD=6cm，∵ BO=3cm，∠AOB=90∘，则AO=√AB2−BO2=4(cm)，故AC=2AO=8cm．故答案为：8．18.【答案】√3【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵ 四边形ABCD为矩形，且AC=BD=2，∵ AO=BO=1．∵ ∠AOB=60∘，∵ △AOB为等边三角形，∵ AB=AO=1．在Rt△ABC中，AB=1，AC=2，∵ BC=√AC2−AB2=√3．故答案为：√3．19.【答案】5【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，∵ BO=OD=4，AO=OC=3，AC⊥BD，∵ CD=5.∵ DE // AC，CE // BD，∵ 四边形ODEC是平行四边形，且AC⊥BD，∵ 四边形ODEC是矩形，∵ OE=CD=5.故答案为：5.20.【答案】∠BAC=90∘,AD平分∠BAC,∠BAC=90∘且AD平分∠BAC【解答】解：∵ DE // AC交AB于E，DF // AB交AC于F，∵ 四边形AEDF为平行四边形，∵ 当∠BAC=90∘时，四边形AEDF是矩形；当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形；当∠BAC=90∘且AD平分∠BAC时，四边形AEDF是正方形．故答案为∠BAC=90∘，AD平分∠BAC，∠BAC=90∘且AD平分∠BAC．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∵ 四边形ABCD是矩形，BD=AO，∵ ∠BAD=90∘，OB=OD=12∵ BE:ED=1:3，∵ BE=OE，∵ AE⊥BC，∵ AB=AO，∠AED=90∘，∵ AB=OB=AO，∵ ∠ABO=60∘，∵ ∠ADE=30∘，AD=3cm．∵ AE=12【解答】解：∵ 四边形ABCD是矩形，BD=AO，∵ ∠BAD=90∘，OB=OD=12∵ BE:ED=1:3，∵ BE=OE，∵ AE⊥BC，∵ AB=AO，∠AED=90∘，∵ AB=OB=AO，∵ ∠ABO=60∘，∵ ∠ADE=30∘，AD=3cm．∵ AE=1222.【答案】解：依题意，AM=BM，BC=AD，MD=MC⇒△MBC≅△MAD⇒∠A=∠B.又ABCD为平行四边形⇒∠A=∠B=90∘⇒平行四边形ABCD为矩形．【解答】解：依题意，AM=BM，BC=AD，MD=MC⇒△MBC≅△MAD⇒∠A=∠B.又ABCD为平行四边形⇒∠A=∠B=90∘⇒平行四边形ABCD为矩形．23.【答案】解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∵ AB=BC，∠B=90∘，∠ACB=45∘．∵ CE=AC．∵ ∠CAE=∠E，∵ ∠CAE+∠E=∠ACB，∵ ∠CAE+∠E=45∘，∵ ∠E+∠E=45∘，即∠E=22.5∘（2）∵ ∠B=90∘，∵ △ABC是Rt△．由勾股定理，得AC=√2+2=2，∵ EC=2．∵ S△ACE=2×√22=√2．【解答】解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∵ AB=BC，∠B=90∘，∠ACB=45∘．∵ CE=AC．∵ ∠CAE=∠E，∵ ∠CAE+∠E=∠ACB，∵ ∠CAE+∠E=45∘，∵ ∠E+∠E=45∘，即∠E=22.5∘（2）∵ ∠B=90∘，∵ △ABC是Rt△．由勾股定理，得AC=√2+2=2，∵ EC=2．∵ S△ACE=2×√22=√2．24.【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形∵ AD // BC，∠A=90∘，∵ ∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵ 在△DMO和△BNO中{∠MDO=∠NBO BO=DO∠MOD=∠NOB∵ △DMO≅△BNO(ASA)，∵ OM=ON，∵ OB=OD，∵ 四边形BMDN是平行四边形，∵ MN⊥BD，∵ 平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵ 四边形BMDN是菱形，∵ MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=(8−x)2+42，解得：x=5，∵ S菱形BMDN=DM⋅AB=5×4=20．【解答】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形∵ AD // BC，∠A=90∘，∵ ∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵ 在△DMO和△BNO中{∠MDO=∠NBO BO=DO∠MOD=∠NOB∵ △DMO≅△BNO(ASA)，∵ OM=ON，∵ OB=OD，∵ 四边形BMDN是平行四边形，∵ MN⊥BD，∵ 平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵ 四边形BMDN是菱形，∵ MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=(8−x)2+42，解得：x=5，∵ S菱形BMDN=DM⋅AB=5×4=20．25.【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∵ AB // CD，∵ ∠OCF=∠OAE，在△OCF和△OAE中，{∠OCF=∠OAE ∠COF=∠AOECF=AE，∵ △COF≅△AOE(AAS)，∵ OE=OF；（2）解：如图，连接OB，∵ BE=BF，OE=OF，∵ BO⊥EF，∵ 在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90∘，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∵ ∠BAC=∠ABO，又∵ ∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90∘，解得∠BAC=∠ABO=30∘，∵ ∠ACB=90∘−∠BAC=60∘．【解答】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∵ AB // CD，∵ ∠OCF=∠OAE，在△OCF和△OAE中，{∠OCF=∠OAE ∠COF=∠AOECF=AE，∵ △COF≅△AOE(AAS)，∵ OE=OF；（2）解：如图，连接OB，∵ BE=BF，OE=OF，∵ BO⊥EF，∵ 在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90∘，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∵ ∠BAC=∠ABO，又∵ ∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90∘，解得∠BAC=∠ABO=30∘，∵ ∠ACB=90∘−∠BAC=60∘．26.【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=180∘−∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=∠CDE，又∵ EF⊥AC，∵ ∠AEF=90∘−∠CAD=45∘，∵ ∠DEG=∠AEF=45∘，在Rt△EDG中，∠DGE=90∘−∠DEG=45∘，∵ ∠DGE=∠DEG，∵ DG=DE．在△ADG与△CDE中，{DG=DE∠ADG=∠CDE，AD=CD∵ △ADG≅△CDE(SAS)；（2）解：tan∠AGD=√2+1．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=180∘−∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=∠CDE，又∵ EF⊥AC，∵ ∠AEF=90∘−∠CAD=45∘，∵ ∠DEG=∠AEF=45∘，在Rt△EDG中，∠DGE=90∘−∠DEG=45∘，∵ ∠DGE=∠DEG，∵ DG=DE．在△ADG与△CDE中，{DG=DE∠ADG=∠CDE，AD=CD∵ △ADG≅△CDE(SAS)；（2）解：tan∠AGD=√2+1．。

【单元卷】浙教版八年级数学下册：第5章特殊平行四边形单元质量检测卷(二)含答案与解析

浙教版八年级数学下册单元质量检测卷（二）第5章特殊平行四边形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共27题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：12.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3 D．54.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm5.如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝3，BF＝4，则CE的长等于（）A．B．C．D．6.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4 B．C．6 D．7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．28.如图所示，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与CD交于点O，则四边形AB′OD的周长（）A．B．4C．2+D．49.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，DE＝1，△ADE与△AFE关于AE所在直线对称，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则FG的长为（）A．5 B．C．D．410.如图，在菱形紙片ABCD中，AB＝2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A＝90，B′为AD中点时，AE＝②若∠A＝60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A＝60°，C′F⊥CD时，＝其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，AB＝AD，添加一个条件：，可使它成为正方形．12.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，点F是CB延长线上一点，且△ADE≌△ABF，四边形AECF的面积为8，DE＝1，则AE的长为．13.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为．15.如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连结BC、CD、AC．若∠MAN ＝60°，则∠ACB的大小为．16.如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点P为AD上一点，将△ABP沿着BP翻折至△EBP，PE与CD交于点O，且OE＝OD，则DP的长度为cm．17.如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为．18.如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置，若DE＝2，求FC的长．20.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．21.已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．22.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．23.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：△ADE≌△BAF；（2）求证：DE﹣BF＝EF；（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．24.如图，正方形ABCD中，AB＝，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC＝DE，记∠CDE为α（0°＜α＜90°），连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠DEA的大小（用α的代数式表示）；（2）求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）当CF＝时，求点E到CD的距离．25.如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线AC，分别作∠BAC、∠BCA、∠ACD、∠DAC的角平分线AE、CE、CF、AF．（1）当AB＝BC时，求证：四边形AECF是菱形；（2）设AB＝4，BC＝3，分别作EM⊥AC于点M，FN⊥AC于点N，求MN的长；（3）分别作EG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，当GC＝3，HC＝4时，求矩形ABCD的面积．参考答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1【答案】B【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．【解答】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，∵菱形的周长为16，∴AB＝4，在Rt△ABH中，sin B＝＝＝，∴∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝150°，∴∠C：∠B＝5：1．故选：B．【知识点】菱形的性质2.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B【分析】根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；故选：B．【知识点】菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的性质、正方形的判定3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3 D．5【答案】B【分析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝．故选：B．【知识点】直角三角形斜边上的中线、菱形的性质、三角形中位线定理4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm【答案】D【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，根据勾股定理求出AC，进而求出BD、OD，最后根据三角形中位线求出EF的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm，故选：D．【知识点】勾股定理、三角形中位线定理、矩形的性质5.如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝3，BF＝4，则CE的长等于（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由勾股定理可求AF的长，由折叠的性质可得AD＝AF＝5，DE＝EF，由勾股定理可求EC的长．【解答】解：∵AB＝3，BF＝4，∴AF＝＝＝5，∵矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，∴AD＝AF＝5，DE＝EF，∴BC＝AD＝5，∴CF＝BC﹣BF＝1，∵EF2＝EC2+CF2，∴（3﹣CE）2＝EC2+1，∴CE＝，故选：A．【知识点】矩形的性质、翻折变换（折叠问题）6.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4 B．C．6 D．【答案】B【分析】连结BP，如图，根据菱形的性质得BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，然后利用三角形面积公式，由S△ABC＝S△PAB+S△PBC，得到×5×PE+×5×PF＝12，再整理即可得到PE+PF的值．【解答】解：连结BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，∴×5×PE+×5×PF＝12，∴PE+PF＝，故选：B．【知识点】菱形的性质7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．2【答案】C【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1＝．∴PB的最小值是．故选：C．【知识点】垂线段最短、矩形的性质、三角形中位线定理8.如图所示，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与CD交于点O，则四边形AB′OD的周长（）A．B．4C．2+D．4【答案】B【分析】由边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出B′C的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD的周长．【解答】解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAC＝45°，∴B′在对角线AC上，∵AB＝AB′＝2，在Rt△ABC中，AC＝＝＝2，∴B′C＝2﹣2，在等腰Rt△OB′C中，OB′＝B′C＝2﹣2，在直角三角形OB′C中，OC＝（2﹣2）＝4﹣2，∴OD＝2﹣OC＝2﹣2，∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD＝4+2﹣2+2﹣2＝4，故选：B．【知识点】旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形9.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，DE＝1，△ADE与△AFE关于AE所在直线对称，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则FG的长为（）A．5 B．C．D．4【答案】A【分析】如图，连接BE，根据轴对称的性质得到AF＝AD，∠EAD＝∠EAF，根据旋转的性质得到AG＝AE，∠GAB＝∠EAD．求得∠GAB＝∠EAF，根据全等三角形的性质得到FG＝BE，根据正方形的性质得到BC＝CD＝AB＝4．根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，连接BE，∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，∴AF＝AD，∠EAD＝∠EAF，∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，∴AG＝AE，∠GAB＝∠EAD．∴∠GAB＝∠EAF，∴∠GAB+∠BAF＝∠BAF+∠EAF．∴∠GAF＝∠EAB．在△GAF和△EAB中，，∴△GAF≌△EAB（SAS）．∴FG＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝4．∵DE＝1，∴CE＝3．在Rt△BCE中，BE＝＝＝5，∴FG＝5，故选：A．【知识点】正方形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理10.如图，在菱形紙片ABCD中，AB＝2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A＝90，B′为AD中点时，AE＝②若∠A＝60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A＝60°，C′F⊥CD时，＝其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【分析】①证出四边形ABCD是正方形，得出AB＝AD，设AE＝x，则B'E＝BE＝2﹣x，在Rt△AB'E中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②连接BD、BE'，证出△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠AB'B＝90°，∠ABB'＝30°，证出△AB'E是等边三角形，得出AE＝B'E＝BE即可；③设CF＝x，由折叠的性质得：C'F＝CF＝x，∠C'＝∠C＝∠A＝60°，得出∠C'GF＝30°，得出C'G＝2C'F＝2x，GF＝C'F＝x，则DG＝CD﹣GF﹣CF＝2﹣x﹣x，证出DB'＝DG，作DH⊥B'C'于H，则B'H＝GH＝B'G＝（2﹣2x）＝1﹣x，得出DG＝，得出方程＝2﹣x﹣x，解得：x＝4﹣2，得出CF＝4﹣2，FD＝2﹣2，即可得出结果．【解答】解：①∵∠A＝90°，四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵B′为AD中点时，∴AB'＝1，设AE＝x，则B'E＝BE＝2﹣x，在Rt△AB'E中，由勾股定理得：12+x2＝（2﹣x）2，解得：x＝，①正确；②连接BD、BE'，如图：∵∠A＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∵B′为AD中点，∴∠AB'B＝90°，∠ABB'＝30°∵BE＝B'E，∴∠BB'E＝∠ABB'＝30°，∴∠AB'E＝60°，∴△AB'E是等边三角形，∴AE＝B'E＝BE，∴点E是AB的中点，②正确；③设CF＝x，由折叠的性质得：C'F＝CF＝x，∠C'＝∠C＝∠A＝60°，∵C′F⊥CD，∴∠C'GF＝30°，∴C'G＝2C'F＝2x，GF＝C'F＝x，∴DG＝CD﹣GF﹣CF＝2﹣x﹣x，∵∠D＝180°﹣∠A＝120°，∠DGB'＝∠C'GF＝30°，∴∠DB'G＝30°，∴DB'＝DG，设BD交B'C'于H，则B'H＝GH＝B'G＝（2﹣2x）＝1﹣x，∴DG＝，∴＝2﹣x﹣x，解得：x＝4﹣2，∴CF＝4﹣2，FD＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2，∴＝，③正确；故选：D．【知识点】翻折变换（折叠问题）、菱形的性质二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，AB＝AD，添加一个条件：，可使它成为正方形．【答案】∠BAD=90°【分析】根据正方形的判定即可得结论．【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，所以▱ABCD是菱形，如果∠BAD＝90°，那么四边形ABCD是正方形．故答案为：∠BAD＝90°．【知识点】正方形的判定、平行四边形的性质12.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，点F是CB延长线上一点，且△ADE≌△ABF，四边形AECF的面积为8，DE＝1，则AE的长为．【答案】3【分析】由：△ADE≌△ABF，可得正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积，从而可得AD2＝8，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得答案．【解答】解：∵△ADE≌△ABF，∴正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积，∵四边形AECF的面积为8，∴正方形ABCD的面积为8．∴AD2＝8，在Rt△ADE中，AE＝＝＝3，故答案为：3．【知识点】全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理13.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．【答案】135【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2+∠BCP＝45°＝∠1+∠BCP，由三角形内角和定理可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠2+∠BCP＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BCP＝45°，∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，∴∠BPC＝135°，故答案为：135．【知识点】正方形的性质14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为．【分析】连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，由三角形中位线定理可求QH＝BC＝4，QH ∥BC，AQ＝BQ＝2，PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，由平行线分线段成比例可得MO＝OS＝SH＝NH，由勾股定理可求OH的长，即可求解．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，∵四边形ABCD是矩形，∴AH＝HC，又∵Q是AB中点，∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，∴PO∥AD∥BC∥EF∥∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，∵OT⊥QH，∴四边形POTQ是矩形，∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，∴TH＝2，∴OH＝＝＝2，∴MN＝2OH＝4，故答案为：4．【知识点】正方形的性质、矩形的性质15.如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连结BC、CD、AC．若∠MAN ＝60°，则∠ACB的大小为．【答案】30°【分析】由题意可得四边形ABCD是菱形，可得BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，即可求解．【解答】解：由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，∴∠ACB＝∠CAD＝30°，故答案为：30°．【知识点】菱形的判定与性质16.如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点P为AD上一点，将△ABP沿着BP翻折至△EBP，PE与CD交于点O，且OE＝OD，则DP的长度为cm．【分析】设CD与BE交于点G，AP＝x，证明△ODP≌△OEG（ASA），根据全等三角形的性质得到OP＝OG，PD ＝GE，根据翻折变换的性质用x表示出PD、OP，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设CD与BE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝3cm，CD＝AB＝4cm，由折叠的性质可知△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝4cm，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝3﹣x，DG＝x，∴CG＝4﹣x，BG＝4﹣（3﹣x）＝1+x，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即32+（4﹣x）2＝（x+1）2，解得：x＝，∴AP＝（cm），∴DP＝（cm）．故答案为：．【知识点】矩形的性质、翻折变换（折叠问题）17.如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为．【答案】40【分析】先判定△BAD≌△FAC，即可得出∠ACF＝∠ADB，进而得到CF⊥BD，再根据勾股定理即可得到BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2＝BF2+DC2，依据AB＝2，AC＝4，即可得到BC2+DF2的值．【解答】解：如图所示，连接BF，CD，∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠FAC，∴△BAD≌△FAC（SAS），∴∠ACF＝∠ADB，又∵∠AHC＝∠OHD，∴∠CAH＝∠DOH＝90°，∴CF⊥BD，∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，即BC2+DF2＝BF2+DC2，又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，∴BF2+DC2＝8+32＝40，∴BC2+DF2＝40，故答案为：40．【知识点】勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质18.如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为．【分析】如图，将线段ET绕点E顺时针旋转45°得到线段ED，连接DE交CG于J．首先证明∠ETG＝90°，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小．【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．【知识点】旋转的性质、矩形的性质三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置，若DE＝2，求FC的长．【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF＝DE＝2，可得FC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，∴∠ABF+∠ABC＝180°，∴C、B、F三点在一条直线上，∴CF＝BC+BF＝8+2＝10．【知识点】旋转的性质、正方形的性质20.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE；（2）由全等三角形的性质可求∠CEB＝70°，由三角形的外角的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质21.已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．【分析】（1）先证明四边形AECD为平行四边形，再由直角三角形的性质求得AE＝EC，进而由菱形的判定定理得结论；（2）连接DE，证明△ABE是等边三角形，进而求得AC，再证明四边形ABED是平行四边形，便可求得DE，最后根据菱形的面积公式得结果．【解答】解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AD＝EC，∵BC＝2AD，∴BC＝2EC．∴E为BC的中点∵∠BAC＝90°，∴BC＝2AE∴AE＝EC，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形；（2）解：连接DE，∵AB＝AE＝2，AE＝BE，∴AB＝AE＝BE＝2，∴△ABE是等边三角形．∴∠B＝60°．∵AD＝BE，AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形．∴DE＝AB＝2，∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，∴BC＝4．∴．∴S AECD＝＝2．【知识点】三角形的面积、菱形的判定与性质22.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）先证明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；（2）先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．【知识点】直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理、菱形的判定与性质23.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：△ADE≌△BAF；（2）求证：DE﹣BF＝EF；（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．【分析】（1）由“AAS”可证△DAE≌△ABF；（2）由全等三角形的判定和性质可得AE＝BF，DE＝AF，即可得结论；（3）由勾股定理可求AG的长，由面积法可求BF的长，由勾股定理可求AF的长，即可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEF＝90°，∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝∠DEA＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△DAE≌△ABF（AAS）；（2）∵△DAE≌△ABF，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF﹣AE＝EF，∴DE﹣BF＝EF；（3）∵∠ABC＝90°，∴AG2＝AB2+BG2＝12+22＝5，∴AG＝，∵S△ABG＝AG•BF，∴BF＝，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2＝22﹣＝，∴DE＝AF＝，∴EF＝DE﹣BF＝．【知识点】全等三角形的判定与性质、正方形的性质24.如图，正方形ABCD中，AB＝，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC＝DE，记∠CDE为α（0°＜α＜90°），连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠DEA的大小（用α的代数式表示）；（2）求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）当CF＝时，求点E到CD的距离．【分析】（1）根据正方形的性质易证，△DAE为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可求解；（2）通过证明△DCE为等腰三角形可求解∠AEF＝45°，通过证明△AGF≌△EGF可求解∠EAF＝45°，进而可证得结论；（3）过点E作EH⊥CD于点H，连接AC，根据勾股定理可求解CE＝，过点D作DM⊥CE于点M，可求解CM＝，再根据勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∵DC＝DE，∴AD＝DE，∴△DAE为等腰三角形，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠CDE＝α，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°+α，∴∠DEA＝；（2）∵DC＝DE，∠CDE＝α，∴∠DCE＝∠DEC＝，∴∠AEF＝∠DEC﹣∠DEA＝45°，∵DG⊥AE，AD＝DE，∴AG＝EG，∠AGF＝∠EGF＝90°，∵GF＝GF，∴△AGF≌△EGF，∴AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠EAF﹣∠AEF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形；（3）过点E作EH⊥CD于点H，连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝DC＝，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，，由（2）知，AF＝EF，∠AFE＝90°，在Rt△AFC中，，∴EF＝AF＝CF+CE＝+CE＝，∴CE＝，过点D作DM⊥CE于点M，∵DC＝DE，∴CM＝EM＝CE＝，在Rt△DCM中，，∵，∴，∴点E到CD的距离为．【知识点】等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形、正方形的性质、线段垂直平分线的性质25.如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线AC，分别作∠BAC、∠BCA、∠ACD、∠DAC的角平分线AE、CE、CF、AF．（1）当AB＝BC时，求证：四边形AECF是菱形；（2）设AB＝4，BC＝3，分别作EM⊥AC于点M，FN⊥AC于点N，求MN的长；（3）分别作EG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，当GC＝3，HC＝4时，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质证明四边形AECF的两组对边分别平行，再根据AB＝BC 证明AE＝CE，便可得结论；（2）过E作EH⊥BC于点H，EG⊥AB于点G，由角平分线的性质得EM＝EG＝EH，进而得四边形BHEG是正方形，得BG＝BH，再根据HL证明Rt△AEG≌Rt△AEM，Rt△CEH≌Rt△CEM，得AM＝AG，CM＝CH，设AM＝AG＝x，CM＝CH＝y，BH＝BG＝z，由三边长度列出x、y、z的三元一次方程组，便可求得AM与CM，进而证明△ANF≌△CME得AN＝CM，便可求得结果；（3）过E作EK⊥AB于点K，EL⊥AC于点L，证明△AEK≌△CHF得AK＝CH＝4，再证明Rt△AEK≌Rt△AEL，Rt△CEG≌Rt△CEL，得出AC的长度，不妨设BG＝BK＝x，在Rt△ABC中，由勾股定理得x的方程求得x，再根据矩形的面积公式求得结果．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，同理，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）过E作EH⊥BC于点H，EG⊥AB于点G，∵∠B＝90°，∴四边形BHEG为矩形，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴EM＝EG＝EH，∴四边形BHEG是正方形，∴BG＝BH，∵EM＝EG＝EH，AE＝AE，CE＝CE，∴Rt△AEG≌Rt△AEM（HL），Rt△CEH≌Rt△CEM（HL），∴AM＝AG，CM＝CH，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，设AM＝AG＝x，CM＝CH＝y，BH＝BG＝z，则，解得，，∴AM＝3，CM＝2，∵由（1）知四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，AF∥CE，∴∠FAN＝∠ECM，∵∠ANF＝∠CME＝90°，∴△ANF≌△CME（AAS），∴AN＝CM＝2，∴MN＝AM﹣AN＝3﹣2＝1；（3）过E作EK⊥AB于点K，EL⊥AC于点L，如图，∵矩形ABCD中AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AE、CF分别平分∠BAC和∠ACD，∴∠KAE＝∠HCF，∵四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，∵∠AKE＝∠CHF＝90°，∴△AEK≌△CHF（AAS），∴AK＝CH＝4，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴EK＝EL＝EG，∵AE＝AE，CE＝CE，∴Rt△AEK≌Rt△AEL（HL），Rt△CEG≌Rt△CEL（HL），∴AK＝AL＝4，CG＝CL＝3，∴AC＝AL+CL＝4+3＝7，∵EK＝EG，∠EKB＝∠B＝∠EGB＝90°，∴四边形BGEK为正方形，∴BG＝BK，不妨设BG＝BK＝x，则AB＝4+x，BC＝3+x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，（x+3）2+（x+4）2＝72，解得，x＝，或x＝（舍），∴AB＝4+x＝，BC＝3+x＝，∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝24．【知识点】矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质。

第5章特殊的平行四边形单元测试卷及参考答案(浙教版)

第五章特殊的平行四边形单元测试卷(时间：100分钟满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．下列命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．下列命题中，不正确的是( )A．一个四边形如果既是矩形又是菱形，那么它一定是正方形B．有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形4．若顺次连结四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是( )A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形5．在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连结AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连结EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断( )A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为( )A．4 B．4 6 C．47 D．287．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是( )A ．4 3B ．3 3C ．2 3 D.38．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是( )A ．AF ＝AEB ．△ABE ≌△AGFC ．EF ＝2 5D ．AF ＝EF9．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，则EF 的最小值为( )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．210．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE 平分∠ODC 交OC 于点E ，若AB ＝2，则线段OE 的长为( )A ．2－ 2 B.2－1 C.22 D.223, ,二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是__ __．(补充一个即可)12．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 的长分别是6和8，则菱形的周长是__ __，面积是__ __．13．如图，已知矩形ABCD 的对角线长为8 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于__ __cm.14．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为____．15．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝102，四边形BDEF是△ABC 的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)．则此正方形的面积是____．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BC上一动点，则PE＋PC的最小值是___．17．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC的垂直平分线EF交AD于点E，交BC于点F，则EF＝___．18．在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为____．三、耐心做一做(共66分)19．(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：20.(8分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点F是AD的中点，过点D作DE∥AC，交CF的延长线于点E，连结BE，AE.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AB＝AC，试判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．解：21．(8分)如图，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABC沿AD剪开，并分别以AB，AC为轴翻转，点E，F分别是点D的对应点，得到△ABE和△ACF(与△ABC 在同一平面内)．延长EB，FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形．解：22．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线．(1)求证：AC＝AD；(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．23．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．解：24.(10分)在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图①，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF.(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图③，请你求出CF的长．解：25．(12分)如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.(1)试说明CF＝CH；(2)如图②，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠1为多少度时，四边形ACDM是菱形，请说明理由：(3)当AC＝2时，在(2)的条件下，求四边形ACDM的面积．解：第五章特殊的平行四边形单元测试卷参考答案(时间：100分钟满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．下列命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中真命题的个数是( C )A．1 B．2 C．3 D．42．矩形具有而菱形不具有的性质是( B )A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．下列命题中，不正确的是( D )A．一个四边形如果既是矩形又是菱形，那么它一定是正方形B．有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形4．若顺次连结四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是( C ) A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形5．，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连结AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连结EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断( C )A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为( C )A．4 B．4 6 C．47 D．287．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是( B )A．4 3 B．3 3 C．2 3 D.38．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( D )A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF9．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，则EF 的最小值为( B )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．210．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE 平分∠ODC 交OC 于点E ，若AB ＝2，则线段OE 的长为( A )A ．2－ 2 B.2－1 C.22 D.223, ,二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是__∠ABC ＝90°或AC ＝BD __．(补充一个即可)12．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 的长分别是6和8，则菱形的周长是__20__，面积是__24__．13．如图，已知矩形ABCD 的对角线长为8 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于__16__cm.14．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为__14__．15．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝102，四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D ，E ，F 在三角形的边上)．则此正方形的面积是__25__．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BC上一动点，则PE＋PC的最小值是．17．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC的垂直平分线EF交AD于点E，交BC于点F，则EF＝．18．在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为__5.5或0.5__．三、耐心做一做(共66分)19．(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)略(2)AE＝2320.(8分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点F是AD的中点，过点D作DE∥AC，交CF的延长线于点E，连结BE，AE.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AB＝AC，试判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．解：(1)证△AFC≌△DFE得CF＝EF，又AF＝DF，∴四边形ACDE是平行四边形(2)四边形ADBE是矩形，由(1)知，四边形ACDE是平行四边形，∴AE∥BC，AE＝CD＝BD，∴四边形ADBE是平行四边形，又AB＝AC，CD＝BD，∴AD⊥BC，∴四边形ADBE是矩形21．(8分)如图，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABC沿AD剪开，并分别以AB，AC为轴翻转，点E，F分别是点D的对应点，得到△ABE和△ACF(与△ABC 在同一平面内)．延长EB，FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形．解：由题意得AE＝AF＝AD，∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∠BAE＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴∠EAF＝∠BAE＋∠BAD＋∠CAF＋∠CAD＝2∠BAC＝90°，∴四边形AEGF是矩形，又AE＝AF，∴四边形AEGF是正方形22．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线．(1)求证：AC＝AD；(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD，CD分别平分∠CAF和∠ACE，∴∠DAF ＝∠DAC，∠DCA＝∠DCE，∵∠CAF＝∠B＋∠ACB，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∴∠D＝∠DCE＝∠DCA，∴AC＝AD(2)∵∠B＝60°，∴∠ACB＝60°，由(1)知∠DAC ＝∠ACB＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形23．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．解：(1)∵OA ＝OB ，OE ＝OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，由等腰三角形三线合一，得AD ⊥BC ，∴四边形AEBD 是矩形 (2)当∠BAC ＝90°时，矩形AEBD 是正方形，理由：∵∠BAC ＝90°，AD 是△ABC 的中线(三线合一)，∴AD ＝BD ＝12BC ，∴矩形AEBD 是正方形24.(10分)在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图①，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF.(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图③，请你求出CF的长．解：(1)AD＝CF，证△AOD≌△COF(SAS)(2)连结DF交OE于M，DF＝OD2＋OF2＝2，∴DM＝OM＝1，∴AD＝12＋（1＋3）2＝17，由(1)得CF＝AD＝1725．(12分)如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.(1)试说明CF＝CH；(2)如图②，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠1为多少度时，四边形ACDM是菱形，请说明理由：(3)当AC＝2时，在(2)的条件下，求四边形ACDM的面积．解：(1)证△ACF≌△DCH(ASA)(2)当∠1＝45°时，四边形ACDM是菱形．理由∠1＝∠E＝45°，∴AC∥ED，∠2＝∠B＝45°，∴AB∥CD，∴四边形ACDM是平行四边形，又AC＝CD，∴四边形ACDM是菱形(3)∠1＝∠A＝45°，∴△ACF是等腰直角三＝AM·CF＝2角形，∴CF＝AF＝1，∴S四边形ACDM。

【单元测试】浙教版八年级下数学《第五章特殊平行四边形》单元检测卷含答案

【单元测试】浙教版⼋年级下数学《第五章特殊平⾏四边形》单元检测卷含答案第五章特殊平⾏四边形单元检测卷姓名：__________ 班级：__________⼀、选择题（共12题；共36分）1.⼀个正⽅形的边长为3，则它的对⾓线长为（）A. 3B. 3C.D. 22.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC与BD相交于O，E为DC的⼀点，过点O作OF⊥OE交BC于F．记d=，则关于d的正确的结论是（）A. d=5B. d＜5C. d≤5D. d≥53.如图，以正⽅形ABCD的对⾓线AC为⼀边作菱形AEFC，则∠FAB=（）A. 30°B. 45°C. 22.5°D. 135°4.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正⽅形ACEF的周长为（）A. 14B. 15C. 16D. 175.如图，正⽅形的边长为4cm，则图中阴影部分的⾯积为（）cm2．A. 8C. 4D. ⽆法确定6.已知：如图，菱形ABCD的两条对⾓线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是（）A. 20B. 16C. 12D. 107.矩形边长为10cm和15cm，其中⼀内⾓平分线把长边分为两部分，这两部分是（）A. 6cm和9cmB. 7cm和8 cmC. 5cm和10cmD. 4cm和11cm8.四边形ABCD的对⾓线AC，BD相交于点O，能判定它为正⽅形的是（）A. AO=CO，BO=DOB. AO=CO=BO=DOC. AO=CO，BO=DO，AC⊥BDD. AO=BO=CO=DO，AC⊥BD9.在菱形ABCD中，若AB=2，则菱形的周长为（）A. 4B. 6C. 8D. 1010.如图，正⽅形ABCD的边长为4，点E在对⾓线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂⾜为F，则EF的长为（）A. 4﹣2B. 3﹣4C. 1D.11.如图，正⽅形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（）A. 35°B. 45°C. 55°12.已知⼀个矩形的两条对⾓线夹⾓为60°，⼀条对⾓线长为10cm，则该矩形的周长为（）A. 10（1+ ）cmB. 20 cmC. 20（1+ ）cmD. 20cm⼆、填空题（共10题；共30分）13.如图，边长为8的正⽅形ABCD中，M是BC上的⼀点，连结AM，作AM的垂直平分线GH交AB于G，交CD于H，若CM=2，则GH=________ ．14.已知：在正⽅形ABCD中，对⾓线AC长为10，点A、C到直线l的距离均为3，则点B到直线l的距离为________．15.如图，在矩形ABCD中，对⾓线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的⼤⼩为________16.过Rt△ABC的斜边AB上⼀点D，作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则∠FDE=________．17.矩形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC+BD=16，则该矩形的⾯积为________18.________的矩形是正⽅形，________的菱形是正⽅形．19.在平⾯直⾓坐标系xOy中，记直线y=x+1为l．点A1是直线l与y轴的交点，以A1O为边作正⽅形A1OC1B1，使点C1落在在x 轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以A2C1为边作正⽅形A2C1C2B2，使点C2落在在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图所⽰的图形．则点B4的坐标是________ ，点B n的坐标是________ ．20.如图，在长⽅形ABCD中，AB：BC=3：5，以点B为圆⼼，BC的长为半径画弧，交边AD于点E．若AE?DE=16，则长⽅形ABCD的⾯积为________ ．21.已知矩形ABCD的两条对⾓线AC、BD交于点O，若AC+BD=8cm，∠AOD=120°．则AB的长为________cm．22. 如图，在菱形ABCD中，对⾓线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂⾜为点E，则OE= ________．三、解答题（共4题；共34分）。

(完整版)浙教版八年级下册数学第五章特殊平行四边形单元测试卷

第五章特殊的平行四边形姓名：---------- 成绩：------ --- 一．选择题 (每小题4分，共40分）1. 若菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC 于E,AE=1cm,则BC 的长是 A.1cm B.332cm C.3cm D.4cm 2. 如果a 表示一个菱形的对角线的平方和,b 表示这个菱形的一边的平方,那么 A.a =4b B.a =2b C .a =b D.b =4a3. .已知ABCD 是平行四边形,下列结论中,不一定正确的是Ａ.AB=CD Ｂ.AC=BD C.当AC ⊥BD 时,它是菱形Ｄ.当∠ABC=90º时,它是矩形4. 如图,矩形ABCD 的边长AB=6,BC=8,将矩形沿EF 折叠,使C 点与A 点重合,则折痕EF 的长是 A.7.5 B.6 C.10 D.55. 如图所示,过四边形ABCD 的各顶点,作对角线BD 、AC 的平行线,围城四边形EFGH,若四边形EFGH 是菱形,则原四边形一定是A.菱形B.平行四边形Ｃ.矩形Ｄ.对角线相等的四边形6. 在5×5方格纸中将图（1）中的图形N 平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移方法是. A.先向下移动1格，再向左移动1格B.先向下移动1格，再向左移动2格C.先向下移动2格，再向左移动1格D.先向下移动2格，再向左移动2格7. 图1中有8个完全相同的直角三角形，则图中矩形的个数是A. 5B. 6C. 7D. 8A E DB FC 图(2)图(1)MNN M 图1 图2A C8. 如图,正方形ABCD 中,∠︒=25DAF ,AF 交对角线BD 于点E ,那么∠BEC 等于A.︒45B.︒60C.︒70D.︒759. Rt △ABC 的两边长分别是3和4,若一个正方形的边长是△ABC 的第三边,则这个正方形的面积是 A.25 B.7C.12D.25或7 10. 下列图形中，不能．．经过折叠围成正方形的是A. B C. D.第Ⅱ卷（非选择题共8道填空题8道解答题）请将你认为正确的答案代号填在下表中1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二.简答题（每小题3分，共24分)11. 如图矩形,ABCD 中,AC 、BD 相交于O,AE 平分∠BAD 交BC 于E,若∠CAE=15º,则∠BOE=_________ 12. M 为矩形ABCD 中AD 的中点,P 为BC 上一点,PE ⊥MC,PF ⊥MB,当AB 、BC 满足_________时,四边形PEMF 为矩形 13. 给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________14. 如图,矩形ABCD 中,E 、F 分别为AD 、AB 上一点,且EF=EC,EF ⊥EC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD 的面积为_________15. 现有一张长52cm,宽28cm 的矩形纸片,要从中剪出长15cm 宽、12cm 的矩形小纸片（不能粘贴）,则最多能剪出__________张16. 已知矩形的周长是40cm,被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm,则较长的边长为________17. 已知菱形ABCD 的边长为６,∠Ａ＝60º,如果点Ｐ是菱形内一点,切PB=PD=32,那么AP 的长为____________18. 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,AB=4cm,∠AOB=60º,则这个矩形的对角线的长是_________cmA DERBC D B E C三.解答题（共56分)19. 如图，菱形AB CD中，点M、N分别在B C、CD上，且CM=CN，求证：(1)△AB M≌△A DN(2)∠A MN＝∠A NM20. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠BAD，请你再添一个什么条件? 就能推出四边形ABCD是菱形，并给出证明.21. 某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示。

浙教版八年级数学下册第五章特殊的平行四边形练习(含答案)

第五章特殊的平行四边形一、单选题1．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A ．AB=CD B ．AC=BDC ．AB=BCD ．AD=BC2．如图，在矩形 COED 中，点 D 的坐标是（2，3），则 CE 的长是（）A B ． C ．4 D 3．如图点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ，连接PB 、PD ，若1AE =，8PF =，则图中阴影部分的面积为（）A ．5B ．6C ．8D ．94．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，若AC ＝8，BD ＝6，则菱形的周长为（）A．40B．30C．28D．205．顺次连结一四边形各边的中点，若所得的四边形是一个菱形，则原四边形一定是（）．A．矩形B．对角线相互垂直的四边形C．平行四边形D．对角线相等的四边形6．下列命题正确的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．有一组对边平行的四边形是平行四边形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．有一组邻边相等的四边形是菱形7．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直⊥于点E，8．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE aBF=，则EF的长为（）⊥于点F，若4BF aDE=，3A．1B．5C．7D．129．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长GT=)交EG于点T，交FG于点P，则(A ．B ．C ．2D ．110．如图，在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，矩形内部有一动点P 满足13PAB ABCD S S =V 矩形，则点P 到A B 、两点的距离之和PA PB +的最小值为（）A ．4B ．C ．D ．2二、填空题 11．菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,E 为AD 的中点,若OE=3,则菱形ABCD 的周长为________.12．如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分ADC ∠交BC 于E ，15BDE ∠=︒，则COE ∠的度数为_______．13．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____时，平行四边形CDEB为菱形．<）的边长分别为a，b，B、C、G 14．如图，正方形ABCD与正方形ECGF（CE AB三点在同一条直线上，CE在边CD上，连接AF，M为AF的中点，连接DM、CM，ab=，则图中阴影部分的面积为___________（用含a的代数式表示）.若20三、解答题15．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上，折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时．（1）证明：EF＝EG；（2）求AF的长．16．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝4，求四边形BEFD的周长．17．过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若CE=4，求AC的长．18．四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交射线AB于点F，连结BE．（1）求证：∠AFD=∠EBC；（2）若∠DAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．答案1．B 2．A 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．B 11．24 12．75︒13．614．215 4a+15.证明：（1）∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF＝∠EGF，∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG；（2）∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，∴EF＝EG＝10，∴FH2HE6，∴AF＝FH＝6．16.（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝4，∴DF＝DB＝DA＝12AB＝2，∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形，∵DB＝2，∴四边形BEFD的周长为：2×4=8．17.解：（1）四边形ACED是平行四边形，理由是：在正方形ABCD中，AD//BC，即AD//CE．又∵DE//AC，∵四边形ACED是平行四边形．（2）∵四边形ACED是平行四边形，∵AD=CE=4．在正方形ABCD中，∵ABC=90°，AB=BC=AD=4．在Rt∵ABC中，AC=== 18.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，在△DCE和△BCE中{DC=CB∠DCE=∠BCEEC=EC，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE=∠CBE，∵CD∥AB，∴∠CDE=∠AFD，∴∠EBC=∠AFD.（2）分两种情况,①当F在AB延长线上时，∵∠EBF为钝角，∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x=180，解得：x=30，∴∠EFB=30°.②当F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°．综上：∠EFB=30°或120°。

2017-2018学年浙教版八年级数学下册《第5章特殊平行四边形》单元测试卷及答案

《第5章特殊平行四边形》一．选择题1．若菱形的两邻角之比为1：2，较短的对角线长为6cm，则较长的对角线长为（）A．cm B．cm C．6cm D．12cm2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）4．如图，在菱形ABCD中，AC=AB，则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．75°二．填空题5．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为．6．如图，菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC的长是．三．简答题7．如图，在菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG⊥AD于点G，交AF于点H．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求∠AHC的度数．8．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数．9．在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm，求菱形的面积和对角线BD 的长．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为8和6，将△BCD平移到△EBA，则四边形AECD的面积为（）A．36 B．48 C．72 D．9611．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E是AD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PA+PE的最小值为．12．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数．13．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB，BC的中点，EP⊥CD于点P．求∠FPC的度数．14．如图，在菱形ABCD中，∠A=72°，请用三种不同的方法将菱形ABCD分割成四个等腰三角形，标出必要的角度数．《第5章特殊平行四边形》参考答案与试题解析一．选择题1．若菱形的两邻角之比为1：2，较短的对角线长为6cm，则较长的对角线长为（）A．cm B．cm C．6cm D．12cm【考点】菱形的性质．【分析】作出图形，根据菱形的邻角互补求出较小的内角为60°，从而判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OB，然后根据菱形对角线互相平分可得BD=2OB．【解答】解：如图，∵菱形的两邻角之比为1：2，∴较小的内角∠ABC=180°×=60°，∴△ABC是等边三角形，∴OB=×6=3cm，∴较长的对角线BD=2OB=2×3=6cm．故选B．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC是等边三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a【考点】菱形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即AB=2OE，从而不难求得其周长．【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=2a，则菱形ABCD的周长为8a．故选C．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及中位线的性质的理解及运用．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．【分析】点A的横坐等于OC的长的一半，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数．【解答】解：∵点C的坐标为（4，0），∴OC=4，∴点B的纵坐标是﹣1，∴A（2，1）．故选D．【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强．4．如图，在菱形ABCD中，AC=AB，则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】菱形的性质．【专题】计算题；几何图形问题．【分析】根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=BC，∵AC=AB，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°．故选C．【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的四条边都相等的性质，熟记性质并判断出△ABC是等边三角形是解题的关键．二．填空题5．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为（2+，）．【考点】坐标与图形性质；菱形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据坐标意义，点D坐标与垂线段有关，过点D向X轴垂线段DE，则OE、DE长即为点D坐标．【解答】解：过点D作DE⊥x轴，垂足为E．在Rt△CDE中，CD=2∴CE=DE=∴OE=OC+CE=2+∴点D坐标为（2，）．故答案为：（2，）．【点评】此题主要考查坐标意义及坐标与垂线段关系，同时考查等腰直角三角形知识．6．如图，菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC的长是5．【考点】菱形的性质．【专题】数形结合．【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．【解答】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°，∴∠B=60°∴△ABC为等边三角形∴AC=AB=5故答案为：5．【点评】本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质，属于基础题．三．简答题7．如图，在菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG⊥AD于点G，交AF于点H．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求∠AHC的度数．【考点】菱形的性质．【分析】（1）连接AC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AB=AC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出AE，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据等边三角形的性质求出∠CAE，再求出∠CAF，从而得到∠EAF，然后求出AE ∥CG，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．【解答】解：（1）如图，连接AC，∵E为BC的中点，AE⊥BC，∴AB=AC，又∵菱形的边AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴AE=AB=×4=2，∴菱形ABCD的面积=BC•AE=4×2=8；（2）在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，∴∠CAE=∠BAC=×60°=30°，同理∠CAF=30°，∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°，∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC，∴AE∥CG，∴∠AHC=180°﹣∠EAF=180°﹣60°=120°．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟记各性质并准确识图，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键．8．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数．【考点】菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】连接AC，判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=AC，然后求出∠BAE=∠CAF，再利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而判断出△AEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AEF=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得∠CEF=∠BAE．【解答】解：如图，连接AC，在菱形ABCD中，AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，∠CAF+∠EAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∵∠B=∠ACF=60°，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，由三角形的外角性质，∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE，∴60°+∠CEF=60°+20°，解得∠CEF=20°．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．9．在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm，求菱形的面积和对角线BD 的长．【考点】菱形的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AB=AC，然后判断出△ABC 是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出AE，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式求解即可得到BD．【解答】解：∵AE垂直平分BC，∴AB=AC，又∵菱形ABCD的边AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴AE=AB=×4=2cm，∴菱形的面积=4×2=8cm2；又菱形的面积=AC•BD=×4•BD=2BD，∴2BD=8，解得BD=4cm．【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，判断出△ABC是等边三角形是解题的关键．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为8和6，将△BCD平移到△EBA，则四边形AECD的面积为（）A．36 B．48 C．72 D．96【考点】菱形的性质；平移的性质．=S△ABD=S菱形ABCD．故由【分析】根据平移的意义知四边形AEBD是平行四边形，S△ABE菱形对角线的长度求其面积即可解决问题．【解答】解：依题意，AE∥DB，AE=DB．∴四边形AEBD是平行四边形，=S△ABD．∴S△ABE∵在菱形ABCD中，S△ABD=S△BCD=S菱形ABCD=××6×8=12．∴四边形AECD的面积等于12×3=36．故选：A．【点评】此题考查了菱形的面积计算及平移的意义，难度中等．11．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E是AD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PA+PE的最小值为．【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【分析】由于A、C两点关于BD对称，P在BD上，则连接AC，EC，与BD的交点即为点P，此时PA+PE的值最小，再根据线段垂直平分线的性质，即可求解．【解答】解：如图，连接EC，与BD交于点P，连接AC，此时PA+PE=CP+EP=CE，值最小．∵∠ABC=60°，∴△ACD为等边三角形，∵E是AD中点，∴AE=1，CE⊥AD，∴CE=，∴AP+EP=CE=．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定，难度适中，确定点P的位置是解题的关键．12．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】根据菱形的性质可得AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，利用SAS判定△ABE≌△ADF；由△ABE≌△ADF可得∠BAE=∠DAF=25°，从而可推出∠EAF的度数，根据平行线的性质可得到∠AHC的度数．【解答】（1）证明：菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴BE=DF．在△ABE和△ADF中AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS）．（6分）（2）解：菱形ABCD中∠BAD=∠BCD=130°，由（1）得△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF=25°．∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF=130°﹣25°﹣25°=80°．（9分）又∵AE∥CG，∴∠EAH+∠AHC=180°．∴∠AHC=180°﹣∠EAH=180°﹣80°=100°．∴∠AHC=100°．（12分）【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．13．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB，BC的中点，EP⊥CD于点P．求∠FPC的度数．【考点】菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据菱形的邻角互补求出∠B，再求出BE=BF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BEF，再求出∠FEP，取AD的中点G，连接FG交EP于O，然后判断出FG垂直平分EP，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EF=FP，利用等边对等角求出∠FPE，再根据∠FPC=90°﹣∠FPE代入数据计算即可得解．【解答】解：在菱形ABCD中，∵∠A=110°，∴∠B=180°﹣110°=70°，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE=BF，∴∠BEF=（180°﹣∠B）=（180°﹣70°）=55°，∵EP⊥CD，AB∥CD，∴∠BEP=∠CPE=90°，∴∠FEP=90°﹣55°=35°，取AD的中点G，连接FG交EP于O，∵点F是BC的中点，∴FG∥CD，∵EP⊥CD，∴EP⊥FG，即FG垂直平分EP，∴EF=PF，∴∠FPE=∠FEP=35°，∴∠FPC=90°﹣∠FPE=90°﹣35°=55°．【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质并作出辅助线求出EF=PF是解题的关键，也是本题的难点．14．如图，在菱形ABCD中，∠A=72°，请用三种不同的方法将菱形ABCD分割成四个等腰三角形，标出必要的角度数．【考点】作图—应用与设计作图；菱形的性质．【分析】设计图案主要根据∠D=108°，由此得到∠A=72°，而108=3×36，72=2×36然后利用菱形的性质即可设计图案．【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质，充分利用∠A=108°是36°的倍数解决问题．。

浙教版数学八年级下第五章特殊的平行四边形单元检测试卷及答案

浙教版数学八年级下册第五章特殊的平行四边形检测试卷班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________一、选择题（10小题，每题3分，共30分)1．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是8，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小房子”，则图中阴影部分的面积是（）A．4 B．8 C．16 D．322．矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的F点．则AE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．63．矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1，4)、B(1，1)、C(5，1)，则点D的坐标为( )A．(5，5) B．(5，4) C．(6，4) D．(6，5)4．已知矩形ABCD，AB＝2BC，在CD上取点E，使AE＝EB，那么∠EBC等于( )A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8， E是CD的中点，则OE的长等于（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为( )A．2 B．3 C．4 D．57．如图，四边形内有一点，，，若，则的大小是（）A． B． C． D．8．如图，从下列四个条件①AB＝BC，②AC⊥BD，③∠ABC＝90°，④AC＝BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形，下列四种选法错误的是（）A．①②B．①③C．②③D．①④9．如图，在梯形ABCD中，，，，，，则CD的长为A．B．3 C．D．10．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF 中点，则AM的最小值为( )A．B．C．D．二、填空题（8小题，每题3分，共24分)11．如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，∠BOC＝120°，AB＝3，则BD的长是_____12．如图，E是正方形ABCD的边AB延长线上一点，且BE＝AC，则∠BED＝_____．13．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，则菱形ABCD的面积是_____．14．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH 的长等于_____．15．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是的中点。

浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》单元测试卷(含答案解析)

浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》测试卷考试时间：100分钟满分：120分班级：___________姓名：___________学号：___________成绩：___________一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的矩形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形2．（3分）下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形3．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD4．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A．B．8C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．156．（3分）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°8．（3分）如图，直线m∥n，直线l与m、n分别相交于点A和点C，AC为对角线作四边形ABCD，使点B和点D分别在直线m和n上，则不能作出的图形是（）A．平行四边形ABCD B．矩形ABCDC．菱形ABCD D．正方形ABCD9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣2，3）C．（﹣5，4）D．（5，4）11．（3分）下列可以判断是菱形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形12．（3分）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）已知矩形的两邻边的长分别为3cm和6cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积为cm2．14．（3分）在矩形ABCD中，AE＝CF＝AD＝1，BE的垂直平分线过点F，交BE于点H，交AB于点G，则AB的长度为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为．17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为．18．（3分）如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积．20．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．①求证：四边形DEBF是平行四边形；②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接OE，CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．23．（10分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．24．（10分）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3，求证：（1）EF+EG＝AE；（2）CE+CG＝AF．25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC 上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当EG＝EH时，连接AF①求证：AF＝FC；②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的矩形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B、D进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、对角线垂直的矩形是正方形，所以C选项错误；D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项正确．故选：D．2．（3分）下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形【分析】依据正方形的判定方法、菱形的判定方法，即可得出结论．【解答】解：A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形，本选项正确；B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形，本选项正确；C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形不一定是菱形，本选项错误；D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形，本选项正确；故选：C．3．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、由∠BAC＝∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．故选：C．4．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A．B．8C．D．【分析】过点A作AM⊥BC于点M，由直角的性质可求AM的长，即可求菱形ABCD的面积．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC＝3，∵∠ABC＝60°，AM⊥BC∴BM＝，AM＝BM＝∴菱形ABCD的面积＝BC×AM＝故选：A．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．15【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO＝3，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．6．（3分）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 【分析】证出四边形ABCD是菱形，由菱形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；故选：A．7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°【分析】由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO，可得DO＝2OE，可求∠EDO＝30°，可得∠EOD＝60°，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝DO，∵AE＝CE，∴AC＝4AE，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2AE，∴EA＝EO∴DO＝2AE＝2EO∴∠EDO＝30°，∴∠EOD＝60°∵OD＝OC∴∠OCD＝∠BDC＝30°故选：C．8．（3分）如图，直线m∥n，直线l与m、n分别相交于点A和点C，AC为对角线作四边形ABCD，使点B和点D分别在直线m和n上，则不能作出的图形是（）A．平行四边形ABCD B．矩形ABCDC．菱形ABCD D．正方形ABCD【分析】依据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可．【解答】解：取AC的中O，过点O任意作直线交直线m、n于B、D，则四边形ABCD 为平行四边形，故A不符合题意；过点C作m的垂线，垂足为B，过点A作n的垂线，垂足为D，则ABCD为矩形，故B 不符合题意；取AC的中点O，过点O作AC的垂线交直线m、n于点B，D，则ABCD为菱形，故C 不符合题意．AC为对角线作四边形ABCD，ABCD不一定为正方形，故D错误，符合题意．故选：D．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2D．【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC ＝OD，设DE＝x，OE＝2x，得到OD＝OC＝3x，根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得：x＝∴DE＝；故选：A．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣2，3）C．（﹣5，4）D．（5，4）【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故选：C．11．（3分）下列可以判断是菱形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．12．（3分）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是▱ABCD 面积的，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝∠BCD＝30°，∴A'D＝1，A'C＝DA'＝，∴菱形ABCD的面积＝4××A'D×A'C＝2，如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'C＝AC，∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的，∴阴影部分的面积＝＝，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）已知矩形的两邻边的长分别为3cm和6cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积为9cm2．【分析】根据菱形的判定定理，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，又菱形的面积为两条对角线乘积的一半，由此即可解得答案．【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG ＝DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，∴△AEH≌△DGH，∴EH＝HG，同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH∴EH＝HG＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，∴四边形EFGH为菱形．∴四边形的面积＝×3×6＝9．故答案为9．14．（3分）在矩形ABCD中，AE＝CF＝AD＝1，BE的垂直平分线过点F，交BE于点H，交AB于点G，则AB的长度为．【分析】如图作EM⊥BC于M，连接EF．首先证明四边形ABME是矩形，在Rt△EFM 中，利用勾股定理求出EM即可解决问题；【解答】解：如图作EM⊥BC于M，连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABM＝∠EMB＝90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE＝BM＝1，AD＝BC＝3，∵GF垂直平分BE，∴BF＝EF＝2，MF＝BF﹣BM＝1，在Rt△EFM中，EM＝＝＝，∴AB＝EM＝，故答案为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×12×5＝×13•CD，解得：CD＝，∴EF＝．故答案为：．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为．【分析】连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE＝BE＝4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得x，即可求出BE的长．【解答】解：连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．∴DE＝AD＝AE＝，故答案为：．17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为2．【分析】先根据菱形的性质得出∠ABO＝∠ABC＝30°，由30°的直角三角形的性质得出OA＝AB＝4，再根据勾股定理求出OB，然后证明EF为△AOB的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∴OA＝AB＝4，∴OB＝＝4，∵点E、F分别为AO、AB的中点，∴EF为△AOB的中位线，∴EF＝OB＝2．故答案为2．18．（3分）如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．【分析】连接PM、PN，△MPN是直角三角形，由勾股定理可得MN2＝PM2+PN2，在在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN，代入已知的AP2+3PB2＝2，即可．【解答】解：连接PM、PN．∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴PM⊥AC，PN⊥BE，∠CAB＝∠NPB＝30°．∴∠MPC+∠NPC＝90°，即△MPN是直角三角形．在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN．∵AP2+3PB2＝1，∴（2PM）2+3（PN）2＝2，整理得PM2+PN2＝在Rt△MPN中，MN2＝PM2+PN2，所以MN＝．故答案为：．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）由平行线和角平分线定义得出∠DF A＝∠DAF，证出AD＝DF＝5，由勾股定理求出DE＝＝4，即可得出矩形BFDE的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠DF A，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DF A＝∠DAF，∴AD＝DF＝5，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，由勾股定理得：DE＝＝4，∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝5×4＝20．20．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．①求证：四边形DEBF是平行四边形；②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？【分析】①根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB＝CD，再求出BE＝DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；②过D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE＝AD，解直角三角形即可得到结论．【解答】①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD∵AE＝CF，∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形DEBF为平行四边形；②解：当BE＝9时，∴四边形DEBF为矩形．理由是：过点D作DE⊥AB于点E，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°在Rt△ADB中，∠A＝60°，∠ABD＝30°，AB＝2AD＝12，∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，∴当BE＝9时，∠DEB＝∠DEA＝90°，即平行四边形DEBF是矩形．21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接OE，CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可证四边形ABCD是菱形；（2）由勾股定理可求DC＝BC＝5，由勾股定理可求BD的长，由直角三角形的性质可求OE的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB∴AB＝AD，且AB＝BC，∴AD＝BC，且AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，（2）∵DE⊥BC，CE＝3，DE＝4，∴CD＝5，∵四边形ABCD是菱形∴BC＝CD＝5，BO＝DO∴BE＝BC+CE＝8，∴BD＝＝＝4，∵BO＝DO，DE⊥BC∴OE＝BD＝223．（10分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】（1）证明：∵AE垂直平分BF，∴AB＝AF，∴∠BAE＝∠F AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠F AE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE．∵AF∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，∴AP＝AB＝2，∴PH＝，DH＝5，∴tan∠ADP＝＝．24．（10分）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3，求证：（1）EF+EG＝AE；（2）CE+CG＝AF．【分析】（1）延长AB、GE交于点M，作MN⊥DC于N，则MN∥BC，MN＝BC，BM ＝CN，∠N＝90°，证明△BEF≌△BEM（ASA），得出EF＝EM，BF＝BM，证明△MNG ≌△ABE（ASA），得出MG＝AE，即可得出结论；（2）由（1）得出BM＝CN＝BF，△MNG≌△ABE，得出BE＝GN＝CG+CN＝CG+BM，由线段的和差即可得出结论．【解答】证明：（1）延长AB、GE交于点M，作MN⊥DC于N，如图所示：则MN∥BC，MN＝BC，BM＝CN，∠N＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠EBF＝90°，AB＝BC＝MN，∴∠EBM＝90°，∵∠2＝∠3，∠3＝∠BEM，∴∠2＝∠BEM，在△BEF和△BEM中，，∴△BEF≌△BEM（ASA），∴EF＝EM，BF＝BM，∵MN∥BC，∴∠NMG＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠NMG＝∠1，在△MNG和△ABE中，，∴△MNG≌△ABE（ASA），∴MG＝AE，∵MG＝EM+EG＝EF+EG，∴EF+EG＝AE；（2）由（1）得：BM＝CN＝BF，△MNG≌△ABE，∴BE＝GN＝CG+CN＝CG+BM，∴CE+CG＝BC﹣BE+GN﹣CN＝AB﹣BE+BE﹣BF＝AB﹣BF＝AF．25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC 上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当EG＝EH时，连接AF①求证：AF＝FC；②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．【分析】（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE＝FH，∠CHF ＝∠AGE，由∠FHG＝∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；（2）①由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF＝CF；②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠FCH＝∠EAG，又∵CD＝AB，BE＝DF，∴CF＝AE，又∵CH＝AG，∠FCH＝∠EAG∴△AEG≌△CFH（SAS），∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，∴∠FHG＝∠EGH，∴FH∥GE，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）①如图，连接AF，∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形，∴四边形GFHE为菱形，∴EF垂直平分GH，又∵AG＝CH，∴EF垂直平分AC，∴AF＝CF；②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5．。

浙教版八年级数学下册第五章特殊平行四边形章节检测卷+课堂同步练习题合集(含答案解析)

第5章特殊平行四边形5.1 矩形（第1课时）课堂笔记有一个角是的叫做矩形；矩形的个角都是直角；矩形的对角线；矩形既是对称图形，又是对称图形，它至少有条对称轴. 分层训练A 组基础训练1. 已知一矩形的周长是24cm ，相邻两边之比是1∶2，那么这个矩形的面积是（）A. 24cm2B. 32cm 2C. 48cm 2D. 128cm 22. 矩形具有而一般的平行四边形不具有的特征是（） A. 对角线相等 B. 对边相等C. 对角相等D. 对角线互相平分3. 如图，在矩形ABCD 中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD 折叠，顶点C 落在点E 处，则∠ABE 的度数是（）A. 29°B. 32°C. 22°D. 61°4. 如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（）A.51 B. 41 C. 31 D. 103 5. （兰州中考）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB=30°，AB=4，则OC =（）A. 5B. 4C. 3.5D. 36．（泰安中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，AC 于点E ，O ，连结CE ，则CE 的长为（）A ． 3B ． 3.5C ． 2.5D ． 2.87. 如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为度时，两条对角线长度相等.8. 如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2= .9. 如图，矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点．若EF=EC，EF⊥EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长为．10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连结EF，则EF的最小值为 .11. 如图，矩形ABCD，P是矩形外一点，且PA=PD，求证：PB=PC.12. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC，交BC于点E，∠BDE 的度数为15°. 请求出∠COD的度数.13. 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.B组自主提高14. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，AD的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A.512 B. 524 C. 548 D. 不能确定15. 如图所示，将矩形ABCD 沿BD 对折，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点E ，AD ＝8，AB ＝4.（1）求证：BE ＝ED ；（2）求△BED 的面积.参考答案5.1 矩形（第1课时）【课堂笔记】直角平行四边形四相等中心轴两【分层训练】1—5. BABBB 6. C 7. 90 8. 60° 9. 3 10. 2.411. ∵PA=PD ，∴∠PAD=∠PDA. ∵矩形ABCD ，∴AB=CD ，∠BAD=∠CDA=90°，∴∠PAB=∠PDC ，∴△PAB ≌△PDC （SAS ），∴PB=PC. 12. ∠COD=60°13. （1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，AB ∥CD. ∵BE ∥AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形. ∴AC=BE ，∴BD=BE ；（2）∵在矩形ABCD 中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8. ∵∠DBC=30°，∴CD=21BD=21×8=4，∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8. 在Rt △BC D 中，BC=22CD BD -=2248-=43，∴S 四边形ABED=21（AB+DE ）·BC=21（4+8）×43=243. 14. B15. （1）根据折叠得：∠EBD ＝∠DBC ，又矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED.（2）设BE ＝DE ＝x ，在△ABE 中，（8－x ）2+42=x 2，解得：x=5，∴S △BED ＝21×5×4＝10. 第5章特殊平行四边形5.1 矩形（第2课时）课堂笔记有个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的是矩形. 分层训练A 组基础训练1. 下列命题中假命题是（）A. 有三个角都是直角的四边形是矩形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形D. 对角线相等的四边形是矩形2. 四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD，则正确的选法是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. 以上都可以3. 矩形的三个顶点坐标分别是（-2，-3），（1，-3），（-2，-4），那么第四个顶点坐标是（）A. （1，-4）B. （-8，-4）C. （1，-3）D. （3，-4）4. 平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）A．一般平行四边形 B．一般四边形C．对角线垂直的四边形 D．矩形5．如图，已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD 各边中点. 若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A．48 B．24 C．12 D．无法计算6. 在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形. 你添加的条件是（写出一种即可）.7. 定理“矩形的对角线相等”的逆命题是，这个命题是（填“真”或“假”）命题．8. 的对角线AC，BD相交于点O，△AOD是正三角形，AD=4的面积为 .9. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连结AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n= 时，四边形ABEC是矩形.10. 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB=CD，EF=GH；（2）摆放成如图2的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：；（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：.11．如图，AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，且EF截AB、CD所得的两对同旁内角的平分线分别相交于G，H. 求证：四边形EGFH是矩形.12．中，E为BC的中点，连结AE并延长交DC的延长线于点F.（1）求证：AB＝CF；（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由.B组自主提高13．（桂林中考）如图，矩形A1B1C1D1的面积为4，顺次连结各边中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连结四边形A2B2C2D2四边中点得到四边形A3B3C3D3……依此类推，求得四边形A n B n C n D n 的面积是 .14. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE 的延长线于点F，且AF=DC，连结CF.（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论.参考答案5.1 矩形（第2课时）【课堂笔记】三平行四边形【分层训练】 1—5. DBADC6. 答案不唯一. 如：∠A=90°，AC=BD 等7. 对角线相等的四边形是矩形假8. 1639. 210. （2）平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）矩有一个角是90°的平行四边形是矩形11. ∵AB ∥CD ，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵FG ，EG 分别平分∠CFE 和∠AEF ，∴∠GEF=21∠AEF ，∠GFE=21∠CFE ，∴∠GEF+∠GFE=90°，∴∠G=90°，同理可得∠H=90°，∵FH 平分∠EFD ，∴∠EFH=21∠EFD ，∴∠GFE+∠EFH=21∠CFE+21∠EFD=90°，∴四边形EGFH是矩形.12. （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∵点F 为DC 的延长线上的一点，∴AB ∥DF ，∴∠BAE=∠CFE ，∠ECF=∠EBA ，∵E 为BC 中点，∴BE=CE ，则在△BAE 和△CFE 中，∠BAE=∠CFE ，∠EBA=∠ECF ，BE=CE ，∴△BAE ≌△CFE ，∴AB=CF. （2）满足BC ＝AF 时，四边形ABFC 是矩形. 理由：由（1）得AB=CF ，又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形，又∵BC=AF 是矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）.13.321 n14. （1）∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE. ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE. 又∵∠AEF=∠DEB ，∴△AEF ≌△DEB ，∴AF=DB. ∵AF=DC ，∴DB=DC ，即D 是BC 的中点. （2）四边形ADCF 是矩形.证明：∵AF ∥DC ，AF=DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形. ∵AB=A C ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC. ∴四边形ADCF 是矩形.【点拨】（1）利用平行得角相等，从而证明△AEF ≌△DEB ，由此可得BD=DC ；（2）只要利用等腰三角形“三线合一”的性质说明AD ⊥BC 即可.5.2 菱形（第1课时）课堂笔记一组相等的平行四边形叫菱形. 菱形的四条边；菱形的对角线，并且每条对角线平分；菱形既是对称图形，又是对称图形，它至少有条对称轴.分层训练A组基础训练1. 下列特征中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A. 对边平行且相等B. 对角线互相平分C. 内角和等于外角和D. 每一条对角线所在直线都是它的对称轴2. 如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）A. DA=DEB. BD=CEC. ∠EAC=90°D. ∠ABC=2∠E3. （长沙中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A. 5cmB. 10cmC. 14cmD. 20cm4. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A. 3.5B. 4C. 7D. 145. 已知菱形的边长与一条对角线的长相等，则菱形的最大的内角是（）A． 90° B． 120° C． 135° D． 150°6. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连结DF，则∠CDF等于（）A. 80°B. 70°C. 65°D. 60°7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则∠AOD= 度，若AC=AB=6，则BD= .8. 菱形的一个内角是150°，一边长为10cm，则它的面积是 .9. 如图，是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架，已知每个菱形的边长为20cm，∠1=60°，则在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A，B间的距离是 cm.10. （孝感中考）如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，DH⊥AB于点H，则线段BH 的长为．11. （岳阳中考）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．中，对角线AC，BD交于点O，．求证：．12. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.13. （沈阳中考）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连结EF.求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠BEF=∠BFE.B组自主提高14. （黄冈中考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH，求证：∠DHO=∠DCO.15. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合）. 以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连结CF.（1）如图1，当点D在边BC上时：①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？若不成立，请写出∠AFC，∠ACB，∠DAC之间存在的等量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上，且点A，F分别在直线BC的异侧时，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC，∠ACB，∠DAC之间存在的等量关系.参考答案5.2 菱形（第1课时）【课堂笔记】邻边都相等互相垂直一组对角中心轴两【分层训练】1—5. DBDAB 6. D7. 90 638. 50cm29. 2035010.1311. AC⊥BD 四边形ABCD是菱形证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO=DO，∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴四边形ABCD为菱形．12. （1）略（2）9313. （1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠A=∠C. ∵DE⊥AB，DF⊥CB，∴∠AED=∠CFD=90°，∴△ADE≌△CDF.（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB. ∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE.14. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°. 又∵DH⊥AB，∴OH=OB，∴∠OHB=∠OBH. ∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，∴∠OHB=∠ODC. 在Rt△COD中，∠ODC+∠OCD=90°，又DH⊥AB，∴∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO.15. （1）①提示：证△ABD≌△ACF（SAS），得∠ADB=∠AFC；②结论成立.（2）不成立，关系为∠AFC=∠ACB-∠DAC，证△ABD≌△ACF，得∠ADC=∠AFC. ∵∠ACB=∠ADC+∠DAC. ∴∠AFC=∠ACB-∠DAC.（3）补全图形略，等量关系是：∠AFC=2∠ACB-∠DAC或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°，这两个等式的变式都行.5.2 菱形（第2课时）课堂笔记四条边相等的四边形是；对角线的平行四边形是菱形.分层训练A组基础训练1. 下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形2. 用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形3. 如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG、FH交于点O，则图中的菱形共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个4. 将一张矩形纸对折再对折，如图，然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A. 矩形B. 三角形C. 梯形D. 菱形5. 折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN=AM；③MN=AN；④四边形ADNM是菱形，其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D 4个6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm 的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（）A. 2B. 2C. 22D. 37. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（只需填一个）.8. 一组邻边相等且对角线的四边形是菱形．9. 如图，P是菱形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，且PE=3，则点P到AD的距离为 .10. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA. 下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF 是菱形. 其中正确的有（只填写序号）.11．如图，将宽度为2cm的两张纸条交叉重叠在一起，得到的重叠部分为四边形ABCD. （1）四边形ABCD是菱形吗？请说明理由.（2）若∠ABC＝45°，求四边形ABCD的面积.12. （张家界中考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB 的延长线于点F，连结AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．B组自主提高13. 如图，在平面直角坐标系中，A点与B点关于x轴对称并且点A的坐标为（3，1），平面内是否存在点N，使以O，A，B，N为顶点的四边形是菱形，请写出所有满足条件的N 点的坐标为 .14. 中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若四边形EHFG应满足什么条件？（不需要证明）；（3）若四边形EHFG应满足什么条件？（不需要证明）.参考答案5.2 菱形（第2课时）【课堂笔记】菱形互相垂直【分层训练】1—5. CBBDC 6. B7. 答案不唯一. 如：AB=BC等 8. 互相平分 9. 3 10. ①②③④11. （1）四边形ABCD是菱形，用面积法说明邻边相等；（2）四边形ABCD的面积＝42cm2.12. （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠EAG=∠FBG，∵EF是AB的垂直平分线，∴AG=BG，在△AGE和△BGF中，∵∠EAG=∠FBG，AG=BG，∠AGE=∠BGF，∴△AGE≌△BGF（ASA）. （2）四边形AFB E是菱形．理由：由（1）得：△AGE≌△BGF，∴AE=BF，又AE∥BF，∴四边形AFBE是平行四边形，∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴平行四边形AFBE是菱形．13. （0，2）、（0，-2）、（23，0）14. （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，AB=CD，∵E是AB的中点，F是CD的中点，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．同理可得DE∥BF，∴四边形FGEH 是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD满足AB=2AD时，平行四边形EHFG是矩形；（3）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形.5.3 正方形（第1课时）课堂笔记有一组相等，并且有一个角是的平行四边形叫做正方形；有一组邻边相等的是正方形. 有一个角是直角的是正方形.分层训练A组基础训练1. 下列命题错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D．有一个角是直角的菱形是正方形2. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．∠D=90° B．AB=CD C．AD=BC D．BC=CD3. （威海中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A. BC=ACB. CF⊥BFC. BD=DFD. AC=BF4. 顺次连结四边形ABCD各边中点所组成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线（）A．互相垂直但不相等 B．相等且互相垂直C．相等但不互相垂直 D．互相平分5. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A．22.5°角 B．30°角 C．45°角 D．60°角6. 如图是甲，乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以7．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是 .8. 如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 .9. 矩形各内角的平分线所构成的四边形是形．10. （兰州中考）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件. 下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB ⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD，其中正确的序号是 .11. 如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形.12. （内江中考）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED. 点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F. 求证：四边形ABCD是正方形.B组自主提高13. 如图，将正方形纸片ABCD按下图方式折叠两次，再沿MN剪开，则可得（）A. 四个相同的正方形B. 两个相同的正方形C. 四个等腰直角三角形D. 两个等腰直角三角形和两个正方形14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一动点，过点D 作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连结CD、BE.（1）求证：CE＝AD；（2）当D运动到AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D运动到AB中点，则∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.参考答案5.3 正方形（第1课时）【课堂笔记】邻边直角矩形菱形【分层训练】1—5. ADDBC 6. A7. 正方形 8. 有一组邻边相等的矩形是正方形 9. 正方 10. ①③④11. ∵∠FEC=∠ECD=∠CDF=90°，∴四边形ECDF是矩形. ∵CF平分∠ACB，FD⊥AC，FE⊥BC，∴EF=DF，∴四边形ECDF是正方形.12. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠BCD=90°. ∵∠BAE=∠BCE，∴∠BAD-∠BAE=∠BCD-∠BCE，即∠EAD=∠ECD. ∵∠AED=∠CED，ED=ED，∴△AED≌△CED. ∴AD=CD. ∴矩形ABCD 是正方形.13. A14. （1）∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.5.3 正方形（第2课时）课堂笔记正方形的个角都是直角，四条边；正方形的对角线，并且，每条对角线平分一组；正方形既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴.分层训练A 组基础训练1．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，A B=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（）A ． 14B ． 15C ． 16D ． 172．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直3．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC 和CD 边上的中点，则△AEF 的面积为（）A ． 2.5B ． 1.5C ． 2D ． 5354. 如图，正方形ABCD 中，∠DAF=25°，AF 交对角线BD 于点E ，那么∠BEC 等于（）A ． 45°B ． 60°C ． 70°D ． 75°5. 如图，正方形A BCD 的边长为8，点M 在DC 上且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为（）A. 8B. 82C. 217D. 106. 边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图中阴影部分），则这个风筝的面积是（）A. 2-33B. 332C. 2-43 D. 27. （黄冈中考）已知：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED= ．8．（绍兴中考）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD 上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A →D→E→F. 若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m.9. 如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为 .10．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有 . （填序号）11. （广安中考）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．12．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠AD E＝∠CDF.（1）求证：AE＝CF；（2）连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG，GF，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由.B组自主提高13. 如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个14．如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连结DF.（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系（直接写出结论）.参考答案5.3 正方形（第2课时）【课堂笔记】四相等相等互相垂直平分对角中心轴 4【分层训练】1—5. CBBCD 6. A7. 45°8. 46009. 1310. ①②④11. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，∵BF⊥CE，∴∠BCE+∠CBG=90°，∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BCE=∠ABF，在△BCE和△ABF中，∠BCE=∠ABF，BC=AB，∠CBE=∠A，∴△BCE≌△ABF（ASA），∴BE=AF．12. （1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠A=∠C=90°，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF；（2）四边形DEGF是菱形.理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，∵AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴BD垂直平分EF，又∵OG=OD，∴四边形DEGF是菱形.13. C14. （1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF.（2）AE⊥DF. 设AE与DF相交于点H.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=A B，∠DAF=∠BAF.又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF. ∴∠1=∠2. 又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，∴△ADE≌△BCE. ∴∠3=∠4. ∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°. ∴AE⊥DF.（3）∵∠ADE=90°，AE ⊥DF. ∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°. ∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5. ∵DC=BC ，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM ≌△BCE. ∴CE=CM ，又∵E 为CD 中点，且CD=CB ，∴CE=21CD=21BC ，∴CM=21CB ，即M 为BC 中点，∴BM=MC. 第5章特殊平行四边形检测卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．正三角形B ．平行四边形C ．矩形D ．直角三角形2. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC=4，则四边形CODE 的周长为（）A. 4B. 6C. 8D. 103. （广安中考）下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连结矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有个. （）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 14. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（）A ． 80°B ． 60°C ． 45°D ． 40°5. 小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（）A ．矩形B ．菱形C．正方形 D．有一内角为60°的平行四边形6．如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE，则∠EBC的度数是（）A． 45度 B． 30度 C． 22.5度 D． 20度7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连结EF，若EF=3，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A． 4 B． 46 C． 47 D． 288. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3－1 B． 3－5 C．5＋1 D．5－19.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连结AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连结EF，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断（）A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误10．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A． 23 B． 26 C． 3 D．6二、填空题（每小题3分，共30分）11．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CB的中点，则OE的长等于．12．如图，正方形ABCD的边长为8，E为AD上一点．若BE=10，则CE= ．13. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是．14．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3= 度.15．如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为2∶1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连结BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为 .16. 如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB= .17．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=22，则点B的坐标为．18．（张家界中考）如图，在正方形ABCD中，AD=23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连结AP并延长交CD于点 E，连结PC，则三角形PCE的面积为 .19. 将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的周长为 .20. 如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为．三、解答题（共40分）21．（6分）如图，把一个正方形剪成四个完全一样的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的一个图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法的草图画出来．（1）不是矩形和菱形的平行四边形；（2）不是正方形的菱形；（3）不是正方形的矩形.22．（6分）（邵阳中考）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．23．（8分）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．24．（10分）如图，矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将它折叠，使点A与点C重合，折痕EF交AD于点E，交BC于点F，交AC于点O，连结AF，CE.（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE＝8，△ABF的面积为9，求AB＋BF的值.25. （10分）如图1，四边形A BCD是正方形，G是CD边上的一个动点（与C，D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE.（1）猜想图1中线段BG，DE的数量关系及所在直线的位置关系（不必证明）；（2）将图1中的正方形CEFG绕点C按顺时针（或逆时针）方向任意旋转角度α，得到图2，图3. 请你通过观察、测量等方法判断（1）中所得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断.参考答案第5章特殊平行四边形检测卷一、选择题1—5. CCCAB 6—10. CCDCA二、填空题11. 4 12. 21713. 矩形14. 13515. 3∶516. 22.5°17. （22+2，2） 18. 9-5319. 8 20. 141n三、解答题21. 图略22. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∵∠OBC=∠OCB ，∴OB=OC ，∴AC=BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形；（2）AB=AD （或AC ⊥BD ，答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AB=AD ，∴四边形ABCD 是正方形．或：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是正方形．23. （1中，AD=BC ，AB=CD ，∠A=∠C ，∵E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，∴AE=CF ，在△ADE 和△CBF 中，AD=BC ，∠A=∠C ，AE=CF ，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）是菱形．证明：由（1）可得BE=DF ，又AB ∥CD ，∴BE DF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，连结EF 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，∴DF AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∴EF ∥AD ，∵AD ⊥BD ，∴EF ⊥BD ，又∵四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形．24. （1）证明：当顶点A 与C 重合时，折痕EF 垂直平分AC ，∴OA=OC ，∠AOE=∠CO F=90°，∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠EAO=∠FCO ，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE=OF ，∴四边形AFCE 是菱形.（2）∵四边形AFCE 是菱形，∴AF=AE=8，在Rt △ABF 中，AB2+BF2=AF2，∴AB2+BF2=82，∴（AB+BF ）2-2AB ·BF=64①，∵△ABF 的面积为9，∴21AB ·BF=9，∴AB ·BF=18②，由①、②得：（AB+BF ）2=100，∵AB+BF ＞0，∴AB+BF=10.25. （1）BG=DE ，BG ⊥DE ；（2）仍然成立；证明：∵四边形ABCD 是正方形，四边形CEFG 是正方形，∴BC=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG ，即∠BCG=∠DCE ，在△BCG 和△DCE 中，∴BC=CD ，∠BCG=∠DCE ，CG=CE ，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，∵∠CBG+∠BHC=90°，∠BHC=∠DHO （对顶角相等），∴∠CDE+∠DHO=90°，在△DHO 中，∠DOH=180°-（∠CDE+∠DHO ）=180°-90°=90°，∴BG ⊥DE.。

浙教版八年级下册数学第5章《特殊平行四边形》单元测试卷【答案+解析】

浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练(二)

浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练（二）一．选择题1.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE=BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ D ）A ．BC=ACB ．CF ⊥BFC ．BD=DFD ．AC=BF2.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME=MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ D ）A ．13-B ．35-C ．15+D ．15-3.下列命题中，真命题是（ C ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形4.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ C ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 和点C′重合，若AB=2，则C′D 的长为（ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.如图，在△ABC 中，AC=BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE ，则四边形ADCF 一定是（ A ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形7.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF ．则四边形AECF 是（ C ）A.梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形8.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，⑤S △CEF =2S △ABE ．其中正确结论有（ C ）个A ．2B ．3C ．4D ．59.如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ C ）A. 48B. 60C. 76D. 8010如图为正三角形ABC 与正方形DEFG 的重迭情形，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD=BE ．若AC=18，GF=6，则F 点到AC 的距离为（ D ）A. 2B. 3C. 3412-D.636-二．填空题三．如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若AB=5，AD=12，12.如图所示，菱形ABCD 的边长为4，且AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠B=60°，则菱形的面积为13.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是14.如图，菱形ABCD 的周长为58，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC ：BD=1：2，则15.如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为16.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是三．解答题17..如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．18.（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．求MN的长．19.已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（1）求证：AE=EC；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．20.如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．21如图，正方形ABCD 的边长是3，点P 是直线BC 上一点，连接PA ，将线段PA 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，在直线BA上取点F ，使BF=BP ，且点F 与点E 在BC 同侧，连接EF ，CF ．（1）如图，当点P 在CB 延长线上时，求证：四边形PCFE 是平行四边形；（2）如图，当点P 在线段BC 上时，四边形PCFE 是否还是平行四边形，说明理由；22.已知：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当四边形MENF 是正方形时，求AB ：AD 的值23.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE ．（1）求证：CE=AD ；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．。

浙教版八年级下数学第五章特殊的平行四边形单元检测试卷及答案

浙教版八年级下数学第五章特殊的平行四边形单元检测试卷班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________一、选择题（10小题，每题3分，共30分)1．如图是一个边长为15 cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，那么∠1的度数为( )A．45°B．60°C．75°D．90°2．课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )．A．30cm B．30cm C．60cm D．603．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°4．如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为（）A．14 B．16 C．17 D．185．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（）A．3cm2B．4 cm2C．12 cm2D．4 cm2或12 cm2 6．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( )A．矩形B．菱形C．一般的四边形D．平行四边形7．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC＝6，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．18C．9D．68．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是( )A．一般四边形B．正方形C．菱形D．矩形9．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为( )A．5 B．6 C．9 D．1310．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )A．2 B．3 C．D．二、填空题（8小题，每题3分，共24分)11．如图所示，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加一个条件____________，可以判定四边形BEDF是菱形．12．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝_____°.13．如图，△ABC中，∠C=，AC=BC，点G、F分别在AC、BC上，点D、E在AB上，四边形GDEF 是正方形，若GF=，则AB为______．14．在矩形ABCD中，AB＝1，BG、DH分别平分∠ABC、∠ADC，交AD、BC于点G、H.要使四边形BHDG 为菱形，则AD的长为__________．15．如图，正方形ABCD的边长为4，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积为______．16．如图,菱形ABCD对角线AC,BD交于点O,∠BAD=60°,点E是AD的中点,OE=4,则菱形ABCD的面积为___.17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．(填写一个你认为恰当的条件即可)18．矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为____．三、解答题（8小题，共66分)19．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，并加以证明．结论：BF＝______．证明：20．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．21．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，求PE和PA的长度之和最小值．22．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，求AM的最小值．23．如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，直线AE交BD于点M，交DC的延长线于点F，G是EF 的中点，连接CG.求证：(1)△ABM≌△CBM；(2)CG⊥CM.24．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．25．如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF＝∠CDE＝90°.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的长．26．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．AE的中点是M．(1)如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；(2)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；(3)将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？(不必说明理由)参考答案一、选择题1． B 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．D 8．C 9．D 10．C 二、填空题11．四边形BEDF是菱形． 12．60 13．3a 14．1＋ 15．8 16．17． AB＝AC或∠B＝∠C或AD平分∠BAC或BD＝CD 18． 30或14．三、解答题19．解：猜想：BF=AE．证明：∵四边形ABCD是矩形．∴∠A=90°．∵CF⊥BE．∴∠A=∠BFC=90°，∠AEB=∠FBC．∵BC=BE（同一半径）．∴△BFC≌△EAB．∴BF=AE．20．证明：如图，连接CE，交AD于点O.∵AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形．∵AO平分∠CAE，∴AO⊥CE，且OC＝OE.∵EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD.又∵∠DOC＝∠FOE，∴△DOC≌△FOE(ASA)．∴OD＝OF.即CE与DF互相垂直且平分，∴四边形CDEF是菱形．21．解：连接AC，EC，EC与BD交于点P，此时PA+PE的最小，即PA+PE就是CE的长度∵正方形ABCD中，BE=2，AE=1，∴BC=AB=3，∴CE= == ，故答案为：.22．解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP．∵M是EF的中点，∴，当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，∴AM的最小值是．23．证明:(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABM＝∠CBM，在△ABM和△CBM中，∴△ABM≌△CBM(SAS)，(2)∵△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM，∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，∴GC＝GF，∴∠GCF＝∠F，又∵AB∥DF，∴∠BAM＝∠F，∴∠BCM＝∠GCF，∴∠BCM＋∠GCE＝∠GCF＋∠GCE＝90°，∴GC⊥CM.24．解：（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC．∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得：∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；（2）依题意得：∠BAG∠BAD=30°．∵AB=6，∴BG AB=3，AG=3CE．∵BC=4，∠BCF∠BCD=30°，∴BF BC=2，CF=2，∴EF=3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF．25．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE(ASA)，∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED，∴BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)连接BD交AC于G，如图所示：∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴四边形BEDF是菱形，∴BE＝BF＝6，EG＝FG，∵∠ABF＝90°，AB＝AD＝8，BF＝6，∴AF＝＝10，∵△ABF的面积＝AF·BG＝AB×BF，∴BG＝＝，∴EG＝＝，∴AE＝AF－2EG＝10－2×＝.26． (1)证明：∵四边形BCGF为正方形，∴BF=BM=MN，∠FBM=90°，∵四边形CDHN为正方形，∴DM=DH=MN，∠HDM=90°，∵BF=BM=MN，DM=DH=MN，∴BF=BM=DM=DH，∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM，∴△FBM≌△HDM，∴FM=MH，∵∠FMB=∠DMH= 45°，∴∠FMH=90°，∴FM⊥HM．(2)证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC，且MD=AC=BC=BF；MB∥CD，且MB=CE=CD=DH，∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM=∠CDM，∵∠FBP=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH，∵MD =BF，∠FBM=∠MDH，MB=DH，∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，∵BC∥MD，∴∠APM=∠FMD，∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，∴△FMH是等腰直角三角形；(3)△FMH还是等腰直角三角形．连接MB、MD，如图3，设FM与AC交于点P．∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM=∠CDM，又∵∠FBP=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH，在△FBM和△MDH中，，∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，∵BC∥MD，∴∠APM=∠FMD，∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，∴△FMH是等腰直角三角形．。