一元一次方程 基础知识整理

一元一次方程

1.定义：方程与一元一次方程

含有未知数的叫方程，方程必须具备两个条件：第一是等式，第二是含有未知数。

方程中只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程。

2.方程的解与解方程

使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！

解方程就是求出使方程中左右两边均相等的未知数的值，是过程。

3.等式的性质

（1）：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

（2）：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.

解方程的过程就是把方程逐步化为x=a（常数）的形式，等式的性质是重要的转化依据。

4．解方程

（1）合并同类项与移项：合并时牢记：同类项的系数相加，字母连同指数不变，系数为负数时要注意符号。（2）移项（移项要变号）：移项就是把等式一边的某项变号后移到另一边。一般把方程转化为含有未知数的在方程的左边，常数在方程的右边。注意与加法交换律不一样。移项是把某些项从方程的一边移到另一边，移动要变号，而加法交换律只是加数之间交换位置，改变的只是顺序不改变符号。

（3）去括号与去分母：去括号法则与整式去括号法则相同：括号外的因数是整数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。括号外的因数是负数时，去括号内后，原括号内各项的符号与原来的符号相反。

去分数：先把分式化成整式再计算。应注意各项都要乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘分母的项，如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号。当分母是小数时，要先利用分母的基本性质把小数转化成整数，然后再去分母。

（4）一元一次方程解法的一般步骤：

化简方程----------分数基本性质去分母----------同乘（不漏乘）最简公分母

去括号----------注意符号变化移项----------变号

合并同类项--------合并后注意符号系数化为1---------未知数细数是几就除以几

5.列方程

（1）读题分析法:…………多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，

配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

（2）画图分析法: …………多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

6.列方程解决实际问题

一般步骤：审设列解验答

（1）配套问题

等量关系：加工或者生产的总量相等或成比例。

某种仪器由一个A部件和一个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天加工的A部件和B部件配套？

等量关系1_________________ 等量关系2____________________

（2）工程问题

工作量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作量÷工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

有一批零件加工任务，甲单独做40h完成，乙单独做30h完成，甲做了几个小时后另有任务，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2h，求甲做了几个小时？

等量关系1________________ 等量关系2____________________

（3）商品销售问题

进价=成本标价=售价标价=进价×（1+利润率）实际售价=标价×打折率

利润＝售价－成本价商品利润率＝

商品利润

商品成本价×100%

销售额＝销售价×销售量商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

某件商品的售价为每件900元，为了参与市场竞争，商品按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，此件商品的进价是多少元？

等量关系_________________________

（4）行程问题

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（（1））相遇问题甲走的路程+乙走的路程=两地的距离

（（2））追及问题 同地不同时：前者走的路程=后者走的路程

同时不同地：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程

（（3））航行问题 顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系

（5）储蓄、储蓄利润问题

顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税

利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20%）

%,100⨯=本金

每个期数内的利息利润 （6）按比例分配问题

甲：乙：丙=a:b:c ，则设一份为x ，甲为ax ，乙为bx ，丙为cx

全部的数量=各个份数之和

（7）若干应用问题等量关系的规律

（（1））和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量

（（2））等积变形问题

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝πr 2

h ②长方体的体积 V ＝长×宽×高＝abc

（（3））日历中的问题

日历中每一行上相邻的两个数之间，右边的数比左边的数大1，每一列数之间，上面的比下边的少7.

（8）数字问题

（（1））要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a ，十位数字是b ，个位数字为c （其中a 、b 、c 均为整数，且1≤a ≤9， 0≤b ≤9， 0≤c ≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c 。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

（（2））数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n 表示，连续的偶数用2n+2或2n —2表示；奇数用2n+1或2n —1表示。