二叉树最大宽度和高度

二叉树知识点总结

二叉树知识点总结1. 二叉树的性质1.1 二叉树的性质一：二叉树的深度二叉树的深度是指从根节点到叶子节点的最长路径长度。

对于一个空树而言，它的深度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的深度为1。

根据定义可知，深度为k的二叉树中，叶子节点的深度值为k。

由此可知，二叉树的深度为所有叶子节点深度的最大值。

1.2 二叉树的性质二：二叉树的高度二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最短路径长度。

对于一个空树而言，它的高度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的高度为1。

由此可知，二叉树的高度总是比深度大一。

1.3 二叉树的性质三：二叉树的节点数量对于一个深度为k的二叉树而言，它最多包含2^k - 1个节点。

而对于一个拥有n个节点的二叉树而言，它的深度最多为log2(n+1)。

1.4 二叉树的性质四：满二叉树满二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的每个节点要么是叶子节点，要么拥有两个子节点。

满二叉树的性质是：对于深度为k的满二叉树而言，它的节点数量一定是2^k - 1。

1.5 二叉树的性质五：完全二叉树完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的所有叶子节点都集中在树的最低两层，并且最后一层的叶子节点从左到右依次排列。

对于一个深度为k的完全二叉树而言，它的节点数量一定在2^(k-1)和2^k之间。

2. 二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。

二叉树的遍历主要包括前序遍历、中序遍历和后序遍历三种。

2.1 前序遍历（Pre-order traversal）前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。

对于一个二叉树而言，前序遍历的结果就是按照“根-左-右”的顺序访问所有节点。

2.2 中序遍历（In-order traversal）中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。

对于一个二叉树而言，中序遍历的结果就是按照“左-根-右”的顺序访问所有节点。

2.3 后序遍历（Post-order traversal）后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。

西大 2001 年试题与分析

西大 2001 年试题与分析试题部分一、问答题1 ．不限制 GOTO ，会带来什么问题。

说明 GOTO 与结构化程序设计的关系。

2 ．面向对象的程序设计方法的特点是什么？说明封装的含义。

3 ．什么是函数的副作用？4 ．简述数组与字符串属于线性表的理由。

二、选择题1 ．在下列算法中， __________ 算法可能出现下列情况；在最后一趟开始之前，所有的元素都不在其最终的位置上。

A ．堆排序B ．冒泡排序C ．插入排序D ．快速排序2 ．堆排序是 __________ 类排序，堆排序平均执行的时间复杂度和需要附加的存储空间复杂度分别是__________ 。

A ．插入B ．交换C ．归并D ．基数E ．选择F ． O(n 2 ) 和 O(1)G ． O(nlog 2 n) 和 O(1) H.O(nlog 2 n) 和 O(n) I.O(n2 ) 和 O(n)三、写出结果1 ．已知二叉树有 50 个叶子结点，则该二叉树的总结点数至少应有多少个？2 ．在后序线索树中，要找出 X 结点的前驱结点，请写出相关语句。

LtagLcDataRtagRc3 ．带权结点为 {5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9} ，构造 Huffman 树，计算带权路径长度。

4 ．对一个堆，按二叉树层次进行遍历，是否可以得到一个有序序列，为什么？5 ．在快速排序算法中能否用队列代替栈，说明原因。

6 ．已知二叉树采用二叉链表方式存放，要求返回二叉树 T 的后序序列中的第一个结点的指针，是否可不用递归且不用栈来完成？请简述原因。

7 ．对下面过程写出调用 P(3) 的运行结果。

PROCEDURE p(w:integer);BEGINIF w>0 THEN GEGINp(w-1);writeln(w); { 输出 w}p(w-1)END;END;8 ．已知长度为 12 的表（ Jan, Feb, Mar, Apr, May, Jun, Jul, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec ），按表中顺序依次插入初始为空的二叉排序树中。

实验三：二叉树操作

（2）前序遍历当前节点的左子树。
（3）前序遍历当前节点的右子树。
中序遍历树：
（1）声明一个顺序栈，并用p指针指向当前节点。
（2）若当前节点和栈不同时为空则重复进行下一步。否则程序结束
（3）若当前节点不为空则重复进行第四步，否则执行第五步。
（4）在栈不满的情况下将当前节点入栈，并把p指针指向当前节点左子树的根节点。
二、实验题目与要求
1.每位同学按下述要求实现相应算法：以二叉链表为存储结构，实现二叉树的创建、遍历算法
1）问题描述：在主程序中提供下列菜单：
1…建立树
2…前序遍历树
3…中序(非递归)遍历树
4…后序遍历树 0…结束
2）实验要求：
① 定义下列过程：
CreateTree(): 按从键盘输入的前序序列，创建树
T->lchild = CreateTree();
T->rchild = CreateTree();
}
returnT;
}
voidPreOrder(BitNode *T)
{
if(T == NULL)return;
printf("%c",T->data);
PreOrder(T->lchild);
PreOrder(T->rchild);
T->rchild = temp;
Exchange(T->lchild);
Exchange(T->rchild);
returnT;
}
intmain()
{
BitTree *root;
root = CreateTree();
printf("中序遍历原二叉树：");

数据结构用非递归算法求二叉树高度

数据结构⽤⾮递归算法求⼆叉树⾼度算法思想：采⽤层次遍历的算法，设置变量level记录当前节点所在层数，设置变量last指向当前层的最右结点，每层遍历出队时与last指针⽐较，若两者相等，则层数加⼀，并让last指向下⼀层的最右结点即rear所在位置，直到变量完成。

level的值即为⼆叉树的⾼度。

代码如下：1int Btdepth(BiTree T)2 {3if(T==NULL) //树空⾼度为04return0;5int front=rear=-1;6int last=level=0; //last指向当前层的最右结点7 BiTree Q[MAXSIZE]; //设置队列Q，元素是⼆叉树结点指针且容量⾜够8 Q[++rear]=T; //将根节点⼊队9 BiTree p=T;10while(!IsEmpty(Q)) //11 {12 p=Q[++front]; //队列元素出队，即正在访问的结点13if(p->lchild)14 Q[++rear]=p->lchild; //左孩⼦⼊队15if(p->rchild)16 Q[++rear]=p->rchild; //右孩⼦⼊队17if(front==last) //访问到该层的最后⼀个结点18 {19 level++; //⾼度加⼀20 last=rear; //更新last指向下⼀层最右⼀个结点21 }2223 }24return level;25 }扩展：求某⼀层的结点个数，每层的结点个数、树的最⼤宽度，都采⽤与此题类似的思想。

当然，此题可采⽤递归算法，其实现如下代码如下：1int Btdepth(BiTree T)2 {3if(T==NULL) //空树⾼度为04return0;5 ldep=Btdepth(T->lchild); //递归遍历左⼦树6 rdep=Btdepth(T->rchild); //递归遍历右⼦树7if(ldep>rdep) //树的⾼度为⼦树的最⼤⾼度加根节点8return ldep+1;9else10return rdep+1;11 }。

二叉树概述

可简写为k=lb(n+1)-1。例如，2.0=2，2.1=3。若结点个数n=0，则有深度k=-1，满足k=lb(0+1)-1=-1；若结点个数n=1，则有深度k=0，满足k=lb(1+1)-1=0；若结点个数n=2，则有深度k=1，满足k=lb(2+1)-1
=0.xx =1；若结点个数n=3，则有深度k=1，满足k=lb(3+1)-1=1。
二叉树概述
1.二叉树的定义
一、二叉树：是n(n≥0)个结点的有限集合。n=0的树称为空二叉树；n>0的二叉树由一个根结点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。
逻辑结构：一对二（1:2）基本特征: ① 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）； ② 左子树和右子树次序不能颠倒。所以下面是两棵不同的树注意：二叉树不是有序树
3.二叉树的性质
性质1 在一棵非空二叉树的第i层上至多有2i个结点（i≥0）。
性质2 深度为k的二叉树至多有2k+1-1个结点。说明：深度k=-1，表示没有一个结点；深度k=0，表示只有一个根结点。
性质3 对于一棵非空的二叉树，如果叶结点个数为n0，度为2的结点数为n2，则有 n0= n2+1。证明：设n为二叉树的结点总数，n1为二叉树中度为1的结点个数，则有： n = n0 + n1 + n2
A
B
C
D
E
F
G
H I J K L MN O
A
B
C
D
E
F
G
H IJ
(a)满二叉树
(b)完全二叉树
问题:一个高度为h的完全二叉树最多有多少个结点?最少有多少个结点?

正则二叉树

正则二叉树正则二叉树是一个数学名词。

在根树中，若每个分支点的出度小于或等于m,则称该树为m叉树。

如果每个分支点的出度恰好等于m，则称该树为m叉正则树。

m=2时，该根树称为二叉正则树。

若其所有树叶层次相同，称为二叉完全正则树要理解什么是二叉树正则，必须了解树、有向树、根树、叉树等概念。

一个连通且无回路的无向图，称为树。

如果有向图在不考虑边的方向时，是一棵树，那么这个有向图称为有向树。

若一棵有向树，恰有一个结点入度为0，其余所有结点的入度均为1，则称该有向树为根树。

扩展资料树的概念下图我们日常生活中所见到的树，可以看到，从主树干出发，向上衍生出很多枝干，而每一根枝干，又衍生出一些枝丫，就这样组成了我们在地面上可以看到的树的结构，但对于每一个小枝丫来讲，归根结底，还是来自于主树干的层层衍生形成的。

我们往往需要在计算机中解决这样一些实际问题例如：•用于保存和处理树状的数据，例如家谱，组织机构图•进行查找，以及一些大规模的数据索引方面•高效的对数据排序先不提一些复杂的功能，就例如对于一些有树状层级结构的数据进行建模，解决实际问题，我们就可以利用“树” 这种结构来进行表示，为了更符合我们的习惯，我们一般把“树” 倒过来看，我们就可以将其归纳为下面这样的结构，这也就是我们数据结构中的“ 树”树中的常见术语•结点：包含数据项以及指向其他结点的分支，例如上图中圆A 中，既包含数据项A 又指向 B 和 C 两个分支•特别的，因为A 没有前驱，且有且只有一个，所以称其为根结点•子树：由根结点以及根结点的所有后代导出的子图称为树的子树•例如下面两个图均为上面树中的子树•结点的度：结点拥有子树的数目，简单的就是直接看有多少个分支，例如上图A 的度为2，B的度为1•叶结点：也叫作终端结点，即没有后继的结点，例如E F G H I•分支结点：也叫作非终端结点，除叶结点之外的都可以这么叫•孩子结点：也叫作儿子结点，即一个结点的直接后继结点，例如B 和C 都是A 的孩子结点•双亲结点：也叫作父结点，一个结点的直接前驱，例如A 是B 和C 的双亲结点•兄弟结点：同一双亲的孩子结点互称为兄弟结点例如B 和C 互为兄弟•堂兄弟：双亲互为兄弟结点的结点，例如D 和E 互为堂兄弟•祖先结点：从根结点到达一个结点的路径上的所有结点，A B D 结点均为H 结点的祖先结点•子孙结点：以某个结点为根的子树中的任意一个结点都称为该结点的子孙结点，例如C 的子孙结点有 E F I•结点的层次：设根结点层次为1，其余结点为其双亲结点层次加1，例如，A 层次为1，BC 层次为2•树的高度：也叫作树的深度，即树中结点的最大层次•有序/无序树：树中结点子树是否从左到右为有序，有序则为有序树，无序则为无序树可能大家也看到了，上面我举的例子，分支全部都在两个以内，这就是我们今天所重点介绍的一种树——“二叉树”二叉树在计算机科学中，二叉树（英语：Binary tree）是每个结点最多只有两个分支（即不存在分支度大于2的结点）的树结构。

二叉树

我们也可以把递归过程改成用栈实现的非递归过程，下面给出先序遍历的非递归过程： procedure inorder(bt:tree); var stack:array[1..n] of tree; {栈} top:integer; {栈顶指针} p:tree; begin top:=0; while not ((bt=nil)and(top=0)) do begin
• ⑴如果i=1，则结点i为根，无父结点；如果i>1,则其父结点编号为trunc(i/2)。 • ⑵如果2*i>n，则结点i为叶结点；否则左孩子编号为 2*i。 • ⑶如果2*i+1>n，则结点i无右孩子；否则右孩子编号为2*i+1。
存储结构
• 二叉树的存储结构和普通树的存储结构基本相同，有链式和顺序存储两种方法。 • ⑴链式存储结构：有单链表结构或双链表结构，基本数据结构定义如下： type tree=^node;{单链表结构} node=record data:char;{数据域} lchild,rchild:tree;{指针域：分别指向左、右孩子} end; var bt:tree;
• 输入： • 其中第一行一个整数n，表示树的结点数。接下来的n行每行描述了一个结点的状况，包含了三个整数，整数之间用空格分隔，其中：第一个数为居民人口数；第二个数为左链接，为0表示无链接；第三个数为右链接。 • 输出： • 只有一个整数，表示最小距离和。

• • • • • • • •
样例输入： 5 13 2 3 4 0 0 12 4 5 20 0 0 40 0 0
2、删除二叉树 procedure dis(var bt:tree); begin if bt<>nil then begin dis(bt^.lchild); dis(bt^.rchild); dispose(bt); end； end；

Visio-公式配置--二叉树

叶子结点个数（nLeftLeafs）
3、二叉树绘图区域左上角坐标计算：
完全二叉树叶子结点个数：nLeafs = Pow(2,nMaxDepth-1)
x0 = xRoot - ((nNodeWidth+nLeafHSpace) * nLeafs + nLeafHSpace)/2
y0 = yRoot - nLineVSpace ;
KIndex ; //结点序号，唯一性标示结点
的求和获取平均年值。外部函数调用所需四个参数（数据
Key ; //关键字，叶子结点或扩展结点取值公式表的ID，否则为空表名称，关键字字段名，关键字字段值，求值字段名）
Val ; //结点值，
ID PID Val
如果结点为叶子结点，则取值公式表的ID
---------------------
3、编辑一个设计状态（森林） 4、保存森林状态（森林） 5、添加பைடு நூலகம்棵空树 6、删除一棵树结点二、二叉树 1、添加一个结点
2、删除一个结点
3、编辑一个结点
4、从公式生成二叉树
F=((F1+F2)*F3)-IF((((F1+F2)>F3) and (F5>F6)),F8,F9)
5、从二叉树生成公式
pHead
DSTSumRecords(TableName,FieldKeyName,FieldKeyVal,FieldValNam
F5 0 -1 “” ReadRecord(Table,”ID”,”D1",”Val”) e)
F6 0 -1 “” SumRecords(Table,”PID”,”0",”Val”) 字段值求平均值（表名，关键字字段名，关键字字段值，值字段名）

计算机二级公共基础专题探究——二叉树

公共基础专题探究——二叉树1．6 树与二叉树树是一种简单的非线性结构，所有元素之间具有明显的层次特性。

在树结构中，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称树的根。

每一个结点可以有多个后件，称为该结点的子结点。

没有后件的结点称为叶子结点。

在树结构中，一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度，所有结点中最大的度称为树的度。

为该结点的左子树与右子树。

二叉树的基本性质：必考的题目（1）在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k≥1)个结点；（2）深度为m的二叉树最多有2m-1个结点；（3）度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个；（4）二叉树中 n = n0 +n1 +n2k层上有2k-1个结点深度为m的满二叉树有2m-1个结点。

若干结点。

二叉树的遍历：（一般画个图要你把顺序写出来）后序遍历（访问根结点在访问左子树和访问右子树之后）重点题型：二叉树的遍历例1：某二叉树的前序序列为ABCD，中序序列为DCBA，则后序序列为（DCBA ）。

【解析】前序序列为ABCD，可知A为根结点。

根据中序序列为DCBA可知DCB是A的左子树。

根据前序序列可知B是CD的根结点。

再根据中序序列可知DC是结点B的左子树。

根据前序序列可知，C是D的根结点，故后序序列为DCBA例2：对下列二叉树进行前序遍历的结果为 ABDYECFXZ例3：设二叉树如下，则后序序列为 DGEBHFCA【解析】本题中前序遍历为ABDEGCFH，中序遍历为DBGEAFHC，后序遍历为DGEBHFCA完全二叉树指除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值，在最后堆排序问题：例1：已知前序序列与中序序列均为ABCDEFGH，求后序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 已知ABCDEFGH中：L-D-R 已知ABCDEFGH后：L-R-D 待求由此可知，L=0，D-R= ABCDEFGH故R-D=HGFEDCBA，即后序序列= HGFEDCBA变式训练1：已知后序序列与中序序列均为ABCDEFGH，求前序序列答案：HGFEDCBA，（这次R=0）结论：若前序序列与中序序列均为某序列，则后序序列为该序列的倒序，且为折线；同样地，若后序序列与中序序列均为某序列，则前序序列为该序列的倒序，且为折线例2：已知前序序列=ABCD，中序序列=DCBA，求后序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 已知ABCD中：L-D-R 已知DCBA后：L-R-D 待求因为ABCD与DCBA正好相反，由此可知，R=0所以D-L=ABCD，即L-D=DCBA所以后序序列= DCBA变式训练2-1：中序序列=BDCA，后序序列=DCBA，求前序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 待求中：L-D-R 已知BDC,A后：L-R-D 已知DCB,A通过观察可知，R=0，L={B,D,C}，D=A中、后变换时，{B,D,C}发生了变化，说明左子树结构特殊，进一步令中’：L’-D’-R’已知B,DC后’：L’-R’-D’已知DC,B可知L’=0，即D’=B，R’= DC可以画出二叉树示意图为：Array所以前序序列= ABCD变式训练2-2：中序序列=ABC，后序序列=CBA，求前序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 待求中：L-D-R 已知ABC后：L-R-D 已知通过观察可知，L=0，D-R=ABC，R-D=CBA所以前序序列=D-L-R= D-R=ABC变式训练2-3：前序序列=ABC，中序序列=CBA，求后序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 已知A,BC中：L-D-R 已知CB,A后：L-R-D 待求通过观察可知，D=A ，L={B,C}，R=0所以后序序列=CBA (一边偏)题型二：求二叉树的深度。

数据结构二叉树习题含答案

第6章树和二叉树1．选择题（1）把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是（）。

A．唯一的Ｂ．有多种C．有多种，但根结点都没有左孩子Ｄ．有多种，但根结点都没有右孩子（2）由3 个结点可以构造出多少种不同的二叉树？（）A．2 B．3 C．4 D．5（3）一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（）。

A．250 B． 500 C．254 D．501（4）一个具有1025个结点的二叉树的高h为（）。

A．11 B．10 C．11至1025之间 D．10至1024之间（5）深度为h的满m叉树的第k层有（）个结点。

(1=<k=<h)A．m k-1 B．m k-1 C．m h-1 D．m h-1（6）利用二叉链表存储树，则根结点的右指针是（）。

A．指向最左孩子 B．指向最右孩子 C．空 D．非空（7）对二叉树的结点从1开始进行连续编号，要求每个结点的编号大于其左、右孩子的编号，同一结点的左右孩子中，其左孩子的编号小于其右孩子的编号，可采用（）遍历实现编号。

A．先序 B. 中序 C. 后序 D. 从根开始按层次遍历（8）若二叉树采用二叉链表存储结构，要交换其所有分支结点左、右子树的位置，利用（）遍历方法最合适。

A．前序 B．中序 C．后序 D．按层次（9）在下列存储形式中，（）不是树的存储形式？A．双亲表示法 B．孩子链表表示法 C．孩子兄弟表示法D．顺序存储表示法（10）一棵非空的二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定满足（）。

A．所有的结点均无左孩子B．所有的结点均无右孩子C．只有一个叶子结点 D．是任意一棵二叉树（11）某二叉树的前序序列和后序序列正好相反，则该二叉树一定是（）的二叉树。

A．空或只有一个结点 B．任一结点无左子树C．高度等于其结点数 D．任一结点无右子树（12）若X是二叉中序线索树中一个有左孩子的结点，且X不为根，则X的前驱为（）。

A．X的双亲 B．X的右子树中最左的结点C．X的左子树中最右结点 D．X的左子树中最右叶结点（13）引入二叉线索树的目的是（）。

数据结构二叉树知识点总结

数据结构二叉树知识点总结二叉树是一种常见的数据结构，它由节点组成，每个节点最多可以有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

二叉树有很多重要的特性和操作，下面是一些关于二叉树的知识点总结。

1.二叉树的基本概念-根节点：树的顶部节点，没有父节点。

-子节点：根节点下的节点。

-叶节点：没有子节点的节点。

-父节点：一个节点的直接上级节点。

-高度：树的最大层数，根节点的层数为0。

-深度：树的层数，叶节点的深度为最大深度。

-层次遍历：按层次的顺序依次访问每个节点。

2.二叉树的分类-满二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点。

-完全二叉树：除了最后一层外，其它层的节点都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列。

-二叉树：左子节点的值小于父节点的值，右子节点的值大于父节点的值。

3.二叉树的表示方法- 数组表示法：将树的节点按层次遍历的顺序存储在一个数组中，对于任意节点i，它的父节点在位置floor((i-1)/2)，左子节点在位置2*i+1，右子节点在位置2*i+2-链表表示法：使用节点对象保存节点的数据和指向左右子节点的指针。

4.二叉树的遍历-前序遍历：先访问根节点，然后递归地遍历左子树和右子树。

-中序遍历：先递归地遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。

-后序遍历：先递归地遍历左子树和右子树，最后访问根节点。

-层次遍历：按层次的顺序依次访问每个节点。

5.二叉树的应用-表达式树：使用二叉树表示数学表达式，可以方便地计算表达式的值。

-堆：一种特殊的二叉树，用于实现优先队列。

-平衡二叉树：保持左右子树高度差不超过1的二叉树，用于实现高效的查找操作。

-哈夫曼树：用于数据压缩，将出现频率较高的字符编码为较短的二进制串。

6.二叉树的操作-插入节点：将新节点插入到树的适当位置，保持二叉树的性质。

-删除节点：删除指定节点，保持二叉树的性质。

-节点：在树中指定节点。

-最小值和最大值：找到树中的最小值和最大值。

-判断是否相等：判断两个二叉树是否相等。

二叉树

下图是1.2中所示的完全二叉树的顺序存储示意图。
例如，bt[3]
3=/12，即在bt[1]中，其左
孩子在bt[2i]=bt[6]中，右孩子在bt[2i+1]=bt[7]中。
目录
二叉树
2）一般二叉树的顺序存储一般的二叉树采取的办法是按完全二叉树的形式补齐二叉树所缺少的结点，对补齐后的二叉树进行编号，将二叉树的原有结点按编号存储到一维数组中。下图给出了一棵一般二叉树改造后的完全二叉树形态和其顺序存储状态示意图。
目录
二叉树
2021年1月30日星期六
性质3 对于一棵非空的二叉树，如果叶子结点数为n0，度数为2的结点数为n2，则有n0=n2＋1。
性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度k log2n +1。
性质5 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照」从上到下和从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从1
则ki无左孩子结点，即ki是叶子结点。因此完全二叉
树中编号i＞ n / 2 的结点必定是叶子结点。（3）若2i+1≤n，则ki的右孩子结点编号是2i+1；
否则ki无右孩子结点。
目录
二叉树
2021年1月30日星期六
可用一维数组bt[]存放一棵完全二叉树，将标号为i的结点的数据元素存放在分量bt[i]中，bt[0]不用或用来存储结点数目。
typedef struct BiTNode { // 结点结构
ElemType data;
2021年1月30日星期六
目录
二叉树
二叉树、树及有序树是有区别的，二叉树不是树的特例，主要差别在于二叉树的子树有左右之分。
在有序树中，虽然一个结点的孩子之间是有左右次序的，但若该结点只有一个孩子时，就无须区分其左右次序。

【数据结构】二叉树

【数据结构】⼆叉树【⼆叉树】⼆叉树是最为简单的⼀种树形结构。

所谓树形结构，其特征（部分名词的定义就不明确给出了，毕竟不是学术⽂章。

）在于： 1. 如果是⾮空的树形结构，那么拥有⼀个唯⼀的起始节点称之为root（根节点） 2. 除了根节点外，其他节点都有且仅有⼀个“⽗节点”；除此外这些节点还都可以有0到若⼲个“⼦节点” 3. 树中的所有节点都必须可以通过根节点经过若⼲次后继操作到达 4. 节点之间不会形成循环关系，即任意⼀个节点都不可能从⾃⾝出发，经过不重复的径路再回到⾃⾝。

说明了树形结构内部蕴含着⼀种“序”，但是不是线性表那样的“全序” 5. 从树中的任意两个节点出发获取到的两个任意⼦树，要不两者⽆交集，要不其中⼀者是另⼀者的⼦集限定到⼆叉树，⼆叉树就是任意⼀个节点⾄多只能有两个⼦节点的树形结构。

也就是说，某个节点的⼦节点数可以是0,1或2。

由于可以有两个⼦节点，所以区别两个⼦节点可以将其分别定义为左⼦节点和右⼦节点。

但是需要注意的是，若⼀个节点只有⼀个⼦节点，那么也必须明确这个⼦节点是左⼦节点还是右⼦节点。

不存在“中⼦节点”或者“单⼦节点”这种表述。

由于上述规则对所有节点都⽣效，所以⼆叉树也是⼀个递归的结构。

事实上，递归就是⼆叉树⼀个⾮常重要的特点，后⾯还会提到很多通过递归的思想来建⽴的例⼦。

对于左⼦节点作为根节点的那颗⼆叉树被称为相对本节点的左⼦树，右⼦树是同理。

■ 基本概念空树不包含任何节点的⼆叉树，连根节点也没有单点树只包含⼀个根节点的⼆叉树是单点树⾄于兄弟关系，⽗⼦关系，长辈后辈关系是⼀⾔既明的就不说了。

树中没有⼦节点的节点被称为树叶（节点），其余的则是分⽀节点。

⼀个节点的⼦节点个数被称为“度数”。

正如上所说，⼆叉树任意节点的度数取值可能是0，1或2。

节点与节点之间存在关联关系，这种关联关系的基本长度是1。

通过⼀个节点经过若⼲个关联关系到达另⼀个节点，经过的这些关联关系合起来被称为⼀个路径。

二叉树

7.1.2
二叉树的五种基本形态
Ф
左子树
(a) (b) (c)
右子树
(d)
左子树
(e)
右子树
7.1.3
两种特殊形态的二叉树
结点拥有的子树数称为该结点的度(degree)。度为零的结点称为叶子(leaf)，其余结点称为分支结点(branch)。树中结点的最大的度称为树的度。显然，二叉树结点的度可能为0、1或2。根结点的层次(level)为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。树中结点的最大层次称为该树的高度或深度。 1．满二叉树 2．完全二叉树
7.6
本章小结
本章讨论了二叉树数据类型的定义以及实现方法。二叉树是以两个分支关系定义的层次结构，结构中的数据元素之间存在着一对多的关系，因此它为计算机应用中出现的具有层次关系或分支关系的数据，提供了一种自然的表示方法。二叉树是有明确的左子树和右子树的树形结构，因此当用二叉树来描述层次关系时，其左孩子表示下属关系，而右孩子表示的是同一层次的关系。二叉树的遍历算法是实现各种操作的基础。遍历的实质是按某种规则将二叉树中的数据元素排列成一个线性序列，二叉树的线索链表便可看成是二叉树的一种线性存储结构，在线索链表上可对二叉树进行线性化的遍历，即不需要递归，而是从第一个元素起，逐个访问后继元素直至后继为空止。因此，线索链表是通过遍历生成的，即在遍历过程中保存结点之间的前驱和后继的关系。
7.1.4
二叉树的几个特性
由二叉树的定义、形态，我们很容易的得出下面二叉树的一些特性。性质1 在二叉树的第i 层上至多有 2i-1 个结点(i≥1)。性质2 深度为k的二叉树中至多含有2k-1 个结点(k≥1)。性质3 对任何一棵二叉树 T，如果其终端结点数为，度为 2的结点数为，则。性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n+1。性质5 如果对一棵有 n 个结点的完全二叉树（其深度为 log2n+1）的结点按层序（从第1层到第 log2n+1 层，每层从左到右）从1起开始编号。

简述二叉树的五种形态

简述二叉树的五种形态
简述二叉树的五种形态：
简述二叉树：在完全二叉树中，除了最后一层外，每一层都被填满，最后一层从左到右填充节点。

如果最后一层不是完全填充的，则只能在右侧缺少节点。

满二叉树：在满二叉树中，每个节点都有两个子节点，除了叶节点外，每个节点都有两个子节点。

二叉搜索树：在二叉搜索树中，每个节点都比其左子树中的节点大，比其右子树中的节点小。

平衡二叉树：在平衡二叉树中，每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。

红黑树：红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它通过颜色标记节点来保持平衡，并且具有如下性质：根节点是黑色的，每个叶节点都是黑色的，每个红色节点必须有两个黑色子节点，每个节点到其子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑色节点。

树、二叉树、满二叉树、完全二叉树概念分清

树、⼆叉树、满⼆叉树、完全⼆叉树概念分清⾃由树⾃由树是⼀个连通的，⽆回路的⽆向图。

令G=(V，E)为⼀个⽆向图。

下⾯的表述是等价的。

1) G是⾃由树。

2) G中任意两个顶点由唯⼀⼀条简单路径得到。

3) G是连通的，但从E中去掉任何边后得到的图都是⾮连通的。

4) G是⽆回路的，且|E|=|V|-1。

5) G是连通的，且|E|=|V|-1。

6) G是⽆回路的，但添加任何边到E中得到的图包含回路。

⼆叉树在计算机科学中，⼆叉树是每个节点最多有两个⼦树的树结构。

通常⼦树被称作“左⼦树”（left subtree）和“右⼦树”（right subtree）。

⼆叉树的每个结点⾄多只有⼆棵⼦树(不存在度⼤于2的结点)，⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒。

⼆叉树的第i层⾄多有2^(i-1)个结点；深度为k的⼆叉树⾄多有2^k-1个结点；（等⽐数列1+2+4+…+2^(k-1) = 2^k-1）。

对任何⼀棵⼆叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。

树和⼆叉树的三个主要差别：1) 树的结点个数⾄少为1，⽽⼆叉树的结点个数可以为0；2) 树中结点的最⼤度数没有限制，⽽⼆叉树结点的最⼤度数为2；3) 树的结点⽆左、右之分，⽽⼆叉树的结点有左、右之分。

满⼆叉树⼀棵深度为k，且有2^k-1个节点的树是满⼆叉树。

另⼀种定义：除了叶结点外每⼀个结点都有左右⼦叶且叶⼦结点都处在最底层的⼆叉树。

这两种定义是等价的。

从树的外形来看，满⼆叉树是严格三⾓形的，⼤家记住下⾯的图，它就是满⼆叉树的标准形态：所有内部节点都有两个⼦节点，最底⼀层是叶⼦节点。

性质：1) 如果⼀颗树深度为h，最⼤层数为k，且深度与最⼤层数相同，即k=h;2) 它的叶⼦数是： 2^(h-1)3) 第k层的结点数是： 2^(k-1)4) 总结点数是： 2^k-1 (2的k次⽅减⼀)5) 总节点数⼀定是奇数。

6) 树⾼：h=log2(n+1)。

数据结构实验三——二叉树基本操作及运算实验报告

《数据结构与数据库》实验报告实验题目二叉树的基本操作及运算一、需要分析问题描述：实现二叉树（包括二叉排序树）的建立，并实现先序、中序、后序和按层次遍历，计算叶子结点数、树的深度、树的宽度，求树的非空子孙结点个数、度为2的结点数目、度为2的结点数目，以及二叉树常用运算。

问题分析：二叉树树型结构是一类重要的非线性数据结构，对它的熟练掌握是学习数据结构的基本要求。

由于二叉树的定义本身就是一种递归定义，所以二叉树的一些基本操作也可采用递归调用的方法。

处理本问题，我觉得应该：1、建立二叉树；2、通过递归方法来遍历（先序、中序和后序）二叉树；3、通过队列应用来实现对二叉树的层次遍历；4、借用递归方法对二叉树进行一些基本操作，如：求叶子数、树的深度宽度等；5、运用广义表对二叉树进行广义表形式的打印。

算法规定：输入形式：为了方便操作，规定二叉树的元素类型都为字符型，允许各种字符类型的输入，没有元素的结点以空格输入表示，并且本实验是以先序顺序输入的。

输出形式：通过先序、中序和后序遍历的方法对树的各字符型元素进行遍历打印，再以广义表形式进行打印。

对二叉树的一些运算结果以整型输出。

程序功能：实现对二叉树的先序、中序和后序遍历，层次遍历。

计算叶子结点数、树的深度、树的宽度，求树的非空子孙结点个数、度为2的结点数目、度为2的结点数目。

对二叉树的某个元素进行查找，对二叉树的某个结点进行删除。

测试数据：输入一：ABC□□DE□G□□F□□□（以□表示空格）,查找5,删除E预测结果：先序遍历ABCDEGF中序遍历CBEGDFA后序遍历CGEFDBA层次遍历ABCDEFG广义表打印A（B（C,D（E（,G）,F）））叶子数3 深度5 宽度2 非空子孙数6 度为2的数目2 度为1的数目2查找5，成功，查找的元素为E删除E后，以广义表形式打印A（B（C,D（,F）））输入二：ABD□□EH□□□CF□G□□□（以□表示空格）,查找10,删除B预测结果：先序遍历ABDEHCFG中序遍历DBHEAGFC后序遍历DHEBGFCA层次遍历ABCDEFHG广义表打印A（B(D,E(H)),C(F(,G))）叶子数3 深度4 宽度3 非空子孙数7 度为2的数目2 度为1的数目3查找10，失败。

统计二叉树各度数的结点的个数高度宽度结点

统计二叉树各度数的结点的个数高度宽度结点最大元素的值交换结点的左孩子和右孩子删除所有叶子节点/*设一棵二叉树以二叉链表表示，试编写有关二叉树的递归算法：1、统计二叉树中度为1的结点2、统计二叉树中度为2的结点3、统计二叉树中度为0的结点4、统计二叉树的高度5、统计二叉树的宽度，即在二叉树各层上具有节点数最多的那一层上结点总数6、计算二叉树中个结点最大元素的值7、交换每个结点的左孩子结点和右孩子结点8从二叉树中删除所有叶子节点*/#include <iostream>#include <queue>#include <stack>#include <string>using namespace std;template <class T>class btrnode{public:T element; //结点的数据域btrnode<T>* lchild; //结点的左孩子结点btrnode<T>* rchild; //结点的右孩子节点btrnode(){ lchild = NULL; rchild = NULL; } //默认构造函数btrnode(T ele) //给定数值域的值得构造函数{element = ele;lchild = NULL;rchild = NULL;}};//二叉树的抽象数据类型template <class T>class btr{private:btrnode<T>* root;int count;public:btr(){ count = 0; } //默认构造函数btrnode<T>* pib(string preod, string inod); //前序中序构造二叉树的算法int num0(btrnode<T>* root); //求度为0的结点的个数int num1(btrnode<T>* root); //求度为1的结点的个数int num2(btrnode<T>* root); //求度为2的结点的个数int btrhigh(btrnode<T>* root); //求树的的高度int btrwidth(btrnode<T>* root); //求树的宽度btrnode<T>* max(btrnode<T>* root); //二叉树中个结点最大元素的值void change(btrnode<T>* root); //交换每个结点的左右孩子void del(btrnode<T>* &root); //删除所有叶子节点void preorder(btrnode<T>* root);void visit(btrnode<T>* cur);};//先序、中序构造二叉树递归算法template <class T>btrnode<T>* btr<T>::pib(string preod, string inod)// 是二叉树结点个数{string p, q, m, n;int i = 0;btrnode<char>* tmp = new btrnode<char>; //？？？？？？？？为什么直接构造无法赋值成功？？？？？？？？？tmp->element = preod[0];for (; inod[i] != preod[0]; i++);if (preod == "" || inod == "")return NULL;p = preod.substr(1, i);q = inod.substr(0, i);m = preod.substr(i + 1);n = inod.substr(i + 1);tmp->lchild = pib(p, q);tmp->rchild = pib(m, n);return tmp;}//求度为0的结点的个数template <class T>int btr<T>::num0(btrnode<T>* root){int n ,m,sum=0 ;btrnode<T>* pointer = root;if (pointer){if (pointer->lchild == NULL && pointer->rchild == NULL)sum++;n = num0(pointer->lchild);sum += n;m = num0(pointer->rchild);sum += m;}return sum;}//求度为1的结点的个数template <class T>int btr<T>::num1(btrnode<T>* root){int n, m, sum = 0;btrnode<T>* pointer = root;if (pointer){if ((pointer->lchild == NULL && pointer->rchild != NULL) || (pointer->rchild == NULL && pointer->lchild != NULL))sum++;n = num1(pointer->lchild);sum += n;m = num1(pointer->rchild);sum += m;}return sum;}//求度为2的结点的个数template <class T>int btr<T>::num2(btrnode<T>* root){int n, m, sum = 0;btrnode<T>* pointer = root;if (pointer){if (pointer->lchild != NULL && pointer->rchild != NULL) sum++;n = num2(pointer->lchild);sum += n;m = num2(pointer->rchild);sum += m;}return sum;}//求树的的高度template <class T>int btr<T>::btrhigh(btrnode<T>* root){btrnode<T>* pointer = root;int m, n, max;if (pointer == NULL)return 0;m = btrhigh(pointer->lchild);n = btrhigh(pointer->rchild);max = 1 + (m > n ? m : n);return max;}//求树的宽度template <class T>int btr<T>::btrwidth(btrnode<T>* root){int cur, max = 0;btrnode<T> *pointer = root;queue<btrnode<T> *> nqueue1 , nqueue2;if (pointer == NULL)return 0;nqueue1.push(pointer);while (!nqueue1.empty()){cur = 0;while (!nqueue1.empty()){cur++;pointer = nqueue1.front();nqueue1.pop();if (pointer->lchild != NULL)nqueue2.push(pointer->lchild);if (pointer->rchild != NULL)nqueue2.push(pointer->rchild);}max = (max > cur ? max : cur);while (!nqueue2.empty()){nqueue1.push(nqueue2.front());nqueue2.pop();}}return max;}/*//求树的宽度template <class T>int btr<T>::btrwidth(btrnode<T>* root){int n, m, sum = 0;btrnode<T>* pointer = root;if (pointer){sum = 1;n = btrwidth(pointer->lchild);m = btrwidth(pointer->rchild);}return sum;}*///二叉树中个结点最大元素的值template <class T>btrnode<T>* btr<T>::max(btrnode<T>* root) {btrnode<T>* pointer = root;btrnode<T> *tmp, *tmpl, *tmpr;if (pointer == NULL)return NULL;tmpl = max(pointer->lchild);tmpr = max(pointer->rchild);if (tmpl == NULL && tmpr == NULL)tmp = pointer;else{if (tmpl != NULL && tmpr == NULL)tmp = tmpl;else if (tmpl == NULL && tmpr != NULL)tmp = tmpr;elsetmp = (tmpl->element > tmpr->element ? tmpl : tmpr); tmp = (tmp->element > pointer->element ? tmp : pointer); }return tmp;}//删除所有叶子节点template <class T>void btr<T>::del(btrnode<T>* &root){if (root == NULL)return ;if (root->lchild == NULL && root->rchild == NULL){ delete root;root = NULL;return;}del(root->lchild);del(root->rchild);}//交换每个结点的左右孩子template <class T>void btr<T>::change(btrnode<T>* root){btrnode<T>* tmp;btrnode<T>* pointer = root;if (pointer){tmp = pointer->lchild;pointer->lchild = pointer->rchild;pointer->rchild = tmp;}elsereturn;change(pointer->lchild);change(pointer->rchild);}//前序遍历template <class T>void btr<T>::preorder(btrnode<T>* root){if (root != NULL){visit(root); //处理根结点preorder(root->lchild);preorder(root->rchild);}}template <class T>void btr<T>::visit(btrnode<T>* cur){cout << cur->element << " ";}int main(){string a, b;btr<char> c;btrnode<char>* root,*tmp;int n;cout << "分别输入先序序列、和中序序列：";cin >> a;cin >> b;root = c.pib(a, b);n = c.num0(root);cout << "度为0的结点个数: " << n << endl;n = c.num1(root);cout << "度为1的结点个数: " << n << endl;n = c.num2(root);cout << "度为2的结点个数: " << n << endl;n = c.btrhigh(root);cout << "树的高度为: " << n << endl;n = c.btrwidth(root);cout << "树的宽度为: " << n << endl;tmp = c.max(root);cout << "最大元素值为" << tmp->element << endl;c.change(root);c.preorder(root);cout << endl;c.del(root);c.preorder(root);return 0;}。