第一章—信号与系统的基本概念(最新)
第一章信号与系统的基本概念
第一章信号与系统的基本
概念
1.0 引言
1.1 信号与系统的基本概念
1.4 信号的运算与自变量变换
1.5 系统描述
1.6 系统的基本性质
1.4 信号的运算与自变量变换
普通函数和奇异函数
例
R(
基本运算
直流分量和交流分量
奇信号、偶信号
连续时间信号x(t)偶信号
奇信号
偶部分x 奇部分
x
1.4.2自变量变换
1.时移
2.反转
信号以n=0 (
3.尺度变换
自变量变换：
线性扩展线性压缩
时间上的反转时间上的移位
仍旧保持
的形状
)x )
离散信号的坐标变换
离散信号的坐标变换
1. 5 系统描述
一阶线性微分方程
串联、并联、串/并联、反馈
1.串联
2.并联
3.串/并联
4.反馈
1. 6系统的基本性质
◆线性系统和非线性系统
◆增量线性系统
时变系统和时不变系统
叠加性齐次性
增量线性系统—响应对输入的变化是线性的
时变系统和时不变系统
时不变系统：系统的行为不随时间而变。
第一章 信号与系统的基本概念
取样 时域：信号分解为单位脉冲序列的线 性组合 离散信号 频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合 复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
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绪
5.系统分析的主要内容
论
输入输出描述法：N阶微分方程
系统的描述 连续系统 系 统 分 析
状态空间描述：N个一阶微分方程组
r (t ) e(t ) * h(t ) 时域： 频域：R ( j ) E ( j ) H ( j ) 复频域： R ( s) E ( s) H ( s)
2(t)，能量 E
4. 能量信号与功率信号
信号的瞬时功率p(t)=f
1
f (t )dt
T 2 T
。
归一化能量E 与 归一化功率P 的计算
E lim f (t )dt
T 2 T T
1 T 2 P lim f (t )dt T T 2T
1）能量信号：0E+ ，P0 2）功率信号：E + ， 0P+ 直流信号与周期信号都是功率信号。 注意: 一个信号，不可能既是能量信号又是功率信号。
zs
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绪
论
6.信号与系统之间的关系
信号与系统是相互依存的整体。
1） 信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，
离开系统没有孤立存在的信号；
2） 系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与 处理，没有信号的系统就没有存在的意义。
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绪
控制 电 类
信号处理 信号检测 计算机等 非电类:
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1.1
信号的描述、分类和典型示例
3.连续时间信号与离散时间信号
信号与系统的基本概念
为初相位。
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1.4 几种常见信号
2） 衰减正弦信号为：
Ket sin t
f (t)
t0
3． 复指数信号
0
t0
复指数函数表达式为： f (t) Kest
Ke t cos t ຫໍສະໝຸດ Ket sin t ( t )第1章 信号与系统的基本概念
1.1 引言 1.2 信号 1.3 信号的基本运算 1.4 几种常见信号 1.5 系统的描述 1.6 系统的性质 1.7 LTI系统分析方法
1.1 引言
在各种领域中信号与系统的概念出现的极为广泛，而与其相关 的分析思想和分析方法在很多科学技术领域起着很重要的作用。一 般将语言、文字、图像或数据统称为消息；而信号是指消息的表现 形式与传送载体；信息指消息中赋予人们的新知识、新概念等。电 信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。总之， 信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传送内容。 系统（SYSTEM）指由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成 的，具有稳定功能的整体。系统可以看作是变换器、处理器。电系 统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是完成某种功能， 如微分、积分、放大，也可以叫系统。
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1.4 几种常见信号
5． 欧拉公式与三角函数的关系 欧拉(Euler)公式
则三角函数可表示为
cos e j e j
2
sin e j e j
2j
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1.5 系统的描述
1.5.1 系统的数学模型
当系统的激励是连续信号时，若其响应也是连续信号，则称其 为连续系统。当系统的激励是离散信号时，若其响应也是离散信号， 则称其为离散系统。连续系统与离散系统常组合使用，可成为混合 系统。
信号与系统基本概念
(1)
o t0
t
(t)(t
t0 )dt 0, (t
1 t0 )
31
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于
t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性
41
系统方框图（基本元件）
1.加法器 e1t
r t
e1t r t
2.乘法器
e2 t e1 t
e2 t
e2t rt e1t e2 t
r t
rt e1t e2 t
3.微分器
et
d
r t
d
rt de(t)
dt
4.积分器
et
rt
t
r(t) e( )d
42
§1.6 线性时不变系统
线性系统与非线性系统
线性系统：指具有线性特性的系统。
线性:指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
et rt ket krt
叠加性：
e1(t ) e2 (t )
r1 r2
(t) (t )
e1(t )
e2
(t)
r1(t )
r2
(t
)
43
判断方法
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
若 HC1 f1t C2 f2t C1H f1t C2H f2t
(t)具有筛选f (t)在t 0处函数值的性质 (t t0 )具有筛选f (t)在t t0处函数值的性质 33
奇偶性
(t) (t)
•由定义2，矩形脉冲本身是偶函数，故极限
信号与系统第1章信号与系统的基本概念
2 1
s
2
3rad / s,T2
2 2
2
3
2
3
s
(2) 同理，可先求得f2(t)中两个周期信号cos2t和sinπt的周期 分别为
T1 s
T2 2s
第 1 章 信号与系统的基本概念 4.
若将信号f(t)设为电压或电流，则加载在单位电阻上产生
的瞬时功率为|f(t)|2，在一定的时间区间 , 内 会 消 耗 一
1.3-1
第 1 章 信号与系统的基本概念 图 连 续 信 号 的 相 加 和 相 乘
第 1 章 信号与系统的基f1(k) 本概念
1
－3－2－10 1 2 3 4 5 6
k
图
f2(k )
1
1.3-2
－3－2－1
0 12345
k
离
－1
散
信
f1(k )＋f2(k )
号
2
的
相
1
加
－3－2－1
0 12345
任何信号通过系统时都伴随着一定能量或功率的传输， 表明信号具有能量或功率特性。前面在时间域上定义了信号的 能量和功率， 实际上信号的能量和功率也可以在频率域定义。 它们随频率分布的关系称为信号的能量谱和功率谱。
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.3 信号的基本运算
1.3.1 相加和相乘
两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号 在该时刻的信号值之和。两个信号相乘，其积信号在任意时刻 的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积。
第 1 章 信号与系统的基本概念
在工程应用中，常常把幅值可连续取值的连续信号称为 模拟信号 (如图1.1- 2(a))；把幅值可连续取值的离散信号称为 抽样信号 (如图1.1-3(a))；而把幅值只能取某些规定数值的离 散信号称为数字信号 (如图1.1-3(c))。
第一章 信号与系统的基本概念
将f (t)(t)向左移
0
t0
t
t0 0
t
符号函数和抽样函数
sgn( t )
符号函数
sgn( t )
1
t 0
1
0 1
1
t0
t
Sgn(t)是奇函数，可以表示成：sgn(t)= -1 +2(t)= (t)-(-t)
抽样函数
sin t Sa (t ) t Sa(t)是偶函数，Sa(0)=1 t = n 时，Sa(t)=0, t 时， Sa(t)0
f (t0 ) (t )dt f (t0 )
例 2
下列各表达式中错误的是______。 B
( A) (t ) (t )
( B) (t t0 ) (t0 t )
(C ) ( D)
( B) (t t0 ) (t0 t )
0
t
加权特性
f (t ) (t ) f (0) (t ); f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
取样特性
f (t ) (t t0 ) dt f (t0 ) f (t ) (t ) dt f (0)
是冲激函数的 严格的数学定义。
任何偶函数的导数为奇函数。
f (t)(t)的意义
(t f (t ) (t ) t0 )
f (t )t(0t ) (t t0 )
将f (t)(t)向右移
0
t0
t
f (t)乘门函数， 只保留门内的值
0
t0
f (t )t(0t) (t t0 )
t
f (t )[ (t ) (t t0 )]
《信号与系统》第一章
学习目标
1
掌握信号与系统的基本概念、性质和分类，理解 信号与系统在信息传输、处理和应用中的重要地 位和作用。
2
掌握信号的描述和分析方法，包括时域和频域分 析，理括线性时不变系 统和线性时变系统，理解系统的基本特性、分析 和设计方法。
02
系统的基本概念和分类
阐述了系统的基本概念，系统分类（如线性时不变系统、非线性系统 、离散系统等），以及系统的描述方法。
信号与系统在通信工程中的应用
讨论了信号与系统在通信工程中的重要性，如调制解调、频分复用等 。
信号与系统在控制工程中的应用
探讨了信号与系统在控制工程中的应用，如PID控制器、控制系统稳 定性分析等。
下章预告
傅里叶变换
介绍傅里叶变换的定义、性质 及其在信号处理中的应用。
系统的状态变量分析
通过状态变量法对线性时不变系统 进行分析，包括状态方程的建立、 解法以及系统的稳定性分析。
拉普拉斯变换与Z变换
介绍拉普拉斯变换和Z变换的定 义、性质及其在连续系统和离 散系统分析中的应用。
系统的能控性和能观性
介绍能控性和能观性的概念、 判据以及其在控制系统设计中 的应用。
02
在实际应用中，需要根据具体需求和场景，选择合适的系统和信号处理方法， 以达到最佳的处理效果。
03
深入研究和理解信号与系统之间的相互作用关系，有助于更好地应用信号处理 技术，推动相关领域的发展和创新。
05
CATALOGUE
总结与展望
本章总结
信号的基本概念和分类
介绍了信号的基本概念、信号的分类（如连续信号、离散信号、周期 信号、非周期信号等）以及信号的表示方法。
CATALOGUE
信号的基本概念
信号与系统第1章总结
第一章：信号与系统的基本概念1.1 信号的基本概念一、什么是信号信号是信息的表现形式。
例如，光信号、声信号和电信号等。
二、信号的分类1、确定性信号和随机信号()f t 确定性信号有确定的函数表达式2、周期信号和非周期信号f(t)=f(t+kT) k=1,2,3...周期信号3、连续时间信号和非连续时间信号时间t 连续的是连续时间信号，时间变量t 只取特定值的为离散时间信号4、有始信号和无始信号0t t <若，0()0,f t t =为起始点三、典型的连续时间信号1、正旋信号21()cos(),,,2f t A wt T f w f w T πϕπ=+===AMFMPM A w ϕ不为常数，调幅信号不为常数，调频信号不为常数，调相信号欧拉公式：cos 2sin 2j j e e j j ee jθθθθθθ-+--=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=2、指数信号为实数αα,)(t ke t f =3、复指数信号（一种数学模型）(),st f t ke s jw δ==+4、抽样信号sin (),a ts t t t =-∞<<∞性质1、偶函数，随着t 的增大，幅值减小0sin 2()lim 1a x tt t →==性质：t=0,s3sin 0,1, 2...t t k k π=⇒==±±性质：过零点1.2 信号的运算一、信号的时域变换1、平移（时移）000()()()()()()f t f t t f t f t t f t f t t =±→-→+右移，左移2、反转以纵轴为中心，左右反转()()f t f t =-t 3、展缩{011,()(),a a f t f at <<>=，扩展压缩二、信号的相加、相乘、微分和积分1、相加：对应点相加2、相乘：主要用于信号的截取3、微分：t 4∞、积分：指(-,0)上积分t-(),f d t ττ∞⎰为变量t<0()0t 1()t>1()1t t t f d f d tf d ττττττ-∞-∞-∞=<<==⎰⎰⎰当时，当0时，当时，1.3 奇异信号----------------------------------------------------一种数学模型信号的取值或导数出现了奇异值（极大），趋于无穷一、单位阶跃信号{0,01,0()t t t ε<>=t因果信号{0,0(),0()()t f t t f t t ε<>=二、单位冲击信号----------------也是一种数学模型作用时间极短，但幅值极大{()0,0()1,1t t t dt δδ+∞-∞=∀≠=⎰即冲激强度为性质1：抽样性0000001.()()(0)()2.()()(0)()3.()()(0)()(0)4.()()()()()t t t t f t t f t f t t t f t t f t t d f t d f f t t t d f t t t d f t δδδδδδδδ+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞=-=-==-=-=⎰⎰⎰⎰性质2：卷积特性1212()()()()()f t f t f t f f t d τττ+∞-∞=*=-⎰0005.()()()()()6.()()()()()f t t f t d f t f t t t f t t d f t t ττδτδτδτδτ+∞-∞+∞-∞*=-=*-=--=-⎰⎰注：一个信号与冲激信号的卷积就是信号本身三、阶跃、冲激信号的关系 {0,01,0()()()()t t t d t d t t dt δττεεδ<-∞>===⎧⎰⎨⎩注：阶跃信号求导即为冲激信号1.4 信号分解为冲激信号的叠加1.5系统及分类一、分类1.连续时间系统：微分方程离散时间系统：差分方程2.线性系统：叠加性、齐次性f(t)→系统→y(t) kf(t)→系统 →ky(t)f1(t)+f2(t)→系统→y1(t)+y2(t)当齐次和叠加只要有一个不满足则是非线性的3.因果系统：响应不早于激励非因果系统4.时变系统是不变系统：输入输出都做相应的变化，并不随时间变化二、线性时不变系统（LTI 系统）性质1：线性、齐次性、叠加性Yzi(t):零输入响应，外部激励为0，仅在初始状态作用下的响应 Yzs(t):零状态响应，仅在外部激励作用下的响应性质2：是不变性性质3：微分、积分性f(t)→系统→y(t)()y ()f t t ''→→系统t -()()tf t dt y t dt-∞∞→→⎰⎰系统 性质4：因果性。
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信号处理基础 1.4 基本的连续信号与离散信号
1, 基本的连续信号 , 典型信号 指数信号 复指数信号 正弦信号 抽样信号 号 奇异信号 单位阶跃信号和符号 函数 斜变信号 单位冲激和冲激偶信
信号处理基础 指数信号
指数信号定义为: 指数信号定义为: x ( t ) = Ae at ,其中 A 和 a 为实数. 为实数.
2π
ω
)] = sin[ω ( n + mN )]
,
为有理数时,正弦序列为周期信号, 1)当 2π / ω 为有理数时,正弦序列为周期信号,周期为 2π 为整数的最小整数. 为整数时,周期为 其中M M 为整数时,ω N = 取使N为整数的最小整数.当 2π / ω 2π 为无理数时,正弦序列为非周期序列. N= 2)当 为无理数时,正弦序列为非周期序列.
信号处理基础
4,能量信号与功率信号 施加于1 电阻上, 将信号f (t)施加于 电阻上,它所消耗瞬时功率
2 为| f (t ) |,在区间 (–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为 的能量和平均功率定义为
1)信号的能量 )信号的能量E 2)信号的功率P )信号的功率
E = ∫ f (t ) dt
∞
∞
信号处理基础 1.2 信号的描述
电信号的基本形式: 电信号的基本形式:随时间变化的电压或电流 描述信号的常用方法: 描述信号的常用方法: (1)表示为时间的函数 信号的图形表示——波形 (2)信号的图形表示 波形 例:单边指数信号
0 f (t ) = at e a>0 t<0 t≥0
0 t 1
信号处理基础
相应的,对于离散信号也有能量信号, 离散信号也有能量信号 相应的 , 对于 离散信号 也有能量信号 , 功率信 号之分: 号之分: 满足 E =
n = ∞
∑
∞
f ( n ) < ∞ 的离散信号,称为能量信号 的离散信号,
2
1 lim 满足 P = N →∞ N 率信号
n= N / 2
∑
信号处理基础 奇异信号
奇异信号指本身 , 奇异信号 指本身, 其导数或其积分有不连续点 指本身 的函数. 的函数. 斜变信号 单位阶跃信号 符号函数 单位冲激信号 冲激偶信号
信号处理基础 斜变信号
斜变信号- 斜变信号-斜坡信号 t ≥ 0, R (t ) = t t < 0, R (t ) = 0
不能用确定时间函数表示的信号, 不能用确定时间函数表示的信号 , 且在任意时刻的取值都具有不确定 只可能知道它的统计特性, 性 , 只可能知道它的统计特性 , 如 在某时刻取某一数值的概率, 在某时刻取某一数值的概率 , 这类 信号称为随机信号或不确定信号. 信号称为随机信号或不确定信号 . 电子系统中的起伏热噪声, 电子系统中的起伏热噪声 , 雷电干 扰信号就是两种典型的随机信号. 扰信号就是两种典型的随机信号.
R (t )
信号处理基础 单位阶跃信号
0 u (t ) = 1
u(t)
t < 0 t > 0
1
t
信号处理基础 单位阶跃信号性质
1
G (t )
1)与矩形脉冲的关系 )
G(t) = u(t) u(t τ )
0
τ
t
2)可以方便的表示某些信号 )
f (t ) = 2u (t ) 3u (t 1) + u (t 2)
信号处理基础
f (t ) = sin ω t u(t )
值域连续 0 连续时间信号 t 0
f(t)
值域不连续 t
连续时间信号(可包含不连续点) 连续时间信号(可包含不连续点)
f (n)
f(n)
(2) (1) (1)
0
12 345
n
0
1 2 3 4
n
离散时间信号
离散时间信号
信号处理基础
3,周期信号与非周期信号
信号处理基础
f(t)
t1
t2
* 时限信号 ( 仅在有限 时限信号( 时间区间不为零的信号) 时间区间不为零的信号 ) 为能量信号
f(t)存在于有限时间内
f(t)
周期信号
* 周期信号属于功率信 号,而非周期信号可能 是能量信号,也可能是 功率信号.有些信号既 不是属于能量信号也不 属于功率信号, 属于功率信号,如 f(t)=et
研究确定信号是研究随机信号的基础. 研究确定信号是研究随机信号的基础.本课程只 讨论确定信号. 讨论确定信号.
信号处理基础
2,连续时间信号与离散时间信号
连续时间信号 信号 离散时间信号 仅在一些离散的瞬间才有定义 的信号, 简称离散信号. 的信号 , 简称离散信号 . 这里 的离散指信号定义域—时间是 的离散指信号定义域 时间是 离散的, 离散的 , 它只在某些规定的离 散瞬间给出函数值, 散瞬间给出函数值 , 其余时间 无定义. 无定义. 在连续的时间范围内有定义的 信号, 简称连续信号. 信号 , 简称连续信号 . 这里的 连续指信号定义域—时间是连 连续指信号定义域 时间是连 续的,但可含间断点. 续的,但可含间断点.
2π / ω
ω
信号处理基础
判断下列信号是否为周期信号, 例:判断下列信号是否为周期信号,若是,确定其周期. 判断下列信号是否为周期信号 若是,确定其周期. (1)f1(n) = sin(3πn/4) + cos(πn/2) (2)f2(n) = cos(2n) ) ) 数字角频率为ω 解:(1) sin(3πn/4) 数字角频率为 1= 3π/4 rad, 2π/ ω1= 8/3为有 , 为有 理数,因而sin(3πn/4)为周期信号,周期为 1= 8. 理数,因而 为周期信号 周期为N . cos(πn/2)的数字角频率为 2=π/2 rad, 2π/ ω2= 4为整数, 的数字角频率为ω 为整数, 的数字角频率为 , 为整数 因而cos(πn/2)为周期信号,周期为 N2= 4. 因而 为周期信号 . 故f1(n) 为周期信号,其周期为N1和N2的最小公倍数8. 为周期信号,其周期为 的最小公倍数 . (2) cos(2n)的数字角频率为 1=2 rad, 2π/ω1= π为无理数, 的数字角频率为ω 为无理数, 的数字角频率为 , 为非周期信号. 故f2(n) 为非周期信号.
特点: 特点:该信号的微分和积分运算后所得信 号仍是指数信号. 号仍是指数信号.
信号处理基础
指数信号图示
α >0
α <0
α =0
信号处理基础
复指数信号 函数表示式为: 函数表示式为:
f (t ) = Ae
( α + j 0 ) t
由欧拉公式,可得 由欧拉公式,可得:
f (t ) = Aeαt [cos( 0t ) + j sin( 0t )]
上式表明, 上式表明 , 复指数信号由实部信号和虚部信号组 实部包含余弦信号,虚部包含正弦信号, 表 成.实部包含余弦信号,虚部包含正弦信号,α表 征了正弦信号和余弦信号振幅随时间变化的情况. 征了正弦信号和余弦信号振幅随时间变化的情况 .
信号处理基础 正弦信号
正弦信号定义为: 正弦信号定义为: x(t ) = C sin( t + θ ) ,C为实数 2π 为周期信号, 为周期信号,且周期为 T = .
信号处理基础
是否为周期信号,若是, 例:判断正弦序列f (n) = sin(ωn)是否为周期信号,若是,确 判断正弦序列 定其周期. 定其周期. 解:
f ( n) = sin(ωn ) = sin(ωn + 2mπ ),m = 0,±1,±2,...
= sin[ω ( n + m
由上式可见: 由上式可见:
■
周期信号是定义在( 区间, 周期信号是定义在 (-∞ , ∞ ) 区间 , 每隔一定时 按相同规律重复变化的信号. 间T (或整数N),按相同规律重复变化的信号.
f(t) = f(t + mT),m = 0,±1,±2,… , ± ±
* 连续周期信号f(t)满足 满足: * 离散周期信号f(n)满足 满足:
f(n) = f(n + mN),m = 0,±1,±2,… , ± ±
满足上述关系的最小 T( 或整数 N ) 称为该信号的 周期. 周期.
■
不具有周期性的信号称为非周期信号. 不具有周期性的信号称为非周期信号.
信号处理基础
信号处理基础
判断下列信号是否为周期信号, 例:判断下列信号是否为周期信号,若是,确定其周期. 判断下列信号是否为周期信号 若是,确定其周期. (1)f1(t) = sin2t + cos3t (2)f2(t) = cos2t + sinπt ) ) 两个周期信号x(t), 的周期分别为 的周期分别为T 解: 两个周期信号 ,y(t)的周期分别为 1和 T2,若其周期之 为有理数,则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号,其周期 仍然是周期信号, 比T1/T2为有理数,则其和信号 仍然是周期信号 的最小公倍数. 为T1和T2的最小公倍数. (1) sin2t是周期信号,其角频率和周期分别为 是周期信号, 是周期信号 1= 2 rad/s , T1= 2π/ 1= πs cos3t是周期信号,其角频率和周期分别为 是周期信号, 是周期信号 2= 3 rad/s , T2= 2π/ 2= (2π/3) s 由于T 为有理数, 为周期信号, 由于 1/T2= 3/2为有理数,故f1(t)为周期信号,其周期为 1和T2的 为有理数 为周期信号 其周期为T 最小公倍数2π. 最小公倍数 . (2) cos2t和sinπt的周期分别为 1=πs,T2= 2s,由于T1/T2为无理 和 的周期分别为T , ,由于 的周期分别为 为非周期信号. 数,故f2(t)为非周期信号. 为非周期信号