幂函数知识点

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幂函数知识点

幂函数知识要点一．定义：形如y=x a（是常数）的函数，叫幂函数。

二．图象幂函数的图象和性质；由d取值不同而变化，如图如示：三．幂函数的性质：n>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1)(2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大n<0时,(1)图象都通过(1，1）(2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。

注意事项：1．判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”2．根据幂函数的定义域，值域及指数特点画其图象。

函数位于第一象限的图象在“n>1”时，往上翘；0<n<1,往右拐;n<0向下滑。

四．例析：分析：底数分别不同而指数相同，可以看作是和。

两个幂函数，利用幂函数的单调性质去理解。

解：(1)(0,+∞)是递增的又∵1.1<1.4 ∴利用幂函数的性质比较数的大小。

例3．比较的大小。

分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。

启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，1或其他数来解决。

分析：在指数运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法合成。

启示：此处化简过程可与初中代数式的运算联系。

五．自测题：1.计算的值（）2．下列命题中正确的是（）A.当n=0时，函数y=x n的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x n的图象关于原点对称，则y=x n在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限3．实数a,b满足0<c<b<1,则下列不等式正确的是（）A．a b<ba B．a-b<b-b C．a-a<b-b D．b b<a a4．在幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在第1象限的图象中(右图)，的大小关系为（）A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>aD．b>c>d>a5．下列函数中是幂函数的是）6．设幂函数y=x n的图象经过(8,4)，则函数y=x n的值域为_______。

高三数学幂函数知识点

高三数学幂函数知识点幂函数是数学中的一种函数形式，它的特点是自变量的指数是固定的，依次增大或减小。

在高三数学中，幂函数是一个重要的知识点，它与指数函数密切相关，并且在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍高三数学中幂函数的定义、性质以及解题方法等知识点。

1. 幂函数的定义幂函数是指具有如下形式的函数：y = a^x，其中a为正数，且不等于1。

在幂函数中，a被称为底数，x为指数。

2. 幂函数的性质（1）定义域与值域：对于幂函数y = a^x，当底数a > 1时，定义域为实数集R，值域为正实数集R+。

当0 < a < 1时，定义域为实数集R，值域为(0, 1)。

（2）增减性：当底数a > 1时，幂函数y = a^x是递增函数；当0 < a < 1时，幂函数y = a^x是递减函数。

（3）奇偶性：当底数a > 1时，幂函数y = a^x是奇函数；当0 < a < 1时，幂函数y = a^x是偶函数。

（4）对称轴：幂函数y = a^x在y轴上有对称轴。

（5）与指数函数的关系：幂函数和指数函数是互为反函数的关系，即幂函数y = a^x和指数函数y = loga(x)互为反函数。

3. 幂函数的图像幂函数的图像形状与底数a的大小有关。

当底数a > 1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而迅速上升；当0 < a < 1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而迅速下降。

4. 幂函数的应用幂函数在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：（1）物理学上，很多物理现象的变化规律可以用幂函数来描述，比如弹簧的弹力、电路中电流随时间的变化等。

（2）经济学中，幂函数可以表示一些经济指标的增长模式，比如人口增长、GDP增长等。

（3）统计学中，幂函数可以用来拟合一些自然现象的分布规律，比如城市中人口数量、物种的种群分布等。

5. 幂函数的解题方法在解题过程中，一般需要根据题目给出的条件，确定底数a的取值范围，并利用幂函数的性质进行计算。

高考数学知识点幂函数知识点总结

高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。

它在求解各类问题中具有广泛的应用。

本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。

一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。

2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。

3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。

二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。

由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。

2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。

具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。

3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。

具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。

4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。

幂函数知识点

幂函数知识点1. 幂函数的定义幂函数是一种特殊的函数，其形式为f(x) = ax^b，其中a 和b都是实数，且a不等于0。

在幂函数中，x是自变量，b 是幂指数，a是幂函数的系数。

2. 幂函数的图像根据幂函数的定义，可以推断出幂函数的图像特征： - 当幂指数b为正数时，幂函数呈现上升趋势。

当x趋近于无穷大时，幂函数的值也趋近于无穷大；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于零。

- 当幂指数b为负数时，幂函数呈现下降趋势。

当x趋近于无穷大时，幂函数的值趋近于零；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于无穷大。

- 当幂指数b为零时，幂函数为常数函数，图像为一条水平直线。

3. 幂函数的性质幂函数具有以下性质： - 幂函数的定义域为实数集，值域依赖于a的正负性质。

- 幂函数在定义域上是连续的。

- 当幂指数b为正偶数时，幂函数的值始终为正数。

- 当幂指数b为正奇数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a 的正负性。

- 当幂指数b为负数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a的正负性。

- 幂函数在x=0处存在一个驻点，即当x=0时，幂函数的导数为0。

- 当b>0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而增加；当b<0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而减小。

4. 幂函数的应用幂函数在数学和物理中有广泛的应用，例如： - 在生物学中，幂函数常被用来描述生物体量和身高的关系，以及种群增长和资源利用的关系。

- 在经济学中，幂函数常被用来描述产出与投入的关系，以及利润与销售量的关系。

- 在物理学中，幂函数常被用来描述力与位移的关系，以及电力消耗与电流的关系。

5. 幂函数的求导根据幂函数的定义，我们可以得出幂函数的导数公式： - 对于f(x) = ax^b，其中a不等于0且b不等于0，幂函数的导数为f’(x) = abx^(b-1)。

其中b-1为幂指数减一。

在求幂函数的导数时，需要注意幂指数b的取值范围，以及系数a的正负性。

幂函数知识点

幂函数1.幂函数：一般地，形如y=x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.要准确理解幂函数的定义，注意以下四点：（1）幂函数具有严格的形式，形如 y=mx a， y=（mx）a， y=x a+m，y=（x+m）a（以上m均为不等于零的常数，且前两个函数中的m也不等于1）的函数都不是幂函数，二次函数中只有y=x2是幂函数，其他的二次函数都不是幂函数，幂函数y=x a要满足三个特征：○1幂x a前的系数是1；○2底数只能是自变量x，指数是常数；○3项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数；（2）求函数解析式时，若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法设函数为f（x）=x a，根据条件求出a即可.（3）不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量.当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识解决.2.幂函数在第一象限的图象：幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性做出．α＝n／m (其中m∈N*，n∈Z且m，n互质)．(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称．(3)当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限．3.幂函数当α＝1,2,3，0.5，－1时的图象与性质．(1)图象(如图所示)(2)性质(如表)4.幂函数的性质：(1)所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图像都通过点（1,1）；(2)如果a＞0，则幂函数的图像过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数；(3)如果a＜0，则幂函数的图像在区间（0，+∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于零时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x趋向于无穷大时，图像在x轴上方无限逼近x轴；（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数.(5)①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，y=x a表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1))5.幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数y=x a的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数y=x a的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数y=x a的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

数学高考知识点幂函数

数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。

在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。

一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。

2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。

当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。

3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。

4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。

二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。

这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。

2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。

这一性质在求解极限时常常会被用到。

3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。

例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。

三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。

2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。

在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。

幂函数知识点总结自己

幂函数知识点总结自己一、幂函数的定义幂函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为实数且不等于1。

当a大于1时，幂函数是增函数；当a小于1且大于0时，幂函数是减函数；当a小于0时，幂函数的定义域依赖于指数x的奇偶性，当x为偶数时，a^x为正数，当x为奇数时，a^x为负数。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有实数，值域为正实数或所有实数。

2. 奇偶性：当a为正数时，幂函数为偶函数；当a为负数时，幂函数为奇函数。

3. 单调性：当a大于1时，幂函数是增函数；当0小于a小于1时，幂函数是减函数。

4. 渐近线：幂函数的渐近线为直线y=0。

5. 对称轴：当a为1时，幂函数的对称轴为y轴。

6. 图像：当a大于1时，幂函数的图像向上开口，当0小于a小于1时，幂函数的图像向下开口。

三、幂函数与指数函数的关系幂函数可以看作是指数函数的逆函数。

如果f(x) = a^x，那么反函数为g(x) = log_a(x)，其中log_a(x)表示以a为底的对数函数。

幂函数和对数函数是互为反函数的关系。

四、幂函数的应用1. 在数学建模中，幂函数可以描述物质的生长和衰减过程，例如人口增长模型、经济增长模型等。

2. 物理学中，幂函数可以描述一些物理量随时间的变化规律，例如放射性物质的衰变过程、天体运动等。

3. 经济学中，幂函数可以描述一些经济指标随时间的变化规律，例如产业增长模型、市场需求模型等。

五、幂数学中幂函数的扩展在数学中，幂函数还可以扩展为带有幂指数的多项式函数，例如f(x) = ax^n，其中n为正整数。

这类函数也被称为幂函数，它在数学中有着重要的应用。

总之，幂函数在数学中是一个非常重要的函数，它的性质和应用都十分广泛。

掌握幂函数的定义、性质和应用对于深入理解数学和解决实际问题都具有重要意义。

希望本文的介绍对广大数学爱好者有所帮助。

幂函数知识点总结

幂函数知识点总结一、幂函数的基本概念1.1 定义幂函数是指以自变量 x 为底数的常数次幂，形式为 y = ax^n，其中 a 为非零实数，n 为实数。

其中，底数 a 称为幂函数的底数，指数 n 称为幂函数的指数。

1.2 定义域和值域幂函数的定义域为全体实数集 R，即 x 可以取任意实数值；而值域则受底数 a 和指数 n 的影响而不同。

当 n 为正数时，值域为全体正实数集 R^+；当 n 为负数时，值域为正实数集R^+，并且x ≠ 0；当 n 为零时，值域为全体实数集 R。

1.3 奇偶性当指数 n 为偶数时，幂函数关于 y 轴对称；当指数 n 为奇数时，幂函数关于原点对称。

1.4 增减性当指数 n 大于 1 时，幂函数在定义域上是增函数；当指数 n 大于 0 且小于 1 时，幂函数在定义域上是减函数。

二、幂函数图像的特点2.1 当底数 a 大于 1 时当底数 a 大于 1 时，幂函数的值域为正实数集 R^+。

图像呈现出从左下方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐上升并趋近于正无穷的趋势。

2.2 当底数 0 < a < 1 时当底数 0 < a < 1 时，幂函数的值域同样为正实数集 R^+。

图像呈现出从左下方无穷趋近于x 轴，经过原点后逐渐下降并趋近于 0 的趋势。

2.3 当底数 a 小于 0 时当底数 a 小于 0 时，则根据指数 n 的奇偶性和正负性来确定图像的性质。

当指数 n 为正偶数时，图像同样呈现出从左下方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐上升并趋近于正无穷的趋势；当指数 n 为正奇数时，图像同样呈现从左上方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐下降并趋近于负无穷的趋势。

2.4 特殊情况当底数 a 等于 1 时，幂函数的图像表现为一条平行于 x 轴的直线 y = 1；当底数 a 等于 -1 时，根据指数 n 的奇偶性不同，图像分别为一条平行于 x 轴的直线 y = -1 和关于 y 轴对称的抛物线。

幂函数运算知识点总结

幂函数运算知识点总结一、幂函数的定义幂函数是指数函数的一种特殊形式，其定义为f(x) = ax^n，其中a和n分别为实数且n为正整数。

幂函数的定义域为实数集合，值域为非负实数集合。

当n为偶数时，幂函数的图像呈现“上凸”的形状；当n为奇数时，幂函数的图像呈现“上凹”的形状。

二、幂函数的图像特点1. 当n为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凹，在第二象限和第四象限上凸。

2. 当n为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凸，在第二象限和第四象限上凹。

3. 当n为1时，幂函数的图像为直线y=ax，且通过原点。

三、幂函数的性质1、对任意实数a，b，c（a≠0,1）；n，m为正整数，有a^0=1,a^m*a^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^(mn),(a*b)^m=a^m*b^m,(a/b)^m=a^m/b^ma^m/a^n=a^(m-n)2、a≠0,1时，当0<a<1时，a^m叫做小于1的幂，a^(−m)=1/a^m；大于1的幂。

a^m>1, 当m>1时 a^m>1, 当m<1时 a^m <1.0^0=1,0^m=0 (m>0).四、幂函数的运算规律1. 幂函数与常数的乘积：y=kx^n(k为常数)，则y=kx^n是一条幂函数的图像，图像基本形状不变，只经过纵向压缩或纵向拉伸。

若k>1，则图像纵向压缩；若0<k<1，则图像纵向拉伸。

2. 幂函数的平移：若对f(x)=x^n加常数c，则其图像向上平移c个单位；若对f(x)=x^n减常数c，则其图像向下平移c个单位。

3. 幂函数的镜像：幂函数关于y轴对称时，原函数的图像将对称于y轴；幂函数关于x轴对称时，原函数图像将对称于x轴。

4. 幂函数的复合函数：将两个幂函数进行复合运算时，其结果仍为幂函数。

五、幂函数的求导幂函数的导数运算利用幂函数的性质和指数函数的导数运算法则，以及利用导数的乘法法则与链式法则。

总结幂函数的知识点

总结幂函数的知识点一、幂函数的定义幂函数的一般形式为f(x) = x^n，其中n是一个实数。

当n为正整数时，我们可以得到常见的幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等。

当n为负整数时，幂函数具有分式形式，如f(x) = 1/x、f(x) = 1/x^2等。

当n为分数时，幂函数的解析形式较为复杂，但与整数幂函数有着相似的性质。

总结来说，幂函数是一种以自变量x的幂次作为函数表达式的函数。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域幂函数的定义域通常为实数集R，除非n为分数并且分母为偶数时，此时幂函数的定义域为正实数集R+。

对于值域，当n为偶数时，幂函数的值域为非负实数集R+；当n为奇数时，幂函数的值域为全体实数集R。

2. 增减性和奇偶性当n为正数时，幂函数在整个定义域上是增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是减函数。

当n为偶数时，幂函数关于y轴对称；当n为奇数时，幂函数关于原点对称。

3. 渐近线当n>1时，幂函数的图像在y轴右侧有一条垂直渐近线x=0；当n<0时，幂函数的图像在y轴右侧也有一条垂直渐近线x=0。

4. 零点和极限对于n为正数的幂函数，它的零点是x=0；对于n为负数的幂函数，它在x=0处有一个无穷远点的极限。

5. 斜率和凹凸性幂函数的斜率函数为f'(x) = nx^(n-1)，在n>1时，斜率函数是一个正函数；在0<n<1时，斜率函数是一个负函数。

并且当n>2时，幂函数在定义域上为凸函数；当0<n<2时，幂函数在定义域上为凹函数。

三、幂函数的图像幂函数的图像可以通过手绘或利用计算机绘图工具制作。

常见的幂函数图像有以下几种特点：1. 当n>1时，幂函数的图像在第一象限上递增，图像呈现上升趋势；当0<n<1时，幂函数的图像在第一象限上递减，图像呈现下降趋势。

2. 当n为偶数时，幂函数的图像在第一、四象限上对称；当n为奇数时，幂函数的图像在整个平面上关于原点对称。

幂函数知识点

（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．例:1：下列关于幂函数的命题中不正确的是( )A 幂函数的图象都经过点(1,1)B 幂函数的图象不可能在第四象限内C 当nx y =的图象经过原点时,一定有n>0 D 若nx y =是奇函数,则nx y =在其定义域内一定是减函数例2：讨论()f x 在[0,)+∞的单调性. 解析：证明函数的单调性一般用定义法。

证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则21212121212121))(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-=++-=-=-，因为21x x <，021>+x x ，所以02121<+-x x x x ，所以)()(21x f x f <，即()f x =在[0,)+∞为增函数。

例3：利用单调性比较大小：（1）215与315 ；（2）223(2)a -+与232-；（3）1.19.0与8.02.1.关于指数式值的比较，主要有：①同底异指，用指数函数单调性比较；②异底同指，用幂函数单调性比较；③异底异指，构造中间量（同底或同指）进行比较。

幂函数知识点

幂函数知识点1. 幂函数定义幂函数是形如 \(y = x^n\) 的函数，其中 \(n\) 是实数。

当 \(n\) 为正整数时，幂函数的图像是一系列经过原点的点，且随着 \(n\) 的增加，曲线逐渐趋于平坦。

2. 幂函数的图像特征- 当 \(n > 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递增。

- 当 \(0 < n < 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递减。

- 当 \(n\) 为负整数时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内表现为周期函数，周期为 \(4\pi\)。

- 当 \(n = 0\) 时，函数退化为常数函数 \(y = 1\)。

3. 幂函数的性质- 奇次幂函数是奇函数，即 \(y(-x) = -y(x)\)。

- 偶次幂函数是偶函数，即 \(y(-x) = y(x)\)。

- 幂函数的导数是 \(y' = n \cdot x^{n-1}\)。

- 幂函数的积分是 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。

4. 幂函数的应用- 在物理学中，幂函数常用于描述物体的速度与加速度的关系。

- 在经济学中，幂函数可以用来模拟市场需求与价格的关系。

- 在工程学中，幂函数用于描述材料的强度与应力的关系。

5. 特殊幂函数- 指数函数 \(y = a^x\) 是幂函数的一种特殊形式，其中 \(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。

- 对数函数 \(y = \log_a x\) 也是幂函数的一种特殊形式，其中\(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。

6. 幂函数的运算法则- 幂的乘法：\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)- 幂的除法：\(x^m / x^n = x^{m-n}\)- 幂的幂：\((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)7. 幂函数的极限- 当 \(x \to 0\) 时，\(x^n\) 的极限取决于 \(n\) 的值。

高一数学幂函数知识点

高一数学幂函数知识点1.概念：y x α=（x 是自变量，α是常数）注意：（1）.只有形如y x α=（α为任意实数，x 为自变量）的函数才是幂函数，否则就不是；（2）.判断是否为幂函数的依据：y x α=①．指数为常数 ②. 底数为自变量 ③. 底数系数为1 如：()3,2,5,y x y x y x ααα===+等都不是幂函数.2.幂函数的图象按0,1,1,01,0ααααα==><<<五种类型分3.幂函数y x α=在第一象限图象特征（1）.当1α>时，图象过（0,0），（1,1），下凸递增，如3y x = （2）.当01α<<时，图象过（0,0），（1,1），上凸递增，如12y x =（3）.当0α<时，图象过（1,1），下凸递减，且以两坐标轴为渐近线.如12y x -= 4.幂函数的性质（1）.所有的幂函数在()0,+∞上都有意义，图象都过（1,1）. （2）.如果0α>，则幂函数过原点，在()0,+∞上单调递增.（3）.如果0α<，图象在()0,+∞上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴；当x 趋向于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴. （4）.①.当α为奇数时，幂函数为奇数 ②.当α为偶数时，幂函数为偶数 ③.当(),,pp q p q N qα+=∈为互质，时a. 若q 为奇数，则当p 为奇数时p q y x =为奇函数，当p 为偶数时p qy x =为偶函数 b. 若q 为偶数，则p 必为奇数，此时pqy x =为非奇非偶函数（5）.幂函数的定义域①.当N α+∈时，定义域为R ②.当0α=时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ③.当α为负整数时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ④.当(),,1,,pp q N q p q qα+=∈>且互质时 a. q 为偶数时，定义域为[)0,+∞ b. q 为奇数时，定义域为R ⑤.当()-,,1,,pp q N q p q qα+=∈>且互质时 a. q 为偶数，定义域为()0,+∞ b. q 为奇数，定义域为{}|,0x x R x ∈≠.。

数学高中幂函数知识点总结

数学高中幂函数知识点总结一、幂函数的定义幂函数是形如y = ax^b (a ≠ 0)的函数，其中a、b为常数且b为实数。

当b为自然数时，叫做指数函数；当b为整数时，叫做整数幂函数。

二、幂函数的基本性质1、幂函数的定义域：要求x的b次幂在任何实数范围内都有定义，即x∈R。

2、幂函数的值域：当b为正数时，a为正值时，y的取值范围是(0,+∞)；当b为正数时，a为负值时，y的取值范围是(-∞,0)；当b为负数时，函数图象经过第二象限，y的取值范围是(0,+∞)，a的正负对y的取值范围没有影响。

3、幂函数的奇偶性：b为偶数时，函数图象关于y轴对称；b为奇数时，函数图象关于原点对称。

4、幂函数的单调性：在定义域内，当b>0时，a>0时y随x增大而增大；当b>0时，a<0时y随x增大而减小。

5、幂函数的图象：a) b>0时，a>1时的函数图象是上凸的抛物线，a<1时的函数图象是下凸的抛物线；b) b<0时，a>0时的函数图象是一条破折线；c) b=1时，函数图像是一条直线。

6、幂函数的增长性：a) 当a>1，b>0时，y随x增大而增大；b) 当0<a<1，b>0时，y随x增大而减小；c) 当a>0，b<0时，y随x增大而减小。

三、幂函数的运算性质1、乘法运算：幂函数y=ax^m和y=bx^n的乘积是幂函数y=abx^(m+n)。

2、除法运算：幂函数y=ax^m和y=bx^n的商是幂函数y=(a/b)x^(m-n)。

(b≠0)3、幂函数的乘方：(ax^m)^n = a^nx^(m*n)。

四、幂函数的应用1、指数增长和指数衰减：指数增长是指幂函数的指数大于1且底数大于1时，函数值随自变量的增大而呈指数增长；指数衰减是指幂函数的指数大于1且底数小于1时，函数值随自变量的增大而呈指数衰减。

2、复利问题：利息的计算通过年限n^{'}m即可直接得到m*n倍经过以上的总结，我们对高中幂函数的相关知识有了更深入的了解。

幂函数知识点及题型归纳总结

幂函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、幂函数的定义一般地，函数()y x R αα=∈叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量x .二、幂函数的图像幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点. 当11,2,3,,12α=-时，在同一坐标系内的函数图像如图2-18所示.三、幂函数的性质当0α>时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是增函数，当1α>时，函数图像是向下凸的；当01α<<时，图像是向上凸的，恒过点(0,0)(1,1)和；当0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是减函数.幂函数y x α=的图像恒过点(1,1).题型归纳及思路提示题型1 幂函数的定义及其图像思路提示确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.例2.68函数2223()(1)a a f x a a x --=--为幂函数（a 为常数），且在(0,)+∞上是减函数，则a =______. 分析根据幂函数的定义及单调性求解a .解析依题意，得2211230a a a a ⎧--=⎪⎨--<⎪⎩，解得2a =. 变式1 函数32204(42)(1)y mx x m x mx -=++++-+的定义域为R ，求实数m 的取值范围.变式2 幂函数()y f x =的图像经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是______.. 变式3 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=为奇函数且定义域为R 的所有α的值为（） .1,3A .1,1B - .1,3C - .1,1,3D -题型2 幂函数性质的综合应用思路提示紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.例2.69已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求满足33(1)(32)mma a --+<-的a 的取值范围.分析利用函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数且为偶函数求m ，从而得到()f x 的解析式.解析（1）因为幂函数在区间(0,)+∞上是减函数，所以2230m m --<得 13,m m Z -<<∈又，当0m =时，2233m m --=-；当1m =时，2234m m --=-；当2m =时，2233m m --=-.又因为()f x 为偶函数，所以4()f x x -=.（2）由1m =得1133(1)(32)a a --+<-. 即113311132a a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭又13y x =在R 上单调递增，故11132a a <+-，整理得 (1)(32)(23)0a a a +--<，解得23132a a <-<<或，如图所示.故a 的取值范围为23(,1)(,)32-∞-. 评注突破点为由单调性得m 的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.变式1 已知函数2()f x x =，设函数[]()()(21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使()g x 在区间(],4-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由.最有效训练题1.下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是增函数的是（）43.A y x =32.B y x = 2.C y x -= 14.D y x = 2.幂函数2232()m m y x m Z --=∈的图像如图2-20所示，则m 的值为（）.1A .2B .3C.4D3.幂函数()f x 的图像经过点11(,)42A ，则它在点A 处的切线方程为（） .4410A x y ++= .4410B x y -+= .20C x y -=.20D x y += 4.若幂函数()f x 的图像经过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭则其定义域为（）{}.,0A x x R x ∈> {}.,0B x x R x ∈< {}.,0C x x R x ∈≠ .D R 5.设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） .Aa c b >>.B a b c >> .C c a b >> .Db c a >> 6.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则使y x α=为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α值的个数为（） .1A .2B .3C .4D7.已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2)，则(8)f 的值为_______.8.已知幂函数265()()m m f x x m Z -+=∈为奇函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，则()f x 的解析式为32 231- 图 2-19_______.9.已知函数12()f x x =，且(21)(3)f x f x -<，则x 的取值范围是_______.10.设函数()1()f x x Q αα=+∈的定义域为[][],,b a a b --，其中0a b <<，若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在[],b a --上的最大值与最小值的和为_______.11.已知函数12()f x x =，给出下列命题：①若1()1x f x >>则；②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-；③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若120x x <<，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 其中，所有正确命题的序号是_______.12.点在幂函数()f x 的图像上，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图像上，问当x 为何值时有： (1)()()(2)()()(3)()()f xg x f x g x f x g x >=<。

幂函数知识点

幂函数知识点幂函数是数学中的一种常见函数形式，它的数学表达式为f(x) = x^a，其中a是实数。

幂函数在数学和科学中有着广泛的应用，它可以描述许多自然界中的现象。

本文将带您逐步了解幂函数的定义、性质和应用。

一、幂函数的定义幂函数是指以自变量为底数的指数函数。

它的一般形式为f(x) = x^a，其中x为自变量，a为实数。

在这里，a被称为幂指数，控制着函数的形状。

二、幂函数的性质1.定义域和值域：幂函数的定义域为所有正实数和0，值域则取决于幂指数的奇偶性。

当a为正偶数时，函数图像在y轴的右侧无上界；当a为负偶数时，函数图像在y轴的左侧无上界。

当a为正奇数时，函数图像在整个坐标平面上，有上下界；当a为负奇数时，函数图像在整个坐标平面上，有左右界。

2.对称性：当幂指数为偶数时，幂函数关于y轴对称；当幂指数为奇数时，幂函数关于原点对称。

3.增减性：幂函数的增减性取决于幂指数的正负。

当a大于0时，函数在定义域上是严格递增的；当a小于0时，函数在定义域上是严格递减的。

4.特殊情况：当幂指数为0时，函数为常数函数f(x) = 1；当幂指数为1时，函数为恒等函数f(x) = x。

三、幂函数的应用幂函数在许多科学领域中有着重要的应用。

以下是一些常见的实际应用示例：1.物理学中的运动学：在运动学中，幂函数可以描述物体的位移、速度和加速度之间的关系。

例如，当幂指数为2时，函数表示匀加速运动中的位移和时间的关系。

2.经济学中的成本函数：在经济学中，幂函数可以用于描述成本与产量之间的关系。

例如，当幂指数为1时，函数表示线性成本函数，可以用来分析单位成本随产量变化的情况。

3.生物学中的生长模型：在生物学中，幂函数可以用来描述生物体的生长模型。

例如，当幂指数为正时，函数表示指数生长模型，可以用来研究细菌、植物等生物体的增长规律。

4.工程学中的功率函数：在工程学中，幂函数可以用来描述电力、声音和光的功率与强度之间的关系。

例如，当幂指数为2时，函数表示光强随距离的平方衰减规律。

幂函数知识点

幂函数知识点一、定义与性质幂函数是指函数表达式为y = ax^n的一类函数，其中a和n为常数，且a ≠ 0。

1. 幂函数的定义域与值域- 当n为正整数时，幂函数的定义域为全体实数集R，值域为R+（正实数集）。

- 当n为负整数时，幂函数的定义域为x ≠ 0的实数集R，值域为R+。

- 当n为0时，幂函数的定义域为x ≠ 0的实数集R，值域为{1}（常数函数）。

2. 幂函数的奇偶性- 当n为奇数时，幂函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。

- 当n为偶数时，幂函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。

3. 幂函数的单调性与极值点- 当n为正整数且n > 1时，若a > 0，则幂函数是递增函数；若a< 0，则幂函数是递减函数。

幂函数没有极值点。

- 当n为正整数且n = 1时，幂函数是严格单调递增函数，没有极值点。

- 当n为负整数时，幂函数是递减函数，在定义域内有极小值点。

- 当n为0时，幂函数为常数函数，没有单调性和极值点。

4. 幂函数的图像特点- 当n为正整数且n > 1时，幂函数的图像是一条通过原点的增长趋近于正半轴的曲线。

- 当n为正整数且n = 1时，幂函数的图像是一条通过原点且与直线y = a平行的直线。

- 当n为负整数时，幂函数的图像是一条与x轴正向趋近于0的曲线。

- 当n为0时，幂函数的图像是一条水平直线。

二、幂函数的运算1. 幂函数的加减运算- 对于两个幂函数y = ax^n和y = bx^n（a ≠ b），它们的和函数为y = (a + b)x^n。

两个幂函数之和仍为幂函数，且幂指数不变。

- 对于两个幂函数y = ax^n和y = bx^n（a ≠ b），它们的差函数为y = (a - b)x^n。

两个幂函数之差仍为幂函数，且幂指数不变。

2. 幂函数的乘除运算- 对于两个幂函数y = ax^n和y = bx^m，它们的乘积函数为y = (ab)x^(n+m)。

总结幂函数知识点

总结幂函数知识点在此文中，我们将对幂函数的基本概念、性质及应用进行详细的介绍和总结。

一、幂函数的基本概念1. 幂函数的定义幂函数是指形如y=ax^n (a≠0, n为实数)的函数，其中x为自变量，y为因变量，a为常数，n为幂次。

当n为正整数时，称为整数幂函数；当n为负整数时，称为分式幂函数；当n为零时，称为常函数。

2. 幂函数的图像（1）当n为正整数时，幂函数y=x^n（n>1）的图像为开口朝上的抛物线，n为偶数时，图像在第一象限为开口向上的抛物线，n为奇数时，图像在第三象限为开口向上的抛物线。

（2）当n为负整数时，幂函数y=x^n（n<0）的图像为经过点(1,1)的单调递减且对称于y轴的曲线。

（3）当n为零时，幂函数y=x^0的图像为一条水平直线y=1。

3. 幂函数的定义域幂函数y=ax^n（n为实数）的定义域为全体实数集合R。

4. 幂函数的值域（1）当n为正偶数时，幂函数y=ax^n的值域为[0,+∞)；（2）当n为正奇数时，幂函数y=ax^n的值域为(-∞,+∞)；（3）当-n为偶数时，幂函数y=ax^n的值域为(0,+∞)；（4）当-n为奇数时，幂函数y=ax^n的值域为(-∞,0)。

二、幂函数的性质1. 增减性质对于幂函数y=ax^n，当a>0且n为正偶数时，函数在定义域上为增函数；当a<0且n为正偶数时，函数在定义域上为减函数；当a>0且n为正奇数时，函数在定义域上为减函数；当a<0且n为正奇数时，函数在定义域上为增函数。

2. 奇偶性质当n为偶数时，幂函数y=x^n为偶函数；当n为奇数时，幂函数y=x^n为奇函数。

3. 单调性质当n为正整数时，幂函数y=x^n在定义域上为单调递增函数或单调递减函数。

4. 对称性质当n为偶数时，幂函数y=x^n关于y轴对称；当n为奇数时，幂函数y=x^n关于原点对称。

5. 渐近性质幂函数y=ax^n的图像与x轴无渐近线，当a>0时，图像与y轴无渐近线。

幂函数知识点

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