电子自旋
物理学中的自旋电子学及其应用
物理学中的自旋电子学及其应用自旋电子学是指研究自旋（spin）对电子（electron）行为的影响以及利用自旋实现信息存储和操作的一门学科。
自旋电子学在物理、材料科学以及电子工业等领域都具有广泛的应用。
一、自旋概念与自旋电子学的起源自旋是电子固有的一种内禀角动量，它不同于电子的轨道角动量。
自旋可以看作是电子自转产生的。
自旋有两种取向，即“向上”和“向下”，分别用“↑”和“↓”表示。
这种取向有时称为“自旋态”。
自旋电子学的起源可以追溯到20世纪50年代，在那个时期，人们发现在某些半导体材料中，自旋可以激发出一个电子自旋极化效应(polarization effect)。
这就意味着当一个电子掺入半导体中时，它的自旋朝向可以控制半导体材料的电子流动。
这一观察结果开启了自旋电子学的大门。
二、磁性材料及其应用在自旋电子学中，磁性材料是研究的重点之一。
磁性材料是那些可以在磁场中产生磁性的物质。
在一个磁场中，一个自由电子所受到的力可以分为轨道运动力和自旋力两部分。
轨道运动力与电子的轨道角动量大小和方向有关；自旋力与电子的自旋有关。
在某些磁性材料中，自旋力是电子的轨道运动力的几倍，因此自旋力对磁性材料的行为有着至关重要的影响。
利用磁性材料的自旋极化特性，人们已经发展出了许多自旋电子学应用，例如磁阻现象、磁电阻现象、自旋转移等等。
三、磁阻及其应用磁阻是指当一个磁性材料处于磁场中时，从这个材料中通过的电流大小和这个材料的磁场大小之间的关系。
在一个磁性材料中，沿着材料的电子将会在受到运动轨道力和自旋力的影响下偏转它们的自旋，从而引起电流的变化。
利用这种效应，人们可以设计出各种各样的磁阻元件，例如磁头、磁盘、磁性传感器等等。
在磁阻元件中，通过测量电阻的变化来感知磁场的大小和方向，这被广泛地应用于磁存储和磁传感器中。
四、磁电阻及其应用磁电阻是指当一个电流通过一个磁性材料时，这个材料的电阻率会随着自旋的方向而改变。
这个效应是在20世纪80年代被发现的。
物理学中的电子自旋
物理学中的电子自旋电子在物理学研究中扮演着重要的角色，而电子自旋则是电子的一个特殊属性，对于电子自旋的研究与应用具有重要意义。
本文将介绍电子自旋的概念、性质以及在实际应用中的重要作用。
一、电子自旋的概念与性质电子自旋是描述电子特性的量子数之一，表示电子围绕自身轴旋转的角动量。
电子自旋值可以取正值或负值，且其单位是普朗克常数的一半。
根据量子力学的理论，电子自旋只能取两个值，即“自旋向上”和“自旋向下”。
电子自旋的正负值代表了电子旋转方向的不同，而自旋向上和自旋向下则分别表示电子自旋在自旋量子数z方向上的投影为正和负。
通过自旋量子数的表示，我们可以区分具有不同自旋方向的电子。
电子自旋还具有与空间角动量垂直且大小固定的特性，这使得电子自旋在许多领域的研究和应用中具有重要价值。
二、电子自旋的研究与应用1. 量子力学与自旋理论量子力学中的自旋理论为我们深入了解电子自旋的性质和行为提供了基础。
通过研究自旋态和自旋概率密度，我们可以更好地理解电子在原子和分子中的行为，以及它们对于化学反应和物质性质的影响。
2. 磁性材料与磁存储技术电子自旋直接与磁性材料和磁存储技术相关。
在磁记录中，例如硬盘驱动器和磁带，信息是通过读写头产生磁场来写入或读取的，而读写头中的电子自旋在此过程中起着关键作用。
研究电子自旋和磁性材料之间的相互作用，有助于提高磁存储技术的性能和稳定性。
3. 电子自旋共振电子自旋共振是通过外部磁场作用下，使电子自旋状态发生变化的一种技术。
它被广泛应用于核磁共振成像（MRI）中，用于观测和诊断人体组织和器官的结构和功能。
电子自旋共振在医学、生物学和材料科学领域有着重要的应用和研究价值。
4. 自旋电子学自旋电子学是一种新兴的领域，利用电子自旋操控和传输信息。
与传统的电子学不同，自旋电子学在信息处理和存储中利用电子自旋来替代电荷。
这一领域的发展有望在信息技术中带来更高的速度、更低的功耗和更大的容量。
5. 自旋量子计算自旋量子计算是以电子自旋状态作为计算基本单元的一种量子计算方法。
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋原子是构成物质的基本单位，其结构包括核和围绕核运动的电子。
在原子结构中，电子自旋和核自旋是两个非常重要的物理概念，它们对原子的性质和行为都有重要影响。
一、电子自旋1.电子自旋的概念电子自旋是电子固有的一种内禀性质，它并不是电子真正的旋转运动，而是描述电子的一种量子性质。
电子自旋可以用两种态来描述，即上自旋态和下自旋态，分别用↑和↓表示。
这两种态是对应于电子自旋在空间中的两个方向，它们之间没有中间态。
2.电子自旋的测量电子自旋的测量是基于量子力学的原理，它具有不确定性。
当进行电子自旋的测量时，不可能同时测量出电子的位置和自旋方向。
根据量子力学的测不准原理，测量电子的自旋方向会使得其位置的不确定性增加，反之亦然。
3.电子自旋的性质电子自旋在原子结构中具有重要的作用。
它决定了原子在外加磁场下的行为，从而影响了原子的磁性。
电子自旋还与化学键的形成和原子光谱的性质有关。
由于电子自旋的存在，原子的能级结构会呈现出一些特殊的规律，如Pauli不相容原理等。
4.康普顿散射电子自旋还与康普顿散射现象相关。
康普顿散射是指X射线与物质中的自由电子相互作用而发生散射的现象。
在康普顿散射中，X射线会与电子的自旋磁矩相互作用，使得散射角度发生变化，从而可以用来测量电子的自旋。
二、核自旋1.核自旋的概念核自旋是核子固有的自旋角动量，通常用I来表示。
与电子自旋类似，核子的自旋也具有量子性质，即其自旋角动量只能取离散的数值。
在自然界中，存在很多核素，它们的核自旋可以是整数或半整数。
2.核自旋的性质核自旋是核物理研究的重要参数之一，它与原子核的稳定性、核衰变、核磁共振等现象密切相关。
核自旋还可以影响原子的磁性和核荷分布，从而影响原子的化学性质。
3.核自旋共振核自旋可以通过核磁共振技术来研究。
核磁共振是一种利用核自旋的方法来研究物质结构和性质的技术。
在核磁共振中，外加磁场使得具有核自旋的原子核产生共振吸收信号，从而可以得到有关原子核的信息。
16讲电子自旋
实验上，高温炉中的氢原子处于高压， 从炉中出来后气压骤降迅速冷却，使得 电子处于基态： ) = (10)， l = 0 → m = 0 (nl ∴ 所以， 所以， → Fz =0,原子似乎不应该偏转。 ∴→ M z电子偏转必然不来自轨道磁矩
7
一、电子自旋实验(6) 电子自旋实验
∂B 实验表明 Fz = − M z ≠ 0, 且 M z = ± µ B ∂z 分析表明 M z 不应该是轨道磁矩( M z = µ B m ) 由此，人们猜测： (1)除轨道磁矩外，必然存在别的磁矩。 (2)如果存在某种磁矩，它应该只取两个值。 此外，对银原子、钠原子这些多电子原 子，该如何解释？
20
三、自旋角动量算符与泡里算符(2) 自旋角动量算符与泡里算符 r
三、自旋角动量算符与泡里算符(3) 自旋角动量算符与泡里算符 r ˆ 引进无量纲的算符 σ → Pauli 算符， r r ˆ ˆ 其定义为 S = (h 2)σ , 有 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z S x S y − S y S x = ih S z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S y S z − S z S y = i h S x → σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S − S S = ihS ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ σ − σ σ = 2i σ
14
二、自旋态与自旋波函数(2) 自旋态与自旋波函数
∴ψ ( r , s z )可用一个列向量来表示 ψ 1 ( r ) → s z = h / 2的自旋态 ψ = ψ 2 ( r ) → s z = − h / 2的自旋态 按波函数的统计诠释，电子以 一定的概率处于 ψ 1 ( r )或 ψ 2 ( r )，
量子化学第五章 电子自旋和角动量
设
为一个体系中的任意两个角动量，
可能是两个轨道角动量或两个自旋角动量，或一个轨
道角动量一个自旋角动量。
46
量子化学 第五章
角动量量子数分别为 j1 和 j 2 ，
则
的本征值分别为:
其中
设
作用得到总角动量 ，即
47
量子化学 第五章
M 是一个向量，M＝ MxiMyjMzk
可以证明:
（i, j, k为单位矢量）
以 代表任一角动量,
、和
分别 代表 x, y, z 方向的分量.
则:
27
量子化学 第五章
上述算符间存在以下对易关系：
28
量子化学 第五章
假设： 是
共同的本征函数，
如果 j 和 mj 分别为标记 M 大小和方向的量子数。
则：
如果 M 指的是 M l ，则 j 和 mj 分别为l 和 m 。 如果 M 指的是 M s ，则 j 和 mj 分别为s 和 ms 。
量子化学 第五章
12
量子化学 第五章
(2)自旋算符的本征值
对电子而言，自旋量子数 s =1/2, 自旋磁量子 数为 ms=1/2, -1/2,
故 的本征值为
的本征值为 ms1 2 or1 2
(3)自旋算符的本征函数
用 和 分别表示向上自旋和向下自旋的状态。
13
量子化学 第五章
自旋波函数 是算符 的本征值为 的本征函数。 是算符 的本征值为 的本征函数。 是算符 的本征值为 的本征函数。
14
量子化学 第五章
(4)电子在中心力场中的运动 没有考虑电子自旋时，电子在中心力场中的运动的
定态波函数为： n ,l,m R n ,l(r)Y l,m (, )
电子自旋
举例
自由基测量
自由基测量
生物氧化与还原反应都是以单电子转移方 式进行的。 由于自由基中间体活性高 、 式进行的 。 由于自由基中间体活性高、 寿 命短， 因而需要有一些特殊的技术和装置。 命短 ， 因而需要有一些特殊的技术和装置 。 例如快速反应技术、 快速流动装置 、 例如快速反应技术 、 快速流动装置、 光辐 照系统等才能对其进行EPR检测， 照系统等才能对其进行EPR检测，或者用一 些自由基捕捉剂捕捉瞬间自由基，再 对其进行EPR研究。 对其进行EPR研究。
分析与展望
用此技术可以检测大分子和像膜一类的分 子聚集态中心的细微变化，特别是它们的 溶液构象等问题。 随着仪器的不断的改善和技术的创新，EPR 随着仪器的不断的改善和技术的创新，EPR 在化学、物理、生物、医学等领域将会获 得越来越广泛的应用。
谢谢! 谢谢!
概述
物理学家最先用EPR技术研究某些复杂原子 物理学家最先用EPR技术研究某些复杂原子 的电子结构、物质的晶体结构、偶极矩、 分子结构、金属与半导体中的自由电子、 色心与发光中心等。 随后有机化学家用它来研究电化学、光化 学、辐射化学、高分子化学及高温分解中 出现的自由基等。
概述
EPR是目前检测未成对电子的唯一直接的方 EPR是目前检测未成对电子的唯一直接的方 法 ， 它具有检测灵敏度高、 样品不受破坏 它具有检测灵敏度高 、 和对化学反应无干扰等优点。 因此， 和对化学反应无干扰等优点 。 因此 ， 通过 追踪反应过程中未成对电子的形成、 消失 、 追踪反应过程中未成对电子的形成 、 消失、 再生和转移， 再生和转移 ， 对研究反应机制和了解物质 的结构与性能的关系有重要的作用。
概述
在生物大分子中有许多含有未成对电子， 如酶促反应中的中间体，含有顺磁性的过 渡金属离子的酶，细胞代谢过程中出现的 中间体等，这些物质最适宜于用EPR来研究。 中间体等，这些物质最适宜于用EPR来研究。 此外某些药物的作用也跟自由基中间体有 关，如最近对光合作用、衰老与致癌作用 的研究，都涉及到自由基。
第六章电子自旋
⃗ ·S ⃗ ，⃗ ⃗ 等项。因为电子的自旋是其内禀属性，与轨道部分无直接关系，在不考虑 一般，H 需要包含B r·S 自旋轨道耦合作用时，我们可以作变量分离，令 ψ (⃗ r, Sz ) = ϕ (⃗ r) χ (Sz ) a b 于Sz = /2的几率，|b| 表示处于Sz = − /2的几率，归一化要求|a| + |b| = 1。 3
0 1
2
1 0 0 −1
)
(1 0) − 0 0 0 1 1 0 0 0 ) )
(0 1) =
(0 1) =
(1 0) =
Chapter VI
在二次量子化以后， |+⟩ =⇒ c+ i↑ 因此 ni S
+ + = c+ i↑ ci↑ + ci↓ ci↓
6.1 电 子自 旋 态 矢 量
S-G 实验清楚地告诉我们电子自旋z 方向的分量只有两个值，ms = ±1/2，可以用量子数Sz = ± /2来标注， 因此描述电子波函数应当写成二分量的形式 ψ (⃗ r, /2) ψ (⃗ r, − /2)
Ψ (⃗ r , Sz ) = 是一个旋量(spinor )波函数。
a b a b
a b
=λ
−1/2 λ
=0
λ =
1 1 1/2, a = b =⇒ χ′ + = √ 2 1 ⟩ 1 1 −1/2, a = −b =⇒ χ′ − = √ 2 −1 ⟩
( 2 ) 1 Example：在 S , Sz 表象中，有一个自旋向上的电子 → χ+ ，求测量Sx 的值和几率。 0 测量Sx 的值只能是sx = ± /2， 几率： χ′ + |χ+ ⟨ ⟨ ⟩
§4.14电子自旋
§4.14电子自旋§4.14电子自旋在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。
但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 101-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度,,x y z 来描述并不是完全的。
我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。
一、斯特恩-盖拉赫实验首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。
斯特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。
如右图所示，在一个真空容器中，使一束处于s 态的氢原束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上。
结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线。
这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。
由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。
这是一种新的磁矩。
另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。
假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场z H He =中的势能为cos U M H MH θ=-⋅=-式中θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
则原子在z 方向所受到的力为cos z U HF M z zθ∂∂=-=∂∂ 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。
二、乌伦贝克和歌德斯密脱假设为了解释斯特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱于1925年提出了电子具有自旋角动量的假设，他们认为：1. 每个电子都具有自旋角动量S ，S 在空间任何方向上的投影只能取两个值。
若将空间的任意方向取为z 方向，则2z S =±2. 每个电子均具有自旋磁矩s M ，它与自旋角动量之间的关系为 s e M S cμ=-(C G S) e 是电子电荷，μ是电子约化质量，c 是光速。
电子自旋
电子自旋1引言自旋是基本粒子的固有内禀属性，其来源尚不清楚，但性质类似于轨道角动量与轨道磁矩，【2】 并可以相互耦合，在研究电子的运动状态时，应该将自旋作为一种内禀自由度，质子和中子也都有自旋，它们的自旋角动量在任何方向的投影，与电子一样，只取量子化数值±ħ/2，本文将着重从其具有的性质从发讨论各种实验现象及其相关的应用。
2自旋的发现自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。
电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。
Stern-Gerlach 实验说明了量子力学中的测量是必定要改变微观客体的状态的。
【3】关于自旋已经有下列实验事实，（i ）自旋在任何方向的投影只能取量子化数值±ħ/2；（ii ）电子的轨道磁矩与轨道角动量的比值为cm e 2e e -=γ。
他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为ħ/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±ħ/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是eħ/2mc 。
当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。
3.1自旋的性质3.1.1 泡利矩阵 我们一般用算符ŝ表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。
因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s ⨯s =iħs 。
在这里我们引入泡利算符s =σħ/2。
由于s 沿任何表象的投影都只能取±ħ/2两个值，即σ沿任何方向的投影只能取±1这两个值，所以泡利算符σ的每个分量都可以用2⨯2的矩阵来表示。
我们一般采用σz 分量对角化的表象，得到其矩阵表示：i i z y x ,1001,00,0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσσ 这样的表示就是著名的Pauli 矩阵。
电子的运动和自旋解析
电子的运动和自旋解析1.电子的运动：–电子在原子中的运动可以分为轨道运动和扩散运动。
–轨道运动是指电子在原子核周围特定的轨道上运动，如玻尔模型中的能级。
–扩散运动是指电子在原子核附近的空间中不断变化的运动，无法预测其具体位置。
2.电子的自旋：–电子的自旋是电子的一种内禀角动量，类似于地球的自转。
–自旋量子数描述了电子自旋的状态，主要有两种取值：+1/2和-1/2。
–自旋方向与电子运动方向垂直，具有量子化的特性。
3.电子的运动和自旋的关系：–电子的运动和自旋是两个独立的量子力学变量，它们之间不存在经典物理意义上的直接关系。
–在量子力学框架下，电子的运动和自旋可以通过波函数来描述，波函数包含了电子的位置、动量、自旋等信息。
4.电子的运动和自旋的测量：–电子的运动状态可以通过电子的轨道动量来测量，如电子的动能、动量等。
–电子的自旋状态可以通过自旋角动量的测量来确定，如利用电子自旋共振（ESR）技术。
5.电子的运动和自旋在材料科学中的应用：–电子的运动和自旋是材料物理中的基本概念，对于理解材料的电子性质具有重要意义。
–自旋相关的物理现象如自旋极化、自旋传输等在磁性材料、拓扑绝缘体等领域中具有重要应用。
6.电子的运动和自旋在量子计算中的应用：–电子的自旋状态可以用于量子比特的实现，从而进行量子计算。
–电子的运动状态可以用于实现量子隐形传态、量子纠缠等量子信息处理任务。
7.电子的运动和自旋的实验研究：–电子的运动和自旋可以通过各种实验方法进行研究，如粒子加速器、电子显微镜、光谱学等。
–实验研究对于验证量子力学的正确性、探索新物理现象具有重要意义。
习题及方法：1.习题：一个电子在氢原子中绕核运动，其轨道半径为0.5埃。
求该电子的轨道速度。
解题思路：根据经典物理中的向心力公式，结合玻尔模型，求解电子的轨道速度。
解答：电子的轨道速度v = ωr，其中ω为角频率，r为轨道半径。
根据玻尔模型，电子的角频率ω = e^2/（8ε0h），其中e为电子电荷，ε0为真空电容率，h为普朗克常数。
§4.14电子自旋
§4.14电子自旋在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。
但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 101-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度,,x y z 来描述并不是完全的。
我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。
一、斯特恩-盖拉赫实验首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。
斯特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。
如右图所示，在一个真空容器中，使一束处于s 态的氢原束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上。
结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线。
这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。
由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。
这是一种新的磁矩。
另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。
假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场z H He =中的势能为cos U M H MH θ=-⋅=-式中θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
则原子在z 方向所受到的力为cos z U HF M z zθ∂∂=-=∂∂ 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。
二、乌伦贝克和歌德斯密脱假设为了解释斯特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱于1925年提出了电子具有自旋角动量的假设，他们认为：1. 每个电子都具有自旋角动量S ，S 在空间任何方向上的投影只能取两个值。
若将空间的任意方向取为z 方向，则 2z S =±2. 每个电子均具有自旋磁矩s M ，它与自旋角动量之间的关系为 s e M S cμ=-(C G S) e 是电子电荷，μ是电子约化质量，c 是光速。
量子物理—电子自旋
3. 自旋算符与泡利矩阵
1 0 z 0 1
0 1 x 1 0
0 i y i 0
所有泡利矩阵的本征值都是 1 单位矩阵加上泡利自旋矩阵可以构成任何2乘2矩阵 任何2乘2矩阵
M a1 0
16
实验事实1：任何方位的正 负方向的本征态正交。此 即要求在任何方位，
0
事实2：任何两个方位， 若其正向夹角为 那发 现其中一个方位的正向 本征态是另一个方位正 负向本征态的概率分别 为 cos2 / 2 , sin2 / 2。
17
若选定
x 1 2
事实2：任何两个方位， 若其正向夹角为 那发 现其中一个方位的正向 本征态是另一个方位正 负向本征态的概率分别 为 cos2 / 2 , sin2 / 2 。
F ( B) z
8
Stern Gerlach 实验 B Oven
真实观测结果
经典物理预言
S,z
据计算，z方向磁矩的两个值为，
B e /(2me )
为解释此实验结果，Uhlenbeck和Goudsmit提出自 旋角动量：
9
电子自旋的基本性质： （1）电子具有自旋角动量 S ，量子数为1/2 电子自旋在空间任何方向上的投影值（分量 测量值）仅取两个值，例如 z 方向
2
z
J J 本征值为j ( j 1) m ; m j, j 1,... j
2
J 2 J J J 2 0
ˆ p ˆ， 以上对易关系可以验证 对于轨道角动量 r
28
4 在均匀静均匀静磁场中的自旋进动
进动就是指在外磁场作用下自旋态的 演化。如过去所说，我们需要哈密顿 量及其本征值与本征态。
电子的自旋
Z*e
v
r -e
0 Z e
*
2 2
4π 2me
* 2 1 1 Z e 1 S L S L 2 2 3 3 r 4π 0 2me c r
由于轨道运动产生的磁场作用于自旋磁矩引起的附 加能量Els，正比于S 与 L 的组合，即 S L，这种相互作 用称为自旋轨道耦合，或 自旋轨道相互作用。10
8 2 3
18
22 2
5
eV
4 . 5 10
eV
14
上面结果与实验观察一致。
由上面讨论可以看到，由于自旋轨道相互作用，
没有外磁场作用时，相同n, l, j 所表示的能级是简
并的，称为原子的多重态。 原子多重态的完整表示： 在大写字母的左上角标 以与2s+1相应的数字代表能级的多重结构，若s=1/2， 则2s+1=2，表示该能级是双重结构；在大写字母的 右下角标以与量子数j相应的数字。例如，碱金属钠
s为自旋量子数，简称自旋，ms 为自旋磁量子数。 对于确定的s值，ms 也取2s+1个可能的数值。
ms 两个可能的数值
故自旋量子数 s
1 2
2s + 1 = 2
，ms 可能数值 m s
1 2 , 1 2
6
电子自旋是一种相对论量子效应，只能用相对论量 子力学描述。 凡是自旋量子数为半奇数(s = 1/2, 3/2, …)的粒子， 称为费米子，如电子、中子和质子等。 凡是自旋量子数为整数(s = 0, 1, 2, …)的粒子，称 为玻色子，如光子(s = 1)、介子(s = 0)等。
* 4 3 2
2n l (l 1)
，l 0
例如，氢原子2P态能级分裂后的间距为 :
第一讲电子自旋的实验证明及性质
总磁矩为：
Mz
dM z
Je d r2 sin2
meh
r sin
nlm
2
d
r2 sin2
meh
2
2 r sin
nlm
2
d
meh
2
2 r sin nlm 2 d
• 其中：d rddr，利用波函数 nlm 的归一 关系：
nlm 2 d nlm 2 r2 sin d ddr
• 根据轨道磁矩与轨道角动量的关系：
M¶
z
gL
e
2
L$z
• 假设这个关系定性地适用于所有角动量与
磁矩。由于原子核（质子或中子）的质量
远远大于电子的质量，所以核磁矩导致的
贡献要远远小于电子自旋磁矩的贡献。
• 对于氢原子基态而言，l=0，所以原子束分 裂是电子自旋磁矩导致的，取值个数为：； 所以电子自旋为1/2。
• •
令： 属于
1 2
(
S
z)
S
z
为 S2,S
的本征值
z
的共同本征自旋波函数，
ms 1/ 2
S 2, Sz 可互相对易，本征方程为
Sˆz 1
2
(Sz )
h 2
1
2
(Sz ), Sˆz 1 2
(Sz )
h 2
1 2
(Sz )
Sˆ
2
1
2
(Sz
)
3h 4
1
(S
z
),
Sˆ
2
1
(S
z
)
2
2
3h2 4
1 (Sz) 2
• 例如在轨道角动量l的取值中不包含半整数。 而角动量A则包含了半整数，因为它代表着 角动量的普遍性。
§2-9电子的自旋
（）
o
-△ Z
△Z
o
-△ Z
P
N
P
1
实验装置示意图
磁感应强度矢量 B 及其梯度dB/dz 沿着z 轴的正 方向。在不均匀磁场作用下，银原子的运动轨迹发 生偏转，说明银原子具有一定的磁矩μ， 而μ与磁 场发生相互作用，其相互作用能为
v v E B = − μ ⋅ B = − μB cosθ = − μ z B
v 自旋角动量 S 具有空间量子化性质，其在外磁场方
向的分量Sz只能取两个可能的数值。 电子自旋不能用经典理论描述，只能用相对论量子力学描述。
7
三、碱金属原子光谱的精细结构 (fine structure of alkali-metal atom spectrum)
碱金属原子都是类氢原子，其价电子的各量子数可用来描 述整个原子的状态。轨道量子数l=0, 1, 2, 3, …可用大写字母 S, P, D, F, … 表示。 1. 碱金属的原子光谱有四个线系：
§2-9 电子的自旋
一、施特恩(O.Stern)−格拉赫(W.Gerlach)实验 1. 实验装置(如图所示)：由原子射线源O射出的银原子
射线，经过狭缝变成细束后，进入强度很大并在 z 方向存 在梯度的不均匀磁场，在照相板P上得到两条痕迹。 整个实 验装置 放置在 高真空 容器中
Z 狭缝 Z
o
S
S N l
5
二、电子自旋和自旋磁矩 (spin of electron and spin magnetic moment)
v 提出电子自旋的假设：每个电子都有自旋角动量 S ，它在
空间任一方向上的投影Sz 只能取两个值，即
Sz = + 1 h 2 Sz = − 1 h 2
第六章 电子自旋
Z
N
S
（2）结论
I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 II。 II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
处于 S 态的 氢原子
（3）讨论
r r 设原子磁矩为 M，外磁场为 B， 则原子在 Z 向外场 v B 中的势能为： 中的势能为：
右乘σ 右乘σy
基于σ的对易关系，可以证明 基于σ 的对易关系， 各分量之间满足反对易关系: σ各分量之间满足反对易关系:
左乘σ 左乘σy
我们从对易关系: 我们从对易关系: 证： σ σ − σ σ = 2 i σ ˆy ˆz ˆz ˆy ˆx 出发 σy
2=1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ yσ yσ z − σ yσ zσ y = 2 i σ yσ x
2
ˆ ˆ ˆ ˆ σxσ y +σ yσx = 0
或
σˆ x σˆ y σˆ y σˆ z ˆ ˆ σ zσ x
ˆ ˆ σxσ y = − ˆ yσx σ ˆ
= − σˆ y σˆ = − σˆ z σˆ
x y
= i σˆ z = i σˆ
x y
由对易关系和反对易关系还 可以得到关于 Pauli 算符 的如下非常有用性质： 的如下非常有用性质：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ σ yσ zσ y − σ zσ y = 2iσ xσ y 二式相加 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ yσzσ y −σz = 2iσxσ y
同理可证: 同理可证:x, 关系亦成立. 关系亦成立. y 分量的反对易 [证毕 证毕] [证毕]
电子的自旋
ˆ 描写，它无经典对 ③ 自旋角动量用自旋算符 s 应，因为不能写成坐标和动量的函数。
那么，电子的自旋算符该如何表示？计及自
旋后，电子的态函数又该如何表示？
§2 电子的自旋态和自旋算符
（一）电子自旋态的描述
考虑自旋后，电子的波函数写为二分量形式：
(r , 2 ) ( r , sz ) ( r , ) 2 第4个变量
【量子计算机中的基本概念 】 比特和昆比特
传统计算机的基本单元是一个用固体设备（晶 体管）代表的二进制数字位（bit，比特）0或者1。 晶体管关闭（输出电压为0V）代表了二进制数0， 晶体管打开（输出电压为5V）代表了二进制数1。 在任意时刻，一个存储器位只能存储和处理一个数 字0或1，不能同时存储和处理0和1。
归一化条件
d 1
共轭态
(r , ) 2 1 * ( r , ) * ( r , ) d 2 2 ( r , ) 2
* ( r , ) * ( r , ) 2 2
(sz ) 2
自旋向上的态 — (4)
(5)
ˆz 1 2 ( r , sz ) 1 2 ( r , sz ) s 2
本征值-ħ/2（自旋向下），本征函数-1/2。
0 , 1 ( r , sz ) ( r , ) 2 2
令
(sz ) 自旋向下的态 2
( m 电子折合质量 )
自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值：
e z B 2m
(SI)
所以Stern-Gerlach实验中，原子磁矩应该来自于 电子的自旋运动，即自旋磁矩，它在 z 向投影有2个 值，所以观察到2条个分立线。
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电子具有自旋角动量这一特性不能用经典量子 力学来解释。
自旋角动量与其他力学量的根本的区别：
一般力学量（比如说，轨道角动量）都可以表 示成为坐标和动量的函数，自旋角动量则与电子的 坐标和动量无关，所以不能在坐标空间中表示，它 是电子内部状态的表征，是描述电子状态的第四个 变量。
电子自旋存在的实验证据与理论依据：
（一）Stern-Gerlach 实验 （二）光谱线精细结构
（一）Stern-Gerlach 实验
现有的Stern-Gerlach 实验装置及其仪表
（一）Stern-Gerlach 实验
（1）实验描述
S态的氢原子束流，经非均 匀磁场发生偏转，在感光板 上呈现两条分立线。
58
D1
3p1/2 D2
93
58 58
成的现象，称之为光谱线的精3sÅ96 源自0细结构。该现象只有考虑了电
ÅÅ
子的自旋才能得到解释
3s1/2
电子自旋假
U设hlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象
提出了电子自旋假设
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向 上的投影只能取两个数值：
（二）光谱线精细结构
通常在一些较轻元素中,原子的能级分裂是精细的。 原子中自旋与轨道相互作用,不同的自旋方向引起
能量的改变。 单电子情形：电子自旋,有两个取向,能级分裂为
两个。能级的精细结构是双重的。 两个价电子情形：总自旋s=0和s=1,对应的能级精
细结构是单态和三重态。
三个价电子情形：能级精细结构是双重态和四重 态。
cos
（4）分析
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （-1，1） 之间连续变化，感光板将呈现连续带。
但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos =－1 和 cos =+1 ，处于 S 态的氢原子 ， 角动量 =0，没有轨道磁矩。所以原子磁矩来 自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩（原子核质 量大，核磁距贡献可忽略）。
S
Sz
2
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
e
M S c S
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
e
M S z 2c M B
(CGS)
问题：
自旋角动量是否可以在坐标空间中表示？ 自旋角动量与轨道角动量性质上有何差异？ 回忆一下，描述电子状态的变量有哪些？
（2）结论 I. 氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转
II.氢原子磁矩只有两种取向 即它们是空间量子化的
Z
N
S
处于 S 态的 氢原子
（3）讨论
设向原 外子 磁磁 场矩B为中M的，势外能磁场
B ，则原子在Z方
θ为磁矩与
磁场之夹角
U M • B MBz cos
原子 Z 向受力
Fz
U z
M
Bz z
原子能级的精细结构使得原子跃迁时发出的光谱 线也具有精细结构。
研究光谱线的精细结构，可获得原子内部自旋-轨 道相互作用的信息。
（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条亮黄线
5893Å，用高分辨率的光
3p
谱仪观测，可以看到该谱线其 实是由靠的很近的两条谱线组
3p3/2
成。
其他原子光谱中也可以发 现这种谱线由更细的一些线组