2014理科数学高考解答题基本题型---数列(广东)

理科数学高考解答题基本题型---数列一、考试大纲（1）数列的概念和简单表示法① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式） ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数。

（2）等差数列、等比数列① 理解等差数列、等比数列的概念② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系 二、考情分析数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，因此在高考中占有重要地位。

高考对数列的考察比较全面，一方面考查等差、等比数列的基础知识和基本技能，另一方面常和函数、导数、方程、不等式等内容交汇在一起，综合性强。

1、 分组转化求和法考向：把数列求和转化为几组分别求和，分段后求和，分类后求和等. 2、 裂项相消求和法考向：通过对数列的通项公式的分解（裂项），使之产生相互抵消的项，达到数列求和的目的.3、 错位相减求和法考向：在等差数列、等比数列的混合问题中，出现一个等差数列与一个等比数列对应项相乘后的新数列，这个数列的求和使用乘等比数列的公比后，错位相减的方法.4、 数列的简单应用考向：数列在解决实际问题中的应用. 5、数列证明问题中的运算考向：①在数学证明中，证明过程往往是以计算为主的，即通过计算的结果达到证明的目的，这说明运算求解能力在数学证明中具有重要地位．典型的是函数导数试题中不等式的证明、数列问题中不等式的证明．②数列中的证明问题有等式的证明、不等式的证明、数列性质的证明等，在数列的证明问题中计算是完成证明的关键，运算求解能力是数列证明的核心．6、递推关系考向：多种递推关系，大家要熟悉。

三、高考原题1.（2011广东理数20）设0>b ，数列}{n a 满足b a =1,)2(2211≥-+=--n n a nba a n n n ．(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．解：方法1：∵)2(2211≥-+=--n n a nba a n n n ，∴11)1(2--=-+n n n n nba a n a a ，∴b a n b a n n n 1)1(21+-=-， 当2=b 时， ∴2111=---n n a n a n ， ∴当2≥n 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是以21111==b a 为首项，公差为1的等差数列， ∴211)1(21-=⨯-+=n n a n n ， ∴122-=n n a n ．∵21=a 也符合， ∴122-=n na n ，N n ∈． 当2≠b 时， 令 ∴)1(21t a n b t a n n n +-=+-， ∴)12()1(21-+-⋅=-b t a n b a n n n ，∴bt -=21， ∴)211(2211b a n b b a n n n -+-=-+- ∴b ba nb a n n n 2211)21(1=-+--+-， ∴当2≥n 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+b a n n 21是以)2(22112111b b b b b a -=-+=-+为首项，公比为b 2的等比数列， ∴n n nb b b b b b a n )2()2(1)2()2(2211-=-=-+-， ∴n n n n b b b n a --=2)2( ． ∵b a =1也符合， ∴nn nn bb b n a --=2)2(，N n ∈． 综上：当2=b 时，1=n a ，N n ∈． 当1≠b 时，nnn bb b n a --=1)1(，N n ∈． 方法2：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222n b n n =+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33223333(2)242b b b a b b b -==++-， 猜想(2)2n n n nnb b a b -=-，下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立；②假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--， 所以当1n k =+时，猜想成立，由①②知，*n N ∀∈，(2)2n n n nnb b a b -=-． （2）证明：当2=b 时，21211121112112122=-+≤-+=-+-=-=n n n n n a n ，1111211222n n n n b +++++=+=． ∴对于一切正整数n ,1112n n n b a ++≤+． 当2≠b 时， ∴nn nn b b b n a --=2)2(, ∴要证1112n n n b a ++≤+．即证≤--nn n b bb n 2)2(1112n n b +++． 即证n n n n b b bb n 12221+≤--+．即证n n n n n n n b b b b b b n 1222221122321+≤+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++-----．即证n b b b b b b n n n n n n n ≥+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++-----+)2222)(12(1223211．设)2222)(12(1223211-----++⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++=n n n n n n n b b b b bb S ,∴)1222()2222(23121143322b b b b b b b b S n n n n n n n n +⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-----+)22()22()22()12(1132432322+-++⋅⋅⋅++++++=n nn n b b b b b b b b∴根据均值不等式得：1132432322222222222122+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅≥n nnn b b b b b b b b S n =+⋅⋅⋅+++=1111．∴当2≠b 时，对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．综上：对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．2.（2012广东理数19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n ∈N ，且1a ，25a +，3a 成等差数列.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 解：（1）当1n =时，21122221S a a ==-+，得2123a a =+当2n =时，3212322()21S a a a =+=-+，得31613a a =+ 因为1a ，25a +，3a 成等差数列所以2132(5)a a a +=+，即1112(235)613a a a ++=++，解得11a = （2）11221n n n S a ++=-+……①当2n ≥时，1221nn n S a -=-+……② ①-②得122nn n n a a a +=-- 整理得132nn n a a +=+ 则1123(2)n n n n a a +++=+即11232n n nn a a +++=+(2)n ≥ 由（1）得25a =，所以当1n =时，2211232a a +=+ 所以{2}nn a +是以3为首项，3为公比的等比数列 所以1233nn n a -+=⋅所以32nnn a =-，*n ∈N（3）证明：当1n =时，11312a =<当2n ≥时，132n n +>所以1111132222n n n n nn a +=<=-- 所以12311211(1)1111111131342111(1)12222222212n n n n n a a a ---+++<++++=+=+-=-<- .所以对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< .3．（2013广东理数19）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 解：(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .四、拓展训练1、在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，且a 1a 3＝4，a 3＋1是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1＋log 2a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：（1）由a n >0可知公比q >0，则可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 3＝4，2（a 3＋1）＝a 2＋a 4⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝4，2（a 3＋1）＝a 2＋a 4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，2（a 2q ＋1）＝a 2＋a 2q 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，q ＝2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，故a n ＝2n －1. （2）∵b n ＝a n ＋1＋log 2a n ＝2n ＋（n －1），∴S n ＝（21＋22＋23＋…＋2n ）＋［0＋1＋2＋…＋（n －1）］＝2（1－2n ）1－2＋n （n －1）2＝2n ＋1＋n （n －1）2－2.2、 已知函数f (x )＝xx ＋3，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝3n 2a n a n ＋1，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：S n <12.解：（1）由已知a n ＋1＝a n a n ＋3，取倒数得1a n ＋1＝3a n ＋1，变形为1a n ＋1＋12＝31a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是首项为1a 1＋12＝32，公比为3的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n 2， 所以a n ＝23n －1.（2）证明：由（1）知b n ＝2×3n （3n －1）（3n ＋1－1）＝13n －1－13n ＋1－1， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝131－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1<12.3、已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2且n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n ，并证明：S n2n >2n －3.解：（1）∵a n ＝2a n －1＋2n （n ≥2且n ∈N *）， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1， 即a n 2n －a n －12n －1＝1（n ≥2，且n ∈N *），∴数列a n 2n 是等差数列，公差d ＝1，首项为12，于是a n 2n＝12＋（n －1）·1＝n －12，∴a n ＝n －12·2n . （2）由（1）得S n ＝12·21＋32·22＋…＋n －12·2n ，①2S n ＝12·22＋32·23＋52·24＋…＋n －12·2n ＋1，②①－②得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －n －12·2n ＋1＝2＋22＋23＋…＋2n －n －12·2n ＋1－1＝2（1－2n ）1－2－n －12·2n ＋1－1＝（3－2n ）·2n －3. ∴S n ＝（2n －3）·2n ＋3.∵S n ＝（2n －3）·2n ＋3>（2n －3）·2n ，∴S n2n >2n －3.4、 某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的本校课程．要求每个学生都参加，且第一次听“音乐欣赏”课的人数为m (400<m <600，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，用a n ，b n 分别表示在第n 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．(1)若m ＝500，分别求出第二次、第三次选“音乐欣赏”课的人数a 2，a 3； (2)①证明数列{a n －600}是等比数列，并用n 表示a n ；②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5 800，求m 的取值范围． 解：（1）由已知a n ＋b n ＝1000，又a 1＝500，所以b 1＝500. a 2＝0.8a 1＋0.3b 1＝550，b 2＝450. a 3＝0.8a 2＋0.3b 2＝575.（2）①由题意得a n ＋1＝0.8a n ＋0.3b n ，又a n ＋b n ＝1 000， 所以a n ＋1＝0.8a n ＋0.3（1000－a n ）＝0.5a n ＋300. a n ＋1－600＝0.5a n －300＝0.5（a n －600）. 由于a 1＝m ∈（400，600），所以a 1－600≠0.所以数列{a n －600}是首项为m －600，公比为12的等比数列.所以a n －600＝（m －600）×12n －1，即a n ＝600＋（m －600）×12n －1.②前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列{a n }的前10项和S 10.S 10＝600×10＋（m －600）×1－12101－12＝6000＋（m －600）×1023512.由已知S 10≤5800，即6000＋（m －600）×1023512≤5800，即200≤（600－m ）×1023512，即600－m ≥200×5121023，即m ≤600－200×5121023≈499.9，故m ≤499.所以m 的取值范围是（400，499］且m ∈N *.5、（2013·江西卷） 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 解：(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得 [S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项为a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2. T n ＝116⎣⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－⎦⎤1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2＝1161＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564.。