16初三上图形的相似讲义
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解.
......九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(1)相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是a mb n，或写成a:b m:n．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a,b,c,da c 成比例，那么应得比例式为：=．b d②在比例式a c(a：b c：d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项,如果b=c，即b da：b b：d那么b叫做a、d的比例中项，此时有b2ad。
③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质：①a:b=c:d则有ad=bc（两外项之积等于两内向之积）；②②a:b b:c b2ac．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如a d bc，除了可化为a:b c:d，还可化为a:c b:d，c:d a:b，b:d a:c，b:a d:c，c:a d:b，d:c b:a，d:b c:a．a b，(交换内项)c da c d c（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：，(交换外项)b d b ad b．(同时交换内外项)c a（3）合、分比性质：（4）等比性质：如果a c a b c d．b d b da c e m(b d f n 0)b d f n，那么a c e m ab d f n b．注：......①此性质的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a c e a 2c3e a 2c 3e a；其中b 2d 3f 0b d f b 2d3f b 2d 3f b．（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD∥BE∥CF,A DB E可得AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA或或或或BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB等.C F注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能有AD,BE,CF的比例关系（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC BC)，且使AC是AB和B C的比例中项，即AC2AB BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC 512AB≈0.618AB．即AC BC5 1AB AC2简记为：长短51＝＝全长2注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
初三数学图形的相似知识精讲
初三数学图形的相似【本讲主要内容】图形的相似包括比例线段，比例性质，相似图形，相似多边形，相似多边形的性质，相似比。
【知识掌握】【知识点精析】1. 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作abcd=或a：b＝c：d。
线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。
如果abbc=或a：b＝b：c，那么线段b叫做线段a、c的比例中项。
2. 比例性质（1）比例的基本性质如果a：b＝c：d，那么ad＝bc；如果ad＝bc，那么a：b＝c：d。
特殊地，如果a：b＝b：c，那么b2＝ac；如果b2＝ac，那么a：b＝b：c。
（2）合比性质如果abcd=，那么a bbc dd+=+；（3）分比性质如果abcda bbc dd=-=-，那么。
（4）等比性质如果abcdefmnb d f n===++++≠……（…）那么a c e mb d f nab ++++++++=……3. 形状相同的图形叫做相似图形。
4. 形状相同的多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
5. 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
6. 如果两个多边形对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
【解题方法指导】例1. 已知：abcd==23，求a cb d++=___________。
分析：利用等比性质求得。
解：∵abcd =∴a cb d a b++= 又∵a b =23∴a c b d ++=23评析：等比性质可灵活运用。
例2. 已知a b m n a b a b=+-=，则____________。
分析：可由合比性质及分比性质求得。
解：∵a b m n= ∴a b b m n n+=+ a b b m n n-=- ∴a b b a b b m n n m n n+÷-=+÷- ∴a b a b m n m n+-=+- 评析：这里是由合比性质及分比性质相除得到的，体现了它的活用。
第四章图形的相似 讲义
第四章 图形的相似4.1 成比例线段【知识点】1. 线段的比：两条线段长度之比称为线段的比（单位一致）。
2.比例线段：若四条线段a 、b 、c 、d 满足d c b a =，则称四条线段a 、b 、c 、d 为成比例线段。
2. 判断线段是否成比例的方法：①一排（从小到大或从大到小排序）②二算（计算比值是否相等）③三判断（判断是否成比例）。
注意：当四条线段成比例时，若其中一条长度未知，那么在确定比例关系时，有多种对应情况，需要分类讨论。
3.比例中项：若db b a =（或ad b =2），则称b 为比例中项。
4.比例基本定义：若a 、b 、c 、d 满足d c b a =（或a ：b=c ：d ），则称a 、b 、c 、d 为比例的项，a 、d 为比例外项，b 、c 为比例内项。
5.比例基本性质：若dc b a =（或a ：b=c ：d ），则ad=bc ； 若ad=bc （a 、b 、c 、d 都不为0），则d c b a =。
3. 合分比性质：若d c b a =，则d d c b b a ±=±；若d c b a =，则dkd c b kb a ±=±。
4. 等比性质：若ba n f db m ec a n m f ed c b a =⋯++++⋯+++=⋯===则,（b+d+f+...+n ≠0）。
考点1 线段的比1.如果在比例1：10000000的地图上，A 、B 两地的图上距离为2.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离为 _千米．2.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则在图上距离和实际距离的比是（ ）A.1:2000B. 1:200C. 200:1D. 2000:1考点2 比例线段1.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，则 d 的长度为( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm2.下列四条线段中，不能成比例的是 ( )．A ．a=3，b=6，c=2，d=6B ．a=4，b=6，c=5，d=10C ．a=1，b=2，c=6，d=3D ．a=2，b=5，b=15，d=323.已知三条线段a 、b 、c ，其中 a=1cm ，b=4cm ，c 是 a 、b 的比例中项，则c= cm4.已知三条线段的长分别为 1.5，2，3，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是 ( )A ．1B ．2.25C ．4D ．25.如图，在平行四边形 ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC 找出图中的一组比例线段，并说明理由．考点3 比例性质1.已知 xy=mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 ( )A.y m n x = B ．x n m y = C ．y n m x = D ．ny m x = 2.若 35b a =，则 bb -a = _． 3.已知 a ：b ：c=2:3:4，则b ac a -+= ． 4.已知53f e d c b a ===，b+d+f=50，那么a+c+e= .5.已知k c b a b c a a c b =+=+=+，则 k=6.把一张矩形纸片沿图中虚线裁成三张大小相同的矩形纸片，若得到的小矩形纸片长边与短边的比等于原来大矩形纸片的长边与短边的比，则大矩形纸片的长与宽之比为7.已知线段a 、b 、c ，满足623c b a == ，且a+2b+c=26，求c b a +的值．8.在△ABC 和△DEF 中，已知43===FD CA EF BC DE AB ,且△ABC 的周长为18，求△DEF 的周长。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为m,n ，那么就说这两条线段的比是a bm n，或写 成a:bm:n ．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a,b,c,d 成比例，那么应得比例式为：a b = c d． ac②在比例式(：：)中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,如果b=c ，即a ：bb ：dabcdbd2那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有bad 。
③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排 列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条 线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质：①a:b=c:d 则有ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；2②②a:bb:cbac ．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如adbc ，除了可化为a :bc :d ，还可化为a :cb :d ，c:d a:b ，b:da:c ，b :ad:c ，c:a d:b ，d:cb :a ，d:b c:a ． ab cd，(交换内项) （2）更比性质(交换比例的内项或外项)：a cdc bdba，(交换外项)db ca．(同时交换内外项)（3）合、分比性质：a cabcdbdbd．acem （4）等比性质：如果(bdfn0)bdfn注：，那么a b c d e fm na b． ①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a b cdefab2c2d3e3fab2c2d3e3fab；其中b2d3f0．（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,A D BE可得ABDEABDEBCEFBCEFABBC或或或或等.BCEFACDFABDEACDFDEEFC F注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能有AD,BE,CF的比例关系（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(ACBC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即512ACABBC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB2≈0.618AB．即51ACBCABAC2 简记为：长短＝＝全长512注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
九上(学生) 相似三角形讲义
第1讲相似图形与成比例线段之公保含烟创作【学习目标】1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,了解相似图形概念.2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比.【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念.【学习难点】成比例线段概念.【学习进程】知识点一：比例线段定义：关于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比，如果a cb d，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.例：如四条线段的长度辨别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？解：练习一：1、如图所示：（1）求线段比ABBC、CDDE、ACBE、ACCD（2）试指出图中成比例线段2、线段a、b、c、d的长度辨别是30mm、2cmcm、12mm 判断这四条线段是否成比例？3、线段a 、b 、c 、d、2、判断这四条线段是否成比例？ 4、已知A 、B 两地的实际间隔是250m 若画在图上的间隔是5cm ，则图上间隔与实际间隔的比是___________5、已知线段a=12、 b =2、c=2、若a c b x =，则x =_________若()0b y y y c =>，则y =__________6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ）知识点二：比例线段的性质比例性质是依据等式的性质失掉的，推理进程如下：（1） 基赋性质：如果a cb d =，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形b d ac =、a b cd =、c d a b =（2） 合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ±±= （3） 等比性质：如果a c e m b d f n ====()0b d f n ++++≠，那么a c e m a b d f n b ++++=++++例2 填空： 如果23a b =，则a =2a =、 a b b +=、 a b b -= 练习二：1、已知35a b =，求a b a b +-2、若234a b c ==，则23a b c a ++=_________3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ） A m x n y = B m n y x = C y m x n = Dx y n m = 4、已知570x y -=，则x y=_______5、已知345x y z ==，求x y z x y z +++-=________ 第2讲平行线分线段成比例【学习目标】1.了解掌握平行线分线段成比例定理，会用符号“∽”暗示相似三角形，如△ABC ∽△C B A ''';2.知道相似多边形的主要特征3.会依据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质停止相关的计算.【学习重点】了解掌握平行线分线段成比例定理及应用．相似多边形的主要特征与识别.【学习难点】掌握平行线分线段成比例定理应用．运用相似多边形的特征停止相关的计算.【学习进程】知识点三：平行线分三角形两边成比例线段(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4,l 5.辨别量度l 3 , l 4,l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB︰BC 与DE ︰EF 相等吗?(2) 问题，AB ︰AC=DE ︰（ ），BC ︰AC=（ ）︰DF ．强调“对应线段的比是否相等”(3) 归结总结：平行线分线段成比例定理 三条_________截两条直线，所得的_______________. 应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；4）例1 如图、若AB=3cm ，BC=5cm ，EK=4cm ，写出EK KF = =_____、AB AC =______. 求FK 的长? [活动2]平行线分线段成比例定理推论l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2（2），AB CE K F所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的3、 归结总结：平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的线段.例1:如图在ABC ∆中,90C ∠=︒，,3,2,5DE BC BD cm DC cm BE cm ⊥===求EA 的长解：例2如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．剖析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有AC AE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再依据AB AD BC DE =求出DE 的长． 解：[稳固练习]1.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，ECD 和BD. 2．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:EA=2:3，EF=4，求CD 的长．[能力提升]1．如图，△ABC ∽△AED,其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．[归结]判定三角形相似的（预备）定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似.这个定理提醒了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线结构三角形与已知三角形相似．练习2：1、 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，DE ⊥AC 交AB 于D ，交AC 于E ，如果DE =5，AE =12， AC =28.求AB 的长2、在ABC ∆中，DE //BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，F 为BC 上一点，DE 交AF 于G ，已知AD=2BD ，AE =5，求（1）AG AF ；（2）AC 的长3、 如图：在ABC ∆中，点D 、E 辨别在AB 、AC 上，已知AD =3，AB =5，A E=2，EC =43，由此判断DE 与BC 的关系是___________,理由是____________________________4、 如图：AM ：MB=AN ：NC=1：3，则MN ：BC=__________5、 如图：在ABC ∆中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，AC =5，BC =3，求：AE ：DF 的比值.6、在ABC ∆中，D 、E 辨别在AB 、AC 上，且DE //BC ，如果23AD DB =，且AC ＝10，求AE 及EC 的长.7．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．8、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h ．(设网球是直线运动)第3讲 相似多边形【学习目标】1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.2．会依据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质停止相关的计算.【学习重点】相似多边形的主要特征与识别.【学习难点】运用相似多边形的特征停止相关的计算.【学习进程】[探究研讨][活动1]察看，图27.1-4(1)中的△A 1B 1C 1是由正△ABC 缩小后失掉的,察看这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？知识点四：相似多边形1、 相似形定义：具有 的图形称为相似形2、 相似多边形：对应角，的多边形叫相似多边形3、 相似多边形的性质：○1相似多边形的对应角相等，对应边的比相等反过去，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.3．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1中若111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．则⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．[例题解析]例1、（选择题）下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似剖析：A中平行四边形各角纷歧定对应相等，因此所有的平行四边形纷歧定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，然则各对应边的比纷歧定相等，因此所有的矩形纷歧定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，然则各角纷歧定对应相等，因此所有的菱形纷歧定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．例2、如图：已知，四边形ABCD与四边形A B C D''''相似，求B C''，C D''长和D∠年夜小解：5稳固练习11．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的间隔是30cm，求两地的实际间隔．2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d 的长度．4如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的年夜小和EH 的长度x ．练习2：1、下列说法正确的是 （ ）A 任意两个菱形一定相似B 任意两个矩形一定相似C 有一个角是30︒的两个等腰三角形相似D 任意两个等腰直角三角形一定相似2、已知26AOB ∠=︒，在缩小镜里看到的AOB ∠的度数是___________3、在ABC ∆中，BC ＝15cm ，AC ＝45cm,AB ＝54ｃｍ，另一个与它相似的三角形最短边是5ｃｍ，则最长一边是4、用一个缩小镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长缩小10倍后，下列说法正确的是（ ）A A ∠是原来的10倍B 周长是原来的10倍C 每个内角都发作了变卦D 以上说法都分歧毛病5.四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似图形，且A 与A '、B 与B '、C 与C '是对应点，已知AB ＝10、BC ＝8、CD ＝８、AD ＝６、30A B ''=，求四边形A B C D ''''的其余三边的边长及周长.6.正五边形ABCDE ∽正五边形A B C D E '''''，且2AB A B =''，若6C D ''=，则CD ＝＿＿＿○2相似多边形对应边，周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方例5：如图：在等腰梯形ABCD中，上底为5，下底为13，腰长为5，等腰梯形A B C D''''与它相似，相似比为32，求等腰梯形A B C D''''的周长及面积.解：练习3：1、已知多边形A与多边形B相似，且多边形A与多边形B的周长比为1：3，则:B AS S＝＿＿＿2、已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较年夜的一个多边形的周长为＿＿＿＿＿，若较年夜的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是＿＿＿＿＿3、两个相似多边形的最长边辨别是70和28，它们的周长和为280，则它们的周长辨别为＿4、如果把一个12ｃｍ⨯21ｃｍ的矩形按相似比为34停止变换，失掉的新矩形的周长为＿＿面积为＿＿＿＿5、两个相似多边形一组对应边的长辨别是3cm和4cm，它们的面积相差282cm，求这两个多边形的面积辨别是多少？知识点五：相似三角形1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.2、相似三角形的判定办法：（1）判定办法一：定义判定（2）判定办法二：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边反向延长线）所构成的三角形与原三角形相似例题6：如图：DE //BC ，交AB 于D 、交AC 于E ，若AD ：DB ＝2：３，BC ＝１５，求DE 的长解：练习题4：1、如图：DE //BC ，则图中________∽__________,理由是__________2、如图：AB //EF //DC ，则图中相似三角形有_______对，它们辨别是________3、如图：在ABC 中，DE //BC ，AD ＝EC 、BD ＝1cm ，AE ＝4cm 、BC ＝5cm,求DE 的长4、如图：AB //CD ，OA ：OD ＝1：2，AB ＝4cm ，则CD 的长为 （ ） A 2cm B 6cm C 8cm D 10cm5、如图：AB//CD ，则图中有_______对相似三角形第4课时相似三角形的判定：【学习目标】1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”第2题图 第1题图“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”两角对应相等，两个三角形相似的判定办法．的判定办法，2．能够运用三角形相似的条件解决复杂的问题．【学习重点】掌握3种判定办法，会运用3种判定办法判定两个三角形相似.【学习难点】（1）三角形相似的条件归结、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．【学习进程】[知识回忆](1) 两个三角形全等有哪些判定办法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的办法？(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？探究研讨1[活动1]1、如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2、可否用相似于判定三角形全等的SSS办法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？[活动2]任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）探求证明办法．（已知、求证、证明）如图27.2-4，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，A C CA C B BC B A AB ''=''=''，求证△ABC∽△A ′B ′C ′证明 ：【归结】三角形相似的判定办法1如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．判定办法2：如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对应成比例，而且这两条边的夹角相等，那么这两个三角形相似，复杂说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长解：例题2：如图：BC 平分ABD ∠，AB ＝4、BD＝10、BC ＝210，求证：△ABC ∽△CBD证明：三角形相似的判定办法3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．复杂说成：“两角对应相等，两个三角形相似”若∠=∠∠=∠A A B B ''，则∆∆ABC A B C ~'''直角三角形相似判定办法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似.复杂说成：斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似.若：AC A C AB A B ''''=则∆∆ABC A B C ~'''例3.已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．[稳固练习]1 、填一填（1）如图3，点D 在AB 上，当∠＝∠时，△ACD ∽△ABC.（2）如图4，已知点E 在AC 上，若点D 在AB 上，则满足 条件，就可以使△ADE 与原△ABC 相似.2..判断ABD图 3 ● A B CE图 4ABC ∆与A B C '''∆是否相似并说明理由.100A ∠=︒AB ＝5cm AC=15cm3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．4.在ABC DEF ∆∆和中，30A ∠=︒、AB ＝8cm 、AC=10cm 、DE=4cm 、DF=5cm 当______时△ABC ∽△DEF5如图：正方形ABCD 中，P 是BC 上一点，且BP ＝3PC 、Q 是CD 的中点，则AQ PQ =____6．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 辨别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．8.(1)如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD•AB，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由． （2）如图，△ABC 中，点D 在AB上，如果∠ACD=∠B ，那么△ACD 与△ABC相似吗？[能力提升]1．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ．2．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD •AD ，求证：△ADC ∽△CDP ．3、在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？4、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EF BF AF =．5.已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ． 第5讲 相似三角形的性质知识点六：相似三角形的性质：相似三角形的性质（1）相似三角形的周长比等于相似比 例题1：ABC ∆与ADE ∆相似， CE ＝15、AE ＝30、D E ＝40、AD ＝20、DE //BC ，求ABC ∆的周长解：练习1：1、两个相似三角形的相似比为3：5，则周长比为__________2、两个相似三角形的相似比的平方等于2，周长之比为k ,则11k -=__________3、两个相似三角形一对对应边的长辨别为35cm 和15cm ，它们的周长差为60cm ，则这两个三角形的周长辨别是_____________4、如图：在ABC∆中，D、E、F辨别是边AB、BC、AC的中点，若ABC∆的周长为20cm,则DEF∆的周长为（）A 5cmB 10cmC 12cmD 15cm5、如图：在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于O，若AOD∆的周长之比为1：4，且BD＝12cm，则BO的∆与COB长为__________ cm相似三角形的性质（2）：相似三角形的面积比等于相似比的平方例题2：两个相似三角形一组对应边的长辨别是3cmcm，若它们的面积和是782cm，则较年夜的三角形的面积是（）A 422cmB 522cmC 542cmD 562cm练习2：1、相似三角形的周长比等于________面积比等于___________2、已知两个相似三角形的对应边的比为1：2则它们的周长比为______面积比为________3、已知△ABC∽△A`B`C`，它们的周长辨别为56cm、72cm，则它们的面积比为_________4、在比例尺为1：1000的地图上有一块周长为6cm，面积为1.2 cm的区域，这块区域的实际周长为___________面积为__________5、如图：在ABC∆中，DE//FG//BC、且AD＝DF＝FB，则::ADE DEGF FGCB S S S 四边形四边形＝_______相似三角形的性质（3）：相似三角形对应边上的高、对应边上的中线对应边上的角平分线的比等于相似比例题3：如图：在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE 、MN ⊥BE ，求BM ：MN解：练习3：1、 两个相似三角形的对应高的比为2：3，则对应角平分线的比为______,对应中线的比为_________,面积比为____________2、 已知两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，周长和为18cm ,那么这两个三角形的周长辨别是____________3、 若△ABC ∽△A`B`C`，它们对应中线之比为m ,则对应周长比为______,对应面积比为_____4、 如图：在Rt ABC ∆中，DE 垂直且平分AC 、AE //DF ,则DF ：BE ＝________5、 如图：在ABC ∆中，DE //BC 、ABC ∆与ADE ∆的相似比为5：4，AM BC ⊥交DE 于M 、已知MN ＝2，求AN 的长. 第6课时相似三角形应用举例【学习目标】1．进一步稳固相似三角形的知识．2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接丈量物体的长度和高度（如丈量金字塔高度问题、丈量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养剖析问题、解决问题的能力．【学习重点】运用三角形相似的知识计算不能直接丈量物体的长度和高度．【学习难点】灵敏运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．【学习进程】[知识回忆]1、判断两三角形相似有哪些办法?2、相似三角形有什么性质？探究研讨11、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么法子丈量？例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾应用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来丈量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？）剖析：依据太阳光的光线是相互平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子相互平行，从而结构相似三角形，再应用相似三角形的判定和性质，依据已知条件，求出金字塔的高度．解：[稳固练习]在某一时刻，有人测得一高为米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）探究研讨2已知左、右并排的两棵年夜树的高辨别是AB=8m和CD=12m，两树根部的间隔BD=5m．一个身高的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的间隔小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？解：经典例题例题1：小强用以下办法来丈量教学楼AB的高度，如图所示：在水平空中上放一面平面镜与教学楼的间隔EA=21m，当他与镜子的间隔CE=2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学年夜楼的顶端B，已知他眼睛距空中的高度DC=1.6m，请你帮助小强计算出教学楼的高度AB为多少米？解：例题2：如图，为了预算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．如果测得QS =45m ，ST =90m ，QR =60m ，求河的宽度PQ ．解：练习：1、 已知如图：AB 为树、AC 是它的影长，AD 是一段树干，AD 的影长为AE ，AC=8m 、AE=2m 、AD=1.5m,求树高AB 的长2.如图，测得BD=120 m ，DC=60 m ，EC=50 m ，求河宽AB.[能力提高]1.为了丈量一水池的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC ⊥AB ，在AC 上找到一点D ，在BC 上找到一点E,使DE ⊥AC ，测出AD=35m ，DC=35m ，DE =30m,那么你能算出水池的宽AB 吗?E第1题图 2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，而且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．第2题图A BC D第3题图第1题图3、马戏团让狮子和公鸡饰演跷跷板节目，如图：跷跷板支柱AB的高度为1.2米，（1）若吊环高度为2米，支点A为PQ中点狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改动其他条件的前提下，移动支柱，当支点A移到PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？4.某社区拟筹资金2000元，方案在一块上、下底辨别为10m、20m的梯形空地上种植花木，如图：他们想在AMD∆和BMC∆地带种植价钱为10元/m2的太阳花，外地AMD∆带种满花后已经花了500元，请预算一下，若持续在BMC∆地带种植同第4题图样的太阳花，资金地否够用？并说明理由.5、李乐同学要在校园里丈量一棵年夜树的高度，他发现树旁有一根高2.5m的电线杆，当他与年夜树和电线杆站在同一条直线上时，其前后间隔，恰好使他的头顶、树顶、电线杆的顶点也都在一条直线上，他又用皮尺量得他和电线杆之间的水平间隔为3m，电线杆与树间的水平间隔为10m，同时他借助他1.7m的身高，确定了树的高度，你能剖析他是如何计算出来的吗？6、小明想应用树影丈量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上丈量树影时，因树接近一幢修建物，影子不全落在空中上，有一局部影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得空中局部的影长2.7m，他求得的树高是多少？第7课时位似【学习目标】1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联络和区别，掌握位似图形的性质．2、掌握位似图形的画法，能够应用作位似图形的办法将一个图形缩小或缩小．【学习重点】位似图形的有关概念、性质与作图．【学习难点】应用位似将一个图形缩小或缩小．【学习进程】[探究研讨][活动1]提出问题：生活中我们常常把自己美观的照片缩小或缩小，由于没有改动图形的形状，我们失掉的照片是真实的.察看图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？通过察看了解到有一类相似图形，除具有相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归结出位似图形的概念：如果两个图形不只是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.)知识点八：位似1、 位似的定义：两个多边形不只相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边相互平行的两个图形叫做位似图形.交点叫做位似中心. 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．2、 位似的性质：位似图形对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的比等于相似比3、应用位似，可以将一个图形缩小或缩小4、位似变换与坐标的关系在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k - 例题1：已知EFH ∆和MNK ∆是位似图形，请找出位似中心A 例2：把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的21．剖析：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的间隔与原图形各对应顶点到位似中心的间隔之比为1∶2 ．作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O ；（2）过点O 辨别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）辨别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='；（4）顺次衔接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，失掉所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图2．问：此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 辨别作射线OA ， OB ， OC ，OD ；（3）辨别在射线OA ， OB ， OC ， OD 的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='；（4）顺次衔接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，失掉所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图3．作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点O ；（2）过点O 辨别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）辨别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次衔接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，失掉所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图4．（当点O 在四边形ABCD 的一条边上或在四边形ABCD 的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成） 例题3：如图：五边形ABCDE 与五边形A B C D E '''''是位似图形，O 为位似中心、OD ＝12OD '，则A B AB ''为 （ ）A 2:3B 3:2C1:2D 2:1例题4：ABC ∆三个顶点坐标辨别为()6,6A -、()8,2B -、()4,0C -、画出它的以原点为位似中心，相似比为12的位似图形. 解3、 运用位似图形的有关概念解决详细问题例题5：印刷一张矩形的张贴广告，如图所示，它的印刷面积是32dm ，上下各空白1dm ，两边各空白0.5dm ，设印刷局部从上到下的长是x dm ，四周空白处的面积为S 2dm（1）求S 和x 的关系式;（2）当要求四周空白处的面积为182dm ,求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？（3）在（2）的条件下，内外两个矩形的位似图形吗？说明理由.解：（3）内外两个矩形是位似图形，因为两矩形相似，且对应顶点的连线都经过矩形中心，如图所示稳固练习11．画出所给图中的位似中心．2.把右图中的五边形ABCDE 扩展到原来的2倍．[能力提升]1．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC ，且使相似比为1.5，要求（1）位似中心在△ABC 的外部；（2）位似中心在△ABC 的内部；（3）位似中心在△ABC 的一条边上；（4）以点C 为位似中心．练习2：1、 如图：△ADE ∽△ABC ， ABC ∆与ADE ∆_______位似图形（填“是”或“不是”）2、 应用位似图形 可以将一个图形_________或___________3、 下列说法正确的 ( )A 相似的两个正五边形一定是位似图形B 两个年夜小分歧的正三角形一定是位似。
北师大版九年级(上)数学第四章图形的相似讲义---黄金分割
第四章图形的相似1.黄金分割：(1).定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：AC AB =≈0.618AB(0.618是黄金分割的准确值).(2).作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形【例1】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm ，下半身长与身高l 的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【例2的三角形是黄金三角形），若△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．【例3】如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示以PA 为边的正方形的面积，S 2表示长为AB ，宽为PB 的矩形的面积，则( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．无法确定S 1和S 2的大小x【例4】如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【例5】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【例6】宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以点N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于点E ；第四步：过点E 作EF⊥AD，交AD 的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．BC AB 215【例7】三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图①，在△ABC 中，已知AB＝AC，∠A＝36°.(1)在图①中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于点D，并连接BD(保留作图痕迹，不写作法)．(2)△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．(3)设BCAC＝k，试求k的值．【例8】如图①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB＝BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；(4)如图④，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC 于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD各边的黄金分割点．。
初三数学九年级上册知识点——图形的相似
九年级数学上册知识点图形的相似一、成比例线段1.定义：（1）线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
2.定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交。
截得的线段成比例。
三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件1.两角分别相等的两个三角形相似。
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.三边成比例的两个三角形相似。
4.概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
六、利用相似三角形测高1.利用阳光下的影子2.利用标杆3.利用镜子的反射七、相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
初三数学课堂讲义---相似
初三数学课堂讲义---相似学校 姓名Ⅰ.知识归纳1．几个重要概念与性质①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即ba ＝dc ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果d c b a =，那么ad=bc 。
如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a =。
②合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a ±=±。
③等比性质：如果d c b a ==∙∙∙=n m (b+d+∙∙∙+n ≠0)，那么ban d b m c a =+∙∙∙+++∙∙∙++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.补充：射影定理射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt △ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD ２＝ＢＤ•AD 、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
）图1ABDEAD 图3E BCF GⅡ.典例剖析例1① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km 。
② 若b a =32 则b ba +=__________. ③ 若b a b a -+22=59 则a ：b=__________.④ 已知: 2a =3b =5c且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____.⑤ 某同学想利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在某一时刻他测得自己影子长为0.8m ，立即去测量旗杆的影子长为5m ，已知他的身高为1.6m ，则旗杆的高度为___m.例2．如图1，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使△ABC 与△AED 相似．（20XX 年浙江省金华市中考试题）例3、如图18-6，在□ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连结DE ，交AC 于点G ，交BC 于点F ，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有( )A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对例4．将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图3的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，那么图形中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，把他们一一写出来．（20XX 年吉林省中考试题）例5、如图18-4，∆ABC 中，E 为中线AD 上一点，且AE=1/3AD.BE 的延长线交AC 于点F ，则AF:FC=＿＿＿ .A F EB DC 图18-4ADGCBEF 图18-6N M Q P E D B A 例6、 如图1，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，求证：AB ·AC=AE ·AD.图1例7、在△ABC 中，AD 是高，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在AB 、AC 上，QM 在边BC 上.若BC=8cm ，AD=6cm ，且PN=2PQ ，求矩形PQMN 的周长.Ⅲ.同步测试 一、选择题1．已知5y －4x ＝0，那么（x ＋y ）︰（x －y ）的值等于………………………………（ ）（A ）91 （B ）－9 （C ）9 （D ）－91 2.在比例尺为1∶20的图纸上画出的某个零件的长是32mm ，这个零件的实际长是（ ） (A)64m (B)64dm (C)64cm (D)64mm3.已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）, 则AC ∶BC = ( )(A)(5－1)∶2 (B)（5 +1）∶2 (C)（3－5）∶2 (D)（3+5）∶24 如图18-25，在□ABCD 中，G 是BC 延长线上的一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交与点F ，则图中相似三角形共有（ ）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对(第4题图) (第5题图) (第6题图)5、小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高为0.8m ），且落在对方区域离网5m 的位置上，已知他击球的高度是2.4m ，则她应站在离网的（ ）ABCDNDABEFGA.15m 处B.10m 处C.8m 处D.7.5m 处6、如图，在□ABCD 中，如果M 为CD 中点，AM 与BD 相交于点 N ，那么S △DMN ∶S □ABCD 为 （ ） A 、1∶12 B 、1∶9 C 、1∶8D 、1∶67、如图是一束平行的阳光从感教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角AMC=30°，在教室地面的影长MN=23米。
北师大版九年级数学(上)第四章图形的相似：相似三角形讲义
相似三角形综合运用讲义【考点剖析】相似三角形是几何中较难的部分，也是每年中考的热点，相似三角形对圆的学习以及各种类型的综合性问题的解决都有很大的帮助。
在此，我们对相似三角形中经常出现的解答方法与技巧进行讲解。
【例题巧解点拨】一、运用三角形相似的条件进行解答。
例1.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP ．目标训练1.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．2.如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证∠AED ＝∠ACB ．二、相似与函数的运用。
例2.在△ABC 中，∠C ＝90°，P 为AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB ，交AC 边于E 点，点E 不与点C 重合，若AB=10，AC=8，设AP 的长为x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 之间的函数关系式。
目标训练1.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=25，斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（2，0），求直角边BC 所在直线的解析式。
2.已知梯形ABCD 中，AD//BC （AD<BC ），AD=5，AB=DC=2。
（1）如图1，P 为AD 上一点，满足∠BPC=∠A 。
①求证：△ABP ∽△DPC ； ②求AP 的长。
（2）如图2，若点P 在AD 上移动（与A 、D 点不重合），且满足∠BPE=∠A ，PE 交BC 于点E ，交DC 的延长线于点Q ，设AP=x ，CQ=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
三、阅读理解类问题。
例3.阅读下列材料，补全证明过程：（1）已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点． （2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．目标训练1.如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2.已知：△ABC 中，AB ＝10 ⑴如图①，若点D 、E 分别是AC BC 边的中点，求DE 的长； ⑵如图②，若点A 1、A 2把AC 边三等分，过A 1、A 2作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2，求A 1B 1＋A 2B 2的值； P A C E A B CO B A C D P B A C D P E D F O N D EF O N C OD ( F )⑶如图③，若点A 1、A 2、…、A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2、…、B 10。
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1课题 图形的相似 ○学●学习目标1、掌握比例线段、比例性质2、掌握相似三角形的性质和判定方法●课前导学三角形全等的判定方法●课堂导学一、比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成（ ）在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的（ ），b 叫做比的（ ）。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的（ ）。
2、比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbc a =（交换内项） ⇒=dcb a ac bd =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项） nmb a =dc b a =2（3）反比性质（交换比的前项、后项）：cd a b d c b a =⇒= （4）合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒= （5）等比性质：ban f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB 二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成（ ）。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
三、相似三角形1、相似三角形的概念对应角（ ），对应边（ ）的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做（ ）（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC 相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC ，都有△ABC ∽△ABC ；（2）对称性：若△ABC ∽△A ’B ’C ’，则△A ’B ’C ’∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：（）相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为（）④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为（）⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为（）（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的（）和（）与另一个直角三角形的斜边和一条（）对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与（）相似。
4、相似三角形的性质（1）相似三角形的（）相等，（）成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于（）（3）相似三角形周长的比等于（）（4）相似三角形面积的比等于（）。
5、相似多边形（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形（）叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质①相似多边形的（）相等，（）成比例②相似多边形（）、（）都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于（）346、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做（ ），此时的相似比叫做（ ）。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于（ ）。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做（ ）。
利用位似变换可以把一个图形（ ）。
●例题精讲例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。
（2）小芳的身高是1.6m ，在某一时刻，她的影子长2m ，此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是_________米。
例2. 如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式错误的是：____________A AD AB AEAC B CE CF EAFB ..==C DE BC ADBDD EF AB CFCB..==例3. 如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP CD ABC ==123，，求△的边长例4.如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，（1）求证：△AEF∽△CEA（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°分析：因为△AEF、△CEA有公共角∠AEF故要证明△AEF∽△CEA只需证明两个三角形中，夹∠AEF、∠CEA的两边对应成比例即可。
例5.已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F例6. 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F56求证：AE AF ACAB=分析：观察AE 、AF 、AC 、AB 在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。
因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代换，通过△∽△，可得：，于是得到·，同理ABD ADE AB AD ADAEAD AE AB ==2 可得到·，故可得：··，即AD AF AC AE AB AF AC AE AF ACAB2===例7. 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD=∠B ，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC 的长。
分析：本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。
例8. 如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2=AF ·FC例9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC的面积。
分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。
把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。
●课堂练习一、填空题1. 已知a ba b+-=2295，则a b：=__________2. 若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是__________cm3. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE与△ABC的面积之比为：__________。
74. 已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c为__________cm。
5. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________6. 已知三个数1，2，3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=__________8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________二、选择题1. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________A. 9：16B. 3：2C. 3：4D. 3：72. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________米2A. 104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论：8①AEECBEFC=②ADBFABBC=③EFABDEBC=④CECFEABF=其中正确的比例式的个数是__________A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是__________A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________A. △AED∽△ACBB. △AEB∽△ACDC. △BAE∽△ACED. △AEC∽△DAC三、解答题：1. 如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。
92. 如图，△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求证：△ABC∽△CBD。
3. 如图，BE为△ABC的外接圆O的直径，CD为△ABC的高，求证：AC·BC=BE·CD4. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB 45，（1）求证：CE=EF10（2）求EG的长●课后小结●课后作业3．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）11A．B．C．D．8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：213．如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_________．20．如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．1224．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．13。