【全国百强校】海南省海南中学2016届高三考前高考模拟(十)理数试题(解析版)
2016届海南中学高三考前高考模拟(十一)考试数学(理)试题(解析版)
2016届海南中学高三考前高考模拟（十一）考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|20}P x x =-≤，2{|90}Q x x x =+≥，则P Q = （ ） A ．(,9]-∞- B ．[0,2] C ．(,9][0,2]-∞- D ．[9,0]- 【答案】C【解析】试题分析：因为{|2}P x x =≤，{|90}Q x x x =≤-≥或，所以{|902}P Q x x x =≤-≤≤ 或，故选C.【考点】集合的运算.2．已知i 为虚数单位，则复数112112ii -+在复平面所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【解析】试题分析：由复数除法的运算法则可知1111(1)(1)34222111551(1)(1)222i i i i i i i ---==-++-，故选A.【考点】复数的运算.3．已知函数()f x 关于直线2x =-对称，且周期为2，当[3,2]x ∈--时，2()(2)f x x =+，则5()2f = （ ）A ．0B ．14C ．116D ．1【答案】B【解析】试题分析：由题意可得2513551()()()()(2)222224f f f f ==-=-=-+=，故选B.【考点】函数的周期性与对称性.4．已知a R ∈，则“33a<”是“1a <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：由33a <，得1a <；由1a <，得33a <，则“33a<”是“1a <”的充要条件，故选C.【考点】充要条件的判断.5．已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂，则l α⊥B ．若,//,l m ααββ⊥⊂，则l m ⊥C ．若//,l m m α⊂，则//l αD ．若,,l m ααββ⊥⊥⊂，则//l m【答案】B【解析】试题分析：A 中，由线面垂直的判定定理可知，需满足：,m n 是两条相交直线，结论才成立，故A 项错误；B 中，因为,//l ααβ⊥，所以l β⊥. 又m β⊂，所以l m ⊥，故B 项正确；C 中，由线面平行的判定定理可知，需满足：l 在平面α外，结论才成立，故C 项错误；D 中，l 与m 还可以相交或异面，故D 项错误，故选B. 【考点】空间中直线与平面的平行与垂直关系.6．圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．22(1)(2)1x y ++-=C ．22(2)(1)1x y ++-=D ．22(1)(2)1x y -++= 【答案】A【解析】试题分析：因为圆心(1,2)关于直线y x =的对称点为(2,1)，所以圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为22(2)(1)1x y -+-=，故选A.【考点】圆的标准方程.7．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 【答案】A【解析】试题分析：因为高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7人，所以每210307=人抽取1人，所以从高三学生中抽取的人数应为3001030=. 故选A. 【考点】分层抽样. 8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（ ）A ．．．3 D ．3【答案】【解析】试题分析：根据几何体的三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥P ABC -.则0122sin1202ABC S ∆=⨯⨯⨯1222=⨯⨯=，12222PAB S ∆=⨯⨯=，PB =，AC =，则12332PAC S ∆=⨯⨯=PBC ∆中，4PC ===，由余弦定理得：222cosPBC ∠==，则sin PBC ∠=，所以122PAC S ∆=⨯⨯=中，面积最大的面是PAC ∆，其面积为【考点】简单几何体的三视图.9．设,x y 均为正数，且111112x y +=++，则xy 的最小值为（ ） A ．16 B ．15 C ．10 D ．9 【答案】D【解析】试题分析：因为,x y 均为正数，且111112x y +=++，所以21(1)(1)2x y x y ++=++，整理可得：3xy x y =++，由基本不等式可得3xy ≥，整理可得2)30--≥3≥1-（舍去），所以9xy ≥，当且仅当x y =时取等号，故xy 的最小值为9，故选D.【考点】基本不等式.【方法点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.本题解答的关键是根据条件中111112x y +=++整理得到3xy x y =++，根据基本不等式x y +≥用不等式的性质变形得到xy 的范围，得其最小值.10．一弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下，设它第n 次着地时，共经过了n S ，则当2n ≥时，有（ ） A ．n S 的最小值为100 B ．n S 的最大值为400 C ．500n S < D ．500n S ≤【答案】C【解析】试题分析：第一次着地时，经过了100米；第二次着地时共经过了210010023+⨯⨯米；第三次着地时共经过了2221001002100()233+⨯⨯+⨯⨯米；…；以此类推，第n次着地时共经过了212221001002100()2100()2333n -+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ 米；所以212221*********()2100()2333n n S -=+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ 14002[1()]33100213n --=+-12100400[1()]3n -=+-，显然n S 是关于n 的单调增函数，所以当2n =时，n S 取得最小值27003S =；且100400500n S <+=，故选C.【考点】等比数列的前n 项和公式的应用.【方法点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，属于中档题.本题解答的关键是通过列举出小球第一次、第二次和第三次落地时经过路程的表达式，归纳出小球经过的路程实质上是一个等比数列的前n 项和，这种方法通常称为列举归纳法，也是解决数列应用问题的基本解题方法，最后通过等比数列的前n 项和公式所对应的函数单调性求得其最小值.11．已知椭圆221:113x y C m n+=+-与双曲线222:1x y C m n +=-有相同的焦点，则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为（ ）A ．00(45,90)B ．00(45,90]C ．0(0,45)D ．00(45,60) 【答案】A【解析】试题分析：当焦点在x 轴上时，由题意知：0,0m n ><，椭圆221:113x y C m n +=+-中，22111,3a m b n =+=-，则2221112c a b m n =-=+-；双曲线222:1x y C m n -=-中，2222,a m b n ==-，则222222c a b m n =+=-；由题意，2m n m n +-=-，解得1n =，这与0n <矛盾；当焦点在y 轴上时，由题意知10,03m n -<<<<，椭圆221:131y x C n m +=-+中，22113,1a n b m =-=+，则2221112c a b m n =-=--+；双曲线222:1x y C m n -=-可化为222:1y x C n m-=-，2222,a n b m ==-，则222222c a b n m =+=-；由题意，2m n n m --+=-，解得1n =，双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的斜率为22a k b ===，又因为10m -<<，所以11m ->1>，即双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为(45,90)，故选A.【考点】椭圆与双曲线的标准方程及双曲线的简单几何性质.【方法点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程及双曲线的简单几何性质,属于中档题.解答本题时，因为题中的量较多，要把握好它们间的关系是解题的关键.解答时，首先通过讨论焦点的位置，确定,m n 的范围，在根据它们有相同的焦点即焦距相等，得到,m n 的关系，最后由双曲线的渐近线方程和不等式的性质得到其斜率的范围，从而得到其倾斜角的取值范围.二、填空题12．51(2)x -的展开式的21x 项的系数是 .【答案】80-【解析】试题分析：51(2)x -的展开式的21x项的系数是335(2)80C -=-. 【考点】二项式定理.13．下图是一个算法的流程图，则最后输出的S 值为 .【答案】9-【解析】试题分析：根据流程图知，第一次循环后，1,3S n =-=；第二次循环后，4,5S n =-=；第三次循环后，9,7S n =-=，此时6n >，退出循环，故输出9S =-.【考点】程序框图中的循环结构. 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346,12S S ==，定义211321nk n k aa a a--==+++∏ 为数 列{}n a 的前n 项奇数项之和，则211nk k a-==∏ .【答案】222n n -【解析】试题分析：由已知得113(31)3624(41)4122a d a d ⨯-⎧+=⎪⎪⎨⨯-⎪+=⎪⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩，所以22n a n =-.所以数列21{}n a -是首项为10a =，公差为24d =的等差数列，所以2211(1)04222nk k n n a n n n -=-=⨯+⨯=-∏. 【考点】等差数列的通项公式与前n 项和公式.【方法点睛】本题以新定义的形式考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.本题中给出了“定义2113211nk n k aa a a --==+++∏ 为数列{}n a 的前n 项奇数项之和”，所以实际上就是求数列{}n a 中奇数项的和，根据等差数列的性质可知奇数项构成10a =，公差为24d =的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式即可求得结果.15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量(sin ,sin sin )a A B C =- 与 1(s i n s i n ,s i n s i n )2b A B B C =-+ 垂直，且2c =，则ABC ∆面积的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：由正弦定理得221()2a a b c b -=-，即22212a b c ab +-=，代入余弦定理得222112cos 224ab a b c C ab ab +-===，所以sin C ==，又由22212a b c ab +-=，2c =，得221422a b ab ab +=+≥，解得83ab ≤，所以ABC∆面积为11sin 2248S ab C ab ab ==⋅⋅=⋅83≤=，当且仅当a b ==时等号成立，故ABC ∆面积的最大值为 【考点】正弦定理和余弦定理.【方法点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用属于中档题.本题解答时应先根据正弦定理把条件221sin (sin sin )sin sin 2A ABC B -=-转化为三边,,a b c 的关系，再根据余弦定理求得cos C ，进而得到sin C 的值，在根据余弦定理表示出2c ，根据重要不等式得到ab 的最大值，由面积公式即得其最大值.三、解答题16． 已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在3[,]48ππ-上的值域.【答案】（1）π；（2）[1]-.【解析】试题分析：（1）根据公式21cos 2sin 2xx -=可得()sin2cos21f x x x =+-，利用两角和的正弦公式即可把()f x 变成())14f x x π=+-，利用正弦函数的性质即得其周期；（2）当3[,]48x ππ∈-，2[,]44x πππ+∈-，集合正弦函数的图象及不等式的性质即可求得()f x 在3[,]48ππ-上的值域. 试题解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos 2)x x =--)14x π=+-，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==.（2）因为3[,]48x ππ∈-，所以2[,]44x πππ+∈-，所以sin(2)[42x π+∈-，所以())1[1]4f x x π=+-∈-，所以函数()f x 在3[,]48ππ-上的值域是[1]-.【考点】三角恒等变换与正弦函数的性质.17． 某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目的场馆（每名大学生只参加一个项目的服务）. （1）求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；（2）设,X Y 分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.【答案】（1）516；（2）158. 【解析】试题分析：（1）把5名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目的场馆共有52种不同的分配方法，其中恰有2名被分配到体操项目的分法有25C 种，作比即可求得所求的概率；（2）分析题意可知ξ的所有可能取值是1,3,5，分别根据ξ取每个值所对应的,X Y 的值及其意义求得概率，得到随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.试题解析：（1）设5名学生中恰有i 名被分到体操项目的事件为i A （0,1,2,3,4,5i =），则2353255()216C C P A ==. （2）ξ的所有可能取值是1,3,5，233253522323555(1)()()()228C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，144154511414555(3)()()()2216C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，0555550505551(5)()()()2216C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，则随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望55115()135816168E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【考点】组合与古典概型及离散型随机变量的分布列. 18． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）若AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）连结1AC ，交1AC 于点E ，根据平行四边形的性质可知点E 是1AC 及1AC 的中点，由三角形的中位线定理可知1//DE A B ，，根据线面平行的判定定理可证得1//A B 平面1ADC ；（2）以A 为坐标原点，1,,AB AC AA为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面1ADC 与平面1ABA 的法向量，根据向量夹角的余弦公式求得余弦值，再根据同角三角函数的基本关系即可求得二面角的正弦值.试题解析：（1）证明：如图，连结1AC ，交1AC 于点E ， 则点E 是1AC 及1AC 的中点， 连结DE ，则1//DE A B ，因为DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC .（2）建立如图所示空间的直角坐标系A xyz -.则点111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,2),(,,0)22A B C C D ，则11(,,0)22AD = ，1(0,1,2)AC = ，设平面1ADC 的法向量(,,)m x y z =，则100m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1102220x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，不妨设(2,2,1)m =- ，易得平面1ABA 的一个法向量(0,1,0)n AC ==.故2cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==-，故平面1ADC 与平面1ABA 3=. 【考点】空间中直线与平面平行的证明及空间向量在求空间角中的应用.19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点. （1）若直线l 过焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，若F 是AB 的一个靠近点B 的三等分点，且点B 的横坐标为1，弦长9AB =时，求抛物线C 的方程；（2）在（1）的条件下，若M 是抛物线C 上位于曲线AOB （O 为坐标原点，不含端点,A B ）上的一点，求ABM ∆的最大面积.【答案】（1） 28y x =；（2）4. 【解析】试题分析：（1）设点00(,)A x y ，由抛物线的定义可得5||||||192pAB AF BF =+=-=，从而求得p 的值；（2）由（1）求得,A B 两点坐标，分别讨论①当点(1,B -时，点A 和点(1B 时，点(4,A -两种情况下，ABM ∆的最大面积，可通过把直线AB 平移到与抛物线相切，利用导数的几何意义求出切线方程，得到ABM ∆的面积最大值. 试题解析：（1）设点00(,)A x y ，则0313(1)222p px =+-=-， 所以由抛物线的定义，得035||||||11219222222p p p p p pAB AF BF x =+=+++=++-+=-=， 解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =. （2）由（1）得，焦点(2,0)F ，03242px =-=.将1x =代入抛物线2:8C y x =中，得y =±(1,B ±；将4x =代入抛物线2:8C y x =中，得y =±(4,A ±.①当取点(1,B -时，点A ，此时直线AB 的方程为0y --=. 数形结合易知，当与直线AB 平行的直线与抛物线C 相切于第一象限的点M 时，ABM ∆的面积取得最大值.由28y x =(0)y >，得y ='12y ==令'y =，得14x =. 将14x =代入抛物线2:8C y x =中，得0)y y =>. 所以当点M的坐标为1(4时，ABM ∆的面积取得最大值，此时点M 1(4到直线:0AB y --=的距离是1|2d -==，||9AB ==，所以ABM ∆的最大面积是11||922S AB d =⋅=⨯=②当取点(1B 时，点(4,A -，同理，也验证ABM ∆的最大面积是S =综上，ABM ∆. 【考点】抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系，考查了考生数形结合的思想和运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据抛物线的定义及弦AB 的长求得抛物线方程，进而得到,A B 两点的坐标，通过讨论分别求出,A B 取不同的点时，ABM ∆的最大面积，其中求ABM ∆面积的最大值时，通过运动与变化的观点及导数的几何意义求得是面积最大的点M 的坐标，这是本题的难点. 20．设函数()(2)2(1ln )f x a x a x =-+-+.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若对任意1(0,)2x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的最小值. 【答案】（1）10x y +-=；（2）24ln 2-.【解析】试题分析：（1）当1a =时，求得()10f =，根据导数的几何意义求得切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程；（2）若对任意1(0,)2x ∈，()0f x >恒成立，分离参数可得2ln 21x a x >+-在1(0,)2上恒成立，设2ln ()21x h x x =+-，1(0,)2x ∈，利用导数研究其单调性，求得()max h x ，即得实数a 的取值范围.试题解析：（1）当1a =时，()12(1ln )12ln 2ln 1f x x x x x x x =+-+=+-=--，'22()1x f x x x-=-=. 则点(1,(1))f 处的切线的斜率为'(1)1f =-.故曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y f x -=--，即0(1)y x -=--，即10x y +-=.（2）()(2)2(1ln )f x a x a x =-+-+的定义域为(0,)+∞， 由题意知，(2)(1)2ln 0a x x --->在1(0,)2x ∈上恒成立， 即(2)(1)2ln a x x -->在区间1(0,)2上恒成立. 又10x ->，所以2ln 21x a x >+-在区间1(0,)2上恒成立. 设2ln ()21x h x x =+-，1(0,)2x ∈，则'2222(1)2ln 22ln ()(1)(1)x x xx x h x x x -+-+==--. 又令2()22ln m x x x =-+，1(0,)2x ∈，则'222222()xm x x x x -+=-+=. 当1(0,)2x ∈时，'()0m x <，()m x 单调递减，所以1()()422ln 202m x m >=-->.即'()0h x >在1(0,)2恒成立.所以()h x 在1(0,)2单调递增.所以12ln 12()()224ln 2122h x h <=+=-.故24ln 2a ≥-.【考点】导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题. 【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题，考查了转化的思想及函数的思想，属于中档题.求曲线上某点的切线方程只需要根据导数的几何意义求出切线的斜率即可写出切线的点斜式方程；对于不等式在给定区间上的恒成立问题，首选的策略是看能否分离参数，本题中因为1x (0,)2∈，a 系数的符号是确定的，便于分离参数，把问题转化为求定函数的最值问题，利用导数研究其单调性，求得其最大值即得实数a 的范围. 21．选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，10,5PA PB ==，BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1）求证：AB PAAC PC=； （2）求AD AE ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）90. 【解析】试题分析：（1）由弦切角定理得PAB ACP ∠=∠，可证得PAB ∆～PCA ∆，从而有AB PA AC PC=；（2）由圆的切割线定理可得2PA PB PC =⋅，求得20,15PC BC ==，在ABC ∆中由勾股定理可得222225AC AB BC +==，在结合（1）可证得ACE ∆～ADB ∆，根据对应边成比例即可求得AD AE ⋅的值.试题解析：（1）因为PA 为圆O 的切线，所以由弦切角定理得：PAB ACP ∠=∠. 又P ∠为公共角，所以PAB ∆～PCA ∆，所以AB PAAC PC=. （2）解：因为PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线，所以2PA PB PC =⋅，所以20,15PC BC ==.又因为90CAB ∠= ，所以222225AC AB BC +==.又由（1）知12AB PA AC PC ==，所以AC AB ==连接EC ，则CAE EAB ∠=∠.所以ACE ∆～ADB ∆. 所以AB ADAE AC=.所以90AD AE AB AC ⋅=⋅==. 【考点】三角形相似与圆的切线性质的应用. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若,P Q 分别是曲线1C 和2C 上的任意一点，求||PQ 的最小值.【答案】（1）2211()24x y -+=；（2 【解析】试题分析：（1）在方程cos ρθ=两边同乘以ρ，由222x y ρ+=及cos x ρθ=即可把极坐标方程化成直角坐标方程；（2）根据1C 的参数方程设(2cos )P αα，易知2C 的圆心为1(,0)2，利用两点间的距离公式求出P 与圆心距离的最小值，减去半径即得||PQ 的最小值.试题解析：（1）因为cos ρθ=，所以22x y x +=.即2211()24x y -+=. 所以曲线2C 的直角坐标方程为2211()24x y -+=.（2）设(2cos )P αα，易知2C 的圆心为1(,0)2，所以2||PC ===当1cos 2α=，2||PC 取得最小值，2min ||2PC =所以min 1||2PQ =【考点】圆的极坐标方程与椭圆参数方程的应用. 23．选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 为非零实数，且22210a b c m +++-=，222149120m a b c+++-=. （1）求证：22222214936a b c a b c++≥++； （2）求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）[5,)+∞.【解析】试题分析：（1）根据柯西不等式可证得222222123[()()()]()36a b c a b c++++≥，整理即得所证的不等式；（2）根据（1）的结论可得(1)(21)36m m --≥，解不等式求得72m ≤-或5m ≥，再根据已知条件和不等式的性质可得5m ≥，取交集即得实数m 的取值范围.试题解析：（1）证明：由柯西不等式得2222222123123[()()()]()()a b c a b c a b c a b c ++++≥⋅+⋅+⋅， 即222222123[()()()]()36a b c a b c ++++≥，所以22222214936a b c a b c ++≥++.（2）解：由已知得：2221a b c m ++=-，22214921m a b c++=-.所以(1)(21)36m m --≥，即223350m m --≥，解得72m ≤-或5m ≥.又22210a b c m ++=->，222149210m a b c ++=->，所以5m ≥，即实数m 的取值范围是[5,)+∞. 【考点】不等式的证明与解法.。
2016届海南省海南中学高三考前高考模拟(十一)数学(理)试题
数学试题（十一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{|20}P x x =-≤，2{|90}Q x x x =+≥，则P Q = （ ） A ．(,9]-∞- B ．[0,2] C ．(,9][0,2]-∞- D ．[9,0]-2.已知为虚数单位，则复数112112ii -+在复平面所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知函数()f x 关于直线2x =-对称，且周期为2，当[3,2]x ∈--时，2()(2)f x x =+，则5()2f =（ ） A ．0 B ．14 C ．116D ．1 4.已知a R ∈，则“33a <”是“1a <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂，则l α⊥ B ．若,//,l m ααββ⊥⊂，则l m ⊥ C ．若//,l m m α⊂，则//l α D ．若,,l m ααββ⊥⊥⊂，则//l m6.圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ） A ．22(2)(1)1x y -+-= B ．22(1)(2)1x y ++-=C ．22(2)(1)1x y ++-=D ．22(1)(2)1x y -++=7.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．78.依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机洒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为（ ）A ．34 B ．916 C D ．239.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（ ）A ．B ．C D10.设,x y 均为正数，且111112x y +=++，则xy 的最小值为（ ） A ．16 B ．15 C ．10 D ．911.一弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下，设它第n 次着地时，共经过了n S ，则当2n ≥时，有（ ） A ．n S 的最小值为100 B ．n S 的最大值为400C ．500n S <D ．500n S ≤12.已知椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x y C m n+=-有相同的焦点，则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为（ ）A ．0(45,90) B ．0(45,90] C ．0(0,45) D ．0(45,60)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 51(2)x -的展开式的21x 项的系数是 . 14.下图是一个算法的流程图，则最后输出的S 值为.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346,12S S ==，定义2113211nk n k aa a a --==+++∏ 为数列{}n a 的前n 项奇数项之和，则211nk k a -==∏ .16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量(sin ,sin sin )a A B C =-与1(sin sin ,sin sin )2b A B B C =-+ 垂直，且2c =，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分） 已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在3[,]48ππ-上的值域. 18. （本小题满分12分）某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目的场馆（每名大学生只参加一个项目的服务）. （1）求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；（2）设,X Y 分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ. 19. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点. （1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）若AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点.（1）若直线过焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，若F 是AB 的一个靠近点B 的三等分点，且点B 的横坐标为1，弦长9AB =时，求抛物线C 的方程；（2）在（1）的条件下，若M 是抛物线C 上位于曲线AOB （O 为坐标原点，不含端点,A B ）上的一点，求ABM ∆的最大面积. 21. （本小题满分12分）设函数()(2)2(1ln )f x a x a x =-+-+.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若对任意1(0,)2x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，10,5PA PB ==，BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1）求证：AB PAAC PC=； （2）求AD AE ∙的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若,P Q 分别是曲线1C 和2C 上的任意一点，求||PQ 的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,,a b c 为非零实数，且22210a b c m +++-=，222149120m a b c+++-=. （1）求证：22222214936a b c a b c ++≥++； （2）求实数m 的取值范围.参考答案1.C 因为{|2}P x x =≤，{|90}Q x x x =≤-≥或，所以{|902}P Q x x x =≤-≤≤ 或，故选C .2.D1111(1)(1)34222111551(1)(1)222i i i i i i i ---==-++-，其在复平面所对应的点是34(,)55-，位于第四象限，故选D.3.B 2513551()()()()(2)222224f f f f ==-=-=-+=，故选B. 4.C 由33a <，得1a <；由1a <，得33a <，则“33a <”是“1a <”的充要条件，故选C.5.B A 中，由线面垂直的判定定理可知，需满足：,m n 是两条相交直线，结论才成立，故A 项错误；B 中，因为,//l ααβ⊥，所以l β⊥. 又m β⊂，所以l m ⊥，故B 项正确；C 中，由线面平行的判定定理可知，需满足：在平面α外，结论才成立，故C 项错误；D中，与m 还可以相交或异面，故D 项错误，故选B .7.A 因为高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7人，所以每210307=人抽取1人，所以从高三学生中抽取的人数应为3001030=. 故选A. 8.B 如图，原正六边形为ABCDEF ，最小的正六边形为111111A B C D E F ，设AB a =，由已知得，60AOB ∠= ，则1,302AOM AOB ∠=∠=，则cos cos30OM OA AOM a =∠=∙=，即中间的正六边形的边长等于OM =；以此类推，最小的正六边形111111A B C D E F的边长等于134aOB ===，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为111111916A B C D E F ABCDEFS P S ===正六边形正六边形，故选B.9.B 根据几何体的三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥P ABC -，则01122sin1202222ABC S ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=，12222PAB S ∆=⨯⨯=，PB =AC =122PAC S ∆=⨯⨯=，在PBC ∆中，4PC ===，由余弦定理得：cos PBC ∠==，则sin PBC ∠=，所以122PAC S ∆=⨯⨯= 所以三棱锥中，面积最大的面是PAC ∆，其面积为，故选B.10.D 因为,x y 均为正数，且111112x y +=++，所以21(1)(1)2x y x y ++=++， 整理可得：3xy x y =++，由基本不等式可得3xy ≥+，整理可得230--≥3≥1≤-（舍去），所以9xy ≥，当且仅当x y =时取等号，故xy 的最小值为9，故选D.11.C 第一次着地时，经过了100米；第二次着地时共经过了210010023+⨯⨯米；第三次着地时共经过了2221001002100()233+⨯⨯+⨯⨯米；…；以此类推，第n 次着地时共经过了212221001002100()2100()2333n -+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ 米；所以212221001002100()2100()2333n n S -=+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯114002[1()]233100100400[1()]2313n n ---=+=+--，显然n S 是关于n 的单调增函数，所以当2n =时，n S 取得最小值27003S =；且100400500n S <+=，故选C.12.A 当焦点在x 轴上时，由题意知：0,0m n ><，椭圆221:113x y C m n+=+-中，22111,3a m b n =+=-，则2221112c a b m n =-=+-；双曲线222:1x y C m n-=-中，2222,a m b n ==-，则222222c a b m n =+=-；由题意，2m n m n +-=-，解得1n =，这与0n <矛盾；当焦点在y 轴上时，由题意知10,03m n -<<<<，椭圆221:131y x C n m +=-+中，22113,1a n b m =-=+，则2221112c a b m n =-=--+；双曲线222:1x y C m n-=-可化为222:1y x C n m-=-，2222,a n b m ==-，则222222c a b n m =+=-；由题意，2m n n m --+=-，解得1n =，双曲线2C的一条斜率为正的渐近线的斜率为22a k b ===10m -<<，所以11m->1>，即双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为(45,90)，故选A. 13.-80 51(2)x -的展开式的21x项的系数是335(2)80C -=-. 14.-9 根据流程图知，第一次循环后，1,3S n =-=；第二次循环后，4,5S n =-=；第三次循环后，9,7S n =-=，此时6n >，退出循环，故输出9S =-.15. 222n n - 由已知得113(31)3624(41)4122a d a d ⨯-⎧+=⎪⎪⎨⨯-⎪+=⎪⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩，所以22n a n =-.所以数列21{}n a -是首项为10a =，公差为24d =的等差数列，所以2211(1)04222nk k n n a n n n -=-=⨯+⨯=-∏. 16.由题意，1sin (sin sin )(sin sin )(sin sin )02a b A A B B C B C ∙=-+-∙+= ，即221sin (sin sin )sin sin 2A ABC B -=-，由正弦定理得，221()2a a b c b -=-，即22212a b c ab +-=，代入余弦定理得222112cos 224ab a b c C ab ab +-===，所以sin C ==，又由22212a b c ab +-=，2c =，得221422a b ab ab +=+≥， 解得83ab ≤，所以ABC ∆面积为118sin 223S ab C ab ab ===≤=，当且仅当a b ==时等号成立，故ABC ∆17.解: （1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos 2)x x =--)14x π=+-，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）因为3[,]48x ππ∈-，所以2[,]44x πππ+∈-，所以sin(2)[4x π+∈，所以())1[1]4f x x π=+-∈--，所以函数()f x 在3[,]48ππ-上的值域是[1]-.18．解：（1）设5名学生中恰有名被分到体操项目的事件为i A （0,1,2,3,4,5i =），则2353255()216C C P A ==. （2）ξ的所有可能取值是1,3,5，233253522323555(1)()()()228C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，144154511414555(3)()()()2216C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，0555550505551(5)()()()2216C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，则随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望55115()135816168E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19．（1）证明：如图，连结1AC ，交1AC 于点E ， 则点E 是1AC 及1AC 的中点， 连结DE ，则1//DE A B ，因为DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC .（2）建立如图所示空间的直角坐标系A xyz -.则点111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,2),(,,0)22A B C C D ，则11(,,0)22AD = ，1(0,1,2)AC = ，设平面1ADC 的法向量(,,)m x y z =，则100m AD m AC ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即1102220x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，不妨设(2,2,1)m =- ， 易得平面1ABA 的一个法向量(0,1,0)n AC ==.故2cos ,3||||m n m n m n ∙<>==-，故平面1ADC 与平面1ABA=. 20.解：（1）设点00(,)A x y ，则0313(1)222p p x =+-=-， 所以由抛物线的定义，得035||||||11219222222p p p p p pAB AF BF x =+=+++=++-+=-=， 解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =. （2）由（1）得，焦点(2,0)F ，03242px =-=. 将1x =代入抛物线2:8C y x =中，得y =±(1,B ±； 将4x =代入抛物线2:8C y x =中，得y =±(4,A ±.①当取点(1,B -时，点(4,A ，此时直线AB的方程为0y --=. 数形结合易知，当与直线AB 平行的直线与抛物线C 相切于第一象限的点M 时，ABM ∆的面积取得最大值.由28y x =(0)y >，得y =，取导数'12y ==，令'y =，得14x =.将14x=代入抛物线2:8C y x=中，得0)y y=>.所以当点M的坐标为1(4时，ABM∆的面积取得最大值，此时点M1(4到直线:0AB y--=的距离是d==，||9AB==，所以ABM∆的最大面积是11||922S AB d=∙=⨯=②当取点(1,B时，点(4,A-，同理，也验证ABM∆的最大面积是S=综上，ABM∆21.解：（1）当1a=时，()12(1ln)12ln2ln1f x x x x x x x=+-+=+-=--，'22()1xf xx x-=-=.则点(1,(1))f处的切线的斜率为'(1)1f=-.故曲线()f x在点(1,(1))f处的切线方程为(1)(1)y f x-=--，即0(1)y x-=--，即10x y+-=.（2）()(2)2(1ln)f x a x a x=-+-+的定义域为(0,)+∞，由题意知，(2)(1)2ln0a x x--->在1(0,)2x∈上恒成立，即(2)(1)2lna x x-->在区间1(0,)2上恒成立.又10x->，所以2ln21xax>+-在区间1(0,)2上恒成立.设2ln()21xh xx=+-，1(0,)2x∈，则'2222(1)2ln22ln()(1)(1)x x xx xh xx x-+-+==--.又令2()22lnm x xx=-+，1(0,)2x∈，则'222222()xm xx x x-+=-+=.当1(0,)2x ∈时，'()0m x <，()m x 单调递减， 所以1()()422ln 202m x m >=-->. 即'()0h x >在1(0,)2恒成立. 所以()h x 在1(0,)2单调递增.所以12ln 12()()224ln 2122h x h <=+=-.故24ln 2a ≥-.所以实数a 的最小值为24ln 2-. 22.证明：（1）因为PA 为圆O 的切线， 所以由弦切角定理得：PAB ACP ∠=∠. 又P ∠为公共角，所以PAB ∆～PCA ∆，所以AB PAAC PC=. （2）解：因为PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线， 所以2PA PB PC =∙， 所以20,15PC BC ==.又因为90CAB ∠= ，所以222225AC AB BC +==. 又由（1）知12AB PA AC PC ==，所以AC AB ==连接EC ，则CAE EAB ∠=∠. 所以ACE ∆～ADB ∆. 所以AB ADAE AC=.所以90AD AE AB AC ∙=∙==. 23.解：（1）因为cos ρθ=，所以22x y x +=. 即2211()24x y -+=. 所以曲线2C 的直角坐标方程为2211()24x y -+=. （2）设(2cos )P αα，易知21(,0)2C =，所以2||PC ===当1cos 2α=，2||PC 取得最小值，2min ||PC =所以min ||PQ =24.（1）证明：由柯西不等式得2222222123123[()()()]()()a b c a b c abcab c++++≥∙+∙+∙，即222222123[()()()]()36a b c a b c ++++≥，所以22222214936a b c a b c ++≥++.（2）解：由已知得：2221a b c m ++=-，22214921m a b c++=-. 所以(1)(21)36m m --≥，即223350m m --≥，解得72m ≤-或5m ≥.又22210a b c m ++=->，222149210m a b c++=->，所以5m ≥，即实数m 的取值范围是[5,)+∞.。
2016海南省高三压轴题数学试卷(理)含答案解析
2016届海南省高考压轴卷 数学（理） 含解析本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，满分150． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列命题中的说法正确的是（ ）A ．若向量//，则存在唯一的实数λ使得λ=；B ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ”；C ．命题“R x ∈∃0，使得01020<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，均有012>++x x ”；D ．“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的不充分也不必要条件； 2．如图， 在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =（ ）A ．155i 2+ B ．2155i + C ．155i 2-- D ．2155i -- 3．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23cos cos 2tan 210πααα⎛⎫++==⎪⎝⎭，则（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．154．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．145．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A ：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B ：“三次取到的球颜色都相同”，则(|)P B A =（ ）A ．16 B ．13 C ．23D ．1 6、棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A.314 B.4 C.310D.3 7．已知)(1123*∈-=N n n a n ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为（ ）A.13B.12C. 11D.108．方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解所在的区间是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(13) B ．(3,22)C ．(1)+∞D ．(1,110．下列程序框图中，输出的A 的值A.128B.129C.131D.13411．函数()3sin ln(1)=⋅+f x x x 的部分图象大致为（ ）12．设()()2,,,f x ax bx c a b c R e =++∈为自然对数的底数.若()()'ln f x f x x x>，则（ ） A ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e <> B ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e << C ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e >< D ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e >>二、填空题（题型注释）13．如图正方形OABC 的边长为cm 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 ．14．设204sin n xdx π=⎰，则n xx x x )2)(2(-+的展开式中各项系数和为_________.15．设实数x ，y 满足20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则y x z x y =-的取值范围是 ．16．设△ABC 的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为_________________． 三、解答题（题型注释） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .18．如图，矩形1221A A A A ''，满足B C 、在12A A 上，11B C 、在12A A ''上，且1BB ∥1CC ∥11A A '，122A B CA ==，BC =11A A λ'=，沿1BB 、1CC 将矩形1221A A A A ''折起成为一个直三棱柱，使1A 与2A 、1A '与2A '重合后分别记为1D D 、，在直三棱柱111DBC D B C -中，点M N 、分别为1D B 和11B C 的中点．(I)证明：MN ∥平面11DD C C ；(Ⅱ)若二面角1D MN C --为直二面角，求λ的值．19．甲箱子里装有3个白球m 个黑球，乙箱子里装有m 个白球，2个黑球，在一次试验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖 （1） 当获奖概率最大时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数，班长有4次摸奖机会（有放回摸取），当班长中奖时已试验次数ξ即为参加游戏人数，如4次均未中奖，则0ξ=，求ξ的分布列和E ξ．20．如图，抛物线24(0)y mx m =>的准线与x 轴交于点1F ，焦点为2F ．以12,F F 为焦点，离心率为12的椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为P ，延长2PF 交抛物线于点Q ，M 是抛物线上位于,P Q 之间的动点．（1）当1m =时，求椭圆的方程；（2）当12PF F ∆的边长恰好是连续的三个自然数时，求MPQ ∆面积的最大值． 21．设函数3211()(,,,0)32f x ax bx cx a b c a =++∈≠R 的图象在点 (),()x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立． （1）求函数()k x 的表达式；（2）求证：1112(1)(2)()2nk k k n n +++>+ ()n *∈N ． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若C C M =B ．（1）求证：∆APM ∽∆ABP ；（2）求证：四边形CD PM 是平行四边形． 23．选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线,,44ππθϕθϕθϕ==+=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点C B A ,,（1）求证：OB OC +； （2）当12πϕ=时，B ，C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值24．（本题满分10分） 选修4—5：不等式选讲已知关于x 21x x m -+对于任意的[1,2]x ∈-恒成立 （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数()21(2)f m m m =+-的最小值．2016海南省高考压轴卷数学理一、选择题1、试题分析：当0,0a b ≠=时，不存在实数λ使a b λ= ，所以A 错；否命题是将命题中的条件与结论同否定，所以B 错；命题“R x ∈∃0，使得01020<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，均有210x x ++≥”，所以C 错；命题“5≠a 且5-≠b ⇒0≠+b a ”的逆否命题为：“05a b a +=⇒=或5b =-”是假命题，故原命题为假命题，“0≠+b a ⇒5≠a 且5-≠b ”的逆否命题为：“5a =或5b =-⇒0a b +=或5b =-”是假命题，故原命题为假命题，所以“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的不充分也不必要条件． 2、试题分析：由图知，12z i =--，2z i =，所以21(2)122(2)(2)55z i i i i z i i i -+===-------+，故选C ． 考点：1、复数的几何意义；2、复数的运算 3、试题分析：103)22cos(cos2=++απα，23cos 2sin cos 10ααα-=2212tan 33tan 20tan 701tan 10αααα-=⇒+-=+所以()1tan ,tan 73αα==-舍 考点：齐次式．4、试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人 考点：系统抽样5、试题分析：由题意11111111122222422211111166666633()(|),()C C C C C C C C C P A B P A C C C C C C ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅==⋅⋅⋅⋅，则()1()()3P AB P B A P A ==，故选B.考点：条件概率.6、试题分析：由三视图可知，截面如图所示，可知所求几何体的体积为正方体体积的一半，由823==正方体V ，故所求几何体体积为4.7、试题分析：由()3211n a n N n *=∈-，可得11029560a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=，110a >，90S ∴<，10110,0S S =>，使0n S >的n 的最小值为11，故选C.考点：数列的通项及前n 项和.8、试题分析：由题设()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,111211333333111221210,033233234f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选B ． 考点：幂函数性质；函数的零点9、试题分析：由题意24590BAF ︒<∠<︒，即2tan 1BAF ∠>，21b F A a =，122F F c =，所以221c ba>，22ac b >，即222c a ac -<，2210e e --<，解得11e <1e >，所以11e <<+选D ．考点：双曲线的几何性质．10、试题分析：根据题意有，在运行的过程中，11,1,,24A i A i ====；114,3774A i ===；11710107A ==，4i =；1110,5131310A i ===；，以此类推，就可以得出输出的A 是以1为分子，分母构成以3为首项，以3为公差的等差数列，输出的是第10项，所以输出的结果为131，故选C.11、试题分析：由题意得()3sin ln(1)=⋅+f x x x ，知1x >-，当2x π=时，()3s i n l n (1)3l n (1)3l n 32222f e ππππ=+=+<=，因为()13c o s l n (1)3s i n 1f x x x x x '=++⋅+，令()0f x '=，即13cos ln(1)3sin 01x x x x ++⋅=+，当0x π<<时，1ln(1)0,sin 0,01x x x +>>>+，因为cos 0x <，所以2x ππ<<，所以函数的极值点在(,)2ππ，故选B ．考点：函数的图象及函数的零点问题．12、由不等式()()'ln f x f x x x >启发，可构造函数()()ln f x F x x=，则()()()()2ln ln f x f x x x F x x '-'=，又由()()'ln f x f x x x >，得()()ln 0f x f x x x'->，即()F x 在()0,+∞上为单调递增函数，因为22e e <<，所以()()()22F F e F e <<，即()()()222l n 2l n l n f e f f e e e <<，又2ln 1,ln 2e e ==，整理可得()()2ln 2f f e <，()()22f e f e <.故正确答案选B.二、 填空题13、试题分析：水平放置的平面图形的直观图是用斜二测画法，所以与x 轴平行的保持不变，与y 轴平行的变为原来的一半，所以将直观图还原如图所示的图形，11,OA=12OB OB ==113A B ∴=所以原图形的周长是cm 8．14、试题分析：因为2204sin 4cos 4cos4cos042n xdx xπππ==-=-+=⎰，则422()()x x x x +-，令1x =，则422()()x x x x+-的展开式中各项系数和为4(12)(12)3+-=.15、试题分析：作出可行域，令x y t =，则由xy的几何意义可知取点P 时，t 取得最大值2，取点Q 时，t 取得最小值31，则]2,31[∈t ，又t t z 1-=，由t y =及t y 1-=单调递增，可知tt t f 1)(-=单调递增，故38331min -=-=z ，23212max =-=z ，所以y x z x y =-的取值范围是83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．16、试题分析：在ABC ∆中，3cos cos 5a B b A c -=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin C 5A B -B A = ()333sin sin cos cos sin 555=A +B =A B +A B ，即s i n c o s 4c o s s i n A B=A B ，则t a n 4t a n A B =；由t a n 4t a n AB=得tan 4tan 0A B =>，()2tan tan 3tan 3tan 11tan tan 14tan 4tan tan A -B B A -B ===+A B +B +B B34≤=，当且仅当14tan tan B B =，1tan 2B =，tan 2A =时，等号成立，故当tan 2A =，1tan 2B =，tan()A B -的最大值为34，故答案填34.三、解答题17、试题解析（1）由已知得23321+⨯=n n S ，所以31=a ，当1>n 时，02=-052=-+y02=1113)23321()23321(---=+⨯-+⨯=-=n n n n n n S S a 所以{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧>=-13131n n n（2）1=n 时将31=a 代入3log n n n a b a =中得，313log 3131=⇒=b b 1>n 时将13-=n n a 代入3log n n n a b a =中得n n n n n n b b ------=⇒=111311313log 3）（ 1=n 时，3111==b T 1>n 时，]3)1(3)2(......3231[31......12211321n n n n n n n b b b b b T -----⨯-+⨯-++⨯+⨯+=+++++= ]3)1(3)2(......3231[1......3323101321n n n n n n n b b b b b T ----⨯-+⨯-++⨯+⨯+=+++++=）（n n n n n T T ------+++++=-122103)1(3 (3333)23 ()11121313313n n n ----=+--⋅- 1363623nn +=-⨯ 即n T 21363623nn +=-⨯，所以n n n T 34361213⨯+-= 将1=n 代入此时得311=T ,所以数列{}n b 的前n 项和为n n 34361213⨯+- 18、试题解析：（1）在第一个箱子中摸出一个球是白球的概率为133P m =+，在第二个箱子中摸出一个球是白球的概率为22m P m =+，所以获奖概率12336325m P PP m m m m==⋅=≤++++当且仅当6m m =，即m =时取等号，又因为m 为整数，当2m =时，333210m P m m =⋅=++，当3m =时，333210m P m m =⋅=++，所以2m =或3时，max 310P =…………4分（2）ξ的取值有0，1，2，3，4，由（1）可知班长摸奖一次中奖的概率为310，由n 次独立重复试验的恰好3000210021470310294157261.57261000010000E ξ+⨯+⨯+⨯===19、试题解析：（Ⅰ）证：连结DB 1 、DC 1 ∵四边形DBB 1D 1为矩形，M 为D 1B 的中点 2分∴M 是DB 1与D 1B 的交点，且M 为DB 1的中点∴MN ∥DC 1，∴MN ∥平面DD 1C 1C 4分 （Ⅱ）解：四边形1221A A A A ''为矩形，B.C 在A 1A 2上，B 1.C 1在12A A ''上， 且BB 1∥CC 1∥'11A A ，A 1B = CA 2 = 2，BC =∴∠BDC = 90° 6分以DB 、DC 、DD 1所在直线分别为x.y.z 轴建立直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，λ)，B 1(2，0，λ)，C 1(0，2，λ) 点M 、N 分别为D 1B 和B 1C 1的中点，∴(10)(11)2M N λλ，，，，，设平面D 1MN 的法向量为m = (x ，y ，z)，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=-⋅00220)11()(0)221()(z y x z y x z y x z y x λλλλ，，，，，，，，， 令x = 1得：21y z λ=-=，即2(11)λ=-，，m 8分设平面MNC 的法向量为n = (x ，y ，z)，则()(11)02022()(11)00z x y z x y x y z x y z λλλλ⎧⎧⋅-=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅-=-+=⎩⎩，，，，，，，，，令z = 1得：322x y λλ=-=-， 即3(1)22λλ=--，，n 10分 ∵二面角D 1－MN －C 为直二面角 ∴m ⊥n ，故32022λλλ⋅=-++=m n，解得：λ=∴二面角D 1－MN －C为直二面角时，λ= 12分20、（1）当1m =时，12(1,0),(1,0)F F -，1,2,c a b ===22143x y +=．（2）将24y mx =代入椭圆方程2222143x y m m+=得22316120x mx m +-=，即(6)(32)x m x m +-5m 7m 6m 2m 2 6m ,| PF1 | ,| F1 F2 | ．∵ PF1 F2 的边长恰好是连续的三个自然数，∴ , ) ，∴ | PF2 | 3 3 3 3 3 9 25 直线 PQ 的方程为 y 2 6( x 3) ， 代入抛物线方程 y 2 12 x 得 Q( , 3 6) ， ∴ | PQ | ． 设 m 3 ， P(2, 2 6) ， 2 2 0 ，得 P(t2 M ( ,) (3t6 1226 ) t，则点 M 到直线 PQ 的距离 d 6 6 2 75 6 5 6 时， d max ，∴ | (t ) | ，当 t 2 30 2 2 4125 6 . 16 考点：1、抛物线的几何性质；2、椭圆的几何性质.MPQ 面积的最大值为【方法点晴】 （1）当 m 1 时，求出焦点坐标，得 c 1, a 2, b 3 ，求出椭圆方程； （2）联立抛物线与椭圆 得到关于 x 的二次方程，求出点 P 的坐标， | PF2 |5m 7m 6m ,| PF1 | ,| F1F2 | ， PF1 F2 的边长恰好是连续的三 3 3 3个 自 然 数 ， m 3 . 此 时 P( 2 , 2 6 ) ， 求 出 直 线 PQ 的 方 程 ， 代 入 抛 物 线 方 程 得 Q 点 坐 标 及 | PQ | ． 设M(6 6 2 75 6 5 6 t2 ， 则点 M 到直线 PQ 的距离 d 当t 时， ， MPQ | (t ) |， d max ,t ) ( 3 6 t 2 6 ) 12 2 30 2 2 4 125 6 . 162面积的最大值为21、试题解析： （1）解：由已知得： k ( x) f ( x) ax bx c ．1 1 x 为偶函数，有 b ． 2 2 1 又 k (1) 0 ，所以 a b c 0 ，即 a c ． 2 1 2 1 1 2 1 1 因为 k ( x) x 对一切实数 x 恒成立，即对一切实数 x ，不等式 ( a ) x x c 0 恒成立．当 2 2 2 2 2 1 a 时，不符合题意． 22 由 g ( x) ax bx c 1 a 0, 1 2 当 a 时， 1 2 4(a 1 )(c 1 ) 0. 4 2 2所以 k ( x ) ac 1 1 ，得 a c ． 2 41 2 1 1 x x ． 4 2 4n2 2n 1 (n 1) 2 1 4 （2）证明： k (n) ，所以 ． 4 4 k (n) (n 1)2因为1 1 1 1 ， 2 (n 1) (n 1)(n 2) n 1 n 2所以 4 1 1 1 1 1 4n 1 1 1 1 4 „11 分 2 2 2 2 3 2 3 3 4 n 1 n 2 2 n 4 n 1 所以1 1 1 2n 成立 k (1) k (2) k ( n) n 2考点：1．函数的奇偶性；2．二次函数的性质；3．裂项相消法求和；4．不等式的证明．22． （本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 试题解析：证明： （1） 是圆 的切线， 是圆 的割线， 是 的中点， ， ，2 2又 ， ∽ ， ，即 ． C C ， C C ， ， ∽ （2） CD ， CD ，即 CD C ， //CD ， ∽ ， ， 是圆 的切线， C ， C ，即 DC C ， C//D ， 四边形 CD 是平行四边形．考点：1、圆的内接四边形的判定定理；2、圆周角定理；3、同弧或等弧所对的圆周角相等；4、割线定理． 23．选修 4—4：坐标系与参数方程 试题解析： （1）依题意 OA 4 cos , OB 4 cos , OC 4 cos 则 4 4 OB OC 4 cos + 4cos 4 4 = 2 2 cos sin + 2 2 cos sin = 4 2 cos = 2 OA （2） 当 12时，B,C 两点的极坐标分别为 2, , 2 3, 6 3 化为直角坐标为 B 1, 3 ，C 3, 3 程为 y 3x 2 所以 m 2, C 2 是经过点 m,0 且倾斜角为 的直线，又因为经过点 B,C 的直线方2 3考点：极坐标的意义，极坐标与直角坐标的互化 试题解析： （Ⅰ）∵关于 x 的不等式 2 x x 1 m 对于任意的 x [1, 2] 恒成立 m ( 2 x x 1)max 3 分根据柯西不等式，有 ( 2 x x 1)2 (1 2 x 1 x 1)2 [12 12 ] [( 2 x )2 ( x 1)2 ] 61 时等号成立，故 m 6 ．5 分 2 1 1 1 1 (m 2) (m 2) 2 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 m 2 0 ，则 f m m (m 2) 2 2 2 (m 2) 2所以 2 x x 1 6 ，当且仅当 x ∴ f m 331 1 1 3 (m 2) (m 2) 2 3 22 6 分 2 2 (m 2)2 21 1 当且仅当 (m 2) ，即 m 3 2 2 6 时取等号， 8 分 2 (m 2)2所以函数 f m m 考点：柯西不等式1 3 的最小值为 3 2 2 ．10 分 2 2 (m 2)。
2016年海南省高考理科数学试题与答案
2016年海南省高考理科数学试题与答案（满分150分，时间120分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共24题，共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则A B =（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8（4）圆22x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（A ）4-3 （B ）3-4（C （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （4π-α）=35，则sin2α= （A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,nx x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（111F ,2F 是双曲线E ：22221a x y b+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，121sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（），若函数x 1y=x+与y=f x （）图像的x 1y=f x x +（）交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 (B)m (C)2m (D)4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
【百强校】2016届海南师范大学附属中学高三临考模拟数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2016届海南师范大学附属中学高三临考模拟数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：180分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．2、已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（） A ． B ．C ．D ．3、已知函数的图像上关于轴对称的点至少有对，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4、双曲线的焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线左支交于两点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．5、执行如图所示的程序框图，若输出的是，则输入整数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、过点且和直线相切的动圆圆心的轨迹方程为（） A ．B ．C ．D ．7、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ArrayA． B． C． D．8、设则等于（）A． B． C． D．9、等比数列中，，则（）A． B． C．或 D．10、已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下：x1234y2.24.34.54.8t且回归方程是，则（）A．B．C．D．11、当时，复数的虚部为（）A． B． C． D．12、设集合，，则使成立的的值是（）A． B． C． D．或第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知数列中，.设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______.14、已知，其中是常数，当取最小值时，对应的点是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为______.15、已知函数在上是关于的增函数，则的取值范围是_____.16、已知圆方程为：，直线过点，且与圆交于两点，若，则直线的方程是_______.三、解答题（题型注释）17、选修4-5：不等式选讲 已知. （Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）求的解集.18、选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为，直线的参数方程为，曲线与直线有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）若点在曲线上，求的值.19、选修4-1：几何证明选讲 如图，直线经过⊙上一点，⊙的半径为，是等腰三角形，且是中点，⊙交直线于.（Ⅰ）证明：直线与⊙相切；（Ⅱ）若的正切值为，求的长.20、已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，求证：.21、已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点.22、某市为了缓解交通压力，提倡低碳环保，鼓励市民乘坐公共交通系统出行.为了更好地保障市民出行，合理安排运力，有效利用公共交通资源合理调度，在某地铁站点进行试点调研市民对候车时间的等待时间（候车时间不能超过20分钟），以便合理调度减少候车时间，使市民更喜欢选择公共交通.为此在该地铁站的一些乘客中进行调查分析，得到如下统计表和各时间段人数频率分布直方图：（Ⅰ）求出a 的值；要在这些乘客中用分层抽样的方法抽取10人，在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组的概率；（Ⅱ）从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求X 的分布列及数学期望.23、如图，四棱锥中，底面为平行四边形，且，平面平面，为的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）在中，，三棱锥的体积是，求二面角的大小.24、若向量其中，记函数，若函数的图像与直线为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列. （Ⅰ）求的表达式及的值；（Ⅱ）将函数的图像向左平移，得到的图像，当时，的交点横坐标成等比数列，求钝角的值.参考答案1、B2、C3、A4、D5、B6、A7、D8、B9、C10、A11、D12、C13、14、15、16、或17、（Ⅰ）（Ⅱ）空集18、（Ⅰ）（Ⅱ）19、（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）520、（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析21、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析22、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析23、（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）60°24、（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】1、试题分析：由题意设椭圆方程为，双曲线方程为，且. 由题意，由，由余弦定理得：椭圆中，双曲线中：，可得，代入（），，即，得，即，故选B.考点：椭圆、双曲线中焦点三角形【思路点睛】（1）对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.（2）注意数形结合，画出合理草图.2、试题分析：设正四棱锥的高为，则，则，所以四棱锥的体积，，由得，所以体积函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，体积有最大值，故选C.考点：棱锥的体积最值3、试题分析：根据题意知，函数图像上关于轴对称的点至少有对等价于函数与函数至少有个交点.如下图：显然当时，只有一个交点；当时，要使至少有个交点，需有，解得.考点：函数图像【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.4、试题分析：依题，在中，所以，故选D.考点：双曲线的离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5、试题分析：列表分析如下故当值不大于时继续循环，大于但不小于时退出循环，故的最小整数值为.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6、试题分析：由题意，知动圆圆心到点的距离等于到定直线的距离，故动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.方程为，选A.考点：抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化．2．若P（x0，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．7、试题分析：根据题中所给的三视图，可以还原几何体，为一个长方体一面突出，一面下凹，所以可以将突出的补到缺的地方，所以该几何体的体积就是长方体的体积，长宽高分别是，所以其体积为，故选D.考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．8、试题分析：，选B.考点：定积分【方法点睛】1. 利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．2．求曲边图形面积的方法与步骤（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．9、试题分析：由等比数列的性质知，，所以，所以或，故选C.考点：等比数列的性质10、试题分析：，，样本点的中心，∴，得，故答案为A.考点：线性回归方程11、试题分析：当时，，所以其虚部为，故选D.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为12、试题分析：由，得，根据集合元素的互异性易知，故选C或直接根据集合元素的互异性排除法得解.考点：集合元素的互异性【方法点睛】集合的基本运算的关注点（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．13、试题分析：∵，∴.当时，，，∴，当时，也满足上式，∴数列的通项公式为.令，则，当时，恒成立，∴在上是增函数，故当时，，即当时，，要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，∴解得或，∴实数t的取值范围为.考点：不等式恒成立，叠加法求通项，裂项相消法求和，基本不等式求最值【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{a n}是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n≥2）或.14、试题分析：由已知得，由于的最小值是，因此，又，所以.设以点为中点的弦的两个端点的坐标分别是，则有，即①，又该两点在双曲线上，则有，两式相减得②，把①代入②得，即所求直线的斜率是，所求直线的方程是，即.考点：基本不等式求最值，中点弦问题【方法点睛】弦中点问题解法一般为设而不求，方法一求弦AB所在直线方程的关键是求出斜率k，可把点为弦AB的中点作为突破口求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.15、试题分析：依题函数可看成是由和复合而成，依题，所以在其定义域上是减函数，由复合函数的单调性法则可知在其定义域上为减函数，所以，又在上恒成立，所以及，综上可知.考点：复合函数单调性【思路点睛】函数单调性的常见的命题角度有：1.求函数的值域或最值；2.比较两个函数值或两个自变量的大小；3.解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f（g（x））>f（h（x））的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式（组），此时要注意g（x）与h（x）的取值应在外层函数的定义域内；4.求参数的取值范围或值.16、试题分析：①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意.②若直线不垂直于轴，设其方程为，即，设圆心到此直线的距离为，则，得，∴，解得，故所求直线方程为.综上所述，所求直线方程为或.考点：直线与圆位置关系17、试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义，将不等式化为两个不等式组，再求它们的并集（Ⅱ）先根据绝对值定义，将不等式化为三个不等式组，再求它们的并集；也可利用绝对值三角不等式求出最小值为，因此确定不等式为矛盾不等式，解集为空集.试题解析：解：（Ⅰ）由得①或②解①得，解②得.∴的解集为.（Ⅱ）即.当时，不等式为，解得，∴解集为空集；当，不等式为，解得，∴解集为空集；当时，不等式为，∴解集为空集.综上所述，的取值范围为空集.考点：绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．18、试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数平方关系，消去参数得曲线的普通方程为，又在轴上交点为，所以（Ⅱ）利用，得，从而再利用降幂公式、两角和与差余弦公式化简得试题解析：解：（Ⅰ）直线的普通方程为，与轴的交点为，又曲线的普通方程为，所以，故所求曲线的普通方程为.（Ⅱ）因为点在曲线上，即在曲线上，故.考点：参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标关系19、试题分析：（Ⅰ）要证直线与⊙相切，就是要证OC⊥AB，而是中点，因此需证OA=OB，这是已知条件，结论成立（Ⅱ）由弦切角定理得，所以，从而，再根据切割线定理得，从而可解得BD=2，OA=OB=BD+OD=3+2=5.试题解析：解：（Ⅰ）连接，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙的切线，即直线AB与⊙相切.（Ⅱ）依题意知，DE是直径，∴，∴在Rt△ECD中，由tan=，得，∵AB是⊙的切线，∴，又∵，∴，∴，设BD=x，则BC=2x，又，∴，解得，∵，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5.考点：等腰三角形性质，弦切角定理，切割线定理，三角形相似【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．20、试题分析：（Ⅰ）先求函数导数，根据极值定义可得，，再求导函数零点，最后列表分析导函数符号，确定单调区间（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值：最小值，利用导数研究函数最小值：先求导数，研究其时符号为正，因此，从而（Ⅲ）证明不等式，关键利用函数单调性，难点在于确定目标函数：由（Ⅰ）可知，取，则，从而可得，即试题解析：解：（Ⅰ）由题意得，所以即，∴，令，可得，令，可得，所以在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）由题意要使时，恒成立，即，记，则，，又令，则，又，所以，所以在上单调递增，即，∴，即在上单调递增，所以，∴.（3）∵函数在区间上单调递减，而（），∴，∴，即，∴，即，而，∴结论成立.考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值，利用导数求证不等式【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a 即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.21、试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程就是利用条件确定，由是等腰直角三角形，得（Ⅱ）直线过定点问题，实质是先求直线方程，再证过定点,以算代证. 当直线的斜率不存在时，易得方程为，显然过点.当直线的斜率存在时，设方程为，由，可得，即，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y得一元二次方程，利用韦达定理可得.代入化简得，从而直线的方程为，过定点试题解析：解：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得，故椭圆方程为.（Ⅱ）（1）若直线的斜率存在，设方程为，依题意.设，由得.则.由已知，可得，所以.所以，整理得.故直线的方程为，即.所以直线过定点.（2）若直线的斜率不存在，设方程为，设，由已知，得，此时方程为，显然过点.综上，直线过定点.考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22、试题分析：（Ⅰ）根据频数、频率与总数关系列式可得.先确定第一，第二，第三，第四组分别抽取人数1,5,3,1，再确定个人中随机抽取3人都不来自第二组的取法，最后根据对立事件概率关系得（Ⅱ）先确定随机变量的取法：1,2,3，再分别计算各自概率：这3个人共来自同一小组，只有两种可能，因此，这3个人分别来自三个小组，有4种可能，因此，对于可用间接法求得，列表可得分布列，根据公式可求数学期望试题解析：解：（Ⅰ）由题可知，.采取分层抽样的方法在第一，第二，第三，第四组分别抽取：1,5,3,1人.“在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组”记为事件A，则.（Ⅱ）X的可能取值为1,2,3，，，，所以X的分布列为考点：频率分布直方图，数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B （n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.23、试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往结合平面几何知识进行寻找与论证，本题利用三角形中位线性质得到线线平行（Ⅱ）由于平几知识得，ABCD为矩形，又平面平面ABC，因此AB，AD，AP两两垂直.因此可建立空间直角坐标系，利用空间向量研究二面角：先根据方程组求出平面ACE的法向量及平面DAE的法向量，再利用向量数量积求法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系求二面角试题解析：解：（Ⅰ）连结交于点，连结.因为是平行四边形，所以为的中点.又为的中点，所以.平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为在中，，所以，所以，∴.又因为平面平面ABC，所以PA⊥平面ABC，在平行四边形ABCD中，AC=BD，所以ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，因为E为PD的中点，所以三棱锥的高为，设AB=m（m>0），三棱锥E-ACD的体积，解得m="3=AB" . 则，，设B（3,0,0）（m>0），则.设为平面ACE的法向量，则即可取.又为平面DAE的法向量，由题设，即二面角D-AE-C的大小是60°.考点：线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.24、试题分析：（Ⅰ）先根据向量数量积、二倍角公式、配角公式得，再根据题意得周期为π，求出，由为函数最值得（Ⅱ）先根据三角函数图像变换得，再结合图像可设交点横坐标分别为，因而解方程得，从而根据诱导公式得试题解析：解：（1），，由题意可知周期为π，故，所以.（2）将的图像向左平移，得到，由其对称性，可设交点横坐标分别为，有，则，所以.考点：向量数量积、二倍角公式、配角公式，三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）；函数y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）；函数y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；。
【全国百强校】海南省海南中学2016届高三考前高考模拟(十二)理数试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2,1,1,2,2,1,0,1A B =--=--，则A B = （ ）A ．{}2,1--B ．{}2,1,1--C ．{}1,2D ．{}1,1,2- 【答案】B 【解析】试题分析：根据交集的定义可知{}{}{}2,1,1,22,1,0,12,1,1,A B =----=-- 故选B. 考点：集合运算.2. 命题“0400,20x x R x ∃∈+≤” 的否定为（ ）A ．4,20xx R x ∀∈+≤ B ．4,20xx R x ∀∈+≥ C ．4,20xx R x ∀∈+< D ．4,20xx R x ∀∈+> 【答案】D考点：存在性命题及命题的否定. 3.i 是虚数单位，若11122z i i ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则z =（ ） A ．1 B． CD【答案】C 【解析】试题分析：11114111222211154255111222i i i z i i i i i ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-+=-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=故选C.考点：复数的运算与复数的模.4.已知双曲线()22:1025x y C m m -=> 则m =（ ）A ．9B ．16C ．9或16D ．4或15 【答案】A考点：双曲线的简单几何性质.5.直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 【答案】A 【解析】试题分析：因为直线10x ay ++=经过定点()1,0-，而点()1,0-在()2214x y +-=的内部，所以直线与圆相交，故选A.考点：直线与圆的位置关系.6.从1,3,5,7这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率是（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．12【答案】C 【解析】试题分析：从1,3,5,7这四个数中随机取出两个数组成一个两位数共有2412A =种不同的方法，其中组成的两位数是5的倍数的有11133C C =种，所以其概率为14，故选C.考点：古典概型中某事件发生的概率．7.如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF等于（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD +C ． 1132AB DA +D ．1223AB AD -【答案】D 【解析】试题分析：根据向量加法、减法的三角形法则可知()()EF AF AE AB BF AD DE =-=+-+11123223AB AD AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D.考点：平面向量的线性运算.8.将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移ϕ个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ 的一个可能取值为（ ） A ．3π-B ．6π-C ．3πD ．23π【答案】B考点：正弦函数的图象变换与性质.9.如图所示，程序框图的输出结果0S <，那么判断框中应填入的关于n 的判断条件可能是（ ） A ．9n < B ．9n ≤ C ．8n < D ．8n ≤【答案】B 【解析】试题分析：运行程序可得111113,S ;5,S ;7,S ;9,S 0;112412128n n n n n ========-<=，此时应输出S ，也就是说9满足判断框内的条件，但11不满足，所以应填9n ≤，故选B.考点：程序框图中的循环结构.10.68232111x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的61x 项的系数是（ ）A ． 132-B ． 132C ． 160-D ． 28 【答案】A考点：二项式定理.【方法点晴】本题主要考查了利用二项式定理求两个二项式的积中某项系数的问题，属于中档题.本题给出了两个二项式的乘积，解答时应分别展开再逐项相乘，由此可知特征项61x 项由两个二项式展开式的项相乘得到，分别分析两个二项式展开式中x 的指数特征可以发现第一个二项展开式中x 的指数都是负偶数，而第二个二项展开式中x 的指数都是3-的整数倍，由此可知61x 项只有两种情况，即上文所述，这样问题就容易解决了.11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．36π B ．8π C ．92π D ．278π【答案】B考点：三视图与几何体的表面积.【方法点睛】本题主要考查了几何体的三视图与几何体的表面积，考查考生的空间想象能力，属于基础题.解答本题的关键根据给出的三视图还原出几何体，再由三视图的特征得到几何体的结构特征，同时本题考查了几何体外接球的表面积，需要把几何体补形为三棱柱或长方体，从而得到外接球的直径于几何体棱长之间的关系. 12.已知函数()sin 2xf x x a=-的零点个数为11，则实数a 的取值范围是（ ） A ．913,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．7557,,2222ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．139913,,4444ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．139913,,4444ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点：函数的零点.【方法点睛】本题主要考查了函数的零点问题，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.本题解答的关键是把函数的零点问题转化为方程的根，进一步转化为两个基本初等函数图象的交点，通过做两个函数的图象，找到它们交点的个数满足条件时，一次函数斜率的范围，同时解答时应注意,sin 2xy y x a==都是奇函数，所以只需要研究0a >时图象即可.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设()()26,03,0x x f x f x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2016f 的值为 ．【答案】3- 【解析】试题分析：因为当0x ≥时，()()3f x f x =-，所以()()()()220160363 3.f f f ==-=--=- 考点：分段函数.14.若,x y 满足不等式1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最小值为 ．【答案】4- 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图，设2z x y =+，则2y x z =-+，由图可知当直线过点()1,2A --时，()min 2124z =⨯--=-.考点：简单的线性规划.15.已知函数()1xf x e mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1y x e=-平行的切线，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦考点：导数的几何意义.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，转化的数学思想，属于中档题.本题解答的关键是根据导数的几何意义把条件“曲线C 不存在与直线1y x e =-平行的切线”转化为导函数的方程1x e m e-=-无解，从而通过分类参数m ，构造新函数()1x g x e e=+，通过研究新函数的单调性和值域得到参数m 的范围. 16.在 ABC ∆中，cos 12sin b c A a C =+，则tan C = ． 【答案】112考点：正弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了利用正弦定理解三角形及两角和的正弦公式，属于中档题.解三角形时，经常遇到边、角混合式这样的条件，解答时首先考虑利用正弦定理或余弦定理统一化成边的关系（往往是因式分解）或角的关系，通过三角恒等变换来解决，解答时还要注意三角形的基本性质，如三内角和为180 ，大边对大角，小边对小角等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且34115,,2a a a +成等比数列.()n N *∈ （1）求n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）312n n a -=；（2）232n nT n =+. 【解析】试题分析：（1）由于34115,,2a a a +成等比数列，所以2431152a a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此求出数列的公差，即得其通项公式；（2）把（1）的结果代入11n n n b a a =+可得()()43132n b n n =-+，利用裂项法可求得其前n 项和n T ．试题解析：（1）设公差为d ，由题意知0d >.34115,,2a a a + 成等比数列，2431152a a a ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.()()273121102d d d ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭，即24436450d d --=， 解得315(222d d ==-舍去). ()312n n a n N *-∴=∈. （2）()()114411313233132n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭,()41111112 (32558313232)n n T n N n n n *⎛⎫∴=-+-++-=∈ ⎪-++⎝⎭ 考点：等差数列额通项公式及数列求和. 18.（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，O 是BD的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======.（1）求证：平面ABD ⊥平面BCD ； （2）求异面直线AB与CD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2. 试题解析：（1）证明：连接OC . 由2CA CB CD BD ====，AB AD ==,知1CO AO ==.在AOC ∆中，22AC AO OC =+，则AO OC ⊥.又,0AO BD BD OC ⊥= ，因此AO ⊥平面BCD . 又AO ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD.考点：空间中的垂直关系及异面直线所成的角. 19.（本小题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录了1至6月 份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选举2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被 选取的2组数据进行检验.（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归 方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：^1122211()()()()nniiiii i nniii i x ynx yx x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑^^^a yb x =-）【答案】（1） 183077y x =-；（2）该小组所得线性回归方程是理想的. 考点：回归直线方程及回归分析. 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的左、右焦点分别为())12,F F ，直线0x +=与椭圆C的—个交点为()，点A 是椭圆C 上的任意—点，延长1AF 交椭圆C 于点B ，连接22,BF AF . （1）求C 椭圆的方程；（2）求2ABF ∆的内切圆的最大周长.【答案】（1）22142x y +=；（2.（2）设2ABF ∆的内切圆的半径为r .则()22212ABF AB AF BF r S ∆++⨯=.由椭圆的定义，得121224,24AF AF a BF BF a +==+==，所以2212128AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=.所以2182ABF r S ∆⨯⨯=.即24ABF r S ∆=. 为此，求2ABF ∆的内切圆的最大周长，可先求其最大半径，进一步转化为可先求2ABF ∆的最大面积.显然，当AB x ⊥轴时，2ABF ∆取最大面积，此时，点()(),1A B -，2ABF ∆取最大面积是()212max122ABF S F F ∆=⨯⨯=故()2max max14ABF r S ∆==.故2ABF ∆的内切圆的最大周长为max 22r ππ== 考点：椭圆的定义与标准方程.【方法点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用及标准方程的求法，属于中档题.求椭圆的方程时，对直线和椭圆的交点()的应用应首选定义，这样可以减少运算量；第（2）问解答时要注意对问题的转化，把周长的最大值转化为半径的最大值进一步转化为2ABF ∆内切圆面积的最大值，利用椭圆的定义集合图形求出,A B 两点的坐标，使问题得以解决. 21.（本小题满分12分）已知函数()222xf x ex ax =+--.（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）若()()22g x f x x =-+，且()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 极小值为()01f =-，无极大值；（2）(]0,2e .试题解析：（1）函数()222xf x ex ax =+--的定义域是R ,当2a =时，()()2222'222x x f x e x x f x e x =+--=+-,易知函数()2'222x f x e x =+-的定义域是R 上单调递增函数，且()'00f =,所以令()'0f x <，得0x <；令()'0f x >，得0x >，所以函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增.所以函数()f x 极小值为()01f =-，无极大值. （2）()()22222222xx g x f x x ex ax x e ax =-+=+---+=-，则()2'2x g x e a =-.①当0a ≤时，()'0g x >恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增， 且数形结合易知，一定存在某个00x <，使得在区间()0,x -∞上，函数2xy e =的图象在函数y ax =的图象的下方，即满足2x e ax <的图象即()0g x <.所以()0g x ≥不恒成立，故当0a ≤时，不符合题意，舍去；考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数学思想，属于难题.本题第一问研究函数的极值，通过二次求导得到导函数的最小值说明()f x 的单调性，来判断极值点的情况；第二问是本题解答的难点，把()0g x ≥恒成立转化为求函数()g x 的最小值，按照a 的符号进行讨论，来判断()g x 的单调性，当0a ≤时，()g x 单调递增，通过找反例排除，当0a >时，求出函数()g x '零点，判断其单调性，求出其最小值，建立不等式求解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的直径10AB =,P 是AB 延长线上一点，2BP =，割线PCD 交圆O 于点,C D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F .（1）求证：PEC PDF ∠=∠； （2）求PE PF 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）24.考点：圆内接四边形的性质、圆的割线性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数) ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围. 【答案】（1）相离；（2）⎡⎣.考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =+--. （1）解不等式()0f x ≥；（2）若存在实数x ，使得()f x x a ≤+，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),31,-∞-+∞ ；（2）3a ≥-. 【解析】试题分析：（1）按照12x ≤-，102x -<<，0x ≥三种情况分别讨论去掉绝对值符号，求出不等式的解，最后取三种情况的并集即得原不等式的解集；（2）把不等式()f x x a ≤+转化为2122x x a +-≤+，根据绝对值的几何意义即可求出实数a 的取值范围. 试题解析：（1）①当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤-；考点：绝对值不等式性质和解法.：。
【全国百强校】海南省海口市第一中学2016届高三临考模拟理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2<--=x x x N ，若R U =，且=N M C U ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2<mB ．2≥mC ．2≤mD ．2≥m 或4-≤m 【答案】B考点：1、集合的表示；2、集合的运算. 2.“4πα=πk 2+（Z k ∈）”是“02cos =α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：当()24k k Z παπ=+∈时，cos 2cos 40;2k παπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭当cos 20α=时()22,2k k Z παπ=±+∈得4k παπ=±+推不出()24k k Z παπ=+∈，“4πα=πk 2+（Z k ∈）”是“02cos =α”的充分不必要条件．故选A.考点：1、充分条件与必要条件；2、特殊角的三角函数及诱导公式.3.设c b a ,,是空间三条直线，βα,是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A ．当α⊥c 时，若β⊥c ，则βα// B ．当α⊂b 时，若β⊥b ，则βα⊥ C ．当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若c b ⊥，则b a ⊥D ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若α//c ，则//b c 【答案】B考点：1、线面平行与垂直的判定定理；2、面面平行的性质.4.已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x ，则函数x x x f ln )sgn(ln )(-=的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：设ln x t =，则()0f x =时，sgn t t =，因为⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x ，0t >时可得1t =，此时x e =；0t =时可得0t =，此时1x =；0t <时可得1t =-，此时1x e=，所以()()sgn ln ln f x x x =-的零点个数为3，故选C.考点：1、分段函数的解析式；2、函数零点与方程的根之间的关系.5.函数)cos(ϕω+=x y （πϕω<<>0,0）为奇函数，该函数的部分图象如右图所表示，B A 、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴为（ ）A ．π2=x B ．2π=x C ．1=x D ．2=x【答案】C考点：三角函数的图象与性质.6. 已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．13B ．76C ．46D ．76- 【答案】D 【解析】试题分析：因为()()1159131721...143n n S n -=-+--++--，所以()()1515913...S =-+-+()()495357475729+-+=-⨯+=，()()()()22159131721...818541144S =-+-+-++-=-⨯=-， ()()()()31159131721...11311712141512161S =-+-+-++-+=-⨯+=，152231S S S ∴+-29446176=--=-，故选D.考点：特殊数列的求和.7.阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（ ） A ．81-B ．81C ．161D ．321【答案】B 【解析】试题分析：经过第一次循环得到cos,7S π=不满足3n ≥，执行第二次循环得到2coscos,77S ππ=不满足3n ≥，执行第三次循环得到24coscoscos .777S πππ=满足判断对话框的条件，所以332482cos cos cos sin2417777cos cos cos 77782sin 8sin 77S πππππππππ====-，故选B. 考点：1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序.8.现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是（ ）A ．20B ．40C ．60D ．80 【答案】B考点：1、排列组合的分类计数加法原理；2、排列组合分步计数原理法.9.在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别为棱1AA 和1BB 之中点，则><N D CM 1,sin 的值为（ ） A ．91 B ．32 C ．592 D ．594【答案】D 【解析】试题分析：如图建立空间直角坐标系，设正方形边长为2，则()()()()10,0,2,2,2,1,0,2,0,2,0,1D N C M ，()()111112,2,1,2,2,1,cos ,94CM D N CM D N CM D N CM D N∴=-=-∴<>==-⨯，1cos ,sin 9θθ∴=-∴==D.考点：1、空间向量的应用；2、空间向量夹角余弦公式. 10.若函数)()(3x x a x f --=的递减区间为)33,33(-，则a 的取值范围是（ ） A ．0>a B ．01<<-a C ．1>a D ．10<<a 【答案】A考点：利用导数研究函数的单调性.11.已知)(x f ，)(x g 都是定义在R 上的函数，且x a x g x f =)()(（0>a ，且1≠a ）， )(')()()('x g x f x g x f <，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则a 的值为（ ） A ．21 B ．53 C ．35D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：因为'()()()'()f x g x f x g x < 所以()'2()'()()()'()0()f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤-=<⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()x f x a g x =为减函数，所以1o a <<；又因为()()1(1)5(1)12f f g g -+=-即15,2a a -+=得12a =（2a =舍去），故选A.考点：1、函数的求导法则；2、抽象函数的单调性及指数函数的性质.【方法点睛】本题主要考察指数函数的性质、抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.与抽象函数单调性有关的问题，是近年高考命题的热点，其主要命题方向是利用导数研究抽象函数的积、抽象函数的商所构成的函数的单调性 并与其他知识点相结合，这种题型往往对积与商的导数进行变形后进行命题，所以做题时要注意灵活变换条件.12.如图，AB 是抛物线)0(22>=p px y 的一条经过焦点F 的弦，AB 与两坐标轴不垂直，已知点)0,1(-M ，BMF AMF ∠=∠，则p 的值是（ ）A ．21B ．1C ．2D ．4【答案】C()12120,221p x x x x p ⎛⎫++-= ⎪⎭-⎝则222120,224p p k p p p k +⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭-化简得220,p k -=因为0k ≠所以2p =，故选C.考点：1、抛物线的几何性质及数形结合思想；2、直线的点斜式方程及韦达定理.【方法点睛】本题主要考查直线的点斜式方程及韦达定理、抛物线的几何性质及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知曲线的性质研究透，这样才能快速找准突破点.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 2cm .【答案】π)2132(6++考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.14.代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，距台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续 小时. 【答案】5.2考点：1、数学建模能力及阅读能力；2、圆的性质及勾股定理.15.已知双曲线12222=-by a x 左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且621π=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】x y 2±=【解析】把x c =代入12222=-b y a x 可得2212,b y PF Rt PF F a ==中，22112tan 2PF b PF F F F ac∠==2tan6π==b a ∴=所以渐近线方程为b y x a =±=，故答案为x y 2±=.考点：1、双曲线的几何性质；2、双曲线的渐近线方程.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系，求双曲线渐近线方程，最关键是根据题意找出,a b 之间的等量关系，进而求出渐近线的斜率.16.我们把形如ax by -=||（0,0>>b a ）的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为 “囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆皆称为“囧圆”，则当1=a ，1=b 时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为 . 【答案】π3考点：1、函数的图象和性质；2、圆的图象和性质.【方法点睛】本题通过新定义“囧函数”、“囧点”、“囧圆”主要考查函数的图象和性质、圆的图象和性质，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题是命题都围绕“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的基本定义命题，只要能正确理解“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的基本定义，问题就能迎刃而解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分12分）ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，向量)1,1(-=m ，)23sin sin ,cos (cos -=C B C B n ， 且n m ⊥. （1）求A 的大小；（2）现在给出下列三个条件：①1=a ；②0)13(2=+-b c ；③45=B ，试从中再选择两个条件以确定ABC ∆，求出所确定的ABC ∆的面积.【答案】（1）30=A ；（2）14.方案二：选择①③，可确定ABC ∆，因为 30=A ，1=a ， 45=B ，105=C ，又42660sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin +=+=+= ， 由正弦定理22630sin 105sin 1sin sin +=⋅== A C a c ， 所以41322226121sin 21+=⋅+⋅⋅==∆B ac S ABC . 考点：1、平面向量的数量积公式、两角和的余弦公式及诱导公式；2、余弦定理及三角形面积公式. 18.（本题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将 成绩按如下方式分为六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）……第六组[140，150].如图为其频率 分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人. （1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M ；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为y x ,.若10||≥-y x ，则称此 二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率1P ；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分 布列及期望.【答案】（1）频率分布直方图见解析，114.5；（2）25；（3）分布列见解析，910.5.11405.01451.013515.012535.011515.01052.095=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=M .故ξ的分布列如下依题意)10,3(~B ξ，故109103=⨯=ξE . 考点：1、频率分布直方图及古典概型概率公式；2、二项分布期望公式.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，BC AD //, 90=∠ADC ，平面⊥PAD 底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 为PC 上的点，2==AD PA ，121==AD BC ,3=CD . （1）求证：平面⊥PQB 平面PAD ；（2）若二面角C BQ M --为 30，设tMC PM =，试确定t 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）3t =.考点：1、面面垂直的性质定理及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.20.（本题满分12分）已知C B A 、、椭圆m ：)0(12222>>=+b a by a x 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且0=⋅，||2||=.（1）求椭圆m 的方程；（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交 点，且||||=，求实数t 的取值范围.【答案】（1）221124x y +=；（2）)4,2(-∈t . 【解析】试题分析：（1）由A 的坐标为)0,32(得32=a ，0=⋅，||2||=得)3,3(C ，)3,3(C 带入椭圆方程可求解b 的值，进而得椭圆m 的方程；（2）当0=k 时，显然22<<-t ，当0≠k 时，设l ：t kx y +=与椭圆方程联立，根据韦达定理求出PQ 中点坐标用,k t 表示，由||||DQ DP =，∴PQ DH ⊥，kk DH 1-=，得231k t +=，进而得实数t 的取值范围.考点：1、待定系数法求椭圆的参数方程；2、韦达定理及解析几何求参数范围.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求参数范围，属于难题.解决圆锥曲线求参数范围问题一常常将圆锥曲线参数范围问题问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，将参数t 表示成变量k 的函数后求解的.21.（本题满分12分）已知向量)ln ,(k x e x +=，))(,1(x f =，//（k 为常数，e 是自然对数的底数），曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与y 轴垂直，)(')(x f xe x F x =.（1）求k 的值及)(x F 的单调区间；（2）已知函数ax x x g 2)(2+-=（a 为正实数），若对于任意]1,0[2∈x ，总存在),0(1+∞∈x ，使得)()(12x F x g <，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1=k ，)(x F 的增区间为]1,0(2e ，减区间为),1[2+∞e ；（2）22110ea +<<.考点：1、向量平行的性质及导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最值.【方法点晴】本题主要考查的是向量平行的性质及导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值 ，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的直径10=AB ，弦AB DE ⊥于点H ，2=HB .（1）求DE 的长；（2）延长ED 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若52=PC ，求PD 的长.【答案】（1）8=DE ；（2）2=PD .考点：1、圆的几何性质；2、切割线定理的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为4πθ=（R ∈ρ），曲线1C 、2C 相交于B A ,.（1）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求弦AB 的长.【答案】（1）226x y x +=，y x =；（2）23=AB .考点：1、极坐标与直角坐标互化公式；2、点到直线距离公式及勾股定理.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式p x px x +>++212.（1）如果不等式当2||≤p 时恒成立，求x 的范围；（2）如果不等式当42≤≤x 时恒成立，求p 的范围.【答案】（1）1|{-<x x 或}3>x ；（2）}1|{->p p .【解析】试题分析：（1）整理成关于p 的一次函数2)1()1()(-+-=x p x p f ，只需(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即可；（2）分离参数x x x x p -=--+->11122，只需max )1(x p ->即可.考点：1、数形结合法求解不等式恒成立问题；2、分离参数法解答不等式恒成立问题.：。
【全国百强校】海南省海南师范大学附属中学2016届高三临考模拟数学试题解析(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}Z x x x M ∈≤=,12，{}2,a a N =，则使M N M = 成立的a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．1或1- 【答案】C考点：集合元素的互异性【方法点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2.当1=m 时，复数im iz 21-+=的虚部为（ ) A ．51- B ．51 C ．53- D ．53【答案】D 【解析】试题分析：当1=m 时，i i i i i i i z 5351)21)(21()21)(1(211+-=+-++=-+=，所以其虚部为53，故选D. 考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、共轭为.-a bi 3.已知具有线性相关的两个变量y x ,之间的一组数据如下：且回归方程是6.295.0+=∧x y ，则=t （ ） A ．7.6 B ．6.6 C ．5.6 D ．4.6 【答案】A考点：线性回归方程4.等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4a （ ）A ．8B ．8-C ．8或8-D ．16 【答案】C 【解析】试题分析：由等比数列的性质知，2453a a a =，所以6424=a ，所以=4a 8或=4a 8-，故选C.考点：等比数列的性质5.设⎩⎨⎧∈∈=],2,1[,],1,0[,sin )(2x x x x x f 则⎰20)(dx x f 等于（ ）A ．1cos 37- B ．1cos 310- C ．1cos 37+ D ．1cos 310+ 【答案】B 【解析】试题分析：21221320111710()sin cos 1cos1cos1333f x dx xdx x dx xx =+=-+=-+=-⎰⎰⎰，选B. 考点：定积分【方法点睛】1. 利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论． 2．求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和． 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 【答案】D考点：三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7.过点)3,0(F 且和直线03=+y 相切的动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．y x 122= B ．x y 122-= C ．x y 122= D ．y x 122-= 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，知动圆圆心到点)3,0(F 的距离等于到定直线3-=y 的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线3-=y 为准线的抛物线.方程为y x 122=，选A. 考点：抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p 2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 8.执行如图所示的程序框图，若输出的是6 n ，则输入整数p 的最小值为（ ） A ．15 B ．16 C ．31 D ．32【答案】B考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的焦点为21,F F ，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线C 左支交于B A 、两点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．5 C ．25D ．31+ 【答案】D考点：双曲线的离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=,0),10(log ,0,1)2sin()(x a a x x x x f a 且π的图像上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)55,0( B ．)1,55( C ．)1,33( D ．)33,0( 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意知，函数图像上关于y 轴对称的点至少有3对等价于函数)0(1)2sin(>--=x x y π与函数)0)(10(log >≠>=x a a x y a 且至少有3个交点.如下图：显然当1>a 时，只有一个交点；当10<<a 时，要使至少有3个交点，需有25log ->a ，解得550<<a .考点：函数图像 【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 11.已知正四棱锥ABCD S -中，32=SA ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3 【答案】C考点：棱锥的体积最值12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 3021=∠PF F 时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（ ） A ．347- B ．32- C ．13- D ．324- 【答案】B考点：椭圆、双曲线中焦点三角形【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知圆C 方程为：422=+y x ，直线l 过点)2,1(P ，且与圆C 交于B A 、两点，若32=AB ，则直线l 的方程是_______. 【答案】0543=+-y x 或1=x 【解析】试题分析：①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为)3,1(和)3,1(-，其距离为32满足题意.②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx ， 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ， ∴1212++-=k k ，解得43=k ，故所求直线方程为0543=+-y x .综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或1=x . 考点：直线与圆位置关系14.已知函数)1(log )(kx x f k -=在]2,0[上是关于的增函数，则k 的取值范围是_____. 【答案】)21,0(考点：复合函数单调性【思路点睛】函数单调性的常见的命题角度有： 1 求函数的值域或最值；2 比较两个函数值或两个自变量的大小；3 解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内；4 求参数的取值范围或值. 15.已知9,2,,,,=+=+∈+t n s m n m R t s n m ，其中n m ,是常数，当t s +取最小值94时，n m ,对应的点),(n m 是双曲线12422=-y x 一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为______. 【答案】012=+-y x 【解析】试题分析：由已知得2)(91)2(91)(91))((91n m mn n m t ns s mt n m t n s m t s t s +=++≥+++=++=+， 由于t s +的最小值是94，因此2,94)(912=+=+n m n m ，又2=+n m ，所以1==n m .设以点),(n m 为中点的弦的两个端点的坐标分别是),(),,(2211y x y x ，则有1212=122x x y y ++=， 即22121=+=+y y x x ①，又该两点在双曲线上，则有124,12422222121=-=-y x y x ，两式相减得02))((4))((21212121=-+--+y y y y x x x x ②，把①代入②得212121=--x x y y ，即所求直线的斜率是21，所求直线的方程是)1(211-=-x y ，即012=+-y x . 考点：基本不等式求最值，中点弦问题【方法点睛】弦中点问题解法一般为设而不求，方法一求弦AB 所在直线方程的关键是求出斜率k ，可把点),(n m 为弦AB 的中点作为突破口求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.16.已知数列{}n a 中，),2(02,211N n n n a a a n n ∈≥=--=-.设nn n n n a a a a b 23211111+⋅⋅⋅+++=+++，若对 任意的正整数n ，当]1,1[-∈m 时，不等式n b mt t >+-6122恒成立，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】),2()2,(+∞--∞3121132121112++=++=+-+=nn n n n n n考点：不等式恒成立，叠加法求通项，裂项相消法求和，基本不等式求最值【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n ≥2)或1n （n ＋2）.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）若向量)0,(sin ),sin ,cos 3(x b x x a ωωω==其中0>ω，记函数21)()(-⋅+=x f ，若函数)(x f 的图像与直线m m y (=为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为 π的等差数列.（Ⅰ）求)(x f 的表达式及m 的值； （Ⅱ）将函数)(x f y =的图像向左平移12π，得到)(x g y =的图像，当)47,2(ππ∈x 时，αcos )(=x g 的交点横坐标成等比数列，求钝角α的值.【答案】（Ⅰ）),62sin()(π-=x x f 1±=m .（Ⅱ）85πα=考点：向量数量积、二倍角公式、配角公式，三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z)； 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，且BD AC =，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：∥PB 平面AEC ；（Ⅱ）在PAD ∆中，4,32,2===PD AD AP ，三棱锥ACD E -的体积是3，求二面角C AE D -- 的大小.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）60°（Ⅱ）因为在PAD ∆中，4,32,2===PD AD AP ，所以222PD AD AP =+，所以 90=∠PAD ，∴AD PA ⊥.又因为平面⊥PAD 平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ，在平行四边形ABCD 中，AC=BD ，所以ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直.考点：线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.（本小题满分12分）某市为了缓解交通压力，提倡低碳环保，鼓励市民乘坐公共交通系统出行.为了更好地保障市民出行，合理安排运力，有效利用公共交通资源合理调度，在某地铁站点进行试点调研市民对候车时间的等待时间（候车时间不能超过20分钟），以便合理调度减少候车时间，使市民更喜欢选择公共交通.为此在该地铁站的一些乘客中进行调查分析，得到如下统计表和各时间段人数频率分布直方图：（Ⅰ）求出a的值；要在这些乘客中用分层抽样的方法抽取10人，在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组的概率；（Ⅱ）从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）1112（Ⅱ）详见解析考点：频率分布直方图，数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,2(F ，M 为椭圆的上顶点，O 为 坐标原点，且MOF ∆是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线MB MA ,交椭圆于B A ,两点，设两直线的斜率分别为21,k k ，且821=+k k ，证明：直线AB 过定点)2,21(--. 【答案】（Ⅰ）14822=+y x （Ⅱ）详见解析（Ⅱ）（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为m kx y +=，依题意2±≠m .设),(),,(2211y x B y x A ， 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 14822得0824)21(222=-+++m kmx x k . 则22212212182,214km x x k km x x +-=+-=+. 由已知821=+k k ，可得8222211=-+-x y x y ， 所以8222211=-++-+x m kx x m kx .所以42=+-m mk k ，整理得221-=k m . 故直线AB 的方程为221-+=k kx y ，即2)21(-+=x k y .考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.（本小题满分12分）已知函数xx a x f ln )(+=在1=x 处取得极值. （Ⅰ）求函数)(x f y =的单调区间； （Ⅱ）当),1[+∞∈x 时，xm x f +≥1)(恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）当2,≥∈*n N n 时，求证：1131212)(-+⋅⋅⋅+++<n n nf . 【答案】（Ⅰ）在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减.（Ⅱ）2≤m （Ⅲ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数导数2ln 1)(xx a x f --='，根据极值定义可得01)1(=-='a f ，1=a ，再求导函数零点1=x ，最后列表分析导函数符号，确定单调区间（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值：x x x m )ln 1)(1(++≤最小值，利用导数研究函数x x x x h )ln 1)(1()(++=最小值：先求导数2ln )(xx x x h -='，研究其),1[+∞∈x 时符号为正，因此2)1()]([min ==h x h ，从而2≤m （Ⅲ）证明不等式，关键利用函数单调性，难点在于确定目标函数：由（Ⅰ）可知1ln 11ln (1)x x x x x +<⇒+<>，取11x n =+，则nn n 1ln )1ln(<-+，从而可得1131211)1ln(ln 2ln 3ln 1ln 2ln ln -+⋅⋅⋅+++<--+⋅⋅⋅+-+-=n n n n ，即1131212ln 1-+⋅⋅⋅+++<+n n考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值，利用导数求证不等式【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上一点C ，⊙O 的半径为3，AOB ∆是等腰三角形，且C 是AB 中点，⊙O 交直线OB 于D E 、.（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）若CED 的正切值为21，求OA 的长.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）5考点：等腰三角形性质，弦切角定理，切割线定理，三角形相似【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为)0(,sin 3,cos >⎩⎨⎧==a y a x 为参数，ϕϕϕ，直线l 的参数方程为)(,1,3为参数t t y t x ⎩⎨⎧--=+=，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程； （Ⅱ）若点)34,(),32,(),,(321πθρπθρθρ++C B A 在曲线C 上，求222111OCOB OA ++的值. 【答案】（Ⅰ）13422=+y x （Ⅱ）78试题解析：解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为2=+y x ，与x 轴的交点为)0,2(，又曲线C 的普通方程为13222=+y a x ，所以2=a ，故所求曲线C 的普通方程为13422=+y x .考点：参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标关系24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知12)(-=x x f .（Ⅰ）求x x f 3)(≤的解集； （Ⅱ）求11)(≤++x x f 的解集.【答案】（Ⅰ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51x x （Ⅱ）空集 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义，将不等式化为两个不等式组，再求它们的并集（Ⅱ）先根据绝对值定义，将不等式化为三个不等式组，再求它们的并集；也可利用绝对值三角不等式求出211x x -++最小值为32，因此确定不等式为矛盾不等式，解集为空集. 试题解析：解：（Ⅰ）由x x f 3)(≤得①⎩⎨⎧≤-≥-x x x 312,012或②⎩⎨⎧≤-≤-x x x 321,012 解①得21≥x ，解②得2151<≤x .考点：绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．：。
2016年海南省海口中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年海南省海口中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题每小题5分共60分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M＝{x|x＞x2}，N＝{y|y＝，x∈M}，则M∩N＝（）A．{x|0＜x＜}B．{x|＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|1＜x＜2} 2．（5分）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）A．E B．F C．G D．H3．（5分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）已知等差数列{a n}满足2a3﹣a+2a13＝0，且数列{b n} 是等比数列，若b8＝a8，则b4b12＝（）A．2B．4C．8D．165．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝3x+y的最大值为（）A．5B．6C．7D．86．（5分）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列的前10项和（n∈N*）B．求数列的前10项和（n∈N*）C．求数列的前11项和（n∈N*）D．求数列的前11项和（n∈N*）7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且，则c的值为（）A．3B．4C．5D．3或58．（5分）1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）10．（5分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种11．（5分）如图，线段AB＝8，点C在线段AB上，且AC＝2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP＝x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的最大值为（）A．2B．2C．3D．312．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置）13．（5分）已知向量，，其中，，且，则＝．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15．（5分）若圆C：x2+（y+1）2＝4，点和点，从点A 观察点B，要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围是．16．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S＝aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝（用数值作答）．三、解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17．（12分）在△ABC中，∠A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足a2﹣2bc cos A ＝（b+c）2（1）求∠A的大小；（2）若a＝3，求△ABC周长的取值范围．18．（12分）要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各只允许有一次不考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为，笔试考试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）求他恰好补考一次就获得证书的概率；（3）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望值．19．（12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥面ABCD，BD 交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．（Ⅰ）求证：BD⊥FG；（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；（Ⅲ）当二面角B﹣PC﹣D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．20．（12分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N 两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a＝1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m （t）．记g（t）＝M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．从以下22、23、24题任选一题作答，三题都写只按22题给分（本小题满分10分）[选修4-1：平面几何选讲]22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，点C是弧的中点，弦CE⊥AB于F．GD是⊙O的切线，且与EC的延长线相交于点G，连接AD，交CE于点P．（Ⅰ）证明：△ACD∽△APC；（Ⅱ）若GD＝+1，GC＝1，求PE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆锥曲线和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线AF2的极坐标方程；（Ⅱ）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝a﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a＝6时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数a的取值范围．2016年海南省海口中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题每小题5分共60分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M＝{x|x＞x2}，N＝{y|y＝，x∈M}，则M∩N＝（）A．{x|0＜x＜}B．{x|＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：对于集合：M：由x＞x2，解得0＜x＜1，∴M＝{x|0＜x＜1}．∵0＜x＜1，∴1＜4x＜4∴.．∴N＝{y|}．∴M∩N＝{x|}．故选：B．2．（5分）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）A．E B．F C．G D．H【解答】解：观察图形可知z＝3+i，∴，即对应点H（2，﹣1），故选：D．3．（5分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵“|a﹣b|＝|a|+|b|”，∴平方得a2﹣2ab+b2＝a2+2|ab|+b2，即|ab|＝﹣ab，∴ab≤0，即“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}满足2a3﹣a+2a13＝0，且数列{b n} 是等比数列，若b8＝a8，则b4b12＝（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：由等差数列的性质可得a3+a13＝2a8，即有a82＝4a8，解得a8＝4（0舍去），即有b8＝a8＝4，由等比数列的性质可得b4b12＝b82＝16．故选：D．5．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝3x+y的最大值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点C时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x＝2，y＝﹣1，即C（2，﹣1），代入目标函数z＝3x+y得z＝3×2﹣1＝5．即目标函数z＝3x+y的最大值为5．故选：A．6．（5分）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列的前10项和（n∈N*）B．求数列的前10项和（n∈N*）C．求数列的前11项和（n∈N*）D．求数列的前11项和（n∈N*）【解答】解：根据题意，s＝s+n＝n+2∴数列为又∵K≤10∴计算的是求数列的前10项和（n∈N*）故选：B．7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且，则c的值为（）A．3B．4C．5D．3或5【解答】解：在△ABC中，由已知条件可知：sin B＝sin2A＝2sin A cos A；由正弦定理，b＝，∴b＝2a cos Acos A＝余弦定理整理可知：c2﹣8c+15＝0解得c1＝3或c2＝5当c＝3时，a＝c＝3时，则A＝C，又B＝2A，A+B+C＝180°，得A＝C＝45°，B＝90°，则三角形ABC为等腰直角三角形，b＝3与b＝2矛盾，故c＝5，故选：C．8．（5分）1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、从1号箱中取出白球，其概率为＝，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱取出红球的概率为，则这种情况下的概率为×＝，②、从1号箱中取出红球，其概率为＝，此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱取出红球的概率为，则这种情况下的概率为×＝，则从从2号箱取出红球的概率是+＝；故选：A．9．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）【解答】解：如下图：f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）分别表示了直线n，m，l的斜率，故0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选：B．10．（5分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种【解答】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42＝540种．故选：D．11．（5分）如图，线段AB＝8，点C在线段AB上，且AC＝2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP＝x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的最大值为（）A．2B．2C．3D．3【解答】解：∵CP＝x，CP+PB＝8﹣2＝6，∴PB＝6﹣x＝PD．在△CPD中，∵CP+CD＞PD，CD+PD＞CP，∴x+2＞6﹣x，2+6﹣x＞x，解得2＜x＜4．在△CPD中，设∠DCP＝θ，由余弦定理可得＝．∴＝，∴f（x）＝＝＝x sinθ＝＝∴当且仅当x＝3时，f（x）取得最大值，f（3）＝．故选：A．12．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2＝F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e＝时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置）13．（5分）已知向量，，其中，，且，则＝2．【解答】解：设向量和的夹角是α，则∵||＝，||＝2，且（﹣）⊥，∴（﹣）•＝2﹣•＝2﹣2cosα∴cosα＝，∴＝4+﹣4•＝8+4﹣4××2×＝4故＝2，故答案为：2．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为40【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱柱和同底的四棱锥组成的组合体，四棱柱的体积为：4×2×3＝24；本棱锥的体积为：×4×3×（6﹣2）＝16，故组合体的体积V＝24+16＝40，故答案为：4015．（5分）若圆C：x2+（y+1）2＝4，点和点，从点A 观察点B，要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围是a＞8﹣1或a ＜﹣8﹣1．【解答】解：设过A与圆C：x2+（y+1）2＝4相切的直线的方程是y+1＝k（x+），圆心到直线的距离d＝＝2，∴k＝±2若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，B在x＝3的直线上，且a＞8﹣1或a＜﹣8﹣1．故答案为：a＞8﹣1或a＜﹣8﹣1．16．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是3，1，6；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S＝aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝79（用数值作答）．【解答】解：（Ⅰ）观察图形，可得S＝3，N＝1，L＝6；（Ⅱ）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S＝2，N＝0，L＝6∵格点多边形的面积S＝aN+bL+c，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得∴，∴S＝N+﹣1将N＝71，L＝18代入可得S＝79．故答案为：（Ⅰ）3，1，6；（Ⅱ）79．三、解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17．（12分）在△ABC中，∠A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足a2﹣2bc cos A ＝（b+c）2（1）求∠A的大小；（2）若a＝3，求△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）由余弦定理得：cos A＝，即b2+c2﹣a2＝2bc cos A，代入已知等式得：a2﹣b2﹣c2+a2＝b2+2bc+c2，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴cos A＝＝﹣，则∠A＝120°；（2）∵a＝3，cos A＝﹣，∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣＝，再由b+c＞a＝3得到：3＜b+c≤2，则△ABC周长a+b+c的范围为6＜a+b+c≤2+3．18．（12分）要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各只允许有一次不考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为，笔试考试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）求他恰好补考一次就获得证书的概率；（3）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望值．【解答】解：设“听力第一次考试合格”为事件A1，“听力补考合格”为事件A2；“笔试第一次考试合格”为事件B1“笔试补考合格”为事件B2．（1分）（1）不需要补考就获得证书的事件为A1•B1，注意到A1与B1相互独立，则P（A1•B1）＝P（A1）×P（B1）＝×＝．A1•B1答：该考生不需要补考就获得证书的概率为．（3分）（2）恰好补考一次的事件是（4分）则P（）＝P（）+P（）＝＝＝（7分）（3）由已知得，ξ＝2，3，4，（8分）注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得P（ξ＝2）＝P（A1•B1）+P（）＝×+×＝+＝（10分）P（ξ＝3）＝P（A1••）+P（•A2•B2）＝（12分）P（ξ＝4）＝P（•A2••B2）+P（•A2••）＝×＝+＝（13分）参加考试次数ξ的期望值（14分）19．（12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥面ABCD，BD 交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．（Ⅰ）求证：BD⊥FG；（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；（Ⅲ）当二面角B﹣PC﹣D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（Ⅰ）∵P A⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，∴P A⊥BD，AC⊥BD，∴BD⊥平面P AC，∵FG⊂平面P AC，∴BD⊥FG（5分）解（Ⅱ）：当G为EC中点，即AG＝AC时，FG∥平面PBD，（7分）理由如下：连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，而FGË平面PBD，PE⊂平面PBD，故FG∥平面PBD．（9分）解（Ⅲ）：作BH⊥PC于H，连接DH，∵P A⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB＝PD，又∵BC＝DC，PC＝PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且DH＝BH，∴∠BHD就是二面角B﹣PC﹣D的平面角，（11分）即∠BHD＝，∵P A⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角（12分）连接EH，则EH⊥BD，∠BHE＝，EH⊥PC，∴tan∠BHE＝，而BE＝EC，∴，∴sin∠PCA＝，∴tan∠PCA＝，∴PC与底面ABCD所成角的正切值是（14分）或用向量方法：解：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），E（），F（），G（m，m，0）（0＜m＜）（2分）（Ⅰ）＝（﹣1，1，0），＝（），×＝﹣m++m﹣+0＝0，∴BD⊥FG（5分）（Ⅱ）要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而＝（），由＝可得，解得l＝1，m＝，（7分）∴G（，，0），∴，故当AG＝AC时，FG∥平面PBD（9分）（Ⅲ）设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，z），则，而，，∴，取z＝1，得＝（a，0，1），同理可得平面PDC的一个法向量为＝（0，a，1），设，所成的角为β，则|cosβ|＝|cos|＝，即＝，∴，∴a＝1（12分）∵P A⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，∴tan∠PCA＝（14分）20．（12分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N 两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）∵知F1为BF2的中点，AB⊥AF2∴Rt△ABF2中，BF22＝AB2+AF22，又a2＝b2+c2∴a＝2c故椭圆的离心率…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，于是，，Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣a，0），半径r＝a，所以，解得a＝2，∴c＝1，，所求椭圆方程为…（6分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y＝k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0则，y1+y2＝k（x1+x2﹣2）…（8分）由于菱形对角线垂直，则故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）＝0即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）＝0，…（10分）由已知条件知k≠0，∴∴故m的取值范围是．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a＝1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m （t）．记g（t）＝M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．【解答】解：（1）求导函数可得f′（x）＝（x+1）（x﹣a），令f′（x）＝0，可得x1＝﹣1，x2＝a＞0，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a）（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，∴，∴，∴0＜a＜∴a的取值范围为；（3）a＝1时，f（x）＝，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）＝f（﹣1）＝﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）﹣f（t）＝3（t+1）（t+2）知，当t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）＝f（t），所以g（t）＝f（﹣1）﹣f（t）而f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）＝﹣，所以g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）∵f（1）＝f（﹣2）＝﹣，f（﹣1）＝f（2）＝﹣∴M（t）＝f（﹣1）＝﹣，m（t）＝f（1）＝﹣∴g（t）＝M（t）﹣m（t）＝综上，函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为．从以下22、23、24题任选一题作答，三题都写只按22题给分（本小题满分10分）[选修4-1：平面几何选讲]22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，点C是弧的中点，弦CE⊥AB于F．GD是⊙O的切线，且与EC的延长线相交于点G，连接AD，交CE于点P．（Ⅰ）证明：△ACD∽△APC；（Ⅱ）若GD＝+1，GC＝1，求PE的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，∴＝∵点C是弧AD的中点，∴，∴∠ACE＝∠ADC，∴∠CAP为公共角，∴△ACD∽△APC；（Ⅱ）解：连接DE，∵GD是⊙O的切线，∴∠GDX＝∠CED，∵，∴∠GED＝∠ADE＝∠CDA，∴∠GPD＝∠GDP，∴GP＝GD＝+1，∵GD2＝GC•GE，∴GE＝3+2，∴PE＝GE﹣GP＝2+．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆锥曲线和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线AF2的极坐标方程；（Ⅱ）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．【解答】解：（Ⅰ）消去参数α可得曲线C的方程为+y2＝1，可得F1（﹣，0），F2（，0），∴直线AF2的斜率为k＝＝﹣1，故直线方程为y﹣＝﹣（x﹣0），即x+y＝，∴极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝；（Ⅱ）经过点F1（﹣，0）且与直线AF2垂直的直线l斜率为1，故l的方程为y﹣0＝x+，即y＝x+，联立可解得M（，），N（，），∴由两点间的距离公式可得||MF1|﹣|NF1||＝．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝a﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a＝6时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：6﹣|x﹣1|﹣|x+1|＞3．|x+1|+|x﹣1|＜3；①当x＞1时，得x+1+x﹣1＜3，解得x＜；②当﹣1≤x≤1时，得x+1+1﹣x＜3，恒成立；③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+1＜3，解得x＞﹣；∴不等式的解集为：（﹣，）；解：由二次函数y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，该函数在x＝﹣1取得最小值2，因为f（x）＝a﹣|x﹣1|﹣|x+1|．f（x）＝，在x＝﹣1处取得最大值a﹣2，所以要使二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，只需a﹣2≥2，求得a≥4．。
【全国百强校】海南省农垦中学2016届高三考前押题卷理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}3,2,1,0,1-=A ，{}022>-=x x x B ，则=B A （ ） A ．{}3 B ．{}3,2 C ．{}3,1- D ．{}2,1,0 【答案】C 【解析】试题分析：集合{}{}02022<>=>-=x x x x x x B 或，=B A {}3,1-，故选C. 考点：集合的运算 2.若复数i R a iia z ,(213∈++=为虚数单位），z 是z 的共轭复数，且0=+z z ，则实数a 的值为（ ） A ．6- B ．2- C ．4 D ．6 【答案】A考点：复数的运算3.若已知R m ∈，“函数12-+=m y x有零点”是“函数x y m log =在),0(+∞上为减函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：函数12-+=m y x有零点时，1,01<<-m m ，不满足10<<m ，所以“函数x y m log =在),0(+∞上为减函数”不成立；反之，如果“函数x y m log =在),0(+∞上为减函数”，则有10<<m ，,01<-m 所以“函数12-+=m y x 有零点”成立，故选B. 考点：充分必要条件4.设21,F F 分别是双曲线1922=-y x 的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且021=⋅PF PF +（ ）A ．10B ．102C ．5D ．52 【答案】B考点：1.双曲线的几何性质；2.向量的运算.5.曲线21cos sin sin -+=x x x y 在点)0,4(πM 处的切线的倾斜角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．65π【答案】A 【解析】试题分析：由已知得x x x x x x x x x y 2sin 11)cos (sin )sin (cos sin )cos (sin cos 2+=+--+='在点)0,4(πM 处的斜率21=k ，则倾斜角为6π,故选A. 考点：导数的几何意义6.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ） A ．30 B ．12 C ．24 D ．4【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积. 7.322)21(-+xx 展开式中的常数项为（ ） A ．8- B ．12- C ．20- D ．20 【答案】C 【解析】 试题分析：∵6322)1()21(x x x x -=-+，∴rr r r r r r x C xx C T 266661)1()1(--+-=-=， 令026=-r ，即3=r ，∴常数项为20)1(336-=-C ,故选C.考点：二项式定理8.已知函数⎩⎨⎧>≤--=-,7,,7,3)3()(6x a x x a x f x 若数列{}n a 满足))((*∈=N n n f a n ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)3,49[ B ．)3,49( C ．)3,2( D ．)3,1(【答案】C 【解析】试题分析：由题意{}n a 是递增数列，则当7≤x 时函数)(x f 递增，303<⇒>-a a ，当7>x 时函数)(x f 递增，1>a ，且)8()7(87f a f a =<=，即901872-<⇒>-+a a a 或2>a ，综上，32<<a . 考点：1.分段函数；2.数列的函数特征.9.若直线066)1()13(=-+-++λλλy x 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-<-+,053,013,07y x y x y x 表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是（ ） A ．),9()713,(+∞--∞ B ．),9()1,713(+∞- C ．)9,1( D ．)713,(--∞ 【答案】A考点：1.线性规划；2.直线系方程.10.阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（ ）A ．81B ．81C ．161D ．321 【答案】A 【解析】试题分析：程序表示为：817sin 278sin7sin 274cos 72cos7cos7sin274cos 72cos7cos333-==⋅⋅=⋅⋅=ππππππππππS ，故选A.考点：1.二倍角公式；2.循环结构.【类解通法】考察了循环结构以及二倍角公式的应用，属于基础题型，ααα4cos 2cos cos 的题型，写成ααααααααsin 4cos 2cos cos sin 14cos 2cos cos =，根据公式ααα2sin 21cos sin =，分子出现连锁反应，变形为ααsin 8sin 81，再根据函数值化简，如果给的是正弦αsin ，有时通过诱导公式ααπsin -2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛，可将正弦化为余弦，再用以上提到的方法.11.已知点G 是ABC ∆的重心，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若满足33=++c b a 成立，则角=A （ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 【答案】D考点：1.向量运算；2.余弦定理.【思路点睛】主要考察了向量与余弦定理的简单综合，属于基础题型，三角形的重心有一条重要的性质，=++,)(+-=,代入后转化为不共线的向量相加为零向量的问题，得到边的关系，最后代入余弦定理，得到角.总结：当向量a 与b不共线时，当0 =+b y a x 时，只有0==y x .12.设函数x e x e x g x x e x f 222)(,1)(=+=，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．),1(+∞B ．),1[+∞C ．)1,(-∞D ．]1,(-∞ 【答案】B考点：导数与函数的最值【方法点睛】本题考查了导数与函数的最值，属于中档题型，问题的难点是对恒成立问题的转化，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立min max ]1)([])([+≤⇒k x f k x g ，即求函数()x g 的最大值与函数()x f 的最小值，而根函数的导数求最值，首先求函数的导数，以及导数为0的自变量，然后判断两侧的单调性，即导数是否变号，根据单调性判定函数的最值，转化为不等式，问题就迎刃而解了.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,32,1,3y x y x y x 则目标函数y x z 32+=的最小值是______.【答案】7 【解析】试题分析：不等式组对应的可行域如图，由图可知，332z x y +-=，目标函数表示斜率为32-的一组平行线当目标函数经过图中点)1,2(时取得最小值7.故填：7.考点：线性规划14.在ABC ∆中，32,2π==A BC ，则⋅的最小值为_______. 【答案】32-考点：1.向量数量积；2.余弦定理.15.在新华中学进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生、2位男生.如果这2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的的排法种数为______. 【答案】60 【解析】试题分析：先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有723324=A A （种）， 若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有122223=A A （种）， ∴满足条件的出场顺序有601272=-（种）排法,故填：60. 考点：排列【方法点睛】考察了排列问题，属于基础题型， 对于受限元素优先安排，或受限位置优先安排，某些元素不相邻问题，一般采用插空法，对于某些元素在一起，宜采用捆绑法，对某个元素的限制，也可采用间接法，从总体减去不满足条件的，对于某些元素顺序一定的问题，可采用mn n m mn n A A A -=.16.在三棱锥BCD A -中，侧棱AD AC AB 、、两两垂直，ADB ACD ABC ∆∆∆,,的面积分别为26,23,22，则三棱锥BCD A -的外接球的体积为_______. 【答案】π6考点：球与几何体【方法点睛】球与几何体的问题，属于中档题型，当条件为三棱锥有同一顶点的三条棱两两垂直时，可联想到长方体，这样的三棱锥就是长方体的一部分，如图所示，此时三棱锥的外接球就是长方体的外接球，而长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，()22222c b a R ++=.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，102cos ,27,4-=∠==∠ADB AC CAD π. （Ⅰ）求C ∠sin 的值；（Ⅱ）若5=BD ，求ABD ∆的面积.【答案】（Ⅰ）54；（Ⅱ）7.考点：1.两角差的正弦公式；2.正弦定理和面积公式.【方法点睛】本题主要考察了解三角形的问题，属于基础题型，本题第一问采用外角定理就可解决，但对于解三角形的问题，（1）如果已知三角形两角一边，可采用正弦定理，（2）已知三角形两边和其夹角，采用余弦定理，（3）已知三角形两边和其一对角，正，余弦定理均可. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且100,191010==S a ,数列{}n b 对任意*∈N n ，总有21321+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n n n a b b b b b 成立.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记2)12(4)1(+⋅-=n b n c nnn ，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ) 12-=n a n ;)(1212*∈-+=N n n n b n ;(Ⅱ) ⎪⎩⎪⎨⎧++-+-=.,1222,,122为奇数为偶数n n n n n nT n .（Ⅱ）由已知2)12(4)1(+⋅-=n b n c n nn ，得)121121()1()12(4)1(2++--=+⋅-=n n n b n c nn n n， 则)121121()1()7151()5131()311(321++--+⋅⋅⋅++-+++-=+⋅⋅⋅+++=n n c c c c T n n n ， 当n 为偶数时，)121121()1()7151()5131()311(++--+⋅⋅⋅++-+++-=n n T n n1221211)121121()7151()5131()311(+-=++-=++-+⋅⋅⋅+--+++--n nn n n ； 当n 为奇数时，)121121()1()7151()5131()311(++--+⋅⋅⋅++-+++-=n n T n n12221211)121121()7151()5131()311(++-=+--=+---+⋅⋅⋅+--+++--n n n n n ， 综上：⎪⎩⎪⎨⎧++-+-=.,1222,,122为奇数为偶数n n n n n nT n考点：1.等差数列；2.递推公式求通项；3.裂项向消法求和.【易错点睛】本题考查了数列的综合问题，属于中档题型，第一问在累乘到121321-=⋅⋅⋅⋅⋅-n b b b b n 时，会忽略2≥n 的条件，得到{}n b 的通项公式，需验证1=n 是否满足，问题的第二问易错在{}n c 的通项公式，)121121()1()12(4)1(2++--=+⋅-=n n n b n c nn nn ，如能正确化简到这一步，还需注意要分n 为奇数或偶数，即最后一项通项的正负问题，累加时一正一负消的顺序，最后剩下哪些项的问题,本题容易出错的地方比较多， 还需多注意.19.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所给同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有%5.97的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在75-分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在86-分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E . 附表及公式：【答案】(Ⅰ) 有%5.97的把握认为视觉和空间能力与性别有关;(Ⅱ)81;(Ⅲ)详见解析. （Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题所用的时间分别为y x ,分钟，则基本事件满足的区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤,86,75y x （如图所示）设事件A 为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为y x >，∴81221121)(=⨯⨯⨯=A P .所以X 的分布列为2282281280)(=⨯+⨯+⨯=X E . 考点：1.独立性检验；2.几何概型；3.离散型随机变量的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12分）如图，在直角梯形B B AA 11中，22,90111111====∠B A AA AB AB B A AB A ，∥.直角梯形C C AA 11通过直角梯形B B AA 11以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面C C AA 11⊥平面B B AA 11.M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点. （Ⅰ）求证：AP C A ⊥11；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角B AM P --的余弦值； （Ⅲ）是否存在点P ，使得直线∥C A 1平面AMP ？请说明理由.【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）17173；（Ⅲ）在线段1BB 上存在点P ，且21=PB BP时，使得直线∥C A 1平面AMP .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AA AB AC 两两垂直，分别以1,,AA AB AC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知22211111=====C A B A AA AC AB ，所以)2,0,0(),2,1,0(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0(11A B C B A ，因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以)1,23,0(),0,1,1(P M . 易知平面ABM 的一个法向量)1,0,0(=， 设平面APM 的一个法向量为),,(z y x n =，考点：1.线线，线面的位置关系；2.空间向量的应用. 21.（本小题满分12分）已知)0,21(F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，点)0)(,(000>y y x N 为其上一点，点M 与点N 关于x 轴对称，直线l 与抛物线交于异于N M ,的B A ,两点，且2,25-=⋅=NB NA k k NF . （Ⅰ）求抛物线方程和N 点坐标；（Ⅱ）判断直线l 中，是否存在使得MAB ∆面积最小的直线l '，若存在，求出直线l '的方程和MAB ∆面积的最小值；若不存在，说明理由.【答案】(Ⅰ) x y 22=;)2,2(N ;(Ⅱ) 最小值为2，此时直线l '的方程为012=++y x . 【解析】 试题分析：(Ⅰ)212=p 得到抛物线方程；根据焦半径公式20p x NF +=；考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线的位置关系. 22.（本小题满分14分） 已知函数ax xxx f -=ln )(. （Ⅰ）若函数)(x f 在),1(+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（Ⅱ）已知)(x f '表示)(x f 的导数，若],[,221e e x x ∈∃（e 为自然对数的底数），使a x f x f ≤'-)()(21成立，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)41;(Ⅱ) 24121e a -≥.（Ⅱ）若],[,221e e x x ∈∃，使a x f x f ≤'-)()(21成立， 则有],[2e e x ∈，a xf x f +'≤max min )()(，当],[2e e x ∈时，a xf -='41)(max ，所以41)(max =+'a x f ， 由此问题转化为：当],[2e e x ∈时，41)(min ≤x f .①当41≥a 时，由（Ⅰ）知，函数)(x f 在],[2e e 上是减函数，则412)()(222min ≤-==ae e e f x f ，所以24121ea -≥；考点：1.导数与单调性；2.导数与最值;3.导数的综合应用.备选填空1.某市高三学生数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130~140分数段的人数为90人，则90~100分数段的人数为_____.【答案】810【解析】试题分析：高三年级总人数为180005.090=，90~100分数段人数的频率为0.45， 90~100分数段的人数为81045.01800=⨯,故填：810. 考点：频率分布直方图2. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为_____.【答案】),81[+∞考点：循环结构3.已知正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为______. 【答案】9 【解析】试题分析：因为y x ,为正数，且22=+y x ，95822582)2)(81(8=+⋅≥++=++=+xyy x x y y x y x x y xy y x ，当且仅当344==y x 时，等号成立，所以xy y x 8+的最小值为9. 考点：基本不等式4. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A.5628+B.5630+C.51256+D.51260+【答案】B考点：1.三视图；2.几何体的体积和表面积.：。
海南省海南中学2016届高三考前高考模拟(十)数学(理)试题 含答案
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
如果复数212bi i++（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( ） A 2 B ．23C ．23- D ．22。
已知集合{}{}2,3,4,5,|sin 0M N x x ==>，则M N ⋂为（ ） A ．{}2,3,4,5 B ．{}2,3,4 C ．{}3,4,5 D ．{}2,33。
已知随机变量X 服从正态分布(),4N a ，且()10.5P X >=，则实数a 的值为（ )A ．1B 3C ．2D ．44.设,a b 为实数，则“1ab >”是“1b a>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.若向量()()3,1,2,1AB n =-=，且7,n AC ⋅=那么n BC ⋅等于( ） A ．—1 B ．1 C ．—2 D ．26.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( ）A ．()836π+ B ．()8236π+ C ．()636π+ D ．()9236π+7.如图是一个算法的程序框图，当输入的x 的值为7时，输出的 y 值恰好是—1，则“？"处应填的关系式可能是（ ）A ．21y x =+B ．3xy -= C ．y x = D ．13logy x =8。
数列{}na 的前n 项和为n S ，若()111,31n n aa S n +==≥，则6a =（）A ．434⨯ B ．4341⨯+ C ．44 D ．441+9.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点,,A B C ，若2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程为(）A ．2yx =B ．22yx = C ．23yx = D ．24yx =10.若()tan lg 10,tan lg a a αβ==,且4παβ-=，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．110C ．1或110D ．1或1011.已知函数()()()12,1x f x a g x bf x -=+=-,其中,a b R ∈。
【全国百强校】海南省海南中学2016届高三考前高考模拟(七)理数试题(原卷版)
海南省海南中学2016届高三考前高考模拟（七）理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}062≤--=x x x A ，{}02>-=x x B ，则=)(B A C R （ ）A ．{}32>≤x x x 或B ．{}32>-≤x x x 或C ．{}32≥<x x x 或D ．{}32≥-<x x x 或 2.设复数21,z z 在复平面内的点关于实轴对称，i z +=11，则=21z z （ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1 3.已知在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边在直线x y 2=位于第一象限的部分，则=+)6sin(πα（ ）A ．6323- B ．6233- C ．6323+ D ．6233+- 4.命题“经过圆外一点与圆相切的直线至少有一条”的否定是（ ）A ．经过圆外一点与圆相切的直线至多有两条B ．经过圆外一点与圆相切的直线有两条C ．经过圆外一点与圆相切的直线不存在D ．经过圆外一点与圆相切的直线至多有一条 5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中半圆半径为2，则该几何体的体积是（ ）A ．2282++πB ．1282++πC ．128++πD ．228++π 6.曲线2x y =与1=x 及坐标轴围成的封闭区域为1Ω，不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x 表示的平面区域为2Ω.在区域2Ω内随机取一点，则该点是取自于区域1Ω的概率是（ ）A ．31 B ．32 C ．41 D ．52 7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是1，则正整数n 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(A ，直线05:=-+y x l ，点),(y x B 是圆012:22=-++y x x C 上的动点，,,l BE l AD ⊥⊥垂足分别为E D ,，则线段DE 的最大值是（ ） A ．2 B ．223 C ．22 D ．225 9.已知函数)(x f 在定义域]3,2[a -上是偶函数，在]3,0[上单调递增，并且 )22()5(22-+->--m m f am f ，则m 的取值范围是（ ）A ．]2,21(-B ．]2,21[-C ．]2,21[D ．]2,21( 10.已知函数)1(x f y -=的图象如下，则)2(+=x f y 的图象是（ ）11.在平面直角坐标系xOy 中有不共线三点),(11b a P ，),(22b a A ，),(33b a B .实数μλ,满足 0≠=+λμμλ，则以P 为起点的向量PB PA μλ,的终点连线一定过点（ ） A ．),(132132b b b a a a -+-+ B ．),(132132a a a b b b -+-+C ．)2,2(132132b b b a a a -+-+D ．)2,2(132132a a a b b b -+-+12.已知公差不为零的等差数列{})3(≥n a n 的最大项为正数.若将数列{}n a 中的项重新排列得到公比为q 的 等比数列{}n b .则下列说法正确的是（ ）A ．0>q 时，数列{}n b 中的项都是正数B ．数列{}n a 中一定存在的为负数的项C ．数列{}n a 中至少有三项是正数D ．以上说法都不对第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知1>x ，则x x 27log 9log +的最小值是_______.14.已知9922109)32(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则=+⋅⋅⋅++921a a a _______. 15.使得x x x 214log 2<<-成立的x 的范围是_______.16.已知方程01322=-+x x 的一非零实根是1x ，)0(0132≠=-+a x ax 的一非零实根是2x .函数 32331)(23+-+=x x x x f 在),(21x x 有且仅有一个极值点，则a 的取值范围是______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数R x x x x x f ∈-+=,3cos 32cos sin 2)(2. （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；（2）已知c b a ,,分别是ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a 且3)322(=+πA f ，求ABC ∆面积的最 大值.18.（本小题满分12分）如图，棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形.侧棱长为5，平面⊥ABCD 平面11ACC A ，33=AB ， ︒=∠60BAD ，点E 是ABD ∆的重心，且41=E A . （1）求证：平面∥11DC A 平面C AB 1； （2）求二面角B AC B --1的余弦值.19.（本小题满分12分）有三位环保专家从四个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告，三位专家选取的城市 可以相同，也可以不同.（1）求三位环保专家选取的城市各不相同的概率；（2）设选取某一城市的环保专家有ξ人，求ξ的分布列及数学期望.20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，椭圆的长轴长为8，离心率为47.（1）求椭圆方程；（2）椭圆内接四边形ABCD 的对角线交于原点，且0)()(=-⋅+BC DC AD AB ，求四边形ABCD 周长 的最大值与最小值.21.（本小题满分12分）已知函数)()(R a ax e x f x∈-=. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若函数)(x f 的图象与直线a y =交于B A ,两点，记B A ,两点的横坐标分别为21,x x ，且21x x <，证 明：221ln a x x <+.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆内接四边形ABCD 中，BC AB =，AD 的延长线与BC 的延长线交于点P .（1）求证：DPDCBP BC =； （2）求证： 9021=∠+∠PDC BDC.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是0sin 2cos 2=+-θθρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 222221（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求AB 的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数n m ,满足32=-n m .（1）若93≥++n m ，求实数m 的取值范围；（2）求n m n m 32313135-+-的最小值.：。
海南省海南中学2016届高三数学考前模拟试题(七)文(含解析)
海南省海南中学2016届高三数学考前模拟试题（七）文（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}062≤--=x x x A ，{}02>-=x x B ，则=)(B A C R （ ）A ．{}32>≤x x x 或B ．{}32>-≤x x x 或C ．{}32≥<x x x 或 D ．{}32≥-<x x x 或 【答案】A考点：集合的运算．2.设复数21,z z 在复平面内的点关于实轴对称，i z +=11，则=21z z （ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，i z -=12，所以i iii i i i i i z z =-++=+-+=-+=22221121)1)(1()1(11，故选B. 考点：复数的运算.3.已知在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边在直线x y 2=位于第一象限的部分，则=+)6sin(πα（ ）A ．6323- B ．6233- C ．6323+ D ．6233+- 【答案】C 【解析】试题分析：取点)2,1(P ，则3==OP r ，所以3632sin ==α，3331cos ==α，所以6323213323366sin cos 6cos sin )6sin(+=⨯+⨯=+=+παπαπα，故选C. 考点：三角函数的定义域化简求值.4.命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是（ ）A ．有些相互垂直的两直线相交B ．有些不相互垂直的两直线不相交C ．任意相互垂直的两直线相交D ．任意相互垂直的两直线不相交 【答案】C考点：命题的否定.5.某几何体的三视图如图所示，其则该几何体的体积是（ ）A ．π332+B ．π34+C ．π3334+D ．π334+ 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体由长方体和圆锥构成，所以体积ππ33433122+=+⨯⨯=V ，故选D. 考点：几何体的三视图与组合体的体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据三视图得到几何体是由长方体和一个圆锥体组成的组合体是解答本题的关键.6.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-1004x y x y x 表示的平面区域为1Ω，不等式组⎩⎨⎧≤≤-≤≤-5112y x 表示的平面区域为2Ω.在区域2Ω内随机取一点，则该点是取自于区域1Ω的概率是（ ） A ．21 B.31 C ．32D ．43 【答案】A考点：二元一次不等式组表示的平面区域；几何概型及其概率的计算.7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是1，则正整数n 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，2222(lg )l og 4(l g 2mm m m m m m +=+=++22(lg lg 2)(lg 2)1m m =+==所以12lg -=m 或12lg =m ，所以201=m 或5=m ，因为m 是整数，所以5=m ，所以5=n ，故选C. 考点：程序框图.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(A ，直线05:=-+y x l ，点),(y x B 是圆012:22=-++y x x C 上的动点，,,l BE l AD ⊥⊥垂足分别为E D ,，则线段DE 的最大值是（ ）A ．2B ．223 C ．22 D ．225 【答案】D考点：直线与圆的位置关系的应用.9.已知函数)(x f 在定义域]3,3[-上是偶函数，在]3,0[上单调递增，并且)22()1(22-+->--m m f m f ，则m 的取值范围是（ ）A ．]2,21(-B ．]2,21[-C ．]2,21[ D ．]2,21( 【答案】D 【解析】试题分析：因为函数)(x f 在]0,3[-上单调递减，由)22()1(22-+->--m m f m f ，即)22()1(22-+->--m m f m f ，所以函数)(x f 在]0,3[-上单调递减，而01)1(22,01222<---=-+-<--m m m m ，所以由)22()1(22-+->--m m f m f 得，⎪⎩⎪⎨⎧-+-<--≤-+-≤-≤--≤-22102230132222m m m m m m ，解得221≤<m ，故选D. 考点：函数的奇偶性与单调性的应用.10.已知函数)1(x f y -=的图象如下，则)2(+=x f y 的图象是（ ）【答案】A考点：函数的图象的应用.11.在平面直角坐标系xOy 中有不共线三点),(11b a P ，),(22b a A ，),(33b a B .实数μλ,满足0≠=+λμμλ，则以P 为起点的向量μλ,的终点连线一定过点（ ）A ．),(132132b b b a a a -+-+B ．),(132132a a a b b b -+-+C ．)2,2(132132b b b a a a -+-+D ．)2,2(132132a a a b b b -+-+【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，0≠=+λμμλ，所以111=+μλ.设点Q 在向量μλ,的中点连线上，则11()()PQ PA PB PA PB λμλμ=+=+==--+--),(),(13131212b b a a b b a a )2,2(132132b b b a a a -+-+,所以一点过点)2,2(132132b b b a a a -+-+，故选C.考点：向量的坐标运算．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算及平面向量的共线定理的应用，属于中档试题，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中，根据0≠=+λμμλ，设点Q 在向量PB PA μλ,的中点连线上，利用平面向量的共线定理和平面向量的坐标运算，得到向量PQ 的表示，即可到结论.12.已知公差不为零的等差数列{})3(≥n a n 的最大项为正数.若将数列{}n a 中的项重新排列得到公比为q 的等比数列{}n b .则下列说法正确的是（ ）A ．0>q 时，数列{}n b 中的项都是正数B ．数列{}n a 中一定存在的为负数的项C ．数列{}n a 中至少有三项是正数D ．以上说法都不对 【答案】B考点：等差数列与等比数列的性质.【方法点晴】本题主要考查了有关等差数列的性质与等比数列的性质的应用，着重考查了分析问题、解决问题的能力和推理运算能力，属于中档试题，本题的解答中不放设等差数列{}n a中n a a a a <⋅⋅⋅<<<321，其中0>n a ，利用n n n a a a <<<--120，此时n n n a a a ,,12--即是等差数列又是等比数列，即n n n a a a ==--12，矛盾是解答的关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.已知1>x ，则x x 27log 9log +的最小值是_______.【答案】362考点：基本不等式的应用.14.在某次测量中得到某样本数据如下：90,90，x,94,93.若该样本数据的平均值为92，则该样本数据的方差为______. 【答案】514 【解析】 试题分析：由92)93949090(51=++++⨯x ，所以93=x .所以该样本数据的方差为514])9293()9294()9293()9290()9290[(51222222=-+-+-+-+-=S .考点：样本估计总体中平均数与方差的计算. 15.使得x x x 214log 2<<-成立的x 的范围是_______.【答案】164<<x 【解析】试题分析：由题意得，如图，可知164<<x .考点：函数的图象的应用.【方法点晴】本题主要考查了指数函数、对数函数以及幂函数图象的应用，着重考查了数形结合法和转化与化归思想的应用，属于中档试题，熟记指数函数、对数函数以及幂函数图象与性质是解答本题的关键，属于中档试题，本题的解答中在同一坐标系中，作出指数函数、对数函数以及幂函数图象，利用图象的交点确定x 的取值范围.16.已知方程01322=-+x x 的一非零实根是1x ，)0(0132≠=-+a x ax 的一非零实根是2x .函数32331)(23+-+=x x x x f 在),(21x x 有且仅有一个极值点，则a 的取值范围是______. 【答案】)1,0()0,49[ -考点：导数在函数中的综合应用及函数零点问题.【方法点晴】本题主要考查了一元二次函数的性质、导数与函数的极值与极值点的关系及函数的零点的存性定理，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，求解函数()f x '，由13)(2-+='x x x f 在),(21x x 有且仅有一解，则12()()0f x f x ''≤，得到01≥-a 和049≥+=∆a ，即可求解实数a 的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数R x x x x x f ∈-+=,3cos 32cos sin 2)(2.（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；（2）已知c b a ,,分别是ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a 且3)322(=+πA f ，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）)](12,125[R k k k ∈++-ππππ；（2. 【解析】试题分析：（1）由三角函数公式化简可得()2sin(2)3f x x π=+，由周期公式得到最小正周期，即可解得函数的的递增区间；（2）由（1）和3)322(=+πA f 可得23A π=，再由余弦定理和基本不等式可得bc 的范围，可得面积最值.试题解析：（1）3)2cos 1(32sin 3cos 32cos sin 2)(2-++=-+=x x x x x x f)32sin(2)2cos 232sin 21(22cos 32sin π+=+=+=x x x x x ，所以)(x f 的最小正周期ππ==22T . 由R k k x k ∈+≤+≤+-,223222πππππ，所以R k k x k ∈+≤≤+-,12125ππππ. 所以)(x f 的单调增区间是)](12,125[R k k k ∈++-ππππ. （2）3)32sin(2)35sin(2]3)322(2sin[2)322(=+-=+=++=+πππππA A A A f ， 所以23)32sin(-=+πA ，因为π<∠<A 0，所以353232πππ<+∠<A ， 所以3432ππ=+∠A ，所以32π=∠A ，又bc bc c b bc c b 332cos 242222≥++=-+=π， 所以34≤bc ，当且仅当c b =时等号成立，所以3343sin 21≤==∆bc A bc S ABC .考点：三角函数中的恒等变换与三角函数的图象与性质. 18.（本小题满分12分）如图，棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形.侧棱长为5，平面⊥ABCD 平面11ACC A ，33=AB ，︒=∠60BAD ，点E 是ABD ∆的重心，且41=E A .（1）求证：平面∥11DC A 平面C AB 1； （2）求棱柱1111D C B A ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.考点：线面位置关系判定与证明；几何体的体积计算. 19.（本小题满分12分）有两位环保专家从C B A ,,三个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告，两位专家选取的城市可以相同，也可以不同.（1）求两位环保专家选取的城市各不相同的概率； （2）求两位环保专家中至少有一名专家选择A 城市的概率.【答案】（1）23；（2）59.考点：古典概型及其概率的计算；互斥事件概率的计算. 20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，椭圆的长轴长为8，离心率为47.（1）求椭圆方程；（2）椭圆内接四边形ABCD 的对角线交于原点，且0)()(=-⋅+，求四边形ABCD 周长 的最大值与最小值.【答案】（1）191622=+y x ；（2）最大值是20，最小值是596.【解析】试题分析：（1）由题意得4a =，利用离心率可得c =,,a b c 的关系，即可求解椭圆的标准方程；（2）由题意可设),(),,(2211y x B y x A ，则),(),,(2211y x D y x C ----，因为),,(1212y y x x --=),,(1212y y x x --=所以=，所以四边形ABCD 是平行四边形.因为0)()()()(22=-=-⋅+=-⋅+，所以=，所以四边形ABCD 是菱形.设直线AC 的方程是0=-my x ，则直线BD 的方程是0=+y mx ，并且由椭圆的对称性不妨设0≥m ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1916022y x m y x ，得222144)169(m x m =+，所以169144,16914422222+=+=m y m m x ， 所以),16912,16912(22++m m m A ),16912,16912(22+-+-m m m C由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1916022y x y m x ，得144)169(22=+x m ，所以169144,16914422222+=+=m m y m x ， 所以),16912,16912(22++-m m m B ),16912,16912(22+-+m m m D 所以)16911691)(1(144)1691216912()1691216912(2222222222m m m m mm m m m AB ++++=+-+++++=， 所以49)1(49)1(144)1(60)169)(169()1(60)16911691)(1(144222222222222-++++=+++=++++=m m m m m m m m m AB 令12+=m t ，则1444949160494914460222++-=-+=tt t t t AB ， 令4625)211(491444949)(22+--=++-=t t t t u ，因为110≤<t ， 所以211=t ，即1,212===+m t m 时，524,4625)(min min ==AB t u .11=t，即0,112===+m t m 时，5,144)(min min ==AB t u . 所以四边形ABCD 周长的最大值是20，最小值是596.考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆位置关系的综合应用，其中直线与椭圆方程联立相交问题转化为联立方程组求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值是解答的关键，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归思想的应用，试题运算量与思维量较大，需要平时注意总结和积累，属于难题. 21.（本小题满分12分） 已知函数)0)(2()2()2(41)(24≠-+-+-=a x a x x a x f ，函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线1=x 对称.（1）求函数)(x g ；（2）2≥a 时，求证：函数)(x g 在区间)1,1(+a a不单调. 【答案】（1）)0(41)(24≠-+=a ax x ax x g ；（2）函数)(x g 在区间)1,1(+a a 不单调.考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性及单调区间.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间和利用导数求解函数的极值与最值，体现了导数在函数中的综合应用，属于中档试题，着重考查了分类g x导数，利用导数研究函数的讨论的思想和转化与化归思想的应用，本题的解答中，求解()g x的极值、最值是解答本题的关键.单调性，得到函数()请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆内接四边形ABCD 中，BC AB =，AD 的延长线与BC 的延长线交于点P .（1）求证：DPDCBP BC =； （2）求证：9021=∠+∠PDC BDC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】考点：相似三角形的判定与应用；圆的性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是0sin 2cos 2=+-θθρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 222221（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求AB 的值.【答案】（1）2)1()1(22=++-y x ，0122=--y x ；（2）2. 【解析】试题分析：（1）使用加减消元法消去参数，即可的直线的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ即可得到曲线的直角坐标方程；（2）求出曲线C 的圆心到直线的距离，利用垂径定理即可求出AB 的值.试题解析：（1）因为0sin 2cos 2=+-θθρ，所以0sin 2cos 22=+-θρθρρ， 所以曲线C 的直角坐标方程是02222=+-+y x y x ，即2)1()1(22=++-y x .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 222221（t 为参数），消去参数t ，所以直线l 的普通方程是0122=--y x . （2）圆心)1,1(-到直线0122=--y x 的距离42344122=+-+=d ， 圆的半径2=r ，所以214222=-=d r AB . 考点：参数方程与普通方程的互化；简单曲线的极坐标方程. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数n m ,满足32=-n m .（1）若93≥++n m ，求实数m 的取值范围；（2）求n m n m 32313135-+-的最小值. 【答案】（1）3-≤m 或3≥m ；（2）3.考点：绝对值不等式的求解；绝对值的几何意义的应用.。
海南省海南中学2016届高三数学考前模拟试题(十一)文(含解析)
海南省海南中学2016届高三数学考前模拟试题（十一）文（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{0,1,2}P =，{|3}x Q y y ==，则PQ 的子集的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ．4D ． 8 【答案】C考点：集合运算.2.已知i 为虚数单位，则复数112112ii -+=（ ） A ．3455i - B ．3455i + C ．4355i -D ．4355i +【答案】A 【解析】试题分析：由复数除法的运算法则可知1111(1)(1)34222551(1)(1)222i i i i i i i ---==-++-，故选A. 考点：复数的运算.3.已知函数()f x 关于直线2x =-对称，且周期为2，当[3,2]x ∈--时，2()(2)f x x =+，则5()2f = （ ）A ．0B ．14C ．116D ．1【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得2513551()()()()(2)222224f f f f ==-=-=-+=，故选B. 考点：函数的周期性与对称性.4.已知a R ∈，则“33a<”是“1a <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：由33a<，得1a <；由1a <，得33a<，则“33a<”是“1a <”的充要条件，故选C.考点：充要条件的判断.5.已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂，则l α⊥ B ．若,//,l m ααββ⊥⊂，则l m ⊥ C ．若//,l m m α⊂，则//l α D ．若,,l m ααββ⊥⊥⊂，则//l m 【答案】B考点：空间中直线与平面的平行与垂直关系.6.若直线10ax y -+=与直线220x y ++=平行，则a 的值为（ ） A ． -2 B ． -1 C ．12D ． 1 【答案】A 【解析】试题分析：因为直线10ax y -+=与直线220x y ++=平行，所以11212a -=≠，解得2a =-，故选A.考点：平面内两直线的平行关系.7.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 【答案】A考点：分层抽样.8.依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为（ ）A ．34 B ．916 C D ．23【答案】B 【解析】试题分析：如图，原正六边形为ABCDEF ，最小的正六边形为111111A B C D E F .设AB a =，由已知得，60AOB ∠=，则1,302AOM AOB ∠=∠=，则3cos cos302a OM OAAOM a =∠=∙=，即中间的正六边形的边长等于2OM =；以此类推，最小的正六边形111111A B CD E F的边长等于132224aOB==∙=，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为1111111336916A B C D E F ABCDEFa a S P S ∙∙===正六边形正六边形，故选B.考点：几何概型.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346,12S S ==，定义2113211nk n k aa a a --==+++∏为数列{}n a 的前n 项奇数项之和，则211nk k a-==∏（ ）A ．2264n n -+ B ．232n n -+ C ．222n n - D ．2n n - 【答案】C考点：等差数列的前n 项和公式. 10.设,x y 均为正数，且111112x y +=++，则xy 的最小值为（ ） A ．16 B ．15 C ．10 D ．9 【答案】D 【解析】考点：基本不等式.【方法点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.本题解答的关键是根据条件中111112x y +=++整理得到3xy x y =++，根据基本不等式x y +≥到xy 的范围，得其最小值.11.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知221sin (sin sin )sin sin 2A ABC B -=-，且2c =，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．3D．3【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理得221()2a a b c b -=-，即22212a b c ab +-=，代入余弦定理得222112cos 224ab a b c C ab ab +-===，所以sin C ==，又由22212a b c ab +-=，2c =，得221422a b ab ab +=+≥，解得83ab ≤，所以ABC ∆面积为11sin 22S ab C ab ==ab =∙83≤=a b ==ABC ∆选D.考点：正弦定理和余弦定理.【方法点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用属于中档题.本题解答时应先根据正弦定理把条件221sin (sin sin )sin sin 2A ABC B -=-转化为三边,,a b c 的关系，再根据余弦定理求得cos C ，进而得到sin C 的值，在根据余弦定理表示出2c ，根据重要不等式得到ab 的最大值，由面积公式即得其最大值.12.如图所示，已知椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与C 的焦点不重合，分别延长12,MF MF 到,P Q ，使得1123MFF P =，2223MF F Q =，D 是椭圆C 上一点，延长MD 到N ，若3255QD QM QN =+，则||||PN QN +=（ ）A ． 10B ．5C ． 6D ．3【答案】A考点：平面向量与椭圆的定义.【方法点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算和椭圆的定义，属于中档题.本题解答的关键是根据平面向量的线性运算和已知条件得到25MD MN=，再结合1123MF F P =，2223MF F Q =得到 1225MD MF MF MNMPMQ===，从而得到2//DF NQ ，1//DF NP ，由平行线分线段成比例定理得到2||2||5DF QN =，1||2||5DF PN =，从而得到||||PN QN +与12||||DF DF +的关系，最后由椭圆的定义得到答案.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.函数()ln(5125)x f x =-的定义域为 . 【答案】(3,)+∞考点：指数函数与对数函数的性质.14.下图是一个算法的流程图，则最后输出的S 值为 .【答案】9- 【解析】试题分析：根据流程图知，第一次循环后，1,3S n =-=；第二次循环后，4,5S n =-=；第三次循环后，9,7S n =-=，此时6n >，退出循环，故输出9S =-. 考点：程序框图中的循环结构.15.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 .【答案】考点：简单几何体的三视图.【方法点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图和三角形的面积，考查了考生的空间想象能力，属于中档题.本题解答的关键是根据题中给出的三视图还原出空间几何体，还原时要把握好三视图的关系“主俯同长，左俯同宽，主左同高”，再结合给出的数量关系求得各个面的面积，难点是侧面PBC的面积，应利用余弦定理和正弦定理来求解.16.已知数列{}n a 为等比数列，若120168a a +=，则1120164031(2)a a a a ++的值为 . 【答案】64考点：等比数列的性质.【方法点睛】本题主要考查了等比数列的性质，考查了考生的运算能力，属于中档题.在等比数列中，若正整数,,m n p 满足2m n p +=，则2m n p a a a =，所以在研究等比数列的项之间的关系要特别注意观察项号之间的关系，本题中把1120164031(2)a a a a ++展开利用上述性质可得到2211201620162a a a a ++，配方即可利用已知条件得到答案. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在3[,]48ππ-上的值域.【答案】（1）π；（2）[1]-. 【解析】试题分析：（1）根据公式21cos 2sin 2xx -=可得()sin2cos21f x x x =+-，利用两角和的正弦公式即可把()f x 变成())14f x x π=+-，利用正弦函数的性质即得其周期；（2）当3[,]48x ππ∈-，2[,]44x πππ+∈-，集合正弦函数的图象及不等式的性质即可求得()f x 在3[,]48ππ-上的值域.试题解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos 2)x x =--)14x π=+-，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==.（2）因为3[,]48x ππ∈-，所以2[,]44x πππ+∈-，所以sin(2)[42x π+∈-，所以())1[1]4f x x π=+-∈-，所以函数()f x 在3[,]48ππ-上的值域是[1]-.考点：三角恒等变换与正弦函数的性质.18.（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第一组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定从3,4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】（1）应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；（2）710.考点：频率分布直方图、分层抽样及古典概型中某事件的概率.19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,,D M N 分别是11,,AB AA BC 的中点.（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）若1,AC BC BB ==，试在1BB 上找一点F ，使1A B ⊥平面CDF ，并证明你的结论.B B的中点. 【答案】（1）证明见解析；（2）点F为1考点：空间中直线与平面的平行与垂直关系的证明.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点.（1）若直线l 过焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，若F 是AB 的一个靠近点B 的三等分点，且点B的横坐标为1，弦长9AB =时，求抛物线C 的方程；（2）在（1）的条件下，若M 是抛物线C 上位于曲线AOB （O 为坐标原点，不含端点,A B ）上的一点，求ABM ∆的最大面积.【答案】(1) 28y x =；(2) 4.①当取点(1,B -时，点A ，此时直线AB 的方程为0y --=. 数形结合易知，当与直线AB 平行的直线与抛物线C 相切于第一象限的点M 时，ABM ∆的面积取得最大值.由28y x =(0)y >，得y ='12y ==令'y =，得14x =.将14x =代入抛物线2:8C y x =中，得0)y y =>.所以当点M 的坐标为1(4时，ABM ∆的面积取得最大值，此时点M 1(4到直线:0AB y --=的距离是1|d ==，||9AB ==，所以ABM ∆的最大面积是11||92224S AB d =∙=⨯⨯=②当取点(1B时，点(4,A -，同理，也验证ABM ∆的最大面积是S =综上，ABM ∆. 考点：抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系. 【方法点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系，考查了考生数形结合的思想和运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据抛物线的定义由弦AB 的长求得抛物线方程，进而得到,A B 两点的坐标，通过讨论分别求出,A B 取不同的点时，ABM ∆的最大面积，其中求ABM ∆面积的最大值时，通过运动与变化的观点及导数的几何意义求得是面积最大的点M 的坐标，这是本题的难点.21.（本小题满分12分） 设函数2()22ln f x a x x=-+. （1）当1a =时，求函数曲线()f x 在区间1[,2]2上的最值；（2）若()2f x >-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）最小值为0，最大值为22ln 2-；（2）[0,)e .令'()0f x <，得1x <；令'()0f x >，得1x >，所以函数()f x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在区间1[,2]2上的最小值为(1)0f =；又1()22ln 22f =-，(2)12ln 2f =-+，且1(2)()4ln 23ln16302f f -=-=-<，所以1(2)()2f f <， 所以函数()f x 在区间1[,2]2上的最大值为1()22ln 22f =-.考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值及函数的恒成立.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值及函数的恒成立，考查了分类讨论的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第（2）把不等式()2f x >-恒成立，转化为min ()2f x >-，通过讨论a 的符号得到其在定义域内的单调性，其中0a >和0a =时的情况比较简单，难点是0a <时，通过前面两种情况的解答说明在其定义域内存在不满足不等式的点来排除，这也是分类讨论中常用的技巧.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，10,5PA PB ==，BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1）求证：AB PA AC PC=； （2）求AD AE ∙的值.【答案】（1）证明见解析；（2）90.考点：三角形相似与圆的切线性质的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若,P Q 分别是曲线1C 和2C 上的任意一点，求||PQ 的最小值.【答案】（1）2211()24x y -+=；（2.考点：圆的极坐标方程与椭圆参数方程的应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 为非零实数，且22210a b c m +++-=，222149120m a b c +++-=.- 21 - （1）求证：22222214936a b c a b c ++≥++； （2）求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）[5,)+∞. 考点：不等式的证明与解法.。
[高考数学] 2016年海南省高考数学试题及答案(理科)
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--，2.已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =（A ）{}1（B ）{12}，（C ）{}0123，，， （D ）{10123}-，，，， 3.已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）84.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）34- （C ）3 （D ）25. 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 7.若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （ D ）349.若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725 （B ）15（C ）15-（D ）725-10. 从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn11. 已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2 12. 已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点 为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.如果复数212bii++（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23 C ．23- D ．2【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()()()2122242,2241212125bi i b b i bi b b i i i +-++-+==∴+=-++-，解得23b =,选B. 考点：复数的运算.2.已知集合{}{}2,3,4,5,|sin 0M N x x ==>，则M N ⋂为（ ）A ．{}2,3,4,5B ．{}2,3,4C ．{}3,4,5D ．{}2,3 【答案】D考点：集合的表示方法与集合运算.3.已知随机变量X 服从正态分布(),4N a ，且()10.5P X >=，则实数a 的值为（ ）A ．1BC ．2D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：正态分布曲线关于均值对称，故均值1a =,选A. 考点：正态分布与正态曲线.4.设,a b 为实数，则“1ab >”是“1b a>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D考点：充分条件与必要条件及不等式的性质.5.若向量()()3,1,2,1AB n =-=，且7,n AC ⋅=那么n BC ⋅等于（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：()752n BC n AC n AB n AC n AB ⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=-=，选D. 考点：平面向量数量积的坐标表示.6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A B D【答案】A 【解析】试题分析：该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2该几何体体积为()2111122323V π⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⨯=+=⎪⎝⎭，选A. 考点：三视图与几何体的体积.7.如图是一个算法的程序框图，当输入的x 的值为7时，输出的y 值恰好是-1，则“？”处应填 的关系式可能是（ ）A ．21y x =+B ．3x y -=C ．y x =D ．13log y x =【答案】A考点：程序框图中的循环结构.8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()111,31n n a a S n +==≥，则6a =（ ）A ．434⨯B ．4341⨯+C ．44 D ．441+ 【答案】A 【解析】试题分析：由13n n a S +=，得()132n n a S n -=≥，所以()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即()142n n a a n +=≥，又2133a S ==，所以数列21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，因此4634a =⨯.选A. 考点：数列的递推公式与通项公式.9.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点,,A B C ，若2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程为（ ）A ．2y x = B ．22y x = C ．23y x = D ．24y x = 【答案】C 【解析】试题分析：设()()1122,,,A x y B x y ，作,AM BN 垂直准线于点,M N ，则BN BF =，又2BC BF =，得2BC BN =，所以30NCB ∠=︒，有26AC AM ==.设BC x =，则2361x x x ++=∴=，而123,122p p x x +=+=，且2124p x x =，所以231224p p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =，所以抛物线的方程为23y x =.选C.考点：直线与抛物线的位置关系.10.若()tan lg 10,tan lg a a αβ==，且4παβ-=，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．110C ．1或 110D ．1或10 【答案】C考点：两角差的正切公式及对数运算.【方法点晴】本题主要考查了两角差正切公式和对数的运算，属于基础题.本题解答的关键是根据题目条件迅速找到解题的突破口，给出了tan ,tan αβ的表达式及4παβ-=，应联想两角差的正切公式，这样就把问题转化为以lg a 为变量的一元二次方程，求出lg a 的值，在根据对数的定义即可求得实数a 的值. 11.已知函数()()()12,1x f x a g x bf x -=+=-，其中,a b R ∈.若满足不等式()()f x g x ≥的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．14a >- C ．2a ≤- D ．14a >-或2a ≤- 【答案】D 【解析】试题分析：由()()f x g x ≥得()122x x a b a --+≥+，即()212212x x x a b a -+⋅≥+⋅，令2x t =，则()21102t a b t b +--≥，由题意知14t =是方程()21102t a b t b +--=的解.()8410a b b ∴+--=，得4841a b a +=+，又1222,02b t t b t ⋅=-∴=-≤，即48041a b a +=≥+，解得14a >-或2a ≤-.选D. 考点：函数的最值与方程与不等式之间的关系.【方法点睛】本题考查了函数与方程及不等式之间的关系，考查转化的数学思想,属于中档题.解答本题先利用指数运算把不等式()()f x g x ≥化简为()212212x x x a b a -+⋅≥+⋅，然后通过换元转化为一元二次不等式，再根据韦达定理及x 的最小值为2，建立,a b 之间的关系式，通过b 的范围求出a 的范围. 12.定义在()0,+∞上的单调函数()()(),0,,ln 1f x x f f x x ∀∈+∞-=⎡⎤⎣⎦，则方程()()'1f x f x -=的解所在区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,3 【答案】C考点：函数的零点与函数性质的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数零点的存在性定理，导数的运算，考查了换元法、转化的数学思想，属于中档题.本题解答的入手点根据函数()f x 是单调函数，通过换元求出函数()f x 的解析式，求出其导函数，把方程()()'1f x f x -=转化为1ln 0x x-=，再利用导数研究其单调性，最后根据函数零点的存在性定理求解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是222,,,2a b c a b c +=，则角C 的最大值是 . 【答案】3π【解析】试题分析：2222221cos 2442a b c a b ab C ab ab ab +-+==≥=，又因为()0,C π∠∈，得0,3C π⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦.考点：余弦定理.14.定义在R 上的函数()()()211311xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()12f x <-的解集为 .【答案】57|122x x x ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或考点：分段函数及不等式的解法.15.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴的交点为,A P 为直线340x y a +-=上一点，过P 作圆O 的切线，切点为T ，若2PA PT =，则a 的最大值为 . 【答案】235【解析】试题分析：设(),P x y ，由2PA PT =可得()()2222141x y x y ++=+-，化简得2211639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可转化为直线340x y a +-=与圆2211639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有公共点，所以1453a d -=≤，解得172333a -≤≤. 考点：曲线与方程及直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，曲线与方程，考查了转化的数学思想属于中档题.本题解答的难点是对条件“2PA PT =”的应用，实际上就是描述了动点P 的轨迹，到定点A 的距离是圆22:1O x y +=切线长的两倍，把几何条件转化为坐标关系即的P 的轨迹方程，把问题转化为直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于半径求出参数a 的范围，得其最大值.16.设变量,x y 满足约束条件212y xy x x k≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎩，且目标函数2z x y =+的最大值为3，则k = .【答案】34考点：简单的线性规划.【易错点睛】线性规划问题主要考查学生的作图能力和用图意识和数形结合的思想方法，属于基础题.作图时每作一条直线及时标注方程并判断区域，避免最后混淆，作目标函数时要注意比较其斜率与约束条件边界直线的比较作准倾斜度为正确找到最优点创造条件，最后就是注意“截距型”目标函数的截距与z 的符号是否一致，若符号相反，则截距最大，z 最小；截距最小，z 最大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()113,33n n n a a a n N ++=-=∈，数列{}n b 满足3n n n b a -=. （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）设3123452n n a a a a S n =+++++，求满足不等式2111284n n S S <<的所有正整数n 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2,3,4. 【解析】试题分析：（1）要证明数列{}n b 是等差数列，只需证明1n n b b +-时常数，把给出的3n n n b a -=及133n n n a a +-=代入整理即可得到结论；（2）根据（1）的结论可得到132n na n -=+，根据等比数列前n 项和公式得到n S 和2n S ，由此得到关于n 的不等式，解不等式即可得到正整数n 的值.试题解析：（1）由3n n n b a -=，得3n n n a b =，则1113n n n a b +++=，代入133n n n a a +-=中，得111333n n n n n b b +++-=，即得113n n b b +-=.所以数列{}n b 是等差数列；（2）因为数列{}n b 是首项为11131b a -==，公差为13的等差数列，则()121133n n b n +=+-=，则()1323n n n n a b n -==+⨯.从而132n n an -=+，故21312133113333452132n n n n n a aa a S n ---=++++=++++==+- 则223113131n n n n n S S -==-+，由2111284n n S S <<，得111128314n <<+，即33127n <<，得14n <≤故满足不等式2111284n n S S <<的所有正整数n 的值为2,3,4. 考点：等差数列的定义、通项公式，等比数列的通项公式及前n 项和公式.18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB上，且AE BF ==（1）求证：1CF C E ⊥；（2）求二面角1E CF C --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）45︒.考点：空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.19.（本小题满分12分）25,55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳某班同学利用国庆节进行社会实践，对[]观念的的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求,,n a p 的值；（2）从[)40,50岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3 人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[)40,50岁的人数为X ，求X 的分布列和期望()E X . 【答案】（1）频率分布直方图见解析，1000,0.65,60n p a ===；（2）分布列见解析，2EX =.第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n == 第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==第四组的频率为0.0350.15⨯=，第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=.（2）因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[)40,45岁中有12人，[)45,50岁中有6人.随机变量X 服从超几何分布.()()0312********18185150,120468C C C C P X P X C C ====== ()()213012612633181833552,368204C C C C P X P X C C ====== 所以随机变量X 的分布列为所以数学期望55012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.考点：频率分布直方图、超几何分布及离散型随机变量的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点到焦点的距离为2.（1）求,a b 的值；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点.①若1k =，求OAB ∆面积的最大值；②若22PA PB +的值与P 的位置无关，求k 的值.【答案】（1）2,1a b ==；（2）①OAB ∆面积的最大值1；②12k =±. （2）由（1）可得，椭圆C 的方程为2214x y +=设点()(),022P m m -≤≤，点()11,A x y ，点()22,B x y ①若1k =，则直线l 的方程为y x m =-联立直线l 与椭圆C 的方程，即2214y x mx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩.消去y ，化简得2252104x mx m -+-=.解之得1x =2x =从而()21212418,55m mx x x x -+=⋅=，而112y x m x m =-=-，又②设直线l 的方程为()y k x m =-.将直线l 与椭圆C 的方程联立，即()2214y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，化简得()()22222148410k x mk x k m +-+-=解此方程可得，、()222121222418,1414k m mk x x x x k k -+=⋅=++，所以，()()()()2222222221122121232224PA PB x m y x m y x x m x x m +=-++-+=+-+++ ()()()()()2422222862148814m k k k k k ⋅--++++=*+，因此22PA PB +的值与点P 的位置无关，即()*式取值与m 无关，故有428620k k --+=，解得12k =±. 考点：直线与椭圆位置关系的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.求椭圆的方程通常用待定系数法，根据题意列出待定系数,,a b c 的方程组即可求出其方程；直线与圆锥曲线的位置关系本质上考查函数与方程的思想方法及运算能力，在整理方程组的基础上，利用韦达定理把要解答的问题转化为函数，利用函数或不等式的知识解决其最值问题. 21.（本小题满分12分）已知函数()2xe f x ax bx c=++，其中,,a b c R ∈.（1）若1,1,1a b c ===，求()f x 的单调区间；（2）若1b c ==，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围；（3）若0,0,1a b c >==，若()f x 存在两个极值点12,x x，求证：()()21212e f x f x +<+<. 【答案】（1）()f x 的增区间为()(),0,1,-∞+∞，减区间为()0,1；（2）102a ≤≤；（3）证明见解析. （2）()21xe f x ax x =++因为()1f x ≥在[)0,+∞有意义，所以0a ≥若0a =，则()()()'2,011x x e xe f x f x x x ==≥++，所以()()min 01f x f == 若0a >，则()()()()2'2222121211xxa e ax x e ax a x a f x ax x ax x -⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎡⎤+-⎣⎦⎝⎭==++++ 当102a <≤时，()()min 01f x f == 当12a ≥时，()f x 在210,a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在21,a a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，()()min 01f x f <=，不成立，综上，102a ≤≤；考点：利用导数研究函数的单调性、给定区间上的最值及不等式的证明.【方法点睛】本题考查了导数在研究函数单调性及给定区间上的最值等的综合应用，考查了基本不等式、分类讨论、不等式证明的放缩等数学方法和思想，属于难题.本题解答的难点是第二、三问，第二问中先通过()1f x ≥判断0a >，然后分类讨论求出其最小值，即可求得参数a 的取值范围；第三问先通过12x x 是()f x 的两个极值点得到121x x a=，然后整理()()12f x f x +，分别利用基本不等式和放缩法证得结论，这是证明不等式时常用的方法和技巧.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线,,ADE CFD CGE 都是O 的割线，已知AC AB =.（1）若1,4CG CD ==，求DEGF的值； （2）求证：FGAC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.试题解析：（1）由题意可得：,,,G E D F 四点共圆，,CGF CDE CFG CED ∴∠=∠∠=∠.DE CD CGF CDE GF CG ∴∆∆∴=，又1,4,4DECG CD GF==∴=；（2）因为AB 为切线，AE 为割线，2AB AD AE =⋅ 又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅= 所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC ACE ∆∆所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠， 所以FGAC .考点：圆内接四边形的性质、圆的切割线定理、三角形相似的证明和应用及平面内直线平行的证明. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点()1,2P ，设圆C 与直线l 交于点,A B ，求PA PB +的最小值.【答案】(1) ()2239x y +-=；(2) .试题解析：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=；（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--=由()22cos 2sin 470αα∆=-+⨯>，故可设12,t t 是上述方程的两根，所以()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎪⎨⋅=-⎪⎩，又直线过点()1,2，故结合t 的几何意义得121PA PB t t t +=+=-==≥=所以PA PB+的最小值为考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程在求最值中的应用. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--. （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若()27,2x R f x t t ∀∈≥-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或；（2）322t ≤≤. 【解析】试题分析：（1）分1x <-，12x -≤<及2x ≥三段讨论去掉绝对值符号，分别求出()2f x >的解，求并集即得不等式的解集；（2）若()27,2x R f x t t ∀∈≥-恒成立，则()2min 72f x t t ≥-求出函数()f x 的最小考点：绝对值不等式、一元二次不等式的解法及分区间讨论、转化的数学思想.：。