【强烈推荐】2010届高三数学专题复习教案--数列

2010届高三数学专题复习――数列

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

１．数列的概念及表示方法

（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．

（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．

（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．

（４）n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥． 2．等差数列和等比数列的比较

（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．

（２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *

++-==≠∈N ，·，，．

（３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．

（４）性质

等差数列的主要性质：

①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列．

②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=．

③()()n m a a n m d m n *-=-∈N ，．

④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列．

等比数列的主要性质：

①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩

时，为递减数列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列．

②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，若2m n p +=，则2

m n p a a a =·．

③(0)n m n m

a q m n q a -*=∈≠N ，，． ④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数，是公比为1-的等比数列．

三、考点剖析

考点一：等差、等比数列的概念与性质

例1. 已知数列.12}{2n n S n a n n -=项和的前

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列.|}{|n n T n a 项和的前

解：（1）当111112,12

11=-⨯===S a n 时；

、 当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时， .213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、

（2）令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N

当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；

当||||||||||,67621n n a a a a a T n ++++++=> 时

n a a a a a a ----+++= 87621

.7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n

综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.

6,7212,6,1222n n n n n n T n 点评：本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想．

例２、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15225S =. 数列}{n b 是等比数列，32325,128b a a b b =+=（其中1,2,3,n =…）.

（I ）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记,{}n n n n n c a b c n T =求数列前项和.

解：（I ）公差为d ，

则⎩⎨⎧=⨯+=+,22571515,5211d a d a 12,2,11-=⎩⎨⎧==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….

设等比数列}{n b 的公比为q ， ⎪⎩

⎪⎨⎧=⋅=,128,82333q b q b b 则 .2,83==∴q b

n n n q b b 233=⋅=∴-(1,2,3,n =)….

（II ）,2)12(n n n c ⋅-= 2323252(21)2,n n T n ∴=+⋅+⋅++-⋅

.2)12(2)32(2523221432+⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n T 作差：115432)12(22222++⋅--+++++=-n n n n T

3112(12)2(21)212

n n n -+-=+--⋅- 31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---⋅=+--+162(23)n n +=---⋅

1(23)26n n T n +∴=-⋅+(1,2,3,n =)….

点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n 项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思

想。 考点二：求数列的通项与求和 例3.将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 解：前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22

n n -个，因此第n 行第3 个数是全1

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