高三理科数学一轮总复习第六章 数列

第六章数列高考导航1.数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.2.等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念；（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；（3）能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.本章重点：1.等差数列、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式及有关性质;2.注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、分组求和法、函数与方程思想、数学模型思想以及离散与连续的关系.本章难点：1.数列概念的理解；2.等差等比数列性质的运用；3.数列通项与求和方法的运用.知识网络6.1 数列的概念与简单表示法典例精析题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式： (1)7,77,777,7 777，… (2)23，－415，635，－863，… (3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…【解析】(1)将数列变形为79·(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，…，79(10n －1)，故a n ＝79(10n －1).(2)分开观察，正负号由(－1)n＋1确定，分子是偶数2n ，分母是1×3,3×5,5×7， …，(2n －1)(2n ＋1)，故数列的通项公式可写成a n ＝(－1)n＋1)12)(12(2+-n n n.(3)将已知数列变为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,9＋0，….故数列的通项公式为a n ＝n ＋2)1(1n-+.【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律，从而求得通项.【变式训练1】如下表定义函数f (x )：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (n －1 2 008 ) A.1B.2C.3D.4【解析】a 1＝4，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，…，可得a n ＋4＝a n . 所以a 2 008＝a 4＝2，故选B.题型二 应用a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-)2(),1(11n S S n S n n求数列通项【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ，分别求其通项公式： (1)S n ＝3n －2； (2)S n ＝18(a n ＋2)2 (a n ＞0).【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝2×3n －1，又a 1＝1不适合上式，故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯=-)2(32),1(11n n n(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝18(a 1＋2)2，解得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(a n ＋2)2－18(a n －1＋2)2，所以(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0， 又a n ＞0，所以a n －a n －1＝4， 可知{a n }为等差数列，公差为4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， a 1＝2也适合上式，故a n ＝4n －2.【点拨】本例的关键是应用a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-)2(),1(11n S S n S n n求数列的通项，特别要注意验证a 1的值是否满足“n ≥2”的一般性通项公式.【变式训练2】已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A.2n －1B.(n ＋1n)n －1C.n 2D.n【解析】由a n ＝n (a n ＋1－a n )⇒a n ＋1a n ＝n ＋1n. 所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1＝n n －1×n －1n －2×…×32×21＝n ，故选D.题型三 利用递推关系求数列的通项【例3】已知在数列{a n }中a 1＝1，求满足下列条件的数列的通项公式： (1)a n ＋1＝a n 1＋2a n ；(2)a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1.【解析】(1)因为对于一切n ∈N *，a n ≠0，因此由a n ＋1＝a n 1＋2a n 得1a n ＋1＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1a n＝2.所以{1a n }是等差数列，1a n ＝1a 1＋(n －1)·2＝2n －1，即a n ＝12n －1.(2)根据已知条件得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，即a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1.所以数列{a n 2n }是等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)＝2n －12，即a n ＝(2n －1)·2n －1.【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，可以通过进一步的计算，将其进行转化，构造新数列求通项，进而可以求得所求数列的通项公式.【变式训练3】设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求a n .【解析】因为数列{a n }是首项为1的正项数列， 所以a n a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na n a n ＋1＋1＝0，令a n ＋1a n＝t ，所以(n ＋1)t 2＋t －n ＝0， 所以[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0，得t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ，所以a n ＝1n .总结提高1.给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一.2.由S n 求a n 时，要分n ＝1和n ≥2两种情况.3.给出S n 与a n 的递推关系，要求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .6.2 等差数列典例精析题型一 等差数列的判定与基本运算 【例1】已知数列{a n }前n 项和S n ＝n 2－9n .(1)求证：{a n }为等差数列；(2)记数列{|a n |}的前n 项和为T n ，求 T n 的表达式. 【解析】(1)证明：n ＝1时，a 1＝S 1＝－8，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－9n －[(n －1)2－9(n －1)]＝2n －10， 当n ＝1时，也适合该式，所以a n ＝2n －10 (n ∈N *). 当n ≥2时，a n －a n －1＝2，所以{a n }为等差数列. (2)因为n ≤5时，a n ≤0，n ≥6时，a n ＞0. 所以当n ≤5时，T n ＝－S n ＝9n －n 2，当n ≥6时，T n ＝||a 1＋||a 2＋…＋||a 5＋||a 6＋…＋||a n ＝－a 1－a 2－…－a 5＋a 6＋a 7＋…＋a n ＝S n －2S 5＝n 2－9n －2×(－20)＝n 2－9n ＋40，所以，【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式.【变式训练1】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，若记b n ＝1391122a a a --，则数列{b n }( )A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列【解析】本题考查了两类常见数列，特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列{a n }的首项与公差之间的关系从而确定数列{b n }的通项是解决问题的突破口.{a n }是等差数列，则S 21＝21a 1＋21×202d ＝42.所以a 1＋10d ＝2，即a 11＝2.所以b n ＝1391122a a a--＝22－(2a 11)＝20＝1，即数列{b n }是非0常数列，既是等差数列又是等比数列.答案为C.题型二 公式的应用【例2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由. 【解析】(1)依题意，有S 12＝12a 1＋12×(12－1)d 2＞0，S 13＝13a 1＋13×(13－1)d2＜0，即⎩⎨⎧<+>+②① 06011211d a d a由a 3＝12，得a 1＝12－2d .③将③分别代入①②式，得⎩⎨⎧<+>+03,0724d d所以－247＜d ＜－3.(2)方法一：由d ＜0可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值. 由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0， 即a 6＋a 7＞0，a 7＜0，因此a 6＞0，a 7＜0， 故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6的值最大.方法二：由d ＜0可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值.故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6的值最大.【变式训练2】在等差数列{a n }中，公差d ＞0，a 2 008，a 2 009是方程x 2－3x －5＝0的两个根，S n 是数列{a n }的前n 项的和，那么满足条件S n ＜0的最大自然数n ＝ .【解析】由题意知⎩⎨⎧<-=>=+,05,030092008 2009 2008 2a a a a 又因为公差d ＞0，所以a 2 008＜0，a 2 009＞0. 当n ＝4 015时，S 4 015＝a 1＋a 4 0152×4 015＝a 2 008×4 015＜0；当n ＝4 016时，S 4 016＝a 1＋a 4 0162×4 016＝a 2 008＋a 2 0092×4 016＞0.所以满足条件S n ＜0的最大自然数n ＝4 015.题型三 性质的应用【例3】某地区2010年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少10人.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； (2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人？【解析】(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为40，公差为40的等差数列.所以9月10日的新感染者人数为40＋(10－1)×40＝400(人). 所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390(人).(2)9月份前10天的新感染者人数和为S 10＝10(40＋400)2＝2 200(人)，9月份后20天流感病毒的新感染者的人数，构成一个首项为390，公差为－10的等差数列. 所以后20天新感染者的人数和为T 20＝20×390＋20(20－1)2×(－10)＝5 900(人).所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人).【变式训练3】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为 .【解析】因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4≥10，S 5≤15，所以5＋3d 2≤a 4≤3＋d ，即5＋3d ≤6＋2d ，所以d ≤1，所以a 4≤3＋d ≤3＋1＝4，故a 4的最大值为4.总结提高1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，a m ＝a n ＋(m －n )d .2.在五个量a 1、d 、n 、a n 、S n 中，知其中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a ，a ＋d ，a ＋2d 外，还可设a －d ，a ，a ＋d ；四个数成等差数列时，可设为a －3m ，a －m ，a ＋m ，a ＋3m .4.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.6.3 等比数列典例精析题型一 等比数列的基本运算与判定【例1】数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ＝1,2,3，…).求证： (1)数列{S nn}是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【解析】(1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n ).整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，所以S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，故{S nn }是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1＝4a nn ＋1(n ≥2)，于是S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2).又a 2＝3S 1＝3，故S 2＝a 1＋a 2＝4.因此对于任意正整数n ≥1，都有S n ＋1＝4a n .【点拨】①运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量a 1、q 的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前n 项和公式时，应充分讨论公比q 是否等于1；②应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用a n ＋1a n＝q (常数)恒成立，也可用a 2n ＋1 ＝a n ·a n ＋2 恒成立，若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法.【变式训练1】等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1a 2…a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】a n ＝317×(－12)n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0,0＜a 11＜1.又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9的值最大，此时n ＝9.故选C.题型二 性质运用【例2】在等比数列{a n }中，a 1＋a 6＝33，a 3a 4＝32，a n ＞a n ＋1(n ∈N *). (1)求a n ；(2)若T n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ，求T n .【解析】(1)由等比数列的性质可知a 1a 6＝a 3a 4＝32， 又a 1＋a 6＝33，a 1＞a 6，解得a 1＝32，a 6＝1， 所以a 6a 1＝132，即q 5＝132，所以q ＝12，所以a n ＝32·(12)n －1＝26－n .(2)由等比数列的性质可知，{lg a n }是等差数列， 因为lg a n ＝lg 26－n ＝(6－n )lg 2，lg a 1＝5lg 2，所以T n ＝(lg a 1＋lg a n )n 2＝n (11－n )2lg 2.【点拨】历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握.【变式训练2】在等差数列{a n }中，若a 15＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 29－n (n ＜29，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 19＝1，能得到什么等式？【解析】由题设可知，如果a m ＝0，在等差数列中有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2m －1－n (n ＜2m －1，n ∈N *)成立， 我们知道，如果m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ， 而对于等比数列{b n }，则有若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ， 所以可以得出结论：若b m ＝1，则有b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 2m －1－n (n ＜2m －1，n ∈N *)成立. 在本题中则有b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 37－n (n ＜37，n ∈N *). 题型三 综合运用【例3】设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，则求出a 1的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可得2S n ＝a n ＋1－a 1.所以当n ≥2时，有⎩⎨⎧-=-=-+11,1122a a S a a S n n n n两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2). 又a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以{a n }是以首项为a 1，公比为q ＝3的等比数列. 所以a n ＝a 1·3n －1.(2)因为S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－12a 1＋12a 1·3n ，所以b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2，此时b n ＝3n .所以{b n }是首项为3，公比为q ＝3的等比数列. 所以{b n }能为等比数列，此时a 1＝－2.【变式训练3】已知命题：若{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ＜n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m .现在已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)为等比数列，且b m ＝a ，b n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈N *)，类比上述结论得b m ＋n ＝ .【解析】n －m b na m.总结提高1.方程思想，即等比数列{a n }中五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可“知三求二”，通过求和与通项两公式列方程组求解.2.对于已知数列{a n }递推公式a n 与S n 的混合关系式，利用公式a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，再引入辅助数列，转化为等比数列问题求解.3.分类讨论思想：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0,0＜q ＜1时，等比数列{a n }为递增数列；当a 1＞0,0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，{a n }为递减数列；q ＜0时，{a n }为摆动数列；q ＝1时，{a n }为常数列.6.4 数列求和典例精析题型一 错位相减法求和【例1】求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan .【解析】(1)a ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)a ≠1时，因为a ≠0， S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan ，①1a S n ＝1a 2＋2a 3＋…＋n －1a n ＋n an ＋1.② 由①－②得(1－1a )S n ＝1a ＋1a 2＋…＋1a n －n a n ＋1＝1a (1－1a n )1－1a－n a n ＋1， 所以S n ＝a (a n －1)－n (a －1)a n (a －1)2. 综上所述，S n ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+).1()1()1()1(),1(2)1(2a a a a n a a a n n n n 【点拨】(1)若数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，则求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法；(2)当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；(3)当将S n 与qS n 相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号.【变式训练1】数列{2n －32n －3}的前n 项和为( ) A.4－2n －12n －1 B.4＋2n －72n －2 C.8－2n ＋12n －3 D.6－3n ＋22n －1 【解析】取n ＝1，2n －32n －3＝－4.故选C. 题型二 分组并项求和法【例2】求和S n ＝1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋12n －1). 【解析】和式中第k 项为a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－(12)k 1－12＝2(1－12k ). 所以S n ＝2[(1－12)＋(1－122)＋…＋(1－12n )] ＝])111([2个n +⋯++－(12＋122＋…＋12n )] ＝2[n －12(1－12n )1－12]＝2[n －(1－12n )]＝2n －2＋12n －1. 【变式训练2】数列1, 1＋2, 1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和为( ) A.2n －1B.n ·2n －nC.2n ＋1－nD.2n ＋1－n －2 【解析】a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝2n ＋1－n －2.故选D.题型三 裂项相消法求和【例3】数列{a n }满足a 1＝8，a 4＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (14－a n )(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，若对任意非零自然数n ，T n ＞m 32恒成立，求m 的最大整数值.【解析】(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，从而可知数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，则d ＝a 4－a 14－1＝－2， 所以a n ＝8＋(n －1)×(－2)＝10－2n .(2)b n ＝1n (14－a n )＝12n (n ＋2)＝14(1n －1n ＋2)， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝14[(11－13)＋(12－14)＋…＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝38－14(n ＋1)－14(n ＋2)＞m 32， 上式对一切n ∈N *恒成立.所以m ＜12－8n ＋1－8n ＋2对一切n ∈N *恒成立. 对n ∈N *，(12－8n ＋1－8n ＋2)min ＝12－81＋1－81＋2＝163， 所以m ＜163，故m 的最大整数值为5. 【点拨】(1)若数列{a n }的通项能转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项相消法求和.(2)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项.【变式训练3】已知数列{a n }，{b n }的前n 项和为A n ，B n ，记c n ＝a n B n ＋b n A n －a n b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和为( )A.A 10＋B 10B.A 10＋B 102C.A 10B 10D.A 10B 10【解析】n ＝1，c 1＝A 1B 1；n ≥2，c n ＝A n B n －A n －1B n －1，即可推出{c n }的前10项和为A 10B 10，故选C. 总结提高1.常用的基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键.2.数列求和实质就是求数列{S n }的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.6.5 数列的综合应用典例精析题型一 函数与数列的综合问题【例1】已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列.(1)设a 是常数，求证：{a n }成等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .【解析】(1)f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，即log a a n ＝2n ＋2，所以a n ＝a 2n ＋2， 所以a n a n －1＝a 2n ＋2a2n ＝a 2(n ≥2)为定值，所以{a n }为等比数列. (2)b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2， 当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2) ·(2)2n ＋2＝(n ＋1) ·2n ＋2， S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1) ·2n ＋2， 2S n ＝2·24＋3·25＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3， 两式相减得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋24(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＋3， 所以S n ＝n ·2n ＋3. 【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解.【变式训练1】设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1C.n n ＋1D.n ＋1n 【解析】由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.所以S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选C. 题型二 数列模型实际应用问题【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2009年底全县的绿化率已达30%，从2010年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化面积为a n ＋1，求证：a n ＋1＝45a n ＋425； (2)至少需要多少年(取整数)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？【解析】(1)证明：由已知可得a n 确定后，a n ＋1可表示为a n ＋1＝a n (1－4%)＋(1－a n )16%，即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425. (2)由a n ＋1＝45a n ＋425有，a n ＋1－45＝45(a n －45)， 又a 1－45＝－12≠0，所以a n ＋1－45＝－12·(45)n ，即a n ＋1＝45－12·(45)n ， 若a n ＋1≥35，则有45－12·(45)n ≥35，即(45)n －1≤12，(n －1)lg 45≤－lg 2， (n －1)(2lg 2－lg 5)≤－lg 2，即(n －1)(3lg 2－1)≤－lg 2，所以n ≥1＋lg 21－3lg 2＞4，n ∈N *， 所以n 取最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题.【变式训练2】规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再后退2步”的规律进行移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动，令P (n )表示第n 秒时机器狗所在的位置坐标，且P (0)＝0，则下列结论中错误的是( )A.P (2 006)＝402B.P (2 007)＝403C.P (2 008)＝404D.P (2 009)＝405【解析】考查数列的应用.构造数列{P n }，由题知P (0)＝0，P (5)＝1，P (10)＝2，P (15)＝3.所以P (2 005)＝401，P (2 006)＝401＋1＝402，P (2 007)＝401＋1＋1＝403，P (2 008)＝401＋3＝404，P (2 009)＝404－1＝403.故D 错.题型三 数列中的探索性问题【例3】{a n }，{b n }为两个数列，点M (1,2)，A n (2，a n )，B n (n －1n ，2n)为直角坐标平面上的点. (1)对n ∈N *，若点M ，A n ，B n 在同一直线上，求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足log 2C n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n a 1＋a 2＋…＋a n，其中{C n }是第三项为8，公比为4的等比数列，求证：点列(1，b 1)，(2，b 2)，…，(n ，b n )在同一直线上，并求此直线方程.【解析】(1)由a n －22－1＝2n －2n －1n－1，得a n ＝2n . (2)由已知有C n ＝22n －3，由log 2C n 的表达式可知： 2(b 1＋2b 2＋…＋nb n )＝n (n ＋1)(2n －3)，①所以2[b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1]＝(n －1)n (2n －5).②①－②得b n ＝3n －4，所以{b n }为等差数列.故点列(1，b 1)，(2，b 2)，…，(n ，b n )共线，直线方程为y ＝3x －4.【变式训练3】已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n (n ∈N *).若a 1＞1，a 4＞3，S3≤9，则通项公式a n＝.【解析】本题考查二元一次不等式的整数解以及等差数列的通项公式.由a1＞1，a4＞3，S3≤9得令x＝a1，y＝d得在平面直角坐标系中画出可行域如图所示.符合要求的整数点只有(2,1)，即a1＝2，d＝1.所以a n＝2＋n －1＝n＋1.故答案填n＋1.总结提高1.数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意；(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、前n项和公式以及性质求解，或通过探索、归纳构造递推数列求解；(3)验证、反思结果与实际是否相符.2.数列综合问题的求解策略(1)数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列的知识求解；(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式，然后求解问题.。