河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题

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2016-2017 学年度石家庄市第二次模 考数学理科答案一、1-5DDACA 6-10 DADBA 11-12AB二、填空13.54014 .22x 2 y 2 1315.52016.5三、解答17. 解: (1)当n1,a 1 2a 2na n ( n 1)2n 1 2 ①a 1 2a 2 (n-1)a n 1 (n 2)2n2②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分① -②得na n (n 1)2 n 1 (n 2)2 n n 2 n所以a n2n ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分当n1, a 12 ,所以a n2n , nN * ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(2) 因 a n2n ,b n111 1 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分log 2 a n log 2 a n 2n( n2)( n n ) .2 2所以T1 1 11 1 11 1 111 1 1 1 1 .n2 3 2 2 42 3 52 n 1 n 12 n n 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分1 1 11 1 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分2 2 n n 231 11 3 42 n 1 n 24所以,随意 n N *, T n3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分418. (1) 明 : 取AD中点M,接EM,AF=EF=DE=2,AD=4,可知EM= 1AD,∴ AE⊥2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分DE又 AE⊥EC,DE EC E ∴AE⊥平面CDE,∴AE⊥CD,又 CD⊥ AD,AD AE A,∴ CD⊥平面 ADEF,CD平面 ABCD,∴平面 ABCD⊥平面 ADEF;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分( 2)如,作EO⊥ AD, EO⊥平面 ABCD,故以 O原点,分以OA, DC , OE的方向 x 、 y 、 z 的正方向成立空平面直角坐系,依意可得E(0,0,3) , A(3,0,0) ,C (1,4,0) , F (2,0,3),所以EA(3,0,3), AC( 4,4,0),CF(3, 4,3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分n( x, y, z)平面 EAC的法向量,n EA03z0不如 x=1,即 3xn AC04x4y0可得 n(1,1,3),⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分所以cos CF , n CF n25140 =35 ,| CF | | n |287035⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分直与平面所成角的正弦35⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分CF EAC35419. 解:( 1)四天均不降雨的概率P1381 ,56253216,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯四天中恰有一天降雨的概率P 21 32 2 分C 4 55625所以四天中起码有两天降雨的概率P 1 P 1 P 2181 216 328 625625⋯⋯⋯4分1 2 34 5625( 2)由 意可知 x3 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分5y50+85+115+140+160 =110 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分55(x i x)( y iy ) 275 ,bi 1= =27.58 分510 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( x i x)2i 1a= y bx =27.5所以, y 对于 x 的回 方程 :? 27.5x 27.5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分y将降雨量 x 6代入回 方程得: y27.5 627.5192.5193 .?所以 当降雨量6 毫米 需要准 的快餐份数 193份. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分20. (Ⅰ)方法一: M (x , y ),由 意可知, A (1-r , 0),因 弦 AM 的中点恰巧落在 y 上,所以 x=r-1>0, 即 r=x+1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以 ( x1)2 y 2 ( x 1)2 ,化 可得 y2=4x (x>0)所以,点 M 的 迹 E 的方程 : y 2=4x ( x>0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分方法二:M ( x , y ),由 意可知,A ( 1-r , 0), AM 的中点,x>0 ,因 C (1, 0),,.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分在⊙ C 中,因 CD ⊥ DM ,所以,,所以.所以, y 2=4x ( x>0)所以,点 M 的 迹 E 的方程 : y 2=4x ( x>0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(Ⅱ)直 MN的方程x my 1 ,M ( x1, y1),N (x2, y2),直BN的方程y k (x y22)y24x my1y24my40 ,可得 y1y24m, y1 y2 4 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分y24x由( 1)可知,r1x1,点 A(x1 ,0) ,所以直AM的方程y 2 x y 1 ,y12y k( x y22)y2ky2 4 y 4 y2 ky222 40 ,0 ,可得 k,y24x y2直 BN的方程y2x y2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分y22y 2 x y1 ,y12立y12可得 x B44my12m,2 x y2,1, y By 2 y1 2 y1 y22所以点 B( -1 , 2m)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分|BC| 44m2,d| 2 2m2 |4m2 4 =2m2 1 ,m21e B 与直MN相切⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21. 【解】( 1)f ()e xa .x若 a ≤ 0 , f( x)0 ,函数 f (x) 是增函数,与矛盾.所以 a0 ,令 f ()x 0,x ln a . .................................................................................2分当 x ln a , f(x)0 , f (x) 是减函数; x ln a , f ( x)0 , f (x) 是增函数;于是当 x ln a , f (x) 获得极小.因 函数 f (x) e x ax a (a R ) 的 象与 x 交于两点 A(x 1 ,0), B( x 2 ,0) ( x 1< x 2) ,所以 f (ln a)a(2ln a) 0 ,即a e 2 . (4)分此 ,存在 1ln a , f (1)e 0 ;(或 找f (0))存在 3ln aln a , f (3ln a)332,a 3a ln a a a 3aa 0又由 f ( x) 在 (,ln a) 及 (ln a ,) 上的 性及曲 在R 上不 断,可知 ae 2 所求取 范. .......................................................................... (5)分(2)因e x 1ax 1a 0 ,x 2x 1. (7)分ex2两式相减得 aeeax 2 a 0 ,x 2 x 1x 2 x 1x 1 x 2x 1 x 2x xx 1x 2e2s( s 0) , fe2e 2 e 1ss,22x 2x 12 s (ee )2s⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分g ( ) 2 (e s e s ) ,g (s)2 (ese s) 0 ,所以 g( s) 是 减函数,s sx 1 x 2x 1 x 2有 g( s)g(0)0 ,而e20 ,所以 f0 .22 s又 f ( x) e xa 是 增函数,且x 1 x 2 2 x 1 x 2 ,2 3所以f '(2x13 x2 )0 。

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石家庄市2017届高三复习教学质量检测(二)物理参考答案二、选择题(本题共8小题,每小题6分。

第14~17题只有一项符合题目要求,第18~21题有多项符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错或不选的得0分)三、非选择题:包括必考题和选考题两部分.第22题~第32题为必考题,每个试题考生都必须作答.第33题~第38题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题(11题,共129分) 22.(6分)1.94(3分) 9.72(3分) 23.(9分)(1)由实物图可知电路的连接方式,得出的电路图如图所示.(3分)(2)U10U20-U10R 1 (2分)(3)3.0 2.4 (4分) 24.(14分)解:(1)(6分)小球从静止到第一次到达最低点的过程,根据动能定理有(2分)小球刚到最低点时,根据圆周运动和牛顿第二定律有(2分)根据牛顿第三定律可知小球对金属槽的压力为 (1分)联立解得(1分)(2)(8分)小球第一次到达最低点至小球到达最高点过程,小球和金属槽水平方向动量守恒,则(2分)小球到达最高点距金属槽圆弧最低点高度h: (2分)根据能量守恒定律有(2分)联立解得(2分)25.(18分)解:(1)(6分)设粒子在磁场中运动半径为r,根据题设条件画出粒子的运动轨迹,由几何关系得:r=R(3分)由洛伦兹力等于向心力:(2分)解得:(1分)(2)(2分)由图几何关系可得:(1分)(1分)N点的坐标为(,)(3)(10分)粒子在磁场中运动的周期(2分)由几何知识得粒子在磁场中运动的圆心角共为1800,粒子在磁场中运动时间(2分)粒子在磁场外的运动,由匀速直线运动可得:从出磁场到再次进磁场的时间(2分)其中(1分)粒子从M点进入磁场到最终离开磁场区域运动的总时间t=t1+t2(2分)解得:(1分)33.【物理选修3-3】(15分)(1)(5分)BDE(2)(10分)①温度不变,设被封闭气体压强分别为p1、p2,气柱长分别为l1、l2,则有(1分)(1分)V1=l1S V2=l2S据玻意耳定律,有(2分)解得l2=15cm (1分)②设气缸升温前后温度分别为T1、T3,升温后气柱长度为l3T1=300K,l3=(21-1)cm=20cm (1分)最后气体压强(1分)V3=l3S据理想气体状态方程得(2分)解得:T3=800K (1分)34.【物理选修3-4】(15分)(1)(5分)B DE(2)(10分)①由题意分析:光线照射在玻璃球上,最终能沿原方向相反方向射出,说明入射光路与出射光路平行对称,作出光路图由光路图知:θ1=2θ2, (1分)由折射定律得n =sin θ2sin θ1(2分)解以上两式得:cos θ2=23即θ2=30°,θ1=60° (2分) 则d =R sin θ1,所以2d =R , (1分)②该条光线在玻璃球中的路程s =2R (1分)光在玻璃中的速度v == (2分)光在玻璃中的时间t == (1分)7.A 8.B 9.C 10.D 11.B 12.B 13.C 26.(13分)分两次给分 26-1:(1)—(4)8分(1)f →e →j →i →h →g (或g →h )→b →c →d (2分,只要有错即不得分) (2)除去挥发出的HNO 3等酸性气体(2分)(3)2NO +2Fe2FeO +N 2(2分)(4)反应开始时,铜片表面出现无色气泡,铜片逐渐变小;烧瓶上部空间由无色逐渐变为浅红棕色,随着反应的进行又逐渐变为无色;烧瓶中溶液由无色变为浅蓝色。

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石家庄市2017届高三复习教学质量检测(二)理科综合能力测试第I卷(选择题共126分)可能用到的相对原子质量:0 16 Na 23 W 184一、选择题:本大题共13小题,每小题6分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.下列有关细胞物质的叙述正确的是A.致癌因子诱发细胞DNA发生改变可导致细胞癌变B.组成蛋白质、糖原和淀粉的单体都具有多样性C.核糖体与酶、抗体、激素、神经递质的合成都有关D.DNA是细胞内的遗传物质,是通过格里菲思的肺炎双球菌转化实验证明的2.细胞代谢能在常温常压下迅速有序地进行,其中酶起着重要作用。

下列叙述错误的是A,酶是所有活细胞都含有的具有催化作用的有机物B.H2O2分解实验中,加热、Fe3+、酶降低活化能的效果依次增强C.有些酶需要通过内质网和高尔基体进行加工、运输D.人体的各种酶发挥作用所需的最适条件是不完全相同的3.右图为实验测得的小麦、大豆、花生干种子中三类有机物的含量比例,据图分析错误的是A.同等质量的种子中,大豆所含的N 元素最多,小麦所含的最少B.三种种子中有机物均来,自光合作用,含量的差异与所含基因有关C.萌发时,三种种子都会不同程度地吸水,为细胞呼吸创造条件D.相同质量的三种种子萌发需要O2的量相同,所以种植深度一致4.下列人体细胞增殖过程的相关叙述正确的是A.细胞周期的有序进行需原癌基因的严格调控B.处于分裂期的细胞会大量利用T与UC.有丝分裂的细胞中不含有性染色体D.染色体数目与DNA分子数目始终保持相同5.下列有关生物学研究方法的叙述正确的是A.在电子显微镜下拍摄到的叶绿体结构照片属于物理模型B.在探究淀粉酶的最适温度时,为了减小实验误差需要设置预实验C.孟德尔遗传规律和摩尔根果蝇眼色遗传的研究过程均运用了假说一演绎法D.探究生长素类似物促进插条生根最适浓度的实验,用浸泡法处理要求溶液浓度高6.核糖体RNA( rRNA)在核仁中通过转录形成,与核糖核蛋白组装成核糖体前体,再通过核孔进入细胞质中进一步成熟,成为翻译的场所。

河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测 数学理

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石家庄市2017届高三复习教学质量检测(二)高三数学(理科)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设{}{},3,2,1,0,1,2,|1U R A B x x ==---=≥,则U AC B = ( )A .{}1,2B .{}1,0,1,2-C .{}3,2,1,0---D .{}2 2.在复平面中,复数()2111i i +++对应的点在 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3. 在ABC ∆中,角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,则“sin sin A B >”是“a b >”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D . 即不充分也不必要条件4.若()1sin 3πα-=,且2παπ≤≤,则sin 2α的值为 ( )A .. D 5.执行下面的程序框图,则输出K 的值为 ( )A .98B .99 C. 100 D .1016. 李冶(1192--1279 ),真定栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算)( )A .10步,50步B .20步,60步 C. 30步,70步 D .40步,80步 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )A . 16B .20 C. 52 D .60 8. 已知函数()()sin 2,12f x x f x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭是()f x 的导函数,则函数()()2y f x f x '=+的一个单调递减区间是( ) A .7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D .5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.若()332a x x dx -=+⎰,则在a的展开式中,x 的幂指数不是整数的项共有( ) A .13项 B .14项 C. 15项 D .16项10.在平面直角坐标系中,不等式组22200x y x y x y r +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩(r 为常数)表示的平面区域的面积为π,若,x y 满足上述约束条件,则13x y z x ++=+的最小值为 ( )A .-1 B. C. 13 D .75- 11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、,过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A B 、两点,22AF BF 、分别交y 轴于P Q 、两点,若2PQF ∆的周长 12,则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为( )A B C. D 12.已知函数()221xf x eax bx =-+-,其中,,a b R e ∈为自然对数的底数.若()()10,f f x '=是()f x 的导函数,函数()f x '在区间()0,1内有两个零点,则a 的取值范围是( )A .()223,1e e -+ B .()23,e -+∞ C. ()2,22e -∞+ D .()2226,22e e -+第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.设样本数据122017,,,x x x 的方差是4,若()211,2,,2017i i y x i =-=,则122017,,,y y y 的方差为 .14.在平面内将点()2,1A 绕原点按逆时针方向旋转34π,得到点B ,则点B 的坐标为 . 15.设二面角CD αβ--的大小为45°,A 点在平面α内,B 点在CD 上,且045ABC ∠=,则AB 与平面β所成的角的大小为 . 16.非零向量,m n 的夹角为3π,且满足()0n mλλ=>,向量组123,,x x x 由一个m 和两个n 排列而成,向量组123,,y y y 由两个m 和一个n 排列而成,若112233x y x y x y ++所有可能值中的最小值为24m ,则λ= .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()*124,0,142,m m m S S S m m N -+=-==≥∈且. (1)求m 的值; (2)若数列{}n b 满足()*2log 2nn a b n N =∈,求数列(){}6n n a b +的前n 项和.18.如图,三棱柱ABC DEF -中,侧面ABED 是边长为2的菱形,且,3ABE BC π∠==.四棱锥F ABED -的体积为2,点F 在平面ABED 内的正投影为G ,且G 在AE 上,点M 是在线段CF 上,且14CM CF =.(1)证明:直线//GM 平面DEF ; (2)求二面角M AB F --的余弦值.19.交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a 元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,950a =.记X 为某同学家里的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求X 的分布列与数学期望;(数学期望值保留到个位数字) (2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元:①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率; ②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求他获得利润的期望值.20.设M N T 、、椭圆2211612x y +=上三个点,M N 、在直线8x =上的射影分别为11,M N .(1)若直线MN 过原点O ,直线MT NT 、斜率分别为12,k k ,求证:12k k 为定值;(2)若M N 、不是椭圆长轴的端点,点L 坐标为()3,0,11M N L ∆与MNL ∆面积之比为5,求MN 中点K 的轨迹方程.21.已知函数()()()()ln 1,11xf x m xg x x x =+=>-+. (1)讨论函数()()()F x f x g x =-在()1,-+∞上的单调性;(2)若()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线,试求实数m 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为cos sin x a a y a ββ=+⎧⎨=⎩(0,a β>为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程3cos 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)若曲线C 与l 只有一个公共点,求a 的值; (2),A B 为曲线C 上的两点,且3AOB π∠=,求OAB ∆的面积最大值.23.选修4-5:不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . (1)作出函数()f x 的图象;(2)若22223a c b m ++=,求2ab bc +的最大值.2016-2017学年度石家庄市质检二检测(数学理科答案)一、选择题:1-5CDCAB 6-10 BBACD 11-12DA 二、填空题13. 16 14. ⎛ ⎝ 15. 30° 1683三、解答题:(解答题只给出一种或两种答案,在评卷过程中遇到的不同答案,请参照此标准酌情给分) 17.解:(Ⅰ)由已知得14m m m a S S -=-=, 且12214m m m m a a S S ++++=-=,设数列{}n a 的公差为d ,则有2314m a d +=, ∴2d =由0m S =,得()11202m m ma -+⨯=,即11a m =-, ∴()11214m a a m m =+-⨯=-= ∴5m =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知14,2a d =-=,∴26n a n =- ∴23log n n b -=,得32n n b -=. ∴()32222n n n n a b b n n --+=⨯=⨯.设数列(){}nn ab b +的前n 项和为n T∴ ()1321222122n n n T n n ---=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①()012121222122n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+⨯②① ②,得10212222n n n T n ----=+++-⨯()11212212n n n ---=-⨯-111222n n n --=--⨯∴()()1*1122n n T n n N -=-+∈18(Ⅰ)解析:因为四棱锥F ABED -的体积为2,即14223F ABED V FG -=⨯⨯=,所以FG =又BC EF ==,所以32EG =即点G 是靠近点A 的四等分点, 过点G 作//GK AD 交DE 于点K ,所以3344GK AD CF ==, 又34MF CF =,所以MF GK =且//MF GK , 所以四边形MFKG 为平行四边形,所以//GM FK ,所以直线//GM 平面DEF . (Ⅱ)设,AE BD 的交点为O ,OB 所在直线为x 轴,OE 所在直线为y 轴,过点O 作平面ABED 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:())150,1,0,,0,,24A BF M ⎛--- ⎝ ()3513,1,0,,,3,3,42BA BM BF ⎛⎫⎛=--=--=-- ⎪ ⎪⎝⎝ 设平面,ABM ABF 的法向量为,m n ,m BA m BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩,则()1,1m =-, 00n BA n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩,则11,3,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭785cos 85m n m nθ==. 19.解:(Ⅰ)由题意可知X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a , 由统计数据可知:()()()()11110.9,0.8,0.7,612123P X a P X a P X a P X a ========,()()111.1, 1.3412P X a P X a ====.所以X 的分布列为:所以0.90.80.7 1.1 1.39426121234121212EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈.(Ⅱ) ①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13,三辆车中至多有一辆事故车的概率为321311220133327P C ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ② Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,Y 的可能取值为5000,10000-. 所以Y 的分布列为:所以500010000500033EY =-⨯+⨯=.所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为10050EY ⨯=万元.20解:(Ⅰ)设()()()00,,,,,M p q N p q T x y --,则22012220y q k k x p-=-, 又2222001161211612p q x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得22220001612x p y q --+=,即22022034y q x p-=--,1234k k =-. (Ⅱ)设直线MN 与x 轴相交于点()1,0,32MNL M N R r S r y y ∆=--,1111152M N L M N S y y ∆=-, 由于115M N L MNL S S ∆∆=且11M N M N y y y y -=-,得1111553,422M N M N y y r y y r -=--=(舍去)或2r =. 即直线MN 经过点()2,0F .设()()()112200,,,,,M x y N x y K x y , ① 直线MN 垂直于x 轴时,弦MN 中点为()2,0F ;② 直线MN 与x 轴不垂直时,设MN 的方程为()2y k x =-,则()()222222134161648016122x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩. 22121222161648,3434k k x x x x k k-+==++.2002286,3434k kx y k k -==++. 消去k ,整理得()()220041103y x y -+=≠.综上所述,点K 的轨迹方程为()()2241103y x x -+=>.21.解析:(Ⅰ)()()()()()()()22111,1111m x m F x f x g x x x x x +-'''=-=-=>-+++ 当0m ≤时, ()0F x '<,函数()F x 在()1,-+∞上单调递减; 当0m >时,令()101F x x m '<⇒<-+,函数()F x 在11,1m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减; ()101F x x m '>⇒>-+,函数()F x 在11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 综上所述,当0m ≤时,()F x 的单减区间是()1,-+∞; 当0m >时,()F x 的单减区间是11,1m ⎛⎫--+⎪⎝⎭, 单增区间是11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭(Ⅱ)函数()()ln 1f x m x =+在点()(),ln 1a m a +处的切线方程为()()ln 11my m a x a a -+=-+,即()ln 111m may x m a a a =++-++, 函数()1x g x x =+在点1,11b b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭处的切线方程为()()211111y x b b b ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭+,即()()222111b y x b b =+++.()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线.所以()()()222111ln 111m a b ma b m a a b ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩①② 有唯一一对(),a b 满足这个方程组,且0m >.由(1)得: ()211a m b +=+代入(2)消去a ,整理得: ()22ln 1ln 101m b m m m b +++--=+,关于()1b b >-的方程有唯一解. 令()()22ln 1ln 11g b m b m m m b =+++--+,()()()()2221122111m b m g b b b b +-⎡⎤⎣⎦=-=+++ 方程组有解时,0m >,所以()g b 在11,1m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭单调递减,在11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭单调递增,所以()min 191ln 1g b m m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭, 因为()(),,1,b g b b g b →+∞→+∞→-→+∞,只需ln 10m m m --=,令()ln 1m m m σ=--、()ln m m σ'=-在0m >为单减函数,且1m =时, ()0m σ'=,即()()max 10m σσ==,所以1m =时,关于b 的方程()22ln 1ln 101m b m m m b +++--=+有唯一解 此时0a b ==,公切线方程为y x =.22.【解析】(Ⅰ)曲线C 是以(),0a 为圆心,以a 为半径的圆;直线l的直角坐标方程为30x -=. 由直线l 与圆C 只有一个公共点,则可得32a a -=,解得: 3a =-(舍),1a =.所以:1a =(Ⅱ)曲线C 的极坐标方程为()2cos ,0a a ρθ=>,设A 的极角为θ, B 的极角为3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 则213sin 2cos 2cos 3cos cos 23433OAE S OA OB a a aπππθθθθ∆⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 211cos 21111cos cos cos cos 2cos 22322222411cos 2234πθθθθθθθθθπθ⎛⎫+⎛⎫+==-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以当6πθ=-时,11cos 2234πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭取得最大值34. OAB ∆. 解法二:因为曲线C 是以(),0a 为圆心,以a 为半径的圆,且3AOB π∠=由正弦定理得:2sin3ABa =,所以AB =.由余弦定理得22223AB a OA OB OA OB OA OB ==+-≥,所以211sin 3232OAB S OA OB a π∆=≤⨯=, 所以OAB ∆23.【解析】(Ⅰ)()12,213,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩(如果没有此步骤,需要图中标示出1,12x x =-=对应的关键点,否则扣分)画出图象如图,(Ⅱ)由(Ⅰ)知32m =. ∵()()22222223232242m a c b a b c b ab bc ==++=+++≥+, ∴324ab bc +≤,∴2ab bc +的最大值为34, 当且仅当12a b c ===时,等号成立.。

【河北省石家庄二中】2017学年高考模拟数学年试题(理科)答案

【河北省石家庄二中】2017学年高考模拟数学年试题(理科)答案

河北省石家庄市2017届高三一模考试理科数学试卷(B 卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|05}A x x =≤≤,{|12}B x x =∈-N*≤,则A B =( )A .{|13}x x ≤≤B .{|03}x x ≤≤C .{0,1,2,3}D .{1,2,3}2.若z 是复数,12i1iz -=+,则z z =( )A BC .1D .523.下列说法错误的是( )A .回归直线过样本点的中心(,)x yB .两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C .对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D .在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位 4.函数()e 31x f x x =--(e 为自然对数的底数)的图像大致是( )A .B .C .D .5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图像关于直线π3x =对称,则||ϕ的最小值为( ) A .π12B .π6C .5π6D .5π126.已知三个向量a ,b ,c 共面,且均为单位向量,0a b =,则||a b c +-的取值范围是( )A .1⎤⎦B .⎡⎣C .D .1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示(在如图的网格线中,每个小正方形的边长为1),则该几何体的表面积为( )A .48B .54C .64D .608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图像关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( ) A .200-B .100-C .0D .50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体;图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )A .①②B .①③C .②④D .①④10.已知x ,y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A .10B.C.D.11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AACF的面积为,则准线l 的方程为( ) A.x =B.x =-C .2x =-D .1x =-12.已知函数()eln f x ax x =+与2()eln x g x x x=-的图像有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A .e a -<B .1a >C .e a >D .3a -<或1a >第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.已知命题p :n ∀∈N ,22n n <,则p ⌝为____________.14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为____________.15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左、右焦点,点P 为双曲线右支上一点,M为12PF F △的内心,满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+,若该双曲线的离心率为3,则λ=____________.(注:1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积).16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin sin sin C a bA B a c+=--.(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)点D 满足2BD BC =,且线段3AD =,求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,60DBA ∠=︒,30SAD ∠=︒,AD SD ==,4BA BS ==.(Ⅰ)证明:BD ⊥平面SAD ; (Ⅱ)求二面角A SB C --的余弦值.19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测,正常人听力的等级为0-25db (分贝),并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀,测试值在区间(5,10]为优秀.某班50名同学都进行了听力测试,所得测试值制成频率分布直方图:(Ⅰ)现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人,记听力非常优秀的同学人数为X ,求X 的分布列与数学期望;(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试,测试规则如下:四个音叉的发生情况不同,由强到弱的次序分别为1,2,3,4.测试前将音叉随机排列,被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ,2a ,3a ,4a (其中1a ,2a ,3a ,4a 为1,2,3,4的一个排列).若Y 为两次排序偏离程度的一种描述,1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-,求2Y ≤的概率.20.已知椭圆C :2212x y +=的左顶点为A ,右焦点为F ,O 为原点,M ,N 是y 轴上的两个动点,且MF NF ⊥,直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ,D 两点.(Ⅰ)求MFN ∆的面积的最小值; (Ⅱ)证明:E ,O ,D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-,a ∈R .(Ⅰ)若函数()f x 为定义域上的单调函数,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若函数()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12x x <,证明:1221()()f x f x x x >. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系,将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的12,得到曲线2C ,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,1C 的极坐标方程为2ρ=. (Ⅰ)求曲线2C 的参数方程;(Ⅱ)过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ,且点A 在第一象限,当四边形ABCD 的周长最大时,求直线1l 的普通方程. 23.选修4—5:不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-.(Ⅰ)当2a <-时,()f x 的最小值为1,求实数a 的值; (Ⅱ)当()|4|f x x a =++时,求x 的取值范围.。

2017年河北省石家庄市高三理科二模数学试卷

2017年河北省石家庄市高三理科二模数学试卷

2017年河北省石家庄市高三理科二模数学试卷一、选择题(共12小题;共60分)1. 设,,,则A. B.C. D.2. 在复平面中,复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在中,角,,的对边为别为,,,则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若,且,则的值为A. B. C. D.5. 执行如图的程序框图,则输出的值为A. B. C. D.6. 李冶(),真定栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径,正方形的边长等,其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注:平方步为亩,圆周率按近似计算)A. 步,步B. 步,步C. 步,步D. 步,步7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A. B. C. D.8. 已知函数,是的导函数,则函数的一个单调递减区间是A. B. C. D.9. 若,则在的展开式中,的幂指数不是整数的项共有A. 项B. 项C. 项D. 项10. 在平面直角坐标系中,不等式组(为常数)表示的平面区域的面积为,若,满足上述约束条件,则的最小值为A. B. C. D.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于,两点,,分别交轴于,两点,若的周长为,则取得最大值时该双曲线的离心率为A. B. C. D.12. 已知函数,其中,为自然对数的底数,若,是的导函数,函数在区间内有两个零点,则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题(共4小题;共20分)13. 设样本数据,,,的方差是,若,则,,,的方差为______.14. 在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转,得到点,则点的坐标为______.15. 设二面角的大小为,点在平面内,点在上,且,则与平面所成角的大小为 ______.16. 非零向量,的夹角为,且满足,向量组,,由一个和两个排列而成,向量组,,由两个和一个排列而成,若所有可能值中的最小值为,则 ______.三、解答题(共7小题;共91分)17. 已知等差数列的前项和为,若,,(,且).(1)求的值;(2)若数列满足,求数列的前项和.18. 如图,三棱柱中,侧面是边长为的菱形,且,,四棱锥的体积为,点在平面内的正投影为,且在上,点是在线段上,且.(1)证明:直线 平面;(2)求二面角的余弦值.19. 交强险是车主必须为机动车购买的险种.若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如表:座以下私家车的投保情况,随机抽取了辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:类型数量以这辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定.记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求的分布列与数学期望值;(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损元,一辆非事故车盈利元:①若该销售商一次购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;②若该销售商一次购买辆(年龄已满三年)该品牌二手车,求他获得利润的期望值.20. 设,,是椭圆上三个点,,在直线上的射影分别为,.(1)若直线过原点,直线,斜率分别为,,求证为定值;(2)若,不是椭圆长轴的端点,点坐标为,与面积之比为,求中点的轨迹方程.21. 已知函数,.(1)讨论函数在上的单调性;(2)若与的图象有且仅有一条公切线,试求实数的值.22. 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程.(1)若曲线与只有一个公共点,求的值;(2),为曲线上的两点,且,求的面积最大值.23. 设函数的最大值为.(1)作出函数的图象;(2)若,求的最大值.答案第一部分1. C2. D3. C4. A5. B6. B7. B8. A9. C 10. D11. D 12. A第二部分13.14.15.16.第三部分17. (1)因为,,,所以,,设数列的公差为,则,所以.因为,所以,所以,解得.(2)由(I)知,所以,即.所以.设数列的前项和为,所以所以,得所以.18. (1)因为四棱锥的体积为,即,所以又,所以,即点是靠近点的四等分点.过点作交于点,如图,,又,所以且.四边形为平行四边形,所以,所以直线 平面.(2)设,的交点为,所在直线为轴,所在直线为轴,过点作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:,,,.,,.设平面,的法向量分别为,.由则取,同理求得.所以,所以二面角的余弦值为.19. (1)由题意可知的可能取值为,,,,,.由统计数据可知:,,,,,.所以的分布列为:所以(2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为,三辆车中至多有一辆事故车的概率为.②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,的可能取值为,.所以的分布列为:所以.所以该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为万元.20. (1)设,,,则,又,两式相减得,即.(2)设直线与轴相交于点,,,由于与面积之比为且,得,(舍去)或.即直线经过点.设,,,①当直线垂直于轴时,弦中点为;②当直线与轴不垂直时,设的方程为,则联立,,,,,,消去,整理得.综上所述,点的轨迹方程为.21. (1),当时,,函数在上单调递减;当时,令,可得,函数在上单调递减;,可得,函数在上单调递增.综上所述,当时,的减区间是;当时,的减区间是,增区间是.(2)函数在点处的切线方程为,即,函数在点处的切线方程为,即.与的图象有且仅有一条公切线,所以有唯一一对满足这个方程组,且,由得:,代入消去,整理得:,关于的方程有唯一解.令,,方程组有解时,,所以在单调递减,在上单调递增.所以.由,;,,只需,令,在为单减函数,且时,,即,所以时,关于的方程有唯一解.此时,公切线方程为.22. (1)曲线是以为圆心,以为半径的圆;直线的直角坐标方程为,由直线与圆只有一个公共点,则可得,解得:(舍)或,所以:.(2)由题意,曲线的极坐标方程为,设的极角为,的极角为,则因为,所以当时,取得最大值,所以的面积最大值为.23. (1)函数,画出图象如图,(2)由()知,当时,函数取得最大值为.因为,所以,当且仅当时,取等号,故的最大值为.。

2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)

2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)

-1012}012}01}-101}-1012} 23B.5A.4C.D.3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,,,,,B={x|-2<x≤2},则A B=A.{-1,,,B.{-1,,C.{-2,,,D.{-2,,,,2.复数2-i1+i对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若a⋅b=3,则x=A.3B.4C.5D.64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x,则此双曲线的离心率为457445.已知条件p:x-4≤6;条件q:x≤1+m,若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是A.(-∞,-1]B.(-∞,9]C.1,9]D.[9,∞)6.运行如图所示的程序框图,输出的结果S=A.14B.30C.62D.1268.已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是不同的直线,下列命题不正确的是A.πA.332D.27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中含x2项的系数是xA.56B.35C.-56D.-35...A.若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB.若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC.若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,,则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R),函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称,则ϕ的值可以是πππB.C.D.263410.男女生共8人,从中任选3人,出现2个男生,1个女生的概率为1528,则其中女生人数是A.2人B.3人C.2人或3人D.4人11.已知抛物线y2=4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B(点A在x轴下方),点A与1点A关于x轴对称,若直线AB斜率为1,则直线A B的斜率为12B.3C.12.下列结论中,正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根;2②已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a2+b2=2c2,则角C的最大值为π6;③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数;④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0),左右顶点分别为A,B,若P为椭圆上任意一点(不同于A,B),则直线PA与直线PB斜率之积为定值.A.①④B.①③C.①②D.②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S,且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______.⎪x+y≤6②若a∈(0,1),则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题,考生根据要求做答.二.填空题:本大题共4小题;每小题5分,共20分.5,a+a=,则S=__________.n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的外接球的半径为__________.16.下列命题正确是.(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4,则函数f(x)的图象关于(2,0)对称;③函数f(x)=ln;三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2., 20 40 60 80 ,(1)求 cos B 的值;(2)求 sin 2 A + sin C 的值.18.(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC - A B C 中,侧棱 AA ⊥ 平面 ABC , ∆ABC 为等腰直角三角形,1 1 1 1∠BAC = 90 ,且 AA = AB , E , F 分别是 C C , BC 的中点.1 1(1)求证:平面 AB F ⊥ 平面 AEF ;1(2)求二面角 B - AE - F 的余弦值.119.(本小题满分 12 分)某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况(单位:万元),将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),年上缴税收范围是[0 100],样本数据分组为第一组[0, ),第二组[20, ),第 三组 [40, ),第四组 [60, ),第五组 [80 100].(1)求直方图中 x 的值;(2)如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠,若共抽取企业 1200 家,试估计有多少企业可以申请政策优惠;(3)从所抽取的企业中任选 4 家,这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ,离心率 e = ,直线 l 的方程为 220.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 .(1)求椭圆 C 的方程;(2)经过椭圆右焦点 F 的任一直线(不经过点 P )与椭圆交于两点 A , B ,设直线 AB 与l 相交于点 M ,记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ,问:是否存在常数 λ ,使得1 2 3k + k = λ k ?若存在,求出 λ 的值,若不存在,说明理由.12321.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = ax + ln x ,其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数.(1)当 a = -1 时,求 f ( x ) 的最大值;(2)若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ,求 a 的值;(3)设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ,1 2 1 2证明: 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) .1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用⎪⎪ 5⎩17.解:(1)∵ B = A + , ∴ A = B -, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数),以原点 O 为极点, x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ .(1)若 a = 2 ,求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程;(2)设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍,求 a 的值.23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ,且 f ( x ) ≥ m 恒成立.(1)求 m 的取值范围;(2)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式: x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 .高三第二次质量检测理科数学答案一.ADABD CCABC CA二.13.631614.20 15. 61 16.①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ,所以由正弦定理得 ,sin Asin B34所以, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ,两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ,3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ,所以 cos B = ± , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ,所以 cos B = - . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4(2)∵ cos B = - ,∴ sin B = , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) , A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2,∴ 2 A = 2 B - π ,∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ,∴ C = 3π 2- 2 B ,7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = .∴ sin 2 A + sin C = . (12)25 25 25 25分18.解答: (1)证明:∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点,∴ AF ⊥ BC .又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ,11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C , AF ⊥ B 1F .…3 分设 AB = AA = 1 ,则1,EF= , .∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ,∴ B F ⊥ EF ........... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ,∴ B F ⊥平面 AEF .…1而 B F ⊂ 面 AB F ,故:平面 AB F ⊥ 平面 AEF . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11(2)解:以 F 为坐标原点, FA , FB 分别为 x , y 轴建立空间直角坐标系如图,设 AB = AA = 1 ,12 2 1,0,0) , B (0, - ,1) , E (0, - , ) ,12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) .… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由(1)知, B F ⊥平面 AEF ,取平面 AEF 的法向量:12m = FB = (0, ,1) . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ,1由取 x = 3 ,得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ,1则 cos θ=|cos <>|=| |= .由图可知θ 为锐角,∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为.… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119.解答: 解:(I )由直方图可得: 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 .⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分(II )企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 , ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 .∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分(III ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4 .由(I )可得:某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1. ....12 分25664 64 64 25620.解:(1)由点 P (2, 2) 在椭圆上得, 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ,故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4(2)假设存在常数 λ ,使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ,则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中,令 x = 4 得, M (4,2 k ) ,从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线,则有 k = k AF = k BF ,即有y当 a = -1 时, f ( x ) = - x + ln x , f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ,则 f ' ( x ) ≥ 0 ,从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数,y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ,又 k = k - 32 2 ,所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解:(1)易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ,1 - x= ,x x令 f ' ( x ) = 0 ,得 x = 1 .当 0 < x < 1 时, f ' ( x ) > 0 ;当 x > 1 时, f ' ( x ) < 0 . (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1,+∞) 上是减函数.f ( x )max= f (1) = -1.∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分(2)∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) .x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ,不合题意. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ,则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ,即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ,即 - < x ≤ e . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数,在 (- (3)法一:即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ,则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ,即 a = -e 2.∵ e ,∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面,不妨设 x < x ,构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ,而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 , k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续, 1x + x故 k ( x ) < 0 ,即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二: g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数,不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 , 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 , 知 x > x 时, h ( x ) > 0112(2)圆 C : x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以,原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 , 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ;直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ,直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ,∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍,3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ,11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时,函数有最小值 6 ,所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解:∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时,原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ,或 ⎨,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。

河北省石家庄市2017-2018学年高三下学期第二次模拟数学(理)试卷 Word版含解析

河北省石家庄市2017-2018学年高三下学期第二次模拟数学(理)试卷 Word版含解析

2017-2018学年河北省石家庄市高考数学二模试卷(理科)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=,x>2},则∁U P=()A.[,+∞)B.(0,)C.(0,+∞)D.(﹣∞,0)∪(,+∞)2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是()A.y=x﹣1 B.y=tanx C.y=x3D.y=log2x3.已知复数z满足(1﹣i)z=i2015(其中i为虚数单位),则的虚部为()A.B.﹣C.i D.﹣i4.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=()A.B.﹣C.2 D.﹣25.设变量x,y满足约束条件:.则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.6 B.7 C.8 D.236.投掷两枚骰子,则点数之和是6的概率为()A.B.C.D.7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.48.执行如图的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=()A.1+++B.1+++C.1++++D.1++++9.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(sin,cos),则sin(2α﹣)=()A.B.﹣C.D.﹣10.在四面体S﹣ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为()A.11π B.7πC.D.11.已知F是抛物线x2=4y的焦点,直线y=kx﹣1与该抛物线交于第一象限内的零点A,B,若|AF|=3|FB|,则k的值是()A.B.C.D.12.设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x﹣x2),a i=,i=0,1,2,…,99,记S k=|f k(a1)﹣f k(a0)|+|f k(a2)﹣f k(a1)|+…+|f k(a99)﹣f k(a98)|,k=1,2,则下列结论正确的是()A.S1=1<S2B.S1=1>S2C.S1>1>S2 D.S1<1<S2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.已知向量=(2,1),=(x,﹣1),且﹣与共线,则x的值为.14.已知x8=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+…+a8(x﹣1)8,则a7= .15.设点P、Q分别是曲线y=xe﹣x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P、Q 两点间距离的最小值为.16.在平面直角坐标系中有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,P n(a n,b n),…对∀n∈N+,点P n在函数y=a x(0<a<1)的图象上,又点A n(n,0),P n(a n,b n),A n+1(n+1,0)构成等腰三角形,且|P n A n|=|P n A n+1|若对∀n∈N+,以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形,则a的取值范围是.三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosA=(2c+a)cos(π﹣B)(1)求角B的大小;(2)若b=4,△ABC的面积为,求a+c的值.18.4月23人是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”,低于60分钟的学生称为“非读书谜”(1)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”(2)将频率视为概率,现在从该校大量学生中,用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望E(X)和方程D(X)附:K2=n=a+b+c+d19.已知PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,BA⊥AD,CD=AD=AP=4,AB=1.(1)求证:CD⊥平面ADP;(2)若M为线段PC上的点,当BM⊥AC时,求二面角C﹣AB﹣M的余弦值.20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(1,),离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点P(0,),若cos∠APB=﹣,求直线l的方程.21.已知函数f(x)=e x﹣ax﹣2(e是自然对数的底数a∈R).(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若k为整数,a=1,且当x>0时,f′(x)<1恒成立,其中f′(x)为f(x)的导函数,求k的最大值.四、选修4-1:几何证明选讲22.如图:⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,=,DE交AB于点F.(1)求证:O,C,D,F四点共圆;(2)求证:PF•PO=PA•PB.五、选修4-4:坐标系与参数方程23.在平面直角坐标系xOy中,直l的参数方程(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:ρ=4cosθ.(1)直线l的参数方程化为极坐标方程;(2)求直线l的曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)六、选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=|2x﹣a|+|2x+1|(a>0),g(x)=x+2.(1)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集;(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.2015年河北省石家庄市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=,x>2},则∁U P=()A.[,+∞)B.(0,)C.(0,+∞)D.(﹣∞,0)∪(,+∞)考点:对数函数的单调性与特殊点;补集及其运算.专题:计算题.分析:先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域,然后由全集U,根据补集的定义可知,在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集,求出集合P的补集即可.解答:解:由集合U中的函数y=log2x,x>1,解得y>0,所以全集U=(0,+∞),同样:P=(0,),得到C U P=[,+∞).故选A.点评:此题属于以函数的值域为平台,考查了补集的运算,是一道基础题.2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是()A.y=x﹣1 B.y=tanx C.y=x3D.y=log2x考点:奇偶性与单调性的综合.专题:综合题;函数的性质及应用.分析:根据函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.解答:解:y=x﹣1非奇非偶函数,故排除A;y=tanx为奇函数,但在定义域内不单调,故排除B;y=log2x单调递增,但为非奇非偶函数,故排除D;令f(x)=x3,定义域为R,关于原点对称,且f(﹣x)=(﹣x)3=﹣x3=﹣f(x),所以f(x)为奇函数,又f(x)在定义域R上递增,故选C.点评:本题考查函数的奇偶性、单调性的判断,属基础题,定义是解决该类问题的基本方法,应熟练掌握.3.已知复数z满足(1﹣i)z=i2015(其中i为虚数单位),则的虚部为()A.B.﹣C.i D.﹣i考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.专题:数系的扩充和复数.分析:利用复数的运算法则、共轭复数、虚部的定义即可得出.解答:解:∵i4=1,∴i2015=(i4)503•i3=﹣i,∴(1﹣i)z=i2015=﹣i,∴==,∴=,则的虚部为.故选:A.点评:本题考查了复数的运算法则、共轭复数、虚部的定义,属于基础题.4.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=()A.B.﹣C.2 D.﹣2考点:等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.专题:等差数列与等比数列.分析:设出等比数列的公比,由已知列式求出首项和公比的平方,然后代入等比数列的通项公式求得a5.解答:解:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+5a1,a7=2,得,解得:.∴.故选:A.点评:本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n项和,是基础的计算题.5.设变量x,y满足约束条件:.则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.6 B.7 C.8 D.23考点:简单线性规划.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=2x+3y 对应的直线进行平移,可得当x=2,y=1时,z=2x+3y取得最小值为7.解答:解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)设z=F(x,y)=2x+3y,将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值∴z最小值=F(2,1)=7故选:B点评:本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=2x+3y的最小值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.6.投掷两枚骰子,则点数之和是6的概率为()A.B.C.D.考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:利用乘法原理计算出所有情况数,列举出有(1,5)(2,4)(3,3)(4,2),(5,1)共有5种结果,再看点数之和为6的情况数,最后计算出所得的点数之和为6的占所有情况数的多少即可.解答:解:由题意知,本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子,共有6×6=36种结果,而满足条件的事件是两个点数之和是6,列举出有(1,5)(2,4)(3,3)(4,2),(5,1)共有5种结果,根据古典概型概率公式得到P=,故选:A.点评:本题根据古典概型及其概率计算公式,考查用列表法的方法解决概率问题;得到点数之和为6的情况数是解决本题的关键,属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.4考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:根据三视图得出几何体的直观图,得出几何性质,根据组合体得出体积.解答:解:根据三视图可判断:几何体如图,A1B1⊥A1C1,AA1⊥面ABC,AB=AC=CC1=2,CE=1直三棱柱上部分截掉一个三棱锥,该几何体的体积为V﹣V E﹣ABC==4=故选:A点评:本题考查了空间几何体的性质,三视图的运用,考查了空间想象能力,计算能力,属于中档题.8.执行如图的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=()A.1+++B.1+++C.1++++D.1++++考点:程序框图.专题:图表型.分析:由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序可知当条件满足时,用S+的值代替S得到新的S,并用k+1代替k,直到条件不能满足时输出最后算出的S值,由此即可得到本题答案.解答:解:根据题意,可知该按以下步骤运行第一次:S=1,第二次:S=1+,第三次:S=1++,第四次:S=1+++.此时k=5时,符合k>N=4,输出S的值.∴S=1+++故选B.点评:本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,以及表格法的运用,属于基础题.9.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(sin,cos),则sin(2α﹣)=()A.B.﹣C.D.﹣考点:任意角的三角函数的定义.专题:计算题;三角函数的求值.分析:利用三角函数的定义确定α,再代入计算即可.解答:解:∵角α的终边过点P(sin,cos),∴sinα=cos,cosα=sin,∴α=+2kπ,∴sin(2α﹣)=sin(4kπ+﹣)=sin=.故选:A.点评:本题考查求三角函数值,涉及三角函数的定义和特殊角的三角函数,属基础题.10.在四面体S﹣ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为()A.11π B.7πC.D.考点:球的体积和表面积;球内接多面体.专题:空间位置关系与距离.分析:求出BC,利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径,从而可求该三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥的外接球表面积.解答:解:∵AC=2,AB=1,∠BAC=120°,∴BC==,∴三角形ABC的外接圆半径为r,2r=,r=,∵SA⊥平面ABC,SA=2,由于三角形OSA为等腰三角形,则有该三棱锥的外接球的半径R═=,∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×()2=.故选:D.点评:本题考查三棱锥的外接球表面积,考查直线和平面的位置关系,确定三棱锥的外接球的半径是关键.11.已知F是抛物线x2=4y的焦点,直线y=kx﹣1与该抛物线交于第一象限内的零点A,B,若|AF|=3|FB|,则k的值是()A.B.C.D.考点:直线与圆锥曲线的关系.专题:方程思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标,利用抛物线的定义表示出|AF|与|FB|,再利用直线与抛物线方程组成方程组,结合根与系数的关系,求出k的值即可.解答:解:∵抛物线方程为x2=4y,∴p=2,准线方程为y=﹣1,焦点坐标为F(0,1);设点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=y1+=y1+1,|FB|=y2+=y2+1;∵|AF|=3|FB|,∴y1+1=3(y2+1),即y1=3y2+2;联立方程组,消去x,得y2+(2﹣4k2)y+1=0,由根与系数的关系得,y1+y2=4k2﹣2,即(3y2+2)+y2=4k2﹣2,解得y2=k2﹣1;代入直线方程y=kx﹣1中,得x2=k,再把x2、y2代入抛物线方程x2=4y中,得k2=4k2﹣4,解得k=,或k=﹣(不符合题意,应舍去),∴k=.故选:D.点评:本题考查了抛物线的标准方程与几何性质的应用问题,也考查了直线与抛物线的综合应用问题,考查了方程思想的应用问题,是综合性题目.12.设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x﹣x2),a i=,i=0,1,2,…,99,记S k=|f k(a1)﹣f k(a0)|+|f k(a2)﹣f k(a1)|+…+|f k(a99)﹣f k(a98)|,k=1,2,则下列结论正确的是()A.S1=1<S2B.S1=1>S2C.S1>1>S2 D.S1<1<S2考点:数列与函数的综合;数列的函数特性.专题:函数的性质及应用;等差数列与等比数列.分析:根据S k=|f k(a1)﹣f k(a0)|+|f k(a2)﹣f k(a1)丨+…+|f k(a99)﹣f k(a98)|,分别求出S1,S2与1的关系,继而得到答案.解答:解:由|()2﹣()2|=•||,故S1=(+++…+)=×=1,由2|﹣﹣()2+()2|=2×||,故S2=2××=<1,即有S1=1>S2,故选:B.点评:本题主要考查了函数的性质,同时考查等差数列的求和公式,关键是求出这两个数与1的关系,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.已知向量=(2,1),=(x,﹣1),且﹣与共线,则x的值为﹣2 .考点:平面向量的坐标运算.专题:平面向量及应用.分析:求出向量﹣,然后利用向量与共线,列出方程求解即可.解答:解:向量=(2,1),=(x,﹣1),﹣=(2﹣x,2),又﹣与共线,可得2x=﹣2+x,解得x=﹣2.故答案为:﹣2.点评:本题考查向量的共线以及向量的坐标运算,基本知识的考查.14.已知x8=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+…+a8(x﹣1)8,则a7= 8 .考点:二项式系数的性质.专题:计算题;二项式定理.分析:将x写成1+(x﹣1),利用二项展开式的通项公式求出通项,令x﹣1的指数为7,求出a7.解答:解:∵x8=[1+(x﹣1)]8,∴其展开式的通项为T r+1=C8r(x﹣1)r,令r=7得a7=C87=8.故答案为:8.点评:本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.关键是将底数改写成右边的底数形式.15.设点P、Q分别是曲线y=xe﹣x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P、Q两点间距离的最小值为.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;两条平行直线间的距离.专题:导数的综合应用.分析:对曲线y=xe﹣x进行求导,求出点P的坐标,分析知道,过点P直线与直线y=x+2平行且与曲线相切于点P,从而求出P点坐标,根据点到直线的距离进行求解即可.解答:解:∵点P是曲线y=xe﹣x上的任意一点,和直线y=x+3上的动点Q,求P,Q两点间的距离的最小值,就是求出曲线y=xe﹣x上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离.由y′=(1﹣x)e﹣x ,令y′=(1﹣x)e﹣x =1,解得x=0,当x=0,y=0时,点P(0,0),P,Q两点间的距离的最小值,即为点P(0,0)到直线y=x+3的距离,∴d min=.故答案为:.点评:此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式,利用了导数与斜率的关系,这是高考常考的知识点,是基础题.16.在平面直角坐标系中有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,P n(a n,b n),…对∀n∈N+,点P n在函数y=a x(0<a<1)的图象上,又点A n(n,0),P n(a n,b n),A n+1(n+1,0)构成等腰三角形,且|P n A n|=|P n A n+1|若对∀n∈N+,以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形,则a的取值范围是<a<1 .考点:数列与函数的综合.专题:函数的性质及应用.分析:由等腰三角形和中点坐标公式,可得a n=n+,b n=,再由构成三角形的条件,结合指数函数的单调性,即可得到a+a2>1,解不等式即可得到a的范围.解答:解:由点A n(n,0),P n(a n,b n),A n+1(n+1,0)构成等腰三角形,且|P n A n|=|P n A n+1|,由中点坐标公式,可得A n A n+1的中点为(n+,0),即有a n=n+,b n=,由0<a<1,可得b n>b n+1>b n+2,以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形,只需b n+1+b n+2>b n,即为+>,即有a+a2>1,解得a>或a<,由0<a<1,则有<a<1.故答案为:<a<1.点评:本题考查指数函数的性质和运用,主要考查指数函数的单调性的运用,同时考查构成三角形的条件,考查运算能力,属于中档题.三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosA=(2c+a)cos(π﹣B)(1)求角B的大小;(2)若b=4,△ABC的面积为,求a+c的值.考点:余弦定理的应用;正弦定理.专题:解三角形.分析:(1)利用正弦定理化简bcosA=(2c+a)cos(π﹣B),通过两角和与差的三角函数求出cosB,即可得到结果.(2)利用三角形的面积求出ac=4,通过由余弦定理求解即可.解答:解:(1)因为bcosA=(2c+a)cos(π﹣B),…(1分)所以sinBcosA=(﹣2sinC﹣sinA)cosB…(3分)所以sin(A+B)=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣…(5分)∴B=…(6分)(2)由=得ac=4…(8分).由余弦定理得b2=a2+c2+ac=(a+c)2﹣ac=16…(10分)∴a+c=2…(12分)点评:本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力.18.4月23人是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”,低于60分钟的学生称为“非读书谜”(1)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关?(2)将频率视为概率,现在从该校大量学生中,用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望E(X)和方程D(X)附:K2=n=a+b+c+d考点:离散型随机变量的期望与方差;独立性检验.专题:概率与统计.分析:(1)利用频率分布直方图,直接计算填写表格,然后利用个数求解K2,判断即可.(2)求出概率的分布列,然后利用超几何分布求解期望与方差即可.解答:解:(1)完成下面的2×2列联表如下≈8.249VB8.249>6.635,故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关…(6分)(2)视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为.由题意可知X~B(3,),P(x=i)=(i=0,1,2,3)…(8分)从而分布列为X 0 1 2 3P.…(10分)E(x)=np=,D(x)=np(1﹣p)=…(12分)点评:本题考查频率分布直方图的应用,对立检验以及二项分布的期望与方差的求法,分布列的求法,考查计算能力.19.已知PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,BA⊥AD,CD=AD=AP=4,AB=1.(1)求证:CD⊥平面ADP;(2)若M为线段PC上的点,当BM⊥AC时,求二面角C﹣AB﹣M的余弦值.考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定.专题:常规题型;空间向量及应用.分析:(1)利用面面垂直证明线面垂直.(2)合理建系写出对应坐标,充分理解BM⊥AC 的意义求得M点坐标解答:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,PA⊂平面ADP,所以平面ADP⊥平面ABCD.…(2分)又因为平面ADP∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,所以CD⊥平面ADP.…(4分)(2)AD,AP,AB两两垂直,建立如图所示空间坐标系,则A(0,0,0),B(0,0,1),C(4,0,4),P(0,4,0),.…(6分)设M(x,y,z),,.所(x,y﹣4,z)=λ(4,﹣4,4),.因为BM⊥AC,所以.,(4λ,4﹣4λ,4λ﹣1)﹣(4,0,4)=0,解,所以M=,.…(8分)设为平面ABM的法向量,则,又因为所以.令为平面ABM的一个法向量.又因为AP⊥平面ABC,所以为平面ABC的一个法向量.…(10分)=,所以二面角C﹣AB﹣M的余弦值为.…(12分)法2:在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H,在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M,连接MB …(6分),因为AP⊥平面ABCD,所以HM⊥平面ABCD.又因为AC⊂平面ABCD,所以HM⊥AC.又BH∩HM=H,BH⊂平面BHM,HM⊂平面BHM,所以AC⊥平面BHM.所以AC⊥BM,点M即为所求点.…(8分)在直角△ABH中,AH=,又AC=,所以.又HM∥AP,所以在△ACP中,.在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N,则在△PCD中,.因为AB∥CD,所以MN∥BA.连接AN,由(1)知CD⊥平面ADP,所以AB⊥平面ADP.所以AB⊥AD,AB⊥AN.所以∠DAN为二面角C﹣AB﹣M的平面角.…(10分)在△PAD中,过点N作NS∥PA交DA于S,则,所以AS=,NS=,所以NA=.所以.所以二面角C﹣AB﹣M的余弦值为.…(12分)点评:本题考查利用面面垂直证明线面垂直,是证明题常见题型.在未知某点坐标时利用条件求出点的坐标时该题的难点也是高考常考题型.20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(1,),离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点P(0,),若cos∠APB=﹣,求直线l的方程.考点:直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的实际背景及作用.专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和点满足方程及a,b,c的关系,即可得到椭圆方程;(Ⅱ)设直线l的方程设为y=kx+t,设A(x1,y1)B(x2,y2),联立椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,以AB为直径的圆过坐标原点,求出中点坐标,再由点到直线距离公式和弦长公式代入化简整理,再由两直线垂直的条件,解方程可得k,进而得到所求直线方程.解答:解:(Ⅰ)由题意得=,且+=1,又a2﹣b2=c2,解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程是+y2=1.(Ⅱ)设直线l的方程设为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,则有x1+x2=,x1x2=,由△>0可得1+4k2>t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=设A,B的中点为D(m,n),则m==﹣,n==因为直线PD与直线l垂直,所以k PD=﹣=得=﹣,△>0可得4k2+1>t2,可得﹣9<t<0,因为cos∠APB=2cos2∠APD﹣1=﹣,所以cos∠APD=,可得tan∠APD=,所以=,由点到直线距离公式和弦长公式可得|PD|=,|AB|=•=•=,由==和=﹣,解得t=﹣1∈(﹣9,0),k=,直线l的方程为y=x﹣1或y=﹣x﹣1.点评:本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理,弦长公式,同时考查圆的性质:直径所对的圆周角为直角,考查直线垂直的条件和直线方程的求法,属于难题.21.已知函数f(x)=e x﹣ax﹣2(e是自然对数的底数a∈R).(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若k为整数,a=1,且当x>0时,f′(x)<1恒成立,其中f′(x)为f(x)的导函数,求k的最大值.考点:利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.专题:函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析:(1)求出导数,讨论a≤0,a>0,求出函数的增区间;(2)运用参数分离可得k<+x,令g(x)=+x(x>0),求出导数,求单调区间,运用零点存在定理,求得零点,即可得到k的最大值.解答:解:(1)f′(x)=e x﹣a.若a≤0,则f′(x)>0恒成立,所以f(x)在区间(﹣∞,+∞)上单调递增,若a>0,当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(lna,+∞)上单调递增.综上,当a≤0时,f(x)的增区间为(﹣∞,+∞);当a>0时,f(x)的增区间为(lna,+∞);(2)由于a=1,所以f′(x)<1⇔(k﹣x)(e x﹣1)<x+1,当x>0时,e x﹣1>0,故(k﹣x)(e x﹣1)<x+1⇔k<+x﹣﹣﹣﹣①,令g(x)=+x(x>0),则g′(x)=+1=函数h(x)=e x﹣x﹣2在(0,+∞)上单调递增,而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,即g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为a,则a∈(1,2).当x∈(0,a)时,g′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,g′(x)>0;所以,g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(a).由g′(a)=0可得e a=a+2,所以,g(a)=a+1∈(2,3)由于①式等价于k<g(a).故整数k的最大值为2.点评:本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,同时考查不等式恒成立思想的运用,运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键.四、选修4-1:几何证明选讲22.如图:⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,=,DE交AB于点F.(1)求证:O,C,D,F四点共圆;(2)求证:PF•PO=PA•PB.考点:相似三角形的判定.专题:选作题;推理和证明.分析:(1)连接OC,OE,证明∠AOC=∠CDE,可得O,C,D,F四点共圆;(2)利用割线定理,结合△PDF∽△POC,即可证明PF•PO=PA•PB.解答:证明:(1)连接OC,OE,因为=,所以∠AOC=∠AOE=∠COE,…(2分)又因为∠CDE=∠COE,则∠AOC=∠CDE,所以O,C,D,F四点共圆.…(5分)(2)因为PBA和PDC是⊙O的两条割线,所以PD•DC=PA•PB,…(7分)因为O,C,D,F四点共圆,所以∠PDF=○POC,又因为∠DPF=∠OPC,则△PDF∽△POC,所以,即PF•PO=PD•DC,则PF•PO=PA•PB.…(10分)点评:本题考查四点共圆,考查割线定理,三角形相似的性质,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.五、选修4-4:坐标系与参数方程23.在平面直角坐标系xOy中,直l的参数方程(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:ρ=4cosθ.(1)直线l的参数方程化为极坐标方程;(2)求直线l的曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)考点:点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)将直线直l的参数方程(t为参数),消去参数t,即可化为普通方程,将代入=0可得极坐标方程.(2)C曲线C的极坐标方程为:ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,利用化为普通方程,与直线方程联立可得交点坐标,再化为极坐标即可.解答:解:(1)将直线直l的参数方程(t为参数),消去参数t,化为普通方程=0,将代入=0得=0.(2)C曲线C的极坐标方程为:ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,化为普通方程为x2+y2﹣4x=0.联立解得:或,∴l与C交点的极坐标分别为:,.点评:本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的交点,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.六、选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=|2x﹣a|+|2x+1|(a>0),g(x)=x+2.(1)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集;(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.考点:绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.专题:不等式的解法及应用.分析:(1)当a=1时,不等式等价于3个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(2)由题意可得,|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立.令h(x)=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2,化简它的解析式,求得它的最小值,再令最小值大于或等于零,求得a的范围.解答:解:(1)当a=1时,不等式f(x)≤g(x)即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2,等价于①,或②,或③.解①求得 x无解,解②求得0≤x<,解③求得≤x≤,综上,不等式的解集为{x|0≤x≤}.(2)由题意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立,转化为|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立.令h (x )=|2x ﹣a|+|2x+1|﹣x ﹣2= (a >0),易得h (x )的最小值为 ﹣1,令 ﹣1≥0,求得a ≥2.点评: 本题主要考查带有绝对值的函数,函数的恒成立问题,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.。

【河北省石家庄市第二中学】2017届高考高三模拟联考理科数学试卷-答案

【河北省石家庄市第二中学】2017届高考高三模拟联考理科数学试卷-答案

河北省石家庄市第二中学2017届高考高三模拟联考理科数学试卷答 案一、选择题(每小题5分,共60分)1~5.DBCBC 6~10.ABBAD 11~12.BC 二、填空题(每小题5分,共20分)13.240 1415.34a ≤ 16.2 三、解答题17.解:(1)当3n ≥时,可得n n 1n 1n 2n 1(42)(42)04n S S S S a a ---------=⇒= 又因为12a =,代入已知等式,可得28a =,满足上式.所以数列是首项为12a =,公比为4的等比数列,故:121242n n n a --==g . (2)212log 221n n b n -==-,213...(21)n T n n =+++-=.22211111...12nk kTn ==+++∑≤11111+++...+221223(1)n n n=-⨯⨯-⨯<. 18.解:(1)因为A ,B 是PQ 的三等分点,所以PA AB BQ CA CB ====, 所以是等边三角形,又因为M 是AB 的中点, 所以CM AB ⊥.因为,AB BC B =I ,所以平面ABC , 又EA DB ∥,所以EA ⊥平面ABC ;CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥.因为AM EA A =I , 所以CM ⊥平面EAM . 因为EM ⊂平面EAM , 所以CM EM ⊥.(2)以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴,过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -.因为DB ⊥平面ABC ,所以DBM ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. 由题意得tan 2DBDAB MB∠==,即BD =2MB , 从而BD AC =.不妨设2AC =,又2AC CE =,则CM =1AE =. 故(0,1,0)B,(0C ,(0,1,2)D ,(0,1,1)E -.于是1,0)BC =-u u u r ,(0,0,2)BD =u u u r,(1,1)CE =-u u u r,(CD =u u u r, 设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111(,,)m x y z =u r ,222=(,,)n x y z r, 由=0=0m BC m BD ⎧⎪⎨⎪⎩u r u u u r g u r u u u r g得111020y z -==⎪⎩,令11x =,得1y所以m u r.由=0=0n CE n CD ⎧⎪⎨⎪⎩r u u u r g r u u u r g得222222020y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩,令21x =得2y =2z =.所以(1,n =r .所以cos ,0||||m nm n m n ==u r u u ru r r g u r r . 所以二面角B CD E --的平面角的大小为90︒.19.解:(1)因为选修数学学科人数占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得:180x =, 又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法:抽取10人中选修线性代数的人数为:18010=3600⨯人;选修微积分的人数为:18010=3600⨯人;选修大学物理的人数为:12010=2600⨯人;选修商务英语的人数为:6010=1600⨯人;选修文学写作的人数为:6010=1600⨯人;(1)现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性相同,令事件A 选中的3人至少两人选修线性代数,事件选中的3人有两人选修线性代数,事件选中的3人都选修线性代数,且为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+=. (2)记为3人中选修线性代数的人数,的可能取值为0,1,2,3,记为3人中选修微积分的人数;:B :C ,B C X X Y的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||x X Y =-的可能取值为0,1,2,3;111333443310101(0)(0,0)(1,1)3C C C C P P X Y P X Y C C ξ====+===+=g g ; 123233443310109(1)(0,1)(1,0)(1,2)(2,1)2220C C C C P P X Y P X Y P X Y P X Y C C ξ====+==+==+===+=g g g g ; 21343101(2)(0,2)(2,0)25C C P P X Y P X Y C ξ====+====g g ; 333101(3)(3,0)(3,0)260C P P X Y P X Y C ξ====+====g ,所以的分布列为:所以19119(3)012332056010E ξ==⨯⨯⨯+⨯+⨯=.20.解:(1)设椭圆的焦距为,由题意可得:2c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2226,2,4a b c ===,故椭圆方程为:22162x y +=. (2)①由题意可知直线的斜率存在,设直线l 的方程:y kx m =+,因为点(3,t)M 在直线上,所以3t k m =+,联立直线与椭圆方程: 由22360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩可得222(13)6360k x kmx m +++-=,又直线与椭圆有且只有一个公共点,故0D =,即2262m k =+. 由韦达定理,可得P 点坐标223(,)1313km mP k k -++.因为直线PQ 过椭圆右焦点为(2,0)F ,所以直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k==---; 而直线OM 的斜率333OM t k mk +==,所以: 233263OM PQ m k m k k km k +=---g g 2231=3263km m km k +---g 2311=333km km m =---g . ②因为(1,)FM t =u u u u r ,222326(,)1313km k mFP k k ---=++u u u r ,所以22326=013mt km k FM FP k ---=+u u u u r u u u r g ,即FM PF ⊥; Y x 2c l所以三角形PQM 的面积1||||2PQM S PQ MF =△;||MF ,由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程:2x ty =-+,与椭圆方程联立可得:|PQ所以PQMS =△23(3)t m m +=g,则PQM S =△故PQMS △当且仅当0t =时成立. 21.解:(1)由题意可得:1()2f x ax x'=-,(1)1f '=-,可得:1a =; 又2()()ln 31y f x xf x x x '=+=-+,所以21166(0)x y x x x x-'=-=>;当6x ∈时,0y '>,y 单调递增;当时)x ∈+∞,0y '<,y单调递减;故函数的单调增区间为x ∈.(2)21()ln (1b)2g x x x x =+-+,21(1)1()(1)x b x g x x b x x -++'=+-+=,因为1x ,2x 是()g x 的两个极值点,故1x ,2x 是方程2(1)10x b x -++=的两个根,由韦达定理可知:121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩,12x x Q <,可知101x <<,又1111+=1+e+e x b x ≥, 令1t x x =+,可证t 在(0,1)递减,由11()()e h x h ≥,从而可证110ex <≤. 所以1121212122ln 1()()()()(1)()ln 2x g x g x x x x x b x x x -=+-+-+-1121212122ln 1=()()()()ln 2x x x x x x x x x x +-+-+- 2221121211111=ln +(0)222ex x x x x --<≤.令222111()ln ,(0,22e h x x x x x ⎤=-+∈⎥⎦,321()h x x x x'=--422233-21(1)=0x x x x x +---=≤,所以单调减,故2min21e 1()()2e 22e h x h ==--,所以22e 1222e k --≤,即2max 2e 1222ek =--.22.解:(1)1C 的普通方程为24y x =,2C 的极坐标方程为=2sin ρθ. (2)由(1)可得1C 的极坐标方程为2sin =4cos ρθθ,与直线=a θ联立可得:24cos sin ar a=,即24cos sin a OP a =,()h x同理可得2sin OQ a =.所以8cos 8||||sin tan OP OQ ααα==g ,在ππ64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,上单调递减,所以max ||||OP OQ =g 23.(1)解:当3a =,()|23|3f x x =-+.解不等式|23|36x -+≤,得03x ≤≤, 因此,()6f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤.(2)当x ∈R 时,()()|2||12||212|f x g x x a a x x a x a +=-++--+-+≥=|1|+a a -, 当12x =时等号成立, 所以当x ∈R 时,2()()213f x g x a +-≥等价于2|1|+213a a a --≥.①当1a ≤时,①等价于21213a a a -+-≥,解得a , 当1a >时,①等价于260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.河北省石家庄市第二中学2017届高考高三模拟联考理科数学试卷解析1.略2.略3.略4.略5.略6.略7.略8.略9.略10.11.12.13.略14.略15.16.17.18.19.20.21.22.23.。

河北省石家庄市2017届高中毕业班第二次模拟考试(理数)

河北省石家庄市2017届高中毕业班第二次模拟考试(理数)

省市2017届高中毕业班第二次模拟考试数学(理科)本试卷共23小题, 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前考生务必将自己的、号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y =ln(1)y x =-的定义域分别为M 、N ,则MN =( )A .(1,2]B .[1,2]C .(,1][2,)-∞+∞D .(,1)[2,)-∞+∞2.若2iz i=+,则复数z 对应的点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知向量)1,(),,1(m b m a ==,则“1m =”是“b a //”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.现有3道理科题和2道文科题共5道题,若不放回地一次抽取2道题,则在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为( ) A .310B .25C .12D .355.已知角α(0360α︒≤<︒)终边上一点的坐标为(sin 235,cos 235)︒︒,则α=( ) A .215︒ B .225︒C .235︒D .245︒6.已知ln ()xf x x=,其中e 为自然对数的底数,则( ) A .(2)()(3)f f e f >> B .(3)()(2)f f e f >> C .()(2)(3)f e f f >>D .()(3)(2)f e f f >>7.如图是计算11113531++++…的值的程序框图,则图中①②处 应填写的语句分别是( )A .2n n =+,16?i >B .2n n =+,16?i ≥C .1n n =+,16i >?D .1n n =+,16?i ≥ 8.某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )A .34π B .24π+C .12π+D .324π+9.实数x ,y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时,目标函数z x my =+的最大值等于5,则实数m 的值为( )A .2B .3C .4D .510.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体,截面与底面所成的角为45︒,过圆柱的轴的平面截该几何体所得 的四边形''ABB A 为矩形,若沿'AA 将其侧面剪开,其侧面展 开图形状大致为( )11.如图,两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b+=>>和22221()()x y ma mb +=(0a b >>,1m >),从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ,若AC 、BD 的斜率之积恒为6251-,则椭圆的离心率为( )A .35B .34C .45D 712.若函数32()233f x x ax bx b =+-+在(0,1)上存在极小值点,则实数b 的取值围是( )A .(1,0]-B .(1,)-+∞C .[0,)+∞D .(1,)+∞第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若1(3)nx x-的展开式中二项式系数和为64,则展开式的常数项为 .(用数字作答)14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>,0ϕπ<<)的图象如图所示,则(0)f 的值为 .15.双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)上一点(3,4)M -关于一条渐进线的对称点恰为右焦点2F ,则该双曲线的标准方程为 .16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三条边长求三角形面积,若三角形的三边长为a ,b ,c ,其面积()()()S p p a p b p c =---,这里1()2p a b c =++.已知在ABC ∆中,6BC =,2AB AC =,其面积取最大值时sin A = .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+…,*n N ∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若2211log log n n n b a a +=⋅,12n n T b b b =+++…,求证:对任意的*n N ∈,34n T <.18.(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDEF 中,ABCD 为直角 梯形,//AB CD ,90DAB ∠=︒,四边形ADEF 为 等腰梯形,//EF AD ,已知AE EC ⊥, 2AB AF EF ===,4AD CD ==.(Ⅰ)求证:平面ABCD ⊥平面ADEF ;(Ⅱ)求直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值. 19.(本小题满分12分)天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验,经过分析推断得到的,在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现,企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.(Ⅰ)天气预报说,在今后的四天中,每一天降雨的概率均为40%,求四天中至少有两天降雨的概率;(Ⅱ)经过数据分析,一天降雨量的大小x (单位:毫米)与其出售的快餐份数y 成线性相关关系,该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下:试建立y 时需要准备的快餐份数.(结果四舍五入保留整数)附注:回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-20.(本小题满分12分)已知圆C :222(1)x y r -+=(1r >),设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点,过点A 作圆C 的弦AM ,并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上.(Ⅰ)求点M 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)延长MC 交曲线E 于点N ,曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ,试判断以点B 为圆心,线段BC 长为半径的圆与直线MN 的位置关系,并证明你的结论. 21.(本小题满分12分) 设函数()x f x e ax a =-+,其中e 为自然对数的底数,其图象与x 轴交于A 1(,0)x ,2(,0)B x 两点,且12x x <.(Ⅰ)数a 的取值围; (Ⅱ)证明:122'()03x x f +<('()f x 为函数()f x 的导函数). 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos a ρθ=(0a >),Q 为l 上一点,以OQ 为边作等边三角形OPQ ,且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列.(Ⅰ)当点Q 在l 上运动时,求点P 运动轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线C :222x y a +=,经过伸缩变换'2'x xy y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ,试判断点P 的轨迹与曲线'C 是否有交点,如果有,请求出交点的直角坐标,没有则说明理由.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()2|1||1|f x x x =+--.(Ⅰ)求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若正数a 、b 满足2a b abm +=,求2a b +的最小值.数学(理科)参考答案一、选择题1-5DDACA 6-10 DADBA 11-12AB二、填空题13. 540- 14 . 2215.221520x y -= 16. 35三、解答题17.解:(1)当1n >时,1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+①(②……………………2分①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅所以2nn a =,……………………3分当1n =时,12a =,所以2nn a =,*n N ∈ …………………………………………4分(2)因为2nn a =,22211111()log log (2)22n n n b a a n n n n +===-⋅++.……………………6分因此1111111111111112322423521122n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………………………8分111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭…………………10分3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭ 所以,对任意*n N ∈,34n T <.…………………12分18.(1)证明:取AD 中点M ,连接EM ,AF =EF =DE =2,AD =4,可知EM =12AD ,∴AE ⊥DE ,………………2分又AE ⊥EC ,DE EC E = ∴AE ⊥平面CDE , ∴AE ⊥CD , 又CD ⊥AD , AD AE A = ,∴CD ⊥平面ADEF ,CD ⊂ 平面ABCD , ∴平面ABCD ⊥平面ADEF ;………………………………5分(2)如图,作EO ⊥AD ,则EO ⊥平面ABCD ,故以O 为原点,分别以,,OA DC OE 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间平面直角坐标系,依题意可得3)E ,(3,0,0)A ,(1,4,0)C -,3)F ,所以(3,0,3)EA =- , (4,4,0)AC =-,(3,3)CF =-…………………………7分设(,,)n x y z = 为平面EAC 的法向量,则00n EA n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30440x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 不妨设x =1, 可得(1,1,3)n = ,…………………………9分所以140cos ,70||||285CF n CF n CF n <>====3535, ………………………………11分 直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值为3535………………………………12分19.解:(1)四天均不降雨的概率413815625P ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 四天中恰有一天降雨的概率31243221655625P C ⎛⎫==⎪⎝⎭, ……………………………………2分所以四天中至少有两天降雨的概率128121632811625625625P P P =--=--=………4分 (2)由题意可知1234535x ++++==, …………………………………………5分50+85+115+140+160=1105y =………6分51521()()275==27.510()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑, (8)分==27.5a y bx -所以,y 关于x 的回归方程为:ˆ27.527.5y x =+. ………10分将降雨量6x =代入回归方程得: ˆ27.5627.5192.5y=⨯+=193≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份. …………………………12分20.(Ⅰ)方法一:设M (x ,y ), 由题意可知,A (1-r ,0),因为弦AM 的中点恰好落在y 轴上,所以x=r-1>0,即r=x+1, ………………2分所以222(1)(1)x y x -+=+,化简可得y 2=4x (x>0)所以,点M 的轨迹E 的方程为:y 2=4x (x>0)………………………4分 方法二:设M (x ,y ),由题意可知,A (1-r ,0),AM 的中点,x>0, 因为C (1,0),,.……2分在⊙C 中,因为CD ⊥DM ,所以,,所以.所以,y 2=4x (x>0)所以,点M 的轨迹E 的方程为:y 2=4x (x>0)………4分 (Ⅱ) 设直线MN 的方程为1x my =+,11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩,可得12124,4y y m y y +==-,…………………6分 由(1)可知,11r x -=,则点A 1(,0)x -,所以直线AM 的方程为1122y y x y =+, 22222222()44044y y k x y ky y y ky y x ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩,0∆=,可得22k y =, 直线BN 的方程为2222y y x y =+,………………………8分 联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===,所以点B (-1,2m )………………10分||BC =,2d ===122+m ,B ∴与直线MN 相切…………12分21.【解】(1)()e x f x a '=-.若0a ≤,则()0f x '>,则函数()f x 是单调增函数,这与题设矛盾.所以0a >,令()0f x '=,则ln x a =.................................................................................. 2分当ln x a <时,()0f x '<,()f x 是单调减函数;ln x a >时,()0f x '>,()f x 是单调增函数;于是当ln x a =时,()f x 取得极小值.因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ,,2(0)B x ,(x 1<x 2),所以(ln )(2ln )0f a a a =-<,即2e a >................................................. 4分此时,存在1ln (1)e 0a f <=>,;(或寻找f (0))存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+,3230a a a >-+>,又由()f x 在(ln )a -∞,及(ln )a +∞,上的单调性及曲线在R 上不间断,可知2e a >为所求取值围. ................................................................................................ 5分(2)因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,,两式相减得2121e e x x a x x -=-. ......................7分记21(0)2x x s s -=>,则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-, …………………9分设()2(e e )s s g s s -=--,则()2(e e )0s s g s -'=-+<,所以()g s 是单调减函数, 则有()(0)0g s g <=,而122e02x x s+>,所以()1202x xf +'<. 又()e x f x a '=-是单调增函数,且3222121x x x x +>+, 所以0)32('21<+x x f 。

2017石家庄二模(理数)

2017石家庄二模(理数)

河北省石家庄市2017届高中毕业班第二次模拟考试数学(理科)本试卷共23小题, 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y =ln(1)y x =-的定义域分别为M 、N ,则MN =( )A .(1,2]B .[1,2]C .(,1][2,)-∞+∞D .(,1)[2,)-∞+∞2.若2iz i=+,则复数z 对应的点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知向量)1,(),,1(m b m a ==,则“1m =”是“b a //”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.现有3道理科题和2道文科题共5道题,若不放回地一次抽取2道题,则在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为( ) A .310B .25C .12D .355.已知角α(0360α︒≤<︒)终边上一点的坐标为(sin 235,cos 235)︒︒,则α=( ) A .215︒ B .225︒C .235︒D .245︒6.已知ln ()xf x x=,其中e 为自然对数的底数,则( ) A .(2)()(3)f f e f >> B .(3)()(2)f f e f >>C .()(2)(3)f e f f >>D .()(3)(2)f e f f >>7.如图是计算11113531++++…的值的程序框图,则图中①②处 应填写的语句分别是( )A .2n n =+,16?i >B .2n n =+,16?i ≥C .1n n =+,16i >?D .1n n =+,16?i ≥ 8.某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )A .34π B .24π+C .12π+D .324π+ 9.实数x ,y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时,目标函数z x my =+的最大值等于5,则实数m 的值为( )A .2B .3C .4D .510.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体,截面与底面所成的角为45︒,过圆柱的轴的平面截该几何体所得 的四边形''ABB A 为矩形,若沿'AA 将其侧面剪开,其侧面展 开图形状大致为( )11.如图,两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b+=>>和22221()()x y ma mb +=(0a b >>,1m >),从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ,若AC 、BD 的斜率之积恒为6251-,则椭圆的离心率为( )A .35B .34C .45D 7 12.若函数32()233f x x ax bx b =+-+在(0,1)上存在极小值点,则实数b 的取值范围是( ) A .(1,0]-B .(1,)-+∞C .[0,)+∞D .(1,)+∞第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若1(3)nx x-的展开式中二项式系数和为64,则展开式的常数项为 .(用数字作答)14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>,0ϕπ<<)的图象如图所示,则(0)f 的值为 .15.双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)上一点(3,4)M -关于一条渐进线的对称点恰为右焦点2F ,则该双曲线的标准方程为 .16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三条边长求三角形面积,若三角形的三边长为a ,b ,c ,其面积()()()S p p a p b p c =---,这里1()2p a b c =++.已知在ABC ∆中,6BC =,2AB AC =,其面积取最大值时sin A = .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+…,*n N ∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若2211log log n n n b a a +=⋅,12n n T b b b =+++…,求证:对任意的*n N ∈,34n T <.18.(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDEF 中,ABCD 为直角 梯形,//AB CD ,90DAB ∠=︒,四边形ADEF 为 等腰梯形,//EF AD ,已知AE EC ⊥, 2AB AF EF ===,4AD CD ==.(Ⅰ)求证:平面ABCD ⊥平面ADEF ; (Ⅱ)求直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值. 19.(本小题满分12分)天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验,经过分析推断得到的,在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现,企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.(Ⅰ)天气预报说,在今后的四天中,每一天降雨的概率均为40%,求四天中至少有两天降雨的概率;(Ⅱ)经过数据分析,一天内降雨量的大小x (单位:毫米)与其出售的快餐份数y 成线性相关关系,该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下:试建立y 时需要准备的快餐份数.(结果四舍五入保留整数)附注:回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-20.(本小题满分12分)已知圆C :222(1)x y r -+=(1r >),设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点,过点A 作圆C 的弦AM ,并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上.(Ⅰ)求点M 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)延长MC 交曲线E 于点N ,曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ,试判断以点B 为圆心,线段BC 长为半径的圆与直线MN 的位置关系,并证明你的结论. 21.(本小题满分12分) 设函数()x f x e ax a =-+,其中e 为自然对数的底数,其图象与x 轴交于A 1(,0)x ,2(,0)B x 两点,且12x x <.(Ⅰ)求实数a 的取值范围; (Ⅱ)证明:122'()03x x f +<('()f x 为函数()f x 的导函数). 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos a ρθ=(0a >),Q 为l 上一点,以OQ 为边作等边三角形OPQ ,且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列.(Ⅰ)当点Q 在l 上运动时,求点P 运动轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线C :222x y a +=,经过伸缩变换'2'x xy y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ,试判断点P 的轨迹与曲线'C 是否有交点,如果有,请求出交点的直角坐标,没有则说明理由.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()2|1||1|f x x x =+--.(Ⅰ)求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若正数a 、b 满足2a b abm +=,求2a b +的最小值.数学(理科)参考答案一、选择题1-5DDACA 6-10 DADBA 11-12AB二、填空题13. 540- 14 . 2215.221520x y -=16. 35三、解答题17.解:(1)当1n >时,1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+①(②……………………2分①-②得1(1)2(2)22n n nn na n n n +=---=⋅所以2n n a =,……………………3分当1n =时,12a =,所以2nn a =,*n N ∈ …………………………………………4分(2)因为2n n a =,22211111()log log (2)22n n n b a a n n n n +===-⋅++.……………………6分因此1111111111111112322423521122n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………………………8分111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭…………………10分3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭ 所以,对任意*n N ∈,34n T <.…………………12分18.(1)证明:取AD 中点M ,连接EM ,AF =EF =DE =2,AD =4,可知EM =12AD ,∴AE ⊥DE ,………………2分又AE ⊥EC ,DE EC E = ∴AE ⊥平面CDE , ∴AE ⊥CD , 又CD ⊥AD , AD AE A = ,∴CD ⊥平面ADEF ,CD ⊂ 平面ABCD , ∴平面ABCD ⊥平面ADEF ;………………………………5分(2)如图,作EO ⊥AD ,则EO ⊥平面ABCD ,故以O 为原点,分别以,,OA DC OE 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间平面直角坐标系,依题意可得3)E ,(3,0,0)A ,(1,4,0)C -,3)F ,所以(3,0,3)EA =- , (4,4,0)AC =-,(3,3)CF =-…………………………7分设(,,)n x y z = 为平面EAC 的法向量,则00n EA n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即330440x z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 不妨设x =1, 可得(1,1,3)n = ,…………………………9分所以2140cos ,70||||285CF n CF n CF n <>====3535, ………………………………11分 直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值为3535………………………………12分19.解:(1)四天均不降雨的概率413815625P ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 四天中恰有一天降雨的概率31243221655625P C ⎛⎫==⎪⎝⎭, ……………………………………2分所以四天中至少有两天降雨的概率128121632811625625625P P P =--=--=………4分 (2)由题意可知1234535x ++++==, …………………………………………5分50+85+115+140+160=1105y =………6分51521()()275==27.510()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑, (8)分==27.5a y bx -所以,y 关于x 的回归方程为:ˆ27.527.5y x =+. ………10分将降雨量6x =代入回归方程得: ˆ27.5627.5192.5y=⨯+=193≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份. …………………………12分20.(Ⅰ)方法一:设M (x ,y ), 由题意可知,A (1-r ,0),因为弦AM 的中点恰好落在y 轴上,所以x=r-1>0,即r=x+1, ………………2分所以222(1)(1)x y x -+=+,化简可得y 2=4x (x>0)所以,点M 的轨迹E 的方程为:y 2=4x (x>0)………………………4分 方法二:设M (x ,y ),由题意可知,A (1-r ,0),AM 的中点,x>0,因为C (1,0),,.……2分在⊙C 中,因为CD ⊥DM ,所以,,所以.所以,y 2=4x (x>0)所以,点M 的轨迹E 的方程为:y 2=4x (x>0) (4)分(Ⅱ) 设直线MN 的方程为1x my =+,11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩,可得12124,4y y m y y +==-,…………………6分 由(1)可知,11r x -=,则点A 1(,0)x -,所以直线AM 的方程为1122y y x y =+, 22222222()44044y y k x y ky y y ky y x ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩,0∆=,可得22k y =, 直线BN 的方程为2222y y x y =+,………………………8分 联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===,所以点B (-1,2m )………………10分2||44BC m =+,222441d m m ==++=122+m ,B ∴与直线MN 相切…………12分21.【解】(1)()e x f x a '=-.若0a ≤,则()0f x '>,则函数()f x 是单调增函数,这与题设矛盾.所以0a >,令()0f x '=,则ln x a =.................................................................................. 2分当ln x a <时,()0f x '<,()f x 是单调减函数;ln x a >时,()0f x '>,()f x 是单调增函数;于是当ln x a =时,()f x 取得极小值.因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ,,2(0)B x ,(x 1<x 2), 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<,即2e a >................................................. 4分 此时,存在1ln (1)e 0a f <=>,;(或寻找f (0))存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+,3230a a a >-+>,又由()f x 在(ln )a -∞,及(ln )a +∞,上的单调性及曲线在R 上不间断,可知2e a >为所求取值范围. ................................................................................................ 5分(2)因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,,两式相减得2121e e x x a x x -=-. ......................7分记21(0)2x x s s -=>,则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x x f s x x s++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-, …………………9分设()2(e e )s s g s s -=--,则()2(e e )0s s g s -'=-+<,所以()g s 是单调减函数, 则有()(0)0g s g <=,而122e02x x s+>,所以()1202x x f +'<. 又()e x f x a '=-是单调增函数,且3222121x x x x +>+, 所以0)32('21<+x x f 。

2017年河北省石家庄二中高考数学三模试卷(理科)(解析版)

2017年河北省石家庄二中高考数学三模试卷(理科)(解析版)

2017年河北省石家庄二中高考数学三模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U=R,集合M=,则M∩N=()A.{x|﹣1<x≤0}B.{x|0≤x<4}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}2.(5分)若复数z=(i是虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()A.16 B.17 C.18 D.194.(5分)正项等比数列{a n}中,a1+a4+a7=2,a3+a6+a9=18,则{a n}的前9项和S9=()A.14 B.26 C.30 D.295.(5分)已知函数f(x)=,若f(2﹣a)=1,则f(a)=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.26.(5分)斐波拉契数列0,1,1,2,3,5,8…是数学史上一个著名的数列,定义如下:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n﹣1)+F(n﹣2)(n≥2,n∈N).某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图,那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是()A.c=a,i≤14 B.b=c,i≤14 C.c=a,i≤15 D.b=c,i≤157.(5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(x)的递增区间是()A.[6k﹣1,6k+2](k∈z)B.[6k﹣4,6k﹣1](k∈z)C.[3k﹣1,3k+2](k∈z)D.[3k﹣4,3k﹣1](k∈z)8.(5分)在一次实验中,同时抛掷4枚均匀的硬币16次,设4枚硬币正好出现3枚正面向上,1枚反面向上的次数为ξ,则ξ的方差是()A.3 B.4 C.1 D.9.(5分)是展开式的常数项为()A.120 B.40 C.﹣40 D.8010.(5分)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体最长的棱长度为()A.B.C.3 D.11.(5分)已知双曲线C:的渐近线方程为y=±x,左、右焦点分别为F1、F2,M为双曲线C的一条渐近线上某一点,且∠OMF2=,则双曲线C的焦距为()A.B.16 C.8 D.12.(5分)已知函数f(x)=,则函数F(x)=f[f(x)]﹣af (x)﹣的零点个数是4个时,下列选项是a的取值范围的子集的是()A.B.C.D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)=.14.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则x2+y2+2(x﹣y)的最小值为.15.(5分)已知G为△ABC所在平面上一点,且++=,∠A=60°,•=2,则||的最小值为.16.(5分)如图所示的“数阵”的特点是:毎行每列都成等差数列,则数字37在图中出现的次数为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sinC+cosC).(1)求角B的大小;(2)若A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABCD面积的最大值.18.(12分)如图,以A、B、C、D、E为顶点的六面体中,△ABC和△ABD均为等边三角形,且平面ABC⊥平面ABD,EC⊥平面ABC,EC=,AB=2.(1)求证:DE⊥平面ABD;(2)求二面角D﹣BE﹣C的余弦值.19.(12分)近代统计学的发展起源于二十世纪初,它是在概率论的基础上发展起来的,统计性质的工作可以追溯到远古的“结绳记事”和《二十四史》中大量的关于我人口、钱粮、水文、天文、地震等资料的记录.近几年,雾霾来袭,对某市该年11月份的天气情况进行统计,结果如下:表一由于此种情况某市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策.下表是一个调査机构对比以上两年11月份(该年不限行30天、次年限行30天共60天)的调查结果: 表二(1)请由表一数据求a ,b ,并求在该年11月份任取一天,估计该市是晴天的概率;(2)请用统计学原理计算若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系,则限行时有多少天没有雾霾?(由于不能使用计算器,所以表中数据使用时四舍五入取整数) .20.(12分)已知椭圆的离心率e=,左、右焦点分别为F 1、F 2,A 是椭圆在第一象限上的一个动点,圆C 与F 1A 的延长线,F 1F 2的延长线以及线段AF 2都相切,M (2,0)为一个切点.(1)求椭圆方程;(2)设,过F2且不垂直于坐标轴的动点直线l交椭圆于P,Q两点,若以NP,NQ为邻边的平行四边形是菱形,求直线l的方程.21.(12分)已知函数p(x)=lnx﹣x+4,q(x)=.(1)若函数y=p(x),y=q(x)的图象有平行于坐标轴的公切线,求a的值;(2)若关于x的不等式p(x)﹣4<q(x)的解集中有且只有两个整数,求a 的取值范围.选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为,若以直角坐标系的原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0.(1)求曲线E的普通方程和椭圆C的参数方程;(2)已知A,B分别为两曲线上的动点,求|AB|的最大值.选修4-5:不等式讲23.已知不等式|x﹣a|+|2x﹣3|>.(1)已知a=2,求不等式的解集;(2)已知不等式的解集为R,求a的范围.2017年河北省石家庄二中高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U=R,集合M=,则M∩N=()A.{x|﹣1<x≤0}B.{x|0≤x<4}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}【解答】解:M={x|x≥0},则M∩N={x|0≤x<4},故选:B.2.(5分)若复数z=(i是虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:∵i4=1,∴i2017=(i4)504•i═i.∴复数z====+i,则复数z在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B.3.(5分)某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()A.16 B.17 C.18 D.19【解答】解:∵从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本,∴系统抽样的分段间隔为=25,设第一部分随机抽取一个号码为x,则抽取的第18编号为x+17×25=443,∴x=18.故选:C.4.(5分)正项等比数列{a n}中,a1+a4+a7=2,a3+a6+a9=18,则{a n}的前9项和S9=()A.14 B.26 C.30 D.29【解答】解:在正项等比数列{a n}中,=q2==9,则q=3,则a2+a5+a8=q(a1+a4+a7)=3×2=6,则{a n}的前9项和S9=a1+a4+a7+a2+a5+a8+a3+a6+a9=2+18+6=26,故选:B.5.(5分)已知函数f(x)=,若f(2﹣a)=1,则f(a)=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2【解答】解:当2﹣a≥2,即a≤0时,22﹣a﹣2﹣1=1,解得a=﹣1,则f(a)=f(﹣1)=﹣log2[3﹣(﹣1)]=﹣2,当2﹣a<2,即a>0时,﹣log2[3﹣(2﹣a)]=1,解得a=﹣,舍去.∴f(a)=﹣2.故选:A.6.(5分)斐波拉契数列0,1,1,2,3,5,8…是数学史上一个著名的数列,定义如下:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n﹣1)+F(n﹣2)(n≥2,n∈N).某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图,那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是()A.c=a,i≤14 B.b=c,i≤14 C.c=a,i≤15 D.b=c,i≤15【解答】解:依题意知,程序框图中变量S为累加变量,变量a,b,c(其中c=a+b)为数列连续三项,在每一次循环中,计算出S的值后,变量b的值变为下一个连续三项的第一项a,即a=b,变量c的值为下一个连续三项的第二项b,即b=c,所以矩形框应填入b=c,又程序进行循环体前第一次计算S的值时已计算出数列的前两项,因此只需要循环12次就完成,所以判断框中应填入i≤14.故选:B.7.(5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(x)的递增区间是()A.[6k﹣1,6k+2](k∈z)B.[6k﹣4,6k﹣1](k∈z)C.[3k﹣1,3k+2](k∈z)D.[3k﹣4,3k﹣1](k∈z)【解答】解:|AB|=5,|y A﹣y B|=4,所以|x A﹣x B|=3,即=3,所以T==6,ω=;∵f(x)=2sin(x+φ)过点(2,﹣2),即2sin(+φ)=﹣2,∴sin(+φ)=﹣1,∵0≤φ≤π,∴+φ=,解得φ=,函数为f(x)=2sin(x+),由2kπ﹣≤x+≤2kπ+,得6k﹣4≤x≤6k﹣1,故函数单调递增区间为[6k﹣4,6k﹣1](k∈Z).故选:B.8.(5分)在一次实验中,同时抛掷4枚均匀的硬币16次,设4枚硬币正好出现3枚正面向上,1枚反面向上的次数为ξ,则ξ的方差是()A.3 B.4 C.1 D.【解答】解:设4枚硬币正好出现3枚正面向上,1枚反面向上的概率p=()4=,在一次实验中,同时抛掷4枚均匀的硬币16次,则ξ~(16,),则Dξ=16××=3,故选:A.9.(5分)是展开式的常数项为()A.120 B.40 C.﹣40 D.80【解答】解:==•(x2+1)•(32x10﹣80x8+80x6﹣40x4+10x2﹣1),所以其展开式的常数项为•1•80x6+•x2•(﹣40x4)=80﹣40=40.故选:B.10.(5分)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体最长的棱长度为()A.B.C.3 D.【解答】解:由三视图可知:该几何体为三棱锥P﹣ABC.由正方体的性质可得:这个几何体最长的棱长度为PC=2.故选:D.11.(5分)已知双曲线C:的渐近线方程为y=±x,左、右焦点分别为F1、F2,M为双曲线C的一条渐近线上某一点,且∠OMF2=,则双曲线C的焦距为()A.B.16 C.8 D.【解答】解:双曲线C:的渐近线方程为y=±x,左、右焦点分别为F1、F2,M为双曲线C的一条渐近线上某一点,∴tan∠MOF2=,∴∠MOF2=∵∠OMF2=,∴OM=csin=c,MF2=ccos=c,∴=OM•MF 2=×c×c=8,∴c=8,∴2c=16,故选:B.12.(5分)已知函数f(x)=,则函数F(x)=f[f(x)]﹣af (x)﹣的零点个数是4个时,下列选项是a的取值范围的子集的是()A.B.C.D.【解答】解:作出f(x)的函数图象如图所示:令f(x)=t,则由图象可知:当t=0时,f(x)=t有1解,当0<t<1或t>2时,f(x)=t有2解,当1<t≤2时,f(x)=t有3解,令F(x)=0得f(t)=at+,显然t=0是方程f(t)=at+的一个解,而f(x)=0只有一解,故直线y=at+直线在(1,2)上与f(x)有1个交点即可;(1)若a,显然直线y=ax+与f(x)在(1,2)上有1个交点,符合题意;(2)当a=时,直线y=at+与f(t)在(﹣∞,1)上的图象相切,且与f (x)在(1,2)上有1个交点,符合题意.故选:A.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)=π+2.【解答】解:=,令y=,得x2+y2=4(y≥0),则圆x2+y2=4的面积为4π,由定积分的几何意义可得,,又,∴=π+2.故答案为:π+2.14.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则x2+y2+2(x﹣y)的最小值为.【解答】解:作出变量x,y满足约束条件,对应的平面区域如图z=x2+y2+2(x﹣y)=(x+1)2+(y﹣1)2﹣2,则z的几何意义是,区域内的点到点D(﹣1,1)的距离的平方减2,解得A(,)由图象可知点D到A的距离d即为z=d2﹣2最小值,则z==,故x2+y2+2(x﹣y)的最小值为,故答案为:.15.(5分)已知G为△ABC所在平面上一点,且++=,∠A=60°,•=2,则||的最小值为.【解答】解:∵++=,∴G是△ABC的重心,∴=(),∴=(2+2+2)=(AB2+AC2)+,∵=AB•AC=2,∴AB•AC=4,∴AB2+AC2≥2AB•AC=8,∴≥=.∴||≥.故答案为:.16.(5分)如图所示的“数阵”的特点是:毎行每列都成等差数列,则数字37在图中出现的次数为9.【解答】解:第i行第j列的数记为Aij.那么每一组i与j的组合就是表中一个数.因为第一行数组成的数列A1j(j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以A1j=2+(j﹣1)×1=j+1,所以第j列数组成的数列Aij(i=1,2,…)是以j+1为首项,公差为j的等差数列,所以Aij=(j+1)+(i﹣1)×j=ij+1.令Aij=ij+1=37,则ij=36=22×32,∴37出现的次数为(2+1)(2+1)=9,故答案为:9.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sinC+cosC).(1)求角B的大小;(2)若A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABCD面积的最大值.【解答】解:(1)∵在△ABC中,a=b(sinC+cosC).∴有sinA=sinB(sinC+cosC),∴sin(B+C)=sinB(sinC+cosC),∴cosBsinC=sinBsinC,sinC>0,则cosB=sinB,即tanB=1,∵B∈(0,π),∴则.(2)在△BCD中,BD=2,DC=1,∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD,又∵,则△ABC为等腰直角三角形,,又∵,∴,当时,四边形ABCD的面积最大值,最大值为.18.(12分)如图,以A、B、C、D、E为顶点的六面体中,△ABC和△ABD均为等边三角形,且平面ABC⊥平面ABD,EC⊥平面ABC,EC=,AB=2.(1)求证:DE⊥平面ABD;(2)求二面角D﹣BE﹣C的余弦值.【解答】解:(1)证明:作DF⊥AB,交AB于F,连结CF.因为平面ABC⊥平面ABD,所以DF⊥平面ABC,又因为EC⊥平面ABC,从而DF∥EC,因为,△ABC和△ABD均为边长为2的等边三角形,所以DF=,因此DF=EC,于是四边形DECF为平行四边形,所以DE∥CF.因为△ABD是等边三角形,所以F是AB中点,而△ABC是等边三角形,因此CF⊥AB,从而CF⊥平面△ABD,又因为DE∥FC,所以DE⊥平面△ABD.(2)由(1)知BF,CF,DF两两垂直,如图建系,则.设平面BDE的法向量,由,令x=3得,平面BDE的法向量;同理可求得平面BCE的法向量,所以==,即二面角D﹣BE﹣C的余弦值为.19.(12分)近代统计学的发展起源于二十世纪初,它是在概率论的基础上发展起来的,统计性质的工作可以追溯到远古的“结绳记事”和《二十四史》中大量的关于我人口、钱粮、水文、天文、地震等资料的记录.近几年,雾霾来袭,对某市该年11月份的天气情况进行统计,结果如下:表一由于此种情况某市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策.下表是一个调査机构对比以上两年11月份(该年不限行30天、次年限行30天共60天)的调查结果: 表二(1)请由表一数据求a ,b ,并求在该年11月份任取一天,估计该市是晴天的概率;(2)请用统计学原理计算若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系,则限行时有多少天没有雾霾?(由于不能使用计算器,所以表中数据使用时四舍五入取整数) .【解答】解:(1)根据题意知,a=10,b=30﹣10=20, 在该年11月份任取一天,估计该市是晴天的概率为P==;(2)设限行时x 天没有雾霾,则有雾霾为30﹣x 天, 代入公式≤3,化简为:21x 2﹣440x +1500≤0,x ∈[0,30],且x ∈N *,即(7x﹣30)(3x﹣50)≤0,解得≤x≤,所以5≤x≤16,且x∈N*;所以若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系,则限行时有5~16天没有雾霾天气.20.(12分)已知椭圆的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆在第一象限上的一个动点,圆C与F1A的延长线,F1F2的延长线以及线段AF2都相切,M(2,0)为一个切点.(1)求椭圆方程;(2)设,过F2且不垂直于坐标轴的动点直线l交椭圆于P,Q两点,若以NP,NQ为邻边的平行四边形是菱形,求直线l的方程.【解答】解:(1)设圆C与F1A的延长线切于点E,与线段AF2切于点D,则|AD|=|AE|,|F2D|=|F2M|,|F1E|=|F1M|,∵|AF1|+|AF2|=2a,∴|AF1|+|AD|+|DF2|=2a,∴|F1E|+|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,∴(2﹣c)+(2+c)=2a,故a=2,由,可知,椭圆方程为;(2)由(1)可知F2(,0),设l方程为,代入椭圆方程可得,整理得:,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,以NP,NQ为邻边的平行四边形是菱形,∴(+)•=0,+=(x1﹣,y1)+(x2﹣,y2)=,的方向向量为(1,k),∴﹣﹣=0,,∴直线l的方程.21.(12分)已知函数p(x)=lnx﹣x+4,q(x)=.(1)若函数y=p(x),y=q(x)的图象有平行于坐标轴的公切线,求a的值;(2)若关于x的不等式p(x)﹣4<q(x)的解集中有且只有两个整数,求a 的取值范围.【解答】解:(1)由题知p'(x)=q'(x),即,当x=1£¬p'(1)=q'(1)=0,即x=1是y=p(x),y=q(x)的极值点,所以公切线的斜率为0,所以p(1)=q(1),lnl﹣1+4=ae,可得.(2)p(x)﹣4>q(x)等价于,令,则,令φ(x)=x﹣lnx﹣1,则,即φ(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)单调递增.φ(x)min=φ(1)=0,∴φ(x)≥0恒成立,所以h(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)单调递增.,因为解集中有且只有两个整数.选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为,若以直角坐标系的原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0.(1)求曲线E的普通方程和椭圆C的参数方程;(2)已知A,B分别为两曲线上的动点,求|AB|的最大值.【解答】解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得:x2+y2﹣8y+15=0,即x2+(y﹣4)2=1,椭圆C的方程为,化为参数方程为:为参数).(2),由sinθ∈[﹣1,1],当sinθ=﹣1时,|AB|max=6.选修4-5:不等式讲23.已知不等式|x﹣a|+|2x﹣3|>.(1)已知a=2,求不等式的解集;(2)已知不等式的解集为R,求a的范围.【解答】解:(1)当a=2时,可得|x﹣2|+|2x﹣3|>2,当x≥2时,3x﹣5>2,得,当时,﹣3x+5>2,得x<1,当时,x﹣1>2,得:x∈∅,综上所述,不等式解集为或x<1}.(2)∵f(x)=|x﹣a|+|2x﹣3|的最小值为f(a)或,即,∴,令,则或,可得﹣3<a <1或a ∈∅,综上可得,a 的取值范围是(﹣3,1).赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性①定义及判定方法函数的单调性某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.... x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义 (2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减. (2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数,分别在[、上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.。

2017届河北省石家庄市第二中学高三上学期第二期联考数学(理)试题

2017届河北省石家庄市第二中学高三上学期第二期联考数学(理)试题

理科数学第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==,A B φ= ,则集合B 不可能是( )A .{|1}x x <-B .{(,)|1}x y y x =-C .2{|}y y x =-D .{|1}x x ≥- 2.已知直线10ax y a +--=与直线102x y -=平行,则a 的值是( ) A . 1 B . -1 C . 2 D .-2 3.下列判断错误的是( )A .“||||am bm <”是“||||a b <”的充分不必要条件B .命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是“00,0x R ax b ∃∈+>”C .若()p q ⌝∧为真命题,则,p q 均为假命题D .命题“若p ,则q ⌝”为真命题,则“若q ,则p ⌝”也为真命题 4.如图,阴影部分的面积是( ) A.. C.323 D .3535.已知实数,x y 满足约束条件402020x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩,则12()4y x ∙的最小值是( )A . 1B . 2 C. 8 D .46.设函数()4cos()f x x ωϕ=+对任意的x R ∈,都有()()3f x f x π-=+,若函数()sin()2g x x ωϕ=+-,则()6g π的值是( )A . 1B . -5或3 C.12D .-2 7. M 是ABC ∆所在平面内一点,203MB MA MC ++= ,D 为AC 中点,则||||MD BM的值为( ) A .12 B .13 C. 1 D .2 8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .143 B . 5 C. 163D .69.已知21()21x x f x -=+,则不等式2(2)(4)0f x f x -+-<的解集为( )A . (1,6)-B .(6,1)- C. (2,3)- D .(3,2)-10.已知函数sin()1,0()2log (01),0a x x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩且的图象上关于y 轴对称的点至少有3对,则实数a 的取值范围是( ) A .B.C. D. 11.已知函数2()()xf x x ax b e =++,当1b <时,函数()f x 在(,2)-∞-,(1,)+∞上均为增函数,则2a ba +-的取值范围是( )A . 2(2,]3-B .1[,2)3- C. 2(,]3-∞ D .2[,2]3- 12.数列{}n a 满足143a =,+11(1)n n n a a a -=-*()n N ∈,且12111n nS a a a =+++ ,则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是( )A .{0,1,2}B . {0,1,2,3} C. {1,2} D .{0,2}第Ⅱ卷二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.曲线24x y =在点(,)P m n 处的切线与直线210x y +-=垂直,则m = . 14.设0,0a b >>,且2ab a b =+,则a b +的最小值为 .15.已知向量(,2)a m = ,(1,)b n =- ,(0)n >且0a b ∙= ,点(,)P m n 在圆225x y +=上,则|2|a b + 等于 .16.三棱锥P ABC -内接于球O ,3PA PB PC ===,当三棱锥P ABC -的三个侧面积和最大时,球O 的体积为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知数列{}n a 的前n 项和(31)n n S k =-,且327a =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T . 18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1cos 2b c a C -=. (1)求角A ;(2)若4()3b c bc +=,a =,求ABC ∆的面积S . 19.(12分)如图,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,且6DE =,2AF =. (1)试在线段BD 上确定一点M 的位置,使得//AM 平面BEF ; (2)求二面角A BE C --的余弦值.20.(12分)已知函数2()(1)1f x x a x a =-+-+-,2()()1g x x x a =--,其中a 为实数.(1)是否存在0(0,1)x ∈,使得0()10f x +=?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,请说明理由; (2)若集合{|()()0,}A x f x g x x R ==∈中恰有5个元素,求实数a 的取值范围. 21.(12分)设函数22()(2)ln ,,f x x ax x bx a b R =-+∈.(1)当1,1a b ==-时,设2()(1)ln g x x x x =-+,求证:对任意的1x >,22()()g x f x x x e e ->++-; (2)当2b =时,若对任意[1,)x ∈+∞,不等式22()3f x x a >+恒成立,求实数a 的取值范围. 22.(12分)设函数2()2ln(1)f x ax ax x =+-+,其中a R ∈. (1)讨论()f x 的单调性; (2)若1()1a f x e x -+>+在区间(0,)+∞内恒成立(e 为自然对数的底数),求实数a 的取值范围.试卷答案一:选择题1-5 DDCCD 6-10 DBADA 11-12 AA 【8题答案】A该几何体的直观图如图所示,连接BD ,则该几何体由直三棱柱ABD EFG -和四棱锥C BDGF -组合而成,其体积为11141222233⨯⨯⨯+⨯=.故应选A.【10题答案】A 【解析】试题分析:原函数在y 轴左侧是一段正弦型函数图象,在y 轴右侧是一条对数函数的图象,要使得图象上关于y 轴对称的点至少有3对,可将左侧的图象对称到y 轴右侧,即sin()1(0)2y x x π=-->,应该与原来y 轴右侧的图象至少有3个公共点 如图,1a >不能满足条件,只有01a <<.此时,只需在5x =时,log a y x =的纵坐标大于-2,即log 52a >-,得0a <<. 【11题答案】A 【解析】试题分析:22()(2)()[(2)]xxxf x x a e x ax b e x a x a b e =++++=++++,因为函数()f x 在(,2)-∞-,(1,)+∞上均为增函数,所以'()0f x ≥在(,2)-∞-,(1,)+∞上恒成立,即2[(2)]0x x a x a b e ++++≥在(,2)-∞-,(1,)+∞上恒成立,令2()3h x x ax a b =+++,则()0h x ≥在(,2)-∞-,(1,)+∞上恒成立,所以有2(2)(2)(2)(2)0h a a b a b -=-++⨯-++=-+≥,(1)1(2)230h a a b a b =++++=++≥,2212a +-≤-≤,即,a b 满足0230142a b a b b a -+≥⎧⎪++≥⎪⎨<⎪⎪-≤≤⎩, 在直角坐标系内作出可行域,2221212a b a b b a a a +-+++==+---,其中22b k a +=-表示的几何意义为点(2,2)P -与可行域内的点(,)Q a b 两点连线的斜率,由图可知133t -<≤-,所以2213t -<+≤,即2a b a +-的取值范围为2(2,]3-.【12题答案】A【解析】对11(1)n n n a a a +-=-两边取倒数,得111111n n na a a +-=--,累加得1111113111n n n S a a a ++=-=----,由211(1)0,n n n n n a a a a a ++-=-≥≥,n a 为单调递增数列,123413133,,3981a a a ===,其中111S a =,整数部分为0,293344S =-=,整数部分为0,37552S =,整数部分为1,由于3n S <,故选A. 二:填空题13.1 14.3+ 15.三:解答题17.【答案】(1)3nn a =;(2)1(21)334n n n T +-∙+=.【解析】试题解析:(1)当2n ≥时,111(31)(31)23n n n n n n a S S k k k ---=-=---=∙232327a k =∙=,解得32k =,3n n a =;当1n =时,1111(31)33a S k ==-==, 综上所述,3(2)n n a n =≥;……………4分①-②得:12+123333n n n T n -=+++-∙ ,113(13)323(31)3132n n n n n T n n ++--=-∙=--∙-1(21)334n n n T +-+=.………………10分18.【答案】(1)60A = ;(2)S =.【解析】解:(1)由正弦定理得:1sin sin sin cos 2B C A C -= 又∵sin sin()B A C =+ ∴1sin()sin sin cos 2A C C A C +-= 即1cos sin sin 2A C C =又∵sin 0C ≠ ∴1cos 2A =又A 是内角 ∴60A = ………………6分 (2)由余弦定理得:2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+- ∴2()4()12b c b c +-+= 得:6b c += ∴8bc =∴11sin 822S bc A ==⨯= ………………12分 19.【答案】(1)M 为BD 的一个三等分点(靠近点B );(2)15- 【解析】(1)取BE 的三等分点K (靠近点B ),则有123kM DE ==,过K 作KM BD ⊥交BD 于M ,由DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,可知AF ⊥平面ABCD ,∴AF BD ⊥, ∴//FA KM ,且FA KM =,……………………3分所以四边形FAMK 为平行四边形,可知////AM FK AM ⇒平面BEF , ∵13MK BM ED BD ==,∴M 为BD 的一个三等分点(靠近点B );……………5分(2)如图建立空间直角坐标系:则(3,0,0),(3,3,0),(0,0,6),(0,3,0)A B E C ,(3,3,6),(0,3,0),(3,0,0)EB AB BC =-==-,设平面AEB 的法向量为111(,,)n x y z = ,由1111336030x y z y +-=⎧⎨=⎩,可得(2,0,1)n = .平面BCE 的法向量为222(,,)m x y z = ,由2222336030x y z x +-=⎧⎨=⎩可得(0,2,1)m = ,因为二面角A BE C --为钝二面角,可得1cos ||5θ=-=-,所以二面角的A BE C --余弦值为15-.……………………12分20.【答案】(1)(0,1)a ∈时,00(0,1),()10x f x ∃∈+=(2)a >【解析】(1)2()1(1)()(1)0f x x a x a x a x +=-+-+=--+= ∴1x x a =-=或∴(0,1)a ∈时,00(0,1),()10x f x ∃∈+= ………………4分 (2)2()(1)10f x x a x a =-+-+-=有2相异实根时,2(1)4(1)0a a ∆=-+->,∴3a <-或1a >,2()()10g x x x a =--=有3个相异实根时,'()()(3)g x x a x a =--………………6分当0a =时,'()0g x ≥,()g x =0有1解; 当0a <时,3a a <,()g x 在(,)a -∞上增,(,)3a a 上减,(,)3a+∞上增,极大值()10g a =-<,()0g x =有1解; 当0a >时,3a a >,()g x 在(,)3a -∞上增,(,)3a a 上减,(,)a +∞上增,极小值()10g a =-<,要使()0g x =有3解,只须()03ag >,∴a >10分下面用反证法证明a >5个根相异.假设000,()()0x R f x g x ∃∈==即200200(1)10()10x a x a x x a ⎧-+-+-=⎪⎨--=⎪⎩两式相减得:20000()(1)0x a x ax x --++=若0x a =代入②得0-1=0矛盾;若200010x ax x -++=代入①得0a =,这与a > 所以假设不成立,即5个根相异.综上,a >12分21.【答案】(I )证明见解析;(II )(,1)-∞【解析】试题解析:(Ⅰ)当1,1a b ==-时,22()(2)ln f x x x x x =--, 所以2()()x g x f x x x e e ->++-等价于ln 0x e x e +->. 令()ln x h x e x e =+-,则'1()0x h x e x=+>,可知函数()h x 在(1,)+∞上单调递增, 所以()(1)h x h >,即ln x e x e +>,亦即ln 0x e x e +->……………………4分 (Ⅱ)当2b =时,22()(2)ln 2f x x ax x x =-+,a R ∈. 所以不等式22()3f x x a >+等价于22(24)ln 0x ax x x a -+->. 方法一:令22()(24)ln p x x ax x x a =-+-,[1,)x ∈+∞, 则'()(44)ln (24)24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥.当1a ≤时,'()0p x ≥,则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增,所以min ()(1)1p x p a ==-, 所以根据题意,知有10a ->,∴1a <………………8分 当1a >时,由'()0p x <,知函数()p x 在[1,)a 上单调减; 由'()0p x >,知函数()p x 在(,)a +∞上单调递增. 所以2min ()()(12ln )p x p a a a a ==--.由条件知,2(12ln )0a a a -->,即(12ln )10a a -->.设()(12ln )1q a a a =--,1a >,则'()12ln 0q a a =-<,1a >, 所以()q a 在(1,)+∞上单调递减.又(1)0q =,所以()(1)0q a q <=与条件矛盾.综上可知,实数a 的取值范围为(,1)-∞.………………12分 方法二:令22()(24)ln p x x ax x x a =-+-,[1,)x ∈+∞,则22()(24)ln 0p x x ax x x a =-+->在[1,)+∞上恒成立,所以(1)10p a =->, 所以1a <.………………8分又'()(44)ln (24)24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥,显然当1a <时,'()0p x >,则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增,所以min ()(1)10p x p a ==->,所以1a <.综上可知a 的取值范围为(,1)-∞.………………12分22.【答案】试题解析:(I )2'12421()22(1)1(1)xax ax a f x ax a x x e x ++-=+-=>-++ 当0a ≤时,'()0f x <,()f x 在(1,)-+∞内单调递减.………………2分 当0a >时,'()0f x =,有1x =-.………………4分 此时,当(1,1x ∈--+时,'()0f x <,()f x 单调递减; 当(1)x ∈-++∞时,'()0f x >,()f x 单调递增. (II )令11()1x g x x e=-+,则1()(1)x xe x g x e x --=+(易证) 当0a ≤,0x >时,2()(2)ln(1)0f x a x x x =+-+<.故当()()f x g x >在区间(0,)+∞内恒成立时,必有0a >.………………6分 当12a <<时,10->.由(1)可知函数()f x 在(0,1-上单调递减,即(0,1x ∈-+时,()(0)()f x f g x <<,不符合题意,舍。

2017年河北省石家庄二中高考数学三模试卷及答案(理科)

2017年河北省石家庄二中高考数学三模试卷及答案(理科)

2017年河北省石家庄二中高考数学三模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U=R,集合M=,则M∩N=()A.{x|﹣1<x≤0}B.{x|0≤x<4}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}2.(5分)若复数z=(i是虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()A.16 B.17 C.18 D.194.(5分)正项等比数列{a n}中,a1+a4+a7=2,a3+a6+a9=18,则{a n}的前9项和S9=()A.14 B.26 C.30 D.295.(5分)已知函数f(x)=,若f(2﹣a)=1,则f(a)=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.26.(5分)斐波拉契数列0,1,1,2,3,5,8…是数学史上一个著名的数列,定义如下:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n﹣1)+F(n﹣2)(n≥2,n∈N).某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图,那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是()A.c=a,i≤14 B.b=c,i≤14 C.c=a,i≤15 D.b=c,i≤157.(5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(x)的递增区间是()A.[6k﹣1,6k+2](k∈z)B.[6k﹣4,6k﹣1](k∈z)C.[3k﹣1,3k+2](k∈z)D.[3k﹣4,3k﹣1](k∈z)8.(5分)在一次实验中,同时抛掷4枚均匀的硬币16次,设4枚硬币正好出现3枚正面向上,1枚反面向上的次数为ξ,则ξ的方差是()A.3 B.4 C.1 D.9.(5分)是展开式的常数项为()A.120 B.40 C.﹣40 D.8010.(5分)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体最长的棱长度为()A.B.C.3 D.11.(5分)已知双曲线C:的渐近线方程为y=±x,左、右焦点分别为F1、F2,M为双曲线C的一条渐近线上某一点,且∠OMF2=,则双曲线C的焦距为()A.B.16 C.8 D.12.(5分)已知函数f(x)=,则函数F(x)=f[f(x)]﹣af (x)﹣的零点个数是4个时,下列选项是a的取值范围的子集的是()A.B.C.D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)=.14.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则x2+y2+2(x﹣y)的最小值为.15.(5分)已知G为△ABC所在平面上一点,且++=,∠A=60°,•=2,则||的最小值为.16.(5分)如图所示的“数阵”的特点是:毎行每列都成等差数列,则数字37在图中出现的次数为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sinC+cosC).(1)求角B的大小;(2)若A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABCD面积的最大值.18.(12分)如图,以A、B、C、D、E为顶点的六面体中,△ABC和△ABD均为等边三角形,且平面ABC⊥平面ABD,EC⊥平面ABC,EC=,AB=2.(1)求证:DE⊥平面ABD;(2)求二面角D﹣BE﹣C的余弦值.19.(12分)近代统计学的发展起源于二十世纪初,它是在概率论的基础上发展起来的,统计性质的工作可以追溯到远古的“结绳记事”和《二十四史》中大量的关于我人口、钱粮、水文、天文、地震等资料的记录.近几年,雾霾来袭,对某市该年11月份的天气情况进行统计,结果如下:表一由于此种情况某市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策.下表是一个调査机构对比以上两年11月份(该年不限行30天、次年限行30天共60天)的调查结果: 表二(1)请由表一数据求a ,b ,并求在该年11月份任取一天,估计该市是晴天的概率;(2)请用统计学原理计算若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系,则限行时有多少天没有雾霾?(由于不能使用计算器,所以表中数据使用时四舍五入取整数) .20.(12分)已知椭圆的离心率e=,左、右焦点分别为F 1、F 2,A 是椭圆在第一象限上的一个动点,圆C 与F 1A 的延长线,F 1F 2的延长线以及线段AF 2都相切,M (2,0)为一个切点. (1)求椭圆方程; (2)设,过F 2且不垂直于坐标轴的动点直线l 交椭圆于P ,Q 两点,若以NP ,NQ 为邻边的平行四边形是菱形,求直线l 的方程. 21.(12分)已知函数p (x )=lnx ﹣x +4,q (x )=.(1)若函数y=p(x),y=q(x)的图象有平行于坐标轴的公切线,求a的值;(2)若关于x的不等式p(x)﹣4<q(x)的解集中有且只有两个整数,求a 的取值范围.选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为,若以直角坐标系的原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0.(1)求曲线E的普通方程和椭圆C的参数方程;(2)已知A,B分别为两曲线上的动点,求|AB|的最大值.选修4-5:不等式讲23.已知不等式|x﹣a|+|2x﹣3|>.(1)已知a=2,求不等式的解集;(2)已知不等式的解集为R,求a的范围.2017年河北省石家庄二中高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2017•新华区校级三模)已知全集U=R,集合M=,则M∩N=()A.{x|﹣1<x≤0}B.{x|0≤x<4}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}【解答】解:M={x|x≥0},则M∩N={x|0≤x<4},故选:B2.(5分)(2017•新华区校级三模)若复数z=(i是虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:∵i4=1,∴i2017=(i4)504•i═i.∴复数z====+i,则复数z在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B.3.(5分)(2017•新华区校级三模)某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()A.16 B.17 C.18 D.19【解答】解:∵从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本,∴系统抽样的分段间隔为=25,设第一部分随机抽取一个号码为x,则抽取的第18编号为x+17×25=443,∴x=18.故选C.4.(5分)(2017•新华区校级三模)正项等比数列{a n}中,a1+a4+a7=2,a3+a6+a9=18,则{a n}的前9项和S9=()A.14 B.26 C.30 D.29【解答】解:在正项等比数列{a n}中,=q2==9,则q=3,则a2+a5+a8=q(a1+a4+a7)=3×2=6,则{a n}的前9项和S9=a1+a4+a7+a2+a5+a8+a3+a6+a9=2+18+6=26,故选:B.5.(5分)(2017•南昌模拟)已知函数f(x)=,若f(2﹣a)=1,则f(a)=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2【解答】解:当2﹣a≥2,即a≤0时,22﹣a﹣2﹣1=1,解得a=﹣1,则f(a)=f(﹣1)=﹣log2[3﹣(﹣1)]=﹣2,当2﹣a<2,即a>0时,﹣log2[3﹣(2﹣a)]=1,解得a=﹣,舍去.∴f(a)=﹣2.故选:A.6.(5分)(2017•湖北一模)斐波拉契数列0,1,1,2,3,5,8…是数学史上一个著名的数列,定义如下:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n﹣1)+F(n﹣2)(n≥2,n∈N).某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图,那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是()A.c=a,i≤14 B.b=c,i≤14 C.c=a,i≤15 D.b=c,i≤15【解答】解:依题意知,程序框图中变量S为累加变量,变量a,b,c(其中c=a+b)为数列连续三项,在每一次循环中,计算出S的值后,变量b的值变为下一个连续三项的第一项a,即a=b,变量c的值为下一个连续三项的第二项b,即b=c,所以矩形框应填入b=c,又程序进行循环体前第一次计算S的值时已计算出数列的前两项,因此只需要循环12次就完成,所以判断框中应填入i≤14.故选:B.7.(5分)(2013•乌鲁木齐一模)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(x)的递增区间是()A.[6k﹣1,6k+2](k∈z)B.[6k﹣4,6k﹣1](k∈z)C.[3k﹣1,3k+2](k∈z)D.[3k﹣4,3k﹣1](k∈z)【解答】解:|AB|=5,|y A﹣y B|=4,所以|x A﹣x B|=3,即=3,所以T==6,ω=;∵f(x)=2sin(x+φ)过点(2,﹣2),即2sin(+φ)=﹣2,∴sin(+φ)=﹣1,∵0≤φ≤π,∴+φ=,解得φ=,函数为f(x)=2sin(x+),由2kπ﹣≤x+≤2kπ+,得6k﹣4≤x≤6k﹣1,故函数单调递增区间为[6k﹣4,6k﹣1](k∈Z).故选B8.(5分)(2017•新华区校级三模)在一次实验中,同时抛掷4枚均匀的硬币16次,设4枚硬币正好出现3枚正面向上,1枚反面向上的次数为ξ,则ξ的方差是()A.3 B.4 C.1 D.【解答】解:设4枚硬币正好出现3枚正面向上,1枚反面向上的概率p=()4=,在一次实验中,同时抛掷4枚均匀的硬币16次,则ξ~(16,),则Dξ=16××=3,故选:A.9.(5分)(2017•新华区校级三模)是展开式的常数项为()A.120 B.40 C.﹣40 D.80【解答】解:==•(x2+1)•(32x10﹣80x8+80x6﹣40x4+10x2﹣1),所以其展开式的常数项为•1•80x6+•x2•(﹣40x4)=80﹣40=40.故选:B.10.(5分)(2017•新华区校级三模)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体最长的棱长度为()A.B.C.3 D.【解答】解:由三视图可知:该几何体为三棱锥P﹣ABC.由正方体的性质可得:这个几何体最长的棱长度为PC=2.故选:D.11.(5分)(2017•新华区校级三模)已知双曲线C:的渐近线方程为y=±x,左、右焦点分别为F1、F2,M为双曲线C的一条渐近线上某一点,且∠OMF2=,则双曲线C的焦距为()A.B.16 C.8 D.【解答】解:双曲线C:的渐近线方程为y=±x,左、右焦点分别为F1、F2,M为双曲线C的一条渐近线上某一点,∴tan∠MOF2=,∴∠MOF2=∵∠OMF2=,∴OM=csin=c,MF2=ccos=c,∴=OM•MF 2=×c×c=8,∴c=8,∴2c=16,故选:B12.(5分)(2017•新华区校级三模)已知函数f(x)=,则函数F(x)=f[f(x)]﹣af(x)﹣的零点个数是4个时,下列选项是a的取值范围的子集的是()A.B.C.D.【解答】解:作出f(x)的函数图象如图所示:令f(x)=t,则由图象可知:当t=0时,f(x)=t有1解,当0<t<1或t>2时,f(x)=t有2解,当1<t≤2时,f(x)=t有3解,令F(x)=0得f(t)=at+,显然t=0是方程f(t)=at+的一个解,而f(x)=0只有一解,故直线y=at+直线在(1,2)上与f(x)有1个交点即可;(1)若a,显然直线y=ax+与f(x)在(1,2)上有1个交点,符合题意;(2)当a=时,直线y=at+与f(t)在(﹣∞,1)上的图象相切,且与f (x)在(1,2)上有1个交点,符合题意.故选A.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)(2017•新华区校级三模)=π+2.【解答】解:=,令y=,得x2+y2=4(y≥0),则圆x2+y2=4的面积为4π,由定积分的几何意义可得,,又,∴=π+2.故答案为:π+2.14.(5分)(2017•新华区校级三模)已知变量x,y满足约束条件,则x2+y2+2(x﹣y)的最小值为.【解答】解:作出变量x,y满足约束条件,对应的平面区域如图z=x2+y2+2(x﹣y)=(x+1)2+(y﹣1)2﹣2,则z的几何意义是,区域内的点到点D(﹣1,1)的距离的平方减2,解得A(,)由图象可知点D到A的距离d即为z=d2﹣2最小值,则z==,故x2+y2+2(x﹣y)的最小值为,故答案为:.15.(5分)(2017•新华区校级三模)已知G为△ABC所在平面上一点,且++=,∠A=60°,•=2,则||的最小值为.【解答】解:∵++=,∴G是△ABC的重心,∴=(),∴=(2+2+2)=(AB2+AC2)+,∵=AB•AC=2,∴AB•AC=4,∴AB2+AC2≥2AB•AC=8,∴≥=.∴||≥.故答案为:.16.(5分)(2017•新华区校级三模)如图所示的“数阵”的特点是:毎行每列都成等差数列,则数字37在图中出现的次数为9.【解答】解:第i行第j列的数记为Aij.那么每一组i与j的组合就是表中一个数.因为第一行数组成的数列A1j(j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以A1j=2+(j﹣1)×1=j+1,所以第j列数组成的数列Aij(i=1,2,…)是以j+1为首项,公差为j的等差数列,所以Aij=(j+1)+(i﹣1)×j=ij+1.令Aij=ij+1=37,则ij=36=22×32,∴37出现的次数为(2+1)(2+1)=9,故答案为:9.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)(2017•新华区校级三模)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sinC+cosC).(1)求角B的大小;(2)若A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABCD面积的最大值.【解答】解:(1)∵在△ABC中,a=b(sinC+cosC).∴有sinA=sinB(sinC+cosC),∴sin(B+C)=sinB(sinC+cosC),∴cosBsinC=sinBsinC,sinC>0,则cosB=sinB,即tanB=1,∵B∈(0,π),∴则.(2)在△BCD中,BD=2,DC=1,∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD,又∵,则△ABC为等腰直角三角形,,又∵,∴,当时,四边形ABCD的面积最大值,最大值为.18.(12分)(2017•新华区校级三模)如图,以A、B、C、D、E为顶点的六面体中,△ABC和△ABD均为等边三角形,且平面ABC⊥平面ABD,EC⊥平面ABC,EC=,AB=2.(1)求证:DE⊥平面ABD;(2)求二面角D﹣BE﹣C的余弦值.【解答】解:(1)证明:作DF⊥AB,交AB于F,连结CF.因为平面ABC⊥平面ABD,所以DF⊥平面ABC,又因为EC⊥平面ABC,从而DF∥EC,因为,△ABC和△ABD均为边长为2的等边三角形,所以DF=,因此DF=EC,于是四边形DECF为平行四边形,所以DE∥CF.因为△ABD是等边三角形,所以F是AB中点,而△ABC是等边三角形,因此CF⊥AB,从而CF⊥平面△ABD,又因为DE∥FC,所以DE⊥平面△ABD.(2)由(1)知BF,CF,DF两两垂直,如图建系,则.设平面BDE的法向量,由,令x=3得,平面BDE的法向量;同理可求得平面BCE的法向量,所以==,即二面角D﹣BE﹣C的余弦值为.19.(12分)(2017•新华区校级三模)近代统计学的发展起源于二十世纪初,它是在概率论的基础上发展起来的,统计性质的工作可以追溯到远古的“结绳记事”和《二十四史》中大量的关于我人口、钱粮、水文、天文、地震等资料的记录.近几年,雾霾来袭,对某市该年11月份的天气情况进行统计,结果如下:表一由于此种情况某市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策.下表是一个调査机构对比以上两年11月份(该年不限行30天、次年限行30天共60天)的调查结果: 表二(1)请由表一数据求a ,b ,并求在该年11月份任取一天,估计该市是晴天的概率;(2)请用统计学原理计算若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系,则限行时有多少天没有雾霾?(由于不能使用计算器,所以表中数据使用时四舍五入取整数) .【解答】解:(1)根据题意知,a=10,b=30﹣10=20, 在该年11月份任取一天,估计该市是晴天的概率为P==;(2)设限行时x 天没有雾霾,则有雾霾为30﹣x 天, 代入公式≤3,化简为:21x 2﹣440x +1500≤0,x ∈[0,30],且x ∈N *, 即(7x ﹣30)(3x ﹣50)≤0,解得≤x≤,所以5≤x≤16,且x∈N*;所以若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系,则限行时有5~16天没有雾霾天气.20.(12分)(2017•新华区校级三模)已知椭圆的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆在第一象限上的一个动点,圆C与F1A的延长线,F1F2的延长线以及线段AF2都相切,M(2,0)为一个切点.(1)求椭圆方程;(2)设,过F 2且不垂直于坐标轴的动点直线l交椭圆于P,Q两点,若以NP,NQ为邻边的平行四边形是菱形,求直线l的方程.【解答】解:(1)设圆C与F1A的延长线切于点E,与线段AF2切于点D,则|AD|=|AE|,|F2D|=|F2M|,|F1E|=|F1M|,∵|AF1|+|AF2|=2a,∴|AF1|+|AD|+|DF2|=2a,∴|F1E|+|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,∴(2﹣c)+(2+c)=2a,故a=2,由,可知,椭圆方程为;(2)由(1)可知F2(,0),设l方程为,代入椭圆方程可得,整理得:,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,以NP,NQ为邻边的平行四边形是菱形,∴(+)•=0,+=(x1﹣,y1)+(x2﹣,y2)=,的方向向量为(1,k),∴﹣﹣=0,,∴直线l的方程.21.(12分)(2017•新华区校级三模)已知函数p(x)=lnx﹣x+4,q(x)=.(1)若函数y=p(x),y=q(x)的图象有平行于坐标轴的公切线,求a的值;(2)若关于x的不等式p(x)﹣4<q(x)的解集中有且只有两个整数,求a 的取值范围.【解答】解:(1)由题知p'(x)=q'(x),即,当x=1£¬p'(1)=q'(1)=0,即x=1是y=p(x),y=q(x)的极值点,所以公切线的斜率为0,所以p(1)=q(1),lnl﹣1+4=ae,可得.(2)p(x)﹣4>q(x)等价于,令,则,令φ(x)=x﹣lnx﹣1,则,即φ(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)单调递增.φ(x)min=φ(1)=0,∴φ(x)≥0恒成立,所以h(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)单调递增.,因为解集中有且只有两个整数.选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分)(2017•新华区校级三模)在直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为,若以直角坐标系的原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0.(1)求曲线E的普通方程和椭圆C的参数方程;(2)已知A,B分别为两曲线上的动点,求|AB|的最大值.【解答】解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得:x2+y2﹣8y+15=0,即x2+(y﹣4)2=1,椭圆C的方程为,化为参数方程为:为参数).(2),由sinθ∈[﹣1,1],当sinθ=﹣1时,|AB|max=6.选修4-5:不等式讲23.(2017•新华区校级三模)已知不等式|x﹣a|+|2x﹣3|>.(1)已知a=2,求不等式的解集;(2)已知不等式的解集为R,求a的范围.【解答】解:(1)当a=2时,可得|x﹣2|+|2x﹣3|>2,当x≥2时,3x﹣5>2,得,当时,﹣3x+5>2,得x<1,当时,x﹣1>2,得:x∈∅,综上所述,不等式解集为或x<1}.(2)∵f(x)=|x﹣a|+|2x﹣3|的最小值为f(a)或,即,∴,令,则或,可得﹣3<a<1或a∈∅,综上可得,a的取值范围是(﹣3,1).参与本试卷答题和审题的老师有:maths;沂蒙松;lcb001;zlzhan;w3239003;wfy814;742048;whgcn;zhczcb;sxs123;qiss;zcq;陈高数;铭灏2016;刘老师;左杰(排名不分先后)菁优网2017年6月23日。

【理数】2017届河北省石家庄市第二中学高三上学期第二期联考

【理数】2017届河北省石家庄市第二中学高三上学期第二期联考

理科数学 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==,A B φ= ,则集合B 不可能是( )A .{|1}x x <-B .{(,)|1}x y y x =-C .2{|}y y x =-D .{|1}x x ≥- 【答案】D 【分值】5分 【解析】∵集合A=={x |x ≥1},A ∩B=ϕ,∴B={x |x <1},∴集合B 不可能是{x |x ≥﹣1}.故选:D .【考查方向】本题考查集合的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用. 【易错点】交集及其运算,注意集合代表元素的属性【解题思路】求出集合A={x |x ≥1},由A ∩B=ϕ,得B={x |x <1},由此能求出结果. 2.已知直线10ax y a +--=与直线102x y -=平行,则a 的值是( ) A . 1 B . -1 C . 2 D .-2 【答案】D 【分值】5分【解析】因为直线ax +y ﹣1﹣a=0与直线x ﹣y=0平行, 所以必有﹣a=2,解得a=﹣2.故选D【考查方向】本题考查两条直线平行的判定,是基础题. 【易错点】两直线平行条件的应用(整式条件) 【解题思路】两条直线平行倾斜角相等,即可求a 的值. 3.下列判断错误的是( )A .“||||am bm <”是“||||a b <”的充分不必要条件B .命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是“00,0x R ax b ∃∈+>”C .若()p q ⌝∧为真命题,则,p q 均为假命题D .命题“若p ,则q ⌝”为真命题,则“若q ,则p ⌝”也为真命题【答案】C【分值】5分【解析】对于A,“|am|<|bm|”中可知|m|>0,由不等式的性质可判定,故正确;对于B,含有量词的命题的否定,先换量词,再否定,故正确;对于C,若¬(p∧q)为真命题,p∧q为假命题,则p,q至少一个为假,故错;对于D,若“p,则¬q”与“若q,则¬p”互为逆否命题,同真假,故正确.故选:C.【考查方向】本题考查了命题真假的判定,涉及到了复合命题的处理,属于基础题.【易错点】对命题的否定,复合命题,充要条件的判定理解。

河北省石家庄市第二中学2017届高三上学期第二期联考理数试题Word版含解析

河北省石家庄市第二中学2017届高三上学期第二期联考理数试题Word版含解析

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{|A x y ==,A B φ=,则集合B 不可能是( )A .{|1}x x <-B .{(,)|1}x y y x =-C .2{|}y y x =- D .{|1}x x ≥- 【答案】D考点:定义域,集合交集.【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.已知直线10ax y a +--=与直线102x y -=平行,则a 的值是( ) A .1 B . -1 C . 2 D .-2【答案】D 【解析】试题分析:由于两条直线平行,所以斜率相等,故2,2a a -==-. 考点:两条直线的位置关系. 3.下列判断错误的是( )A .“||||a m b m <”是“||||a b <”的充分不必要条件B .命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是“00,0x R ax b ∃∈+>”C .若()p q ⌝∧为真命题,则,p q 均为假命题D .命题“若p ,则q ⌝”为真命题,则“若q ,则p ⌝”也为真命题 【答案】C 【解析】试题分析:()p q ⌝∧为真命题,故p q ∧为假命题,故,p q 至少有一个假命题,故C 选项判读错误,选C.考点:四种命题及其相互关系,充要条件,常用逻辑用语. 4.如图,阴影部分的面积是( )A.. C. 323D .353【答案】C考点:定积分.5.已知实数,x y 满足约束条件402020x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩,则12()4yx ∙的最小值是( )A . 1B . 2 C. 8 D .4 【答案】D 【解析】试题分析:212()24yx x y-+⋅=,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点()0,2处取得最小值为4.考点:线性规划.6.设函数()4cos()f x x ωϕ=+对任意的x R ∈,都有()()3f x f x π-=+,若函数()sin()2g x x ωϕ=+-,则()6g π的值是( )A . 1B . -5或3 C. 12D .-2 【答案】D考点:三角函数图象与性质. 7.M 是ABC ∆所在平面内一点,203MB MA MC ++=,D 为AC 中点,则||||MD BM 的值为( ) A .12 B .13C. 1 D .2【答案】B 【解析】试题分析:因为23MB MA MC++=,所以212,33MB MA MC MD MD MB-=+==-,故M在中线BD上,且为靠近D的一个四等分点,故||13 ||MDBM=.考点:向量运算.8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.143B. 5 C.163D.6【答案】A考点:三视图.9.已知21()21x x f x -=+,则不等式2(2)(4)0f x f x -+-<的解集为( )A .(1,6)-B .(6,1)- C. (2,3)- D .(3,2)- 【答案】D 【解析】试题分析:由于()()f x f x -=-故函数为奇函数,由于212()12121x x x f x -==-++为增函数,故2(2)(4)0f x f x -+-<等价于()2(4)(2)2f x fx f x-<--=-,2242,60x x x x -<-+-<,解得(3,2)x ∈-.考点:函数的奇偶性与单调性.10.已知函数sin()1,0()2log (01),0a x x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩且的图象上关于y 轴对称的点至少有3对,则实数a 的取值范围是( )A. B.C.D . 【答案】Alog a y x =的纵坐标大于2-,即log 52a >-,得0a <<.考点:分段函数图象与性质.11.已知函数2()()xf x x ax b e =++,当1b <时,函数()f x 在(,2)-∞-,(1,)+∞上均为增函数,则2a ba +-的取值范围是( ) A .2(2,]3- B .1[,2)3- C. 2(,]3-∞D .2[,2]3-【答案】A2212a +-≤-≤,即,a b 满足0230142a b a b b a -+≥⎧⎪++≥⎪⎨<⎪⎪-≤≤⎩,在直角坐标系内作出可行域,2221212a b a b b a a a +-+++==+---,其中22b k a +=-表示的几何意义为点(2,2)P -与可行域内的点(,)Q a b 两点连线的斜率,由图可知133t -<≤-,所以2213t -<+≤,即2a ba +-的取值范围为2(2,]3-.考点:函数的图象与性质,线性规划.【思路点晴】由于题目已知条件“函数()f x 在(,2)-∞-,(1,)+∞上均为增函数”,所以函数在这个区间上的导函数'()0f x ≥,对函数求导得到2[(2)]0xx a x a b e ++++≥,由于0x e >,所以只需令2()(2)0h x x a x a b =++++≥,()h x 是一个二次函数,因此用二次函数根的分布知识,转化为线性规划来求解. 12.数列{}n a 满足143a =,+11(1)n n n a a a -=-*()n N ∈,且12111n nS a a a =+++,则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是( )A .{0,1,2}B .{0,1,2,3} C. {1,2} D .{0,2} 【答案】A考点:递推数列,数列求和.【思路点晴】本题主要考查递推数列求通项、数列求和有关问题.对11(1)n n n a a a +-=-两边取倒数后,有111111n n na a a +-=--,这个相当于数列求和方法中的列项求和法,由此可以得到1111113111n n n S a a a ++=-=----,结合数列211(1)0,n n n n n a a a a a ++-=-≥≥,n a 为单调递增数列,通过列举法,可求得整数部分有{0,1,2},三种可能.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分.)13.曲线24x y =在点(,)P m n 处的切线与直线210x y +-=垂直,则m = . 【答案】1 【解析】试题分析:依题意可知切线的斜率为12,2'1,,1422x x y y x ====. 考点:直线与抛物线的位置关系.14.设0,0a b >>,且2ab a b =+,则a b +的最小值为 .【答案】3 【解析】试题分析:由2ab a b =+得2211,1a b ab b a +=+=,()21233a b a b b a b a ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭考点:基本不等式.15.已知向量(,2)a m =,(1,)b n =-,(0)n >且0a b ∙=,点(,)P m n 在圆225x y +=上,则|2|a b +等于 .考点:向量运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.16.三棱锥P ABC -内接于球O ,3PA PB PC ===,当三棱锥P ABC -的三个侧面积和最大时,球O 的体积为 .【答案】2【解析】试题分析:由于三角形的面积公式1sin 2ab C ,当2C π=时取得最大值,所以当,,PA PB PC 两两垂直时,侧面积和取得最大值.此时,由于三棱锥三条侧棱两两垂直,所以可以补形为正方体,三棱锥的外接球即正方体的外接球,其直径等于正方体的体对角线即2R =,故求的体积为343R π=. 考点:几何体的外接球.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c 长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,,a b c ,则其外接球半径公式为: 22224R a b c =++. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10分)已知数列{}n a 的前n 项和(31)nn S k =-,且327a =.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】(1)3nn a =;(2)1(21)334n n n T +-∙+=.232327a k =∙=,解得32k =,3n n a =;当1n =时,1111(31)33a S k ==-==, 综上所述,3(2)nn a n =≥;……………4分 (2)由(1)知,3nn na n =∙1231132333(1)33n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-∙+∙ ① 23413132333(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-∙+∙ ② ①-②得:12+123333n n n T n -=+++-∙,113(13)323(31)3132n n n n n T n n ++--=-∙=--∙- 1(21)334n n n T +-+=.………………10分 考点:数列及数列求和.18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1cos 2b c a C -=. (1)求角A ;(2)若4()3b c bc +=,a =ABC ∆的面积S .【答案】(1)60A =;(2)S =试题解析:(1)由正弦定理得:1sin sin sin cos 2B C A C -= 又∵sin sin()B A C =+ ∴1sin()sin sin cos 2A C C A C +-= 即1cos sin sin 2A C C = 又∵sin 0C ≠ ∴1cos 2A =又A 是内角 ∴60A =………………6分 (2)由余弦定理得:2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-∴2()4()12b c b c +-+= 得:6b c += ∴8bc =∴11sin 822S bc A ==⨯= ………………12分 考点:解三角形,正余弦定理.19.(12分)如图,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,且6DE =,2AF =.(1)试在线段BD 上确定一点M 的位置,使得//AM 平面BEF ;(2)求二面角A BE C --的余弦值.【答案】(1)M 为BD 的一个三等分点(靠近点B );(2)15-.1cos |5θ=-=-. 试题解析: (1)取BE 的三等分点K (靠近点B ),则有123kM DE ==,过K 作KM BD ⊥交BD 于M ,由DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,可知AF ⊥平面ABCD ,∴AF BD ⊥, ∴//FA KM ,且FA KM =,……………………3分所以四边形FAMK 为平行四边形,可知////AM FK AM ⇒平面BEF , ∵13MK BM ED BD ==,∴M 为BD 的一个三等分点(靠近点B );……………5分(2)如图建立空间直角坐标系:因为二面角A BE C --为钝二面角,可得1cos |5θ=-=-, 所以二面角的A BE C --余弦值为15-.……………………12分 考点:空间向量与立体几何.20.(12分) 已知函数2()(1)1f x x a x a =-+-+-,2()()1g x x x a =--,其中a 为实数.(1)是否存在0(0,1)x ∈,使得0()10f x +=?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,请说明理由;(2)若集合{|()()0,}A x f x g x x R ==∈中恰有5个元素,求实数a 的取值范围.【答案】(1)(0,1)a ∈时,00(0,1),()10x f x ∃∈+=;(2)2a >【解析】试题分析:(1)0()10f x +=,即()(1)0x a x --+=,解得1x x a =-=或,所以(0,1)a ∈时,00(0,1),()10x f x ∃∈+=;(2)2()(1)10f x x a x a =-+-+-=有2相异实根时,2(1)4(1)0a a ∆=-+->,解得3a <-或1a >.'()()(3)g x x a x a =--,当0a =时,'()0g x ≥,()0g x = 有1解,不符合题意;当0a <时,3a a <,结合函数的单调性和极值可知()0g x = 有1解,不符合题意;当0a >时,3a a >,结合函数的单调性和极值可知()0g x =有3解时a >2(1)4(1)0a a ∆=-+->,∴3a <-或1a >,2()()10g x x x a =--=有3个相异实根时,'()()(3)g x x a x a =--………………6分当0a =时,'()0g x ≥,()g x =0有1解;当0a <时,3a a <,()g x 在(,)a -∞上增,(,)3a a 上减,(,)3a +∞上增,极大值()10g a =-<,()0g x =有1解;当0a >时,3a a >,()g x 在(,)3a -∞上增,(,)3a a 上减,(,)a +∞上增,极小值()10g a =-<,要使()0g x =有3解,只须()03a g >,∴a >10分下面用反证法证明2a >5个根相异.假设000,()()0x R f x g x ∃∈==即200200(1)10()10x a x a x x a ⎧-+-+-=⎪⎨--=⎪⎩两式相减得:20000()(1)0x a x ax x --++= 若0x a =代入②得0-1=0矛盾;若20010x ax x -++=代入①得0a =,这与a >盾. 所以假设不成立,即5个根相异.综上,2a >12分 考点:函数导数与零点问题.21.(12分)设函数22()(2)ln ,,f x x ax x bx a b R =-+∈.(1)当1,1a b ==-时,设2()(1)ln g x x x x =-+,求证:对任意的1x >,22()()g x f x x x e e ->++-;(2)当2b =时,若对任意[1,)x ∈+∞,不等式22()3f x x a >+恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2)(,1)-∞. 试题解析:(1)当1,1a b ==-时,22()(2)ln f x x x x x =--,所以2()()x g x f x x x e e ->++-等价于ln 0x e x e +->. 令()ln x h x e x e =+-,则'1()0x h x e x=+>,可知函数()h x 在(1,)+∞上单调递增, 所以()(1)h x h >,即ln xe x e +>,亦即ln 0x e x e +->……………………4分(2)当2b =时,22()(2)ln 2f x x ax x x =-+,a R ∈.所以不等式22()3f x x a >+等价于22(24)ln 0x ax x x a -+->.方法一:令22()(24)ln p x x ax x x a =-+-,[1,)x ∈+∞,则'()(44)ln (24)24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥.当1a ≤时,'()0p x ≥,则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增,所以min ()(1)1p x p a ==-, 所以根据题意,知有10a ->,∴1a <………………8分当1a >时,由'()0p x <,知函数()p x 在[1,)a 上单调减;由'()0p x >,知函数()p x 在(,)a +∞上单调递增.所以2min ()()(12ln )p x p a a a a ==--. 由条件知,2(12ln )0a a a -->,即(12ln )10a a -->.设()(12ln )1q a a a =--,1a >,则'()12ln 0q a a =-<,1a >,所以()q a 在(1,)+∞上单调递减.又'()(44)ln (24)24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥,显然当1a <时,'()0p x >,则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增,所以min ()(1)10p x p a ==->,所以1a <.综上可知a 的取值范围为(,1)-∞.………………12分考点:函数导数与不等式,恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数导数与不等式,恒成立问题.要证明一个不等式,我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式,如第一问的不等式,可以转化为ln 0xe x e +->,第二问的不等式可以转化为22(24)ln 0x ax x x a -+->,划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.22.(12分)设函数2()2ln(1)f x ax ax x =+-+,其中a R ∈.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若1()1a f x ex -+>+在区间(0,)+∞内恒成立(e 为自然对数的底数),求实数a 的取值范围.【答案】(1)当0a ≤时,()f x 在(1,)-+∞内单调递减,当0a >时,()f x 在(1,1--+上单调递减,在(1)-++∞上单调递增;(2)1[,)2a ∈+∞.试题解析:(1)2'12421()22(1)1(1)x ax ax a f x ax a x x e x ++-=+-=>-++ 当0a ≤时,'()0f x <,()f x 在(1,)-+∞内单调递减.………………2分当0a >时,'()0f x =,有1x =-………………4分 此时,当(1,1x ∈--时,'()0f x <,()f x 单调递减; 当(1)x ∈-++∞时,'()0f x >,()f x 单调递增. (2)令11()1x g x x e=-+,则1()(1)x x e x g x e x --=+(易证)当0a ≤,0x >时,2()(2)ln(1)0f x a x x x =+-+<.故当()()f x g x >在区间(0,)+∞内恒成立时,必有0a >.………………6分2'22211112(1)2(1)1()22221(1)(1)1(1)x x a x x h x ax a ax a x x e x x x +-++=+-+-≥+--=+++++22(1)2(1)10(1)x x x +-++≥>+ 所以()h x 在0x >时单调递增,所以()(0)0h x h >=恒成立,即()()f x g x >恒成立,满足题意。

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绝密★启用前2016-2017学年度???学校3月月考卷试卷副标题注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1.U =R,A ={−3,−2,−1,0,1,2},B ={x|x ≥1},则A ∩C U B = ( ) A. {1,2} B. {−1,0,1,2} C. {−3,−2,−1,0} D. {2}【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】C【解析】因为C U B ={x|x <1},所以A ∩(C U B)={−3,−2,−1,0},故选C . 2.在复平面中,复数1(1+i)2+1+i 对应的点在 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】D 【解析】因为1(1+i)2+1+i 4=11+2i+1=1−2i (1+2i)(1−2i)+1=65−25i 在复平面对应的点为(65,−25),位于第四象限,故选D .3.在ΔABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,则“sinA >sinB ”是“a >b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】C【解析】设ΔABC 外接圆的半径为R ,若sinA >sinB ,则2RsinA >2RsinB ,即a >b ;若a >b ,则a2R >b2R ,即sinA >sinB ,所以在ΔABC 中,“sinA >sinB ”是“a >b ”的充要条件,故选C .4.若sin(π−α)=13,且π2≤α≤π,则sin2α的值为 ( ) A. −4√29B. −2√29C.2√29D.4√29【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题试卷第2页,总15页…………○…………订…………○…………线…※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………订…………○…………线…【答案】A【解析】因为sin(π−α)=sinα=13,又π2≤α≤π,所以cosα=−2√23,所以sin2α=2sinαcosα=2×13×(−2√23)=−4√29,故选A ..5.执行下面的程序框图,则输出K 的值为 ( )A. 98B. 99C. 100D. 101【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】B【解析】第一次循环,得S =lg2,K =2;第二次循环,得S =lg2+lg 32=lg3,K =3;第三次循环,得S =lg3+lg 43=lg4,K =4;第四次循环,得S =lg4+lg 54=lg5,K =5;…,第98次循环,得S =lg98+lg 9998=lg99,K =99;第99次循环,得S =lg99+lg10099=lg100=2,此时不满足循环条件,退出循环,输出K =99,故选B .点睛:求解含有循环结构的程序框图问题,如果循环次数不多,则可考虑逐步写出每一次循环结果进行求解;如果循环次数较多时,则可试着写出前几次的循环结果,然后寻找其规律来求解.6.李冶(1192--1279 ),真定栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算)( )A. 10步,50步B. 20步,60步C. 30步,70步D. 40步,80步…………订…………○…………级:___________考号:___________…………订…………○…………【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】B 【解析】设圆池的半径为r 步,则方田的边长为(2r +40)步,由题意,得(2r +40)2−3r 2=13.75×240,解得r =10或r =−170(舍),所以圆池的直径为20步,方田的边长为60步,故选B .点睛:求解数学文化试题主要分三步完成:(1)理解数学文化背景,挖掘出包含的数学意义;(2)联想相关的数学模型,将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题;(3)利用数学知识求解,并回答求解的问题7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )A. 16B. 20C. 52D. 60【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】B【解析】由三视图知,该几何体是一个底面直角边分别为3、4的直角三角形、高为6的三棱柱被截去两个等大的四棱锥,且四棱锥的底面是边长分别为2、5的矩形、高为125,所以该几何体的体积V =12×3×4×6−2×13×2×5×125=20,故选B .8.已知函数f(x)=sin(2x +π12),f ′(x)是f(x)的导函数,则函数y =2f(x)+f ′(x)的一个单调递减区间是( )A. [π12,7π12] B. [−5π12,π12] C. [−π3,2π3] D. [−π6,5π6]【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】A【解析】由题意,得f ′(x)=2cos(2x +π12),所以y =2f(x)+f ′(x)=2sin(2x +π12)+2cos(2x +π12)=2√2sin(2x +π12+π4)=2√2sin(2x +π3).由2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2(k ∈Z ),得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12(k ∈Z ),所以y =2f(x)+f ′(x)的一个单调递减区间为(π12,7π12),故选A .9.若a =2∫(x +|x|)dx 3−3,则在(√x √x3)a 的展开式中,x 的幂指数不是整数的项试卷第4页,总15页外…………○…………※※请※※不※内…………○…………共有( )A. 13项B. 14项C. 15项D. 16项【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】C 【解析】因为a =2∫(x+|x|)dx 3−3=2[∫(x +x)dx +∫(x −x)dx 0−3]=32x 2|03=18,所以该二项式展开式的通项公式T r+1=C 18r(√x)18−r √x3)r=(−1)r C 18r x 9−56r(0≤r ≤18),当r =0,6,12,18时展开式中x 的幂指数为整数,所以该二项式展开式中x 的幂指数不是整数的项有19−4=15项,故选C .点睛:求解二项式展开式中某项问题求解通法是利用通项整理出方程(组),或不等式(组)再求解,除此之外就是等价变形之后再利用通项公式求解或直接运用二项式定理,可以更快更准确求解.10.在平面直角坐标系中,不等式组{x +y ≤0x −y ≤0x 2+y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π,若x,y 满足上述约束条件,则z =x+y+1x+3的最小值为 ( )A. -1B. −5√2+17C. 13D. −75【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由题意,知14πr 2=π,解得r =2.因为目标函数z =x+y+1x+3=1+y−2x+3表示区域内上的点与点P(−3,2)连线的斜率加上1,由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小.设切线方程为y −2=k(x +3),即kx −y +3k +2=0,则有√k 2+1=2,解得k =−125或k =0(舍),所以z min =1−125=−75,故选D .11.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过点F 1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A 、B 两点,AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点,若ΔPQF 2的周长为12,则ab 取得最大值时双曲线的离心率为( ) A. √2 B. √3 C.2√33D.3√22【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题【答案】C【解析】由题意,得|AF1|+|BF1|=|AB|=2b2a①,且P,Q分别为AF2,BF2的中点.由双曲线定义,知|AF2|−|AF1|=2a②,|BF2|−|BF1|=2a③,联立①②③,得|AF2|+|BF2|=4a+2b2a .因为ΔPQF2的周长为12,所以ΔABF2的周长为24,即4a+4b2a=24,亦即b2=6a−a2,所以(ab)2=6a3−a4.令f(a)=6a3−a4,则f′(a)=18a2−4a3=4a(92−a),所以f(a)在(0,92)上单调递增,在(92,+∞)上单调递减,所以当a=92时,f(a)取得最大值,此时b2=6×92−(92)2=274,所以c=√a2+b2=3√3,所以e=ca=2√33,故选C.点睛:本题主要考查双曲线的定义及几何性质,以双曲线为载体,通过利用导数研究的单调性,考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想.双曲线的离心率问题,主要是有两类试题:一类是求解离心率的值,一类是求解离心率的范围.基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c的关系式,求值问题就是建立关于a,b,c的等式,求取值范围问题就是建立关于a,b,c的不等式.12.已知函数f(x)=e2x−ax2+bx−1,其中a,b∈R,e为自然对数的底数.若f(1)=0,f′(x)是f(x)的导函数,函数f′(x)在区间(0,1)内有两个零点,则a的取值范围是()A. (e2−3,e2+1)B. (e2−3,+∞)C. (−∞,2e2+2)D. (2e2−6,2e2+2)【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题【答案】A【解析】由f(1)=0,得e2−a+b−1=0,所以b=a−e2+1,又f′(x)=2e2x−2ax+ b,令g(x)=2e2x−2ax+b,则g′(x)=4e2x−2a,x∈(0,1),所以4<4e2x<4e2,所以:(1)若a≥2e2时,则g′(x)<0,函数g(x)在(0,1)内单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点;(2)若a≤2时,则g′(x)>0,函数g(x)在(0,1)内单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点;(3)若2<a<2e2时,当0<x<12ln a2时,g′(x)<0,当12ln a2<x<1时,g′(x)>0,所以函数g(x)在(0,12ln a2)上递减,在(12ln a2,1)上递增,所以g(x)min=g(12ln a2)=a−aln a2+b=2a−aln a2−e2+1.令ℎ(x)=2x−xln x2−e2+1=2x−xlnx+xln2−e2+1(2<x<2e2),则ℎ′(x)=−lnx+1+ln2,当x∈(2,2e)时,ℎ′(x)>0,ℎ(x)为增函数,当x∈(2e,2e2)时,ℎ′(x)<0,ℎ(x)为减函数,所以ℎ(x)max=ℎ(2e)=2e−e2+1<0,即g(x)min<0恒成立,所以函数g(x)在(0,1)内有两个零点,则{g(0)=2+a−e2+1>0g(1)=2e2−2a+a−e2+1>0,解得e2−3<a<e2+1.综上所述a的取值范围为(e2−3,e2+1),故选A.点睛:研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.判断函数零点的个数的方法:(1)直接法:令f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数.(2)画图法:转化为两个易画出图象的函数,看其交点的个数即可.(3)定理法:利用零点存在性定理判定,可结合最值、极值去解决.试卷第6页,总15页第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13.设样本数据x 12,⋯,x 2017的方差是4,若y i =x i −1(i =1,2,⋯,2017),则y 1,y 2,⋯,y 2017的方差为__________.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】4【解析】设样本数据的平均数为x̅,则y i =x i −1的平均数为x̅−1,则新数据的方差为12017[(x 1−1−x̅+1)2+(x 2−1−x̅+1)2+⋯+(x 2017−1−x̅+1)2]=12017[(x 1−x̅)2+(x 2−x̅)2+⋯+(x 2017−x̅)2]=4.14.在平面内将点A(2,1)绕原点按逆时针方向旋转3π4,得到点B ,则点B 的坐标为__________.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】(−3√22,√22) 【解析】由题意,知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),则x 2+y 2=5 ①,又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4,即2x +y =−5√22②.联立①②解得x =−3√22,y =√22,所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√22,√22),所以点B 坐标为(−3√22,√22). 点睛:一题多解.由三角函数的定义,得tan∠AOx =12,所以tan∠BOx =tan(∠AOx +π4)=tan∠AOx+tanπ41−tan∠AOxtanπ4=−13,所以点B 在第二象限.设B(x,y),则x 2+y 2=5 ①且x ︰y =−3︰1 ②,联立①②解得x =−3√22,y =√22,所以点B 坐标为(−3√22,√22). 15.设二面角α−CD −β的大小为45°,A 点在平面α内,B 点在CD 上,且∠ABC =450,则AB 与平面β所成的角的大小为__________.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题【答案】30°【解析】如图,作AE ⊥平面β于点E ,在平面β内过E 作EF ⊥CD 于点F ,连接AF ,由三垂线定理得AF ⊥CD ,所以∠AFE 为二面角α−CD −β的平面角,所以∠AFE =45°,又∠ABC =45°,所以∠BAF =45°.连接BE ,则∠ABE 为AB 与平面β的所成角.设AE =a ,则EF =a ,AF =√2a ,BF =√2a ,AB =2a ,所以sin∠ABE =AEAB =12,所以∠ABE =30°.…线…………○………线…………○……点睛:做二面角的平面角主要有:(1)定义法:在棱上取一点,在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线,这2条所夹的角;(2)垂面法:做垂直于棱的一个平面,这个平面与2个半平面分别有一条交线,这2条交线所成的角;(3)三垂线法:过一个半平面内一点(记为A )做另一个半平面的一条垂线,过这个垂足(记为B )再做棱的垂线,记垂足为C ,连接AC ,则即为该∠ACB 二面角的平面角.16.非零向量m,n 的夹角为π3,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x 1,x 2,x 3由一个m 和两个n 排列而成,向量组y 1,y 2,y 3由两个m 和一个n 排列而成,若x 1·y 1+x 2·y 2+x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2,则λ=__________.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】83【解析】由题意,x 1⋅y 1+x 2⋅y 2+x 3⋅y 3的运算结果有以下两种可能:①m ⃗⃗ 2+m ⃗⃗ ⋅n ⃗ +n ⃗ 2=m ⃗⃗ 2+λ|m ⃗⃗ ||m ⃗⃗ |cos π3+λ2m ⃗⃗ 2=(λ2+λ2+1)m ⃗⃗ 2;②m ⃗⃗ ⋅n ⃗ +m ⃗⃗ ⋅n ⃗ +m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =3λ|m ⃗⃗ ||m ⃗⃗ |cos π3=3λ2m ⃗⃗ 2,又λ2+λ2+1−3λ2=λ2−λ+1=(λ−12)2+34>0,所以3λ2m ⃗⃗ 2=4m ⃗⃗ 2,即3λ2=4,解得λ=83.点睛:本题主要考查向量的数量积,以集平面向量为载体,通过向量的数量程式,考查运算能力.解答本类题目应首先读懂题意,根据所陈述的运算法则进行计算,然后将本题转化为所熟悉的知识,本题中要注意两种情况的可能,不能丢掉. 三、解答题17.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m−1=−4,S m =0,S m+2=14(m ≥2,且m ∈N ∗).(1)求m 的值;(2)若数列{b n }满足an 2=log 2b n (n ∈N ∗),求数列{(a n +6)·b n }的前n 项和. 【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】(1)5;(2) T n =(n −1)2n−1+12(n ∈N ∗)【解析】试题分析:(1)结合已知两个条件,采用方程思想,求解a m 与公差点d ,从而利用等差数列的通项公式求解m ;(2)借助第一问结论,化简an 2=log 2b n 求得b n ,明确所求数列的通项公式{(a n +b)b n },采用错位相减法求和. (Ⅰ)由已知得a m =S m −S m−1=4,试卷第8页,总15页………外…………○※………内…………○且a m+1+a m+2=S m+2−S m =14,设数列{a n }的公差为d ,则有2a m +3d =14, ∴d =2由S m =0,得ma 1+m(m−1)2×2=0,即a 1=1−m ,∴a m =a 1+(m −1)×2=m −1=4 ∴m =5.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a 1=−4,d =2,∴a n =2n −6 ∴n −3=log 2b n ,得b n =2n−3.∴(a n +b)b n =2n ×2n−3=n ×2n−2. 设数列{(a n +b)b n }的前n 项和为T n∴ T n =1×2−1+2×20+⋯+(n −1)×2n−3+n ×2n−2 ① 2T n =1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1② -②,得−T n =2−1+20+⋯+2n−2−n ×2n−1=2−1(1−2n )1−2−n ×2n−1=2n−1−12−n ×2n−1∴T n =(n −1)2n−1+12(n ∈N ∗)点睛:本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式、错位相减法求数列的和,以数列为 载体,通过利用错位相减法求和,考查逻辑思维能力、运算能力.形如{a n ·b n }的数列,其中{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,则可在求和等式两边同乘{b n }的公比,然后两等式错位相减,即如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列,求此数列的前n 项和可利用.18.如图,三棱柱ABC −DEF 中,侧面ABED 是边长为2的菱形,且∠ABE =π3,BC =√212.四棱锥F −ABED 的体积为2,点F 在平面ABED 内的正投影为G ,且G 在AE 上,点M 是在线段CF 上,且CM =14CF .(1)证明:直线GM//平面DEF ; (2)求二面角M −AB −F 的余弦值.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题…○…………装…………○…………线……学校:___________姓名:___________…○…………装…………○…………线……【答案】(1)详见解析;(2)7√8585【解析】试题分析:(1)通过构造辅助线FH ,证明GHFM 为平行四边形,即借助线线平行证明线面平行;(2)借助底面四边形的对角线互相垂直,建立空间直角坐标,利用向量方法求解二面角.(Ⅰ)解析:因为四棱锥F −ABED 的体积为2,即V F−ABED =13×√34×4×2×FG =2,所以FG =√3 又BC =EF =√212,所以EG =32即点G 是靠近点A 的四等分点,过点G 作GK//AD 交DE 于点K ,所以GK =34AD =34CF , 又MF =34CF ,所以MF =GK 且MF//GK , 所以四边形MFKG 为平行四边形,所以GM//FK ,所以直线GM//平面DEF . (Ⅱ)设AE,BD 的交点为O ,OB 所在直线为x 轴,OE 所在直线为y 轴,过点O 作平面ABED 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:A(0,−1,0),B(√3,0,0),F(0,−12,√3),M(3√34,−54,√3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√34,−54,√3),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−12,√3) 设平面ABM,ABF 的法向量为m ⃗⃗ ,n ⃗ ,{m ⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则m ⃗⃗ =(1,−√3,−1), {n ⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则n ⃗ =(1,−√3,12)cosθ=m⃗⃗⃗ ·n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=7√8585,即为所求. 点睛:本题主要考查直线与平面平行的判定定理、二面角、空间向量的应用,以三棱柱试卷第10页,总15页为载体,考查借助空间想象能力、逻辑推证、转化能力、运算能力.线面平行的判定方法一是线面平行的判定定理,二是证面面平行,其解题的关键是在面内找到一线与面外一线平行,或由线面平行导出面面平行,性质的运用一般要利用辅助平面;求二面角通常通过建立空间直角坐标系利用空间夹角公式求解.19.交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a 元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,a =950.记X 为某同学家里的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求X 的分布列与数学期望;(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元:①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求他获得利润的期望值.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题【答案】(1)942;(2)50万元 【解析】试题分析:(1)根据题意,首先确定X 的所有可能取值,然后利用统计表格,借助古典概型的公式计算对应的概率,进而利用期望公式求解;(2)利用独立重复实验的概率计算公式求解满足条件的概率,明确Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润的可能性,得到分布列和利润期望值.(Ⅰ)由题意可知X 的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a ,试卷第11页,总15页由统计数据可知:P(X =0.9a)=16,P(X =0.8a)=112,P(X =0.7a)=112,P(X =a)=13,P(X =1.1a)=14,P(X =1.3a)=112.所以EX =0.9a ×16+0.8a ×112+0.7a ×112+a ×13+1.1a ×14+1.3a ×112=119a 12=1130512≈942.(Ⅱ) ①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13,三辆车中至多有一辆事故车的概率为P =(1−13)3+C 3113(23)2=2027. Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,Y 的可能取值为−5000,10000.所以EY =−5000×13+10000×23=5000.所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100×EY =50万元.20.设M 、N 、T 椭圆x 216+y 212=1上三个点,M 、N 在直线x =8上的射影分别为M 1,N 1.(1)若直线MN 过原点O ,直线MT 、NT 斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值; (2)若M 、N 不是椭圆长轴的端点,点L 坐标为(3,0),ΔM 1N 1L 与ΔMNL 面积之比为5,求MN 中点K 的轨迹方程.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】(1)k 1k 2=−34(2)(x −1)2+4y 23=1(x >0)【解析】试题分析:(1)设出各点坐标,利用斜率公式表示,然后借助点差法求解为定值;(2)根据ΔM 1N 1L 与ΔMNL 面积之比为5,进行转化为直线MN 经过点定点F(2,0).然后分直线MN 是否垂直于x 轴两种情况讨论,进而采用将直线与椭圆的方程联立,消y 建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系得到中点的坐标满足的等量关系,通过消去法明确轨迹方程.同时注意范围的限制.(Ⅰ)设M(p,q),N(−p,−q),T(x 0,y 0),则k 1k 2=y 02−q 2x 02−p 2,试卷第12页,总15页又{p 216+q 212=1x 0216+y 0212=1两式相减得x 02−p 216+y 02−q 212=0,即y 02−q 2x 02−p 2=−34,k 1k 2=−34.(Ⅱ)设直线MN 与x 轴相交于点R(r,0),S ΔMNL =12|r −3|·|y M −y N |,S ΔM 1N 1L =12·5·|y M 1−y N 1|,由于S ΔM 1N 1L =5S ΔMNL 且|y M 1−y N 1|=|y M −y N |,得12·5·|y M 1−y N 1|=5·12|r −3|·|y M −y N |,r =4(舍去)或r =2. 即直线MN 经过点F(2,0).设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),K(x 0,y 0), 直线MN 垂直于x 轴时,弦MN 中点为F(2,0);直线MN 与x 轴不垂直时,设MN 的方程为y =k(x −2),则{x 216+y 212=1y =k(x −2)⇒(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−48=0. x 1+x 2=16k 23+4k2,x 1x 2=16k 2−483+4k 2.x 0=8k 23+4k 2,y 0=−6k 3+4k 2.消去k ,整理得(x 0−1)2+4y 023=1(y 0≠0).综上所述,点K 的轨迹方程为(x −1)2+4y 23=1(x >0).点睛:本题主要考查直线的斜率、直线与椭圆的位置关系、轨迹方程,以椭圆为载体,通过利用设而不求法,考查逻辑推证能力、运算能力以及分类讨论思想、设而不求的思想.定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.在求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现. 21.已知函数f(x)=mln(x +1),g(x)=xx+1(x >−1).(1)讨论函数F(x)=f(x)−g(x)在(−1,+∞)上的单调性;(2)若y =f(x)与y =g(x)的图象有且仅有一条公切线,试求实数m 的值.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题【答案】(1)当m ≤0时,F(x)的单减区间是(−1,+∞);当m >0时,F(x)的单减区间是(−1,−1+1m ),单增区间是(−1+1m ,+∞)(2)1【解析】试题分析:(1)通过求导和对参数m 进行讨论求解函数的单调性;(2)利用转化思想,要保证y =f(x)与y =g(x)的图象有且仅有一条公切线,需要分别求解两个函数的切线方程,借助直线相同建立等量斜率相等和截距相等的关系,化简方程组,确定含有参数b 和m 的方程有唯一解,进而明确含有m 的函数关系式,利用导数为工具求解函数的单调性进而确定m 的值. (Ⅰ)F ′(x)=f ′(x)−g ′(x)=mx+1−1(x+1)2=m(x+1)−1(x+1)2,(x >−1)当m ≤0时, F ′(x)<0,函数F(x)在(−1,+∞)上单调递减;试卷第13页,总15页当m >0时,令F ′(x)<0⇒x <−1+1m ,函数F(x)在(−1,−1+1m )上单调递减;F ′(x)>0⇒x >−1+1m ,函数F(x)在(−1+1m,+∞)上单调递增,综上所述,当m ≤0时,F(x)的单减区间是(−1,+∞); 当m >0时,F(x)的单减区间是(−1,−1+1m ), 单增区间是(−1+1m ,+∞)(Ⅱ)函数f(x)=mln(x +1)在点(a,mln(a +1))处的切线方程为y −mln(a +1)=m a+1(x −a),即y =m a+1x +mln(a +1)−maa+1,函数g(x)=xx+1在点(b,1−1b+1)处的切线方程为y −(1−1b+1)=1(b+1)2(x −b),即y =1(b+1)2x +b 2(b+1)2.y =f(x)与y =g(x)的图象有且仅有一条公切线.所以{ma+1=1(b+1) ①mln(a +1)−maa+1=b 2(b+1)2 ②有唯一一对(a,b)满足这个方程组,且m >0.由(1)得: a +1=m(b +1)2代入(2)消去a ,整理得:2mln(b +1)+2b+1+mlnm −m −1=0,关于b(b >−1)的方程有唯一解.令g(b)=2mln(b +1)+2b+1+mlnm −m −1,g(b)=2m b+1−2(b+1)2=2[m(b+1)−1](b+1)2方程组有解时,m >0,所以g(b)在(−1,−1+1m )单调递减,在(−1+1m ,+∞)单调递增,所以g(b)min =9(−1+1m )=m −mlnm −1, 因为b →+∞,g(b)→+∞,b →−1,g(b)→+∞, 只需m −mlnm −1=0,令σ(m)=m −lnm −1、 σ′(m)=−lnm 在m >0为单减函数,且m =1时, σ′(m)=0,即σ(m)max =σ(1)=0,所以m =1时,关于b 的方程2mln(b +1)+2b+1+mlnm −m −1=0有唯一解 此时a =b =0,公切线方程为y =x .22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =a +acosβy =asinβ(a >0,β为参数).以O为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π3)=32. (1)若曲线C 与l 只有一个公共点,求a 的值;(2)A,B 为曲线C 上的两点,且∠AOB =π3,求ΔOAB 的面积最大值. 【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题试卷第14页,总15页【答案】(1)a =1(2)3√3a 24【解析】试题分析:(1)将曲线C 的参数方程和直线l 的极坐标方程化为普通方程,然后利用圆心到直线的距离为半径建立等量关系,求解参数a 的值;(2)借助极坐标方程中极角的几何意义和三角变换,将ΔOAB 的面积公式转化为含有一个角的一个三角函数,利用三角函数的图象探求最值问题.(Ⅰ)曲线C 是以(a,0)为圆心,以a 为半径的圆; 直线l 的直角坐标方程为x +√3y −3=0. 由直线l 与圆C 只有一个公共点,则可得|a−3|2=a ,解得: a =−3(舍),a =1. 所以:a =1(Ⅱ)曲线C 的极坐标方程为ρ=2a cos θ,(a >0), 设A 的极角为θ, B 的极角为(θ+π3),则S ΔOAE =12|OA|·|OB|sin π3=√34|2a cos θ|·|2a cos (θ+π3)|=√3a 2|cos θcos (θ+π3)|,cosθcos(θ+π3)=12cos 2θ−√32sinθcosθ=12cos 2θ+12−√34sin2θ=12(12cos2θ−√32sin2θ)+14=12cos(2θ+π3)+14所以当θ=−π6时,12cos (2θ+π3)+14取得最大值34.ΔOAB 的面积最大值3√3a 24.解法二:因为曲线C 是以(a,0)为圆心,以a 为半径的圆,且∠AOB =π3由正弦定理得:|AB|sinπ3=2a ,所以|AB|=√3a .由余弦定理得|AB|2=3a 2=|OA|2+|OB|2−|OA|·|OB|≥|OA|·|OB|, 所以S ΔOAB =12|OA|·|OB|sin π3≤12×3a 2×√32=3√3a 24, 所以ΔOAB 的面积最大值3√3a 24. 23.选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|x −1|−|2x +1|的最大值为m . (1)作出函数f(x)的图象;(2)若a 2+2c 2+3b 2=m ,求ab +2bc 的最大值.【来源】河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测数学(理)试题 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析 【解析】试题分析:(1)采用零点分段法,去掉函数中的两个绝对值,转化为分段函数,从而画出函数图象;(2)借助拆分思想,得到a 2+2c 2+3b 2=(a 2+b 2)+2(c 2+b 2)然后利用基本不等式探求最大值,注意等号成立的条件.(Ⅰ)f(x)={x +2,x ≤−12−3x,−12<x <1−x −2,x ≥1(如果没有此步骤,需要图中标示出x =−12,x =1对应的关键点,否则扣分) 画出图象如图,试卷第15页,总15页……线…………○…………线…………○……(Ⅱ)由(Ⅰ)知m =32.∵32=m =a 2+2c 2+3b 2=(a 2+b 2)+2(c 2+b 2)≥2ab +4bc ,∴ab +2bc ≤34,∴ab +2bc 的最大值为34,当且仅当a =b =c =12时,等号成立.。

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