理论力学第六章
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理论力学 第六章
根据平行四边形法则，将各力依次两两合成，FR为最后 的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式为
n
FR Fi i 1
汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力 的矢量和确定，作用线通过汇交点。
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.1 几何法
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
❖结 论
6.1.1 几何法
平面汇交力系合成的结果是一个合力， 它等于原力系中各力的矢量和，合力的 作用线通过各力的汇交点。
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
cos(FR
, i)
FRx FR
,
cos(FR ,
j)
FRy FR
,
cos(FR
, k)
FRz FR
合力作用线过汇交点。
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
汇交力系平衡的充分必要条件
汇交力系的合力为零
各力在三个坐标轴上的 投影代数和分别等于零
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6.3 空间任意力系的简化
6.3.2 力系向一点简化·主矢和主矩
设刚体上作用一任意力系F1、F2、…、Fn。 任选一点O称为力系的简化中心。依据力的平移定理， 将力系中诸力向O点平移。
得到作用于O点的一汇交力系F 1、F 2、…、F n和一力 偶系M1、M2、…、Mn 。
Theoretical Mechanics
n
n
FR Fi i 1
汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力 的矢量和确定，作用线通过汇交点。
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.1 几何法
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6.1 汇交力系的简化与平衡
❖结 论
6.1.1 几何法
平面汇交力系合成的结果是一个合力， 它等于原力系中各力的矢量和，合力的 作用线通过各力的汇交点。
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
cos(FR
, i)
FRx FR
,
cos(FR ,
j)
FRy FR
,
cos(FR
, k)
FRz FR
合力作用线过汇交点。
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
汇交力系平衡的充分必要条件
汇交力系的合力为零
各力在三个坐标轴上的 投影代数和分别等于零
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6.3 空间任意力系的简化
6.3.2 力系向一点简化·主矢和主矩
设刚体上作用一任意力系F1、F2、…、Fn。 任选一点O称为力系的简化中心。依据力的平移定理， 将力系中诸力向O点平移。
得到作用于O点的一汇交力系F 1、F 2、…、F n和一力 偶系M1、M2、…、Mn 。
Theoretical Mechanics
n
理论力学第6章
一、惯性力系主矢
FIR FIi mi ai
mi FIi
C
ai aC
对于质量不变的质点系：
m a ma
i i
C
所以，惯性力系的主矢为：
FIR m aC
与质点系的运动形式无关！！！
二、惯性力系主矩及简化结果 1、刚体平移
惯性力系向点O简化.
FIi
i
ri
O
aC
rC
t n M F M F z I i z I i mi ri ri Iz
mi ri 2 J z
M Iz J z
M IO M Ix i M Iy j M iz k
如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中 心取此平面与转轴的交点,则
例题
已知：如图所示均质杆的质量为m，长为l，绕定轴O转动的 角速度为 ，角加速度为 。
求：惯性力系向点Ｏ简化的结果(方向在图上画出).
解:
l FIO m 2
l 2 F m 2
n IO
M IO
1 2 ml 3
2、刚体定轴转动
FIi mi ai mi ri
F mi a mi ri
n Ii n i
2
M Ix M x FIi M x FIit M x FIin
mi ri cos i zi (mi ri 2 sin i zi )
第 6章
6.1 非惯性系惯性力 6.2 达朗贝尔惯性力
惯性力
FI
m
6.2.1 质点的惯性力
ma=F+N
令
F+N-ma=0
理论力学第六章-
• （二）理想约束和虚功原理
作用在质点上的力F与质点任一虚位移 δ的r
标积，称为此力在虚位移中的虚功
δ W F F ' δ r
虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能 量转化过程与之联系。对于处于平衡状态 的体系，作用在各质点上的力（主动力和 约束力）所做的虚功之和为0
若体系中各个约束力所做的虚功之和等 于零，则这种约束称为理想约束
n
F'
δri
0
i1
◆光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约 束，受这些约束的质点，约束力恒与相应 的虚位移垂直! ◆如两个质点（研究对象）被不可伸长的 轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表 面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束， 固定点约束等。
虚功原理：受理想约束的力学系统，保持 平衡的必要条件是作用于该系统的全部主 动力在任意虚位移中的虚功之和为零
s1pqLs1qLqL
称为哈密顿函数(或哈密顿量)，是广义坐 标和广义动量的函数。
• （三）虚功原理的广义坐标表述和广义 力
xixi(q 1,q2, ,qs,t)
则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位 移之间的存在关系
δxi s1qxi δqxti δt
(i1,2, ,3n)
δt 0
代入虚功原理的表达式可得
δW
3n i 1
Fi
s 1
r i r iq ,t 1 ,2 , ,s
ri
dri dt
s
ri
1q
q
ri t
ri q
ri q
d dt q r i s1q 2 riqq t 2q ri
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
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解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学第6章
6.1 点的合成运动基本概念
z
x
大梁不动时
y
o
动
点？
定参考系？
z
y x
动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？
牵连运动？
O
6.1 点的合成运动基本概念
动
点？
定参考系 ？ 动参考系 ？
绝对运动 ？
相对运动 ？
牵连运动 ？
6.1 点的合成运动基本概念
◆ 运动的相对性 ： 物体对于不同的参考系，运动各
va ve v r
注意点： ＊ 牵连运动是刚体(动系)的运动； 牵连速度是动系（刚体）上一 点(该瞬时与动点相重合的点) 的速度。 ＊速度合成定理适用于任何形式的牵连运动，任意的相对运动。 ＊ v a v r v e 为矢量式，符合平行四边形法则，其 对角线为 va
＊矢量
va .vr .ve 满足“6-4=2”即可求两个未知量。
P'1
PP 相对轨迹 2 P 1P 1 牵连点运动轨迹
PP' 绝对位移 PP2 相对位移 P1 P1 牵连点的位移
zP(P1)
A
Dt
A
y
x
O
6.2
点的速度合成定理
B
P2
B
P'
va vr
PP' PP2 va lim v r lim Dt 0 Dt Dt 0 Dt P1 P1 ve lim Dt 0 Dt PP' P1 P1 P1P ' PP' P1 P1 P1P ' lim lim lim Dt 0 Dt Dt 0 Dt Dt 0 Dt
O1
w
O2
j
A
理论力学第六章
2
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
理论力学课件第6章
lim MM lim MM1 lim M1M
t0 t
t0 t
t0 t
根据点的速度定义，动点 M 在瞬时t 的绝对速度为
va
lim
t 0
MM t
它的方向沿绝对轨迹 MM 的切线。
相对速度
vr
lim
t 0
M1M t
它的方向沿在 M 点处相对轨迹AB 的切线。
牵连速度
ve
lim
t0
MM1 t
同样，它的方向沿曲线 MM1 的切线。 由上述关系，便可得到 va ve vr （6-4）
式（6-4）表示：动点的绝对速度等于动点的牵连速度与相对速度
的矢量和，这就是点的速度合成定理，即动点的绝对速度 va 可由它 的牵连速度 ve 与相对速度vr 构成的平行四边形的对角线来确定，如
图6-3所示。该平行四边形称为速度平行四边形。
度为 ve 。同样由速度合成定理有 va ve vr （b）
现以 aa 表示动点的绝对加速度。根据动点的加速度定义，则动点
的绝对加速度 aa 可写成
aa
lim va va t0 t
（6-5）
将式（a）和式（b）均代入（6-5）式并整理，得到
aa
lim (ve
t 0
vr) (ve t
vr )
本章内容
1 点的合成运动的概念 2 点的速度合成定理
3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 4 牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
第一节 点的合成运动的概念
引例 图6-1（a）所示的沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上的点 M ， 对于固结在地面上的坐标系来说，其轨迹是旋轮线，但是对于固结在车 厢上的坐标系来说，其轨迹则是一个圆；又如，图6-1（b）所示的等速
理论力学第六章点的运动学.
d d ds an v v dt ds dt
又 d 1 n dS
an
v2
n an
v2
an是一个沿主法线正方向 的矢量，指向曲率中心 。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程 上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、 由 v v0e kt dt
又 d 1 n dS
an
v2
n an
v2
an是一个沿主法线正方向 的矢量，指向曲率中心 。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程 上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、 由 v v0e kt dt
理论力学_第六章_变质量动力学
dm F v r －－反推力 dt dv m F (e) F dt
－－变质量质点的运动微分方程
2.常用的几种质量变化规律
（1）质量按线性规律变化
dm m0 知 由 dt
m m0 (1 t ) ， t 1
其反推力为
dm F vr m0 vr dt
1 2 v2 由于 mv dv d( mv ) dm 2 2
mv dv dmv v F dr dmv1 v
1 2 1 2 d( mv ) v dm F dr (v1 v )dm 2 2
1 2 1 2 d( mv ) v dm F dr Fa dr 2 2 －－变质量质点的动能定理 变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于其 牵连速度而具有的动能的代数和等于作用于质点上外力合力的 元功与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力所作 的元功之和。 1 2 1 2 2 d( mv ) v dm F dr vr vdm v1 v v vr v 2 2 F dr F dr
或
变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量由于牵连 运动而具有的动能之差，等于作用于质点上外力的合力与反推力 所作的元功之和。
例 6－2 已知：图为传送砂子的装置，砂子从漏斗铅直流下，以速度 v1 流下倾角为θ的传送带上并沿斜面下滑l长度然后流出斜 面，设砂子以流量q=常数（kg/s）从大漏斗中流下，斜面 上砂子是定常流动，其质量保持不变，不计摩擦。 求：若使砂子在斜面上的速度 v 为常数，倾角应为多少？
第六章 变质量动力学
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
理论力学第六章 平衡方程及其应用
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
§6-2 力偶系的平衡 一、平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和 等于零，即 M i 0 . 二、空间力偶系的平衡方程
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系
平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即
要使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为 -M。
第六章 平衡方程及其应用
§6-3 一般力系的平衡 一、平面一般力系的平衡方程 1. 平面一般力系平衡方程的基本形式
0 MO 0 FR
F
x
0
F
y
0
M
O
(F ) 0
2. 平面一般力系平衡方程的其他形式
（1）二矩式平衡方程
M
FA FB
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡 例题6-4 图示（a）所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面 各自作用一个力偶。已知力偶（ F1，F1 ）的矩 M 1 20N m ；力偶 （ F2，F2 ）的矩 M 2 20N m ；力偶（ F ，F ）的矩 M 3 20N m 。试 3 3 求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。
解：根据空间力偶系合成法，先求出力偶
矩矢M。根据三个力偶在空间的作用面不 同，考虑到力偶矩矢是自由矢量，可将力
偶矩矢画在坐标轴上（图 b）。和力偶矩
矢M在三个坐标轴上的投影为
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
M x M 1x M 2 x M 3 x 0
M y M1y M 2 y M 3 y (10 30cos45)N m 11.2 N m
理论力学第六章
vA vC vD vCA
y
(C)
式中三个未知量，不可解。
C
v
D
vA
B
( 大小 √ (v ) √ (OA ) ？AC AB ) ？ 方向 √ () √ ( OA) √ ( AB) √ (↖) 选取坐标系Cxy，向y x 轴上投影，得
va
ve vC vA vCA
vr
AO杆作定轴转动， AB杆和BC杆作平面运动。
C
v A r
A、B、C点速度方向如图：
vC
B
60
vA
0
O
P点为AB杆瞬心 v A r AB AP 3r 3
其转向为逆时针
vB
A
vB BP AB
3 6r 3r 2 3
P
Q点为BC杆瞬心
va sin 45 vAcos45 vCA
vCA 5 2cm / s 所得为正，说明图中所 设的指向与实际相符 vD vCA vCA AB 0.5rad / s AC 10 2
vA
O
vC
(C)
C
v
D
vCA vA
B
y
例： 如图所示机构中，已知：轮I固定，轮Ⅱ作纯滚动， 其匀角速度为，O1C=L， O1A=3L /4，两轮半径均为r。 试求图示瞬时vA ， AB和 AB.。
vA
零的点称为平面图形在 该瞬时的速度瞬心。
v A AP v A AP vB BP vB BP vC CP vC CP
2、瞬心的求法
（1）当平面图形沿某固定面作纯滚动时，图形上 与固定面的接触点即为图形的瞬心。
理论力学-第6章
刚体的平面运动—— 刚体各点到 某一固定平面的距离保持不变。 6.1 刚体平面运动方程及运动分解 6.2 平面图形上各点的速度分 析 6.3 平面图形上各点的加速度分析 6.4 运动学综合应用举例
6.1 刚体平面运动方程及运动分解
刚体平面运动的力学模型
刚体的平面运动 —刚体上处于同一平面内各点到某一 固定平面的距离保持不变。
x A r cos t y A r sin t
r xP rcosωt l1 1 ( sinωt ) 2 , l r (l -l1 ) yP sinωt l
y
2. 连杆上P点的运动方程
xP yP
x
r xP rcosωt l1 1 ( sinωt ) 2 , l r (l -l1 ) yP sinωt l
广义坐标－确定物体在参考系
中位置的独立变量：
q=(xA,yA, )
自由度－确定物体在参考系中位置
所需要的广义座标数：N
平面运动刚体的自由度
N＝3 刚体平面运动方程
3个独立变量随时间变化的 函数，即为刚体平面运动方程：
x A f1 (t ) y A f 2 (t )
f 3 (t )
特
点
刚体上平行于固定平面的 所有平面具有相同的运动规律； 这些平面上的对应的点具有相
同运动轨迹、速度和加速度。
刚体平面运动的力学模型－平面图形
平面图形－在刚体上作平行于 固定平面的平面，这样的平面与 刚体轮廓的交线所构成的图形。 平面图形上的任意直线－这一 直线的运动可以代表平面图形的 运动，也就是刚体的平面运动。
y´
y vBA v B
平面图形－S 定系－Oxy 基点－A 平移系－Ax´y´ vA 平面图形的角速度－ x´ 基点速度－ vA B点的相对速度－ vBA B点的绝对速度－ vB
理论力学第6章
当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆 周运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂 直，圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。
设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B 位置，其上任一点由O'运动到M。以固定点O'为弧坐 标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是
s Rj
动点速度的大小为
当刚体转动时，角j是时间t的单值连续函数，即
j f (t )
这就是刚体绕定轴转动的运动方程。 转角 j 对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度， 用w表示: dj w j dt 角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s (弧度/秒)表示。 角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针 转动时角速度取正值，反之取负值。
ds dj v R Rw dt dt
即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与 该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切 线而指向转动的一方。
v Rw
点M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向 加速度为：
dv d dw a ( Rw ) R Ra dt dt dt
(1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。
(2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间 的夹角q 都有相同的值。
例 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为 R
如果w与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加 速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同； 如果w与a异号，刚体作减速转动， at与v的指向相反。 这两种情况如图所示
设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B 位置，其上任一点由O'运动到M。以固定点O'为弧坐 标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是
s Rj
动点速度的大小为
当刚体转动时，角j是时间t的单值连续函数，即
j f (t )
这就是刚体绕定轴转动的运动方程。 转角 j 对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度， 用w表示: dj w j dt 角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s (弧度/秒)表示。 角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针 转动时角速度取正值，反之取负值。
ds dj v R Rw dt dt
即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与 该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切 线而指向转动的一方。
v Rw
点M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向 加速度为：
dv d dw a ( Rw ) R Ra dt dt dt
(1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。
(2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间 的夹角q 都有相同的值。
例 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为 R
如果w与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加 速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同； 如果w与a异号，刚体作减速转动， at与v的指向相反。 这两种情况如图所示
理论力学-刚体的简单运动
dt
0 t
0
0t
1t2
2
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
1.点的运动方程
s R
2.速度
v s R R
3.加速度
at
dv dt
s
R
an
v2
1 R2
R
R 2
4.速度与加速度分布图
v R
a
a2 t
an 2
R
2 4
tan at an 2
§6-４ 轮系的传动比
1. 齿轮传动
drA dt
vA
ω rA
ωa
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
i jk
v r n r 0.6 0.48 0.64 8 j 6k
86 8
例6-3
一矢量绕z轴以角速度ω转动，若 =a常量
求：da
dt
解： 将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点
rA a
从而
da dt
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
1.定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚 体绕定轴转，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线
转角： 单位:弧度(rad)
2.运动方程
f t
0 t
0
0t
1t2
2
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
1.点的运动方程
s R
2.速度
v s R R
3.加速度
at
dv dt
s
R
an
v2
1 R2
R
R 2
4.速度与加速度分布图
v R
a
a2 t
an 2
R
2 4
tan at an 2
§6-４ 轮系的传动比
1. 齿轮传动
drA dt
vA
ω rA
ωa
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
i jk
v r n r 0.6 0.48 0.64 8 j 6k
86 8
例6-3
一矢量绕z轴以角速度ω转动，若 =a常量
求：da
dt
解： 将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点
rA a
从而
da dt
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
1.定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚 体绕定轴转，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线
转角： 单位:弧度(rad)
2.运动方程
f t
理论力学---第六章
加速度 速度矢端曲线切线
2.直角坐标法
•运动方程
z
k
M ( x, y , z )
x f1 t y f 2 t z f 3 t
r
j
z
x
y
O i
x
轨迹方程
y
f ( x, y, z ) 0
速度
v r xi yj zk
第六章
运动学基础
§6-1 机构运动简图 §6-2 点的运动 §6-3 刚体基本运动
§6-1 机构运动简图 构件与运动副
固定件 支承运动构件的构件 组成机构的各 相对运动实体 – 构件 主动件 驱动力作用的构件 从动件 随主动件运动而运动的构件
机构必须有一个固定件，至少有一个主动件
构件与运动副
高副—通过点、线接触 两构件组成有确定 —运动副 移动副 相对运动的可动联接 低副—通过面接触 转动副
3.弧坐标法
(1)运动方程(沿轨迹的运动规律) (+)
s f (t )
S称为弧坐标
O
(-)
M
s
★自然法适用于描述非自由质点运动
（2）自然轴系
切向单位矢量
主法线单位矢量 副法线单位矢量 •密切面
n
b n
当点M1逐渐趋近于点M时，M1点的切线平移后和M点 的切线所确定的平面趋近于一个极限位置，此极限 位置的平面称为曲线在M点的密切面 。
an a a g cos
2 2
2 2 v0 v0 得 a g cos n
例6-4
列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作
匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度
理论力学----第六章 空间力系
由图可知os , Z F cos g
3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即 X F sing cos Fxy cos F cos cos
对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 又由于 mO ( F )r F [mO ( F )]x i [mO ( F )]y j [mO ( F )]z k
mx ( F )i my ( F ) j mz ( F )k
所以力对点O的矩为：
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0 Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
9
§6-2
一、力偶矩用矢量表示：
空间力偶系
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
空间力偶是一个自由矢量！
由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
12
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
n
m
2 m 2 m 2 ;cos mx y z
my mx mz ,cos ,cosg m m m
my (F ) mx ( F ) m (F ) cos ,cos ,cosg z mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
19
3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即 X F sing cos Fxy cos F cos cos
对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 又由于 mO ( F )r F [mO ( F )]x i [mO ( F )]y j [mO ( F )]z k
mx ( F )i my ( F ) j mz ( F )k
所以力对点O的矩为：
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0 Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
9
§6-2
一、力偶矩用矢量表示：
空间力偶系
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
空间力偶是一个自由矢量！
由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
12
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
n
m
2 m 2 m 2 ;cos mx y z
my mx mz ,cos ,cosg m m m
my (F ) mx ( F ) m (F ) cos ,cos ,cosg z mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
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《理论力学》06章共75页文档
M x M i x M 3 M 4 c 4 o M 5 5 c s4 o 5 1 s . 1 N 9 m M y M iy M 2 8N 0 m M z M i z M 1 M 4 c 4 o M 5 5 c s4 o 5 1 s . 1 N 9 m
m O (F)
m O (F) 17
例3
已知：手柄ABCD在平面AXY内，
在D处作用一个力 F,l,a,
求：M x F ,M y F ,M zF
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos
M yF Fc lo s
M z F F l a sin
因
力偶矩矢
4.只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂 的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
M (F 1 ,F 1 )r B A F 1
5.只要保持力偶矩矢不变，力偶可从其所在平 面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变。
(1）大小: 力F与力臂h的乘积，即Fh (2)方向:转动方向 (3)作用面方位：力矩作用面法线方位。
1、矢量积表示式
2、解析表示式
i jk
x y z(yzF zy F )i(zx F xzF )j(xyF yxF )k
F x F y F z
力对点O的矩
在
三个坐标轴上的投影为
[M 0F]xyzF zy F
[M 0F]yzx F xzF
[M 0F]zxy F yxF
3、合力矩定理
理论力学6章
1第二篇 运动学运动学研究物体运动的与运动产生原因无关的几何属性。
对刚体而言，运动学是在给定的惯性参考系中，研究刚体相对惯性参考的空间位置变化科学。
第六章 点的运动本章对质点（一种特殊的刚体）在惯性参考系中的位置变化进行分析。
并给出动点，动点的轨迹，动点的速度矢量，动点的加速度矢量等基本概念。
并以不同的几种方试对上述概念进行数学描述。
§6-1 矢量法在地球惯性参考系（体）上任取一定点O 。
对空间中任意一点A ，以O 点为起始点，A 点为末端点作有向值线段，且记A =r则称r A 为A 点相对O 点的位置矢量。
若A 点泛指空间中的一般点，r A 也记为r 。
质点作为仅由孤立物质点构成的刚体，在宏观尺度上，质点在空间所占具的位置可由与质点在空间重叠的几何点的位置矢量r 唯一对应。
一、质点的运动方程和轨迹质点在空间的位置随时间的不同而发生变化，质点在空间位置随时间的变化而导致变化称为质点的运动。
质点运动的数学表述称为质点的运动方程。
在地球惯性参考系（体）中取定O 点时，在任意时刻t ，质点的空间位置矢量唯一确定。
即)(t r r = （6-1）随r =r (t )中时刻t 在其取值区间段的不同取值，质点将在空间占具不同的位置。
参数t 被称为时间参数，或称为时间。
对质点，在时间的取值区间[a ,b ]<<或（a ,b ）、[a ,b )、(a ,b ]>>位置矢量时间（参数）变化的函数表达式（矢量表示）)(t r r =称为质点在给定的时间取值区间内的运动方程。
在一般的运动学分析中，质点运动方程中的时间参数取值区间总被认为是任意给定了的。
因此通常就称)(t r r =是质点的运动方程。
2当质点的运动方程)(t r r =一但给定，位置矢量在时间参数的取值区间的每一个时间参数取值所确定的位置矢量末端点集合称为质点的运动轨迹。
质点的运动轨迹在三维空间中的几何表示为一条空间曲线。
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4、速度与加速度分布图
v R
2 a at2 an R 2 4
at tan 2 an
§6-４ 轮系的传动比
１、齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
２、带轮传动
dvB dv A aB aA dt dt
刚体平移→点的运动
§6-2 刚体绕定轴的转动
1、定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称 为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad)
2、运动方程
f t
3、角速度和角加速度
d d 大小： dt dt 方向：逆时针为正
角速度
角加速度
d d 2 2 dt dt
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
1、点的运动方程
s R
2、速度
v s R R
3、加速度
dv at R s dt v2 1 2 an R R 2 R
第六章 刚体的简单运动
§6-１ 刚体的平行移动
1、定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始 位置，这种运动称为平行移动，简称平移。
2、由图可知
rB rA AB
3、速度和加速度分布 d AB 因为 0 dt drB drA vB vA 所以 dt dt
r11 vA v v vB r22 A B
1 r2 i12 2 r1