知识讲解-《集合》全章复习巩固

《集合》全章复习巩固编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一：集合的基本概念1．集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。

2．元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。

要注意“∈”的方向，不能把a∈A 颠倒过来写.。

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A3．集合中元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。

任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。

（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。

如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。

4．集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合。

无限集：含有无限个元素的集合。

要点诠释：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅，空集归入有限集。

要点二：集合间的关系1．子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B ，对于任何集合A 规定A ∅⊆。

两个集合A 与B 之间的关系如下：A B A B B A A B A B A BA B⎧=⇔⊆⊆⎧⊆⎪⎨≠⇔⎨⎩⎪⎩且 其中记号AB （或B A ）表示集合A 不包含于集合B （或集合B 不包含集合A ）。

2．子集具有以下性质： （1）AA ，即任何一个集合都这是它本身的子集。

（2）如果A B ⊆，B A ⊆，那么A=B 。

（3）如果A B ⊆，B C ⊆，那么A C ⊆。

（4）如果AB ，BC ，那么A C 。

3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x ∈A ，可以推出x ∈B ，那么A B ⊆（或B A ⊇）。

不包含的定义也可以表述成：两个集合A 与B ，如果集合A 中存在至少一个元素不是集合B 的元素，那么AB （或B A ）。

4．有限集合的子集个数：（1）n 个元素的集合有2n 个子集。

（2）n 个元素的集合有2n －1个真子集。

（3）n 个元素的集合有2n －1个非空子集。

（4）n 个元素的集合有2n －2个非空真子集。

要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集． 要点三：集合的基本运算1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。

2．用维恩图表示交集与并集。

已知集合A 与B ，用阴影部分表示A ∩B ，A ∪B ，如下图所示。

3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：（1）A ∩A=A ，A ∩∅=∅，A ∩B=(B ∩A)⊆A （或B ）； A ∪A=A ，A ∪∅=A ，A ∪B=(B ∪A)⊇A （或B ）。

（2）()U AA =∅；()U A A U =。

（3）德摩根定律：()()()UU UA B A B =；()()()U U UA B A B =。

；（4）AB A A B =⇔⊆；A B A B A =⇔⊆。

4．全集与补集 （1）它们是相互依存不可分离的两个概念。

把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之为全集。

而补集则是在A U ⊆时，由所有不属于A 但属于U 的元素组成的集合，记作UA 。

数学表达式：若A U ⊆，则U 中子集A 的补集为{|}UA x x U x A =∈∉且。

（2）补集与全集的性质 ①()UU A A =②A U ⊆，UA U ⊆。

③UU =∅，U U ∅=。

5．空集的性质空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。

对任意集合A ，有∅⊆∅，{}∅∈∅；A∅=∅；A A ∅=；A ∅⊆。

【典型例题】类型一：集合的含义与表示例1．选择恰当的方法表示下列集合。

（1）“mathematics ”中字母构成的集合； （2）不等式210x +≤的解集； （3）函数4y x =的自变量的取值范围。

【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。

【解析】（1）{},,,,,,,m a t h e i c s ； （2）{}2|10x x +≤或∅ （3）{}|4x y =或{}|0x x ≥【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合，关键是确定集合中的元素。

然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。

举一反三：【变式1】将集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-=+125|),(y x y x y x 表示成列举法，正确的是（ ）A.{2，3}B.{（2，3）}C.{x=2，y=3}D.（2，3）【答案】B【变式2】已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为 （ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3【答案】Ｃ例2．若含有三个元素的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以表示为{}2,,0a a b +，求20092009a b +的值。

【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。

【答案】1- 【解析】由,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，可得1a ≠且0a ≠， 则有21,,0a a a b b a ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩或21,,0a b a a ba⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩解得1,0.a b =-⎧⎨=⎩或1,0.a b =⎧⎨=⎩（舍去）故200920091ab +=-【总结升华】利用集合中元素特性来解题，既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者在解题时容易忽视元素的互异性。

必须在学习中高度重视。

另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。

举一反三：【变式1】若{}233,21,1a a a -∈-++。

求实数a 的值。

【答案】2- 【解析】由{}233,21,1a a a -∈-++，可知33a -=-或213a +=-或213a +=-，且23211a a a -≠+≠+。

（1）若33a -=-，则0a =，此时22111a a +=+=， 与集合中元素的互异性相矛盾，故0a =舍去。

（2）若213a +=-，则2a =-，此时35a -=-，215a +=符合集合的特性。

（3）若213a +=-，则方程24a =-无解。

综上可得a 的值为2-。

例3．已知集合{}2|230,A x mx x m R =-+=∈ （1）若A 是空集，求m 的取值范围。

（2）若A 中只有一个元素，求m 的值。

（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围。

【答案】（1）13m > （2）0，13 （3）13m ≥或者m=0 【解析】（1）当0m =时，32x =，A 不为空集，则0m =不满足题意。

当m≠0时，若A 为空集，则一元二次方程2230mx x -+=实数范围内无解，即4120m ∆=-<,13m >。

综上若A 为空集，则13m >。

（2）由集合A 中只含有一个元素可得，方程2230mx x -+=有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当0m =时，可得是一次方程，故满足题意.当m≠0时，则为一元二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根，即判别式为0时m 的值，可求得为13m =.故m 的取值为0，13. （3）∵A 中元素至多只有一个 ，∴有以下两种情况存在：集合A 是空集；集合A 是只有一个元素． 综合(1)(2)知,若A 中元素至多只有一个, 13m ≥或者m=0. 【总结升华】 集合A 是方程mx 2-2x+3=0在实数范围内的解集，所以本题实际上是讨论方程mx 2-2x+3=0解的个数问题。

类型二：集合的基本关系例4．设集合A={x ｜1≤x ≤3}，B={x ｜x －a ≥0}，或AB ，则a 的取值范围是________。

【思路点拨】 此题考查判断两个集合的包含关系。

由于题中所给集合为含不等式的描述法形式，可以借助数轴进行直观的分析。

【解析】AB={x ｜x ≥a}，利用数轴作图如下：由此可知：a ≤1。

【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是：明确集合中元素的范围及其满足的性质，借助Venn 图来分析，直观性强。

集合是由元素构成的，要确定一个集合的方法之二是：把集合中的元素一一找出来，用列举法表示。

要确定一个集合的方法之三是：明确集合中元素的范围及其满足的性质。

用特征性质描述法表示的集合，可借助数轴来分析，直观性强。

举一反三：【变式1】 已知集合A={x ｜x ≥1或x ＜－1}，B={x ｜2a ＜x ＜a+1}，若B ⊆A ，求a 的取值范围。

【解析】（1）当B 是空集，需要2a≥a+1，得到a≥1（2）当B 不是空集且B 的上限小于等于-1，即a ＜1且a+1≤-1，得到a≤-2 （3）当B 不是空集且B 的下限大于等于1，即a ＜1且2a≥1，得到1/2≤a＜1 综上，a≤-2或a≥1/2【变式2】若集合B={1，2，3，4，5}，C={小于10的正奇数}，且集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C ，则集合A 的个数是________。

【思路点拨】 由题设，C={1，3，5，7，9}。

因为A ⊆B ，A ⊆C ，可用Venn 图发现集合B 与C 的公共元素为1，3，5，则集合A 可能含有1，3，5三个数中的0个，1个，2个，或3个。

故集合A 的个数即为{1，3，5}的子集的个数。

【解析】由已知作Venn 图{1，3，5}的子集中含0个元素的有1个：∅；{1，3，5}的子集中含1个元素的有3个：{1}，{3}，{5}；{1，3，5}的子集中含2个元素的有3个：{1，3}，{1，5}，{3，5}； {1，3，5}的子集中含3个元素的有1个：{1，3，5}。

由上述分析知集合A 的个数为{1，3，5}的子集的个数：1+3+3+1=8个。

例5．设集合{}{}222|40,,|2(1)10,A x x x x R B x x a x a x R =+=∈=+++-=∈,若B A ⊆，求实数a 的范围。

【答案】1a =或1a ≤- 【解析】{}{}2|40,4,0A x x x x R =+=∈=-B A ⊆，B A ∴=或B A当B A =时，即{}4,0B =-，则4,0-是方程222(1)10x a x a +++-=的两根，代入解得1a =当BA 时，分两种情况：（1）若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-。