高中数学3.1和角公式3.1.3两角和与差的正切自我小测新人教B版必修4

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人教B高中数学必修四学练测课后拔高提能练：第3章三角恒等变换 31 3 含解析

第三章三角恒等变换3.1 和角公式 3.1.3 两角和与差的正切课后拔高提能练一、选择题1．tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝( ) A ． 3 B ．33 C ．－33D ．－ 3解析：选D tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝tan120°(1－tan70°tan50°)－3tan70°tan15°＝－ 3.故选D ．2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．17 B ．7 C ．－17D ．－7解析：选A ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，∴tan α＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.故选A ． 3．在△ABC 中，C ＝45°，则(1－tan A )(1－tan B )等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：选C (1－tan A )(1－tan B )＝1＋tan A tan B －(tan A ＋tan B )＝1＋tan A tan B －tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝1＋tan A tan B －tan135°(1－tan A tan B )＝2.故选C ．4．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则cot α等于( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2解析：选A 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝3，得tan α＝－12，所以cot α＝－2.故选A ．5．在△ABC 中，已知tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两根，则tan C 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A 由于tan A ，tan B 是3x 2＋8x －1＝0的两根，得⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝－83，tan A ·tan B ＝－13，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2.∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝2.故选A ．6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－35，且x 是第三象限角，则1＋tan x 1－tan x 的值为( ) A ．－34 B ．－43 C ．34D ．43解析：选D ∵x 是第三象限角， ∴2k π＋π<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴2k π＋54π<x ＋π4<2k π＋74π(k ∈Z )，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝43. 又1＋tan x1－tan x＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝43，故选D ．二、填空题7．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan 5π41＋tan α·tan 5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解方程得tan α＝32. 答案：328．(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75. 答案：759．在△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A ·tan B ＝________. 解析：∵∠C ＝120°，∴A ＋B ＝60°， tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝3，∴tan A ＋tan B ＝3(1－tan A tan B )＝233，∴1－tan A tan B ＝23，∴tan A tan B ＝13. 答案：13 三、解答题10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－12，求2cos α(sin α－cos α)1＋tan α的值．解：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－12，∴1＋tan α1－tan α＝－12，得tan α＝－3.∴2cos α(sin α－cos α)1＋tan α＝2cos 2α(tan α－1)1＋tan α＝2cos 2α(－3－1)－3＋1＝4cos 2α＝4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α＋1＝4(－3)2＋1＝25.11．已知锐角△ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．解：(1)证明：∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15，∴tan Atan B ＝2，即tan A ＝2tan B .(2)∵π2＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝35， ∴cos(A ＋B )＝－45，tan(A ＋B )＝－34. 即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入得2tan 2B －4tan B －1＝0，得tan B ＝2±62，舍去负值得tan B ＝2＋62. ∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6，由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.所以AB 边上的高等于2＋ 6.12．已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋β的值．解：(1)由题可得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. (2)∵0<α<π2，π<β<3π2， ∴π<α＋β<2π，由tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝5π4.。

「精品」高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式知识

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β−−→−=βα令sin2α=2sin αcos α；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1.同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−∙-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tan α有意义.当tan α有意义时，α≠2π+k π(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tan α≠±1时，α≠±4π+k π(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+k π且α≠2π+k π(k∈Z ).特别地，当α=2π+k π(k∈Z )时，虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+k π)=tan(π+2k π)=tan π=0. 学法一得二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sin α±cos α)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得我们常把1+cos α=2cos 22α，1-cos α=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答.典题•热题知识点一直接应用倍角公式求值例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒∙. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα(n∈N *).知识点二利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sin α、cos α的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos ［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-∙+∙=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+∙=-+∙=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sin θ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cos θ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sin θcos θ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot 2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinCB AC B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sin α、tan α的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sin αcos α，cos2α=2cos 2α-1代入已知得4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin 2α+sin α-1)=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sin α+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sin α-1=0，即sin α=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tan α=33.知识点三利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asin θ+bcos θ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin 10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒∙=︒+︒︒∙10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒∙∙=︒︒+︒∙=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒∙︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sin α、1±cos α的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒∙=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒∙=︒︒︒︒∙=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒∙=. 方法归纳对于可化为cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°，则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)，即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边. 所以①式成立，原式得证.例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322.思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒∙︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 3222222 2)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯= ︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边，所以原式成立.方法归纳对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cos α、cos2β、sin α、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·23sin2α=23sin αsin 2α-23sin αsin2α=0. 方法归纳首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究材料信息探究问题倍角和半角公式：sin α=2tan12tan22αα+，cos α=2tan12tan 122αα+-，tan α=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sin α、cos α和tan α的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tan α=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cos α或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sin α、cos α和tan α均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如ta n15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x=2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222t t t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。

高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案

解：（1）原式 =
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式描述：两角差的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ．两角和的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ．两角和的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ．两角差的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ．两角和的正切公式对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式对于任意角α，β 有tan(α − β) =

最新高中数学人教B版必修4教案：3.1.3两角和与差的正切3Word版含答案

选做题练习册 B 组
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（1）等号的左边是复角的正切 . 右边为分式，分子是两单角的正切之和或差，分母是 1 减去两单角的正切之积 .
（2）分子中和或差与等号左边相同，分母则与等号左边相异
.
（四）巩固、应用公式
例 2、（ 1）求 1 tan 75 的值 . 1 tan 75
(2)求 tan17 tan 43
3 tan17 tan 43 的值 .
2、过程与方法
(1) 通过推导两角和的正切公式，以及公式的灵活应用，增强计算能力和分析能力
(2) 渗透数学研究方法的教育：认识公式的推导，及公式的应用，掌握从一般到特殊的思维
方法。
(3) 经历两角和与差公式探究过程，尝试运用函数间的相互关系问题
;
(4) 发挥教学工具的作用，提高运用数学解决问题的能力
角恒等变换公式的重要组成部分 .
教材主要通过两角和的正弦公式及两角和的余弦公式推导出两角和的正切，
由换元思想
变换出两角差的正切公式。讲解了公式的变形，公式的变形应用是本节课的难点所在
.
二、教学目标分析
（一）、三维目标
１、知识与技能目标
（1）能准确说出两角和与差的正切公式；（2）能够用公Fra bibliotek的变形解决问题
（六）课内自我检测
1. sin15 + cos15 的值为 sin15 -cos15
3 A.
3
26 B.
4
26 C.
4
D. 3
2.在△ ABC中， tanA tan B+ 3= 3 tan A tan B ,则∠ C 等于
2
A.
B.
3
3

(新人教B版必修4)数学：3.1和角公式(课件)

)(
)
(
)
例题1 例题
例题2 例题
例题3 例题
例题4 例题
例题5 例题
例题6 例题
小结
基础应用
1、非特殊角的求值、 2、角的组合、 3、公式逆用、
变形公式
tanα + tan β = tan (α + β ) ⋅ (1− tanα ⋅ tan β ) tanα − tan β = tan (α − β ) ⋅ (1+ tanα ⋅ tan β )
例题1 例题
例题2 例题
例题3 例题
例题4 例题
例题5 例题
例题6 例题
变形应用
变形公式
tanα + tan β = tan (α + β ) ⋅ (1− tanα ⋅ tan β ) tanα − tan β = tan (α − β ) ⋅ (1+ tanα ⋅ tan β )
例题、 1 tan17o + tan43o + 3tan17o tan43o
1 = 12
基础应用
4 4 例题2、（2）已知tan (α + β ) = ,tan(α − β ) = − , 求tan2α. 5 5
解： 2α = (α + β ) + (α − β ) Q
∴ tan 2α = tan ( (α + β ) + (α − β ) )
tan(α + β ) + tan(α − β ) = =0 1 − tan(α + β ) ⋅ tan(α − β )
例题5、已知α、β满足α + β = ，求(1+ tanα )(1+ tan β )的值 . 4

高中数学3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2第2课时两角和与差的正切公式课件新人教A版必修四1

T(α－β)
[ 基础自测] 1．思考辨析 (1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( tan α＋tan β (2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( 1－tan αtan β ) )
tan α＋tan β (3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)· (1－tan αtan β)． 1－tan αtan β ( )
[自主预习· 探新知]
两角和与差的正切公式名称两角和的正切两角差的正切简记符号 T(α＋β) 公式 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β _____________ tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β ____________ 使用条件 π α，β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z) 且 tan α· tan β≠1 π α，β，α－β≠kπ＋2(k∈Z) 且 tan α· tan β≠－1
第三章
三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第2课时两角和与差的正切公式
学习目标：1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
∵α，β 均为锐角， ∴α＋β∈(0，π)， π ∴α＋β＝4. (2)∵AD⊥BC 且 BD∶CD∶AD＝2∶3∶6， BD 1 ∴tan∠BAD＝AD＝3， CD 1 tan∠CAD＝AD ＝2， tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
tan∠CAD－tan∠BAD ＝ 1＋tan∠CADtan∠BAD 1 1 2－3 ＝ 1 1 1＋2×3 1 ＝7.]

人教B版高中数学必修四《3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦》_1

学科：数学
课题：《两角差的余弦公式》
模块: 必修4（人教社B版）
教学目标：
1.四基四能：
（1）让学生经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

教学中强调公理化推理、数形结合和模型思想。

重视教学过程中学生体会完整的教与学的过程：发现现象—提出问题—验证—分析—解决—一般化。

（2）学生能从实际情境中发现问题，抽象并提出数学问题，分析和探究两角差余弦公式的推导过程，最后将问题解决。

2. 数学核心素养：
（1）从实际情境中抽象出数学问题，体会用图形进行无字证明的过程，体现了数学抽象和直观想象的数学核心素养。

（2）对两角差的余弦公式能探究出与学过的向量知识有关联，并严谨准确的进行表述，体现逻辑推理的数学核心素养。

（2）针对运算问题，合理选择运算方法，运算求解，用数学语言直观地进行交流，体现数学运算的数学核心素养。

3. 情感态度价值观：
创设情境，让学生主动探究，成为数学学习活动和展示的主体，给学生展示自我的空间，同时要及时给予认可和鼓励，让学生在乐学的氛围中亲历知识的形成过程，并注重知识间的关联，反复巩固所学的知识。

教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式。

教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还
有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。

教学资源与媒体：传统板书辅助电子白板
教学过程：
（让学生选择一个位置）（动画演示），此时βα-=∠AOB
基于核心素养的“两角差的余弦公式”教学评价表。

高中数学人教版必修四讲义：第三章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案

和角公式3．1.3两角和与差的正切预习课本P140～141，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？(2)公式T()的应用条件是什么？α±β[新知初探]两角和与差的正切公式[点睛] (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．(2)在应用两角和与差的正切公式时，只要tan α，tan β，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简tan ⎝⎛⎭⎫π2－β，因为tan π2的值不存在，所以不能利用公式T (α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－βcos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos βsin β. [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )答案：(1)√ (2)×2．已知tan α＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17 D ．7答案：D3．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案：B 4.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝________.答案： 3[典例] 求值：(1)tan(－15°)； (2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. [解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝12－636＝2－3，tan(－15°)＝－tan 15°＝3－2.(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－3 3.(3)∵tan 60＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23° tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T()α±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[活学活用]1.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°的值为________．解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.答案：2－ 3 2.tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°＝________.解析：观察可知18°＋42°＝60°，可运用两角和的正切公式求值． ∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. 答案：－1[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[解] ∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan(α－β)1＋tanα·tan(α－β)＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β) 1－tanα·tan(α－β)＝34＋121－34×12＝2.给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．[活学活用]1．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.2．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________.解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.因为 tan (α－β)＝2，所以 tan (β－α)＝－2，故 tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.答案：43[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan (α－β)； (2)求α＋β的值．[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－13，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7.(2)因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求tan (2α－β)的值．解：因为tan (α－β)＝7，tan α＝2，所以tan (2α－β)＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝7＋21－7×2＝－913.2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值．解：因为tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋171－13×17＝12>0，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α＋β∈(0，π)， ∴tan (2α＋β)＝tan (α＋β)＋tan α1－tan (α＋β)tan α＝12＋131－12×13＝1，∴2α＋β＝π4.给值求角问题的解题策略(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．层级一学业水平达标1．1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( )A.33B. 3 C ．tan 6°D.1tan 6°解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan (27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.2．tan 15°＋tan 105°等于( )A ．－2 3B ．2＋ 3C ．4 D.433解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan (60°－45°)＋tan (45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A . 3．已知tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.318解析：选C ∵tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 4．在△ABC 中，若tan A tan B>1，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定解析：选A 由tan A tan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角．又tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B<0，即tan C ＝－tan (A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 2D ．1＋ 3 解析：选B ∵tan 45°＝tan (20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1， ∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.6．已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 答案：37.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________. 解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案：33 8．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＋β＝________.解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1. 又α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝7π4. 答案：7π4 9．已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，求tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)的值．解：因为tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31－2×3＝－1， tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2－31＋2×3＝－17，所以tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β＝－1－17＝－87. 10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β的大小．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α，tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.层级二应试能力达标 1．已知tan α＝12，tan (α－β)＝－25，那么tan (β－2α)的值为( )A ．－34B ．－112C ．－98 D.98解析：选B tan (β－2α)＝－tan (2α－β)＝－tan [α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251＋12×25＝－112.2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于() A.π3 B.2π3C.π6D.π4解析：选A 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan A tan B －1)，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan (A ＋B)＝－3， ∴tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝3，∴C ＝π3. 3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是( ) A ．2B.12 C ．－1 D ．－3解析：选B 法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12.故选B . 法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4 ＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan α＝12.故选B . 4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为( )A ．222B ．223C ．224D ．225解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，∵tan 45°＝tan (1°＋44°)＝tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝1， ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝ (2)∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.5．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：由已知得⎩⎨⎧ tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13. ∴tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝531－13＝52，在△ABC 中，tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形．答案：钝角6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________．解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，即tan (α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z. 当k ＝1，α＋β取得最小正值3π4. 答案：3π4 7．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13，因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α，所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α，所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.8．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为13，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α的值．解：(1)由题意，得cos α＝13，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55，因此tan α＝22，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522. (2)tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α＝12×tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12×tan[(α＋β)－α]＝12×tan β1 2＝1 4.＝1 2×。

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人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。

人教B版数学必修四讲义：第3章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案

3.1.3 两角和与差的正切1．两角和的正切公式 T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．两角差的正切公式T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？ [提示] (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． (2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β).(3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)． (4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋3 C ．2－3D ．2＋ 3D[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋3 31－33＝2＋ 3.故选D.]2.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝()A．－2B． 2C．－ 3 D． 3D[原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝ 3. ]3．设tan α＝12，tan β＝13，且角α，β为锐角，则α＋β的值是_________．π4[∵tan α＝12，tan β＝13∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1，又∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α＋β<π，则α＋β＝π4.](1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1．公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．1．求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. [解] (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－3 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3.始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．[解]由条件得cos α＝210，cos β＝255，∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝1 2.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.1．通过先求角的某个三角函数值来求角． 2．选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．3．给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．2．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．[解] (1)因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝35－45＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17. (2)由题图可知tan α＝13，tan β＝12，且α，β均为锐角，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．2．在△ABC 中，tan(A ＋B )与tan C 有何关系？ [提示] 根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C .【例3】已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．[思路探究] 化简条件→求出tan A ，tan C → 求出角A ，C →判断形状. [解] 由tan A ＝tan[π－(B ＋C )] ＝－tan(B ＋C )＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－ 3.而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，如1－tan α1＋tan α＝tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－α；3tan α＋3 1－tan α＝3tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(教师用书独具)1．公式T(α±β)的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．2．两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)；tan α tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)等.1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A.15 B ．－15 C ．5D ．－5A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A.]2．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A.33 B ．1 C. 3D. 6B [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.]3．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.1 [3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.]4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5的值． [解] ∵α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×143＝22.。

高中数学第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是( )A.2πB.4πC.4π D.2π 解析：y=sin2xcos2x=21sin4x,所以最小正周期为T=42π=2π.答案：D2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x ，则f(cosx)等于( )A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析：f(sinx)=3-(1-2sin 2x)=2sin 2x+2,所以f(x)=2x 2+2.因此f(cosx)=2cos 2x+2=(2cos 2x-1)+3=3+cos2x. 答案：C3.已知α为锐角，且sinα∶sin 2α=8∶5，则cosα的值为( ) A.2512 B.258 C.257 D.54 解析：由2sin2cos2sin 22sin sin ααααα==2cos 2α=58，得cos 2α=54， cosα=2cos 22α-1=2×(54)2-1=257. 答案：C4.求下列各式的值：(1)cos 12πcos 125π=______________； (2)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=______________；(3)21-cos 28π=______________； (4)-32+34cos 215°=______________；(5)︒-︒5.22tan 15.22tan 2=_________________解析：(1)原式=cos 12πsin 12π=21sin 6π=41；(2)原式=cos212π-sin 212π=cos 6π=23； (3)原式=21-(2cos 28π-1)=21-cos 4π=42-；(4)-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1)=32cos30°=33；(5)原式=21tan45°=21. 答案：(1)41 (2)23 (3)42- (4)33 (5)2110分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若tanx=2，则tan2(x-4π)等于( ) A.34 B.-34 C.43 D.43- 解析：tan(2x-2π)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1-,而tan2x=4122-⨯=-34,∴原式=43.答案：C2.当0＜x ＜2π时，函数f(x)=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为( )A.2B.32C.4D.34解析：f(x)=x x x x cos sin 2sin 8cos 222+=x tan 1+4tanx≥42=4，当且仅当tanx=21时，取“=”.答案：C3.化简cos72°cos36°=________________. 解析：原式=︒︒=︒︒︒=︒︒•︒︒36sin 4144sin 36sin 472sin 72cos 236sin 236sin 236cos 72cos =41. 答案：414.在△ABC 中，tanA+tanB+33+tanAtanB 且sinAcosA=43，判断三角形的形状. 解：由sinAcosA=43，得21sin2A=43，即sin2A=23， ∴2A=60°或120°.∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=3-(1-tanAtanB)，得tan(A+B)=3tan tan 1)tan tan 1(3-=---BA B A ，∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB 无意义，∴A=60°,B=60°，即三角形为等边三角形. 5.平面上两塔相距120 m ，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的2倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余.求两塔的高.解析：如图所示，设两塔的高分别为x m 、y m ，且∠ADB=α，∠AMB=θ.由题意，得∠CBD=2α，∠AMC=90°， ∠AMB=∠MCD=θ，所以x=60tanθ，y=θtan 60， x=120tan α，y=120tan2α.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.12012,360022x x y xy 解得x=40，y=90.答：两塔高分别是90 m 和40 m.6.(2006高考北京卷，理15)已知函数f(x)=xx cos )42sin(21π--， (1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα=-34，求f(α)的值. 解：(1)由cosx≠0,得x≠kπ+2π(k ∈Z ). 故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+2π,k ∈Z }.(2)因为tanα=54-,cosα=53，且α为第四象限的角，所以sinα=54-,cosα=53.故f(α)=αααααααπαcos 2cos 2sin 1cos )2cos 222sin 22(21cos )42sin(21+-=--=--=ααααcos cos sin 2cos 22-=2(cosα-sinα)=514. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知θ是第三象限的角，若sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于( ) A.322 B.322- C.32 D.-32解析：(sin 2θ+cos 2θ)2=sin 4θ+cos 4θ+2sin 2θcos 2θ=sin 4θ+cos 4θ+21(sin2θ)2，而(sin 2θ+cos 2θ)2=1，可以得到sin2θ=±322，又由于θ是第三象限的角，所以sin2θ=322. 答案：A2.已知tanα=71，tanβ=2π，0＜α＜β＜2π,则α+2β等于( ) A.45π B.4π C.45π或4π D.47π解析：∵tan2β=43tan 1tan 2=-ββ，∴tan(α+2β)=28314371-+=1.∵tanα=71＜1,∴0＜α＜4π.tan2β=43＜1,∴0＜2β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.∴α+2β=4π.答案：B3.(2006高考上海卷，理17)求函数y=2cos(x+4π)cos(x-4π)+3sin2x 的值域和最小正周期.解：y=2(cosxcos4π-sinxsin 4π)(cosxcos 4π-sinxsin 4π)+3sin2x =cos 2x-sin 2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6π).∴原函数的值域是［-2,2］，周期T=22π=π. 4.化简︒-+︒+10sin 110sin 1. 解：原式=︒︒-︒+︒+︒︒+︒+︒5cos 5sin 25cos 5sin 5cos 5sin 25cos 5sin 2222=|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|=sin5°+cos5°+cos5°-sin5°=2cos5°. 5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：原式=21cos20°cos40°cos80° =︒︒︒=︒︒︒=︒︒︒︒︒20sin 1680cos 80sin 2880cos 40cos 40sin 220sin 480cos 40cos 20cos 20sin 2 =16120sin 16160sin =︒︒. 6.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1，α∈(0,2π)，求sin α,tan α.解：由题意知4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0. 又α∈(0,2π)，∴sinα+1≠0,cos 2α≠0. 由2sin α-1=0得sin α=21，∴α=6π,tan α=33.7.已知sin(α-4π)=1027，cos2α=257，求sin α及tan(α+3π).解：由sin(α-4π)=1027,得22(sin α-cos α)=1027，即sin α-cos α=57. ① 又由cos2α=257得cos 2α-sin 2α=257，即(cos α+sin α)(cos α-sin α)=257，∴cosα+sin α=-51. ②由①②得sin α=53，cos α=54-,∴tanα=-43.tan(α+3π)=1132548343344331433tan 313tan -=+-=+-=-+αα. 8.当x∈［-2π,2π］时，求f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的周期、最大值及此时的x 值. 解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+4π)+2.周期T=π.当x ∈［-2π,2π］时，2x+4π∈［-43π,45π］,sin(2x+4π)∈［-1,1］. ∴f(x)∈［22-,22+］.∴f(x)max =22+.由2x+4π=2k π+2π得x=k π+8π. 又∵x∈［-2π,2π］，∴x=8π,即当x=8π时，f(x)的最大值为22+.9.(2006高考安徽卷，理17)已知43π＜α＜π,tanα+cosα=310-.(1)求tanα的值；(2)求)4sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值.解：(1)∵tanα+cosα=310-,∴3tan 2α+10tanα+3=0,解得tanα=-31或tanα=-3.∵43π＜α＜π,∴-1＜tanα＜0.∴tanα=-31.(2)∵tanα=-31,∴)4(sin 282cos 112cos2sin82sin 522παααααα--++=451tan 3tan 4cos sin 82cos 16sin 4)2cos 2(sin 522-=-+=--+•+++αααααααα. 10.(2006高考四川卷，理17)已知A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量m =(-1,3)，n =(cosA,sinA),且m ·n =1. (1)求角A ； (2)若BB B22sin cos 2sin -+1=-3，求tanC. 解：(1)∵m ·n =1,∴(-1,3)·(cosA,sinA)=1,即3sinA-cosA=1,2(sinA·23-cosA·21)=1,sin(A-6π)=21. ∵0＜A ＜π,-6π＜A-6π＜65π,∴A-6π=6π.∴A=3π.(2)由题知BB B B 22sin cos cos sin 21-+=-3，整理得sin 2B-sinBcosB-2cos 2B=0. ∵cosB≠0,∴tan 2B-tanB-2=0. ∴tanB=-2或tanB=-1.而tanB=-1使cos 2B-sin 2B=0，舍去. ∴tanB=2.∴tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)=11358321322tan tan 1tan tan +=-+⨯-=-+-B A B A .。

数学人教B版必修4预习导航3.1.3两角和与差的正切

(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，公式逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，要熟练掌握．
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，
1∓tanαtanβ＝．
如，tan25°＋tan20°＋tan25°tan20°＝tan(25°＋20°)·(1－tan25°tan20°)＋tan25°tan20°＝tan45°(1－tan25°·tan20°)＋tan25°tan20°＝1－tan25°tan20°＋tan25°tan20°＝1．所以在处理问题时，要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解两角和与差的正切公式的推导过程．
2．掌握两角和与差的正切公式的结构特征，能正用、逆用和变形用公式进行化简、求值和证明．
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记
和的正切
tan(α＋β)＝
Tα＋β
差的正切
tHale Waihona Puke n(α－β)＝Tα－β名师点拨(1)与两角和与差的正弦公式、余弦公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α＋β)≠tanα＋tanβ．

高中数学第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.二倍角公式(1)二倍角公式的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sin αcos α,(S 2α)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,(C 2α)tan2α=αα2tan 1tan 2-,(T 2α) 这组公式要记准、记熟、用活.下面给出这组公式的推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,当α=β时,有sin2α=2sin αcos α.∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,当α=β时,有cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1(sin 2α=1-cos 2α)=1-2sin 2α(cos 2α=1-sin 2α).∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+, 当α=β时,有tan2α=αα2tan 1tan 2-. 公式S 2α、C 2α中,α∈R ,公式T 2α中的α≠21k π+4π且α≠k π+2π (k∈Z ). 从上面的公式推导中可以看到二倍角公式是和角公式的特殊情况.(2)关于倍角公式应注意的几个问题:①推导思路:在正弦、余弦、正切的和角公式中,令两角相等,就得相应倍角公式.由此,倍角公式是和角公式的特例.②公式的适用范围:公式S 2α、C 2α中,角α可以为任意角,但公式T 2α只有当α≠2π+k π及α≠4π+2πk (k∈Z )时才成立,否则不成立.当α=2π+k π,k∈Z ,虽然tan α的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式.③对于“二倍角”要有广义理解,如4α是2α的2倍;α作为2α的2倍;2α作为4α的2倍;3α作为23α的2倍;3α作为6α的2倍等. 2.二倍角公式的变形(1)公式逆用2sin αcos α=sin2α,sin αcos α=21sin2α,cos α=ααsin 22sin 2,cos 2α-sin 2α=cos2α,αα2tan 1tan 2-=tan2α. (2)公式的逆向变换及有关变形1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2,1+cos2α=2cos 2α,1-cos2α=2sin 2α,cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-. 活学巧用1.已知sin α+cos α=31,且0＜α＜π,求sin2α、cos2α、tan2α的值. 解析:方法一:∵sin α+cos α=31,∴sin 2α+cos 2α+2sin αcos α=91.∴sin2α=98-且sin αcos α=94-＜0. ∵0＜α＜π,sin α＞0,∴cos α＜0.∴sin α-cos α＞0.∴sin α-cos α=3172sin 1)cos (sin 2=-=-ααα. ∴cos2α=cos 2α-sin 2α=(sin α+cos α)(cos α-sin α)=31×(-317)=917-. tan2α=171782cos 2sin =αα. 方法二:∵sin α+cos α=31,平方得sin αcos α=94-, ∴sin α、cos α可看成方程x 2-31x 94-=0的两根, 解方程x 2-31x 94-=0,得x 1=6171+,x 2=6171-.∵α∈(0,π),∴sin α＞0.∴sin α=6171+, cos α=6171-.∴sin2α=2sin αcos α=98-,cos2α=cos 2α-sin 2α=917-,tan2α=171782cos 2sin =αα. 答案:sin2α=98-,cos2α=917-,tan2α=17178. 2.已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈［0, 2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解析:f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x=2cos(2x+4π). (1)T=22π=π. (2)0≤x≤2π,0≤2x≤π,4π≤2x+4π≤45π,-1≤cos(2x+4π)≤22,∴-2≤2cos(2x+4π)≤1.∴f(x)max =1,f(x)min =-2.答案:(1)π;(2)f(x)max =1,f(x)min =-2.3.已知函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x∈R .当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合. 解析:y=21cos 2x+23sinxcosx+1=41(2cos 2x-1)+41+43(2sinxcosx)+1 =21(cos2xsin 6π+sin2xcos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45.y 取得最大值必须且只需2x+6π=2π+2k π,k∈Z ,即x=6π+k π,k∈Z .所以量x 的集合为{x|x=6π+k π,k∈Z }.。

人教B版高中数学必修四《第三章三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦》_4

教目标知识与技能：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，包括公式的直接运用与公式的逆用，会进行简单的求值、化简；有目的的化简函数。

过程与方法：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、正切公式。

情感、态度、价值观：通过知识的探究过程培养学生认真分析的良好的习惯及勇于探索精神,激发学生的学习兴趣。

重点两角和与差的正弦和正切公式的推导，及运用公式进行简单的求值。

难点灵活运用所学公式进行求值、化简。

教学方法探究学习，小组讨论、学案导学教学手段投影仪，多媒体教学过程设计意图一、知识回顾学生活动：回顾复习，完成两角差与和的余弦公式的填空。

二、公式推导思考1：上面学生回顾复习了两角和与差的余弦公，两角和与差的正弦公式是怎样的呢？?)(cos =-βα ?)(cos =+βα师生活动: 引导学生回答)(cos βα+是怎样由)(cos βα-推导出来的？思考2：我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生活动：学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦即引导学生得出：sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］合作探究：（分小组讨论完成下面的推导）cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β. 思考3：类比cos(α-β)推导出cos(α+β)的方法，我们可以由sin(α+β)的公式推出sin(α-β)的公式吗？β用-β代之，则（下面由学生自己推导，找一个学生回答）学生活动：sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)设计意图：由复习引入新课，激发学生的成功喜悦，同时引起学生对新知识的思考和探索，激发学生的学习兴趣，增强学生的求知欲望．(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行)设计意图：合作探究，让学生小组讨论，自己推导出两角差的正弦公式，加深学生对知识的理解。

高一数学人教B版必修4课件3.1.3两角和与差的正切公式

、的正切积的差(和).
( 3)公式中都是正切运算, 分子加运算与左边的和(差)同相, 分
母相反.
(4)两角和的正切公式中有tan tan , tan tan 式子, 因
此常又与一元二次方程联系在一起.
基础训练题
例1.求(1) tan 75 ;(1) tan15 的值.
(1)2 3;(2)2 3.
基础训练题
例2.求下列各式的值 : (1) tan 42 tan18 ;(2) tan 30 tan 75 .
1 tan 42 tan18 1 tan 30 tan 75
(1) 3; (2) 1.
能力训练题
例3.求1 tan15 的值. 1 tan15
2 公式为简便.
相除
相除
(2)在公式T( )和T( )中,
, , , 均不能等
T( )
以代
T( )
于k (k Z ).
2
三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转
化的依据就是一系列三角公式，如:
①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化；
分析: tan(
)
tan tan 1 tan tan
而 tan tan
tan
tan

c

b a
代入即可.

a
例5.△ABC中，
求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明：∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴△ABC中没有直角，∴tanAtanB≠1.
3.1.3两角和差的正切公式

人教B版高中数学必修四《3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦》_3

必修4第三章三角恒等变换班级：姓名：第小组两角和与差的正弦、余弦、正切公式13.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、学习目标1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程.2.能应用公式进行两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用. 二、课前自主学习［不做不讲］ 1、先不看课本试着做一做.()βα-C ：；使用条件：任意角βα，都成立. 预习1：知道两角差的余弦公式，能否求出两角和的余弦呢？()___-=+αβα 故()=+βαcos=使用条件： .预习2: 知道两角和与差的余弦公式，能否求出两角和与差的正弦呢？使用诱导公式五或六将正弦转化为余弦：___________________________sin ==α .()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+βαπβαπβα2cos 2cos sin= .()=-βαsin = == .使用条件： .预习3: 知道两角和与差的余弦、正弦公式，能否求出两角和与差的正切呢？化切为 .()==+__________tan βα = .将上式变形： .()==-__________tan βα = .将上式变形： . 使用条件： . 2、基础自测求下列各式的值.15sin ；； 75cos ； 5s i n 7；75tan三、课堂合作学习［不议不讲］自测问题展示→小组讨论→学生展讲→学生质疑→教师点评.)4tan(),4cos(),4sin(,,53sin 1的值求是第四象限角已知例πααπαπαα-+--=︒-︒+︒︒-︒︒︒︒-︒︒15tan 115tan 170sin 20sin 70cos 20cos 42sin 72cos 42cos 72sin ）（）（）（算下列各式的值利用和（差）角公式计例3212.变式练习：()︒︒+︒+︒︒+︒-︒-︒︒+︒40tan 20tan 340tan 20tan )3(15tan 3115tan 3215sin 15cos 15sin 15cos ）（1()︒︒+︒︒︒︒+︒︒︒︒-︒︒︒︒-︒︒314sin 254sin 224sin 164sin 70sin 160cos 110cos 20sin 26cos 34cos 26sin 34sin 14cos 74sin 14sin 74cos ）（）（）（巩固练习：4321()()()()()()xx sin 23cos cos sin sin 2cos sin 2sin )3(cos cos sin sin sin cos cos sin -++-+-----+-+2142--13.）（）（）（）（）（）（）（化简例βαβαβαβαβλβαγββαγβαββγβα四、灵活应用拓展延伸在△ABC 中,求证： tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC五．收获与体会问题反馈（包括知识点不懂的，例题不理解的，自测等相关问题）。