九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径精品导学案新人教版

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人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计

人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。

本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质，能灵活运用这一性质解决相关问题。

教材通过实例引导学生探究，培养学生的观察、思考和动手能力，为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。

但垂直于弦的直径这一性质较为抽象，学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握性质，提高学生的空间想象和逻辑思维能力。

三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质，能证明并运用这一性质解决相关问题。

2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。

3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣，为后续圆的学习打下基础。

四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。

2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究，培养学生的解决问题能力。

3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。

4.实践操作法：让学生动手操作，加深对性质的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和动画，辅助教学。

2.教学素材：准备相关的几何图形，便于学生观察和操作。

3.教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，展示垂直于弦的直径的性质，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）展示垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、思考，并提出问题。

3.操练（10分钟）分组讨论，让学生动手操作，证明垂直于弦的直径的性质。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径的性质解决，提高学生的应用能力。

人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计

人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。

本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。

教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。

他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。

但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。

三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。

2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。

3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。

2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。

3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。

六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。

2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。

3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。

2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。

3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。

在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。

24.1.2垂直于弦的直径教案人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教学目标：1.知识与技能：（1）通过观察以及动手操作,理解圆的轴对称性。

（2）掌握垂径定理的内容及几何语言。

（3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题。

2.过程与方法：（1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力。

（2）经历探究垂径定理的过程,体会和理解研究几何图形的多种方法。

3.情感态度与价值观：（1）通过探究垂径定理的活动, 并引入实际问题，使学生知道数学在实际生活中的用处，激发学生探究、发现数学问题的兴趣。

（2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验。

教学重难点：【重点】垂径定理及其应用【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题。

教学准备：多媒体课件、自制圆形纸片、导学案、作图工具一、情境引入我校总务处的李师傅遇到一件麻烦事，因我校一处圆形下水道破裂，他准备更换新管道，但只知道污水面宽60cm，水面至管道顶部10cm ，你能帮李师傅计算一下他应准备内径多大的管道吗？二、实践探究1.活动1: 我们在学轴对称的时候已经学过圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，验证圆的这一特性。

课本中有证明圆是轴对称图形的方法，课前已经让大家预习过了，现在大家再来看一下，进行巩固。

2.活动2: 在圆形纸片上操作：①找出圆心，记作O②作出一条直径，与⊙O交于C、D③在⊙O上的任意找一点A，过点A作一条弦AB使AB⊥CD, 交⊙O于点B，垂足为E。

沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？观察发现：点A与重合，AE与重合,弧AC与重合，弧AD与重合。

相等的线段: ，相等的弧: .思考：如果AB是⊙O的一条直径呢？以上结论还会成立吗？【证明定理】动手操作之后，我们现在来进行理论证明。

学生用自己的方法证明，之后同学之间分享方法。

人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径精品教案

课题24.1.2垂直于弦的直径课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)充分认识圆的轴对称性.(2)利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质,掌握垂径定理.(3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图.2.过程与方法让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程,培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观通过实验操作探索数学规律,激发学生的好奇心和求知欲,同时培养学生勇于探索的精神.教学重难点重点:垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.难点:利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.教学活动设计二次设计课堂导入课件出示关于赵州桥的引例引例:你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少?同学们,你能帮他求出来吗?学完了本节课的内容,我们一起来解决这个问题.探索新知合作探究活动1(温故知新)对折圆形纸片,圆的轴对称性.圆是轴对称图形吗?它有几条对称轴?分别是什么?活动2(探究)垂径定理(思考)如图:AB是☉O的一条弦,作直径CD使CD⊥AB,垂足为E.①这个图形是对称图形吗?②你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.③你能用一句话概括这些结论吗?垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.④你能用几何方法证明这些结论吗?⑤你能用符号语言表达这些结论吗?学生小组讨论,找出图中相等的量,教师在学生充分观察对折后的圆形纸片的几何性质后,将学生分析得到的几何等量关系在黑板上板书,为用数学符号语言翻译定理奠定基础.学生观察、思考和探究得出结论,再证明结论,使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起,从而使推理论证成为学生探究结论的自然延续和必然方法.【教师行为】由于定理的题设和结论关系较复杂,教师进一步帮助学生分析定理,并归结为:一条直线(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.同时引导学生认识到垂径定理就是满足条件(1),(2)而推出其他结论.续表【引申】定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段.从而得到垂径定理的变式:一条直线具有:例题讲解:现在我们学习了垂径定理,就可以对前面赵州桥的问题进行解决了.分析:(1)根据桥的实物图画出几何图形;(2)几何图形思考:圆的半径OA,弦心距OD、弦长AB、弓形高CD有怎样的数量关系?学生解答,教师演示过程,规范解题步骤,强调解题的严谨性.。

九年级数学上册_24.1.2垂直于弦的直径精品教案_人教新课标版

a 间的关系式: r 2 d 2 2
2
学生观察图形，结合圆的对称性和相关知识进行思考，尝试得出垂径定理，并从不同角度加以解释 . 再进行严格的几何证明. .
发现垂径定理，初步感知培养学生的分析能力，解题能力.
为继续探究其推论奠定基础师生分析，进一步理解定理，析出定理的题设和结培养学生解决问题的意识和能力论. 全面的理解和掌握垂径定理和它的推论，并进行推广，得到其他几个定理，完整的把握所学知识.
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人教版九年级上册《24.1.2 垂直于弦的直径》教学设计
武当中学
赵林
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三、课堂训练见多媒体课件。四、小结归纳 1. 垂径定理和推论及它们的应用 2. 垂径定理和勾股定理相结合，将圆的问题转化为直角三角形问题.
让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总
2
3.圆中常作辅助线：半径、过圆心的弦的垂线段五、作业设计作业：习题 24.1 第 2、8、9 题补充：已知：在半径为 5 ㎝的⊙O 中，两条平行弦 AB,CD 分别长 8 ㎝，6 ㎝.求两条平行弦间的距离. 板课题 24.1.2 垂直于弦的直径书设计归纳垂径定理的进一步推广赵州桥问题教学反思
教学重点教学难点
Hale Waihona Puke 一、导语：你知道赵州桥吗?它是 1400 多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长 )为 37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？二、探究新知 (一)圆的对称性沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径学案 (新版)新人教版

垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __．2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，E 为垂足，若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为__3__．最大值为__5__．点拨精讲：当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD.证明：作OE⊥AB 于E.则CE ＝DE.∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ，∴AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE.即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是cm . 点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm . 3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE.∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB∥CD，则OF ⊥CD.(1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm )．即AB 与CD 之间距离为22 cm .(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 (cm)．即AB与CD之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 c m.点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧．(学生总结本堂课的收获与困惑)．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。

新人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径学案(1)》学案

新人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径学案（1）》学案学习[来源:Z&xx&]方法[来源学科网ZXXK][来源学科网ZXXK]制作：班级姓名九年级数学方法总结学习内容课前阅读心中有数为自学指明方向课下及时复习动手操作、探究规律利用圆的轴对称性，探索垂径定理记忆定理24.1.2垂直于弦的直径学案（1）学习目标1．理解圆的轴对称性；２.了解拱高、弦心距等概念；３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。

一复习与提问⒈叙述：请同学叙述圆的集合定义？⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做________。

二、动手实践，发现新知⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试。

⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。

三、创设情境，探索垂径定理⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？ABCDOA BCDOA BCDOE⒉若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？⒊在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠,实验后提出猜想。

⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明。

写出已知，求证。

已知：求证：5.学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：①书中证明利用了圆的什么性质？②若只证AE=BE，还有什么方法？6垂径定理：学习制作：班级姓名九年级数学方法方法学习内容总结掌握定理的推理格式加深对定理的认识辅助线添加的理由通过这两个题加深对辅助线的认识分析：给出定理的推理格式6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？四、定理的应用例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且AB=8，OC=3，求⊙O的半径。

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3.能初步应用垂径定理进行计算和证明。
四、教学重点难点
重点
垂径定理及应用。
难点
垂径定理的证明及应用。
五、教学过程设计
1．问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
线段：AE=BE
弧：
得垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
4．得垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
5．利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题
6．练习：
7．小结
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
⑵如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
⑶如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形。
⑷弓形的弦长为16cm，弓形的高为4cm，则这弓形所在的圆的半径为。
⑸已知P为圆内一点，且OP＝2cm，如果圆的半径是3cm，那么过P点的最短的弦等于。
七ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作业设计
习题24.1 2.（2）
83页：1.2.题。
24.1.2 垂直于弦的直径
一、教材分析
本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。

【人教版】九年级上册数学：全册导学案-24.1.2 垂直于弦的直径

24．1．2 垂直于弦的直径一、知识点回顾：1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。

2．如右图，____________是直径，___________是弦，____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。

3．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是_______________。

4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。

5．利用身边常见的工具，你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。

二、新知学习：（一）．学习目标：1-知识目标：掌握垂径定理2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题（二）．自学要求：P80—P81垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.符号语言：∵AB是⊙O的直径又∵AB CD∴CE DE推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧符号语言：∵AB是⊙O的直径又∵CE DE∴AB CD三、典型拓展例题：1．你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径。

3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD AB于D，OE AC于E.求证：四边形ADOE为正方形。

4．如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB交小圆于C、D。

求证：AC BD5．如图所示，在⊙O中，C、D是弦AB上的两点，且AD BC.求证：OC OD四、检测与反馈：1．如图，在⊙O中，AB是弦，OC AB于C.⑴若OA5，OC4，求AB的长；⑵若OA6，AB8，求OC的长；⑶若AB12，OC8，求⊙O的半径；⑷若AOB120，OA10OA =10，求AB的长。

2019年九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径导学案(新版)新人教版 .doc

4.什么是垂径定理？请默写一遍，并尝试证明。
5.由垂径定理又得到了什么推论？试着逻辑证明一下。并用符号语言表示。
试剖析垂径定理的条件和结论：条件：（）结论：（）
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：
1过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足（）条件，而推出（）。
4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。
方法指导
温馨提示：
（用时分钟）
三、
问
题
探
究
自学教材P80—P81探究：
1.你是怎样画圆的？你能讲出形成圆的方法有多少种吗？
2.通过对折圆，圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆还具有哪些对称性？
3.教材80页思考？从图中找到哪些相等的线段和弧？为什么？
【收获与反思】
从中选出两种用符号语言表示：
方法指导
圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。符号语言： ∵AB是⊙O的直径又∵CDAB∴DE CE温馨提示：
（用时分钟）
四、
反
馈
提升Βιβλιοθήκη 1.你知道赵州桥吗？它是1300 多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
5．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
6.如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线,大圆于点C，若AB=3，BC=1，则圆环的面积最接近的整数是（）

九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径教案新人教版

24.1.2垂直于弦的直径
知识与能力
探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；
在探索问题的过程中培养学生的动手操
【探究】
一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你
性，引出
是底边
的中点。

这样师生共同总结归纳出“垂径
解：设圆的半径为R，由条件得到
t△ADO中
222
OD AD
=+，
：此圆的半径是
，问修理人员应准备内径多大的管道
．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？本节课应掌握：
垂直于弦的直径的性质，圆对称性。

第8、9题
课堂检测。

2020年九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径导学案(含解析) 新人教版.doc

2020年九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径导学案(含解析) 新人教版一、新课导入1、圆是轴对称图形，经过直径的直线是圆的对称轴，一个圆有无数条对称轴；2、把一个圆沿一条直径对折，直径两侧的半圆有什么关系？二、学习目标1、掌握垂径定理和垂径定理的推论；2、能利用垂径定理及垂径定理的推论解决实际问题。

三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本要求：掌握垂径定理，会用几何语言表示垂径定理。

一边阅读一边完成检测一。

检测练习一、1、圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条过圆心的直线，一个圆有无数条对称轴。

2、圆心到弧的垂线段的长度叫做弦心距。

3、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，则有AM=BM ，=，=，4、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

5、垂径定理的两个条件：①直径；②垂直于弦。

结论：③平分弦；④平分弦所对的两条弧。

完成尝试应用6、下列四个图形中第几个可以用垂径定理：【解析】第一个图形中的AB虽然垂直于弦CD，但是AB不是⊙O的直径，所以不能用垂径定理；第二个图形中的AB虽然是直径，但是AB不垂直于弦CD，所以不能用垂径定理；第三个图形中的OE虽然垂直于弦CD，但是OE不是⊙O的直径，所以不能用垂径定理；第四个图形中的AB是⊙O的直径，并且AB垂直于弦CD，所以能用垂径定理；研读二、认真阅读课本，利用圆的轴对称性探索垂径定理的推论；7、如下图所示，CD 是⊙O 的直径，AM=BM ，求证：CD ⊥AB ，弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD.证明：连接OA 、OB ，在△OAM 和△OBM 中，OA OB OM OM AM BM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OAM ≌△OBM ，∴∠OMA=∠OMB=90°，∴CD ⊥AB ，∴CD 是对称轴，∴把⊙O 沿CD 折叠时，点A 与点B 重合，∴弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD.结论：根据圆是轴对称图形可得：1、平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；2、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.检测练习二、8、如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB ，垂足为M ，求证：AM=BM ，弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD.证明：连接OA 、OB ，∵CD ⊥AB ，∴∠OMA=∠OMB=90°，在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，OA OB OM OM=⎧⎨=⎩， ∴△OAM ≌△OBM ，∴CD是对称轴，∴把⊙O沿CD折叠时，点A与点B重合，∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.小窍门：通过连接弦的两个端点与圆心构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明垂径定理.研读三、利用垂径定理探索夹在两条平行弦之间的两条弧的关系。

新人教版九年级数学上册24.1.1垂直于弦的直径(2)导学案

新人教版九年级数学上册24.1.1垂直于弦的直径（2）导学案
学习目标：1.掌握垂径定理及相关结论，
2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题。

重点：垂径定理、垂径定理的推论以及它们的应用。

难点：垂径定理及推论的条件和结论的区分，垂径定理的证明。

学习过程：
一、学习研讨
例：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为36米，
拱高（弧的中点到弦的距离）为6米，求出赵州桥主桥拱的半径。

三、巩固练习
1．一架桥的主桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦长)为30m, 拱高
（弧的中点到弦的距离）为5m, 你能求出这架桥主桥拱的半径吗?
2．下图是一个输油管道的横截面．为了测量输油管道的半径．先测得
简记
了油深为CD=10cm ，然后又测得了油面的宽度AB=60cm ，
你能根据所提供的数据求得输油管道的半径吗？
3．下图是一个输油管道的横截面．输油管道的半径是50cm ．油面
的宽度AB=60cm ，你能根据所提供的数据求出油的深度吗？
四、学后反思：
简记。

九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教案2新人教版(1)

24．1．2 垂直于弦的直径教学目标1、知识目标:(1）充分认识圆的轴对称性。

（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质,掌握垂径定理。

（3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想-验证—归纳”的研究过程,培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。

让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。

3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。

教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。

教学难点1、垂径定理的证明。

2、垂径定理的题设与结论的区分。

教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。

教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。

整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。

令学生参与到“实验—-观察—-猜想--验证-—归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理.学生不再是知识的接受者,而是知识的发现者，是学习的主人。

教学过程教师活动学生活动教学环节设计目的情景创设情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长)为37。

4m, 拱高（弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一些实际问题转化为数学问题思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点?从实际出发,充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。

回顾旧识回顾旧识我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？2）我们学习过的轴对称图形有哪些？(电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画)学生观察一些图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。

通过复习,强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。

人教版九年级数学上册导学案：24.1.2垂直于弦的直径

一、自主预习请按下面要求完成下题：1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． ⑴如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？⑵你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ ①相等的线段：，相等的弧：，②下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，弧AC=BC ，弧AD=BD.∴点和点关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与BC 重合，AD 与CD 重合．∴ ，垂径定理：垂直于_______的直径平分弦，并且平分弦所对的两条__________．几何语言表达式：2、已知CD 是直径，且平分弦AB ，能否得到CD ⊥AB ，且平分弧ADB 及弧AB 。

推论: 平分弦（_____________）的直径垂直于________，并且平分弦所对的两条__________．几何语言表达式：二、合作探究在半径为50mm 的⊙O 中,弦AB 的长50mm 求∠AOB 的度数并计算点O 到AB 的距离.三、展示交流如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径.科目数学班级：学生姓名课题 24.1.2垂直于弦的直径（1）课型新授课时 1主备教师备课组长签字学习目标： 1、经历探索圆的轴对称性及相关性质。

2、理解并应用垂径定理及推论进行相关的计算学习重点垂直于弦的直径的性质、推论及其应用学习难点对垂直于弦的的直径的性质、推论的说明过程的理解四、随堂检测班级：姓名：1、判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦（） ②平分弦的直径必垂直弦（） ③平分弦的直径垂直于这条弦（） ④弦的垂直平分线是圆的直径（）⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（）⑥在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧（） 2、在⊙O 中，直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm, 求弦AB 的长（拔高练习题) 3、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，EB =6，∠DEB =30求弦CD 长？BA CE DO。