2013年全国高校自主招生数学模拟试卷10

合集下载

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三一、选择题（36分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．32．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3)3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为（） A.24181 B. 26681 C. 27481D. 670243 4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为（） A. 764 cm 3或586 cm 3B. 764 cm 3C. 586 cm 3或564 cm 3D. 586 cm 35．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞二、填空题（54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若7()128381f x x =+，则a b += .8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =．题15图9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种．10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n = ，则通项n a =．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是． 12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是． 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三参考答案1[解]当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．[解法一] 因240x ax --=有两个实根12a x =22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a -且42a ，解之得03a ≤<．[解法二]（特殊值验证法）令3,[1,4],a B B A ==-⊄，排除C ，令171,]a B =-=，B A ⊄排除A 、B ，故选D 。

课标全国卷数学高考模拟试题精编(十)

课标全国卷数学高考模拟试题精编十【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈Z }，B ＝{x |x 2－2x ＝0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A ．{－1}B ．{2}C ．{1,2}D ．{0,2}2．已知复数z 满足z ＝(3＋i )21＋i (i 为虚数单位)，则复数z 所对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体的三视图及尺寸(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A.223 cm 3B.476 cm 3C.233 cm 3 D ．8 cm 34．(理)已知ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.2，则P (ξ≤4)等于( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8(文)在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5,6的6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为2或4的小球的概率是( ) A.110 B.310 C.25 D.145．如图，程序结束输出s 的值是( )A ．30B ．55C ．91D ．1406．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( ) A.32 B ．3 C ．2 3 D ．97．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为( )A ．2,2.5B ．2.25,2.02C ．2.25,2.5D ．2.5,2.258．(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ＜0，2cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92(文)已知命题p ：x ＞2，命题q ：x 2＋x －2＞0，则命题p 是命题q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥03x －y －2≤0x ≥0y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为6，则log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．(理)九个人排成三行三列的方阵，从中任选三人，则至少有两人位于同行或同列的概率为( )A.37B.47C.114D.1314(文)某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( ) A ．48个 B ．49个 C ．50个 D ．51个11．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN→＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB→＋29AC →，则实数m 的值为( ) A.19 B.13 C ．1 D ．312．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴上的两个顶点为A 、B ，点P 为椭圆M 上除A 、B 外的一个动点，若QA →·P A →＝0且QB →·PB →＝0，则动点Q 在下列哪种曲线上运动( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1若f (a )＝11，则f (－a )＝________.14．设G 为△ABC 的重心，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若35aGA →＋21bGB →＋15cGC→＝0，则sin C ＝________. 15．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 16．已知x ＞0，有下列不等式成立：x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2≥3x 2·x 2·4x 2＝3 (x)＋ax n ≥n ＋1，据此归纳，则a ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本题满分12分)函数f (x )＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间和对称中心． 18.(理)(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDE 中，已知AB ∥DE ，AB ⊥AD ，△ACD 是正三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，BC ＝5，G 为AD 的中点．(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ； (2)求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小；(3)求点G到平面BCE的距离．(文)(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，BC＝5，F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求直线CE与平面ABED所成角的余弦值；(3)求多面体ABCDE的体积．19.(理)(本小题满分12分)某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．(1)问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？(2)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生来自同一所中学的概率；(3)在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取2名学生，用ξ表示抽得A中学的学生人数，求ξ的分布列．(文)(本小题满分12分)某县的工商银行随机抽取本县内的20家微小企业，对微小企业的产业结构调整及生产经营情况进行评估．根据得分将企业评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，银行将根据等级对企业提供相应额度的资金支持．下表是本次评定所得的相关数据：(2)银行鼓励得分前2名的2家企业A 、B 分别随机收购得分后3名的3家企业a 、b 、c 中的1家，求A 、B 企业选择收购同一家的概率．20.(本小题满分12分)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．21．(本题满分12分)设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －2x (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设h (x )＝f ′(x )＋1e x ，若h (x )＞k (k ∈Z )恒成立，求k 的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2＝EF ·EC . (1)求证：A 、P 、D 、F 四点共圆；(2)若AE ·ED ＝24，DE ＝EB ＝4，求P A 的长． 23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的圆心C 的极坐标为(2，π4)，半径r ＝ 2.(1)在极坐标系中，直线θ＝π3(ρ∈R )与圆C 交于两点，求两点间的距离；(2)在直角坐标系xOy 中，过圆C 内的定点M (1,0)作直线l ，直线l 与圆C 交于A 、B 两点，以直线l 的倾斜角为参数，求弦AB 中点N 的轨迹的参数方程． 24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a |≥1(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．课标全国卷高考模拟试题精编十1．B A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,2}，∴(∁U A )∩B ＝{2}．2．A Z ＝(3＋i )21＋i ＝8＋6i 1＋i ＝(8＋6i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝14－2i2＝7－i ，∴z ＝7＋i.3．B 该几何体的直观图是棱长为2的正方体截去一角，其体积V ＝23－13×12×1×1×1＝476(cm 3)，故选B. 4．(理)D ∵P (ξ＞4)＝P (ξ≤2)＝0.2， ∴P (ξ≤4)＝1－P (ξ＞4)＝1－0.2＝0.8.(文)C 取2个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(1,5)，(2,6)，共6种，故所求的概率为615＝25，选择C.5．C 由程序框图可知输出的s ＝12＋22＋…＋62＝91. 6．C ∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴cos B ＝12，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a＋c )2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝(a ＋c )24，即3≥(a ＋c )24，∴a ＋c ≤23，所以选C. 7．B 众数为最高矩形的中间数即 2.25.设中位数为x ，则0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.3×0.5＋0.44×0.5＋(x －2)×0.5＝0.5 解得：x ＝2.02.8．(理)C 结合图形可得S ＝∫0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝4.(文)B 由题意知命题q ：x ＜－2或x ＞1，所以p 可以推出q ，但q 推不出p ，p 是q 的充分不必要条件，故选B . 9．A作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示，当目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0和3x －y －2＝0的交点A(2,4)时，z 取得最大值6，所以2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋2a 3b ＋2b 3a ≥log 33＝1，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，选择A . 10．(理)D 所选三人不同行，不同列的概率为P ＝3·2·1C 39＝114. ∴至少有两人位于同行或同列的概率为：1－P ＝1－114＝1314.(文)B 由题意知x ＝17.5，y ＝39，代入回归直线方程得a ∧＝109,109－15×4＝49，故选B . 11．B如图，因为AN→＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，因为B 、P 、N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13，选择B .12．B 由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，不妨设P(x 0，y 0)(x 0≠±a)，Q(x ，y)，则QA →＝(－a －x ，－y)，PA →＝(－a －x 0，－y 0)，QB →＝(a －x ，－y)，PB →＝(a －x 0，－y 0)，∴QA →·PA →＝(－a －x)·(－a －x 0)＋(－y)·(－y 0)＝a 2＋ax ＋ax 0＋xx 0＋yy 0＝0， QB →·PB →＝(a －x)·(a －x 0)＋(－y)·(－y 0)＝a 2－ax －ax 0＋xx 0＋yy 0＝0，即⎩⎨⎧a 2＋ax ＋ax 0＋xx 0＋yy 0＝0 ①a 2－ax －ax 0＋xx 0＋yy 0＝0 ②. ①－②得：2ax ＋2ax 0＝0， ③ ①＋②得：a 2＋x 0x ＋y 0y ＝0， ④ 联立③、④，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x (x ≠±a )y 0＝x 2－a 2y .又P 为椭圆M 上一个动点，显然满足x 20a 2＋y 20b 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x (x ≠±a )y 0＝x 2－a 2y 代入上式得(－x )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 2y 2b 2＝1，整理得b 2x 2y 2＋a 2(x 2－a 2)2＝a 2b 2y 2，b 2y 2(x 2－a 2)＋a 2(x 2－a 2)2＝0，即b 2y 2＋a 2(x 2－a 2)＝0，∴a 2x 2＋b 2y 2＝a 4，即x 2a 2＋y 2a 4b 2＝1.显然Q 的轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．故选B .13．解析：f(a)＝a 3cos a ＋1＝11，∴a 3cos a ＝10， ∴f(－a)＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9. 答案：－914．解析：由于G 为△ABC 的重心，故GA→＋GB →＋GC →＝0，即GC →＝－GA →－GB →，代入已知并整理得(35a －15c)GA→＋(21b －15c)GB →＝0，由于GA →，GB →不共线，根据平面向量基本定理得35a －15c ＝0,21b －15c ＝0，即a ＝37c ，b ＝57c ，令c ＝7t ，则a ＝3t ，b ＝5t ，根据余弦定理得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以sin C ＝32.答案：32 15．解析：依题意，抛物线的焦点F(1,0)，过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ，过点P 作准线x ＝－1的垂线，垂足为M ，交y 轴于点E ，则d 1＋d 2＝|PN|＋|PE|＝|PN|＋|PM|－1＝|PN|＋|PF|－1≥|FN|－1，当且仅当F ，P ，N 三点共线时等号成立．由于点F 到直线l 的距离为32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1. 答案：32－116．解析：由所给式子归纳可得a ＝n n . 答案：n n17．解：(1)f(x)＝3cos ωx ＋3sin ωx f(x)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3又△ABC 为正三角形，且高为23，则BC ＝4.所以函数f(x)的最小正周期为8，即2πω＝8， ω＝π4f(x)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3.(2)由2k π－π2≤π4x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得：8k －103≤x ≤8k ＋23，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －103，8k ＋23(k ∈Z ) 由π4x ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝4k －43，k ∈Z 所以对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －43，0k ∈Z18．(理)解：∵△ACD 是正三角形，∴AC ＝AD ＝CD ＝2，在△ABC 中，∵AB ＝1，AC ＝2，BC ＝5，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ，又AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ACD ，又AB ∥DE ，∴DE ⊥平面ACD .以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (0,0,2)，B (2,0,1)，C (1，3，0)．(1)设F 是线段CE 的中点，则点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，1∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0，显然BF→与平面xDy 平行，∴BF ∥平面ACD .(2)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥CB →，且n ⊥CE →，由CB→＝(1，－3，1)，CE →＝(－1，－3，2)，得⎩⎨⎧x －3y ＋z ＝0－x －3y ＋2z ＝0，不妨设y ＝3，则⎩⎨⎧x ＝1z ＝2，即n ＝(1，3，2)，易知DE→＝(0,0,2)是平面ACD 的一个法向量，∴所求角θ满足cos θ＝cos 〈n ，DE →〉＝n ·DE →|n |·|DE →|＝22，∴θ＝〈n ，DE →〉＝π4. (3)由已知得G 点坐标为(1,0,0)，∴BG→＝(－1,0，－1)，由(2)知平面BCE 的法向量为n ＝(1，3，2)， ∴所求距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BG →·n |n |＝324.(文)解：(1)如图，取CE 的中点为M ，连接BM ，MF ，因为F 为CD 的中点，所以MF 綊12ED ，又AB ∥DE ，DE ＝2AB ，所以MF 綊AB ，四边形ABMF 为平行四边形，所以BM ∥AF ，因为BM ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE . (2)因为△ACD 是正三角形，所以AC ＝AD ＝CD ＝2，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝5，所以AB 2＋AC 2＝BC 2，故AB ⊥AC ，又AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD ，取AD 的中点H ，连接CH ，EH ，则AB ⊥CH ，又AC ＝CD ，所以CH ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，所以CH ⊥平面ABED ，所以∠CEH 是直线CE 与平面ABED 所成的角．在Rt △CHE 中，CH ＝3，EH ＝5，CE ＝22，所以cos ∠CEH ＝104. (3)由(2)知，CH 是四棱锥C －ABED 的高，所以多面体ABCDE 的体积V ABCDE ＝13×12×(1＋2)×2×3＝ 3.19．(理)解：(1)由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100，抽取的样本容量与总体个数的比值为50100＝12.∴应从A ，B ，C ，D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5.(2)设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学”为事件M ，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生的取法共有C 250＝1 225种，这2名学生来自同一所中学的取法共有C 215＋C 220＋C 210＋C 25＝350种．∴P (M )＝3501 225＝27.故从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学的概率为27.(3)由(1)知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A ，C 两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 210C 225＝320，P (ξ＝1)＝C 115C 110C 225＝12，P (ξ＝2)＝C 215C 225＝720.∴ξ的分布列为：(文)解：(1)其频率分布直方图如图．该县微小企业所获资金支持的均值为0.15×0＋0.4×1＋0.3×3＋0.15×6＝2.2(百万元)．(2)其收购模式共9种，A 购a 且B 购a ，A 购a 且B 购b ，A 购a 且B 购c ，A 购b 且B 购a ，A 购b 且B 购b ，A 购b 且B 购c ，A 购c 且B 购a ，A 购c 且B 购b ，A 购c 且B 购c .而A 、B 选择同一家的有3种，分别为A 购a 且B 购a ，A 购b 且B 购b ，A 购c 且B 购c ，故A 、B 企业选择收购同一家的概率为13.20．解：(1)由题意，可得2a ＋2c ＝6＋42，即a ＋c ＝3＋22，又b ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，a －c ＝3－22，解得a ＝3，c ＝22，所以椭圆M 的方程为x 29＋y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 29＋y 2＝1消去x 得(m 2＋9)y 2＋2mty ＋t 2－9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mtm 2＋9，y 1y 2＝t 2－9m 2＋9.①因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C (3,0)，所以CA →·CB →＝0.由CA →＝(x 1－3，y 1)，CB →＝(x 2－3，y 2)得(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0. 将x 1＝my 1＋t ，x 2＝my 2＋t 代入上式，得(m 2＋1)y 1y 2＋m (t －3)(y 1＋y 2)＋(t －3)2＝0，将①代入上式，解得t ＝125或t ＝3. 21．解：(1)函数的定义域x ＞0 f ′(x )＝ln x ＋1x －1不妨令g (x )＝ln x ＋1x －1，g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2x ＞1，g ′(x )＞0，函数g (x )＝f ′(x )递增，又因为g (1)＝f ′(1)＝0，所以x ＞1，f ′(x )＞0，f (x )单增．0＜x ＜1，g ′(x )＜0，g (x )＝f ′(x )单减，f ′(x )＞f ′(1)＝0，函数f (x )单增所以函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增(2)h (x )＝ln x ＋1x －1＋1e x ，h ′(x )＝1x －1x 2－1e x ＝x e x－e x－x2x 2e x设φ(x )＝x e x －e x －x 2，φ′(x )＝x e x －2x ＝x (e x －2) x ∈(0，ln 2)，φ′(x )＜0，φ(x )单减，φ(x )＜φ(0)＝－1＜0 h ′(x )＜0，h (x )单减．x ∈(ln 2，＋∞)，φ′(x )＞0，φ(x )单增，φ(x )＞φ(ln 2)＝2ln 2－2－(ln 2)2 又φ(1)＝－1＜0，φ(2)＝e 2－4＞0存在x 0∈(1,2)，使得φ(x )＝0，在(0，x 0)上，φ(x )＜0，在(x 0，＋∞)上，φ(x )＞0 h (x )在(0，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上递增 h (x )≥h (x 0)＝ln x 0＋1x 0－1＋1e x 0又1e x 0＝1x 0－1x 20，所以h (x )≥h (x 0)＝ln x 0＋1x 0－1＋1e x 0＝ln x 0＋2x 0－1x 20－1不妨令M (x )＝ln x ＋2x －1x 2－1当x ∈(1,2)时，M ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋2x －1x 2－1′＝1x －2x 2＋2x 3 M ′(x )＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋2x 2＞0，M (x )＞0是单增函数，又M (1)＝0，M (2)＝ln 2－14＜11＞h (x 0)＝ln x 0＋2x 0－1x 20－1＞0所以k ≤0，所以k 的最大值为0.22．解：(1)证明：∵DE 2＝EF ·EC ，∴DE CE ＝EFED ，又∠DEF ＝∠CED ，∴△DEF ∽△CED ，∠EDF ＝∠ECD ，又∵CD ∥P A ，∴∠ECD ＝∠P故∠P ＝∠EDF ，所以A ，P ，D ，F 四点共圆．(2)解：由(1)及相交弦定理得PE ·EF ＝AE ·ED ＝24，又BE ·EC ＝AE ·ED ＝24，∴EC ＝6，EF ＝DE 2EC ＝83，PE ＝9，PB ＝5，PC ＝PB ＋BE ＋EC ＝15 由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝5×15＝75，所以P A ＝53为所求．23．解：(1)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，直线θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝3x ，联立⎩⎨⎧y ＝3x (x －1)2＋(y －1)2＝2，消去y 得：2x 2－(1＋3)·x ＝0.∴x 1＝0，x 2＝1＋32，所求距离为2×1＋32＝1＋ 3.(2)设直线l 的倾斜角为α，则其参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得：t 2－2t sin α－1＝0，设方程两根为t 1、t 2，则t 1＋t 22＝sin α.代入上述参数方程中得：N 点的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋sin αcos αy ＝sin 2α(α为参数，α∈[0，π))．24．解：(1)当a ＝1时，得2|x －1|＝1， ∴|x －1|≥12，x ≥32或x ≤12，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥32. (2)∵|ax －1|＋|ax －a |≥|a －1|， ∴原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1， ∴a ≥2或a ≤0. 又∵a ＞0，∴a ≥2.。

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷及答案

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ） A.71 B. 71-C.21 D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。

连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A −PB −C 的平面角。

不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。

在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。

2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ A）A. ]31,31[-B. ]21,21[-C. ]31,41[- D. [−3，3] 解：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。

由对称性排除C ，从而只有A 正确。

一般地，对k ∈R ，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。

由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。

3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。

四川省绵阳市绵阳中学2013年自主招生数学试题及答案

四川省绵阳市绵阳中学2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <，所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（）深的水才能完全淹没筷子。

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷9 (4)

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九一、选择题（36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x |x －2≤0}，B={x |10x 2－2=10x }，则A ∩∁R B 是( )(A ){2} (B ){-1} (C ){x |x ≤2} (D ) ∅ 2．设sin α＞0，cos α＜0，且sin α3＞cos α3，则α3的取值范围是( ) (A )(2k π+π6，2k π+π3)， k ∈Z (B )( 2k π3+ π6，2k π3+π3)，k ∈ Z(C )(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z (D )(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z 3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )(A ) 33 (B ) 332 (C )3 3 (D )6 3 4．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ≠q ，若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c=0( )(A )无实根 (B )有两个相等实根 (C )有两个同号相异实根 (D )有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=53x +45的距离中的最小值是( ) (A ) 34170 (B ) 3485 (C ) 120 (D ) 130 6．设ω=cos π5+i sin π5，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是( ) (A )x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B ) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C ) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D ) x 4+x 3+x 2-x -1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000︒)=__________．2．设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2，3，4，…)，则lim n →∞(32a 2+33a 3+ (3)a n ))=________.3．等比数列a +log 23，a +log 43，a +log 83的公比是____________.4．在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是5－12，则∠ABF=_________.5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.6．如果：(1)a ，b ，c ，d 都属于{1，2，3，4}；(2)a ≠b ，b ≠c ，c ≠d ，d ≠a ；(3)a 是a ，b ，c ，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数____abcd 的个数是_________ 三、解答题(60分，每小题20分)1．设S n =1+2+3+…+n ，n ∈N *，求f (n )=S n(n +32)S n +1的最大值．2．若函数f (x )=－12x 2+132在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]．3．已知C 0：x 2+y 2=1和C 1：x 2a 2+y 2a 2=1 (a ＞b ＞0)．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九参考答案一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x |x －2≤0}，B={x |10x 2－2=10x }，则A ∩∁R B 是( )(A ){2} (B ){-1} (C ){x |x ≤2} (D ) ∅ 解：A={2}，B={2，－1}，故选D ．2．设sin α＞0，cos α＜0，且sin α3＞cos α3，则α3的取值范围是( ) (A )(2k π+π6，2k π+π3)， k ∈Z (B )( 2k π3+ π6，2k π3+π3)，k ∈Z(C )(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z (D )(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈Z 解：满足sin α＞0，cos α＜0的α的范围是(2k π+π2，2k π+π)，于是α3的取值范围是(2kπ3+π6，2kπ3+π3)，满足sin α3＞cos α3的α3的取值范围为(2k π+π4，2k π+5π4)．故所求范围是(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈Z ．选D ．3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )(A ) 33 (B ) 332 (C )3 3(D )6 3解：A (－1，0)，AB 方程：y=33(x +1)，代入双曲线方程，解得B (2，3)，∴ S=33．选C ．4．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ≠q ，若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c=0( )(A )无实根 (B )有两个相等实根 (C )有两个同号相异实根 (D )有两个异号实根解：a 2=pq ，b +c=p +q ．b=2p +q 3，c=p +2q3；14△=a 2－bc=pq －19(2p +q )(p +2q )=－29(p －q )2<0．选A ．5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=53x +45的距离中的最小值是( ) (A ) 34170 (B ) 3485 (C ) 120 (D ) 130 解：直线即25x －15y +12=0．平面上点(x ，y )到直线的距离=|25x －15y +12|534=|5(5x －3y +2)+2|534．∵5x －3y +2为整数，故|5(5x －3y +2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B ． 6．设ω=cos π5+i sin π5，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是( )(A )x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B ) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C ) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D ) x 4+x 3+x 2-x -1=0解：ω5+1=0，故ω，ω3，ω7，ω9 都是方程x 5+1=0的根．x 5+1=(x +1)(x 4－x 3+x 2－x +1)=0．选B ．二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000︒)=__________.解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－π9．2．设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2，3，4，…)，则lim n →∞(32a 2+33a 3+ (3)a n ))=________.解：a n =3n －2C 2n ．∴3k a k =2·323k －2n (n －1)=18n (n －1)，故填18．3．等比数列a +log 23，a +log 43，a +log 83的公比是____________. 解：q=a +log 43a +log 23=a +log 83a +log 43=(a +log 43)－(a +log 83)(a +log 23)－(a +log 43)=log 43－log 83log 23－log 43=13．填13．4．在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是5－12，则∠ABF=_________.解：c=5－12a ，∴|AF |=5+12a ．|BF |=a ，|AB |2=|AO |2+|OB |2=5+32a 2．故有|AF |2=|AB |2+|BF |2．即∠ABF=90°．填90°．或由b 2=a 2－c 2=5－12a 2=ac ，得解．5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.解：取球心O 与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=32a ，G ADBEOHAG=63a ，AO=64a ，BG=33a ，AB ∶AO=BG ∶OH ． OH=AO ·BG AB =24a ．V=43πr 3=224πa 3．填224πa 3．． 6．如果：(1)a ，b ，c ，d 都属于{1，2，3，4}； (2)a ≠b ，b ≠c ，c ≠d ，d ≠a ；(3)a 是a ，b ，c ，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数____abcd 的个数是_________解：a 、c 可以相等，b 、d 也可以相等． ⑴ 当a 、c 相等，b 、d 也相等时，有C 24=6种； ⑵ 当a 、c 相等，b 、d 不相等时，有A 23+A 22=8种； ⑶ 当a 、c 不相等，b 、d 相等时，有C 13C 12+C 12=8种；⑷ 当a 、c 不相等，b 、d 也不相等时，有A 33=6种；共28种．填28．三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设S n =1+2+3+…+n ，n ∈N *，求f (n )=S n(n +32)S n +1的最大值．解：S n =12n (n +1)，f (n )= n (n +1)(n +32)(n +1)(n +2) = 1n +64n +34≤150．(n=8时取得最大值)．2．若函数f (x )=－12x 2+132在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]．解：⑴ 若a ≤b <0，则最大值为f (b )=－12b 2+132=2b ．最小值为f (a )=－12a 2+132=2a ．即a ，b 是方程x 2+4x －13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．⑵ 若a <0<b ，当x=0时，f (x )取最大值，故2b=132，得b=134．当x=a 或x=b 时f (x )取最小值，①f (a )=－12a 2+132=2a 时．a=－2±17，但a <0，故取a=－2－17．由于|a |>|b |，从而f (a )是最小值．②f (b )=－12b 2+132=3932=2a >0．与a <0矛盾．故舍．⑶ 0≤a <b ．此时，最大值为f (a )=2b ，最小值为f (b )=2a ．∴ －12b 2+132=2a ．－12a 2+132=2b ．相减得a +b=4．解得a=1，b=3．∴ [a ，b ]=[1，3]或[－2－17，134]．3．已知C 0：x 2+y 2=1和C 1：x 2a 2+y 2a 2=1 (a ＞b ＞0)．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论．解：设PQRS 是与C 0外切且与C 1内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即PQRS 是菱形．于是OP ⊥OQ ．设P (r 1cos θ，r 1sin θ)，Q (r 2cos(θ+90°)，r 2sin(θ+90°)，则在直角三角形POQ 中有r 12+r 22=r 12r 22(利用△POQ 的面积)．即1r 21+1r 22=1．但r 21cos 2θa 2+r 22sin 2θb 2=1，即1r 21=cos 2θa 2+sin 2θb 2，同理，1r 22=sin 2θa 2+cos 2θb 2，相加得1a 2+1b 2=1．反之，若1a 2+1b 2=1成立，则对于椭圆上任一点P (r 1cos θ，r 1sin θ)，取椭圆上点Q (r 2cos(θ+90°)，r 2sin(θ+90°)，则1r 21=cos 2θa 2+sin 2θb 2，，1r 22=sin 2θa 2+cos 2θb 2，，于是1r 21+1r 22=1a 2+1b 2=1，此时PQ 与C 0相切．即存在满足条件的平行四边形．故证．。

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷1

2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是
解：曲线方程为+=1，直线方程为y=ax+b．
由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．
由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．
在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位则1出现2n－1次．
∴Sn=2n－20.11…1+2n－210－n．
∴==．
三、（本题满分20分）
13．设≤x≤5，证明不等式
2++<2．
解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．≤x≤5．
由平均不等式≤≤．
∴2++=+++≤2．
而MN上任一异于P的点Q，都有OQ+QA=OQ+QA>OA．故点Q在椭圆C外．即折痕上所有的点都在椭圆C上及C外．
反之，对于椭圆C上或外的一点S，以S为圆心，SA为半径作圆，交⊙O于A，则S在AA的垂直平分线上，从而S在某条折痕上．
最后证明所作⊙S与⊙O必相交．
1当S在⊙O外时，由于A在⊙O内，故⊙S与⊙O必相交；
MN=－1．EM=，故EN2=3－(－1)2=2．∴EN=．所求圆柱的高=2+．
12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=．
解：由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n－1．
2当S在⊙O内时(例如在⊙O内，但在椭圆C外或其上的点S)，取过S的半径OD，则由点S在椭圆C外，故OS+SA≥R(椭圆的长轴)．即SA≥SD．于是D在⊙S内或上，即⊙S与⊙O必有交点．

自主招生中考数学试卷真题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列选项中，不属于实数的是（）A. 3B. -2C. √2D. π2. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x = 4，则方程 3x + 2 = 7 的解为（）A. x = 3B. x = 4C. x = 5D. x = 63. 已知 a + b = 5，ab = 6，则a² + b² 的值为（）A. 19B. 23C. 29D. 314. 在直角坐标系中，点 P（2，3）关于直线 y = x 对称的点为（）A. P（3，2）B. P（2，3）C. P（-3，-2）D. P（-2，-3）5. 若 sin A = 1/2，且 A 为锐角，则 cos A 的值为（）A. √3/2B. √3/4C. 1/2D. 1/46. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. f(x) = x²B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = 1/xD. f(x) = √x7. 已知三角形 ABC 的内角 A、B、C 分别为30°、45°、105°，则 sin B 的值为（）A. √2/2B. √2/4C. 1/2D. 1/48. 在等差数列 {an} 中，若 a1 = 3，公差 d = 2，则第 10 项 an 的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 279. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 相似三角形的面积比等于边长比C. 圆的直径是圆的最长弦D. 等腰三角形的底角相等10. 若复数 z = a + bi（a、b ∈ R），且 |z| = 1，则 z 的共轭复数为（）A. a - biB. -a - biC. -a + biD. a + bi二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11. 若等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，公差为 d，则 S5 = 20，d = 2，则 a1 = ______。

2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷(带答案)

2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷（带答案）2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC，若对任意t∈R，→BA－t→BC≥→AC，则△ABC一定为A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．12＜x＜1B．x＞12且x≠1C．x＞1D．0＜x＜13．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20B．25C．30D．424．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝π2，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．15，1)B．15，2)C．1，2)D．15，2)5．设f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a1a2…a2006的个数为A．12(102006＋82006)B．12(102006－82006)C．102006＋82006D．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是．8.若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为．9．已知椭圆x216＋y24＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－3y＋8＋23＝0上.当∠F1PF2取最大值时，比|PF1||PF2|的值为．10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为12cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3．11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为．12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m，y0m)为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝1≤i ＜j≤5Σxixj．问：⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有xi－xj≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.说明理由．15．设f(x)＝x2＋a.记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R|对所有正整数n，fn(0)≤2}．证明，M＝－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C．解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由→BA－t→BC≥→AC，推出→BA2－2t→BA•→BC＋t2→BC2≥→AC2,令t＝→BA•→BC→BC2，代入上式，得→BA2－2→BA2cos2α＋→BA2cos2α≥→AC2，即→BA2sin2α≥→AC2,也即→BAsinα≥→AC．从而有→AD≥→AC．由此可得∠ACB＝π2．答B．解：因为x＞0，x≠12x2＋x－1＞0，解得x＞12且x≠1．由logx(2x2＋x －1)＞logx2－1，＋x2－x)＞＜x＜1，2x3＋x2－x＜2或x＞1，2x3＋x2－x＞2．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞12且x≠1．答C．解：5x－；6x－b＞＞b6．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则1≤b6＜2，4≤a5＜5，即6≤b＜12，20≤a＜25．所以数对(a，b)共有C61C51＝30个．答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，12)，G(12，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以→EF＝(t1，－1，－12)，→GD＝(－12，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜12．又→DF＝(t1，－t2，0)，→DF＝t12＋t22＝5t22－4t2＋1＝5(t2－25)2＋15，从而有15≤→DF＜1．答A．解：显然f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0．反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0．答B．解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059．又由于(9＋1)2006＝k＝0Σ2006C2006k92006－k以及(9－1)2006＝k＝0Σ2006C2006k(－1)k92006－k从而得A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059＝12(102006－82006)．填0，98]．解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－12sin2x－12sin22x．令t＝sin2x，则f(x)＝g(t)＝1－12t－12t2＝98－12(t＋12)2．因此－1≤t≤1ming(t)＝g(1)＝0，－1≤t≤1maxg(t)＝g(－12)＝98．故，f(x)∈0，98]．填－55，55]．解：依题意，得＋cosθ)2＋(2a－－2sinθ)≤3－5a2．－25asin(θ－φ)≤3－5a2(φ＝arcsin55)对任意实数θ成立．－，故a的取值范围为－55，55]．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P．直线l交x轴于A(－8－23，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即∆APF1∽∆AF2P，即|PF1||PF2|＝|AP||AF2|⑴又由圆幂定理，|AP|2＝|AF1|•|AF2|⑵而F1(－23，0)，F2(23，0)，A(－8－23，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF1||PF2|＝|AF1||AF2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影．则ABCD是一个边长为22的正方形。

中学自主招生模拟试卷含答案及答题卡

自主招生模拟试卷（数学卷）题号一二三总分得分一、选择题（共7题，每题5分，共35分）1．二次函数2y ax bx c =++的图像如右图所示，则化简二次根式22()()a c b c ++-的结果是（）A ．a+bB ．-a-bC ．a-b+2cD ．-a+b-2c2.有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。

每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（）A ．7B ．8C ．9D ．103．已知a 是方程3310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．有一种长方体集装箱，其内空长为5米，高4.5米，宽3.4米，用这样的集装箱运长为 5米，横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管，最多能运（）根。

A ．20根B ．21根C ．24根D ．25根5．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（） A ．328 B ． 528 C ． 356 D ． 5566．用[x]表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.对每个x ，y 是x y 21=,1223,232+-=+=x y x y 三个值中的最小值，则当x 变化时，函数y 的最大值是（）A ． 4B ． 6C ． 8D ． 487二、填空题（共7题，每题5分，共35分） 8. 已知()21()()4b c a b c a -=--，且a ≠0,则b c a += 。

9．G 是△ABC 的重心，过G 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，则BM CNAM AN+= 。

10. 已知a 、b 、c 都是实数，且满足a>b>c,a+b+c=0.那么，ca的取值范围是。

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五

5．设三位数 n=¯¯¯ abc，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数 n 有( ) A．45 个 B．81 个 C．165 个 D．216 个 6．顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为 B，OH⊥PB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的中点，则当三棱锥 O － HPC 的体积最大时， OB 的长为 ( ) 5 A． 3 2 5 B． 3 6 C． 3 2 6 D． 3
4 14．在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 A(0， )，B(－1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距 3 离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中项． ⑴ 求点 P 的轨迹方程； ⑵ 若直线 L 经过ABC 的内心(设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围．

6
B．

12
5 或 12
5 C．或 6 12

的 (
2．已知 M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的 m∈R，均有 M∩N，则 b 取值范围是 ) A．[－ 6 6 ， ] 2 2 B．(－ 6 6 ， ) 2 2 2 3 2 3 C．(－， ] 3 3 2 3 2 3 D．[－， ] 3．不 3 3
； 3 ． 3
2 2 1 2 1 ∴ AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcos，12= + + －2 cos，cos= ． 3 3 3 3 2 =60． 10．设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 k2－pk也是一个正整数，则 k= 2 p2 1 2 2 p 解：设 k －pk=n，则(k－ ) －n = ，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，k= (p+1)2． 2 4 4 1 11．已知数列 a0， a1， a2， „， an， „满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且 a0=3，则∑ 的值是 a i=0 i 1

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二一、填空题（64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+b a ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答） 6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD，则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB，则点C 的坐标为．8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题（56分）9．（16分）设函数|)1l g (|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求ba ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn nn n n t a t t a ta ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+yx交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB，求△PAB的面积．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二参考答案1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)2-∞-+∞ . 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈=ux f ．3．-1. 提示：由2211≤+b a ，得abb a 22≤+．又23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即abb a 22≥+． ①于是abb a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+. 又5371)(xx x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故∈+<<+k k k (45242ππθππZ )．因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ．5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32s i n ,31c o s ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN，故2=MN．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMN OD ．故球O 的半径3=R ． 7．)2,1(-或)6,9(-．提示：设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ，11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ．因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，AB CDO PMN即3161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t，否则01222=-⋅-t t，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A或点B 重合．所以0342=++t t，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．15. 提示：=n a C65400320020023nnn --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ．当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n时，=86a C5388620023-⋅⋅，在C!114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n时，=92a C10369220023-⋅⋅，在C!108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+． 9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以|)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ，所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为ba<，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而 2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ．从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ．又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ，故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b或1-=b （舍去）．把31-=b代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a．所以 52-=a ，31-=b．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++nn n n n t a a ta ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++nn nn nn n n n t a t a t a a ta ．记n nn b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b．又211,211111=+=+b b b nn ，从而有221)1(111n n b b n=⋅-+=，故nt a nn 211=-+，于是有1)1(2--=nt a nn ．（2）nt n ta ann n n )1(21)1(211--+-=-++[])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n nn tt n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n nnnn ntt t t tn n t tt nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n ttt t ttn n t ，显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：mx y +=31，),(),,(2211y x B y x A ．将mx y+=31代入143622=+yx中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y kPB PA．则PA PB k k +=+=，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x)2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ．直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+yx中，消去y得)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x，即14)3313(231-=x．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 60211)1)277249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅=．。

2013高三数学总复习同步练习：10-8离散型随机变量及其概率分布(理)

10-8离散型随机变量及其概率分布(理)基础巩固强化1.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16 [答案] B[解析] 恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，即甲为一等品乙不是一等品或乙为一等品甲不是一等品，∴P ＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512，故选B. 2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)[答案] C[解析] C 47C 68表示选出的10个村庄中有4个交通不方便，6个交通方便，∴P (X ＝4)＝C 47C 68C 1015.3．已知随机变量ξ满足条件ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝12，D (ξ)＝125，则n 与p 的值分别为( )A ．16与45 B ．20与25 C ．15与45 D ．12与35[答案] C[解析] ∵ξ～B (n ，p )，∴E (ξ)＝np ＝12，D (ξ)＝np (1－p )＝125，∴n ＝15，p ＝45.4．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235[答案] B[分析] 关键是弄清S 7＝3的含义：S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7，而a i的取值只有1和－1，故S 7＝3表示在a i 的七个值中有5个1、2个－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球．[解析] S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7＝3表示七次取球试验中，恰有2次取到红球，而一次取球中，取到红球的概率P 1＝23，∴所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135. 5．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P (ξ＝0)＝C 27－xC 27＝(7－x )(6－x )42， P (ξ＝1)＝C 1x ·C 17－xC 27＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67， ∴x ＝3.6．设两个相互独立事件A 、B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A ．[0，89] B ．[19，59] C ．[23，89] D ．[0，49][答案] D[解析] 设事件A 、B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，则P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝(1－x )·(1－y )＝19⇒1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy .当且仅当x ＝y 时取“＝”，∴xy ≤23或xy ≥43(舍)，∴0≤xy ≤49.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝xy ∈[0，49]．7．(2011·济南模拟)已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于________．[答案] 316[解析] P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝123＋124＝316.8．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A ，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B ，则P (B |A )＝________.[答案] 512[解析] 因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A ，“两颗骰子的点数和大于8”的事件为B ，用枚举法可知A 包含的基本事件为12个，A 、B 同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以P (B |A )＝512.9．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)，P (ξ＝x 1)＋P (ξ＝x 2)＋P (ξ＝x 3)＝1. ∴P (ξ＝x 2)＝13，∵P (ξ＝x i )≥0，∴公差d 取值满足－13≤d ≤13.10．(2012·广东理，17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．[分析](1)利用频率和为1，可求X值；(2)先确定各部分人数，再确定ξ取值，利用组合知识，用古典概型求ξ的分布列，再求数学期望．[解析](1)图中x所在组为[80,90)即第五组，∵由频率分布直方图的性质知，10×(0.054＋x＋0.01＋3×0.006)＝1，∴x＝0.018.(2)成绩不低于80分的学生所占的频率为，f＝10×(0.018＋0.006)＝0.24.所以成绩不低于80分的学生有：50f＝50×0.24＝12人；成绩不低于90分的学生人数为：50×10×0.006＝3人，所以ξ的取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19×C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122.所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×11＋1×22＋2×122＝12.[点评] 1.本题考查频率分布直方图与随机变量的分布列，数学期望等知识，考查抽象概括能力与应用意识．2．应用古典概型求事件的概率是分布列的常见命题方式.能力拓展提升11.(2011·浙江嘉兴模拟)甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A.43B.119 C ．1 D.89[答案] A[解析] 依题意，ξ的取值为0,1,2. 且P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19， P (ξ＝1)＝23×(1－13)＋(1－23)×13＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.12．(2012·岳阳期末)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( )A.35B.34C.12D.310[答案] C[解析] 解法1：由于取后不放回，故在第一次取到白球的条件下，口袋中还有2白2黑4个球，从中任取一球，则取到白球的概率为P ＝24＝12.解法2：设A ＝“第一次取到白球”，B ＝“第二次取到白球”，则AB 表示“两次都取到白球”．由条件知：P (A )＝35，P (AB )＝C 23C 25＝310，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.13．(2012·温州一测)某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率都为23，则该学生在面试时得分的期望值为________分．[答案] 15[解析] 设该生面试时得分数为ξ，则ξ的分布列为∴E (ξ)＝30×827＋15×49＋0×29＋(－15)×127＝15.14．(2011·湖南理，15)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________. [答案] (1)2π (2)14[解析] 该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4.故P (A )＝2π，P (A ∩B )＝12π＝12π，P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝12π2π＝14.15．如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：t)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4t的居民数X的分布列和数学期望．[分析](1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4t的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故X～B(3,0.1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望．[解析](1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X0.027＋3×0.001＝0.3.16．(2012·福建，16)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1、X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[分析](1)因为保修期为2年，所以“首次发生故障在保修期内”这一事件可表示为“x≤2”；(2)弄清事件“X1＝m”和“X2＝n”的含义，才能求出概率分布列；(3)应该生产利润期望大的轿车．[解析](1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得，E(X1)＝1×25＋2×50＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．[点评] 1.本题主要考查古典概型，互斥事件的概率，离散型随机变量分布列等知识，考查数据处理能力．2．概率问题的解决关键是弄清随机变量取值时所表示的事件的含义．1．(2011·浙江六校联考)节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：若进这种鲜花A ．706元 B ．690元 C ．754元 D ．720元[答案] B[解析] 由题意，进这种鲜花500束，利润η＝(5－2.5)ξ－(2.5－1.5)×(500－ξ) ＝3.5ξ－500而E (ξ)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340， ∴E (η)＝E (3.5ξ－500)＝3.5E (ξ)－500＝690(元)．2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值是( )A.1220 B.2755 C.27220 D.2155[答案] C[分析] 弄清X ＝4的含义是关键，盒中原有3个旧球，9个新球，取出3个球用后放回，此时盒中旧球数X ＝4，故取出的3个球中有1个新球，2个旧球．[解析] P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.3．设随机变量X ～B (n,0.5)，且D (X )＝2，则事件“X ＝1”的概率为______(用数字作答)[答案] 132[解析] ∵X ～B (n,0.5)，∴D (X )＝n ×0.5×(1－0.5)＝2，∴n ＝8.∴事件“X ＝1”的概率为P (X ＝1)＝C 18×0.5×0.58－1＝132.4．袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13.(1)求m 、n 的值；(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“第一次摸出3号球”为事件A ，“第二次摸出2号球”为事件B ，则P (B |A )＝m 9＝13，∴m ＝3，n ＝10－3－1＝6. (2)ξ的可能的取值为3,4,5,6.P (ξ＝3)＝1·C 13C 210＝115，P (ξ＝4)＝1·C 16＋C 23C 210＝15，P (ξ＝5)＝C 13C 16C 210＝25，P (ξ＝6)＝C 26C 210＝13.ξ的分布列为E (ξ)＝3×115＋4×15＋5×25＋6×13＝5.5．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为4的概率；(2)设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)记“在4次检验中，前3次检验中有1次得到次品，第4次检验得到次品”为事件A ，则检验次数为4的概率P (A )＝C 12C 25C 37·1C 14＝17. (2)ξ的可能值为2,3,4,5,6，其中P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，P (ξ＝3)＝C 12C 15C 27·1C 15＝221， P (ξ＝4)＝P (A )＝17，P (ξ＝5)＝C 12C 35C 47·1C 13＋C 55C 57＝521，P (ξ＝6)＝C 12C 45C 57＝1021. ξ的分布列为ξ的期望E (ξ)＝2×121＋3×221＋4×321＋5×521＋6×1021＝5. [点评] 要特别注意P (ξ＝5)的情形，一种可能是前四次检验中有一次得到次品第五次为次品；另一种可能是前五次都是正品则余下的两件必都是次品．这是它与其他情形不同的地方．6．某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试．该测试包括心理健康测试和身体健康测试两个项目，每个项目的测试结果为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x 表示心理健康测试结果，y 表示身体健康测试结果.(1)求a＋b的值；(2)如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的概率；(3)若“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级”是相互独立事件，求a、b的值．[解析](1)∵该单位50位职工全部参与了测试，∴表中标出的总人数也应是50人，∴a＋b＝50－47＝3.(2) 从表中可以看出，职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的人数为6人，∴所求概率为650＝0.12.(3)∵“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级是相互独立事件，∴P(x＝D且y＝B)＝P(x＝D)·P(y＝B)．即b50＝a＋b＋750×b＋450.又∵a ＋b ＝3，∴b 50＝1050×b ＋450，解得b ＝1. ∴a ＝2，b ＝1.7．(2012·东北三校联考)实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A － B － C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60. P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818，P(ξ＝60)＝P(ABC)＝418. 所以ξ的分布列为E(ξ)＝30×118＋40×518＋50×818＋60×418＝145 3.[点评] 1.求复杂事件的概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清各事件之间的关系，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．。

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五

n
－n－3)． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M(－1，2)和 N(1，4)，点 P 在 x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点 P 的横坐标为； y 解：当∠MPN 最大时， ⊙MNP 与 x 轴相切于点 P(否则⊙MNP 与 x N 轴交于 PQ，则线段 PQ 上的点 P使∠MPN 更大)．于是，延长 NM 交 M x 轴于 K(－3，0)，有 KM·KN=KP2，KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1， 0)处⊙MNP 的半径小，从而点 P 的横坐标=1． O P K 三．解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分) 13．一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n，则算过关．问： ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？ ⑵ 他连过前三关的概率是多少？解：⑴ 设他能过 n 关，则第 n 关掷 n 次，至多得 6n 点，由 6n>2n，知，n≤4．即最多能过 4 关． ⑵ 要求他第一关时掷 1 次的点数>2，第二关时掷 2 次的点数和>4，第三关时掷 3 次的点数和>8． 4 2 第一关过关的概率=6=3；
5．设三位数 n=¯¯¯ abc ，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数 n 有( ) A．45 个 B．81 个 C．165 个 D．216 个 6．顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为 B，OH⊥PB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的中点，则当三棱锥 O － HPC 的体积最大时， OB 的长为 ( ) 5 A． 3 2 5 B． 3 6 C． 3 2 6 D． 3

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十三

解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b．
取CD中点G，则AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，则∠BFD为二面角B—AC—D的平面角．
AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2．
由cos∠AGE=cos∠BFD，得=．
解：只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可．
设P(1+cosθ，θ)，
则|AP|2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5
=－3(cosθ+)2+≤．且显然|AP|2能取遍[0，]内的一切值，故所求面积=π．
4．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________。
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二、填空题(本题满分54分，每小题9分)
1．集合{x|－1≤log10<－，x∈N*}的真子集的个数是．
2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_______．
3．曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十三
命题人：南昌二中高三（01）班张阳阳
一、选择题(本题满分36分，每题6分)
1．把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( )

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷11

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( )（A ）等于lg2 （B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A A ∩B 成立的所有a 的集合是( )（A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9}(D ) Ø3.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( )(A ) 150(B )200(C ) 150或 200 (D ) 50或4004.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2 + b 2x + c 2 > 0的解集相同；命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2．则命题Q ( )(A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件(C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin63(B )π2+arccos33(C )π2－arctan 2 (D ) π－arccot 226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x R )是以2为周期的偶函数, 当x [ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是． 2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是．6．ABC 中, C = 90o , B = 30o , AC = 2, M 是AB 的中点. 将ACM 沿CM折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sin θ+i cos θ(π2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f (x ) = ax 2 +8x +3 (a <0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l (a ) ,使得在整个区间 [0, l (a )]上, 不等式| f (x )|5都成立．问：a 为何值时l (a )最大? 求出这个最大的l (a )．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y 2 = 2px 及定点A (a , b ), B ( – a , 0) ,(ab 0, b 2 2pa )．M 是抛物线上的点, 设直线AM , BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2．求证：当M 点在抛物线上变动时(只要M 1, M 2存在且M 1 M 2)，直线M 1M 2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一参考答案一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．若a > 1, b > 1, 且lg (a + b) = lg a + lg b, 则lg (a–1) + lg (b–1) 的值( )（A）等于lg2 （B）等于1(C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数解：a+b=ab，(a－1)(b－1)=1，由a－1>0，b－1>0，故lg(a－1)(b－1)=0，选C．2．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a–5},B={x|3≤x≤22},则能使A A∩B成立的所有a的集合是( )（A）{a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9}(C) {a | a≤9} (D) Ø解：A B，A≠Ø． 3≤2a+1≤3a－5≤22，6≤a≤9．故选B．3．各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为S n,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于( )(A) 150 (B) 200(C) 150或200 (D) 50或400解：首先q ≠1，于是，a 1q －1(q10－1)=10，a 1q －1(q 30－1)=70，∴q 20+q 10+1=7．q 10=2．(－3舍)∴ S 40=10(q 40－1)=150．选A ．4.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2 + b 2x + c 2 > 0的解集相同;命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2．则命题Q ( )(A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件(C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件解：若两个不等式的解集都是R ，否定A 、C ，若比值为－1，否定A 、B ，选D ．5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin63(B )π2+arccos33(C )π2－arctan 2 (D ) π－arccot 22解：取AD 、BD 中点H 、M ，则EH ∥FG ∥BD ，于是EH 在平面EFG 上．设CM ∩FG=P ，AM ∩EH=Q ，则P 、Q 分别为CM 、AM 中点，PQ ∥AC ．∵ AC ⊥BD ，PQ ⊥FG ，CP ⊥FG ，∠CPQ 是二面角C —FG —E 的平面角．设AC=2，则MC=MA=3，cos ∠ACM=22+(3)2－(3)22·2·3=33．∴ 选D ．6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； ⑵ 面中心为中点：4×6=24组；⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B ．二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.PQ MHA DCB GF E1．若f (x ) (x R )是以2为周期的偶函数, 当x [ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是．解：f (9819)=f (6－1619)=f (1619)．f (10117)=f (6－117)=f (117)，f (10415)=f (6+1415)=f (1415)．现f (x )是[0，1]上的增函数．而117<1619<1415．故f (10117)<f (9819)<f (10415)．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.解： →OS=→OP +→PQ +→PR=→OP +→OQ －→OP +→OR －→OP =→OQ +→OR －→OP=(1+i )z +2－z －z=iz +2－z=(2cos θ－sin θ)+i (cos θ－2sin θ)．∴ |OS |2=5－4sin2θ≤9．即|OS |≤3，当sin2θ=1，即θ=π4时，|OS |=3．3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶SQPRxOy数, 不同的取法有________种.解：从这10个数中取出3个偶数的方法有C35种，取出1个偶数，2个奇数的方法有C15C25种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0，2，4)，(0，2，6)，(0，1，3)，(0，1，5)，(0，1，7)，(0，3，5)，(2，1，3)，(2，1，5)，(4，1，3)，共有9种，故应答10+50－9=51种．4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.解：设其首项为a，项数为n．则得a2+(n－1)a+2n2－2n－100≤0．△=(n－1)2－4(2n2－2n－100)=－7n2+6n+401≥0．∴n≤8．取n=8，则－4≤a≤－3．即至多8项．(也可直接配方：(a+n－12)2+2n2－2n－100－(n－12)2≤0．解2n2－2n－100－(n－12)2≤0仍得n≤8．)5．若椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是．解：2y=4－4(y －a )2，2y 2－(4a －1)y +2a 2－2=0．此方程至少有一个非负根． ∴ △=(4a－1)2－16(a2－1)=－8a +17≥0．a ≤178．两根皆负时2a 2>2，4a －1<0．－1<a <1且a <14．即a <－1．∴－1≤a ≤178．6．ABC 中, C = 90o , B = 30o , AC = 2, M 是AB 的中点. 将ACM沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A －BCM 的体积等于．解：由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=23，由△AMC 为等边三角形，取CM 中点，则AD ⊥CM ，AD 交BC 于E ，则AD=3，DE=33，CE=233．折起后，由BC 2=AC2+AB 2，知∠BAC=90°，cos ∠ECA=33．∴ AE 2=CA 2+CE 2－2CA ·CE cos ∠ECA=83，于是AC 2=AE 2+CE 2．∠AEC=90°．∵ AD 2=AE2+ED 2，AE ⊥平面BCM ，即AE 是三棱锥A －BCM 的高，AE=263．S △BCM =3，V A —BCM =223．三、（本题满分20分）2223222EBCAMD23222AEM DCB已知复数z=1－sin θ+i cos θ(π2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值．解：z=1+cos(π2+θ)+i sin(π2+θ)=2cos 2π2+θ2+2i sin π2+θ2cos π2+θ2=2cosπ2+θ2 (cosπ2+θ2+i sinπ2+θ2)．当π2<θ<π时，－z =－2cos π2+θ2 (－cos π2+θ2+i sin π2+θ2)=－2cos(π4+θ2)(cos(3π4－θ2)+i sin(3π4－θ2))．∴ 辐角主值为3π4－θ2．四、（本题满分20分）设函数f (x ) = ax 2 +8x +3 (a <0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l (a ) ,使得在整个区间 [0, l (a )]上, 不等式| f (x )| 5都成立．问：a 为何值时l (a )最大? 求出这个最大的l (a )．证明你的结论．解： f (x )＝a (x +4a )2+3－16a．(1)当3－16a＞5，即－8＜a ＜0时，l (a )是方程ax 2+8x +3＝5的较小根，故l (a )＝－8+64+8a 2a．(2)当3－16a≤5，即a ≤－8时，l (a )是方程ax 2+8x +3＝－5的较大根，故l (a )＝－8－64－32a 2a．综合以上，l (a )= ⎩⎪⎨⎪⎧－8－64－32a 2a ，(a ≤－8)－8+64+8a 2a (－8<a <0)当a ≤－8时，l (a )＝－8+64－32a 2a＝44－2a －2≤420－2＝1+52；当－8＜a ＜0时，l (a )＝－8+64+8a 2a＝216+2a +4＜24＜1+52．所以a ＝－8时，l (a )取得最大值1+52．五、（本题满分20分）已知抛物线y 2 = 2px 及定点A (a , b ), B ( – a , 0) ,(ab0, b 22pa ).M 是抛物线上的点, 设直线AM , BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2．求证：当M 点在抛物线上变动时(只要M 1, M 2存在且M 1 M 2.)直线M 1M 2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.解：设M (m 22p，m )．M 1(m 212p，m 1)，M 2(m 222p，m 2)，则A 、M 、M 1共线，得b －mm 1－m=a －m 22pm 212p－m 22p，即b －m=2pa －m 2m 1+m．∴ m 1=2pa －bm b －m ，同法得m 2=2pam ；∴ M 1M 2所在直线方程为y －m 2m 1－m 2=2pa －m 22m 21－m 22，即(m 1+m 2)y=2px +m 1m 2．消去m 1，m 2，得2paby －bm 2y=2pbmx －2pm 2x +4p 2a 2－2pabm ．⑴分别令m=0，1代入，得x=a ，y=2pa b ，以x=a ，y=2pab代入方程⑴知此式恒成立．即M 1M 2过定点(a ，2pa b)。

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷12

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二一、选择题(36分)1．已知数列{x n }满足x n +1=x n －x n －1(n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ，记S n =x 1+x 2+ +x n ，则下列结论正确的是(A )x 100=-a ，S 100=2b -a (B )x 100=-b ，S 100=2b -a (C )x 100=-b ，S 100=b -a (D )x 100=-a ，S 100=b -a2．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得AE EB =CFFD =λ (0<λ<+∞)，记f (λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则(A ) f (λ)在(0，+∞)单调增加(B ) f (λ)在(0，+∞)单调减少(C ) f (λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D ) f (λ)在(0，+∞)为常数3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个4．在平面直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x －2y +3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为(A )(0，1) (B )(1，+∞) (C )(0，5) (D )(5，+∞)5．设f (x )=x 2－πx ，α = arcsin 13，β=arctan 54，γ=arcos(－13)，δ=arccot(－54)，则 (A )f (α)>f (β)>f (δ)>f (γ) (B ) f (α)> f (δ)>f (β)>f (γ) (C ) f (δ)>f (α)>f (β)>f (γ) (D ) f (δ)>f (α)>f (γ)>f (β)6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有 (A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x ，y 为实数，且满足⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1．则x +y = . 2．过双曲线x 2－y 22=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条，则λ= .3．已知复数z 满足⎪⎪⎪⎪2z +1z =1，则z 的幅角主值范围是．4．已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为．5．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶EFB CD A点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．6．设a =log z +log[x (yz )-1+1]，b =log x -1+log(xyz +1)，c =log y +log[(xyz )-1+1]，记a ，b ，c 中最大数为M ，则M 的最小值为．三、（20分）设x ≥y ≥z ≥π12，且x +y +z =π2，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值．四、(20分)设双曲线xy =1的两支为C 1，C 2(如图)，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P 、Q 、R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设P (-1，-1)在C 2上， Q 、R 在C 1上，求顶点Q 、R 的坐标．五、(20分)设非零复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5满足⎩⎨⎧a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=4(1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5)=S ．其中S 为实数且|S |≤2．求证：复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{x n }满足x n +1=x n －x n －1(n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ，记S n =x 1+x 2+ +x n ，则下列结论正确的是(A )x 100=-a ，S 100=2b -a (B )x 100=-b ，S 100=2b -a (C )x 100=-b ，S 100=b -a (D )x 100=-a ，S 100=b -a解：x 1=a ，x 2=b ，x 3=b －a ，x 4=－a ，x 5=－b ，x 6=a －b ，x 7=a ，x 8=b ，…．易知此数列循环，x n +6=x n ，于是x 100=x 4=－a ，又x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=0，故S 100=2b －a ．选A ．2．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得AE EB =CFFD =λ (0<λ<+∞)，记f (λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则(A ) f (λ)在(0，+∞)单调增加 (B ) f (λ)在(0，+∞)单调减少(C ) f (λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D ) f (λ)在(0，+∞)为常数解：作EG ∥AC 交BC 于G ，连GF ，则AE EB =CG GB =CFFD ，故GF ∥BD ．故∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，但AC ⊥BD ，故∠EGF=90°．故f (λ)为常数．选D ．3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个解：设首项为a ，公差为d ，项数为n ，则na +12n (n －1)d=972，n [2a +(n －1)d ]=2×972，即n 为2×972的大于3的约数．∴ ⑴ n=972，2a +(972－1)d=2，d=0，a=1；d ≥1时a <0．有一解；⑵n=97，2a +96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； ⑶n=2×97，n=2×972，无解．n=1，2时n <3.．选C4．在平面直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x －2y +3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为(A )(0，1) (B )(1，+∞) (C )(0，5) (D )(5，+∞)解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x －2y +3=0的距离的比：x 2+(y +1)2|x －2y +3|12+(－2)2=5m <1⇒m >5，选D ．5．设f (x )=x 2－πx ，α = arcsin 13，β=arctan 54，γ=arcos(－13)，δ=arccot(－54)，则 (A )f (α)>f (β)>f (δ)>f (γ) (B ) f (α)> f (δ)>f (β)>f (γ)E FBCDA(C ) f (i )>f (α)>f (β)>f (γ) (D ) f (δ)>f (α)>f (γ)>f (β) 解：f (x )的对称轴为x=π2，易得， 0<α<π6<π4<β<π3<π2<γ<2π3<3π4<δ<5π6．选B ．6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有(A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条解：在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A 'D '，作一个平行六面体ABCD —A 'B 'C 'D '，在c 上取线段A 'D '上一点P ，过a 、P 作一个平面，与DD '交于Q 、与CC '交于R ，则QR ∥a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交．由于可以取无穷多个点P ．故选D ．二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x ，y 为实数，且满足⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1．则x +y = . 解：原方程组即⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)+1=0，(1－y )3+1997(1－y )+1=0．取 f (t )=t 3+1997t +1，f '(t )=3t 2+1987>0．故f (t )单调增，现x －1=1－y ，x +y=2．2．过双曲线x 2－y 22=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条，则λ= ．解：右支内最短的焦点弦=2b 2a =4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对称性有两条．故λ=4时设AB 的倾斜角为θ，则右支内的焦点弦λ=2ab 2a 2－c 2cos 2θ=41－3cos 2θ≥4，当θ=90°时，λ=4．与左支相交时，θ=±arccos23时，λ=⎪⎪⎪⎪2ab 2a 2－c 2cos 2θ=⎪⎪⎪⎪41－3cos 2θ=4．故λ=4． 3．已知复数z 满足⎪⎪⎪⎪2z +1z =1，则z 的幅角主值范围是．解：⎪⎪⎪⎪2z +1z =1⇔4r 4+(4cos2θ－1)r 2+1=0，这个等式成立等价于关于x 的二次方程4x 2+(4cos2θ－1)x +1=0有正根．△=(4cos2θ－1)2－16≥0，由x 1x 2=14>0，故必须x 1+x 2=－4cos2θ－14>0． ∴cos2θ≤－34．∴ (2k +1)π－arccos 34≤2θ≤(2k +1)π+arccos 34． ∴ kπ+π2－12arccos 34≤θ≤kπ+π2+12arccos 34，(k=0，1)B‘C’D’A‘CDASQ PR acb4．已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为．解：SA=SB=SC=2，⇒S 在面ABC 上的射影为AB 中点H ，∴ SH ⊥平面ABC ．∴ SH 上任意一点到A 、B 、C 的距离相等． ∵ SH=3，CH=1，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 与SH 交于O ，则O 为SABC 的外接球球心．SM=1，∴SO=233，∴ OH=33，即为O 与平面ABC 的距离．5．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．解：青蛙跳5次，只可能跳到B 、D 、F 三点(染色可证)．青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号：□1□1□1□1□1规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有23－2=6种，后两个□中填号的方法有22种．∴ 共有2+6×4=26种方法．6．设a =log z +log[x (yz )-1+1]，b =log x -1+log(xyz +1)，c =log y +log[(xyz )-1+1]，记a ，b ，c 中最大数为M ，则M 的最小值为．解：a=log(x y +z )，b=log(yz +1x )，c=log(1yz +y )．∴ a +c=log(1yz +1x +yz +x )≥2log2．于是a 、c 中必有一个≥log2．即M ≥log2，于是M 的最小值≥log2．但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此时M=log2．于是M 的最小值≤log2． ∴ 所求值=log2．三、（本题满分20分）设x ≥y ≥z ≥π12，且x +y +z=π2，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值．解：由于x ≥y ≥z ≥π12，故π6≤x ≤π2 －π12×2=π3．∴ cos x sin y cos z=cos x ×12[sin(y +z )+sin(y －z )]=12cos 2x +12cos x sin(y －z )≥12cos 2π3 =18 ．即最小值．(由于π6 ≤x ≤π3 ，y ≥z ，故cos x sin(y －z )≥0)，当y=z=π12 ，x=π3 时，cos x sin y cos z=18 ． ∵ cos x sin y cos z=cos z ×12[sin(x +y )－sin(x －y )]=12cos 2z －12cos z sin(x －y )．O M2HSA B C 212由于sin(x －y )≥0，cos z >0，故cos x sin y cos z ≤12cos 2z=12cos 2π12 =12(1+cos π6)=2+ 38 ．当x= y=5π12 ，z=π12 时取得最大值． ∴ 最大值2+38，最小值18．四、(本题满分20分)设双曲线xy =1的两支为C 1，C 2(如图)，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P 、Q 、R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设P (-1，-1)在C 2上， Q 、R 在C 1上，求顶点Q 、R 的坐标．解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上．此三点的坐标为P (x 1，1x 1)，Q (x 2，1x 2)，R (x 3，1x 3)．不妨设0<x 1<x 2<x 3，则1x 1>1x 2>1x 3>0．k PQ =y 2－y 1x 2－x 1=－1x 1x 2；k QR =－1x 2x 3；tan ∠PQR=－1x 1x 2 +1x 2x 31+1x 1x 3x 22<0，从而∠PQR 为钝角．即△PQR 不可能是正三角形．⑵ P (－1，－1)，设Q (x 2，1x 2)，点P 在直线y=x 上．以P 为圆心，|PQ |为半径作圆，此圆与双曲线第一象限内的另一交点R 满足|PQ |=|PR |，由圆与双曲线都是y=x 对称，知Q 与R 关于y=x 对称．且在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数)．于是R (1x 2，x 2)．∴ PQ 与y=x 的夹角=30°，PQ 所在直线的倾斜角=75°．tan75°=1+331－33=2+3．PQ 所在直线方程为y +1=(2+3)(x +1)，代入xy=1，解得Q (2－3，2+3)，于是R (2+3，2－3)．五、(本题满分20分)设非零复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5满足⎩⎨⎧a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=4(1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5)=S ．其中S 为实数且|S |≤2．求证：复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．证明：设a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4=q ，则由下式得a 1(1+q +q 2+q 3+q 4)=4a 1q 4(1+q +q 2+q 3+q 4)．∴ (a 12q 4－4) (1+q +q 2+q 3+q 4)=0，故a 1q 2=±2，或1+q +q 2+q 3+q 4=0．⑴ 若a 1q 2=±2，则得±2(1q 2+1q +1+q +q 2)=S ．⇒S=±2[(q +1q )2+(q +1q )－1]=±2[(q +1q +12)2－54]． ∴ 由已知，有(q +1q +12)2－54∈R ，且|(q +1q +12)2－54|≤1．令q +1q +12=h (cos θ+i sin θ)，(h >0)．则h 2(cos2θ+i sin2θ)－54∈R ．⇒sin2θ=0．－1≤h 2(cos2θ+i sin2θ)－54≤1．⇒14≤h 2(cos2θ+i sin2θ)≤94，⇒cos2θ>0．⇒θ=kπ(k ∈Z ) ∴ q +1q ∈R ．再令q=r (cos α+i sin α)，(r >0)．则q +1q =(r +1r )cos α+i (r －1r )sin α∈R ．⇒sin α=0或r=1．若sin α=0，则q=±r 为实数．此时q +1q ≥2或q +1q ≤－2．此时q +1q +12≥52，或q +1q +12≤－32．此时，由|(q +1q +12)2－54|≤1，知q=－1．此时，|a i |=2．若r=1，仍有|a i |=2，故此五点在同一圆周上．⑵ 若1+q +q 2+q 3+q 4=0．则q 5－1=0，∴ |q |=1．此时|a 1|=|a 2|=|a 3|=|a 4|=|a 5|，即此五点在同一圆上．综上可知，表示复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．。

高中自主招生数学试题及答案

高中自主招生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -9C. -3D. 13. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的前三项分别为1，4，7，求第10项的值。

A. 26B. 27C. 28D. 295. 一个三角形的内角和为多少度？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°二、填空题（每题2分，共10分）6. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是_________三角形。

7. 一个函数的导数f'(x) = 3x^2 - 2x，当x=1时，其导数的值为_________。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值是_________。

9. 一个正方体的体积为27，它的边长是_________。

10. 圆的周长公式为C = 2πr，若半径r=4，则周长为_________。

三、解答题（共75分）11. 解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

（10分）12. 证明：若a，b，c是实数，且a + b + c = 0，则(1/a) + (1/b) + (1/c) ≥ 9。

（15分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数并讨论其在x=1处的单调性。

（20分）14. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。

（15分）15. 已知一个圆的圆心在原点，半径为1，求圆上任意一点到直线y = x的距离。

（15分）四、结束语本试题旨在考察学生对高中数学基础知识的掌握情况和解题能力。

希望同学们在解答过程中能够认真思考，仔细作答，展现出自己的数学素养。

高考自主招生中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A={x|2x-1=0}，集合B={x|x^2-3x+2=0}，则集合A与集合B的交集是（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. 空集2. 在直角坐标系中，点P（a, b）关于原点的对称点是（）A. (-a, -b)B. (a, -b)C. (-a, b)D. (a, b)3. 若函数f(x)=x^3-3x在区间[0, 1]上单调递增，则f(0)与f(1)的大小关系是（）A. f(0) > f(1)B. f(0) < f(1)C. f(0) = f(1)D. 无法确定4. 在等差数列{an}中，若a1=3，公差d=2，则第10项an的值为（）A. 21B. 22C. 23D. 245. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的对称轴方程是（）A. x=2B. y=2C. x=0D. y=06. 在平面直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(3, 4)，则线段AB的中点坐标是（）A. (2, 3)B. (2, 2)C. (3, 3)D. (3, 2)7. 若等比数列{an}的第一项a1=2，公比q=3，则第5项an的值为（）A. 54B. 81C. 162D. 2438. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)到直线y=4x的距离是（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 若函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0, 1]上连续，则f(x)的极值点是（）A. x=0B. x=1C. x=0或x=1D. 无极值点10. 已知等差数列{an}的前三项分别是a1=2，a2=5，a3=8，则该数列的公差d是（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k和b的关系是（）A. k^2+b^2=1B. k^2+b^2>1C. k^2+b^2<1D. k^2+b^2=012. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=2，f(2)=4，f(3)=6，则a、b、c的值分别是（）A. a=1，b=1，c=1B. a=2，b=2，c=2C. a=3，b=3，c=3D. a=4，b=4，c=4二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）13. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)在区间[1, 3]上取得最小值，则最小值是__________。