2015年高考数学(理)押题精练【专题2】函数与导数

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2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标II卷)

2
1
k2
| y 2 y1 |
，代入 λ ：
k ( 1)4 ( 2 2 1)2 | PQ |2 16 16 2 2
( 1
PQ | (1
1
) 2
16 16k 2 |k |
化简为：| PQ |
16 16k 4
k4

2 16
„„„„„„„„„„11 分
x
nπ
2
＋1，前 n 项和为 Sn，则 S2 015＝__________.
x－y＋5≥0，（15）已知 x、y 满足x＋y≥0，若使得 z＝ax＋y 取最大值的点(x，y)有无数个，则 a 的值等于___________． x≤3，
（16）已知圆 O: x ＋y =8，点 A(2，0) ，动点 M 在圆上，则∠OMA 的最大值为__________．三、解答题：本大题共 70 分
请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（10 分）选修 4-1：几何证明选讲，如图，在△ABC 中，∠C＝90º，BC＝8，AB＝10，O 为 BC 上一点，以 O 为
3
2
（5）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）8＋2 5 （6）(x －
2
2 俯视图
（B）6＋2 5（C）8＋2 3
6
（D）6＋2 3
1
x
) 的展开式中的常数项为（B）－15 （C）20 （D）－20
开始 i＝0，S＝0
（A）15
（7）执行右边的程序框图，则输出的 S 是（A）5040 （B）4850

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题2_第3讲_导数及其应用(含答案)

（1）定积分的性质：
①ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx；
②ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；
③ʃf中a<c<b)．
（2）微积分基本定理：
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a).
思维启迪(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．
思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．
A．2B．4C．2 D．4
思维启迪(1)利用微积分基本定理先求出a，再求分段函数的函数值；(2)利用图形将所求面积化为定积分．
思维升华(1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数．
(2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限．同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出．
(2)求导函数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习函数与导数综合题2

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习函数与导数综合题25．(理)(2014·某某高考)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值X 围．【解】 (1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x x ＋21－2x，由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2取极小值f (－2)＝0，在x ＝0取极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋3b －2]1－2x ，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x<0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0.所以b 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19. (文)(2014·某某高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．【解】 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．6．(2014·全国新课标Ⅰ高考)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0.(1) 求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值X 围．【解】 (1)f ′(x )＝ax＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x (x －a1－a )(x －1)．①若a ≤12，则a1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈(1，a 1－a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a 1－a，＋∞)时，f ′(x )＞0.f (x )在(1，a1－a)单调递减，在(a1－a，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (a 1－a )＜aa －1. 而f (a 1－a )＝a ln a 1－a ＋a 221－a ＋a a －1＞aa －1，所以不合题意．③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜aa －1.综上，a 的取值X 围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．7．(2014·某某某某适应性测试)设函数f (x )＝ax 2＋ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝(2a ＋1)x ，若x ∈(1，＋∞)时，f (x )<g (x )恒成立，求a 的取值X 围．【解】 (1)因为f (x )＝ax 2＋ln x ，其中x >0，所以f ′(x )＝2ax 2＋1x，当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝＋－12a ，(x ＝－12a舍去)所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上是减函数． (2)令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，根据题意，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0恒成立．所以h ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x＝x －12ax －1x.(ⅰ)当0<a <12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，恒有h ′(x )>0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上是增函数，且h (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，所以不符合题意； (ⅱ)当a ≥12，x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )>0，所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，且h (x )∈(h (1)，＋∞)，所以不符合题意； (ⅲ)当a ≤0，x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上是减函数，于是h (x )<0对任意x ∈(1，＋∞)都成立的充要条件是h (1)≤0，即a －(2a ＋1)≤0，解得a ≥－1，故－1≤a ≤0.综上所述，a 的取值X 围是[－1,0]．8．(文)(2014·某某某某诊断)已知函数f (x )＝(x 2－2ax ＋a 2)ln x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求函数f (x )的单调区间； (2)当a ＝－1时，令F (x )＝f x x ＋1＋x －ln x ，证明：F (x )≥－e －2，其中e 为自然对数的底数；(3)若函数f (x )不存在极值点，某某数a 的取值X 围．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2ln x (x >0)，此时f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)．令f ′(x )>0，解得x >e －12.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，e －12. (2)证明 F (x )＝f xx ＋1＋x －ln x ＝x ln x ＋x . 由F ′(x )＝2＋ln x ，得F (x )在(0，e －2)上单调递减，在(e －2，＋∞)上单调递增，∴F (x )≥F (e －2)＝－e －2.(3)f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋x －a 2x ＝x －ax.(2x ln x ＋x －a )．令g (x )＝2x ln x ＋x －a ，则g ′(x )＝3＋2ln x ，∴函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －32，＋∞上单调递增，∴g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －32＝－2e －32－a .①当a ≤0时，∵函数f (x )无极值，∴－2e －32－a ≥0，解得a ≤－2e －32.②当a >0时，g (x )min ＝－2e －32－a <0，即函数g (x )在(0，＋∞)上存在零点，记为x 0.由函数f (x )无极值点，易知x ＝a 为方程f ′(x )＝0的重根， ∴2a ln a ＋a －a ＝0，即2a ln a ＝0，a ＝1.当0<a <1时，x 0<1且x 0≠a ，函数f (x )的极值点为a 和x 0；当a >1时，x 0>1且x 0≠n ，函数f (x )的极值点为a 和x 0；当a ＝1时，x 0＝1，此时函数f (x )无极值．综上a ≤－2e －32或a ＝1.(理)(2014·某某某某二模)已知函数f (x )＝ax －bx ln x ，其图象经过点(1,1)，且在点(e ，f (e))处的切线斜率为3(e 为自然对数的底数)．(1)某某数a 、b 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f xx －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值； (3)证明：2ln 2＋3ln 3＋…＋n ln n >(n －1)2(n ∈N *，n >1)．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以a ＝1，此时f (x )＝x －bx ln x ，f ′(x )＝1－b (1＋ln x )，依题意，f ′(e)＝1－b (1＋ln e)＝3，所以b ＝－1. (2)由(1)知：f (x )＝x ＋x ln x ，当x >1时，设g (x )＝f x x －1＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －2－ln xx －12.设h (x )＝x －2－ln x ，则h ′(x )＝1－1x>0，h (x )在(1，＋∞)上是增函数．因为h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，所以，存在x 0∈(3,4)，使h (x 0)＝0.当x ∈(1，x 0)时，h (x )<0，g ′(x )<0，即g (x )在(1，x 0)上为减函数；同理g (x )在(x 0，＋∞)上为增函数，从而g (x )的最小值为g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1，所以x 0∈(3,4)，k 的最大值为3.(3)证明由(2)知，当x >1时，f xx －1>3，所以f (x )>3x －3，即x ＋x ln x >3x －3，x ln x >2x －3，所以2ln 2＋3ln 3＋…＋n ln n >(2×2－3)＋(2×3－3)＋…＋(2n －3)＝2(2＋3＋…＋n )－3(n －1)＝2×n －12＋n 2－3n ＋3＝n 2－2n ＋1＝(n －1)2(n ∈N *，n >1)．。

2015高考数学第二轮复习专题讲解函数导数 (含试题及答案)

此时 f (x) 在 (−∞,
− − − − − − 2 −a − √a − 3 ( 3 ,
上单调递增，在
− − − − − − 2 −a + √a − 3 , +∞) 3
− − − − − − 2 −a + √a − 3 ) 3
上单调递减，在 (
上单调递
增． II. 设函数 f (x) 在区间 (−
x (x) = − 1 + x
′
．
所以，在区间 (−1, 0) 上，f (x) > 0 ；在区间 (0, +∞) 上，f ′ (x) < 0 ．故 f (x) 的单调递增区间是 (−1, 0) ，单调递减区间是 (0, +∞) ．当 k > 0 时，令 f ′ (x) = 0 得
1 − k x 1 = 0, x 2 = > −1. k
k f (x) = ln (1 + x) − x + 2 x
2
2
(k ⩾ 0)
，求
f ( x)
的单调区间．
解：由题意
′
x (kx + k − 1) (x) = , x ∈ (−1, +∞) .
f
′
x (kx + k − 1) (x) = 1 + x , x ∈ (−1, +∞) .
当
k = 0
时，f ′
(1, +∞) 2 x − 1
，函数 f (x) 在 (−∞, 1) 上单调递减，在
上单调递减．
2. 已知函数 f (x) = x3 + ax2 + x + 1 ，a ∈ R ．
I. 讨论函数 f (x) 的单调区间；

高考数学二轮复习专题2 函数与导数第3讲导数的概念

第3讲导数的概念及其简单应用导数的几何意义及导数的运算1.(2015洛阳统考)已知直线m:x+2y-3=0,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于Ρ点,若l ⊥m,则Ρ点的坐标可能是( B )(A)（-错误!未找到引用源。

,-错误!未找到引用源。

） (B)（错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

）(C)（错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

）(D)（-错误!未找到引用源。

,-错误!未找到引用源。

）解析:由l⊥m可得直线l的斜率为2,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于Ρ点,也就是函数在P点的导数值为2,而y ′=3-sin x=2,解得sin x=1,只有B,D符合要求,而D中的点不在函数图象上,因此选B.2.(2014广东卷)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.解析:由题意知点(0,3)是切点.y′=-5e-5x,令x=0,得所求切线斜率为-5.从而所求方程为5x+y-3=0.答案:5x+y-3=0利用导数研究函数的单调性3.(2015辽宁沈阳市质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式f(x)>错误!未找到引用源。

+1(e为自然对数的底数)的解集为( A )(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)∪(3,+∞)(C)(-∞,0)∪(0,+∞) (D)(3,+∞)解析:不等式f(x)>错误!未找到引用源。

+1可以转化为e x f(x)-e x-3>0令g(x)=e x f(x)-e x-3,所以g′(x)=e x(f(x)+f′(x))-e x=e x(f(x)+f′(x)-1)>0,所以g(x)在R上单调递增,又因为g(0)=f(0)-4=0,所以g(x)>0⇒x>0,即不等式的解集是(0,+∞).故选A.4.(2014辽宁卷)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( C )(A)[-5,-3] (B)[-6,-错误!未找到引用源。

2015届高考数学(理)二轮练习：函数与导数(含答案)

函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．[问题1] 函数y 的定义域是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，14 2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[问题2] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________.答案 1－x 2(x ∈[－1,1])3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1e ＝________. 答案 1e4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[问题4] f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．答案奇解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)， f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝lg (1－x 2)－x. ∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．5．弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.故“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件．[问题5] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数答案 D解析由题意可知f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x 1－x，函数f (x )的定义域是(－1,1)，在此定义域内f (x )＝lg 1＋x 1－x＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[问题6] 函数f (x )＝1x的减区间为________．答案 (－∞，0)，(0，＋∞)7．求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合于可导函数．(5)换元法(特别注意新元的范围)．(6)分离常数法：适合于一次分式．(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．[问题7] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析方法一 ∵x ≥0，∴2x ≥1，∴y 1－y≥1，解得12≤y <1. ∴其值域为y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.方法二 y ＝1－12x ＋1，∵x ≥0，∴0<12x ＋1≤12， ∴y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.8．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[问题8] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________．答案 [0,1)，[2，＋∞) 解析 ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2(x －1)|(x >1)，|log 2(1－x )|(x <1)，作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a . [问题9] 对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2 012.5)＝________.答案－2510．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，14 11．(1)对数运算性质已知a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0.则log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N＝log a M －log a N ， log a M n ＝n log a M ，对数换底公式：log a N ＝log b N log b a. 推论：log am N n ＝n m log a N ；log a b ＝1log b a. (2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)．[问题11] 函数y ＝log a |x |的增区间为_________________．答案当a >1时，(0，＋∞)；当0<a <1时，(－∞，0)12．幂函数形如y ＝x α(α∈R )的函数为幂函数．(1)①若α＝1，则y ＝x ，图象是直线．②当α＝0时，y ＝x 0＝1(x ≠0)图象是除点(0,1)外的直线．③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是增函数，②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是减函数．[问题12] 函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B13．函数与方程(1)对于函数y ＝f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．事实上，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续曲线，且有f (a )f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，此时这个c 就是方程f (x )＝0的根．反之不成立．[问题13] 已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)·g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 f (x )＝(x －2)(x －1)g (x )＋3x －4，∴f (1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f (2)＝2×3－4＝2>0.又函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，∴函数f (x )在区间(1,2)内有零点．因此方程f (x )＝0在(1,2)内必有实数根．14．求导数的方法①基本导数公式：c ′＝0 (c 为常数)；(x m )′＝mx m －1 (m ∈Q )；(sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；(e x )′＝e x ；(a x )′＝a x ln a ；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x ln a(a >0且a ≠1)． ②导数的四则运算：(u ±v )′＝u ′±v ′；(u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝⎛⎭⎫u v ′＝u ′v －u v ′v 2(v ≠0)． ③复合函数的导数：y x ′＝y u ′·u x ′.如求f (ax ＋b )的导数，令u ＝ax ＋b ，则(f (ax ＋b ))′＝f ′(u )·a .[问题14] f (x )＝e x x，则f ′(x )＝________. 答案 e x (x －1)x 215．利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )>0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )<0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常函数．注意：如果已知f (x )为减函数求字母取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此．[问题15] 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 a ≥13解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. a ＝13时，f ′(x )＝(x －1)2≥0，且只有x ＝1时，f ′(x )＝0， ∴a ＝13符合题意． 16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[问题16] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________．答案 x ＝117．定积分运用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 值的关键是用求导公式逆向求出f (x )的原函数，应熟练掌握以下几个公式：ʃb a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|b a ， ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a ，ʃb a cos x d x ＝sin x |b a ，ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)， ʃb a a x d x ＝a x ln a |b a. [问题17] 计算定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－cos x 1－1＝23.易错点1 函数概念不清致误例1 已知函数f (x 2－3)＝lg x 2x 2－4，求f (x )的定义域．错解由x 2x 2－4>0，得x >2或x <－2. ∴函数f (x )的定义域为{x |x >2或x <－2}．找准失分点错把lg x 2x 2－4的定义域当成了f (x )的定义域．正解由f (x 2－3)＝lg x 2x 2－4，设x 2－3＝t ，则x 2＝t ＋3，因此f (t )＝lg t ＋3t －1. ∵x 2x 2－4>0，即x 2>4，∴t ＋3>4，即t >1. ∴f (x )的定义域为{x |x >1}．易错点2 忽视函数的定义域致误例2 判断函数f (x )＝(1＋x ) 1－x 1＋x的奇偶性．错解因为f (x )＝(1＋x ) 1－x 1＋x＝ 1－x 1＋x (1＋x )2＝1－x 2，所以f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2＝f (x )，所以f (x )＝(1＋x ) 1－x 1＋x是偶函数．找准失分点对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，或f (－x )＝－f (x )．正解 f (x )＝(1＋x )1－x 1＋x 有意义时必须满足1－x 1＋x ≥0⇒－1<x ≤1，即函数的定义域是{x |－1<x ≤1}，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．易错点3 混淆“切点”致误例3 求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．错解 ∵y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0. 找准失分点错把(1，－1)当切点．正解设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|0x x =＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1，或x 0＝－12. 故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)，即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.易错点4 极值的概念不清致误例4 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________. 错解－7或0 找准失分点 x ＝1是f (x )的极值点⇒f ′(1)＝0；忽视了“f ′(1)＝0x ＝1是f (x )的极值点”的情况．正解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.答案－7易错点5 错误利用定积分求面积例5 求曲线y ＝sin x 与x 轴在区间[0,2π]上所围部分的面积S . 错解分两部分，在[0，π]上有ʃπ0sin x d x ＝2，在[π，2π]上有ʃ2ππsin x d x ＝－2，因此所求面积S为2＋(－2)＝0. 找准失分点面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应该将两部分直接相加．正解 S ＝ʃπ0sin x d x ＋||ʃ2ππsin x d x ＝2＋2＝4.答案 41．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案 A解析 A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y ＝2－x ＝(12)x 在R 上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，(log 2x )2>1，解得x >2或0<x <12.故选C. 3．下列各式中错误的是( )A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4 答案 C解析构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B 、D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B 、D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x ，为减函数，故C 错．4．函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析根据函数的零点的存在性定理得f (1)f (2)<0.5．(2014·天津)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案 D解析因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．6．(2014·福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案 D解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．7.已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，下列结论正确的是( ) ①f (x )<0恒成立；②(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0； ④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2；⑤f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②⑤答案 D解析由函数f (x )的导函数的图象可得，函数f (x )是减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，即函数f (x )图象上的点向右运动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数f (x )的草图如图所示，由图示可得f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0且f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2，由此可得结论中仅②⑤正确，故应选D.8．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．答案 (－2,2)解析因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．因为f (x )<0，f (2)＝0.所以f (|x |)<f (2)．又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以|x |<2，所以－2<x <2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，3x (x ≤0)且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析方程f (x )＋x －a ＝0的实根也就是函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当a ≤1时，两个函数图象有两个交点，当a >1时，两个函数图象的交点只有一个．所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．10．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－22，0)解析作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.11．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．答案 6解析 f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，同样验证可知c ＝6符合题意． 12．已知函数f (x )＝ln(ax )(a ≠0，a ∈R )，g (x )＝x －1x .(1)当a ＝1时，记φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间； (2)若f (x )≥g (x )(x ≥1)恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1＝ln x －x ＋1x －1，则φ′(x )＝1x ＋2(x －1)2＝x 2＋1x (x －1)2.因为x >0且x ≠1，所以φ′(x )>0.故函数φ(x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)因为ln(ax )≥x －1x对x ≥1恒成立，所以ln a ＋ln x ≥x －1x ，即ln a ≥1－1x－ln x 对x ≥1恒成立．令h (x )＝1－1x －ln x ，则h ′(x )＝1x 2－1x ，因为x ≥1，故h ′(x )≤0.所以h (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，由ln a ≥h (x )max ＝h (1)＝0，解得a ≥1. 故实数a 的取值范围为[1，＋∞)．课时作业30 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1}D ．∅解析：因为A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{－1,1}．答案：C2．(2016·山东卷)若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：易知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，选B. 答案：B3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i解析：易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 答案：C4．若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( )A ．m >1B ．m >23C ．m <23或m >1D.23<m <1 解析：m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，解得23<m <1.答案：D5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：A6．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0解析：z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 015＝－z 2 0161－z＝1－i 2 0161－i ＝1－i4×5041－i＝0. 答案：D7．(2017·芜湖一模)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝( )A.32B ．－32C.32或－32D ．0解析：z 1z 2＝a ＋32i a －32i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32i 2⎝⎛⎭⎪⎫a －32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34＋3a i a 2＋34是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝0，3a ≠0，解得a ＝±32. 答案：C8．在复平面内，复数11＋i ，11－i (i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i解析：∵11＋i ＝1－i －＋＝12－12i ，11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A.答案：A 二、填空题9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．解析：复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5. 答案：510．(2016·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 11．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋2ii＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.答案：112．在复平面上，复数3－2对应的点到原点的距离为________．解析：解法1：由题意可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝3|2－i|2＝35. 解法2：3－2＝34－4i ＋i 2＝33－4i＝＋－＋＝9＋12i 25＝925＋1225i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪925＋1225i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12252＝35.答案：351．(2017·河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3解析：z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A. 答案：A2．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限．答案：B3．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1·z 2∈R ，则|z 2|＝( )A ．4B ．20 C. 5D ．2 5解析：z 1＝2＋1－i1＋i＝2＋－2＋－＝2－i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1·z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝25，选D.答案：D4．已知复数z 1＝cos15°＋sin15°i 和复数z 2＝cos45°＋sin45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝12＋32i.答案：12＋32i5．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________．解析：∵i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋－＋－＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)．答案：(0,1)。

2015届高考数学总复习配套题型精练：压轴题目突破练——函数与导数(共34张PPT)

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第十二页，编辑于星期五：十点十七分。
A组专项基础训练
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9．(2013·重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
切的直线方程是
(A )
A．3x＋y＋2＝0
B．3x－y＋2＝0
C．x＋3y＋2＝0
D．x－3y－2＝0
解析设切点的坐标为(x0，x30＋3x02－1)，
则由切线与直线 2x－6y＋1＝0 垂直，
可得切线的斜率为－3，
又 f′(x)＝3x2＋6x，故 3x02＋6x0＝－3，解得 x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，
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9．(2013·重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
由点(0,6)在切线上可得 6－16a＝8a－6，故 a＝12. (2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6ln x(x>0)， f′(x)＝x－5＋6x＝x－2xx－3.
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3．三次函数 f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，

2015年高考理科数学押题密卷

2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标II卷)2015年高考绝密押题，仅限VIP会员学校使用，版权所有，严禁转载或商业传播，违者必究；说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B＝（A）{x|2≤x≤3}（B）{x|2≤x＜3}（C）{x|2＜x≤3}（D）{x|－1＜x＜3}（2）1－i(1＋i)2＋1＋i(1－i)2＝（A）－1 （B）1 （C）－i （D）i（3）若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60?，a ·(a ＋b )等于（A ）4 （B ）6 （C ）2＋ 3 （D ）4＋23（4）等比数列}{n a 的前321,2,4,a a a S n n 且项和为成等差数列，若a 1=1，则S 4为（A ）7 （B ）8 （C ）16 （D ）15 （5）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）8＋2 5 （B ）6＋2 5 （C ）8＋2 3 （D ）6＋23 （6）(x 2－ 1 x)6的展开式中的常数项为（A ）15 （B ）－15 （C ）20 （D ）－20 （7）执行右边的程序框图，则输出的S 是（A ）5040 （B ）4850 （C ）2450 （D ）2550（8）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋3，x ≤0，3－x ，x ＞0，则方程f (x )＋1＝0的实根个数为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0（9）若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 14，则双曲线的离心率为（A ）52 （B ）233 （C ） 5 （D ）32（10）偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为奇函数，且f (1)＝1，则f (89)＋f (90) 为（A ）－2 （B ）－1 （C ）0 （D ）1（11）某方便面厂为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋方便面随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该方便面5袋，能获奖的概率为（A ）3181 （B ）3381 （C ）4881 （D ）5081（12）给出下列命题:○110.230.51log 32()3<<; ○2函数4()log 2sin f x x x =-有5个零点; ○3函数4()612-+-=ln x x f x x 的图像以5(5,)12为对称中心; ○4已知a 、b 、m 、n 、x 、y 均为正数，且a ≠b ，若a 、m 、b 、x 成等差数列，a 、n 、b 、y 成等比数列，则有m > n ，x <y ．其中正确命题的个数是（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）由直线x ＝1，y ＝1－x 及曲线y ＝e x 围成的封闭图形的面积为_________．（14）数列{a n }的通项公式a n ＝n sinn π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 015＝__________.（15）已知x 、y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值等于___________．（16）已知圆O : x 2＋y 2=8，点A (2，0) ，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为__________．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知f (x )=sin (2x －56π)＋2cos 2x ．（Ⅰ）写出f (x )的对称中心的坐标和单增区间；（Ⅱ）△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若f （A ）=0，b ＋c =2．求a 的最小值．（18）（本小题满分12分）某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为X ，求X 的分布列和期望E (X )．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC ＝2 ，AB ＝BB 1＝2，∠BCC 1＝?4，点E 在棱BB 1上. （Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若BE ＝λBB 1，试确定λ的值，使得二面角A -C 1E -C 的余弦值为55.（20）（本小题满分12分）设抛物线y 2=4m x （m >0）的准线与x 轴交于F 1，焦点为F 2；以F 1 、F 2为焦点，离心率e = 1 2 的椭圆与抛物线的一个交点为2(3E ；自F 1引直线交抛物线于P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴的对称点记为M ，设11F P F Q λ=u u u r u u u r．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（Ⅱ）若1[,1)2λ∈，求|PQ |的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知f (x )＝e x (x －a －1)－ x22＋ax ．（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）若x ≥0时，f (x )＋4a ≥0，求正整数a 的值．参考值：e 2≈7.389，e 3≈20.086请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，∠C ＝90o ，BC ＝8，AB ＝10，O 为BC 上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边、AB 边分别交于点D 、E ，连结DE ．（Ⅰ）若BD ＝6，求线段DE 的长；（Ⅱ）过点E 作半圆O 的切线，切线与AC 相交于点F ，证明：AF ＝EF ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋3t y ＝23＋t（t 为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|．（Ⅰ）解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；（Ⅱ）若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ( ba)．理科数学参考答案2015年高考绝密押题，仅限VIP 会员学校使用，版权所有，严禁转载或商业传播，违者必究；一、选择题： CABDA ACBBD DC 二、填空题：（13） e － 3 2；（14）1007；（15）－1；（16）4π．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）化简得：f （x ）=cos （2x ＋π3）＋1 ……………………3分对称中心为：ππ∈+()(,1)212k z k 单增区间为：ππππ∈--()2[,]36k z k k ………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：23A ππ∴+=于是：3A π=………………………9分根据余弦定理：2222cos3a b c bc π=+-=24343()12b cbc +-≥-=当且仅当1b c ==时，a 取最小值1． ………………………12分（18）（Ⅰ）由题意可得列联表：因为k ＝800(60×500－140×100)2160×640×200×600＝16.667＞10.828． ……………………6分所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．（Ⅱ）每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.375．将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率为 3 8．由题意可知X ?B(3， 38)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝ 98． ………………………12分（19）解：（Ⅰ）因为BC ＝2 ，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝ ?4，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B ＝2 ， ……………………2分所以C 1B 2＋BC 2＝CC 21，C 1B ⊥BC ．又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，又CB ∩AB ＝B ，所以C 1B ⊥平面ABC ． …………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B (0，0，0)，A (0，2，0)，C (2 ，0，0)，C 1A →＝(0，2，－2 )，C 1E →＝C 1B →＋λBB 1→＝C 1B →＋λCC 1→＝(－2 λ，0，2 λ－2 )，设平面AC 1E 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·C 1A →＝0，m ·C 1E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2 z ＝0，2 λx ＋(2 －2 λ)z ＝0，令z ＝2 ，取m ＝(2 (λ－1)λ，1，2 )，………9分又平面C 1EC 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，所以cos ?m ，n ?＝m ·n |m ||n |＝1___________?__________2(λ－1)2λ2＋3＝5 5，解得λ＝ 1 2．所以当λ＝ 12时，二面角A -C 1E -C 的余弦值为55. ………………………12分（20）解：（Ⅰ）由题设，得：22424199a b+= ①a 2－b 2a ＝ 12②由①、②解得a 2＝4，b 2＝3，椭圆的方程为22143x y +=易得抛物线的方程是：y 2＝4x ． …………………………4分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2) 、M (x 1，－y 1) ，由11F P F Q λ=u u u r u u u r 得：y 1=λy 2 ○3 设直线PQ 的方程为y ＝k (x ＋1)，与抛物线的方程联立，得：y 1 y 2＝4 ○4 y 1＋y 2＝4k ○5 …………………………7分由○3○4○5消去y 1，y 2得：224(1)k λλ=+ …………………………8分由方程○*得：||||PQ k = 化简为：4241616||k PQ k -=，代入λ： ∵ 1[,1)2λ∈，∴ 15(2，]2λλ+∈ …………………………11分于是：2170||4PQ <≤ 那么：||(0,]2PQ ∈ …………………………12分（21）解：（Ⅰ）f ?(x )＝e x (x －a )－x ＋a ＝(x －a )(e x －1)，由a＞0，得：x∈(－∞，0)时，f?(x)＞0，f(x)单增；x∈(0，a)时，f?(x)＜0，f(x)单减；x∈(a，＋∞)时，f?(x)＞0，f(x)单增．所以，f(x)的增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)；减区间为(0，a)． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x≥0时，f min(x)＝f(a)＝－e a＋a2 2，所以f(x)＋4a≥0，得e a－a22－4a≤0．…………7分令g(a)＝e a－a22－4a，则g?(a)＝e a－a－4；令h(a)＝e a－a－4，则h?(a)＝e a－1＞0，所以h(a)在(0，＋∞)上是增函数，又h(1)＝e－5＜0，h(2)＝e2－6＞0，所以?a0∈(1，2)使得h(a0)＝0，即a∈(0，a0)时，h(a)＜0，g?(a)＜0；a∈(a0，＋∞)时，h(a)＞0，g?(a)＞0，所以g(a)在(0，a0)上递减，在(a0，＋∞)递增．又因为g(1)＝e－ 12－4＜0，g(2)＝e2－10＜0，g(3)＝e3－92－12＞0，所以：a＝1或2. …………12分（22）解：（Ⅰ）∵BD 是直径，∴∠DEB ＝90o ，∴BE BD ＝BC AB ＝ 4 5，∵BD ＝6，∴BE ＝ 24 5，在Rt△BDE 中，DE ＝BD 2－BE 2＝ 18 5． …………5分（Ⅱ）连结OE ，∵EF 为切线，∴∠OEF ＝90o ，∴∠AEF ＋∠OEB ＝90o ，又∵∠C ＝90o ，∴∠A ＋∠B ＝90o ，又∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠B ，∴∠AEF ＝∠A ，∴AE ＝EF ． …………10分（23）解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为参数），l ：x －3y ＋9＝0． ……………4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝3 5，cos θ＝－ 4 5．故P (－ 8 5， 33 5)． ……………10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－2x －2，x ≤－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ≥1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3． …………4分所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}． …………5分（Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( b a)即|ab －1|＞|a －b |． …………6分因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立．…………10分 2020-2-8。

2015年高考数学真题分类汇编：专题(02)函数(理科)及答案

专题二函数1.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( ) A．y = B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【考点定位】函数的奇偶性．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题． 2.【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x x y 212+= D ．21x y += 【答案】A ．【解析】记()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+，那么()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，依题可知B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．【考点定位】函数的奇偶性判断．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知B 、C 、D 是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题．3.【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.【考点定位】符号函数，函数的单调性.【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数，根据已知能快捷的得到答案. 4.【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+ 【答案】A【考点定位】1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.【名师点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-有零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴有交点⇔方程()()0f x g x -=有根⇔函数()y f x =与()y g x =有交点.5.【2015高考四川，理8】设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件. 若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如.1,33a b ==，从而333a b >>不成立.故选B. 【考点定位】命题与逻辑.【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.6.【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（）A B Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C【解析】如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集选C【考点定位】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，本题属于基础题，首先是函数图象平移变换，把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位，得到2log (y x =+2)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.7.【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出m 的值，计算出相应的,,a b c 的值比较大小即可，是中档题. 其中计算a 的值时易错. 8.【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+【答案】D.【考点定位】函数的概念【名师点睛】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位，同时也考查了举反例的数学思想. 9.【2015高考安徽，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C【解析】由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0b f c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C.【考点定位】1.函数的图象与应用.【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.10.【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题. 11.【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 【答案】C【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题.12.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（）(D)(C)(B)(A)y424ππ424yxy424ππ424y【答案】B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PBx +=+；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=-，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．【考点定位】函数的图象和性质．【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点P 的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档题． 13.【2015高考新课标2，理5】设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．【考点定位】分段函数．D P Cx【名师点睛】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题．14.【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1【考点定位】函数的奇偶性【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x =0处有意义，常用f (x )=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算. 15.【2015高考浙江，理12】若4log 3a =，则22aa-+= ．【答案】334. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=aa，∴33431322=+=+-aa. 【考点定位】对数的计算【名师点睛】本题主要考查对数的计算，属于容易题，根据条件中的对数式将其等价转化为指数式，变形即可求解，对数是一个相对抽象的概念，在解题时可以转化为相对具体的指数式，利用指数的运算性质求解.13.【2015高考湖南，理15】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a 的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ . 【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab a b 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.16.【2015高考四川，理15】已知函数xx f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）.对于不相等的实数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=，2121)()(x x x g x g n --=.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ；（3）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =；（4）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=. 其中的真命题有（写出所有真命题的序号）. 【答案】①④ 【解析】设11221122(,()),(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x g x D x g x . 对（1），从2xy =的图象可看出，0AB m k =>恒成立，故正确. 对（2），直线CD 的斜率可为负，即0n <，故不正确.对（3），由m =n 得1212()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x -=-. 令2()()()2xh x f x g x x ax =-=--，则()2ln 22xh x x a '=--.由()0h x '=得：2ln 22x x a =+，作出2ln 2,2x y y x a ==+的图象知，方程2ln 22x x a =+不一定有解，所以()h x 不一定有极值点，即对于任意的a ，不一定存在不相等的实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即不一定存在不相等的实数21,x x ，使得n m =.故不正确. 对（4），由m =－n 得1221()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x +=+. 令2()()()2xh x f x g x x ax =+=++，则()2ln 22xh x x a '=++.由()0h x '=得：2ln 22x x a =--，作出2ln 2,2x y y x a ==--的图象知，方程2ln 22x x a =--必一定有解，所以()h x 一定有极值点，即对于任意的a ，一定存在不相等的实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即一定存在不相等的实数21,x x ，使得m n =-.故正确. 所以（1）（4）【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.17.【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是．【答案】0，3-22.【考点定位】分段函数【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段上，分段函数常与数形结合，分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注.18.【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

2015年高考数学理科押题卷及答案

2015年江西省高考押题精粹数学理科本卷共60题，三种题型：选择题、填空题和解答题。

选择题36小题，填空题8小题，解答题18小题。

一、选择题（36个小题）1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为（） A ．MN B ．()U M N ðC ．()U M N ðD ．()()U U M N 痧答案：B解析：有元素1，2的是,U M N ð，分析选项则只有B 符合。

2. 集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．11D ．12 答案：C解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C 。

3. 设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =->，则A B ⋂=（）A ．{}3B ．{}2,3C ．{}1,3-D ．{}0,1,2 答案：C解析：集合{}{}22020B x x x x x x =->=><或，{}1,3A B ⋂=-。

4. 若(1)z i i +=（其中i 为虚数单位），则||z 等于（）A ．1 B. 32 C. 22D. 12答案：C 解析：化简得i z 2121+=，则||z =22，故选C 。

5. 若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（） A. 6- B. 2- C. 4 D. 6解析：3(3)(12)63212(12)(12)55a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-，所以6320,0,655a aa +-=≠∴=-。

6. 复数21ii -在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：根据复数的运算可知()()22121215521i i i i i i +==---，所以复数的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以正确选项为D 。

高考数学模拟题及答案：函数与导数

高考数学模拟题及答案：函数与导数的更新!高考数学模拟题及答案：函数与导数1．(2015·广东卷)设a 1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a。

(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤ e(2)－1。

解(1)由题意可知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝(1＋x2)′ex＋(1＋x2)(ex)′＝(1＋x)2ex≥0，故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间。

(2)证明：∵a 1，∴f(0)＝1－a 0，且f(a)＝(1＋a2)ea－a 1＋a2－a 2a－a＝a 0。

函数f(x)在区间(0，a)上存在零点。

又由(1)知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点。

(3)证明：由(1)及f′(x)＝0，得x＝－1。

又f(－1)＝e(2)－a，即P－a(2)，∴kOP＝－1－0(－a－0)＝a－e(2)。

又f′(m)＝(1＋m)2em，∴(1＋m)2em＝a－e(2)。

令g(m)＝em－m－1，则g′(m)＝em－1，∴由g′(m) 0，得m 0，由g′(m) 0，得m 0。

∴函数g(m)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增。

∴g(m)min＝g(0)＝0，即g(m)≥0在R上恒成立，即em≥m＋1。

∴a－e(2)＝(1＋m)2em≥(1＋m)2(1＋m)＝(1＋m)3，即e(2)≥1＋m。

故m≤ e(2)－1。

2．已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)·(b∈R)。

(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间3(1)上单调递增，求b的取值范围。

解(1)当b＝4时，f′(x)＝1－2x(－5x(x＋2))，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0。

2015山东高考押题卷数学理

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（押题卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1、答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3、第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=；如果事件A 、B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数121iz i+=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 表示的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．2．已知集合{}{}240,2M x x x N x x M N =-<=≤⋃=，则A ． ()24-，B ． [)24-，C ． ()02，D ． (]02，3．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r a <不与任何一条平行线相碰的概率是A ．a ra - B ．2a ra- C ．22a ra- D ．2a r a +4．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是()31.21A f x x x =-- ()31.21B f x x x =+-()31.21C f x x x =-+ ()31.21D f x x x =--- 5．下列说法不正确的是A ．若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”C ．“2πϕ=”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．当0α<时，幂函数()0,y x α=+∞在上单调递减6．执行如图所示的程序框图，输出的T= A ．29B ．44C ．52D ．627．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是 A ． 12x π=-B ． 12x π=C ． 3x π=D ． 23x π=8．变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是 A ． 3k <-B ． 1k >C ． 31k -<<D ． 11k -<<9．函数y =为该等比数列公比的是 A ．34B ．C ．D ．10．已知函数()3111,0,36221,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，函数()()si n 220,6g x a x a a π⎛⎫=-+>⎪⎝⎭若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如果双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线0y -=平行，则双曲线的离心率为．12．市内某公共汽车站6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是．13．已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++-的最小值为________． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆()2220x y rr +=>交于A,B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB r =+=，则uuu r uu r uu u r______．15．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线x y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞．其中真命题的序号为________．（将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知()111sin ,cos 2142A B ππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．（I ）求sinA 与角B 的值；（II ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值．17．（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（I ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（II ）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B D ⊥，为棱11A B 上的点．（I ）证明：DF AE ⊥；（II ）已知存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，请说明点D 的位置．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()2,2,n n S S n n n N *=+∈且．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设集合{}{}22,,2,nA x x n n NB x x a n N **==+∈==∈，等差数列{}nc 的任一项n c A B ∈⋂，其中1c 是A B ⋂中的最小数，10110115c <<，求数列{}n c 的通项公式．20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：22221(1)x y a b e a b +==＞≥的离心率,且椭圆C 上一点N 到点Q （0，3）的距离最大值为4，过点M （3,0）的直线交椭圆C 于点A 、B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当AB t 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()e x f x ax a =--（其中a ∈R ，e 是自然对数的底数，e ＝2．71828…）． (Ⅰ)当e a =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)求证：对任意正整数n ，都有222221212121en n ⨯⨯⨯>+++．2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（押题卷１）参考答案一．选择题 CBAAC,ADCDB（1）【答案】C ，解：分母实数化乘以它的共扼复数1+i,()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222Z +++-+====-+--+,Z ∴的共扼复数为13i 22Z -=--，它表示的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限．（2）【答案】B ．解:(0,4),[2,2],[2,4)M N MN ==-∴=-．（3）【答案】A ．解:抓圆心的位置,圆心到两平行线距离小于r 即可,故选A ．（4）【答案】 A ，解:根据定义域排除C 根据1,,2x x y →+∞→（从左侧）的变化趋势分别排除B 、D 选A ．（5）【答案】 C 解：A ．若“p 且q ”为假，则p 、q 至少有一个是假命题，正确；B ．命题“x R ∃∈，210x x --<”的否定是“x R ∀∈，210x x --≥”，正确；C ．“2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；D ．0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减，正确．故选：C （6）【答案】 A ，解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T ＞2S ，S=6，n=2，T=8，不满足条件T ＞2S ，S=9，n=3，T=17，不满足条件T ＞2S ，S=12，n=4，T=29，满足条件T ＞2S ，退出循环，输出T 的值为29．故选：A ．（7）【答案】 D ，解：将函数()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍得函数()1πs i n 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其对称轴方程为1ππ2ππ,2π()2623x k x k k +=+∴=+∈Z ，故选D ．（8）【答案】C ，解:作出不等式对应的平面区域，由z =k x -y 得y =k x -z ，要使目标函数z =k x -y 仅在点A （0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y =k x -z 的下方，∴目标函数的斜率k 满足-3＜k ＜1．（9）【答案】D ，解:函数等价为0,9)5(22≥=+-y y x ，表示为圆心在)0,5(半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比q 应有228q =，即2,42==q q ，最小的公比应满足282q =，所以21,412==q q ，所以公比的取值范围为221≤≤q ，所以选D ．（10）【答案】 B 解析：因为当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()32246'01x x f x x +=>+，所以此时函数单调递增，其值域为1,16⎛⎤⎥⎝⎦，当x 10,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，值域为10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数f （x ）在其定义域上的值域为，又函数g （x ）在区间上的值域为，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则3202221a a ⎧-+≥⎪⎨⎪-+≤⎩解得1423a ≤≤，所以选B ．二、填空题（11） 2.e =（12）72．（13）223．（1415）②③．（11）答案 2.e =解:由题意知ba= 2.c e a ==（12）答案72．根据题意，先把3名乘客进行全排列，有336A =种排法，排好后，有4个空位，再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空位中，有2412A =种排法，则共有61272⨯=种候车方式．（13）答案21212()3()[(3)()]33333x y x yx y x y x y x y x y x y x y x y-++=+++-=++≥++-+-+- （14）答案．解:22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159+c o s 16816r r r A O B r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的1x距离为OD ==222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，r =．（15）答案②③．解:①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =； ③对；(,)2A Bϕ==≤；④错；1212(,)x x x xA Bϕ==1211,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤．（16）解：（Ⅰ）πsin()cos 2A A +=Q ，11cos 14A ∴=，又0πA <<Q ，sin A ∴= 1cos(π)cos 2B B -=-=-Q ，且0πB <<，π3B ∴=．………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a bA B =，sin 7sin a B b A ⋅∴==，另由2222cos b a c ac B =+-得249255c c =+-，解得8c =或3c =-（舍去），7b ∴=，8c =．…………………………………………………12分（17）解：（Ⅰ）设事件A 为“两手所取的球不同色”，则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P ． ………5分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为18529242322=++C C C C ，右手所取的两球颜色相同的概率为4129232323=++C C C C ， ………7分 24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ， 72541185)2(=⨯==X P ， ………10分所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E ． ………………… ……12分 (18)（Ⅰ）证明：11AE A B ⊥ ，11A B ∥AB , AB AE ∴⊥, 又1AB AA ⊥, 1A E A AA⋂=, AB ∴⊥面11A ACC ，又AC ⊂面11A ACC ,A B A C ∴⊥,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -, 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B ,设(),,D x y z ，111A D A B λ= ,且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=,(),0,1D λ∴ ,11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭, 10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,∴11022DF AE =-=, DF AE ∴⊥．分（Ⅱ）设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ，则 00n FE n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，B 1111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即：()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩，令()21z λ=-, ()()3,12,21n λλ∴=+- ．由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = , ………9分平面DEF 与平面ABC所成锐二面的余弦值为14． ()14cos ,14m nm n m n ⋅∴==14=, 12λ∴=或74λ=．又[0,1]λ∈,∴74λ=舍去．∴ 点D 为11A B 中点． ………12分（19）解（Ⅰ）∵2*2,(N )n S n n n =+∈．当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+，当1n =时，113a S ==满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+． …… ……5分（Ⅱ）∵*{|22,N }A x x n n ==+∈，*{|42,N }B x x n n ==+∈，∴A B B =．又∵n c ∈AB ，其中1c 是A B 中的最小数，∴16c =，∵{}n c 的公差是4的倍数，∴*1046(N )c m m =+∈．又∵10110115c <<，∴*11046115,N ,m m <+<⎧⎨∈⎩，解得27m =，所以10114c =，设等差数列的公差为d ，则1011146121019c cd --===-，∴6(1)12126n c n n =+-=-，所以{}n c 的通项公式为126n c n =-． ………………… ……12分（20）解：（Ⅰ）∵2222223,4c a b e a a -=== ∴224,a b =…………………………（1分）则椭圆方程为22221,4x y b b+=即22244.x y b +=设(,),N x y 则 2)3)N Q =……………………（2分） 12=+当1y =-时，NQ 有最大值为4,=…………………………（3分）解得21,b =∴24a =，椭圆方程是2214x y +=……………………（4分）（Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-由22(3),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=．………………………………（5分）由24222416(91)(14)0k k k ∆=--+＞，得215k ＜．2212122224364,.1414k k x x x x k k-+=⋅=++………………………………………（6分） ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++=则2122124()(14)k x x x t t k =+=+, []12122116()()6.(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+………………………（7分）由点P 在椭圆上，得222222222(24)1444,(14)(14)k k t k t k +=++ 化简得22236(14)k t k =+①………………………………………………（8分）又由12AB x =-即221212(1)()43,k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦＜将12x x +，12x x 代入得2422222244(364)(1)3,(14)14k k k k k ⎡⎤-+-⎢⎥++⎣⎦＜…………………………………（9分）化简，得22(81)(1613)0,k k -+＞则221810,8k k -＞＞,………………………………………………………（11分） ∴21185k ＜＜②由①，得22223699,1414k t k k ==-++联立②，解得234,t ＜＜∴2t -＜＜或 2.t ＜………………（13分）(21)解：(Ⅰ) 当e a =时，()e e e x f x x =--，()e e x f x '=-，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值(1)e f =-，函数()f x 无极大值． ··············· 4分 (Ⅱ)由()e x f x ax a =--，()e x f x a '=-，若0a <，则()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x 趋近于负无穷大时，()f x 趋近于负无穷大；当x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，故函数()f x 存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0f x <；当0x x >时，()0f x >．故0a <不满足条件．···································· 6分若0a =，()e 0x f x =≥恒成立，满足条件．·············································· 7分若0a >，由()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )f a ln e ln ln a a a a a a =-⋅-=-⋅，由(ln )0f a ≥得ln 0a a -⋅≥，解得01a <≤．综上，满足()0f x ≥恒成立时实数a 的取值范围是[0,1]． ····························· 9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当1a =时，()0f x ≥恒成立，所以()e 10x f x x =--≥恒成立，即e 1x x ≥+，所以ln(1)x x +≤，令12n x =(*n ∈N )，得11ln(1)22n n +<，············ 10分则有2111ln(1)ln(1)ln(1)222n ++++++211[1()]1111221()11222212n n n -<+++==-<-， ··································································································· 12分所以2111(1)(1)(1)e 222n ++⋅⋅+<，所以211111e(1)(1)(1)222n >++⋅⋅+，即222221212121e nn ⨯⨯⨯>+++．···························································· 14分。

2015年全国各地高考数学三轮复习试题汇编专题2 不等式、函数与导数第2讲函数及其图象与性质(A卷)理

专题2 不等式、函数与导数第2讲函数及其图象与性质（A 卷）一、选择题（每题5分，共65分）1. （2015·山东省实验中学第二次考试·4）已知函数()f x 的定义域为()()32,11aa f x -++，且为偶函数，则实数a 的值可以是（） A.23B.2C.4D.62．（2015·武清区高三年级第三次模拟高考·2）函数)2(log )(22+=x x f ，[]6,2-∈x 的值域为（）（A ）[]3,2 （B ）[]3,1 （C ）[]8,4 （D ）[]8,23．(2015.菏泽市高三第二次模拟考试数学（理）试题·7)已知函数133, (1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则(2)y f x =-的大致图象是（）4．(绵阳市高中2015届第三次诊断性考试·5)若则下列不等式成立的是（）5．(2015·聊城市高考模拟试题·3)下列函数中，满足()()()f xy f x f y =的单调递增函数是（）A ．()3f x x =B ．()1f x x -=-C ． ()2log f x x =D ．()2x f x =6. ( 2015`临沂市高三第二次模拟考试数学（理）试题·4)已知()()F x f x x =-是偶函数，且()()212f f =-=，则（）A.4B.2C. 3-D. 4-7．（2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·6）设函数()()()01x x f x a ka a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是（）8.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·9）9．（2015·陕西省安康市高三教学质量调研考试·9）下列三个数，大小顺序正确的是（）10．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·8)指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与二次函数()22,y ax bx a R b R =+∈∈在同一坐标系中的图象可能的是（）11. （2015·山东省实验中学第二次考试·8）定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（）A.2B.1C.0D.2-12. （2015·山东省实验中学第二次考试·10）函数()f x =质：①()f x 的图象是中心对称图形： ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞； ④方程()()1ff x =.上述关于函数()f x 的描述正确的是（）A.①③B.③④C.②③D.②④13. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·10)如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（）A. [)1,+∞B. ⎡⎣C. []0,1D. ⎡⎣二、非选择题（共35分） 14.(2015·成都三诊·11)15. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·7)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,4,0,log )(2x x x x f x ，则))1((-f f 的值为 .16．(2015·启东中学高三第二学期期初调研测试·1)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊂B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ▲ ．17.（2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·12）18．（2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·14）已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为．19．（2015·苏锡常镇四市高三数学调研（二模）·8）已知常数0a >，函数()(1)1af x x x x =+>-的最小值为3，则a 的值为 20. （2015·山东省实验中学第二次考试·15）设函数()ln f x x =，有以下4个命题： ①对任意的()()()1212120,22f x f x x x x x f ++⎛⎫∈+∞≤⎪⎝⎭、，有； ②对任意的()()()121221211,x x x x f x f x x x ∈+∞<-<-、，且，有； ③对任意的()()()12121221,x x e x x x f x x f x ∈+∞<<、，且，有； ④对任意的120x x <<，总有()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -≤-.其中正确的是______________________（填写序号）.第2讲函数及其图象与性质（A 卷）参考答案与详解1.【答案】B【命题立意】本题旨在考查函数的奇偶性【解析】因为函数f （x+1）为偶函数，则其图象关于y 轴对称，而函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f （x ）的图象关于直线x=1对称．又函数f （x ）的定义域为（3-2a ，a+1），所以（3-2a ）+（a+1）=2，解得：a=2．【易错警示】注意函数f （x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f （x ）的定义域（3-2a ，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a 的值． 2.【答案】B【命题立意】本题主要考查函数的值域计算.【解析】因为[]6,2-∈x ，所以2(2)[2,8]x +∈，故22()log (2)[1,3]f x x =+∈. 3.【答案】A【命题立意】本题旨在考查分段函数及其图象，函数的解析式．【解析】由题可得y=f （2－x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-1),2(log 1,3312x x x x ，故函数y=f （2－x ）仍是分段函数，且以x=1为界分段，只有选项A 符合条件． 4.【答案】D【命题立意】构造合适的函数，利用单调性比较函数值大小．【解析】对于（A ）考查幂函数(0)y x αα=>在(0,)+∞是增函数，故x x a b >，A 错；对于（B ）考查指数函数(01)x y a a =<<在(0,)+∞是减函数，故a b x x < ，B 错；对于（C ）考查对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞是减函数，故2log log log x x x a b <=，C 错，选D ．【易错警示】函数概念不清，将指数函数与幂函数搞混，导致出错． 5.【答案】A【命题立意】本题主要考查函数的基本运算及单调性的应用。

2015.5安徽高考理科数学押题试题 (部分原创题)第一卷

2015高考理科数学押题------1第一部分考点：集合与复数，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，解三角形，不等式一、集合与复数 1. 已知两个集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

BA.错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

2．复数1iiz +=（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为_____C_____． 3.设错误！未找到引用源。

，则 A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

二、函数与导数4. 已知函数错误！未找到引用源。

，则关于错误！未找到引用源。

的方程错误！未找到引用源。

的实根个数不可能．．．为（） A.错误！未找到引用源。

个 B.错误！未找到引用源。

个 C.错误！未找到引用源。

个 D.错误！未找到引用源。

个答案：A解析：因为错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

=1或错误！未找到引用源。

=3或错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

=-4，则当a=1时错误！未找到引用源。

或1或3或－4,又因为错误！未找到引用源。

,则当错误！未找到引用源。

时只有一个错误！未找到引用源。

=－2与之对应其它情况都有两个错误！未找到引用源。

值与之对应，所以此时所求方程有7个根，当1＜a ＜2时因为函数错误！未找到引用源。

与y=a 有4个交点，每个交点对应两个错误！未找到引用源。

，则此时所求方程有8个解，当a=2时函数错误！未找到引用源。

与y=a 有3个交点，每个交点对应两个错误！未找到引用源。

，则此时所求方程有6个解，所以B,C,D 都有可能，则选A 。

5. 已知函数错误！未找到引用源。

，则函数错误！未找到引用源。

的大致图像为（）答案：A6．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(),()0,1,1,,10,1(),A B C D ππ--，正弦曲线()f x sinx =和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A ．π21+B ．π221+C ．π1D ．π21【答案】B【知识点】定积分几何概型【解析】根据题意，可得曲线y sinx =与y cosx =围成的区域，其面积为44|2211222sinx cosx dx cosx sinx ππππ-=--=---=+⎰（）（）（）；又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是：122π+.所以选B. 【思路点拨】利用定积分计算公式，算出曲线y sinx = 与y cosx =围成的区域包含在区域D 内的图形面积为2S π=，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．7.已知函数错误！未找到引用源。

2015年高考数学理科试题汇编(函数与导数)

2015年高考全国各地理科数学试题汇编(函数-导数)注: 为了保证对各地试题的整体认识,此部分没有按知识点剪切分类.（新课标I ）设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）0，则a 的取值范围是（）A.[-，1）B. [-，）C. [，）D. [，1）（新课标I ）若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则a=（新课标I ）（本小题满分12分）已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数（新课标II ）设函数⎩⎨⎧≥<-+=)1(2)1()2(log 1)(2x x x x f x，则=+-)12(log )2(2f f （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （新课标II ）（新课标II ）设函数f’(x)是奇函数))((R x x f ∈的导函数，f （-1）=0，当x>0时，0)()('<-x f x xf ，则使得f (x) >0成立的x 的取值范围是（A ）)1,0()1,( --∞ （B ）),1()0,1(+∞- （C ）0,1()1,(---∞ （D ）),1()1,0(+∞ （新课标II ）设函数f(x)=e mx +x 2-mx.(Ⅰ)证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1, x 2∈[-1,1],都有｜f(x 1)- f(x 2)｜≤e -1,求m 的取值范围（北京）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是 A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{}|12x x -<≤（北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油（北京）设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．（北京）（本小题13分）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．（浙江）7、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+（浙江）10、已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是．（浙江）12、若2log 3a =，则22aa-+= ．（浙江）18、（本题满分15分）已知函数f （x ）=2x +ax+b （a ，b ∈R ）,记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[-1,1]上的最大值。

备考2015高考预测试卷精选分项版数学(理)专题032 导数2(解析版)

18. 【海淀区高三年纪第二学期其中练习（理）】函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.19. 【2014年石景山区高三统一测试（理）】若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.20. 【北京市东城区2014届第一次模拟考试（理）】若函数()x f x kx e =-有零点，则k的取值范围为_______.21. 【河北省邯郸市2014届高三上学期第二次模拟考试】dx x )4sin(220ππ+⎰= _______.22. 【河北省邯郸市2014届高三上学期第二次模拟考试】曲线2log y x =在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 . 【答案】21log 2e 【解析】试题分析：∵'1ln 2y x =，∴1ln 2k =，所以切线方程为：1(1)ln 2y x =-， ∴三角形面积为211111log 2ln 22ln 22S e ∆=⨯⨯==.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形的面积公式.23. 【2014年辽宁省大连市高三双基考试】6cos xdx π=⎰_______.24. 【2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）】已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．25.【常州市2013届高三教学期末调研测试】已知点(1,1)B--在曲线C：A和点(1,3)32(,,y ax bx d a b d=++为常数)上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则32++=a b d▲．26．【2014届第二次大联考数学江苏版】已知函数3211()32f x x ax bx c =+++在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，满足12(1,0),(0,1)x x ∈-∈，则242a b a +++的取值范围是________．【考点定位】本题考查函数极值、线性规划等知识，意在考查转化能力与运算求解能力. 27. 【南通市2014届高三第二次调研测试】若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ▲ ．28. 【南通市2014届高三第二次调研测试】设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为 ▲ ．29. 【2014南京盐城高三数学二模数学试卷】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．30. 【江苏省连云港市2014届高三第二次调研考试数学试题】设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ．31. 【江苏省连云港市2014届高三第二次调研考试数学试题】已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．【答案】27321,{0,22e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】。