作业题答案

2-1 什么叫流线、流管？流线与迹线有什么区别？ 答：流线就是在流场中某一瞬间作出的一条
空间曲线， 使这一瞬间在该曲线上各点的流体质 点所具有的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。

在流场中经过一封闭曲线 （不是流线 ）的所有流线所围成的管状表面，称为流管。

流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。

其是同一时刻， 由不同流体质点组成的。

迹线是同 一质点不同时刻的轨迹线。

在定常流动中，流线形状不随时间改变，流线与迹线重合。

在非 定常流动中，流线的形状随时间而改变，流线与迹线不重合。

2-2 直角坐标系中，流场速度分量的分布为
22
u 2xy ， v 2x y
试证过点（ 1， 7）的流线方程为
22
y 2 x 2 48
求得，
dx dy 22
2xy 2
2x 2y
积分得 22
yxc
代入点（ 1， 7）求积分常数 c 48
22
过点（ 1， 7）的流线方程为 y 2 x 2 48
2-3 设流场中的速度大小及流线的表达式为 V
x 2 2xy
2y 2 ， y 2 2xy 常数
求速度分量的表达式。

解：对 y 2 2xy 常数
求导，
2y dy 2y 2x dy 0，得出 dy y dx dx dx x y
根据流线微分方程 dx dy ，得到 u 和 v 的关系，
u x y v u v y
代入 V
u 2 v 2
x 2 2xy 2y 2
得 v y
求得 u 和 v 的表达式： v y,u x y 或 v y,u x y
2-4 求第 2-3 题中速度分量 u 的最大变化率及方向。

rr jk
证：根据流线微分方程
dx u dy v
解：梯度矢量 G grad
2-6 在不可压流中，下列哪几个流动满足质量守恒条件？ a ) u
3 x sin y
v 2
3x cosy b ) u 3
x sin y v 2
3x cosy c ) u 2rsin cos v
2rsin 2
d )
V
k
2
2
x
y 2
常数
r
证
：
divV
u x v
y
w z
dr
rd
x rcos ，y rsin ，V r
，V
dt
dt
dx
u
dt V r cos V sin
v dy V r sin V cos
dt
u u ru
u u sin
cos
x
r x
x
r
r
v
v rv
v v cos
sin
y
r
y
y
r
r
u
V r
u
V
r
cos ， sin V r
( sin
V cos )
r r
v V r
v
V
r
sin ， cos V r
( cos
V sin )
r
r
u
v
V r 2
V r 2
V 2
V r 2
V r 2
V 2 V r V r
V
cos
sin
sin
sin cos cos
x
y
r
r
r
r r
r
r r r
V r
r
u (x y) ur G grad u r u r
rr
i j
(i j) x
y
G2
2-5 试证在柱坐标系( r, ,z )下，速度的散度表达式为
divV
代入 divV u v
xy
V r
1
(V r r
Vw )
z
解：对于不可压缩流体，应满足连续方程
xy
v
3x 2 sin y 3x 2 sin y 0 满足质量守恒条件 y
2-7 流体力学具有分速度
x
2 2 3/ 2
y z )
y
2 2 2 3/ 2
(x 2 y 2 z 2)
3/ 2
z 2 2 2 3/ 2
(x 2 y 2 z 2)
3/ 2
试问该流场是否有旋？如果无旋，求出其速度位函数。

a )
b )
3x 2sin y 3x 2sin y y
0 不满足质量守恒条件
c )
ur rx
y arctan x u cos r
u sin
2sin cos 2 2r cos 2 2rsin 2
sin 2sin 3
r
vr
v sin
r
v cos
2sin 3
cos ( 4rsin cos )
r
2sin 3 4sin
cos
4sin cos
不满足质量守恒条件
d )
对
x 2
2
y 2
常数 求导，
2x 2y d d x y
0得出 d dy
x
根据流线微分方程
dx dy uv
得到 u 和 v 的关系， v
代入 V
u 2 v 2
得
u
ky
(x
3
y 2)2
m (x 2
kx
3
y 2)2
3kxy
3kxy 5
2 2 2 (x 2 y 2 )2
(x 2
5
y 2)2
0 满足质量守恒条件
(x 2
解：判定无旋流的条件： x 0, y 0, z 0
uv
同理
v
z
该流场无旋
1
2 2 2 2 (x
2 y
2
z 2)
2
2-8 有不可压流体作定常运动，其速度场为
u ax v ay
2az
式中 a 为常数。

求：
（ 1） 线变形率、角变形率； （ 2） 流场是否有旋；
（ 3） 是否有速度位函数存在。

解：微团线变形速率
x
u
x a y
v
a y
z
w 2a
z
微团角变形速率
3xy
x 2 2 (x y 5
z 2)2
(x 2
3xy
5
2 2
2 y z ) 2
对于无旋流，速度位函数
udx vdy wdz
xdx ydy zdz (x 2
3
z 2)2
1 w
v 0
x
x
2 y
z
1
u w 0 y
2 z x 1
v
u
z
z
2 x
y
x ( ) 0 同理 y 0, z 0 2 x y
该流场无旋
解：对 x 2y
4求导，得出 dy 2y (2, 1) 1，
dx x
v u cos(x,s) vcos(y,s) ucos vsin
2
2-10 设下 列几种 函数分 别代表流动的 3 个分速度：
（1） u kx,v
ky, 0； （2） u kx,v ky,
kx ； （3） u kx,v ky, kz ； （4） u kx,v ky, 2kz ； （5）
u kx,v ky, kz 。

其中 k 常问哪几情况可以代表不可压流动？ 解：对于不可压缩流体，应满足连续方程
1) u kx,v ky,w 0 ；
u
2
x 2
2x y ， v
x 2y
x
y
得到
45 ， 为 x 轴到切线方向的转角。

对于无旋流，速度位函数 d
udx vdy wdz axdx aydy 2azdz
12
ax
2
12
2
ay 2
2
az
2-9 二维位流流场为
量。

3
x
3 x 2 xy y 2，求曲线 x 2 y
4上点（ 2，-1 ） 处的切向速度分
f (r) cr n (c,n 为任意常数)
2-12 二维点涡诱导的无旋流场是否满足连续条件？
u x
v y
w z
2)
u kx,v
ky,
u
v
w
x
y
z
3) u
kx,v
ky,
u
v
w
x
y
z
4) u
kx,v
ky,w
u
v
w
x
y
z
5) u
kx,v
ky,w
u v
w
x
y z
0 可以代表不可压流动 0 可以代表不可压流动 0 不可以代表不可压流动 2kz ；
0 可以代表不可压流动 kz 。

0 不可以代表不可压流动 w kx ； w kz ；
2-11
某一流动可描述为 V f (r)， x 2
y 2 常数 。

f (r) 应具有什么形式，流场才能满
解：对 x 2 2 y 常数 求导， 得出 dy x dx y
根据流线微分方
程 dx dy uv 代入 V u 2
v 2 f (r) yf(r)
足连续条件？为什么？ ，得到 u 和 v 的关系，
2x 2y
d d y x
1
2 2 2 (x 2 y 2)2
(x 2
xf(r) 1
y 2)2
要满足质量守恒条件，需
v
0 y
流速只有V
r 2 0
1，V r
r
uv V r 1 V 1V
(V r )0 xy r r r
满足连续方程u v
，
满足连续条
件
x y
2-13 某二维流动可描述为V x2 4xy 5y2，y2xy 常数。

试用两种方法证明（见习题副图2-13 ）图中对curl z V 在暗影区的面积分等于－4。

证：对y xy
常数求导，2y d dy x y x d d y x0
得出dy
dx
y
x 2y
根据流线微分方程dx dy
，得到u 和v 的关
系，uv
x 2y
v
y
代入V u2v2 得v y x2 4xy 5y2
求得u 和v 的表达式：v y,u (x 2y)或v y,u x 2y curl z V 为V在z 轴的旋度，同2
z 12( v x
2x u
) 1 y
蜒V ds
L
沿空间封闭曲L(udx vdy) ?L(x 2y)dxmydy
L 的环量，等于穿过张在L 上任意曲面S上的涡通量。

(udx vdy) ( v L x u)dS y
z dS 4
解：二维点涡的位函
数
2-14 一架飞机以180km/h 的速度在海平面上飞行，求驻点处的表压（即大于或小于大气压的那部分压强）及相对流速为60m/s 处的表压。

解：V1 180km/h 50m/s
2-15 有一救火机，见习题附图 2-15 ，出水口直径 7.5cm ，入水口直径 30cm ，流量是 3640L/min(1L=1000 cm 3 ) ，进水口处水压为 2×105 N/m 2。

求救火机所受的反作用力。

解：流量 Q A 1V 1 A 2V 2 ， 求得 V 1 ＝s ，V 2 ＝s
5 已知进口水压 p 1 2 10
5
pa
22
V 12
V 22
p 1
2
p 2
2
2
求得 p 2 1.057 105 pa
根据积分形式动量方程 控制体所受合外力等于控制体中动量的增加率加上净流出控制面的动量流量。

F x u V n dS Q(u 2 u 1)
S
F y
v V n dS Q(v 2 v 1)
S
F x p 1A 1 p 2 A 2 cos30 Q(cos30 V 2 V 1)
F y p 2 A 2 sin30 Q sin 30 V 2
F x 1.388 104 N F y 649.6N
X 方向作用力× 104N ，方向向后， Y 方向作用力，方向向上。

根据 Bernoulli 方程 p
V 2
2
p 0
p 表1＝p 1 p a (p a
V
12
1
1.225 502 1531.25Pa 2
p
表2
＝
p
表1
1531.25 1
1.225 602
2
673.75Pa。