【配套K12】任意角和弧度制教案((主备陆明东)
1任意角与弧度制教案
任意角与弧度制创设情境思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.探究新知初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？有公共端点的两条射线组成的图形叫做角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或可以简记成。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”往往重合于轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
（4）在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”； （5）零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
3．象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角（象限间的角）ααα∠αx 顶点AO例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°；⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．一、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。
《任意角和弧度制》教案
《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四1.1《任意角和弧度制》教案1.1《任意角和弧度制》教案【教学目标】1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角判断象限角掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式能进行简单应用.对弧长公式只要求了解会进行简单应用不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题.3.初中的角是如何度量的度量单位4.1°的角是如何定义的弧长公式5.角的范围如何分类的新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O从起始位置OA旋转到终止位置OB形成一个角?点O是角的顶点射线OA,OB分别是角?的终边、始边.说明：在不引起混淆的前提下“角?”或“??”可以简记为?．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转我们称它为零角.说明：零角的始边和终边重合.3．象限角：在直角坐标系中使角的顶点与坐标原点重合角的始边与x轴的非负轴重合则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限我们就说这个角是第几象限角.例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.因为x轴的正半轴不包括原点就不完全包括角的始边角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角连同30角自身在内都可以写成30?k?360??????k?Z?的形式；反之所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角?终边相同的角连同角?在内可构成一个集合S???|????k?360?,k?Z?即：任一与角?终边相同的角都可以表示成角?与整数个周角的和.说明：终边相同的角不一定相等相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内找出与下列各角终边相同的角并判断它们是第几象限角（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360所以与?120角终边相同的角是240它是第三象限角；（2）640?280?360所以与640角终边相同的角是280角它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360?????????????所以?95012?角终边相同的角是12948?角它是第二象限角.??例2若??k?360??1575?,k?Z试判断角?所在象限.解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?,(k?5)?Z∴?与225终边相同所以?在第三象限.?例3写出下列各边相同的角的集合S并把S中适合不等式?360????720?的元素?写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?． ?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z??S中适合?360????720?的元素是60??1?360???300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|???21?k?360,k?Z??S中适合?360????720?的元素是?21??0?360???21?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?Z??S中适合?360????720?的元素是363?14??2?360???356?46?,363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为0???90；（2）与0,90终边相同的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合我们表示为：?????????M???|k?360????90??k?360?,k?Z?．学生讨论归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P???|90??k?360????180??k?360?,k?Z?；N???|90??k?360????180??k?360?,k?Z?；Q???|270??k?360????360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时角的集合为?|??45?k?360,k?Z； ????当?终边落在y??x(x?0)上时角的集合为?|???45?k?360,k?Z；??????所以按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?360???45?k?360,k?Z． ??二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad）∴180?=?rad.∴1?=?180rad?0.01745rad.??180???1rad????57.30?5718'.???oSl2．弧长公式：l?r?.由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单.r1801lR其中l是扇形弧长R是圆的半径.2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式S?注意几点：1．今后在具体运算时“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3radsin?表示?rad角的正弦；2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推广之后无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6把下列各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3)30；(4)67?30'.解：(1)/71?（2）0.0625?(3)?(4)0.375?56变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）210o；(3)1200o.解：(1)?；（2）?18720?；(3)?.63例7把下列各角从弧度化为度：（1）?；(2)3.5；(3)2；(4)35?.4解：（1）108o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o.变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）；（3）.12310解：（1）15o；（2）240o；（3）54o.例8知扇形的周长为8cm圆心角?为2rad求该扇形的面积.解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4.课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式并灵活运用；篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念理解任意角的概念学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、复习师：上节课我们学习了角的概念的推广推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念下面请一位同学叙述一下它们的定义生：略师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法[板书]0S={β|β=α+k×360k∈Z}这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广解决一些简单问题二、例题选讲00例1写出与下列各角终边相同的角的集合S并把S中适合不等式360≤β<720的元素β写出来：000（1）60；（2）21；（3）363140000解：（1）S={β|β=60+k×360k∈Z}S中适合360≤β<720的元素是00000000060+（1）×360=30060+0×360=6060+1×360=420.0000（2）S={β|β=21+k×360k∈Z}S中适合360≤β<720的元素是00000000021+0×360=2121+1×360=33921+2×360=6990000说明：21不是0到360的角但仍可用上述方法来构成与21角终边相同的角的集合0000（3）S={β|β=36314+k×360k∈Z}S中适合360≤β<720的元素是00000000036314+（2）×360=3564636314+（1）×360=31436314+0×360=36314说明：这种终边相同的角的表示法非常重要应熟练掌握例2．写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上分析：要求这些角的集合根据终边相同的角的表示法关键只要找出符合这个条件的一个0角即α然后在后面加上k×360即可○○0解：（1）∵在0～360间终边在x轴负半轴上的角为180∴终边在x轴负半轴上00的所有角构成的集合是{β|β=180+k×360k∈Z} ○○000（2）∵在0～360间终边在y轴上的角有两个即90和270∴与90角终边相00同的角构成的集合是S1={β|β=90+k×360k∈Z}000同理与270角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=270+k×360k∈Z}提问：同学们思考一下能否将这两条式子写成统一表达式师：一下子可能看不出来这时我们将这两条式子作一简单变化： 0000S1={β|β=90+k×360k∈Z}={β|β=90+2k×180k∈Z}??????（1）00000S2={β|β=270+k×360k∈Z}={β|β=90+180+2k×180k∈Z}00={β|β=90+（2k+1）×180k∈Z}???????（2）0师：在（1）式等号右边后一项是180的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是00180的所有奇数（2k+1）倍因此它们可以合并为180的所有整数倍（1）式和（2）式可统一写成90+n×180（n∈Z）故终边在y轴上的角的集合为0000S=S1∪S2={β|β=90+2k×180k∈Z}∪{β|β=90+（2k+1）×180k∈Z}00={β|β=90+n×180n∈Z}处理：师生讨论教师板演提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示终边落在坐标轴上的角的集合如何表示00（思考后）答：{β|β=k×180k∈Z},{β|β=k×90k∈Z} 进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示 00答：{β|β=45+n×180n∈Z}0推广：{β|β=α+k×180k∈Z}βα有何关系（图形表示）处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导学生作答；“推广”由学生归纳例1若?是第二象限角则2?00??分别是第几象限的角23师：?是第二象限角如何表示0000解：（1）∵?是第二象限角∴90+k×360<?<180+k×360（k ∈Z）0000∴180+k×720<2?<360+k×720∴2?是第三或第四象限的角或角的终边在y轴的非正半轴上．．．．．．．．（2）∵k?180??45???2?k?180??90(k?Z)处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0123?）再归纳出以下规律：?是第一象限的角；22??????当k?2n?1(n?Z)时n?360?225??n?360?270(k?Z)是第三象限的22当k?2n(n?Z)时n?360??45????n?360??90?(k?Z) 角∴?是第一或第三象限的角2?是第一或第二或第四象限的角）3说明：配以图形加以说明（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明（进一步求??是第几象限的角（??是第三象限的角）学生练习教师校对答案三、例题小结1．要注意某一区间内的角和象限角的区别象限角是由无数各区间角组成的；2．要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如0θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限四、课堂练习练习2若?的终边在第一、三象限的角平分线上则2?的终边在y轴的非负半轴上.练习3若?的终边与60角的终边相同试写出在（0360）内与000?角的终边相同的3角（XX0260）（备用题）练习4如右图写出阴影部分（包括边界）的角0的集合并指出95012是否是该集合中的角000（{α|120+k×360≤α≤250+k×360k∈Z}；是）0000探究活动经过5小时又25分钟时钟的分针、时针各转多少度五、作业A组:1．与终边相同的角的集合是它们是第象限的角其中最小的正角是最大负角是．2．在0o~360o范围内找出下列各角终边相同的角并指出它们是个象限的角：（1）－265?（2）－1000o（3）－843o10’（4）3900oB组3．写出终边在x轴上的角的集合4．写出与下列各角终边相同的角的集合并把集合中适合不等式－360o≤β＜360o的元素写出来：(1)60o(2)－75o(3)－824o30’(4)475o(5)90o(6)270o(7)180o(8)0oC组：若是第二象限角时则分别是第几象限的角篇三：1.1任意角和弧度制教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能（1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点深刻理解推广后的角的概念.2、过程与方法通过创设情境：“转体逆（顺）时针旋转2周”角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后将角放入平面直角坐标系引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角画出终边所在的位置找出它们的关系探索具有相同终边的角的表示.3、情态与价值通过本节的学习使同学们对角的概念有了一个新的认识即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点重点:理解正角、负角和零角的定义掌握终边相同角的表示法.难点:终边相同的角的表示.3.教学用具多媒体4.标签任意角教学过程【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟你是怎样将它校准的假如你的手表快了1.25小时你应当如何将它校准当时间校准以后分针转了多少度[取出一个钟表,实际操作]我们发现校正过程中分针需要正向或反向旋转有时转不到一周有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时我们已学习了角的概念它是如何定义的呢[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.11一条射线由原来的位置绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边叫终边射线的端点叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”（即转体2周）“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positiveangle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negativeangle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zeroangle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中正角负角；这样我们就把角的概念推广到了任意角（anyangle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见在不引起混淆的前提下“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中我们常在直角坐标系内讨论角为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合角的始边与轴的非负半轴重合那么角的终边（除端点外）在第几象限我们就说这个角是第几象限角(quadrantangle).如教材图1.14中的角、角分别是第一象限角和第二象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.[展示投影]练习:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期几?天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.15),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.[展示课件]不难发现,在教材图1.15中,如果角的终边都是,而.的终边是,,那么设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来集合的任一元素显然与角终边相同.一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.6.[展示投影]例题讲评例1.在范围内找出与角象限角.（注：是指例2.写出终边在轴上的角的集合.上的角的集合,并把中适合不等式终边相同的角并判定它是第几）例3.写出终边直线在的元素写出来.课堂小结(1)你知道角是如何推广的?(2)象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了?会写终边落在上的角的集合.课后习题轴、轴、直线板书。
1.1任意角和弧度制教学设计教案
1.1任意角和弧度制教学设计教案第一篇：1.1 任意角和弧度制教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能（1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.2、过程与方法通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.3.教学用具多媒体4.标签任意角教学过程【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”（即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。
任意角和弧度制》优秀教学教案教学设计
5.1.2 弧度制本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。
A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；B.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题；C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法。
1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。
多媒体任意角的集合 实数集R例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）2R 21S 2αα==）（R l lR 21S 3=）（。
（其中R 是扇形的半径，l 是弧长，为圆心角（)20παα<<，S 是扇形的面积）。
三、达标检测由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。
学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。
只是学生的作业还是做得不太好。
所以在讲解作业的时候要继续加强弧度制的定义的理解。
任意角和弧度制教案
任意角和弧度制教案教案标题：任意角和弧度制教案教案目标：1. 了解任意角的概念，能够在坐标系中表示和定位任意角。
2. 理解弧度制的概念，能够在弧度制和度数制之间进行转换。
3. 掌握任意角的三角函数值的计算方法。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、笔记本电脑、教学PPT等。
2. 学生准备：纸和铅笔。
教学过程：Step 1: 引入1. 教师通过展示一张钟表图，引导学生思考角度的概念。
提问：你们平时见过哪些角度的度量方式？2. 学生回答后，教师解释度数制的概念，并引出本节课学习的内容：任意角和弧度制。
Step 2: 任意角的表示和定位1. 教师通过示意图和坐标系，解释任意角的表示方法。
提醒学生注意正角、负角和零角的特点。
2. 学生跟随教师的指导，在纸上练习绘制不同角度的示意图，并用坐标系表示和定位这些角。
Step 3: 弧度制的介绍和转换1. 教师给出弧度制的定义：1弧度是半径等于1的圆的弧所对应的角。
2. 教师通过示意图和实际物体（如一根铁丝弯成的圆弧），展示弧度制的概念和计算方法。
3. 教师引导学生进行度数制和弧度制之间的转换练习，提供一些常见的转换例题。
Step 4: 任意角的三角函数值的计算1. 教师复习正弦、余弦和正切的定义，并介绍任意角的三角函数值的计算方法。
2. 教师通过示例演示三角函数值的计算步骤，引导学生进行练习。
Step 5: 拓展应用1. 教师提供一些与任意角和弧度制相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
2. 学生个别或小组合作完成拓展应用题。
Step 6: 总结和归纳1. 教师带领学生总结本节课所学内容，并强调重点和难点。
2. 学生将所学知识进行整理和归纳，完成课堂笔记。
Step 7: 作业布置1. 教师布置相关的课后作业，包括练习题和思考题。
2. 学生完成作业，以便巩固所学知识。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。
2. 教师检查学生完成的课堂练习和作业，评估学生的掌握情况。
任意角与弧度制教案
1、1任意角和弧度制一、教材说明：本节任意角和弧度制选自必修四第一章第一节二、三维目标（一）知识与技能（1）了解正、负角与零角的相关定义；（2）根据图形写出角及根据终边写出角的集合；（3）了解弧度制；（二）过程与方法（1）培养学生数型转化的思想；（2）训练学生思维活跃性，能够举一反三；（3）培养学生思维的抽象与具体转化的过程；（三）情感态度与价值观（1）增强学生观察生活中事物的规律能力；（2）在老师的引导下建立数学模型，把数学运用到生活中去；三、教学重难点（一）重点（1）根据图形写出任意角度数；（2）根据已知图形终边位置写出该终边所表示的角的集合；（二）难点根据终边写角的集合（三）教学设计（1）情境设计（2）教学过程（3）给出相关定义（4）举出例题，深化正负角定义（5）提出要点（6）提出关于终边相同，写出所有角所在集合（7）通过练习（教师引导，并作为主体练习），能够独立进行习题练习（8）学生自主练习、教师个别指导、师生互动（9）习题讲解（10）归纳总结（11）引出下堂课知识点：弧度制（12）布置作业四、教学过程（一）创设情境（1）墙上挂钟，在某段时间内，指针转过角度；（2）当手表不准时，我们旋转指针使之准时，这是指针转过的角度是多少？方向如何？（二）揭示课题（1）1、1任意角和弧度制（2）1、1、1任意角（三）复习旧知识顺时针、逆时针（四）给出例题（1）当指针快速顺时针由“12”调至“6”，指针转过多少度？（2）指针由“6”又调回到“12”是，转过角度如何？方向又怎样呢？（五）给出正角、负角定义（1）正角：逆时针方向旋转形成的角叫做正角；（2）负角：顺时针方向旋转形成的角叫做负角；（六）注意要点如果一条射线没有做任何旋转，则称它为零角。
（七）复习旧知识（1）0°-180°内所有角（2）周角（3）平角的整数倍所有角（八）新知识（1）任意角的表示方法；（2）判断当角的始变何种变相同时，角度是否相同。
任意角和弧度制的教学设计
任意角和弧度制的教学设计5.1任意角和弧度制【考点梳理】大重点一：任意角考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角考点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．考点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．大重点二：弧度制考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的1360.2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad 2πrad＝360°180°＝πrad πrad＝180°1°＝π180 rad≈0.017 45 rad1 rad＝180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×180π°＝度数考点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝12lR＝12αR2.课堂练习：P21，第1，2题作业：P22 第3题。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案一、概念解释任意角是指角的顶点可以位于坐标系中的任意位置，而不仅仅局限于角的顶点位于原点或坐标轴上。
在平面直角坐标系中，如果将角的顶点放在原点上，且不在坐标轴上，则该角为任意角。
在数学中，角的度量方式有两种，分别是度度量和弧度度量。
本教案将重点介绍弧度制的概念与应用。
二、弧度制的定义弧度制是一种用弧长来度量角的单位制度。
弧度制中，角的度量用弧长与半径相等的弧所对应的弧度数表示。
三、弧度制与度度量的转换1. 弧度制转度度量：角度(度) = 弧度数× (180°/π)2. 度度量转弧度制：弧度数 = 角度(度) × (π/180°)四、弧度制的优点1. 精确性：弧度制可以更精确地表示小角度，保证计算结果的准确性。
2. 便利性：在三角函数的计算中，弧度制更便于推导与计算，使得计算过程更加简洁。
3. 单位统一：由于弧度制是用弧长来度量角度的单位制度，使得角度和长度的单位得到了统一。
五、任意角的弧度表示在任意角中，以顺时针为正方向，角的弧度表示为正角度的弧度数。
六、弧度制在三角函数中的应用在三角函数中，弧度制是最常用的单位制度。
以下是几个常用三角函数值对应的弧度制表示：1. 正弦函数：sin(30°) = sin(π/6) = 0.52. 余弦函数：cos(45°) = cos(π/4) = 0.7073. 正切函数：tan(60°) = tan(π/3) = √3七、弧度制的练习与应用1. 练习一：求解以下各角的弧度制表示：a) 45°b) 60°c) 90°2. 练习二：根据题意求解下列三角函数的值（保留两位小数）：a) sin(π/4)b) cos(π/3)c) tan(π/6)3. 应用一：计算角度为45°的正弦值解答：sin(45°) = sin(π/4) = 0.7074. 应用二：计算角度为60°的余弦值解答：cos(60°) = cos(π/3) = 0.5八、总结通过本教案的学习，我们了解了任意角的概念以及其中的弧度制度量方式。
《任意角和弧度制》(第一课时)教学设计
《任意角和弧度制》（第一课时）教学设计《任意角和弧度制》（第一课时）教学设计《任意角和弧度制》（第一课时）教学设计一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360度的角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：转体720度角，逆（顺）时针旋转、角有大于360、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点:终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想[创设情境]思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0～360之间，它是如何定义的呢？这正是我们这节课要研究的主要内容任意角.[探究新知]初中时，我们已学习了0～360[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角a。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案导言：任意角是初中数学中一个重要的概念，它是我们研究三角函数的基础。
为了更好地理解任意角，我们需要引入弧度制这一概念。
本教案将从任意角的定义开始，逐步介绍弧度制的概念以及如何进行角度与弧度的转换，帮助学生深入理解和掌握这两个概念。
一、任意角的定义在平面直角坐标系中，通过原点O以及一条射线OA，可以确定一个角，这个角叫做任意角。
其中，射线OA称为角的始边，射线OB （OB ≠ OA）称为角的终边，O点叫做角的顶点。
二、弧度制的概念角度制是我们最常用的一种角度单位，但在一些高级数学和物理问题中，常常使用弧度制来度量角的大小。
弧度制定义如下：当半径为r 的圆的圆心角所对的弧长等于半径时，这个角的度数为1弧度，记作1 rad。
三、角度与弧度的转换1. 角度转弧度：已知角的度数α，可以使用如下公式将其转化为弧度：弧度数 = 角度数× π/1802. 弧度转角度：已知角的弧度数β，可以使用如下公式将其转化为角度：角度数 = 弧度数× 180/π四、任意角的性质1. 一个任意角可绘制无数个与之终边相同的角。
2. 一个任意角的终边在平面直角坐标系中的位置决定了该角在坐标系中的唯一性。
3. 弧度制中的任意角大小范围为0≤θ<2π，其中2π的意义相当于360°。
五、任意角的相关公式在三角函数的研究中，任意角的概念是非常重要的。
以下是一些与任意角相关的基本公式。
1. sin任意角和cos任意角的定义：在平面直角坐标系中，给定角θ的终边上的点P（x,y），则有：sinθ = y/rcosθ = x/r其中，r为OP的长度。
2. tan任意角的定义：在平面直角坐标系中，给定角θ的终边上的点P（x,y），则有：tanθ = y/x注：当x=0时，tanθ不存在。
3. 值域：在上述公式中，可以发现sinθ、cosθ、tanθ的值与终边上的坐标有关，因此它们的值域都在[-1,1]之间。
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案教学目标•了解任意角的概念•掌握角度和弧度之间的换算关系•理解任意角的三角函数定义•能够求解给定任意角的三角函数值•能够应用任意角的三角函数解决相关问题教学准备•教材：《高中数学必修四》•教辅资料：《高二数学必修四导学案》、《高二数学必修四课后习题精选》•工具：投影仪、黑板、彩色粉笔教学内容和步骤第一节：引入任意角的概念（15分钟）1.引入：通过一个例子引导学生思考角是什么，并介绍角的常用表示方法。
–例子：一个人站在原地，从开始向东边走了一段距离，然后又向南边走了一段距离，最后按照顺时针方向转了一个角度，最后停在了某个位置上。
请问，这个人所走过的路径可以用什么来描述？2.概念解释：引导学生理解角的概念。
–角度：以一段线段的端点为顶点，将线段旋转形成的图形。
–角的表示：使用小写字母加上顶角符号“∠”表示角，例如∠ABC。
3.讨论：与学生一起讨论不同角的分类和性质，并引入本节课的重点——任意角。
第二节：任意角的弧度制（20分钟）1.导入：引导学生回顾整周角的概念，然后扩展到任意角的概念。
2.弧度制介绍：–弧度：从原点出发，逆时针转一周，形成弧长等于半径的角度被定义为1弧度。
–弧度制的计算：弧长（s）等于半径（r）乘以角度（θ），公式为：s = rθ。
–弧度转角度：角度（θ）等于弧长（s）除以半径（r），公式为：θ = s/r。
3.实例演示：通过实例计算角度和弧度互相转换的问题，加深学生对弧度制的理解。
4.练习：让学生在课堂上完成一些练习题，巩固弧度制的计算方法。
第三节：任意角的三角函数（30分钟）1.回顾：复习学生已经学过的整数角的三角函数定义和图像。
2.任意角的三角函数定义：–以点P(x, y)为单位圆上的点，作从圆心O到该点的线段OP，与x轴正半轴的夹角为θ，那么点P的坐标(x, y)分别对应于角度θ的三角函数值。
–定义正弦函数：sinθ = y。
–定义余弦函数：cosθ = x。
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案教案【一】教学准备教学目标一、知识与技能(1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6)使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.二、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.三、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，为下一节学习三角函数做好准备教学重难点重点:理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用.难点:理解弧度制定义，弧度制的运用.教学工具投影仪等教学过程一、创设情境，引入新课师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里)显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.二、讲解新课1.角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本，自行解决上述问题.2.弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(师生共同活动)探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.四、课堂小结度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行;在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3radsinp表示prad角的正弦应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
34869_《任意角和弧度制》教案1
1.1.1任意角教学目标：1、使学生理解角的概念推广的必要性；2、使学生理解掌握正角、负角、零角、区间角、象限角、终边相同角的概念及表示；3、使学生能熟练写出与已知角终边相同的角的集合教学重点：角的概念的推广，终边相同的角的集合教学难点：终边相同的角的写法教学内容及过程一、设计问题情境，引导学生讨论1、问题：手表慢了5分钟，如何样准？手表快了1.25小时，又如何校准？在校准手表中，分针分别转了多少度？2、引导学生讨论，老师关注旋转方向和旋转的量二、复习旧知1、原来角的概念：顶点、始边、终边2、角的范围：3、举例，不方便表示的情况，引起认知冲突三、引入新知1、任意角的概念：（1）正角、负角、零角（2）解决前面问题，及列举实例例1、以一射线为始边，表示150°、450°、－210、－390°分析：没有统一的参照系，角的表示不方便2、象限角的概念（1）直角坐标系（2）象限角和轴线角例2、在直角坐标系中，作出下面各组角的终边（1）30°、390°、－330°（2）150°、510°、－210°、－570°（3）－32°、－392°、328°分析：每组角的终边相同3、终边相同的角（1）概念（2）与角α终边相同的角β的集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}例3、与950°21 终边相同的角的集合是，它是第象限角，它们中最小正角是例4、写出终边在y轴上的角的集合例5、经过3小时20分，时针转过的角度是，分针转过的角度是。
例6、写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把集合中满足不等式－720°≤β＜360°的角β全部写出来四、课堂小结：1、任意角的概念：2、象限角与终边相同的角五、课堂练习：P6 T3、4、5六、作业：P10 T1、2、3（3）（4）（6）。
《任意角和弧度制》高二数学教案
《任意角和弧度制》高二数学教案自己整理的《任意角和弧度制》高二数学教案相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！教案[1]教学准备教学目标第一，知识和技能(1)理解和掌握弧系的定义；(2)了解弧系定义的合理性；(3)掌握并应用弧系表示的弧长公式和扇面积公式；(4)熟练转换角系和弧系；(5)角的集合和实数的集合是一一对应的。
(6)通过对弧系的学习，学生可以理解和认识到，角系和弧系都是对角线测量方法，它们是辩证统一的，而不是孤立碎片的。
二、流程和方法创设情境，介绍弧系测角，理解掌握弧系定义，理解定义的合理性。
根据弧系的定义，推导并使用弧长公式和扇形面积公式。
用具体例子学习角系和弧系的相互转换，正确使用计算器。
第三，形态和价值通过本节的学习，学生可以掌握测量角度的另一个单位系统——圆弧系统，并理解和认识到，角系统和圆弧系统都是对角线测量方法，是辩证统一的，而不是孤立分离的。
角的概念推广后，在弧系下，建立了角集合与实数集合的一一对应关系，即每个角都有一个实数(即这个角的弧度数)，依次每个实数也有一个与之对应的角(即弧度数等于这个实数的角)，为下一节学习三角函数做准备。
教学重点和难点Focus :理解并掌握弧线系统的定义；精通角系与弧系的转换；电弧系统的应用。
难点：了解arc系统的定义和应用。
教学工具投影仪等教学过程首先，创设情境，引入新课程老师：有人问：海口到三亚距离250公里左右的时候，别人回答160英里左右。
哪个答案正确？(称为1英里=1.6公里)很明显，两个答案都是对的，但是为什么会有不同的价值观呢？这是因为使用的测量系统不同，一个是公里系统，另一个是英里系统。
它们的长度单位是不一样的，但是可以在它们之间换算：1英里=1.6公里。
在角度的测量中，有一个类似的情况，一个是我们不再熟悉的角度系统，另一个是我们将在这个类中研究的角度测量系统——圆弧系统。
第二，解释新课1.角度系统：把一个圆分成360个部分，每个部分叫1度，所以一周等于360度，直角等于180度，直角等于90度，以此类推。
任意角和弧度制教学设计
教学设计§任意角和弧度制设计教师李生一、内容及其解析（一）内容：任意角，弧度制（二）解析:本节内容是必修4第一章《三角函数》的第一节，本章在锐角三角函数的基础上，利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，并用集合与对应的语言来刻画。
这样，在研究三角函数之前，就由必要先将角的概念推广，并引入弧度制，从而建立角的集合与实数集之间的对应关系。
利用集合直观有利于抽象概念的理解，教科书充分结合角和单位圆来引导学生了解任意角及弧度制概念，同时，还利用直角坐标系建立象限角的概念，使得任意角的讨论有了一个统一的载体，教学中，要特别注意利用单位圆，直角坐标系等工具，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题。
《弧度制》是选自人民教育出版社,普通高中课程标准实验教科书数学版必修4,第一章,第一小节第二课时内容，通过本节课的学习，学生将掌握角度的的另一种度量方式，为以后三角函数的引入做准备，因此本节概念课起着承上启下的作用。
二、目标及其解析1．结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；3．能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示；4．在角的概念的推广的过程中，树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；5．通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力；6．通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；7.理解1弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算.8.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力三、问题诊断分析1．学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；2．学生在学习了教材例1后，做P6第4题，仍然感到困难，其原因是：当角为负角时，在00～3600范围内找出终边相同的角，不知怎样计算，教学时应给学生介绍计算方法； 3．学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释k ·3600的运用特点。
人教版高二数学《任意角和弧度制》教案
教案【一】教學準備教學目標一、知識與技能(1)理解並掌握弧度制的定義;(2)領會弧度制定義的合理性;(3)掌握並運用弧度製錶示的弧長公式、扇形面積公式;(4)熟練地進行角度制與弧度制的換算;(5)角的集合與實數集之間建立的一一對應關係.(6)使學生通過弧度制的學習，理解並認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統一的，而不是孤立、割裂的關係.二、過程與方法創設情境,引入弧度制度量角的大小,通過探究理解並掌握弧度制的定義,領會定義的合理性.根據弧度制的定義推導並運用弧長公式和扇形面積公式.以具體的實例學習角度制與弧度制的互化,能正確使用計算器.三、情態與價值通過本節的學習，使同學們掌握另一種度量角的單位制---弧度制，理解並認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統一的，而不是孤立、割裂的關係.角的概念推廣以後,在弧度制下,角的集合與實數集之間建立了一一對應關係:即每一個角都有的一個實數(即這個角的弧度數)與它對應;反過來，每一個實數也都有的一個角(即弧度數等於這個實數的角)與它對應，為下一節學習三角函數做好準備.教學重難點重點:理解並掌握弧度制定義;熟練地進行角度制與弧度制地互化換算;弧度制的運用.難點:理解弧度制定義，弧度制的運用.教學工具投影儀等教學過程一、創設情境，引入新課師：有人問：海口到三亞有多遠時，有人回答約250公里，但也有人回答約160英里，請問那一種回答是正確的?(已知1英里=1.6公里)顯然，兩種回答都是正確的，但為什麼會有不同的數值呢?那是因為所採用的度量制不同，一個是公里制，一個是英里制.他們的長度單位是不同的，但是，他們之間可以換算：1英里=1.6公里.在角度的度量裏面，也有類似的情況，一個是角度制，我們已經不再陌生,另外一個就是我們這節課要研究的角的另外一種度量制---弧度制.二、講解新課1.角度制規定：將一個圓周分成360份，每一份叫做1度，故一周等於360度，平角等於180度，直角等於90度等等.弧度制是什麼呢?1弧度是什麼意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等於多少弧度?弧度制與角度制之間如何換算?請看課本，自行解決上述問題.2.弧度制的定義長度等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).(師生共同活動)探究:如圖,半徑為的圓的圓心與原點重合,角的終邊與軸的正半軸重合,交圓於點,終邊與圓交於點.請完成表格.我們知道，角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分，如-π，-2π等等，一般地,正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0,角的正負主要由角的旋轉方向來決定.角的概念推廣以後,在弧度制下,角的集合與實數集R之間建立了一一對應關係:即每一個角都有的一個實數(即這個角的弧度數)與它對應;反過來，每一個實數也都有的一個角(即弧度數等於這個實數的角)與它對應.四、課堂小結度數與弧度數的換算也可借助“計算器”《中學數學用表》進行;在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略如：3表示3radsinp表示prad角的正弦應確立如下的概念：角的概念推廣之後，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數的集合之間建立一種一一對應的關係。
1.1任意角和弧度制教案
名师课堂班组教案教学过程具体步骤课堂反馈时间主体（老师或学生）教师活动及语言能力培养学生活动及语言1、快乐课堂2、复习上节课内容，讲解作业3、导入新课程4、讲解新课程5、学生课堂练习6、讲解问题及课堂互动7、新的课程内容讲解8、学生课堂练习9、讲解问题互动回答10、总结课程布置作业[预习导引]1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形．(2)角的表示方法：①常用大写字母等表示；②也可以用希腊字母、、等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母表示．(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角[知识链接]1．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小时，又如何校准？答案可将分针顺时针方向旋转°；可将时针逆时针方向旋转°.2．在初中角是如何定义的？3．初中所学角的范围是什么？答案角的范围[ °，°]例4 写出终边落在阴影部分的角的集合．规律方法解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．本题还要注意实线边界与虚线边界的差异．跟踪演练4如图，若角α的终边落在函数y＝x(x≥0)与y＝－x(x≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内，求角α的集合．规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．要点六 用弧度制表示终边相同的角例6 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.规律方法 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系跟踪演练6 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.当堂检测1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°＜β＜180°}，则A ∩B 等于( ) A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________. 4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S .5．时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 rad C.π12 rad D ．－π12rad 6．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________． 7．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或48．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．。
《任意角、弧度》教学设计
授课科目：数学
学生年 级：高一
授课教师：
授课日期：
教学目标
1.使学生理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角;
2.能在0°~360°范围内,找出一个与已知角终边相同的角,并判定其为第几象限角;
3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.
4.使学生理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数;
题型二 三角函数的定义
例2:已知角α的终边经过点P(x，－ ) (x≠0)，且cosα＝ x，求sinα＋ 的值．
变式训练：已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
例3：已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
5.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系
6.掌握弧度制下的弧长公式,会利用弧度制解决某些简单的实际问题.
8.会由给定条件求角的集合,并将其化成最简形式;
9.会由角终边所在阴影的图形,求出角的集合.
教学重难点
重点——终边相同的角的表示;
难点——判断所给角属于第几象限.
重点——理解弧度制的概念;
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
三、拓展延伸
1．若点P在角 的终边上，且OP＝2，则点P的坐标是_________________________．
2．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－ ，则y＝________.
3．若4π<α<6π且α与－ π终边相同，则α＝________.
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任意角和弧度制教案((主备陆明东)数学组集体备课教案学年度：20XX至20XX学年度第二学期学校：望谟民族中学备课组：高一年级备课组教材：数学必修4 应用班级：高一班应用教师：陆明东1主备教师课题陆明东备课时间 20XX年3月24日授课时间§任意角和弧度制本小节是三角函数章节的开篇知识，是后继三函数相关知识和相关思想的基础，为学生学习本章后继知识作分析好知识上的准备。
学情学生在初中学过00～3600的角，同时学过锐角的三度函数，掌握特殊分析锐角的三角函数值。
(1)知识与技能：角的概念的推广，了解弧度制的定义、会进行特殊角的角度与弧度之间的相互转换，识记弧长公式和扇形的面积公式。
(2)过程与方法：从静态和动态两个角度定义角。
度量角可以通过角度制和弧度制 (3)情感态度与价值观：让学生意识到角的推广是来自于对世界认识的需要，通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度，知识生活，应用于生活。
三维目备课标标角的概念的推广，度量计算。
难终边相同的角的表示问题，角度与弧度的度量和计算。
点备考点考点一：象限角问题考点二：弧长公式、扇形面积公式 2备学生问题 1计算终边相同的角的集合容易产生问题、计算不准 2 角的合并 3 角度制和弧度制的换算忽视单位一、情境引入：一、从八大行星自转说起，二、课本“思考”部分： 1 ：手表慢了怎么校准 2：手表快了怎么校准 3：你知道分针走了5个小格时他所旋转过的角度是多少么？4：你知道一天中分针和时针在00:00-----24:00重合过几回么？一、谈谈你对角的认识在生产和生活中你知道哪些角的实例范围超出了初中的所学的角的范围？二、新授角的概念复习； 1角的概念：两种概念2角的构成： 3 角的表示: 任意角： 1正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角 2负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 3零角：象限角：角的分类：象限角轴线角 (四)终边相同的角的集合：所有与终边相同的角，边同角在内，可构成一个集合s|3600,Z, 即任一与角张边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和【思考探究】 (1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？(2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角备教材以班上钟表为教具。
在认识角方面从两射线定义到一射线旋转的提升。
终边相同的角是学生认识上的难点，对照例1至例3要让学生做相应的练习。
3 是锐角吗？000例1、在0～360范围内，找与–95012′角终边相同的角，并判定它是第几象限角。
例2 写出终边在y轴上的角的集合。
例3写出终边在直线y=x上的角的集合S并把S中适合不等式–3600≤≤3600的元素写出来。
学生课堂动二、课后练习：P5练习1～5 笔做习题三、小结： 1任意角 2象限角与轴线角 3终边相同的角的表针对性的作示。
业，让学生课四、课后作业： P9A组1、2、3、4 后完成五、教学反思：教学反思是总结教学经验，提升教学理论水平的有效方式。
一、复习引入：角的推广、从不同的单位制引入角的另一种单位制——弧度制。
二、新授：角度制1角度制和弧度制弧度制2弧度：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。
3、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
44：弧长公式:l||r ||l r5：弧度制与角度制的相互转换：180rad 36002rad,1800rad,10018001rad 三、例例1按照下列要求，反67°30′化成弧度：精确值；精确到的近似值。
例2 将换算成角度。
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式： lR (2)SR2 (3)SlR 四、练习P9练习1～6 五、课堂小结角度制与弧度制的概念及其互化六、课后作业 P10 A组7、8 七、教学反思51212 1．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第________象限角．解析：当k＝2n时，α＝n·360°＋45°，当k ＝(2n＋1)时，α＝n·360°＋225°，∴α为第一或第三象限角． 2．终边与坐标轴重合的角α的集合为( ) A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°，k∈Z} C．{α|α＝k·90°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 3.已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l. (2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？经典题解析： (1)α＝60°＝ rad， l ＝α·R＝×10＝ cm. (2)题意得l＋2R＝20， l＝20－2R(0＜R＜10)．S扇＝l·R＝(20－2R)·R＝(10－R)·R＝－R2＋10R. 当且仅当R＝5时，S有最大值25. 此时l＝20－2×5＝10，α＝＝＝2 rad.当α＝2 rad时，扇形面积取最大值．【变式训练】 2.解答下列各题： (1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，依题意有①代入得r2－5r＋4＝0，①代入得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4.当r＝1 cm时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去；当r＝4 cm 时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝rad. (2)α＝×72＝πS＝α·r2＝×π×202＝80π(cm2)扇形的面积为80π cm2.6数学组集体备课教案学年度：20XX至20XX学年度第二学期学校：望谟民族中学备课组：高一年级备课组教材：数学必修4 应用班级：高一班应用教师：陆明东1主备教师课题陆明东备课时间 20XX年3月24日授课时间§任意角和弧度制本小节是三角函数章节的开篇知识，是后继三函数相关知识和相关思想的基础，为学生学习本章后继知识作分析好知识上的准备。
学情学生在初中学过00～3600的角，同时学过锐角的三度函数，掌握特殊分析锐角的三角函数值。
(1)知识与技能：角的概念的推广，了解弧度制的定义、会进行特殊角的角度与弧度之间的相互转换，识记弧长公式和扇形的面积公式。
(2)过程与方法：从静态和动态两个角度定义角。
度量角可以通过角度制和弧度制 (3)情感态度与价值观：让学生意识到角的推广是来自于对世界认识的需要，通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度，知识生活，应用于生活。
三维目备课标标角的概念的推广，度量计算。
难终边相同的角的表示问题，角度与弧度的度量和计算。
点备考点考点一：象限角问题考点二：弧长公式、扇形面积公式 2备学生问题 1计算终边相同的角的集合容易产生问题、计算不准 2 角的合并 3 角度制和弧度制的换算忽视单位一、情境引入：一、从八大行星自转说起，二、课本“思考”部分： 1 ：手表慢了怎么校准 2：手表快了怎么校准 3：你知道分针走了5个小格时他所旋转过的角度是多少么？4：你知道一天中分针和时针在00:00-----24:00重合过几回么？一、谈谈你对角的认识在生产和生活中你知道哪些角的实例范围超出了初中的所学的角的范围？二、新授角的概念复习； 1角的概念：两种概念2角的构成： 3 角的表示: 任意角： 1正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角 2负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 3零角：象限角：角的分类：象限角轴线角 (四)终边相同的角的集合：所有与终边相同的角，边同角在内，可构成一个集合s|3600,Z, 即任一与角张边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和【思考探究】 (1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？(2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角备教材以班上钟表为教具。
在认识角方面从两射线定义到一射线旋转的提升。
终边相同的角是学生认识上的难点，对照例1至例3要让学生做相应的练习。
3 是锐角吗？000例1、在0～360范围内，找与–95012′角终边相同的角，并判定它是第几象限角。
例2 写出终边在y轴上的角的集合。
例3写出终边在直线y=x上的角的集合S并把S中适合不等式–3600≤≤3600的元素写出来。
学生课堂动二、课后练习：P5练习1～5 笔做习题三、小结： 1任意角 2象限角与轴线角 3终边相同的角的表针对性的作示。
业，让学生课四、课后作业： P9A组1、2、3、4 后完成五、教学反思：教学反思是总结教学经验，提升教学理论水平的有效方式。
一、复习引入：角的推广、从不同的单位制引入角的另一种单位制——弧度制。
二、新授：角度制1角度制和弧度制弧度制2弧度：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。
3、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
44：弧长公式:l||r ||l r5：弧度制与角度制的相互转换：180rad 36002rad,1800rad,10018001rad 三、例例1按照下列要求，反67°30′化成弧度：精确值；精确到的近似值。
例2 将换算成角度。
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式： lR (2)SR2 (3)SlR 四、练习P9练习1～6 五、课堂小结角度制与弧度制的概念及其互化六、课后作业 P10 A组7、8 七、教学反思51212 1．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第________象限角．解析：当k＝2n时，α＝n·360°＋45°，当k ＝(2n＋1)时，α＝n·360°＋225°，∴α为第一或第三象限角． 2．终边与坐标轴重合的角α的集合为( ) A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°，k∈Z} C．{α|α＝k·90°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 3.已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l. (2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？经典题解析： (1)α＝60°＝ rad， l ＝α·R＝×10＝ cm. (2)题意得l＋2R＝20， l＝20－2R(0＜R＜10)．S扇＝l·R＝(20－2R)·R＝(10－R)·R＝－R2＋10R. 当且仅当R＝5时，S有最大值25. 此时l＝20－2×5＝10，α＝＝＝2 rad.当α＝2 rad时，扇形面积取最大值．【变式训练】 2.解答下列各题： (1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，依题意有①代入得r2－5r＋4＝0，①代入得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4.当r＝1 cm时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去；当r＝4 cm 时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝rad. (2)α＝×72＝πS＝α·r2＝×π×202＝80π(cm2)扇形的面积为80π cm2.6。