(精选3份合集)2020届新疆乌鲁木齐市名校高考数学模拟试卷

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2020届新疆乌鲁木齐一模数学(文科)试卷及答案

A．[4 3ln3 ， ) B．[5 3ln3 ， ) C．[2 ， 5ln3]
D．[2 ， 6ln2]
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
13．（5
分）已知单位向量
a,
b
满足
a(a
2b )
2
，则向量
a,
b
夹角的大小为
．
14．（5 分）已知点 C 是圆 x2 y2 4x 4y 7 0 圆心，点 M 在直线 3x 4 y 6 0 上，则 | MC | 的最小值为． 15．（5 分）造纸术是我国古代四大发明之一．纸张的规格是纸张制成之后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以 A0 ， A1，， A10 ；B0 ，B1 ，，B10
则 S4 (
)
A．8
B．12
C．16
第 7页（共 21页）
A．若 m / / ， n / / ，则 m / /n
B．若，且 m ，则 m
C．若 m ， n ， m / / ， n / / ，则 / / D．若 m ， n / / ，，则 mn 【解答】解： A ．若 m / / ， n / / ，则 m / /n ，相交，或为异面直线，因此不正确；
（Ⅱ）若 f (x) 在定义域内为单调函数，求实数 a 的取值范围．
21．（12
分）已知椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左焦点为 F (1, 0) ，其四个顶点围成的四边
形面积为 2 6 ．
（Ⅰ）求曲线 E 的方程；
（Ⅱ）过点 F 的直线 l 与曲线 E 交于 A ，B 两点，设 AB 的中点为 M ，C 、D 两点为曲线 E

2020届新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷(理科)(有答案)(已审阅)

新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅2．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（）A．﹣1 B．C．D．13．等差数列{a n}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．104．“log2a＞log2b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．53 B．54 C．158 D．2636．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．y=sin22x﹣cos22xC．y=sin2x+cos2x D．y=sin2xcos2x7．已知实数x，y满足，则z=﹣3x﹣y的最大值为（）A．﹣19 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣48．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．2109．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2πB．8+3πC．10+2πD．10+3π10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A．B．2 C．D．11．球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（）A．B．πC．D．12．已知对任意实数k＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．14．学校拟安排六位老师至5 月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值5月2日，李老师不能值5月3日的班，则满足此要求的概率为．15．若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|PC|的最小值为．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n，则f（a5）+f（a6）=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证平面AEC1⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）若AA1=AB，求二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值．19．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y=bx+a，②y=ce dx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（cm）60708090100110体重y（kg）68101415180.410.01 1.21﹣0.190.41﹣0.360.070.12 1.69﹣0.34﹣1.12（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．20．在平面直角坐标系xOy中，M，N是x轴上的动点，且|OM|2+|ON|2=8，过点M，N分别作斜率为的两条直线交于点P，设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点Q（1，1）的两条直线分别交曲线E于点A，C和B，D，且AB∥CD，求证直线AB的斜率为定值．21．设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣2时，讨论f（x）的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=1时，求y=f（x）图象与直线y=3围成区域的面积；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅【考点】15：集合的表示法．【分析】化简集合A，即可得出集合A，B的关系．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），B={x|1＜x＜3}，∴A⊆B．故选：C．2．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求得m值．【解答】解：∵为纯虚数，∴，得m=1．故选：D．3．等差数列{a n}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．4．“log2a＞log2b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵．反之不成立，可能0＞a＞b．故选：A．5．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．53 B．54 C．158 D．263【考点】EF：程序框图．【分析】【方法一】根据正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求出n的最小值．【方法二】按此歌诀得算法的程序框图，按程序框图知n的初值，代入循环结构求得n的值．【解答】解：【方法一】正整数n被3除余2，得n=3k+2，k∈N；被5除余3，得n=5l+3，l∈N；被7除余4，得n=7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n=263﹣105﹣105=53，即输出n值为53．故选：A．6．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．y=sin22x﹣cos22xC．y=sin2x+cos2x D．y=sin2xcos2x【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、周期性，得出结论．【解答】解：∵cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，故排除A；∵y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x，是偶函数，且，故B满足条件；∵y=sin2x+cos2x=sin（2x+）是非奇非偶函数，故排除C；∵y=sin2xcos2x=sin4x是奇函数，故排除D，故选：B．7．已知实数x，y满足，则z=﹣3x﹣y的最大值为（）A．﹣19 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣4【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，联立，解得A（2，﹣1），化目标函数z=﹣3x﹣y为y=﹣3x﹣z，由图可知，当直线z=﹣3x﹣y过点A（2，﹣1）时，z=﹣3x﹣y有最大值，最大值为﹣5．故选：C．8．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．210【考点】7F：基本不等式．【分析】x，y∈R，x2+y2+xy=315，可得x2+y2=315﹣xy≥2xy，因此xy≤105．即可得出．【解答】解：∵x，y∈R，x2+y2+xy=315，∴x2+y2=315﹣xy，315﹣xy≥2xy，当且仅当x=y=±时取等号．∴xy≤105．∴x2+y2﹣xy=315﹣2xy≥315﹣210=105．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2πB．8+3πC．10+2πD．10+3π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，即可求出表面积．【解答】解：根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，所以表面积．故选D．10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c﹣a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S=|AF2|•|F1F2|=r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=，，则离心率e==，故选A．11．球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（）A．B．πC．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出圆心到截面距离，利用d2+r2=1求出截面半径，即可求出截面的面积．【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由V O﹣ACM =V M﹣AOC，即，∴，又d2+r2=1，∴，所以截面的面积为．故选D．12．已知对任意实数k＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，画出函数的大致图象，结合图象求出a的范围，从而确定a的最大整数值即可．【解答】解：令，依题意，对任意k＞1，当x＞0时，y=f（x）图象在直线y=k（x﹣a）下方，，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增递减y=f（x）的大致图象：则当a=0时，∵f'（0）=2，∴当1＜k＜2时不成立；当a=﹣1时，设y=k0（x+1）与y=f（x）相切于点（x0，f（x0））．则，解得．∴，故成立，∴当a∈Z时，a max=﹣1．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设向量，的夹角为θ，根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵，∴，∵为单位向量，即，∴4﹣4cosθ+1=2，∴．故答案为：．14．学校拟安排六位老师至5 月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值5月2日，李老师不能值5月3日的班，则满足此要求的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】六位老师值班每天两人的排法有种，求出满足要求的排法有42种，即可求出概率．【解答】解：六位老师值班每天两人的排法有种，满足要求的排法有：第一种情况，王老师和李老师在同一天值班，则只能排在5月1号，有种；第二种情况，王老师和李老师不在同一天值班，有种，故共有42种．因此满足此要求的概率．故答案为．15．若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|PC|的最小值为3．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：由于点C为抛物线的焦点，则|PC|等于点P到抛物线准线x=﹣2的距离d．又圆心C到抛物线准线的距离为4，则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3．当点P为原点，Q为（1，0）时取等号．故|PQ|+|PC|得最小值为3．故答案为：3．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n，则f（a5）+f（a6）=3．【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知求得函数周期，再由数列递推式求出数列通项，求得a5、a6的值，则答案可求．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又∵，∴．∴．∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1，则a n=2a n﹣2a n﹣1+1，即a n=2a n﹣1﹣1，∴a n﹣1=2（a n﹣1﹣1）（n≥2），则，∴．上式对n=1也成立．∴a5=﹣31，a6=﹣63．∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得到a2+b2﹣c2=﹣ab，由此利用余弦定理能求出．（Ⅱ）由正弦定理求出a=2sinA，b=2sinB．由此利用正弦加法定理求出周长l=，由此能求出△ABC周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．∴由已知，得，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴，由0＜C＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴a=2sinA，b=2sinB．设周长为l，则==∵，∴2＜2sin（A+）+≤2+，∴△ABC周长的最大值为．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证平面AEC1⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）若AA1=AB，求二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；L Y：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取AC，AC1的中点O，F，推导出四边形OBEF是平行四边形，从而OB ∥EF．推导出OB⊥面ACC1A1，从而EF⊥平面ACC1A1，由此能证明平面AEC1⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）分别取AC，AC1的中点O，F，连结OB，OF，EF，则OF BE，∴四边形OBEF是平行四边形，∴OB∥EF．∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，ABC是正三角形，O是AC的中点，∴OB⊥面ACC1A1，∴EF⊥平面ACC1A1，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）建立如图O﹣xyz空间直角坐标系，设AA1=AB=2，则，，设平面AEC的法向量为，平面AEC1的法向量为，则有，，得，设二面角C﹣AE﹣C1的平面角为θ，则．∴二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值为．19．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y=bx+a，②y=ce dx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（cm）60708090100110体重y（kg）68101415180.410.01 1.21﹣0.190.41﹣0.360.070.12 1.69﹣0.34﹣1.12（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得.10﹣10.39=﹣0.39，即可求表中空格内的值；（Ⅱ）求出残差的绝对值和，即可得出结论；（Ⅲ）确定残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程．【解答】解：（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得.10﹣10.39=﹣0.39．所以表中空格内的值为﹣0.39．（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62，模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62＜3.7，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：，．得回归方程为y=0.24x﹣8.76．20．在平面直角坐标系xOy中，M，N是x轴上的动点，且|OM|2+|ON|2=8，过点M，N分别作斜率为的两条直线交于点P，设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点Q（1，1）的两条直线分别交曲线E于点A，C和B，D，且AB∥CD，求证直线AB的斜率为定值．【考点】J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）求出M，N的坐标，利用|OM|2+|ON|2=8求曲线E的方程；（Ⅱ）利用点差法，求出CD的斜率，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：设P（m，n），直线，令y=0，得，直线，令y=0，得．∴．∴曲线E的方程是；（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，设，A（x A，y A），B（x B，y B），C （x C，y C），D（x D，y D），则（1﹣x A，1﹣y A）=λ（x C﹣1，y C﹣1），即x A=1+λ﹣λx C，y A=1+λ﹣λy C①，同理x B=1+λ﹣λx D，y B=1+λ﹣λy D②将A（x A，y A），B（x B，y B），代入椭圆方程得，化简得3（x A+x B）（x A﹣x B）=﹣4（y A+y B）（y A﹣y B）③把①②代入③，得3（2+2λ）（x C﹣x D）﹣3λ（x C+x D）（x C﹣x D）=﹣4（2+2λ）（y C﹣y D）+4λ（2+2λ）（y C+y D）（y C﹣y D）将C（x C，y C），D（x D，y D），代入椭圆方程，同理得3（x C+x D）（x C﹣x D）=﹣4（y C+y D）（y C ﹣y D）代入上式得3（x C﹣x D）=﹣4（y C﹣y D）．即，∴直线AB的斜率为定值21．设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣2时，讨论f（x）的零点个数．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（e﹣a），由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的单调性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零点，取，则，根据函数的零点存在定理讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2（x﹣1）（lnx+a）（x＞0）．①当a=0时，f'（x）=2（x﹣1）lnx，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＞0．当x=1时，f'（x）=0．∴f（x）在（0，+∞）递增；②当a＞0时，令f'（x）=0，得，此时e﹣a＜1．易知f（x）在（0，e﹣a）递增，（e﹣a，1）递减，（1，+∞）递增；③当a＜0时，e﹣a＞1．易知f（x）在（0，1）递增，（1，e﹣a）递减，（e﹣a，+∞）递增．（Ⅱ）当a＜﹣2时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）上递增，（1，e﹣a）上递减，（e﹣a，+∞）上递增，且，将x=e﹣a代入f（x），得，∵a＜﹣2，∴f（e﹣a）＜0．下面证明当x∈（0，1）时存在x0，使f（x0）＜0．首先，由不等式lnx＜x﹣1，∴，∴，∴．考虑到x2﹣2x=x（x﹣2）＜0，∴．再令，可解出一个根为，∵a＜﹣2，∴，∴，就取．则有f（x0）＜0．由零点存在定理及函数f（x）在（0，1）上的单调性，可知f（x）在（0，1）上有唯一的一个零点．由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的单调性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零点．下面证明在x∈（e﹣a，+∞）上，存在x1，使f（x1）＞0，就取，则，∴，由不等式e x＞x+1，则e﹣a+a＞（﹣a+1）+a＞0，即f（x1）＞0．根据零点存在定理及函数单调性知f（x）在（e﹣a，+∞）上有一个零点．综上可知，f（x）当a＜﹣2时，共有3个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，即可讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，联立得，即可求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．【解答】解：（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，∴当时，直线l与圆C有1个公共点；当时，直线l与圆C有2个公共点（Ⅱ）依题意，点P在以OA为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为．联立得．∴点P的轨迹与圆C相交所得弦长是．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=1时，求y=f（x）图象与直线y=3围成区域的面积；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【考点】5B：分段函数的应用；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）当a=1时可写出f（x）的解析式，进而可从图象上看出围成的区域即为三角形，计算即得结论；（Ⅱ）分与两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=，其图象如图所示，易知y=f（x）图象与直线y=3交点坐标，所以围成区域的面积为 [1﹣（﹣1）]×（3﹣）=．（Ⅱ）当，即时，．所以，所以﹣a﹣1=1，解得a=﹣，满足题意；当，即时，，所以f（x）min=f（）=|+a|=+a=1，解得a=，满足题意；综上所述，或．。

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷1(问卷) (含答案解析)

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷1（问卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设i 为虚数单位，则复数3−4i i=( )A. −4−3iB. −4+3iC. 4+3iD. 4−3i 2. 集合A ={x |−2<x <3}，B ={x ∈Z |x 2−5x <0}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {2,3，4}3. 命题“∀x ∈(0,π2)，tanx >0”的否定是( )A. ∃x 0∈(0,π2)，tanx 0≤0 B. ∃x 0∉(0,π2)，tanx 0≤0 C. ∀x ∈(0,π2)，tanx ≤0 D. ∃x 0∈(0,π2)，tanx 0>0 4. 在等差数列{a n }中，a 1+a 5=8，a 4=7，则a 5=( )A. 11B. 10C. 7D. 3 5. 若角A 的终边过点(−4,−3)，则sin2A 的值为( )A. −2425B. −725C. 2425D. 7256. 某校5人参加头脑奥林匹克竞赛选拔考试，已知这5人的平均考试成绩为81分，其中4人的成绩分别为73分、82分、82分、84分，由这5人得分所组成的一组数据的中位数是( )A. 81B. 82C. 83D. 847. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E,F,G,H 分别为A 1D 1,C 1D 1,BC,C 1C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角大小等于( )．A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°8. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，且AB =4，BD =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 4 B. 2 C. 2√3 D. 14 9. 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p >0)上的两点，并且满足OA ⊥OB.则y 1y 2等于( ) A. −4p 2B. 4p 2C. −2p 2D. 2p 210. 四面体ABCD 的外接球为O ，AD ⊥平面ABC ，AD =2，∠ACB =30°，AB =√3，则球O 的表面积为( )A. 32πB. 16πC. 12πD.223π11. 已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，若E 上存在一点P 使得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，则E 的离心率的取值范围是( )A. [√52,+∞) B. (1,√52] C. [√5,+∞) D. (1,√5]12. 若函数f(x)=|4x −x 2|+2a −8至少有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,3)B. (−∞,3]C. [2,3)D. [2,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 今有四张卡片上分别写有“好”、“好”、“学”、“习”四个字，现将其随机排成一行，则恰好排成“好好学习”的概率是 _______．14. 已知 f(x)是定义在R 上的奇函数，当 x <0时，f(x)=log 2(2−x)，则f(0)+f(2)=______． 15. 若函数y =2cosωx 在区间[0,2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是____． 16. 设等差数列{a n }满足a 2=5，a 6+a 8=30，则数列{1a n 2−1}的前n 项的和等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，cosA =√33，c =√3，a =3√2． (Ⅰ)求sin C 的值； (Ⅱ)求△ABC 的面积．18. 某学校在高二年级学生中进行了一次有关数学学习时长与学习效果的跟踪调查，为期一个月，共调查了120人.其中日平均学习数学时间超过40分钟的有70人，不超过40分钟的有50人.在一个月后的月考成绩中，日平均学习数学时间超过40分钟的学生中有42人成绩提升，不超过40分钟的学生中有18人成绩提升． (Ⅰ)根据以上数据建立一个2×2的列联表； 2×2的列联表：有提升没有提升合计超过40分钟不超过40分钟合计(Ⅱ)画出等高条形图；(Ⅲ)检验学习时长是否与成绩提升有关，可靠性有多大．P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k 2.7063.8415.0246.63510.828，其中n=a+b+c+d.附：K2=2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°(1)证明：AB⊥A1C(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求点A到平面BB1C1C的距离．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0),离心率为e=12.(1)求椭圆的方程:(2)设直线y=kx+1与椭圆相交于A.B两点.M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,求k的值.21.已知函数f(x)=2x−e x+1(Ⅰ)求f(x)的最大值；(Ⅱ)已知x∈(0,1),af(x)<tanx,求a的取值范围。

【附20套高考模拟试题】2020届新疆乌鲁木齐七十中高考数学模拟试卷含答案

2020届新疆乌鲁木齐七十中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断错误的是（）A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．323B ．163C ．83D ．433．已知函数()2sin f x x ω=(0)>ω在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上是增函数，其在区间[0,]π上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．35,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 4．已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-5．当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1A C 上运动时，异面直线BP 与1AD 所成角的取值范围是（）A．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知命题p：“,a b a b∀>>”，命题q：“00,20xx∃”，则下列为真命题的是（）A．p q∧B．p q⌝∧⌝C．p q∨D．p q∨⌝7．已知函数()()2ln3,21={21,1x xf xx x x-+-<≤---+>-，且()()212222f a a-+<()()2112142f a a---，则实数a的取值范围为（）A．()2,4B．()4,14C．()2,14D．()4,+∞8．若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是（）A．5 B．6 C．7 D．89．如图，在区域：224x y+≤内取一点，则该点恰好取自阴影部分（阴影部为“224x y+≤”与“22(1)(1)2x y-+-≤”的公共部分）的概率是（）A．1122π-B．11π-C．21π-D．1122π+10．已知单位向量12,e eu r u u r的夹角为θ，且tan22θ=1223m e e=-u r u r u u r，则||m=u r（）A．9 B．10 C．3 D1011．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88% ,70% ,46% ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%12．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ABCD 面积的最小值为（） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷2(问答) (含答案解析)

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷2（问答）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}，则A∪B=()A. (0,+∞)B. (0,1)C. (−1,+∞)D. (−1,0)2.已知i为虚数单位，若11+i=a+bi(a,b∈R)，则a b=()A. 1B. √2C. √22D. 23.已知0<a<b<1<c，则()A. a b>a aB. log c a>log c bC. c a<c cD. log b c>log b a4.设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是()A. 若l||α，l||β，则α||βB. 若l||α，l⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l⊥α，则l||βD. 若α⊥β，l||α，则l⊥β5.(2x+1)(1−1x )5的展开式的常数项是()A. −10B. −9C. 11D. 96.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6=2S3，则S12S3=()A. 3B. 4C. 13D. 157.在下列区间中，函数f(x)=√x−3x+4的零点所在的区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)8.将函数的图像向右平移12个单位长度后得到g(x)的图像，则()A. g(x)=sin(πx−12) B. g(x)=cosπxC. g(x)=sin(πx+12) D. g(x)=−cosπx9.正方体的边长为2，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为()A. 12πB. −125πC. 0D. 以上都不对10.函数f(x)=|x−1|−1，x∈[0,3]的值域是()A. [0,1]B. [0,3]C. [−1,0]D. [−1,1]11.已知点F为抛物线y2=x的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，x轴上一点M(−14,0)，若∠AMB=π4，则|AB|=()A. √3B. 2+2√2C. 3+2√2D. 312.若函数f(x)=(x+1)e x，则下列命题正确的是()A. 对任意m<−1e2 ，都存在x∈R，使得f(x)<mB. 对任意m>−1e2 ，都存在x∈R，使得f(x)<mC. 对任意x ∈R ，都存在m <−1e 2 ，使得f(x)<m D. 对任意x ∈R ，都存在m >−1e 2 ，使得f(x)<m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{1≤x +y ≤2x ≥0y ≥0，则z =2x +y 的最大值为______ ．14. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 中点，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=_． 15. 已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 1作斜率为√33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是______ ．16. 已知数列{a n }满足a 1=34，a n+1−a n =2n +1，则数列{1a n}的前100项和S 100=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c ，且asin 2A+B 2+csin 2B+C 2=54b ．(1)求ba+c 的；(2)若△ABC 的面积S =2√2，cosB =13，求△ABC 的周长．18. 如图，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥BC ，AB =BC =12PA ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(1)求证：OD//平面PAB ；(2)求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值．19.从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如．图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在0.3～0.5的概率为110(1)求a，b的值；(2)若某大学A专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考A专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对A专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学A专业的调查，记抽到的学生中视力在1.1～1.3的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．20. 已知椭圆x 25+y 24=1，过右焦点F 2的直线l 交椭圆于M ，N 两点．(Ⅰ)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−83，求直线l 的方程； (Ⅱ)若直线l 的斜率存在，线段MN 的中垂线与x 轴相交于点P(a,0)，求实数a 的取值范围．21. 已知函数f (x )=x 22+(1−k )x −klnx ．(Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)若k 为正数，且存在x 0，使得f (x 0)<32−k 2，求k 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为√3x −y +2√3=0，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2(sinθ+cosθ)． (1)求曲线C 的普通方程；(2)过点P(1,0)作直线l 的垂线交曲线C 于M ，N 两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x−2|−|2x−2|(Ⅰ)求不等式f(x)+1>0的解集；(Ⅱ)当x∈R时，f(x)<−x+a恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A ={x|x >0}， B ={x|x 2<1}={x|−1<x <1}， ∴A ∪B ={x|x >−1}=(−1,+∞)．故选：C ．先求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a ，b 的值，则答案可求．【解答】解：由11+i =1−i 1+i 1−i =12−12i =a +bi ，得a =12,b =−12， ∴a b =(12)−12=√12=√2．故选B ．3.答案：C解析：【分析】本题考查了不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．【解答】解：因为0<a <b <1<c ，所以a b <a a ，故A 错误； log c a <log c b ，故B 错误；构造函数f(x)=c x(c>1)，因为a<c，所以c a<c c，故C正确；log b c<log b a，故D错误．故选C．4.答案：B解析：【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，属于基础题．根据相关性质定理及判定定理逐一判断即可.【解答】解：若l//α , l//β，则平面α,β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l//α , l⊥β，根据线面平行的性质以及面面平行的判定定理，可得B正确；若α⊥β, l⊥α，则l可能在β内，故C错误；若α⊥β, l//α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B．5.答案：B解析：【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．(2x+1)(1−1x )5=(2x+1)·(1−5x+10·1x2−10·1x3+5·1x4−1x5)，分成两类相加，即可得到答案．【解答】解：(2x+1)(1−1x )5=(2x+1)·(1−5x+10·1x2−10·1x3+5·1x4−1x5)，故展开式中的常数项是2×(−5)+1=−9．故选B．6.答案：B解析：解：∵数列{a n}是等比数列，∴S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9构成等比数列，又S6=2S3，∴(S6−S3)2=S3⋅(S9−S6)，即S32=S3(S9−2S3)，得S9=3S3，再由S12−S9=S3⋅13=S3，得S12=S9+S3=4S3，∴S12S3=4．故选B．由等比数列的性质得到S3，S6−S3，S9−S6构成等比数列，再由等比中项的概念列式求得S9，然后由等比数列的通项公式可得S 12=4S 3，答案可求．本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n 项和，是中档题．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查，函数零点存在性定理，属于基础题．根据函数零点存在性定理分析求解即可．【解答】解：函数f (x)=√x −3x +4在[0,+∞)上连续，f(0)=3>0，f(1)=2>0，f(2)=√2−5<0，f(3)=√3−23<0，f(4)=−75<0，即f(1)·f(2)<0，故函数f (x)=√x −3x +4的零点所在的区间为(1,2)，故选B ．8.答案：D解析：【分析】本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，考查了诱导公式的应用，属于基础题．由条件利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，再结合诱导公式进行化简解析式，得出结论．【解答】解：将函数f(x)=sinπx 的图象向右平移12个单位长度后，得到g(x)=sin[π(x −12)]=sin(πx −π2)=−cosπx 的图象，故选：D ．9.答案：A解析：【分析】本题考查球的表面积的求法，正方体的外接球，属于简单题．由题得正方体的体对角线为球的直径，求得球半径R =√3，由此能求出球的表面积．【解答】解：∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，即球的直径为正方体的体对角线， ∴(2R)2=22+22+22=12，解得球半径R =√3，∴球的表面积S =4π(√3)2=12π．10.答案：D解析：【分析】本题考查函数值域的求法，属于基础题．判断单调性，代值计算可得答案．【解答】解：∵函数f(x)=|x −1|−1， x ∈[0,3]，∴当x =1时，f(x)min =f(1)=−1，当x =3时，f(x)max =f(3)=1，∴f(x)=|x −1|−1，x ∈[0,3]的值域为[−1,1]，故选D ．11.答案：C解析：解：设直线l 的方程为x =my +14，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x =my +14y 2=x ，消去x 并化简整理可得y 2−my −14=0， ∴y 1+y 2=m ，y 1y 2=−14，∴x 1x 2=y 12y 22=116，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+12=m 2+12， ∵tan∠AMB =tan(∠AMF +∠BMF)， ∴y 1x 1+14+−y 2x 2+141+y 1y 2(x 1+14)(x 2+14)=y 1(my 2+12)−y 2(my 1+12)(my 1+12)(my 2+12)+y 1y 2=12(y 1−y 2)(m 2+1)y 1y 2+12m(y 1+y 2)+14=2(y 1−y 2)m 2=1，∴2(y 1−y 2)=m 2，∴m 2=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√m 2+1，解得m 2=2+2√2∴|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+12=m 2+1=3+2√2，故选：C ．根据韦达定理，结合tan∠AMB =tan(∠AMF +∠BMF)，即可求出2(y 1−y 2)=m 2，根据弦长公式即可求出．本题考查了抛物线的性质、直线方程、直线与抛物线的交点，对学生的综合能力有很高的要求，属于中档题解析：【分析】本题考查命题的真假判断与应用、利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属中档题．对函数f(x)=(x+1)e x，求导数f′(x)，令f′(x)=0，求得x值，然后列表，根据导数符号即可判断极值点求得极值，即可得出正确答案．【解答】解：令f′(x)=(x+2)e x=0，得x=−2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞,−2)−2(−2,+∞)y′−0+y↘极小值↗所以，当x=−2时，函数有极小值，且f(−2)=−1e2 ，如图．故对任意m>−1e2 ，都存在x∈R，使得f(x)<m．故选B．13.答案：4解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然直线z =2x +y 过(2,0)时，z 最大，z 的最大值是4．画出满足条件的平面区域，结合图象求出z 的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14.答案：85解析：【分析】本题考查向量加法、向量数乘的几何意义，以及相等向量的概念，向量的数乘运算，向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理．【解答】解：如图，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−12μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以{λ−12μ=112λ+μ=1解得λ=65,μ=25，λ+μ=85 故答案为85．15.答案：√3解析：解：由题意，过焦点F1(−c,0)的直线l的方程为：y=√33(x+c)，∵直线l交双曲线右支于点P，且y轴平分线F1P，∴直l交y轴于点Q(0,√33c)．设点P的坐标为(x,y)，则x+c=2c，y=2√3c3，∴P点坐标(c,2√3c3)，代入双曲线方程得：c2a2−(2√3c3)2b2=1又∵c2=a2+b2，∴c2=3a2，∴c=√3a∴e=ca=√3故答案为：√3．先求过焦点F1(−c,0)的直线l的方程，进而可得P的坐标，代入双曲线方程，结合几何量之间的关系，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．16.答案：400201解析：【分析】本题考查了数列递推关系、累加法与裂项相消法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用已知的递推关系和累加法可得a n，即可得1a n，利用裂项求和方法即可得出S n，进而得解S100．【解答】解：∵a n+1−a n=2n+1，∴n≥2时，a n−a n−1=2n−1．∴a n=(a n−a n−1)+⋯+(a2−a1)+a1=(2n−1)+⋯+(2×2−1)+3 4=n2−14，(n≥2)当n=1时a1=34也满足上式，∴a n =n 2−14，(n ∈N ∗) ∴1a n=44n 2−1=2(12n−1−12n+1)，(n ∈N ∗).∴数列{1a n}的前n 项和S n =2[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=2(1−12n +1) =4n2n +1(n ∈N ∗). 所以数列{1a n}的前100项和S 100=400200+1=400201 故答案为：400201．17.答案：解：(1)∵在△ABC 中，asin 2A+B 2+csin 2B+C 2=54b ，∴a ×1−cos(A+B)2+c ×1−cos(B+C)2=5b 4，∴a +acosC +c +ccosA =5b 2，由正弦定理可得，sinA +sinC +sinAcosC +sinCcosA =52sinB ， ∴sinA +sinC +sin(A +C)=52sinB ，∴sinA +sinC +sinB =52sinB ，故sinA +sinC =32sinB ，由正弦定理，ba+c =sinBsinA+sinC =23．(2)∵cosB =13，∴sinB =2√23，∴面积S =12acsinB =2√2，∴ac =6，由余弦定理可得，13=a 2+c 2−b 22ac=(a+c)2−12−4(a+c)2912，∴a +c =12√55，b =8√55，故△ABC 的周长为a +c +b =4√5．解析：本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，是中档题． (1)由二倍角公式化简得a +acosC +c +ccosA =5b 2，再由正弦定理和两角和与差的三角函数公式可得sinA +sinC =32sinB ，即可得出ba+c 的值；(2)由面积S =12acsinB =2√2，得ac =6，由余弦定理可得a +c =12√55，则b =8√55，即可得出周长． 18.答案：证明：(1)∵点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，∴OD//PA又∵OD ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ∴OD//平面PAB ； (2)连接OB ，∵AB =BC ，点O 是AC 的中点，∴OB ⊥AC又∵OP ⊥底面ABC ．故可以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系令AB =BC =12PA =1，AB ⊥BC ，则OA =OB =OC =√22，OP =√142则O(0,0，0)，B(√22,0，0)，C(0,√22,0)，P(0,0，√142)，D(0,√24,√144)∴OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√24,√144)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−√142) 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面PBC 的一个法向量则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√22x +√22y =0√22y −√142z =0令z =1，则m ⃗⃗⃗ =(√7,√7,1) 直线OD 与平面PBC 所成角θ满足：sinθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21030 故直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为√21030解析：(1)根据三角形中位线定理可得OD//PA ，再由线面平行的判定定理得到OD//平面PAB ； (2)以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和直线OD 的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二面角的求法，熟练掌握空间线面关系判定的方法和步骤是解答(1)的关键．建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答(2)的关键．19.答案：解：(1)因为b ×0.2=0.1，所以b =0.50，因为(b +0.75+1.75+a +0.75+0.25)×0.2=1 所以a =1.00；(2)现按分层抽样的方法从视力在0.9以上中抽取8人，则0.9～1.1有4人，1.1～1.3有3人，1.5以上有1人ξ的可能取值为0，1，2，3，概率为：P(ξ=0)=C 53C 83=1056,P(ξ=1)=C 52⋅C 31C 83=3056，P(ξ=2)=C 51⋅C 32C 83=1556,P(ξ=3)=C 33C 83=156，所以其分布列如下：则E(ξ)=6356=98．解析：(1)由频率分布直方图求出求解a ，b 即可．(2)求出ξ可能的取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，由此能求出E(ξ)．本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．20.答案：解：(Ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，可得M(1,4√55)，N(1,−4√55)， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−165=−115，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =k(x −1)，① 椭圆x 25+y 24=1，②由①②可得(4+5k 2)x 2−10k 2x +5k 2−20=0， ∴x 1+x 2=10k 24+5k 2，x 1x 2=5k 2−204+5k 2，∴y 1y 2=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=k 2[5k 2−204+5k 2−10k 24+5k 2+1]=−16k 24+5k 2，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−11k 2−205k 2+4=−83，解得k 2=4， ∴k =±2，即直线l 的方程为y =2(x −1)或y =−2(x −1)； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =10k 34+5k 2−2k =−8k 4+5k 2，设MN 的中点为Q ，即Q(5k 24+5k 2,−4k4+5k 2)，∵k PQ ⋅k MN =−1，直线PQ 的方程是y +4k 4+5k =−1k (x −5k 24+5k )，令y =0解得x =a =k 25k 2+4=15+4k 2，当k =0时，M ，N 为椭圆长轴的两个端点，则点P 与原点重合，当k ≠0时，a ∈(0,15)，综上所述，存在点P 且a ∈[0,15).解析：(Ⅰ)讨论直线l 的斜率不存在和存在，设出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，求得斜率k ，即可得到所求直线方程；(Ⅱ)运用中点坐标公式可得MN 的中点Q 的坐标，k PQ ⋅k MN =−1，求得PQ 的方程，可令y =0，可得a 关于k 的关系式，讨论k 是否为0，即可得到所求范围．本题考查直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，考查两直线垂直的条件，以及分类讨论思想方法，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=x +1−k −kx=x 2+(1−k)x−kx=(x+1)(x−k)x，(ⅰ)k ≤0时，f′(x)>0， f(x)在(0,+∞)上单调递增； (ⅰ)k >0时，x ∈(0,k)，f′(x)<0； x ∈(k,+∞)，f′(x)>0， ∴f(x)在(0,k)上单调递减， f(x)在(k,+∞)上单调递增； (Ⅱ)因k >0，由(Ⅰ)知f(x)+k 2−32的最小值为f(k)+k 2−32=k 22+k −klnk −32，由题意得k 22+k −klnk −32<0，即k2+1−lnk −32k <0．令g(k)=k 2+1−lnk −32k ，则g′(k)=12−1k +32k2=k 2−2k+32k 2>0，∴g(k)在(0,+∞)上单调递增，又g(1)=0，∴k ∈(0,1)时，g(k)<0，于是k 22+k −klnk −32<0；k ∈(1,+∞)时，g(k)>0，于是k 22+k −klnk −32>0．故k 的取值范围为0<k <1．解析：本题主要考查利用导数求函数的单调性研及函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)求出函数的定义域，求导，讨论k 的取值，分别解出f′(x)>0，f′(x)<0即可得出； (Ⅱ)由(Ⅰ)可求得函数的最小值，f(x 0)<32−k 2，将其转化成k2+1−lnk −32k <0，构造辅助函数，判断其单调性，即可求得k 的取值范围．22.答案：解(1)由题意知ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，所以曲线C 的普通方程为：x 2+y 2−2x −2y =0． (2)∵直线l 的斜率为√3，∴直线MN 的斜率为：−√33，∴直线MN 的参数方程为：{x =1−√32ty =12t(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得t 2−t −1=0，设M ，N 对应的参数为t 1，t 2，则t 1+t 2=1，t 1t 2=−1， ∴1|PM|+1|PN|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√1+4=√5．解析：(1)由题意知ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，所以曲线C 的普通方程为：x 2+y 2−2x −2y =0； (2)先求出直线MN 的参数方程，再根据参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x −2|−|2x −2|，当x ≤1时，f(x)=−(x −2)+(2x −2)=x ， ∴不等式f(x)+1>0转化为x +1>0，解得−1<x ≤1；当1<x ≤2时，f(x)=−(x −2)−(2x −2)=−3x +4，∴不等式f(x)+1>0化为−3x +5>0，解得1<x <53；当x >2时，f(x)=(x −2)−(2x −2)=−x ，不等式f(x)+1>0化为−x +1>0，解得x ∈⌀；综上，不等式f(x)+1>0的解集为{x|−1<x <53}； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，函数f(x)={x,x ≤1−3x +4,1<x ≤2−x,x >2；画出f(x)的图象如图所示；由图象知，当x =1时，令f(x)<−x +a ，即1<−1+a ，解得a >2； ∴实数a 的取值范围是(2,+∞)．解析：(Ⅰ)利用分类讨论法去绝对值，求不等式f(x)+1>0的解集即可；(Ⅱ)利用分段函数画出f(x)的图象，结合图象求出不等式f(x)<−x +a 恒成立时a 的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，是中档题．。

2020届新疆乌鲁木齐一模数学(理科)试卷及答案

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B = )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z =)A ．2B ．3CD ．43．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n⊥4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有()A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<5．（5分）已知向量,a b 满足||2,||3a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-= )A ．3-B ．1-C ．1D ．36．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为()A ．2B C ．32D 7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．68．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是()A ．15B ．25C ．35D ．459．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S =)A ．16B ．31C ．32D ．6310．（5分）将奇函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是()A ．5(,)1212ππ-B ．5(,1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,1212ππ11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为()A ．24y x=B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x=12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩ ，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x + ，则实数m 的取值范围是()A ．[4，)+∞B．)+∞C ．[3，)+∞D．)+∞二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为．14．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α=．15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n nn a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩ ，2，)⋯，若33a =，则1a =．16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F的周长取得最小值③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ；④存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =．其中正确的命题是（填写所有正确的序号）三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若c =ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点2)，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+．选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C 的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率．23．函数()|22||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()25f x x + 的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++ ．2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B = )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)【解答】解：集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|14}B x x =<<，{|13}(1,3)A B x x ∴=<<= ．故选：D ．2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z =)A ．2B ．3CD ．4【解答】解：21(1)233321(1)(1)2i i iz i i i i i i i ++=-=-=-=---+，则|||2|2z =-=．故选：A ．3．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n⊥【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m n ⊥，故D 正确．故选：D ．4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有()A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【解答】解：0.621a => ，0.3log 0.6(0,1)b =∈，3log 0.60c =<，则有c b a <<．故选：A ．5．（5分）已知向量,a b 满足||2,||3a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-= )A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解： ||2,||3,,3a b a b π==<>=，∴221(2)(2)223242932312a b a b a b a b +-=-+=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-．故选：B ．6．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为()A ．2B C ．32D 【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，可得c b =，22233c a c -=，2ce a===．故选：D ．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：模拟程序的运行，可得0S =，1n =2S =，2n =满足条件30S <，执行循环体，246S =+=，3n =满足条件30S <，执行循环体，6814S =+=，4n =满足条件30S <，执行循环体，141630S =+=，5n =此时，不满足条件30S <，退出循环，输出n 的值为5．故选：C ．8．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是()A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，从五个数中随机抽取2个不同的数有25C 种不同的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，由古典概型公式得到25442105P C ===，故选：B ．9．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S =)A ．16B ．31C ．32D ．63【解答】解：14a ，22a ，3a 依次等差数列，可得21344a a a =+，显然公比q 不为1，则211144a q a a q =+，即为2440q q -+=，解得2q =，则551(1)12531112a q S q --===--．故选：B ．10．（5分）将奇函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是()A ．5(,)1212ππ-B ．5(,1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,1212ππ【解答】解：奇函数())cos(2)2sin[(2)]6f x x x x πϕϕϕ=+-+=+-，06πϕ∴-=，6πϕ∴=，()2sin 2f x x =．把()f x 的图象向右平移6πϕ=个单位长度后得到函数()2sin(23y g x x π==-的图象，令3222232k x k πππππ+-+ ，求得5111212k x k ππππ++，故函数()g x 的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈，故选：D ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为()A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x=【解答】解：如图所示，过M 点作CM ⊥直线22p px ==，垂足为C ，交准线于D ，∴5sin 7MCMFA MF∠==，由抛物线定义可得：MF MD =，∴005272px MC p MF x -==+00575722x p x p +=-03x p∴=点00()2pM x x >是抛物线上一点，∴202px =23666p ⨯=6p ∴=212y x∴=故选：C．12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩ ，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x + ，则实数m 的取值范围是()A ．[4，)+∞B．)+∞C ．[3，)+∞D．)+∞【解答】解：22,0()(),0x x f x f x x x ⎧--==-⎨<⎩ ，∴函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩，为R 上的奇函数，又0x 时，2()f x x =为增函数，()f x ∴为定义域R 上的增函数．又3f =，()3())f x m f x f ∴+= ，对任意[,3]22m mx ∈+，()3())f x m f x f += ，()f x 为定义域R上的增函数，1)]1)(3)2max mm x ∴-=+ ，即13(11)22m ---=，解得：m ．即实数m的取值范围是，)+∞，故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=，故答案为：614．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α=310+．【解答】解：因为4cos()35πα+=-，α为锐角，所以13sin()35απ+=，故11111sin sin()))33233ααππαπαπ=+-=+-+=故答案为：310+15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n n n a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩ ，2，)⋯，若33a =，则1a =34．【解答】解：由1112,2,n n n nn a a a a a a a +⎧=⎨+<⎩ ，①若31a a ，则3232a a ==，232a =，又21a a <与212a a =+相矛盾，21a a ∴ ，21322a a ==，得134a =；②若31a a <，则322a a =+，21a ∴=，由2112a a ==，112a =，与31a a <不符．∴134a =．故答案为：34．16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ；④存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =．其中正确的命题是①②③④（填写所有正确的序号）【解答】解：①由题意可得1//D F BE，1111111111111111111[](543543)2032232B BED F B BED B BFD D BEB D BFB V V V V V BB BC AB BBD A AB -----=+=+=+=⨯⨯+⨯⨯= ，所以①正确；②将长方体展开，如图所示，恰好过B 点时，截面的周长为12BD ，而在1BDD ∆中，1BD ==，所以最小值为1BED F 为平行四边形，且E 为展开图中唯一的点所以②正确；③E 嗲不与C ，1C 重合，则F 不会为A ，即CG 不在面1EBD 内，可作出CG 的平面与1EBD 平行，所以在棱AD 上均有相应的G ，使得//CG 面1EBD ，故③正确；④因为1BB BD =，可得对角面11BB D D 为正方形，可得11B D BD ⊥，若1BE B C ⊥时，由三垂线定理可得1B D BE ⊥，即有1B D ⊥面1EBD ，在矩形11BB C C 中，1BE B C ⊥，所以1CE BC BC CC =，所以1165BC BC CE CC ==，故④正确综上可得：正确为①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若c =ABC ∆面积的最大值．【解答】解：()I 由题意结合正弦定理可得，22()3a b ab c +=+，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，(0,)C π∈ ，故13C π=，()II 由余弦定理可得，222a b ab =+-，所以，2222a b ab ab +=+ ，故2ab ，则1sin 22ABC S ab C ∆=，当且仅当a b ==时，面积取得最大值2．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取AD 中点N ，连结MN ，CN ，M 为PD 的中点，//MN AP ∴，2AD BC = ，AN BC ∴=，//BC AD ，∴四边形ABCN 是平行四边形，//AB CN ∴，CN NM N = ，BA AP A = ，∴平面//CMN 平面PAB ，CM ⊂ 平面MNC ，//CM ∴平面PAB ．（Ⅱ）解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，PBD ∆ 为等边三角形，AB AD AP ∴==，设2AB =，则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0D ，2，0)，∴(2BD =- ，2，0)，(2BP =-，0，2)，设平面BDP 的法向理(n x =，y ，)z ，则220220n BD x y n BP x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(1n = ，1，1)，AD ⊥ 平面PAB ，∴平面PAB 的法向量(0n =，1，0)，||3cos ||||3n m n m θ∴== ．∴二面角A PB M --的余弦值为3．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-【解答】解：（Ⅰ）设2012年的快递业务量为a ，则9261%aa-=，解得57.1a ≈；即2012年的快递业务量为57.1亿件；（Ⅱ）由题意列表得，t12345y6152485128计算1(12345)35t =⨯++++=，1(6152485128)485y =⨯++++=，512222222515(161252348451528)5348ˆ 6.712345535ii i i it ytybtt==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===-++++-⨯-∑∑，ˆˆ48(6.7)368.1ay bt =-=--⨯=，所以y 关于t 的线性回归方程是ˆ 6.768.1yt =-+；（Ⅲ）令6t =，计算2018年比上半年增长率是ˆ 6.7668.127.9(%)y=-⨯+=；所以2018年快递业务增长量为399.9(127.9%)511.5⨯+≈（亿件）；令7t =，计算2018年比上半年增长率是ˆ 6.7768.121.2(%)y=-⨯+=；所以2019年快递业务增长量为511.5(121.2%)619.9⨯+≈（亿件）．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，左焦点(2,0)F -，可得2c =，2a =a =，2b =，可得椭圆的方程为22184x y +=；（Ⅱ）D 点的横坐标为定值3-．理由如下：直线l 的斜率不为0，设:2AB x my =-，联立椭圆方程2228x y +=，可得22(2)440m y my +--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1y ，20y ≠，12242m y y m +=+，12242y y m=-+，两式相除可得1212y y m y y +=-，由1(4,)N y -，可设BN 的方程为2112(4)4y y y y x x --=++，令0y =，可得121122122021212144(2)44y x y y x y y my y x y y y y y y -------=-==---12121212122121212424333my y y y y y y y y y y y y y y y -+-++--===----．则D 点的横坐标为定值3-．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+．【解答】解：2221()()x ax I f x x -+'=，0x >，对于221y x ax =-+，△28a =-，对称轴为4a x =，当△0时，即[a ∈-时，()0f x ' ，()f x 在(0,)+∞递增；当△0>时，即(a ∈-∞，-⋃，)+∞，方程有两个不同的根84a a m =，n =m n <，由于(0)1y =，当a <-，m ，0n <，函数在(0,)+∞递增；当a >，m ，0n >，函数()f x 在(0,)m ，(,)n +∞递增，(,)m n 递减；综上，a - 时，()f x 在(0,)+∞递增；a >时，()f x 在8(0,4a a --，8(4a a +-，)+∞上递增；在递减；()II 令1()()2g x f x x alnx x=-=--，0x >，方程()2f x x =有两个不相等的实数根，相当于函数()g x 由两个零点，222111()a ax axg x x x x x--'=-=-=，当0a 时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞递增，则()g x 至多只有一个零点，不成立；当0a >时，1(0,)x a ∈时，()g x 递增；1(x a ∈，)+∞递减，所以1()()min g x g a alna a==-+，由0a alna -+>，又0a >，所以a e >，因为1a是()g x 的极大值点，由11a>，g （1）10=-<，由a e >，a e a >，1a e a -<，21()a a a a g e alne e a e---=--=-+，对于2x y e x =-，易知y 在(,)e +∞递增，因为指数函数比幂函数增长的快，所以20a e a ->，()0a g e -<，所以函数()g x 在1(,)a e a -与1(a，1)各有一个零点，所以a e >，要证明2()2a f a e <+，即证明a e >时，211(22a alna e a---<成立，设h （a ）211(2()a alna a e e a =--->，h'（a ）22111lna a e =+--，由于h '（a ）在(,)e +∞递减，所以h '（a ）h '<（e ）0=，所以h （a ）在(,)e +∞递减；所以h （a ）h <（e ）22e e=-<，故原命题成立．选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率．【解答】解：（Ⅰ）曲线221:40C x y x +-=，转换为极坐标方程为4cos ρθ=．直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为tan y x α=，(0,6πα∈．（Ⅱ）由已知可得：θα=，则||4cos AB αα=-，1||tan 4sin AM ραα==，由于|||AM AB =，所以4sin )ααα=-，解得tan k α==所以直线的斜率为23．函数()|22||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()25f x x + 的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++ ．【解答】解：（Ⅰ）31,1()|22||3|5,3131,3x x f x x x x x x x +>⎧⎪=-++=-+-⎨⎪--<-⎩．()25f x x + ，∴31251x x x ++⎧⎨>⎩ 或52531x x x -++⎧⎨-⎩ 或31253x x x --+⎧⎨<-⎩，4x ∴ 或30x - 或3x <-，0x ∴ 或4x ，∴不等式的解集为{|0x x 或4}x ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()4min f x k ==．()4a b c k ∴+==，4ab ac ∴+=，22222222()()228a b c a b a c ab ac ∴++=++++= ，当且仅当a b c ===22228a b c ∴++ ．。

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷(理科)(问卷)(含解析)

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若集合A＝{x|x2−2x−8<0}，B＝{x|x2−9≤0}，则集合A∪B＝（）A.(−2, 3]B.(−4, 3]C.[−3, 2)D.[−3, 4)2.已知复数z满足z(1+2i)＝|3+4i|（i是虚数单位），则z的共轭复数（）A.1+2iB.1−2iC.−1+2iD.−1−2i3.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6√2，则该双曲线的实轴长为（）A.3B.6C.9D.124.已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥βC.若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α // βD.若m⊥α，n // β，α⊥β，则m⊥n5.数列{a n}是公差为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，则S4＝（）A.8B.12C.16D.246.若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为r＝nbmodm，例如2＝12bmod5，如图程序框图的算法源于我国古代著名的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出的i等于（）A.2B.4C.8D.167.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将该数据按照[0, 0.5),[0.5, 1),…[4.4.5]分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水量标准a，使85%的居民用水量不超过a，按平价收水费，超出a的部分按议价收费，则以下比较适合作为标准a的是（）A.2.5吨B.3吨C.3.5吨D.4吨8.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparcℎus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M．R．Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1−m2＝2.5(lgE2−lgE1)，其中星等为m k的星的亮度为E k(k＝1, 2)已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）（）A.1.24B.1.25C.1.26D.1.279.已知函数f(x)＝2sin2(x+π6)+√3sin(2x+π3)−1，则下列判断正确的是（）A.f(x)的图象关于x=π6对称 B.f(x)为奇函数C.f(x)的值域为[−3, 1]D.f(x)在[0,π3]上是增函数10.已知α∈(0,π4)，a＝(sinα)sinα，b＝(sinα)cosα，c＝(cosα)sinα，则a，b，c的大小关系（）A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a11.已知抛物线y2＝4x的焦点F，准线为l，过点F且斜率为√3的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l于点N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝（）A.4B.2√3C.2D.√312.已知函数f(x)={lnx−1,x≥113(x+2),x<1，若α<β且f(α)＝f(β)，则β−α的取值范围是（）A.[8−3ln3, 6]B.[8−3ln3, e2−1]C.[9−4ln3, 6]D.[9−4ln3, e2−1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分已知单位向量a →,b →满足a →⋅(a →+2b →)=2，则向量a →,b →夹角的大小为________．已知点N 在圆x 2+y 2−4x +4y +7＝0上，点M 在直线3x −4y +6＝0上，则|MN|的最小值为________．造纸术是我国古代四大发明之一．纸张的规格是纸张制成之后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A 系列的幅面规格为：①A0规格的纸张幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系为x:y =1:√2，②将A0纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格，现有A0，A1，A2，A3，…，A8纸各一张，若A4纸的面积为624cm 2，这九张纸的面积之和等于________(cm 2)如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，有下列四个命题：①BC 1与平面BCD 1A 1所成的角为30∘；②三棱锥A −A 1BD 与三棱锥C 1−A 1BD 的体积比为1:2；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，AA 1在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且只有一个；④过BD 1作正方体的截面，设截面面积为S ，则S 的最小值为√62；上述四个命题中，正确命题的序号为________三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．(Ⅰ)证明：EF⊥平面PAE；AB，求平面PAB与平面PEF所成的二面角的正弦值．(Ⅱ)若PA=54已知△ABC的面积为3，BC边上的高是2，tanA＝3．(Ⅰ)求△ABC外接圆的半径；(Ⅱ)求AB和AC的长．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题．例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题．①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子．(Ⅰ)你能否估算出中学生早恋人数的百分比？(Ⅱ)若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有X 个人存在早恋的现象，求X 的分布列及数学期望已知函数f(x)＝ax 2−xlnx −x(a ∈R)．(Ⅰ)当a =1e 时，求曲线y ＝f(x)在点（e, f(e)）处的切线方程；(Ⅱ)若f(x)在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围．点P(x, y)与定点F(−1, 0)的距离和它到直线l:x ＝−3的距离的比是常数√33，设点P 的轨迹为曲线E ．(Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C 、D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且CO →=λOM →(λ>0)，求四边形ACBD 面积的取值范围．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝2，四边形ABCD 的四个顶点都在曲线E 上．(Ⅰ)求曲线E的直角坐标方程；(Ⅱ)若AC，BD相交于点P(1, 1)求|PA|⋅|PB|⋅|PC|⋅|PD|的值．已知函数f(x)＝|x−1|+|x+2|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2−ax+1的解集包含[−1, 1]，求实数a的取值范围．2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）（问卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若集合A ＝{x|x 2−2x −8<0}，B ＝{x|x 2−9≤0}，则集合A ∪B ＝（）A.(−2, 3]B.(−4, 3]C.[−3, 2)D.[−3, 4) 【解答】∵集合A ＝{x|x 2−2x −8<0}＝{x|−2<x <4}，B ＝{x|x 2−9≤0}＝{x|−3≤x ≤3}，∴集合A ∪B ＝{x|−3≤x <4}＝[−3, 4)．2.已知复数z 满足z(1+2i)＝|3+4i|（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z ¯=()A.1+2iB.1−2iC.−1+2iD.−1−2i 【解答】由z(1+2i)＝|3+4i|＝5，得z =51+2i =5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i ，∴z ¯=1+2i ．3.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6√2，则该双曲线的实轴长为（）A.3B.6C.9D.12【解答】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)则双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x∵两条渐近线互相垂直，∴b a ×(−b a )＝−1，∴a 2＝b 2，∵焦距为6√2，∴2c ＝6√2，∴c ＝3√2，∴a 2＝18−a 2，∴a 2＝9，∴a ＝3，∴双曲线的实轴长为：（6）4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥βC.若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α // βD.若m⊥α，n // β，α⊥β，则m⊥n【解答】A．若m // α，n // α，则m // n，相交，或为异面直线，因此不正确；B．若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥β，因此正确；C．若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α与β不一定平行，因此不正确；D．若m⊥α，n // β，α⊥β，则m与n不一定垂直，因此不正确．5.数列{a n}是公差为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，则S4＝（）A.8B.12C.16D.24【解答】数列{a n}是公差d为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，可得a42＝a1a13，即(a1+6)2＝a1(a1+24)，解得a1＝3，则S4＝4a1+6d＝4×3+6×2＝（24）6.若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为r＝nbmodm，例如2＝12bmod5，如图程序框图的算法源于我国古代著名的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出的i等于（）A.2B.4C.8D.16【解答】模拟程序的运行，可得i＝1，n＝7，第一次执行循环体，得i＝2，n＝9，此时9mod3＝0，不满足第一条件；第二次执行循环体，得i＝4，n＝13，此时13mod3＝1，但13mod5＝3，不满足第二条件；第三次执行循环体，得i＝8，n＝21，此时21mod3＝0，不满足第一条件；第四次执行循环体，得i＝16，n＝37，此时37mod3＝1，且37mod5＝2，满足第二条件，此时退出循环．所以输出i的值为（16）7.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将该数据按照[0, 0.5),[0.5, 1),…[4.4.5]分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水量标准a，使85%的居民用水量不超过a，按平价收水费，超出a的部分按议价收费，则以下比较适合作为标准a的是（）A.2.5吨B.3吨C.3.5吨D.4吨【解答】[0, 0.5)的频数为0.08×0.5×100＝4，[0.5, 1)的频数为0.16×0.5×100＝8，[1, 1.5)的频数为0.3×0.5×100＝15，[1.5, 2)的频数为0.44×0.5×100＝22，[2, 2.5)的频数为0.5×0.5×100＝25，[2.5, 3)的频数为0.28×0.5×100＝14，[3, 3.5)的频数为0.12×0.5×100＝6，[3.5, 4)的频数为0.08×0.5×100＝4，[4.4.5]的频数为0.04×0.5×100＝（2）4+8+15+22+25+14＝86故前六组占86%，a为3吨．8.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparcℎus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M．R．Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1−m2＝2.5(lgE2−lgE1)，其中星等为m k的星的亮度为E k(k＝1, 2)已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）（）A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27【解答】设“心宿二”的星等是m1，“天津四”的星等是m2，“心宿二”的亮度是E1，“天津四”的亮度是E2，则m1＝1.00，m2＝1.25，E1＝rE2，∵两颗星的星等与亮度满足m1−m2＝2.5(lgE2−lgE1)，∴1−1.25＝2.5(lgE2−lgrE2)，即：lgr＝0.1，∴r＝100.1≈1+2.3×0.1+2.7×(0.1)2＝1+0.23+0.027＝1.257，∴与r最接近的是1.26，9.已知函数f(x)＝2sin2(x+π6)+√3sin(2x+π3)−1，则下列判断正确的是（）A.f(x)的图象关于x=π6对称 B.f(x)为奇函数C.f(x)的值域为[−3, 1]D.f(x)在[0,π3]上是增函数【解答】∵f(x)＝2sin2(x+π6)+√3sin(2x+π3)−1=√3sin(2x+13π)−cos(2x+13π)＝2sin(2x+π6)，由于x=π6时，函数值为2为函数的最大值，满足对称的性质，故A正确，10.已知α∈(0,π4)，a＝(sinα)sinα，b＝(sinα)cosα，c＝(cosα)sinα，则a，b，c的大小关系（）A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a【解答】因为α∈(0,π4)，∴0<sinα<cosα<1；∴y＝(sinα)x单调递减；y＝x sinα单调递增；∴(sinα)sinα>(sinα)cosα；(sinα)sinα<(cosα)sinα；∴a>b，a<c．即c>a>b．（也可以取30∘直接带入比较）11.已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线为l ，过点F 且斜率为√3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN ⊥l 于点N ，直线NF 交y 轴于点D ，则|MD|＝（） A.4 B.2√3C.2D.√3【解答】由题意，可知：F(1, 0)．直线l FM :y =√3(x −1)．联立{y =√3(x −1)y 2=4x，整理，得3x 2−10x +3＝（0）解得x =13，或x ＝（3）当x =13时，y =−2√33；当x ＝3时，y ＝2√3． ∴点M 坐标为(3, 2√3)．∵准线l:x ＝−(1)∴点N 坐标为(−1, 2√3)． ∴直线FN 斜率k NF =2√3−1−1=−√3． ∴l FN :y =−√3(x −1)， ∴点D 坐标为(0, √3)．∴|MD|=√(3−0)2+(2√3−√3)2=2√3．故选：B ．12.已知函数f(x)={lnx −1,x ≥113(x +2),x <1 ，若α<β且f(α)＝f(β)，则β−α的取值范围是（）A.[8−3ln3, 6]B.[8−3ln3, e 2−1]C.[9−4ln3, 6]D.[9−4ln3, e 2−1] 【解答】作出函数f(x)的图象，如图所示，由α<β且f(α)＝f(β)，可得lnβ−1=13(α+2)，由题意可得，lnβ−1<1即1≤β<e 2，故α＝3lnβ−5，则β−α＝β−3lnβ+5，令ℎ(x)＝x −3lnx +5，1≤x <e 2，则ℎ′(x)＝1−3x =x−3x，易得ℎ(x)在[1, 3)上单调递减，[3, e 2)上单调递增，故当x ＝3时函数取得极小值，也是最小值ℎ(3)＝8−3ln3，而ℎ(e 2)＝e 2−1>ℎ(1)＝6，故8−3ln3≤ℎ(x)≤(6) 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分已知单位向量a →,b →满足a →⋅(a →+2b →)=2，则向量a →,b →夹角的大小为________．【解答】 ∵|a →|=|b →|=1，∴a →⋅(a →+2b →)=a →2+2a →⋅b →=1+2a →⋅b →=2， ∴a →⋅b →=12， ∴cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →||b →|=12，且0≤<a →,b →>≤π，∴<a →,b →>=π3．已知点N 在圆x 2+y 2−4x +4y +7＝0上，点M 在直线3x −4y +6＝0上，则|MN|的最小值为________．【解答】化圆x2+y2−4x+4y+7＝0为(x−2)2+(y+2)2＝1，则圆心坐标为(2, −2)，半径为（1）圆心到直线3x−4y+6＝0的距离d=√32+(−4)2=4>1，∴直线与圆相离，如图：由图可知，|MN|的最小值为4−1＝（3）故答案为：（3）造纸术是我国古代四大发明之一．纸张的规格是纸张制成之后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张幅宽（以x 表示）和长度（以y表示）的比例关系为x:y=1:√2，②将A0纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格，现有A0，A1，A2，A3，…，A8纸各一张，若A4纸的面积为624cm2，这九张纸的面积之和等于________(cm2)【解答】可设Ai纸张的面积分别为S i，i＝0，1，…，8，则{S i}为等比数列，公比q= 12，∵S4＝624＝S0×(12)4，解得S0＝99(84)可得这9张纸的面积之和=9984[1−(12)9]1−12=19929cm2．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，有下列四个命题：①BC1与平面BCD1A1所成的角为30∘；②三棱锥A−A1BD与三棱锥C1−A1BD的体积比为1:2；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，AA 1在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且只有一个；④过BD 1作正方体的截面，设截面面积为S ，则S 的最小值为√62；上述四个命题中，正确命题的序号为________【解答】如图所示，①BC 1与平面BCD 1A 1所成的角θ为锐角，满足：sinθ=OC1BC 1=√222=12，θ＝30∘，正确；②三棱锥A −A 1BD 的体积=13×12×12=16，三棱锥C 1−A 1BD 的体积＝13−4×16=13，因此体积比＝1:2，正确；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，AA 1在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且只有一个，是经过点A 且与直线AC 1垂直的平面，正确． ④过BD 1作正方体的截面，设截面面积为S ，截面为BFD 1E ，其中E ，F 为分别为棱AA 1，CC 1的中点，此时面积S =√12+(12)2×1=√52<√62，因此不正确．上述四个命题中，正确命题的序号为①②③．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且BF ＝3FC ． (Ⅰ)证明：EF ⊥平面PAE ；(Ⅱ)若PA =54AB ，求平面PAB 与平面PEF 所成的二面角的正弦值．【解答】（1）证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，AP ＝b ，则E(a2, a, 0)，F(a, 34a, 0)，A(0, 0, 0)，P(0, 0, b)， EF →=(a2, −a4, 0)，AE →=(a2,a, 0)，AP →=(0, 0, b)，则EF →⋅AE →=0，EF →⋅AP →=0，∴EF ⊥AE ，EF ⊥AP ， ∵AE ∩AP ＝A ，∴EF ⊥平面PAE ．（2）∵PA =54AB ，设AB ＝4，则AP ＝5，则P(0, 0, 5)，E(2, 4, 0)，F(4, 3, 0)， PE →=(2, 4, −5)，PF →=(4, 3, −5)，设平面PEF 的法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅PE →=2x +4y −5z =0m →⋅PF →=4x +3y −5z =0 ，取x ＝1，得m →=(1, 2, 2)，平面PAB 的法向量n →=(0, 1, 0)，设平面PAB 与平面PEF 所成的二面角的平面角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=23，∴平面PAB 与平面PEF 所成的二面角的正弦值为： sinθ=√1−(23)2=√53．已知△ABC 的面积为3，BC 边上的高是2，tanA ＝3． (Ⅰ)求△ABC 外接圆的半径； (Ⅱ)求AB 和AC 的长．【解答】（1）由题意，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，tanA ＝3>(0) ∴cosA =√11+tan 2A =√11+9=√1010，sinA =√1−cos 2A =3√1010， ∵△ABC 的面积S 为3，BC 边上的高ℎ是2， ∴3=12aℎ=12×a ×2，解得a ＝3，∴设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2R =asinA =3√1010，解得△ABC 外接圆的半径R =√102．（2）∵由(Ⅰ)可得sinA =3√1010，△ABC 的面积S 为3=12bcsinA ＝bc3√1020， ∴解得bc ＝2√10，①∵由(Ⅰ)可得a ＝3，cosA =√1010，利用余弦定理可得9＝b 2+c 2−2bc ×√1010=b 2+c 2−4√10×√1010，可得b 2+c 2＝13，②∴由①②联立解得{b =2√2c =√5，或{b =√5c =2√2 ．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题．例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题．①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子． (Ⅰ)你能否估算出中学生早恋人数的百分比？(Ⅱ)若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有X 个人存在早恋的现象，求X 的分布列及数学期望【解答】（1）摸到同色球的概率为p 1=C 42+C 62C 102=715，摸到异色球的概率为p 2=C 41C61C 102=815，由此可估计300人中有300×715=140人摸到同色球，160人摸到异色球， ∴有140人回答了问题①，160人回答了问题②，∵学生学籍号的后四位是顺序号，∴最后一位是奇数的概率为12，因此回答问题①的140人有70人回答了“量”，据此估计有8人在问题②中回答了“是”， ∴估计中学生的早恋人数的百分比为8160=5%．（2）依题意X ∼B(40, 0.05)，分布列为P(X ＝k)=C 40k (120)k (1920)20−k ，k ＝0，1，2，…，（40）∴E(X)＝40×0.05＝（2）已知函数f(x)＝ax 2−xlnx −x(a ∈R)．(Ⅰ)当a =1e 时，求曲线y ＝f(x)在点（e, f(e)）处的切线方程； (Ⅱ)若f(x)在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围．【解答】（I ）当a =1e 时，f(x)=x 2e−xlnx −x ，f ′(x)=2x e−lnx −2，∴f(e)＝e −e −e ＝−e ，f ′(e)＝−1，所以切线方程为y +e ＝−(x −e)，即x +y ＝0；(II)由f ′(x)＝2ax −lnx −2，x >0，设g(x)＝2ax −lnx −2，x >0，则g ′(x)＝2a −1x ，当a <0时，g ′(x)<0，g(x)在(0, +∞)单调递减，由g(e 2a−2)＝2ae 2a−2−2a ＝2a(e 2a−2−1)>0，g(1)＝2a −2<0， ∴g(x)在(0, +∞)不恒正或恒负，∴f(x)在(0, +∞)不为单调函数，不符合条件；当a ＝0时，g(x)＝−lnx −2，x >0，显然不满足条件；当a >0时，由g ′(x)＝0，得x =12a ，当x ∈(0, 12a )时，g(x)递减，当x ∈(12a , +∞)时，g(x)递增； ∴g(x)min =g(12a )=ln2a −1，根据题意要使g(x)≥0恒成立，则ln2a ≥1，即a ≥e2，综上，a ≥e2．点P(x, y)与定点F(−1, 0)的距离和它到直线l:x ＝−3的距离的比是常数√33，设点P 的轨迹为曲线E ． (Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C 、D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且CO →=λOM →(λ>0)，求四边形ACBD 面积的取值范围．【解答】（1）由条件得√(x+1)2+y 2|x+3|=√33，整理得2x 2+3y 2＝6，即曲线E 的方程为x 23+y 22=1；（2）①当直线l 的斜率为0时，点M 与O 重合，不满足CO →=λOM →(λ>0)，故斜率不为0；②当直线斜率不为0时，设AB:x ＝my −1，代入E 得2(my −1)2+3y 2−6＝0，整理得(2m 2+3)y 2−4my −4＝0，设A(x 1, y 1)B(x 2, y 2)，则y 1+y 2=4m2m 2+3，y 1y 2=−42m 2+3，所以AB =2|y 1−y 2|=√1+m 2√16m 2(2m 2+3)2+162m 2+3=4√3(1+m 2)2m 2+3，x 1+x 2＝m(y 1+y 2)−2=4m 22m 2+3−2=−62m 2+3，所以M(−32m +3, 2m2m +3)，因为CO →=λOM →(λ>0)，所以C(3λ2m 2+3, −2λm2m 2+3)，又因为C 在曲线E 上，代入得9λ2(2m 2+3)23+4λ2m 2(2m 2+3)22=1，整理得λ2＝2m 2+3，因为点O 到直线AB 的距离d =√2，设四边形ACBD 面积为S ，△ABO 的面积为S 1，则S 1=12AB ⋅d =12×4√3(1+m 2)2m 2+3×√1+m 2=2√3⋅√1+m 22m 2+3，所以S ＝S △ABC +S △ABD ＝(λ+1)S 1+(λ−1)S 1＝2λS 1＝4√3λ⋅√1+m 22m 2+3，将λ2＝2m 2+3代入得S ＝4√3⋅√1+m 22m 2+3=4√3⋅√12+1m 2+1，因为m ∈R ，所以当m ＝0时S 取最小值为4，所以4≤S <2√6 故四边形的取值范围为[4, 2√6)．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝2，四边形ABCD 的四个顶点都在曲线E 上． (Ⅰ)求曲线E 的直角坐标方程；(Ⅱ)若AC ，BD 相交于点P(1, 1)求|PA|⋅|PB|⋅|PC|⋅|PD|的值．【解答】（1）曲线E 的极坐标方程为ρ＝2，转换为直角坐标方程为：x 2+y 2＝（4）（2）设经过点P(1, 1)的直线AC 的参数方程为{x =1+cosθty =1+sinθt （t 为参数）把直线AC 的参数方程代入圆的方程为(1+cosθt)2+(1+sinθt)2＝4，整理得t 2+2(cosθ+sinθ)t −2＝0，所以t 1t 2＝−(2)所以|PA||PC|＝|t 1t 2|＝（2）同理经过点P(1, 1)的直线BD 的参数方程为{x =1+cos(π−θ)ty =1+sin(π−θ)t （t 为参数）整理得{x =1−cosθty =1+sinθt （t 为参数），把直线BD 的参数方程代入圆的方程为(1−cosθt)2+(1+sinθt)2＝4，整理得t 2+2(sinθ−cosθ)t −2＝0，所以t 3t 4＝−2，所以|PB||PD|＝|t 3t 4|＝（2）故：|PA|⋅|PB|⋅|PC|⋅|PD|＝（4）已知函数f(x)＝|x −1|+|x +2|． (Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥x 2−ax +1的解集包含[−1, 1]，求实数a 的取值范围．【解答】（1）函数f(x)＝|x −1|+|x +2|={−2x −1,x ≤−24,−2<x <12x +1,x ≥1；当x ≤−2时，不等式f(x)≤5为−2x −1≤5，解得x ≥−3，即−3≤x ≤−2；当−2<x <1时，不等式f(x)≤5为4≤5恒成立，即−2<x <1；当x >1时，不等式f(x)≤5为2x +1≤5，解得x ≤2，即1≤x ≤2；综上知，不等式f(x)≤5的解集为{x|−3≤x ≤2}；（2）不等式f(x)≥x 2−ax +1的解集包含[−1, 1]，即x ∈[−1, 1]时，不等式4≥x 2−ax +1恒成立；即x ∈[−1, 1]时，不等式x 2−ax −3≤0恒成立；设g(x)＝x 2−ax −3，x ∈[−1, 1]，则{g(−1)≤0g(1)≤0 ，即{1+a −3≤01−a −3≤0，解得−2≤a ≤2；所以实数a 的取值范围是[−2, 2]．。

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷(一)(有答案解析)

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-x＞0}，B={x|-}，则（）A. A∩B=∅B. A∪B=RC. A⊆BD. B⊆A2.若=2-i（其中i是虚数单位），则实数a=（）A. -3B. -1C. 1D. 33.当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=log a x的图象是（）A. B.C. D.4.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l⊥m，②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β正确的命题是（）A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③5.从1，2，3，4，5，6中任意取出两个不同的数，其和为7的概率为（）A. B. C. D.6.设等差数列{n}的前n项和为若，则( )A. 45B. 54C. 72D. 817.在下列区间中，函数f（x）=e x+3x-4的零点所在的区间为（）A. （0，）B. （）C. （）D. （1，）8.若函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. f（x）=sin（2x+）B. f（x）=cos（2x+）C. f（x）=cos（2x+）D. f（x）=sin（2x+）9.正方体的全面积为6，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：[-2.1]=-3，[3.1]=3，已知函数，则函数y=[f（x）]的值域为（）A. B. （0，2] C. {0，1，2} D. {0，1，2，3}11.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（10，0），则△AOB 的面积为（）A. 4B. 4C. 8D. 812.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e-x（x-1）②函数f（x）有3个零点③f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2其中正确命题的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件则z=x+y的最大值是______．14.在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点，若=，则λ+μ=______．15.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以F为圆心，焦距为半径的圆交y轴正半轴于点M，线段FM交双曲线于点P，且|FM|=2|FP|，则双曲线的离心率为______．16.已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a-b）cos C+2c sin2=c.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=4，c=，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=，PA⊥PB，AC⊥平面PAB，D、E分别是AC，BC上的点，DE∥平面PAB．（Ⅰ）求证：AB∥平PDE；（Ⅱ）若D为线段AC中点，PA=2．求点B到平面PDE的距离．19.十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在[1500，1750），[1750，2000），[2000，2250），[2250，2500），[2500，2750），[2750，3000]（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示，（Ⅰ）已经按分层抽样的方法从质量落在[1500，1750），[2000，2500）的蜜柚中抽取了5个，现从这5个蜜柚中随机抽取2个．求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率：（Ⅱ）以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案：方案一：所有蜜柚均以30元/千克收购；方案二：低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250克的以80元/个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．20.已知F是椭圆=1的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点．M是AB的中点，直线OM与直线x=2交于点N．（Ⅰ）求征：=0；（Ⅱ）求四边形OANB面积的最小值．21.已知函数f（x）=ln x+.（Ⅰ）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜0．22.在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为cos （）．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由．23.已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|（Ⅰ）求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|x-3|+a恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2-x＞0}={x|x＜0或x＞1}，B={x|-}，∴A∪B=R．故选：B．先分别求出集合A={x|x2-x＞0}={xx|x＜0或x＞1}，B={x|-}，再求出A∪B，能求出结果．本题考查集合的运算及关系，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，属于基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a值．【解答】解：∵=2-i，∴1+ai=（2-i）（1-i）=1-3i，∴a=-3，故选：A．3.答案：C解析：解：∵函数y=a-x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选：C．先将函数y=a-x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．4.答案：D解析：解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l∥β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即③正确．∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故④错误；故选：D．本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．5.答案：B解析：【分析】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．列出所有的基本事件和随机事件中含有的基本事件，两者的比值为所求的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6中任意取出两个不同的数，共有15种不同的取法，它们分别是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），从1，2，3，4，5，6中任意取出两个不同的数，它们的和为7，则不同的取法为：（1，6），（2，5），（3，4），共有3种情形，故所求的概率为，故选：B．6.答案：B解析：【分析】由等差数列的性质可得：S3，S6-S3，S9-S6成等差数列．即可得出．本题考查了等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：由等差数列的性质可得：S3，S6-S3，S9-S6成等差数列．∴2×（27-9）=9+S9-27，解得S9=54．故选：B．7.答案：C解析：解：f′（x）=e x+3＞0，f（x）为R上的增函数，f（）==，因为，所以，所以f（）＜0，但f（1）=e+3-4＞0，∴f（）•f（1）＜0所以f（x）的零点在区间（，1），故选：C．先判断函数的单调性，再利用零点存在定理判断零点所在的区间，属于基础题．函数零点所在区间的判断，需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，选择怎样的点来计算其函数值且函数值异号是关键，可根据解析的特点选点，如对于对数lg x，ln x等，应选x=10n或x=e n等，对于指数a x，应选x=log a m（如0，1等）等形式的数来计算．8.答案：D解析：解：由函数的部分图象可知A=1，=，故T=π，所以=π，即：ω=2．由函数图象的对称轴为x=，所以：2×+φ=+2kπ，k∈Z，因|φ|＜，故φ=，所以f（x）=sin（2x+）．故选：D．根据图象得到函数的振幅和周期，从而得到A，ω的值，再根据对称轴得到φ的值后可得函数的解析式．已知y=A sin（ωx+φ）的图象，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图象上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算φ．9.答案：A解析：解：因为正方体的全面积为6，所以正方体的棱长为：1，正方体的对角线为：．因为正方体的顶点都在球面上，所以正方体的对角线就是外接球的直径，所以外接球的半径为：．外接球的表面积为：=3π．故选：A．通过正方体的表面积求出棱长，然后求出正方体的外接球的半径，即可求解表面积．本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是解题的关键，考查计算能力．10.答案：C解析：解：因为，所以f（x）==，又1+2x+1∈（1，+∞），所以f（x）∈（，3），由高斯函数的定义可得：函数y=[f（x）]的值域为，故选：C．由分式函数值域的求法得：f（x）==，又1+2x+1∈（1，+∞），所以f（x）∈（，3），由高斯函数定义的理解得：函数y=[f（x）]的值域为，得解．本题考查了分式函数值域的求法及对即时定义的理解，属中档题．11.答案：C解析：解：设直线l：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则由，可以得到y2-8ty-16=0，所以AB的中点M（4t2+2，4t），线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（10，0），故t≠0．所以AB的中垂线的方程为：y=-（x-4t2-2）+4t=+8t+，令y=0可得x=8t2+2，解方程10=8t2+2，得t=±1．此时|AB|==8=16，O到AB的距离为d==，所以=8．故选：C．设直线l：x=ty+2，联立直线方程和抛物线方程可求得中垂线的方程，再利用P的坐标求出t，最后算出AB的长和O到AB的距离后可得所求的面积．直线与圆锥曲线相交时的产生的对称问题，应利用两个几何性质来构造不同变量之间的关系，这个两个几何性质就是中点和垂直．12.答案：A解析：解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=e-x（-x+1）=-f（x），∴f（x）=e-x（x-1），①正确；对于②，∵f（-1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3个零点，②正确；对于③，x＜0时，f（x）=e x（x+1），易得-1＜x＜0时，f（x）＞0；x＞0时，f（x）=e-x（x-1），易得x＞1时，f（x）＞0；∴f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），③正确；对于④，x＜0时，f′（x）=e x（x+2），x＜-2时，f′（x）＜0，-2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（-2，0）上单调递增；∴x=-2时，f（x）取最小值-e-2，且x＜-2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即-e-2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）=e-x（2-x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e-2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=-1；∴-1＜f（x）≤e-2；∴f（x）的值域为（-1，e-2]∪[-e-2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2；④正确．故选：A．根据f（x）为奇函数，设x＞0，得-x＜0，可求出f（x）=e-x（x-1）判定①正确；由f（x）解析式求出-1，1，0都是f（x）的零点，判定②正确；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性求f（x）的值域，可得∀x1，x2∈R，有|f（x1）-f（x2）|＜2，判定④正确．本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目．13.答案：7解析：解：不等式组对应的可行域所示：其中A（3，4），当动直线x+y-z=0过A时，z有最大值为7．故答案为：7．画出不等式组对应的可行域后平移动直线x+y-z=0可得z的最大值．二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如3x+4y表示动直线3x+4y-z=0的横截距的三倍，而则表示动点P（x，y）与（1，-2）的连线的斜率．14.答案：解析：解：如图，∵D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点；∴==；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故答案为：．可画出图形，根据D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点即可得出，而根据平面向量基本定理即可求出λ，μ，从而得出λ+μ．考查向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，平面向量基本定理．15.答案：解析：解：因为|FM|=2c，|FO|=c，所以|OM|=，因为|FM|=2|FP|，所以P为FM的中点，P（，），设左焦点为F'(-c,0),根据定义有|PF'|=|PF|+2a=2a+c,即，整理得到，所以e=，故答案为：．本题考查圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a，b，c的一个等式关系，属于中档题.16.答案：2解析：解：根据题意，数列{a n}满足，①则有S n-1=a n-1，②①-②可得：（n-1）a n=na n-1，则有==1+，又由f（n）=1+（n＞1且n∈Z）为减函数，则当n=2时，取得最大值，其最大值为1+=2；故答案为：2．根据题意，由变形可得S n-1=a n-1，两式相减可得变形可得==1+，结合f（n）=1+（n＞1且n∈Z）的单调性分析可得当n=2时，取得最大值，计算可得答案．本题考查数列的递推公式的应用，注意分析a n与a n-1的关系，属于基础题．17.答案：解：（Ⅰ）因为（2a-b）cos C+2c sin2=c，所以（2a-b）cos C+c（1-cos B）=c，即(2a-b)cos C=c cos B，由正弦定理得到：2sin A cos C-sin B cos C=sin C cos B，即2sin A cos C=sin A，因为A∈（0，π），故sin A＞0，所以cos C=，又C∈（0，π），可得C=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得由余弦定理可得cos C==，所以=，由于a+b=4，c=，整理得ab=3，可得S△ABC=ab sin C==．解析：本题考查二倍角公式的应用，三角恒等变换、正余弦定理的应用，三角形面积公式，属于中档题．（Ⅰ）利用降幂公式和正弦定理化简（2a-b）cos C+2c sin2=c，可得2sin A cos C=sin A，从而得到cos C=，即C=．（Ⅱ）利用余弦定理得到=，再利用a+b=4，c=，可得ab=3，利用面积公式计算即可．18.答案：证明：（Ⅰ）∵DE∥平面PAB，DE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB=AB，∵DE∥AB，又AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE．解：（Ⅱ）取AB的中点为F，连接EF，∵PA=PB，∴PF⊥AB，∵AC⊥平面PAB，AC⊂平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PF⊂平面PAB，∴PF⊥平面ABC，又PA=PB=2，PB⊥PA，故PF为等腰直角三角形斜边AB上的高，故PF=，∴点P到平面ABC的距离为，∵D为线段AC中点，DE∥AB，故E为BC的中点，故DE=AB=，∵AC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，∴AC⊥PA，同理AC⊥AB，∵PC=4，∴AC==2，故AD=，而EF∥AC，故EF⊥AB，∵EF∩PF=F，故AB⊥平面PEF，而PE⊂平面PEF，∴AB⊥PE，故DE⊥PE，在Rt△PAD中，∵PA=2，AD=，故PD=，在Rt△PEF中，∵PF=，EF=，故PE=，故=，又=，设点B到平面PDE的距离为d，则V B-PDE==，解得d=．解析：本题考查线面平行的判定，考查利用等体积法求解点到平面的距离，属于中档题. （Ⅰ）由DE∥平面PAB，可得DE∥AB，从而可证AB∥平面PDE．（Ⅱ）利用等体积法可求点B到平面PDE的距离．19.答案：解：（Ⅰ）质量落在[1500，1750）和[2000，2250）中的频率分别是0.1和0.15，分层抽样的方法抽取5个蜜柚，则[1500，1750）中抽取2个，[2000，2250）中抽取3个，2个蜜柚质量均小于2000的概率为；（Ⅱ）根据题意，方案一收益为：30×（1.625×500+1.875×500+2.125+2.375×750×2000+2.625×1000+2.875×250=343125（元）方案二收益为：500+500+750×60+2000+1000+250×80=365000 （元）∵365000＞343125，∴选择方案二．解析：（Ⅰ）利用频率分布直方图可得质量落在[1500，1750）和[2000，2250）中的频率，从而可得抽取的5个蜜柚中落在[1500，1750）和[2000，2250）中的个数，利用古典概型的概率计算公式可得概率．（Ⅱ）利用频率分布直方图中的数据计算出各组的频率，再利用组中值计算出5000只蜜柚在各组中分布的个数，最后按各自方案计算出收益，我们选择收益较大的方案即可．本题考查频率分布直方图的应用和古典概型的计算，属于基础题．20.答案：证明：（Ⅰ）当直线AB斜率不存在时，直銭AB与x轴垂直，∴AB⊥FN，∴=0，当直线AB斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x0=，y0=，联立得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0得x1+x2=，x1x2=，∴x0=，y0=，所以直线的方程为y=-，∴N（2，-），又∵F（1，0），∴k FN=-，∴AB⊥FN，∴=0；解：（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，直銭AB与x轴垂直，∴S四边形OANB=|AB|•|ON|=××2=，当直线AB斜率存在时，S四边形OANB=S OAB+S NAB，设点O到直线AB的距离为d1，点N到直线AB的距离为d2，则d1=，d2=|FN|=，|AB|=•=，∴S四边形OANB=S OAB+S NAB=d1|AB|+d2|AB|=|AB|（d1+d2）=×（+）==＞所以四边形OANB面积的最小值为．解析：（Ⅰ）当直线AB斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程后可得AB中点坐标，故可用直线的斜率表示N的坐标，求出FN的斜率后可证=0．注意直线AB斜率不存在的情形．（Ⅱ）当直线AB斜率存在时，利用韦达定理弦长公式点到直线的距离可以计算S四边形═＞，当直线AB斜率不存在时，S四边形OANB=，故可得四边形OANB面OANB积的最小值．圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1+x2，x1x2或y1+y2，y1y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题．21.答案：（Ⅰ）解：当a=-2时，f（x）=ln x--x+5，f′（x）=+-1==，当0＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞2时，f′（x）＜0，∴f（x）的增区间为（0，2），减区间为（2，+∞）．（Ⅱ）证明：f′（x）=--1=（x＞0），∵f（x）有两个极值点x1，x2，故x1，x2为-x2+x-a=0的两个正数解，∴，∴0＜a＜，∴f（x1）+f（x2）=ln（x1x2）+-（x1+x2）-4a+2=ln a-4a+2，令g（a）=ln a-4a+2，则当0＜a＜时，g′（a）=-4=＞0，∴g（a）在（0，）上单调递增，∴当0＜a＜时，g（a）＜g（）=ln-1+2=1-ln4＜0，∴f（x1）+f（x2）＜0．解析：本题考查了导数与函数单调性的关系，利用导数研究函数的极值，属于中档题．（Ⅰ）求出f′（x）后讨论其符号可得函数的单调区间；（Ⅱ）利用导数可得两个极值点为-x2+x-a=0的两个根，利用韦达定理可把而f（x1）+f （x2）化为ln a-4a+2，其中0＜a＜，利用函数单调性可证结论．22.答案：解（Ⅰ）消去参数t，则直线l的普通方程为x-2y+2=0，因为ρ=2cos（θ+），故ρ=2cosθ-2sinθ即ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ，曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0．（Ⅱ）圆心（1，-1）到直线x-2y+2=0的距离d=＞，直线l与曲线C是相离的位置关系．解析：（Ⅰ）消去参数t后可得直线的普通方程．把ρ=2cos（θ+）化成ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ再利用化简后可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）利用圆心到直线的距离可判断直线与曲线的位置关系．本题考查了极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造ρcosθ，ρsinθ．直线与圆的位置关系可用圆心到直线的距离与半径的大小来判断，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|-|x-3|=；画出函数f（x）的图象，如图所示，根据函数图象知，当f（x）≥0时，x的取值范围是x≤-4，或x≥；所以不等式f（x）≥0的解集为（-∞，-4]∪[，+∞）；（Ⅱ）f（x）≥|x-3|+a恒成立，即|2x+1|-2|x-3|≥a恒成立，令g（x）=|2x+1|-2|x-3|，则g（x）=，所以f（x）的最小值为-7，则a的取值范围是a≤7．解析：（Ⅰ）利用零点分段讨论可得不等式的解集．（Ⅱ）不等式恒成立等价于|2x+1|-2|x-3|≥a，令g（x）=|2x+1|-2|x-3|，求出g（x）的最小值后可得实数a的取值范围．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，解题时有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，利用图象法求解时注意图象的正确刻画．。

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷(理科)(有解析)

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|0<x<4}，则A∩B=()A. [−1,4)B. [−1,3)C. (0,3]D. (0,4)2.|1−2i2+i|=()A. 1B. √2C. −iD. 23.设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB. 若α⊥β，m⊥α，则m//βC. 若α//β，m⊄β，m//α，则m//βD. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n4.已知a=log35，b=log95，则有()A. a>b>0B. 0<a<bC. a<b<0D. 0>a>b5.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗⋅c⃗=2，则|c⃗|等于()A. −2B. 4C. 2D. −46.设F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以F1为圆心、|F1F2|为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A，若∠AF1F2=120°，则该双曲线的离心率是()A. √2B. √3C. √3+1D. √3+127.执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是()A. 7B. 6C. 5D. 48.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 159.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a2=4，S4=20，若a1，a k，S k+2成等比数列，则正整数k=()A. 3B. 4C. 5D. 610.已知函数f(x)的图象可由函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π3个单位长度得到，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期可为−2πB. 函数f(x)在区间(−π12,5π12)上是增函数C. 函数f(x)的图象关于直线x=π12对称D. 函数f(x)的一个零点为x=π611.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴相交于点M，N为抛物线上的一点且NF=12MN，则)A. 30∘B. 90∘C. 60∘D. 45∘12.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x⩽0时，f(x)=x2+4x，则f(x+2)>5的解集为()A. B.C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知α为锐角，cosα=45，则sin(π6+α)=______ ．14.已知数列{a n}满足a n=(−1)na n−1+1(n≥2)，若a7=711，则a5=______ ．15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P，Q，R分别是棱BC，CD，DD1的中点．下列命题：①过A1C1且与CD1平行的平面有且只有一个；②平面PQR截正方体所得截面图形是等腰梯形；③AC1与QR所成的角为60°；④线段MN与GH分别在棱A1B1和CC1上运动，则三棱锥M−NGH体积是定值；⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正方体表面上运动，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是2．其中真命题的序号是______ (写出所有真命题的序号)．三、解答题（本大题共8小题，共87.0分）16. 已知x,y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，设z =yx ，求z 的最大值与最小值．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a −c =2bcos C ．(1)求sin(A+C 2+B)的值；(2)若b =√3，求c −a 的取值范围．18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，△ABC 为等边三角形，PA =2AB =2，AC ⊥CD ，PD 与平面PAC 所成角的正切值为C 2．(Ⅰ)证明：BC//平面PAD ；(Ⅱ)若M 是BP 的中点，求二面角P −CD −M 的余弦值．19. 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (2)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx i2，a ̂=y −b ̂x ．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 已知函数f(x)=2x 2+alnx(a ∈R)．⑴讨论函数f(x)的单调性；⑴若g(x)=f(x)−4x +2存在两个极值点，且x 0是函数g(x)的极小值点，求证：g(x 0)>12−ln222. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23. 已知函数f(x)=|ax −3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合A={x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，B={x|0<x<4}，∴A∩B={x|0<x≤3}=(0,3]．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：A=1．解析：解：原式=√12+(−2)2√22+12故选：A．利用复数模的计算公式及其性质即可得出．本题考查了复数的模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查空间直线与直线的关系，直线与平面的关系，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．解析：α与γ可能相交或平行，故A错；m可能平行于β或m在β内，故B错；由直线与平面平行的判断定理得m//β，故C正确；m与n可能相交、平行或异面，故D错．解：若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故A错；若α⊥β，m⊥α，则m平行于β或m在β内，故B错；若α//β，m⊄β，m//α，则由直线与平面平行的判断定理的m//β，故C正确；若m//α，n//β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故D错．故选C．4.答案：A解析：本题考查了比较大小，结合对数函数的单调性即可，属于基础题．解：∵a=log35>1>log95=b>0，∴a>b>0．故选：A．5.答案：C解析：本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．解：∵向量a⃗=(1,√3)，∴|a⃗|=√12+(√3)2=2；又向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗⋅c⃗=2，∴|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2|c⃗|⋅12=2，∴|c⃗|=2．故选：C．6.答案：D解析：解：F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以F为圆心、|F1F2|为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A，若∠AF1F2=120°，A不妨在第二象限，|AF1|=2c，可得A(−2c,√3c)，可得4c2a2−3c2b2=1，可得：4e2−3e2e2−1=1，e>1，解得e2=2+√32.可得e=√3+12．故选：D．利用已知条件求出A的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.答案：A解析：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能由题意，即求n≤100(n∈N)，满足log2n∈N的n的个数．解：由题意，即求n≤100(n∈N)，满足log2n∈N的n的个数，∴n=1，2，4，8，16，32，64，共7个．故选：A．8.答案：D解析：解：从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，共有C62=15种结果，其中满足条件两个数都是偶数的有(2,4)，(2,6)，(4,6)共3种情况不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率P=315=15故选D．根据已知中从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，由C62种结果，及列举出满足条件两个数都是偶数的基本事件个数，代入概率公式，即可得到答案．本题考查的知识点是等可能事件的概率，处理方法是：计算出基本事件总数N，则满足条件A的基本事件总数A(N)，代入P=A(N)÷N求了答案．9.答案：D解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，a2=4，S4=20，可得a1+d=4，4a1+6d=20，解得a1=d=2，则a n=2+2(n−1)=2n，a1，a k，S k+2成等比数列，可得a1S k+2=a k2，即2⋅12(k+2)(2+2k+4)=4k2，解得k=6，故选：D．设等差数列的公差为d，运用等差数列通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列中项性质，解方程可得k的值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．10.答案：C解析：求出平移后的图象对应的函数解析式，再由正弦函数的图象与性质求解．解：函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π3个单位长度得到f(x)=3sin[2(x−π3)+π3]=3sin(2x−π3)的图象，f(−2π+x)=f(x)，故A正确；当−π12<x<5π12，−π2<2x−π3<π2，f(x)递增，B正确；当x=π12时，f(π12)=3sin(−π6)，显然图象不关于直线x=π12对称，C错误；f(π6)=0，D正确，故选C．11.答案：C解析：本题考查抛物线的几何性质，属于中档题．过N作NE垂直于准线与E，由抛物线的定义得NE=NF，在Rt△ENM中求出∠EMN=30°.即可得到结论．解答：解：过N作NE垂直于准线与E.由抛物线的定义得：NE=NF，MN．在Rt△ENM中因为EN=NF=12所以∠EMN=30∘，故∠NMF=90∘−∠EMN=60∘．故选C．12.答案：C解析：本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的解法，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．由单调性与奇偶性可得|x+2|>5，求解即可．解：由题意，若x>0，则−x<0，∵当x ⩽0时，f(x)=x 2+4x ， ∴当−x <0时，f(−x)=x 2−4x ， ∵f(x)是定义域为R 的偶函数， ∴f(−x)=x 2−4x =f(x)，即当x >0时，f(x)=x 2−4x ，可知当x ∈(2,+∞)时函数单调递增，令f(x)=x 2−4x =5,x >0，解得x =5，则f(x +2)>5⇔f(|x +2|)>f(5)，当x ∈(0,2)时，函数单调递减，当x ∈[2,+∞)时函数单调递增，可知|x +2|>5，解得x <−7或x >3．故选C ．13.答案：4+3√310解析：解：∵α为锐角，cosα=45，则sinα=35， ∴sin(π6+α)=sin π6cosα+cos π6sinα=12×45+√32×35=4+3√310，故答案为：4+3√310．由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(π6+α)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，属于基础题．14.答案：47解析：本题考查数列的第5项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用．由已知得711=−1a 6+1，解得a 6=114，再由114=1a 5+1，能求出a 5．解：∵数列{a n }满足a n =(−1)n a n−1+1(n ≥2)，a 7=711，∴711=−1a 6+1，解得a 6=114，∴114=1a 5+1，解得a 5=47．故答案为：47．15.答案：①⑤解析：解：对于①，∵CD 1//A 1B ，A 1B ∩A 1C 1=A 1，∴过A 1C 1且与CD 1平行的平面为A 1BC 1，有且只有一个，故①正确；对于②，如图，平面PQR 截正方体所得截面图形是正六边形，不是等腰梯形，故②错误；对于③，∵QR//CD 1，而CD 1//̲A 1B ，又AC 1在平面AA 1B 1B 中的射影为AB 1，A 1B ⊥AB 1，由三垂线定理可知，A 1B ⊥AC 1，即QR ⊥AC 1，故③错误；对于④，如图，由图可知，V M−NGH =V G−MNH =V G−MNC 1−V H−MNC 1=13×2MN ⋅GH ，由于MN ⋅GH 不是定值，故④错误；对于⑤，设点P 为此正方体的内切球的球心，半径R =1．∵OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴当点O ，M ，N 三点共线时，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取得最大值．此时，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤(|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)⋅(|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)，而|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤|PO|2−1，当且仅当点P 为正方体的一个顶点时上式取得最大值，又正方体的对角线长为2√3， ∴(OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =(2√32)2−1=2，故答案为：①⑤．①，利用线面平行的性质，过A 1C 1且与CD 1平行的平面为A 1BC 1，可判断① ②，作图可知，平面PQR 截正方体所得截面图形是正六边形，可判断②； ③，利用三垂线定理可知，QR ⊥AC 1，可判断③；④，作图，可知V M−NGH =V G−MNH =V G−MNC 1−V H−MNC 1=13×2MN ⋅GH ，由于MN ⋅GH 不是定值，可判断④；⑤，利用向量数量积的概念及性质，可知当点O ，M ，N 三点共线时，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取得最大值，继而可求得该最大值，可判断⑤．本题考查空间线面、面面之间的位置关系，考查作图能力、推理运算能力，考查平面向量的数量积的概念及性质的应用，属于难题．16.答案：z max =225，z min =25解析：由约束条件{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1作出点(x,y)的可行域如图所示，∵z =y x =y−0x−0，∴z 的值就是可行域中的点与原点O(0,0)连线的斜率，由图形可知：z max =k OA ，z min =k OB ，由{x −4y +3=0x =1，解得A(1,225)，k OA =225，由{x −4y +3=03x +5y −25=0，解得B(5,2)，k OB =25，故z max =225，z min =25． 17.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a −c =2bcosC =a 2+b 2−c 22ab×2b ，整理可得，a 2+c 2−b 2=ac ，cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，又，故，，所以；(2)由(1)得sinB =√32，所以a sinA =c sinC =bsinB =2，从而a =2sin A ，c =2sin C ．所以c −a =2sinC −2sinA =2sin(2π3−A)−2sinA=√3cosA −sinA =2sin(π3−A)．因为A +C =2π3，所以0<A <2π3，从而−π3<π3−A <π3，所以−√3<2sin(π3−A)<√3，故c −a 的取值范围为(−√3,√3)．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B ，进而可求B ，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c −a ，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．18.答案：证明：(Ⅰ)∵PA ⊥平面ABCVD ，∴PA ⊥CD ，又AC ⊥CD ，CA ∩PA =A ，∴CD ⊥平面PAC ， ∴∠DPC 为PD 与平面PAC 所成角，在Rt △PAC 中，tan∠DPC =CDPC =√155，在Rt △PAC 中，PC =√1+4=√5，∴CD =√3，在Rt △ACD 中，AD =2，∠CAD =60°，∵∠BCA =60°，∴在底面ABCD 中，BC//AD ，AD ⊂平面PAD ， BC ⊄平面PAD ，∴BC//平面PAD ．解：(Ⅱ)设BC 的中点为N ，连结AN ，则AN ⊥BC ，由(Ⅰ)知BC//AD ，∴AN ⊥AD ，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0，2)，C(√32,12,0)，D(0,2，0)，M(√34,−14,1)，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√34,−94,1)，设平面PCD 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +3y =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0，令y =1，n ⃗ =(√3,1,1)，设平面CDM 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +3y =0m⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −9y +4z =0，令y =1，得m⃗⃗⃗ =(√3,1,32)，设二面角P −CD −M 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3+1+32√5⋅√3+1+94=11√525．故二面角P −CD −M 的余弦值为11√525．解析：(Ⅰ)推导出PA ⊥CD ，CD ⊥平面PAC ，∠DPC 为PD 与平面PAC 所成角，由此能证明BC//平面PAD ．(Ⅱ)设BC 的中点为N ，连结AN ，则AN ⊥BC ，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向时法能求出二面角P −CD −M 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)根据表中数据，计算x =15×(88+76+73+66+63)=73.4，y =15×(78+65+71+64+61)=67.8，∑x i 5i=1y i =88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25054，∑x i 25i=1=882+762+732+662+632=27174， ∴b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx i2=25054−5×73.4×67.827174−5×73.42≈0.73， â=y −b ̂x =67.8−0.73×73.4≈14.22， ∴回归直线方程为y ̂=0.73x +14.22； (2)利用(1)中回归方程，令x =96，则ŷ=0.73×96+14.22=84.3， ∴一名学生的数学成绩是96时，试预测他的物理成绩是84.3．解析：(1)根据表中数据，计算x 、y ，求出回归系数b ^、a ^，即可写出回归直线方程； (2)利用(1)中回归方程，计算x =96时y ^的值即可．本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，也考查了计算能力，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3．因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形，则 PA//MN ，且|PA|=|MN|．所以直线PA 的方程为y =k(x −2)，所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0，由Δ>0，得 k 2>12，且x 1+x 2=−8√3k4k +1，x 1x 2=84k 2+1．所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|，所以 √(k 2+1)64k −32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112．经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．21.答案：解：函数的定义域为(0,+∞)，(1)f′(x)=4x +ax=4x 2+a x，当a ≥0，f′(x)>0恒成立， ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a <0时，令f′(x)=0，得x =√−a2或x =−√−a2(不合题意，舍去)，则当x ∈(0,√−a2)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,√−a2)上单调递减，当x ∈(√−a 2,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(√−a2,+∞)上单调递增． (2)∵g(x)=2x 2−4x +2+alnx ， ∴g′(x)=4x −4+ax =4x 2−4x+ax，∵函数g(x)存在两个极值点，设两个极值点为x 1，x 0， ∴x 1，x 0是方程4x 2−4x +a =0的两根， ∴△=16−16a >0，0<a <1，且x 1+x 0=1，∵函数y =4x 2−4x +a 开口向上，与x 轴交于两点，x 0是函数g(x)的极小值点， ∴x 1<x 0，从而12<x 0<1，由4x 02−4x 0+a =0，得a =−4x 02+4x 0，x 0∈(12,1)， g(x 0)=2(x 0−1)2+(4x 0−4x 02)lnx 0，设ℎ(t)=2(t −1)2+(4t −4t 2)lnt(12<t <1)， ∵ℎ′(t)=4(1−2t)lnt >0， ∴ℎ(t)在(12,1)上递增， ∴ℎ(t)>ℎ(12)=12−ln2，∴g(x 0)>12−ln2．解析：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题．对于参数问题要注意进行分类讨论，属于中档题．(1)对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．(2)利用条件x 0是函数f(x)的极值点，确定a 的数值，然后证明：g(x 0)>12−ln2．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ，即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)．即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ．得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0．所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos α<0，且|AF|=3|FB|，故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1．不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1，解得x≥3或83<x<3或x<0，所以原不等式的解集为{x|x<0或x>83}．(2)证明：因为m≥3，n≥3，所以f(m)+f(n)=|m−3|+|n−3|=m−3+n−3=3，即m+n=9．所以1m +4n=19(m+n)(1m+4n)=19(1+4+nm+4mn)≥19(5+2√nm⋅4mn)=1，当且仅当nm =4mn，即m=3，n=6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，说明x=1和x=5是方程f(x)=|ax−3|=2的解，求出a，然后转化不等式f(x)<2f(x+1)−1为|x−3|<2|x−2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m+n=9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。

2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷(理科)(问卷) (解析版)

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：＝．
故选：A．
2．已知集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）
A．∅B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
解：∵集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，
A． B．
C． D．
【分析】作出y＝f（x）的函数图象，根据y＝f（x）和y＝logax的图象有5个交点列不等式组得出a的范围．
解：当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，
故f（x）在[0，2]上的函数图象关于直线Байду номын сангаас＝1对称，
又任意实数x∈[2k﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有，
A． B． C． D．
6．某校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是（）
A．85B．85.5C．86D．86.5
7．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）
3．命题P：∀x∈R，x2+1≥1，则￢P是（）
A．∀x∈R，x2+1＜1B．∀x∈R，x2+1≥1
C． D．
4．已知等差数列{an}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，则a2+a4+a6＝（）
A．20B．24C．26D．28

新疆2020年数学高三理数第一次模拟考试试卷(II)卷

新疆2020年数学高三理数第一次模拟考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （2分） (2019高一上·鸡东月考) 设集合，，则________, ________.2. （1分）(2017·成都模拟) 已知复数z=1﹣2i，那么复数的虚部是________．3. （1分） (2018高二下·溧水期末) 某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩都在[50，100]内，且频率分布直方图如图所示(成绩分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为________．4. （1分）(2016·江西模拟) 运行如图语句，则输出的结果T=________．5. （1分） (2017高一下·苏州期末) 集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，则点P在直线x+y=5上的概率为________．6. （1分） (2019高三上·洛阳期中) 已知点P是曲线上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，点Q是曲线上任意一点，则｜PH｜＋｜PQ｜的最小值为________．7. （1分）已知集合A={a，b}，B={a，b，c，d，e}，满足条件A⊆M⊆B的集合M的个数为________．8. （1分） (2016高三上·天津期中) 若 =3，tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）=________．9. （1分） (2018高三上·酉阳期末) 函数的单调递增区间是________.10. （1分） (2020·新课标Ⅱ·文) 记为等差数列的前n项和．若，则________．11. （1分） (2019高一上·南昌月考) 以下说法中，正确的是________.（填上所有正确说法的序号）：①已知角终边上一点，则；②函数的最小正周期是；③把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象；④数的图象关于对称；⑤函数在上有零点，则实数的取值范图是 .12. （1分） (2017高二上·大庆期末) 圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为________．13. （1分） (2019高一下·延边月考) 在中，，，为的三等分点，则 ________ .14. （1分） (2018高二下·泸县期末) 已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）各顶点都在同一球面上，且，，若此球的表面积等于，则 ________．二、解答题 (共12题；共105分)15. （10分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1 ，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小．16. （5分）(2017·辽宁模拟) 已知是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f （x）的最小正周期为π（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2，，求的取值范围．17. （10分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=8a2lnx+x2+6ax+b（a，b∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x，求a，b的值；（2）若a≥1，证明：∀x1 ，x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ，都有＞14成立．18. （10分） (2019高二下·南昌期末) 已知椭圆的左焦点为，短轴的两个端点分别为A，B，且满足：，且椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点M 的动直线 (与X轴不重合)与椭圆C相交于P，Q两点，在X轴上是否存在一定点T，无论直线如何转动，点T始终在以PQ为直径的圆上？若有，求点T的坐标，若无，说明理由。

[合集3份试卷]2020新疆乌鲁木齐市高考数学质量跟踪监视试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B ．5C ．65D ．62．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=3．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x+=4．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（） A ．0.2 B ．0.3C ．0.7D ．0.85．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（）． A ．15±B ．15-C ．15D ．75-6．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（） A ．1B ．2C ．3D ．47．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48B ．72C ．90D ．968．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（） A ．25B ．2C ．72D ．39．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限10．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=，PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π12．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（） A ．20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,02⎛⎫⎪⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年新疆高考数学一模试卷(文科)(问答) (含答案解析)

2020年新疆高考数学一模试卷(文科)(问答)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数1z=−5i，则z.等于()A. −i5B. i5C. −15D. 152.已知集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x2−x−2≤0}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {0,1}3.函数f(x)=xsin(x+π2)的导函数在[−π,π]上的图象大致是A. B.C. D.4.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为()A. √13B. 8C. 8√55D. 8√13135.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上的右支上，若|PF1|−|PF2|=b，且双曲线的焦距为2√5，则该双曲线的方程为()A. x24−y2=1 B. x23−y22=1 C. x2−y24=1 D. x22−x23=16.7.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，若(a2+c2−b2)tanB=√3ac，则角B的值为()A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π37.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”.根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息.现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为()A. B. C. D.9.在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在棱A1B1，CC1上且A1E=1，C1F=1，则异面直线AE，B1F所成角的余弦值为()A. 310B. 19C. 111D. 010.函数f(x)=cos(π6−x)的单调递减区间是()A. [2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z B. [2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈ZC. [2kπ+7π6,2kπ+13π6]，k∈Z D. [2kπ,2kπ+π]，k∈Z11.若对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x+2013)=−f(x+2012)，且f(2013)=−2013，则f(0)=()A. 1B. −1C. 2013D. −201312.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F，F’，直线y=kx与椭圆C相交于P，Q两点，若|PF|=2|QF|，且∠PFQ=2π3，则椭圆C的离心率为()A. √22B. √23C. √32D. √33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=ex−e，则f′(1)=______ ．14.若x，y满足约束条件{x−2y−2≤0x−y+1≥0y≤0，则z=3x+2y的最大值为______．15.在四面体P−ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°则该四面体P−ABC的外接球的表面积为______ ．16.已知x=1是函数f(x)=(x−2)e x−k2x2+kx(k>0)的极小值点，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1≠152，S4=30且4a1,3a2,2a3成等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)已知b n=log2a n，c n=(−1)n(1b n +1b n+1)，求数列{c n}的前2020项和T2020．18.在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB//DC，AB=AD=PD=1，CD=2．(Ⅰ)求证：平面PBC⊥平面PBD；(Ⅱ)Q为棱PC上的中点，求C到面QDB的距离．19.某数学兴趣小组有男生2名，记为a，b，女生3名，记为c，d，e.现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛．(1)写出所有的基本事件并计算其个数；(2)求参赛学生中恰好有1名男生的概率；(3)求参赛学生中至少有1名男生的概率．20.已知函数f(x)=lnx−12ax2+x,a∈R．(1)当a=0时，求函数f(x)在(1,f(1)))处的切线方程；(2)令g(x)=f(x)−(ax−1)，求函数g(x)的极值；21.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,2)，离心率为√22，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．(I)求椭圆Γ的方程；(II)是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线x−2y−2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|x −2|−m ．(1)当m =5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于x 的不等式f(x)≥2的解集是R ，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵1z =−5i，∴z=i5，∴z.=−i5，故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：B={x|−1≤x≤2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查交集的运算，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查导数的计算以及图象的作法，首先求出导函数，根据导函数研究性质，得到图象．解：f(x)=xsin(x+π2)=xcosxf′(x)=cosx−xsinx，记g(x)=cosx−xsinx，g(−x)=cos(−x)−(−x)sin(−x)=cosx−xsinx=g(x)，则g(x)是偶函数，排除A，g(0)=1>0，排除B，又g(π2)=−π2<0，g(π)=−1>−π2，排除C，故选D．4.答案：D解析：本题考查平面向量的数量积的坐标运算、向量的投影定义，考查运算能力，属于基础题．求出m⃗⃗⃗ ，n⃗的数量积和n⃗的模，再由m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗ ·n⃗⃗|n⃗⃗ |，代入数据计算即可得到．解：m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，，则m⃗⃗⃗ ·n⃗=1×2+2×3=8，|n⃗|=√22+32=√13，则向量m⃗⃗⃗ 在向量n⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗ ·n⃗⃗|n⃗⃗ |=√13=8√1313．故选D．5.答案：C解析：本题考查双曲线的标准方程及性质的应用，属于中档题目．解：由题意可得|PF1|−|PF2|=b=2a，又双曲线的焦距为2c=2√5，所以c=√5，因为c2=a2+b2，所以a2=1，b2=4．故该双曲线方程为x2−y24=1．故选C．6.答案：D解析：本题考查正余弦定理的应用，属于基础题目．化简所给条件得出(a2+c2−b2)2ac =√32cosBsinB，由余弦定理得cosB=√32cosBsinB，最后求出角B即可．解：由(a2+c2−b2)tanB=√3ac∴(a2+c2−b2)2ac =√32cosBsinB，即cosB=√32cosB sinB∴sinB=√32，又在△中所以B为π3或2π3故选D．7.答案：A解析：：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丁说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲．：本题考查了合情推理，考查了学生得推理分析能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故BE=O2E=O2O=r，∴BO2=√2r，∵BO2+O2O=BO=12BD=√22，∴√2r+r=√22，∴r =2−√22，∴黑色部分面积S =π(2−√22)2=3−2√22π，正方形的面积为1，∴在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为3−2√22π，故选：A ．如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r ，求出圆的面积，根据概率公式计算即可本题考查了几何概型的概率计算问题，确定面积为测度是关键．9.答案：A解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE ，B 1F 所成角的余弦值．解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，∵在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱A 1B 1，CC 1上且A 1E =1，C 1F =1， ∴A(3,0，0)，E(3,1，3)，B 1(3,3，3)，F(0,3，2)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，3)，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，−1)，设异面直线AE ，B 1F 所成角为θ，则cosθ=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10×√10=310． ∴异面直线AE ，B 1F 所成角的余弦值为310．故选A ．10.答案：A解析：本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时x −π6的范围，进而求得x 的范围，求得函数的单调递减区间．解：对于函数，∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，∴2kπ≤x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，故函数f(x)的单调减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z故选A．11.答案：C解析：本题考查抽象函数，函数的周期性，属于基础题．由题可得f(2012)=−f(2013)=2013，f(t+2)=f(t)，进而得出f(0)的值．解：f(x+2013)=−f(x+2012)，取x=0可得f(2012)=−f(2013)=2013，令t=x+2012，可得f(t+1)=−f(t)，f(t+2)=f(t)，∴f(0)=f(2012)=2013．故选C．12.答案：D解析：本题考查椭圆的性质，椭圆离心率的求法，考查转化思想，属于基础题．根据题意设椭圆的右焦点，根据三角函数定义可得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率．解：设椭圆的右焦点F′，连接PF′，QF′，由∠PFQ=120°，则∠FPF′=60°，由三角函数定义可得：∠PF′F=90°，∠PFF′=30°，则|FF′|=√3|QF|，即2c=√3|QF|，2a=|PF|+|QF|=3|QF|，∴椭圆的离心率e=ca =√33，故选：D．13.答案：e解析：本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．根据切点处的导数为切线斜率可求出f′(1)的值，解：∵函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=ex−e，∴f′(1)=e，故答案为：e．14.答案：6解析：本题考查线性规划的简单应用，掌握所求表达式的几何意义是解题的关键．解：作出不等式组对应的平面区域，为一个封闭的三角形，由z=3x+2y得y=−32x+12z，平移直线y=−32x+12z，由图象知当直线y=−32x+12z经过点(2,0)时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6，故答案为：6．15.答案：3π解析：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．以PA 、PB 、PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P −ABC 外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P −ABC 外接球的表面积．解：由题意，以PA 、PB 、PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P −ABC 外接球．∵长方体的对角线长为√3，∴球直径为√3，半径R =√32，因此，三棱锥P −ABC 外接球的表面积是4πR 2=4π×(√32)2=3π，故答案为：3π．16.答案：(0,e)解析：解：f′(x)=(x −1)e x −kx +k ，若x =1是函数的极小值点，则x <1时，f′(x)<0，x >1时，f′(x)>0，即(x −1)(e x −k)<0，x <1，即0<k <e x <e故答案为：(0,e)．求出函数的导数，得到(x −1)(e x −k)<0，(x <1)，求出k 的范围即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题． 17.答案：解：(1)设等比数列{a n }的通项为a n =a 1q n−1．当q =1时，S 4=4a 1=30，与a 1≠152矛盾，所以q ≠1．由条件，有{3a 2=a 3+2a 1a 1(1−q 4)1−q=30, 即{3a 1⋅q =a 1⋅q 2+2a 1a 1(1−q 4)1−q=30 解得：a 1=2，q =2．所以{a n }的通项公式为：a n =2n .(2)b n=log2a n=log22n=n，c n=(−1)n(1b n +1b n+1)=(−1)n(1n+1n+1)，所以，T2020=c1+c2+c3+c4+⋯+c2020=−(1+12)+(12+13)−(13+14)+(14+15)−⋯+(−1)2020(12020+12021)=−1−12+12+13−13−14+14+15−⋯+12020+12021=−1+12021=−2020 2021.解析：本题考查等差数列性质，等比数列通项与求和，以及利用裂项相消法求和，属于中档题．(1)由题意求出等比数列首项与公比，代入等比数列通项即可求解；(2)由题意求出c n=(−1)n(1b n +1b n+1)=(−1)n(1n+1n+1)，利用裂项相消法求和．18.答案：证明：(I)∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，DC⊂平面PDC，∴AD⊥PD，AD⊥DC，在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD，①∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D，AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，由①②，∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．解：(II)由(Ⅰ)可知BC⊥平面PBD且BC=√2，V P−BDQ=V Q−PBD=12V C−PBD=12×13×S△PBD×BC=16×12×1×√2×√2=16，由等积法得到C到面QDB的距离d=√66．解析：(I)推导出AD⊥PD，AD⊥DC，过点作B作BH⊥CD于H，推导出PD⊥平面ABCD，从而PD⊥BC，由此能证明BC⊥平面PBD，从而平面PBC⊥平面PBD．(II)由V P−BDQ=V Q−PBD=12V C−PBD，利用等积法得到C到面QDB的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(1)某数学兴趣小组有男生2名，记为a，b，女生3名，记为c，d，e，现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛．基本事件共计10个，分别为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)．(2)参赛学生中恰好有1名男生包含的基本事件有：(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，共6个，∴参赛学生中恰好有1名男生的概率P1=610=35．(3)参赛学生中至少有1名男生包含的基本事件有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，共7个，∴参赛学生中至少有1名男生的概率P2=710．解析：本题考查概率、列举法等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．(1)利用列举法能写出所有的基本事件并计算其个数．(2)利用列举法求出参赛学生中恰好有1名男生包含的基本事件的个数，由此能求出参赛学生中恰好有1名男生的概率．(3)利用列举法求出参赛学生中至少有1名男生包含的基本事件的个数，由此能求出参赛学生中至少有1名男生的概率．20.答案：解：(1)a=0时，，f′(x)=1x+1，f′(1)=2，f(1)=1，故函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程是：y−1=2(x−1)，整理得：y =2x −1，，(x >0)，g ′(x )=1x −ax +1−a =(−ax+1)(x+1)x ，(x >0)，当a ≤0时，g ′(x )>0，g (x )递增，函数无极值;当a >0时，令g ′(x )>0，解得：0<x <1a ，令g ′(x )<0，解得：x >1a ，故g (x )在(0,1a )递增，在(1a ,+∞)递减，故g (x )在x =1a 处取得极大值，无极小值;综上所述，当a ≤0时，g(x)无极值，当a >0时，g(x)的极大值为，无极小值．解析：本题主要考查利用函数的导数求函数的极值以及导数的几何意义，属于基础题．(1)求出函数的导数，计算f(1)，f ′(1)，求出切线方程即可;(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．21.答案：解：(Ⅰ)依题意得{b =2c a =√22a 2=b 2+c 2，解得{a =2√2b =2c =2，所以所求的椭圆方程为x 28+y 24=1；(Ⅱ)假设存在直线l ，使得以AM 为直径的圆C ，经过椭圆Γ的右焦点F 且与直线x −2y −2=0相切，因为以AM 为直径的圆C 过点F ，所以∠AFM =90°，即AF ⊥MF ，又k AF =2−00−2=−1，所以直线MF 的方程为y =x −2，由{y =x −2x 28+y 24=1消去y ，得3x 2−8x =0，解得x =0或x =83，所以M(0,−2)或M(83,23)，(1)当M 为(0,−2)时，以AM 为直径的圆C 为：x 2+y 2=4，则圆心C 到直线x −2y −2=0的距离为d =22=25√5≠2，所以圆C 与直线x −2y −2=0不相切；(2)当M 为(83,23)时，以AM 为直径的圆心C 为(43,43)，半径为r =12|AM|=12√(83)2+(23−2)2=2√53，所以圆心C 到直线x −2y −2=0的距离为d =|43−83−2|√5=2√53=r ，所以圆C 与直线x −2y −2=0相切，此时k AM =23−283−0=−12，所以直线l 的方程为y =−12x +2，即x +2y −4=0，综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为x +2y −4=0．解析：(Ⅰ)由点A(0,2)可得b 值，由离心率为√22可得c a =√22，再由a 2=b 2+c 2，联立方程组即可求得a ，b 值；(II)假设存在直线l ，使得以AM 为直径的圆C ，经过椭圆后的右焦点F 且与直线x −2y −2=0相切，根据以AM 为直径的圆C 过点F 可得∠AFM =90°，求出直线MF 方程，联立直线MF 方程与椭圆方程可得M 坐标，利用直线与圆相切的条件d =r 分情况验证圆与直线x −2y −2=0相切即可；本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在． 22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)．当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由题设知：|x +1|+|x −2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：{x ≥2x +1+x −2>5或{−1≤x <2x +1−x +2>5或{x <−1−x −1+2−x >5，即x >3或x ∈⌀或x <−2，解得f(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)；(2)不等式f(x)≥2即|x+1|+|x−2|≥m+2，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x−2|≥|(x+1)−(x−2)|=3，当且仅当(x+1)(x−2)⩽0时等号成立，∵不等式|x+1|+|x−2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，可得m的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．(1)当m=5时，原不等式可化为|x+1|+|x−2|>5，分三种情况去绝对值，对不等式加以讨论，最后综合即得到f(x)>0的解集；(2)关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，根据绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x−2|的最小值为3大于或等于m+2，由此可得实数m的取值范围．。

2020学年乌鲁木齐市名校高考数学经典试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y++-=的圆心，则双曲线C的离心率为（）A．52B．5C．2D．22．如图，圆O是边长为23的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，BM xBA yBD=+(,)x y∈R，则2x y+的最大值为（）A．2B．3C．2 D．223．设函数22sin()1x xf xx=+，则()y f x=，[],xππ∈-的大致图象大致是的( )A．B．C．D．4．若集合{}2|0,|121xA xB x xx+⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B=（）A．[2,2)-B．(]1,1-C．()11-，D．()12-，5．设2log3a=，4log6b=，0.15c-=，则（）A．a b c>>B．b a c>>C．c a b>>D．c b a>>6．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x yx yx y-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（）A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-7．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（）A ．0B ．1C ．673D ．6748．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（） A ．12B ．72C ．12-D ．72-9．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．32B ．323C ．16D ．16312．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（） A ．2B ．3C ．-2D ．-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。