河南省豫北豫南名校2018届高三上学期第二次联考(理数)
河南省豫北重点中学2018年高考数学二模试卷理科 含解
2018年河南省豫北重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模等于（）A．B．C．D．2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．24．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．9 C．10 D．115．某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号1，2，…，800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A，编号落入区间[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．286．下列命题正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2≤0”B．“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的充分不必要条件C．∃m∈R，使f（x）=mx是幂函数，且函数f（x）在（0，+∞）上单调递增D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为27．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．5πD．9．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当x∈[﹣，0]时，f（x）的最大值和单调增区间分别为（）A．1，[﹣，﹣]B．1，[﹣，﹣]C．，[﹣，0]D．，[﹣，0]10．实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（）A．[﹣3，1] B．[﹣1，3] C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]11．已知直线2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆（x﹣3）2+（y+6）2=25相交于A，B两点，当弦AB 最短时，m的值为（）A．﹣B．﹣6 C．6 D．12．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1， +2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是______．14．已知平面向量，，，满足||=||=|﹣|=|+﹣|=1，则||的最大值为M=______．15．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）的值为______．16．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3，数列{}的前n项和T n，若T n＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．18．深圳市于2018年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为+y2=1．（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．21．设函数f（x）=lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xe1﹣x，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交线段BC于点E，BE=3AD．（1）求证：AB=3AC；（2）当AC=4，AD=3时，求CD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=0时，曲线C1上对应的点为P，以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）求证：曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．2018年河南省豫北重点中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模等于（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，又根据为纯虚数，列出方程组，求解即可得a的值，然后代入复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：==，∵为纯虚数，∴，解得：a=1．复数z=（2a+1）+i=，则．故选：D．2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}={x|（2x+1）（x﹣1）≤0}={x|﹣≤x≤1}=[﹣，1]，集合B={x|y=}={x|}={x|}=（0，1）∪（1，+∞），∴A∩B=（0，1）．故选：A．3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合直线平行的关系，建立斜率关系，利用离心率的定义进行转化求解即可．【解答】解：双曲线的焦点在x轴，则双曲线的渐近线方程为y=±x，直线x﹣y+4=0的斜截式方程为y=x+4，∵双曲线渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则=，即b=a，平方得b2=3a2=c2﹣a2，即c2=4a2，则c=2a，即离心率e==2．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i，p的值，当i=4时，不满足条件i≤3，退出循环，输出s的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，p=1，s=0满足条件i≤3，s=1，i=2，p=3满足条件i≤3，s=4，i=3，p=6满足条件i≤3，s=10，i=4，p=10不满足条件i≤3，退出循环，输出s的值为10．故选：C．5．某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号1，2，…，800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A，编号落入区间[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．28【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=20n﹣2，由561≤20n﹣2≤800，求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：∵800÷40=20，∴由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=18+20（n﹣1）=20n﹣2．落入区间[561，800]的人做问卷C，由561≤20n﹣2≤800，即563≤20n≤818解得28≤n≤40．再由n为正整数可得29≤n≤40，∴做问卷C的人数为40﹣29+1=12，故选：B．6．下列命题正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2≤0”B．“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的充分不必要条件C．∃m∈R，使f（x）=mx是幂函数，且函数f（x）在（0，+∞）上单调递增D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为2【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可，B．根据复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断，C．根据幂函数的定义先求出m，然后结合幂函数的性质进行判断，D．根据数据方差之间的关系进行判断即可．【解答】解：A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2＜0”，故A错误，B．当p真q假时，满足命题p∨q为真命题，但命题p∧q为假命题，则充分性不成立，故B错误，C．若f（x）=mx是幂函数，则m=1，此时f（x）=x3，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，故C正确，D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为4，故D错误，故选：C7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升【考点】等差数列的性质．【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，把d=代入①得：a1=，则a5=+（5﹣1）=．故选B8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．5πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个组合体，包括三部分，左侧是半圆锥，中间是圆柱，右侧的半球，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图知几何体是一个组合体，包括三部分，左侧是半圆锥，中间是圆柱，右侧为半球，左侧是半圆锥，高为1，底面半径为1，体积为：=．中间是圆柱，底面半径为1，高为2，体积为：12π×2=2π，右侧的半球，半径为1，体积为：=．∴几何体的体积是：．故选：A．9．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当x∈[﹣，0]时，f（x）的最大值和单调增区间分别为（）A．1，[﹣，﹣]B．1，[﹣，﹣]C．，[﹣，0]D．，[﹣，0]【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简可得函数解析式f（x）=2sin（ωx﹣），由题意可求周期T，利用周期公式可求ω，由x∈[﹣，0]，可得2x﹣∈[﹣，﹣]，利用正弦函数的图象和性质即可求f（x）的最大值，单调增区间．【解答】解：∵f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣）的图象的相邻两对称轴间的距离为，∴周期T=π=，解得：ω=2，∴f（x）=2sin（2x﹣），∵x∈[﹣，0]时，2x﹣∈[﹣，﹣]，∴利用正弦函数的图象和性质可得f（x）的最大值为．单调增区间为：[﹣，0]．故选：D．10．实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（）A．[﹣3，1] B．[﹣1，3] C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步分目标函数z=ax+y的最大值为a+3，构造一个关于a 的不等式，解不等式即可求出a的范围．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域：∵z=ax+y，A（0，1），∴z A=1；解方程组，得B（2，3），∴z B=2a+3；C（3，0），∴z C=3a．∵线性目标函数z=ax+y的最大值为2a+3，∴，解得﹣1≤a≤3．故选：B．11．已知直线2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆（x﹣3）2+（y+6）2=25相交于A，B两点，当弦AB 最短时，m的值为（）A．﹣B．﹣6 C．6 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线过定点，根据直线和圆相交的性质确定线段AB最短时的等价条件即可求出直线斜率，求出m值．【解答】解：将直线l变形得：2m（x﹣4）+（y+3）=0，由得，即直线L恒过A（4，﹣3），将圆C化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+6）2=25，∴圆心C为（3，﹣6），半径r=5，∵点A到圆心C的距离d==＜5=r，∴点A在圆内，则L与C总相交；若线段AB最短，则满足CA⊥L，∵直径AC所在直线方程的斜率为=3，∴此时l的斜率为﹣，可得2m=，解得m=故选：A．12．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1， +2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是﹣192．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2项的系数．【解答】解：由题意可得：的展开式的通项为=（﹣1）r26﹣r C6r x3﹣r令3﹣r=2得r=1故展开式中x2项的系数是T2=﹣25C61=﹣192．故答案为：﹣192．14．已知平面向量，，，满足||=||=|﹣|=|+﹣|=1，则||的最大值为M=+1．【考点】向量的模．【分析】由题意，设=，=，根据||=||=|﹣|=1，可得△ABC是等边三角形．设=，=，则E在以D为圆心的单位圆上，如图，即可得出．【解答】解：由题意，设=，=，∵||=||=|﹣|=1，则△ABC是等边三角形，设=，=，则E在以D为圆心的单位圆上，如图∴的最大值为M=+1=+1，故答案为：．15．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）的值为．【考点】函数的值．【分析】f（x+1）是周期为2的奇函数，可得f（x）为周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）．由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x），即可得出．【解答】解：∵f（x+1）是周期为2的奇函数，∴f（x）为周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）．由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x），故f（﹣）=f（）=﹣f（）=﹣f（﹣），而﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），∴f（﹣）=﹣2××=，∴f（﹣）=．故答案为：．16．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3，数列{}的前n项和T n，若T n＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值为10．【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出{a n}以及{b n}和{}的通项公式，利用错位相减法进行求和，利用不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．得，解得∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．则=，T n=3+++…+，所以T n=+++…++，两式作差得T n=3+++++…+﹣=3+（1+++…+）﹣=3+﹣=3+2﹣2•（）n﹣1﹣，即T n=10﹣（）n﹣3﹣＜10，由T n＜M对一切正整数n都成立，∴M≥10，故M的最小值为10，故答案为：10三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB≠0，可求，结合A为内角即可求得A的值．（Ⅱ）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B﹣）﹣1，由可求B﹣的范围，从而可求，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，又A亦为三角形内角，因此，．…（Ⅱ）∵，=，=，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为．…18．深圳市于2018年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）求出每个人被抽到的概率为P==，按比例求解得出各种意向人数；（2）运用：选出的10个人中随机抽取4人总共有=210，其中恰有2人有竞价申请意向的有：=90，根据古典概率求解即可．（3）在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p==，判断出此问为二项分B（4，），运用几何分布求解即可．【解答】解：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，∵从30至50岁的有500人，∴每个人被抽到的概率为P==，根据题意得出：电动小汽车，摇号的有50×=1，非电动小汽车，摇号的有150×=3，竞价的有300×=6，（2）设电动小汽车，摇号的为a1，非电动小汽车，摇号的为b1，b2，b3；竞价的为：c1，c2，c3，c4，c5，c6，∵选出的10个人中随机抽取4人总共有=210，其中恰有2人有竞价申请意向的有：=90，∴其中恰有2人有竞价申请意向的概率为：P==．（3）根据题意得出：样本总人数1000人电动小汽车，摇号的有200人，非电动小汽车，摇号的有400人，竞价的有400，总共有1000人，用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p==，服从二项分布B（4，），摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ=0，1，2，3，4∴P（ξ=0）=×（）0×（）4=．P（ξ=1）=××（）3=．P（ξ=2）=×（）2×（）2=．P（ξ=3）=×（）3×（）=．P（ξ=4）=×（）4×（）0=．E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=．19．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）通过已知条件易得=、∠DAB=∠DAA1，利用=0即得A1B⊥AD；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B⊥AD；（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO⊥平面ABB1A1．因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a，，所以=a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），B1（0，a，0），D（0，0，a），所以==（﹣a，a，0）．由可得C（a，a，a），所以=（a，a，﹣a），设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由•=•=0，得，取y0=1，则x0=，z0=，所以=（，1，）．又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a），所以===，故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为+y2=1．（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），该弦中点为（x，y），利用平方差法即可求出该直径的共轭直径所在的直线方程．（2）椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，设与AB平行的弦的端点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），表示出斜率，点的坐标代入椭圆方程，利用平方差法求出斜率关系，然后求出A ，B ，C ，D 坐标，设点C 到直线AB 的距离为d ，求出距离的表达式，即可求解四边形ACBD 的面积是否是定值．【解答】解：（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），该弦中点为（x ，y ），则有，，相减得：，由于，，且，所以得：3x +4y=0，故该直径的共轭直径所在的直线方程为3x +4y=0．（2）椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为k 1，k 2， 四边形ACBD 显然为平行四边形，设与AB 平行的弦的端点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，，而，，，故，由得A ，B 的坐标分别为，故，同理C ，D 的坐标分别为，设点C 到直线AB 的距离为d ，四边形ACBD 的面积为S ，所以，，则==8=4．为定值．21．设函数f（x）=lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xe1﹣x，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）首先确定定义域，再由导函数的正负确定原函数的单调区间（2）由f（x）和g（x）的单调性，通过讨论临界值x1的范围，分情况讨论各自可能的情形，中间需要构造新的函数h（x），再求导的过程．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）f′（x）=﹣2x+a=令f′（x）=0 得：x1=，x2=（舍去）∴当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，）上单调递增当x∈（x1）+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（，+∞）上单调递减∴函数f（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在区间（0，1）上单调递增当x∈（1，e）时，g′（x）＜0，函数g（x）在区间[1，e]上单调递减而g（0）﹣1=﹣1，g（1）﹣1=0，g（e）﹣1=e2﹣e﹣1∈（﹣1，0）∴当x∈（0，e]时，g（x）∈（﹣1，0]由（1）知，f′（x）=且f′（x）=0在定义域内只有一个根：x1=①若x1≥e，则f′（x）在区间（0，e]内无解，∴函数f（x）在区间（0，e]是上单调函数显然f（x）+1=g（x0）至多有一个根，不符合题意．②若x1＜e，则函数f（x）在区间（0，x1）上单调递增，在区间（x1，+∞）上单调递减由题意，对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]有两个不同的根∴f（x1）＞0，且f（e）≤﹣1由f（e）≤﹣1，得ae﹣e2+lne≤﹣1解得：a≤e﹣∵x1是方程﹣2x2+ax+1=0的根∴﹣2+ax1+1=0，即a=2x1﹣故由f（x1）＞0，得ax1﹣+lnx1＞0得（2x1﹣）x1﹣+lnx1＞0整理得：﹣1+lnx1＞0设h（x）=x2﹣1+lnx，x∈（0，e），则h′（x）=2x+＞0∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增而h（1）=1﹣1+ln1=0∴不等式﹣1+lnx1＞0的解为1＜x1＜e又函数y=2x﹣在（1，e）上单调递增∴1=2×1﹣1＜a=2x1﹣＜2e﹣显然e﹣＜2e﹣∴1＜a≤e﹣故实数a的取值范围为（1，e﹣]请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交线段BC于点E，BE=3AD．（1）求证：AB=3AC；（2）当AC=4，AD=3时，求CD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明△BDE∽△BCA，则，利用三角形的角平分线的性质，结合条件，得出AB=3AC；（2）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC﹣BE=3，证明DE∥AC，在等腰梯形ACED中，求得CD的长．【解答】（1）证明：因为四边形ACED为圆内接四边形，所以∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，所以△BDE∽△BCA，则，在圆内接四边形ACED中，CD是∠ACE的平分线，所以DE=AD，，而BE=3AD，所以BA=3CA，即AB=3AC．（2）解：由（1）得AB=3AC=12，而AD=3，所以DE=3，BD=9，BE=3AD=9，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC﹣BE=3，在圆内接四边形ACED中，由于AD=EC，所以∠ACD=∠EDC，DE∥AC，在等腰梯形ACED中，求得．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=0时，曲线C1上对应的点为P，以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）求证：曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（t为参数），得直角坐标方程，从而可得极坐标方程；（Ⅱ）当t=0时，得P（0，﹣1），由（Ⅰ）知曲线C1是经过P的直线，可曲线C1的参数方程，由，可得曲线C2的直角坐标方程，再代入x、y得21T2﹣30T﹣50=0，由韦达定理可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：∵曲线C1的参数方程为（t为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为3x﹣4y﹣4=0，所以曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；（Ⅱ）解：当t=0时，x=0，y=﹣1，所以P（0，﹣1），由（Ⅰ）知：曲线C1是经过P的直线，设它的倾斜角为α，则tanα=，从而，cos，所以曲线C1的参数方程为，T为参数，∵，∴ρ2（3+sin2θ）=12，所以曲线C2的直角坐标方程为3x2+4y2=12，将，代入3x2+4y2=12，得21T2﹣30T﹣50=0，所以|PA|•|PB|=|T1T2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x ≤﹣3，即为x≤﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．综上可得，x≥1或x≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，则2（a+b）＜ab+4．2018年9月14日。
河南省豫南豫北高三第二次联考联评数学(理)试题
豫南豫北2017-2018学年第二次联考联评高三数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}1|{},2|{-====x y x B y y A x，则=⋂B A （ ）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y 2.若原命题为：“若21,z z 为共轭复数，则||||21z z =”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）A ．真真真B ．真真假C ．假假真D ．假假假3.设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)1(log )(3+=x x f ，则=-)2(f （ ） A ．1- B ．3- C ．1 D ．34.若)0,(c F 是椭圆12222=+by a x 的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2mM +的点的坐标是（ ） A ．),(2a b c ± B ．),(2ab c ±- C.),0(b ± D ．不存在5.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A ．π-24B ．π324- C.π+24 D ．π224-6.线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AB BC AC ⋅=2，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，在ABC ∆中， 36,==A AC AB ，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点，利用上述结论，可以求出=36cos （ ）A ．415- B ．415+ C.215- D ．215+ 7.函数1,0,)21(|log |)(≠>-=a a x x f xa .若该函数的两个零点为21,x x ，则（ ） A ．121>x x B ．121=x x C.121<x x D ．无法判定 8.等差数列}{n a 中，3016104=++a a a ，则14182a a -的值为（ ） A ．20 B ．20- C.10 D ．10-9.已知矩形3,4,==BC AB ABCD .将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角D AC B --，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是（ ）A ．π9B ．π16 C.π25 D ．与θ的大小无关10.已知圆4:22=+y x O ，点)0,1(),0,1(B A -，若过B A ,两点的动抛物线的准线始终与圆422=+y x 相切，则该抛物线的焦点的轨迹是（ ）的一部分.A ．直线B ．椭圆 C.双曲线 D ．抛物线 11.数列}{n a 满足)(11,56*11N n a a a a n n n ∈--==+，若对*N n ∈，都有na a a k 11121+++> 成立，则最小的整数k 是（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．612.若关于x 的方程021)(ln 2=-+x x x a 有唯一的实数解，则正数=a （ ） A ．21 B ．31 C.41 D ．91第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知)2,1(),6,(-=-=→→b a λ，若→a 与→b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是．14.设变量y x 、满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤-2220x y x y x ，则|3|y x -的取值范围是．15.已知直线1+=x y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 交于B A ,两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，则该双曲线的离心率为．16.已知非常数数列}{n a 满足n n n n n n n S N n a a a a a a ),(0))((4)(*11222∈=----++++为数列}{n a 的前n 项和.若2,201520152==S S ，则=2017S ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且135cos =B . （1）若54sin =A ，求C cos ； （2）若4=b ，求最小值→→⋅BC AB .18. 如图：四棱锥⊥-PA ABCD P ,平面ABCD .底面ABCD 为直角梯形，,,//AD AB CD AB ⊥,2CD AB PA ==E BC CD AB .=+为BC 边上一点，且BE AB =.（1）求证：DE PE ⊥；（2）求二面角B PE D --的余弦值.19. 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它“相似”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相似”是指它们之间的直线距离不超过1米.（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相似”的概率； （2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布与数学期望.20. 已知：如图，两同心圆：122=+y x 和422=+y x .P 为大圆上一动点，连结OP （O 为坐标原点）交小圆于点M ，过点P 作x 轴垂线PH （垂足为H ），再过点M 作直线PH 的垂线MQ ，垂足为Q .（1）当点P 在大圆上运动时，求垂足Q 的轨迹方程；（2）过点)0,3102(的直线l 交垂足Q 的轨迹于B A 、两点，若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求直线l 的方程. 21. 已知函数),()(R b a b ax exx f x ∈++=. （1）若)(x f 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围；（2）若当)0,1(-∈a 时，函数)(x f 的最大值为b 2，求证：0>b . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=--=ty tx 2121（t 为参数），以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4sin(22πθρ+=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）P 为曲线1C 上任一点，过点P 作曲线2C 的切线PT （T 为切点），求||PT 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲定义在A 上的函数A x x x f ∈∀21,),(，若21x x >，有)()(21x f x f ≥，则称函数)(x f 为定义在A 上的非严格单增函数；若21x x >，有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 为定义在A 上的非严格单减函数.已知：|2|||)(---=x a x x g .（1）若函数)(x g 为定义在R 上的非严格单增函数，求实数a 的取值范围. （2）若函数)(x g 为定义在R 上的非严格单减函数，试解不等式2)(>x g .试卷答案一、选择题1-5:BCACA 6-10:BCDCB 11、12：CA 二、填空题13.12->λ且3≠λ 14.]8,0[ 15.3 16.2017- 三、解答题17.解：（1）在ABC ∆中，由135cos =B 得，1312sin =B ， A B A B >∴>=,sin 1312sin ，故53cos ),2,0(=∴∈A A π，6533sin sin cos cos )cos(cos =+-=+-=B A B A B A C . （2）由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=得，16131022=-+ac c a ，13,222≤∴≥+ac c c a ，5135cos )cos(-≥-=-=-=⋅→→ac B ac B ac BC AB π 故→→⋅BC AB 的最小值为5-.18.证明：（1）⊥PA 平面DE PA ABCD ⊥∴, 又BE AB BC CD AB ==+,ABE ∆∴和CDE ∆为等腰三角形，90,//=∠∴AED CD AB ，即DE AE ⊥而⊥∴=⋂DE A AE PA ,平面PAEDE PE ⊥∴.（2）建立如图所示空间直角坐标系，不妨设1=CD ，则)0,34,324(),2,0,0(),0,0,22(),0,2,0(),0,0,0(E P D B A )2,2,0(),2,34,324(),2,0,22(-=-=-=→→→PB PE PD不妨设平面PDE 的一个法向量为→1n ，平面PBE 的一个法向量为→2n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→021PE n PD n ，可求得：)2,22,1(1=→n 同理可得：)2,2,21(2=→n 所以，17238417272121,cos 21=⨯++>=<→→n n由图可知，二面角B PE D --的平面角为钝角，故其余弦值为17238-.19.解析：（1）由图知，三角形边界共有12个格点，内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有1,2,1,0,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,0对格点，共8对格点恰好“相似”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相似”的概率923128=⨯=P . （2）三角形共有15个格点，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别)4,0)(0,4(，所以，152)51(==Y P 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为)1,3(),2,2(),3,1(),0,0(，所以154)48(==Y P 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为),0,3(),0,2(),0,1(),1,0(),2,0()3,0(.所以156)45(==Y P 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为)1,2(),2,1(),1,1(.所以153)42(==Y P 如下表所示：4615151542154515481551)(===⨯+⨯+⨯+⨯=∴Y E .20.解 ：（1）设垂足),(y x Q ，则)2,(y x P因为P 在422=+y x 上，所以4422=+y x ，所以1422=+y x 故垂足Q 的轨迹方程为：1422=+y x 方法二：设垂足a POH y x Q =∠),,(则⎩⎨⎧==ay ax sin cos 2故垂足Q 的轨迹方程为：1422=+y x （2）不妨设直线l 的方程为),(),,(,31022211y x B y x A my x +=，则有：||1)()(||122212212y y m y y x x AB -+=-+-=，又因为圆与x 轴相切，故：||212||12221y y m y y -+=+ 即2122122122122124)()()()(1y y y y y y y y y y m -++=-+=+（*） 联立直线方程和曲线方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=14310222y x my x 得：0943104)4(22=+++my y m 故，)4(94,)4(3104221221+=+-=+m y y m m y y 代入（*）式中得：2222521099160)4(494111m m m m -=⨯+⨯⨯-=+， 解之得：1±=m故所求的直线l 的方程为：010233=-±y x21.解：（1）xx eae x x f +-='1)(，设xae x x g +-=1)(， 由题意知：0)(≥x g 在R 上恒成立，即x ex a 1-≥恒成立. 设xx e xx e x x -='-=2)(,1)(ϕϕ，因此)(x ϕ在)2,(-∞上是单调增加的，在),2(+∞上是单调减少的，2max 1)2()(e x ==ϕϕ，故21ea ≥.（2）xx xx ae x g ae x x g eae x x f --='+-=+-='1)(,1)(,1)(，因为0)(),0,1(<'-∈x g a ，故函数)(x g 在R 上是单调递减.又0)1(,01)0(<=>+=ae g a g ，故必)1,0(0∈∃x ，使得0)(0=x g ，即100-=x aex （*），因为0>xe ，所以10<x .当),(0x x -∞∈时，0)(>x g ，则0)(>'x f ； 当),(0+∞∈x x 时，0)(<x g ，则0)(<'x f .因此，函数)(x f 的增区间为),(0x -∞，减区间为),(0+∞x .00000max 00,2)()(ax ex b b b ax e x x f x f x x +==++== 000x ae x a b x +=，由（*）式得，011020000<-=+-=x x x x x a b因为)0,1(-∈a ，故0>b .法二：（2）x x xxae x g ae x x g eae x x f --='+-=+-='1)(,1)(,1)(，因为0)(),0,1(<'-∈x g a ，故函数)(x g 在R 上是单调递减.又0)1(,01)0(<=>+=ae g a g ，故必)1,0(0∈∃x ，使得0)(0=x g ，即100-=x aex （*），因为0>xe ，所以10<x .当),(0x x -∞∈时，0)(>x g ，则0)(>'x f ； 当),(0+∞∈x x 时，0)(<x g ，则0)(<'x f .因此，函数)(x f 的增区间为),(0x -∞，减区间为),(0+∞x .00000max 00,2)()(ax ex b b b ax e x x f x f x x +==++== 由100-=x ae x 得：)0,1(100-∈-=x e x a ，即0100<-x e x 且1100->-x e x ，因为0>xe ，所以⎩⎨⎧>+<-101000x e x x ，解得：100<<x ，又0000200000)1(x x x x e x e x x e x ax e x b =-+=+=， 令02)(),1,0(,)(22>-='∈=xx ex x x h x e x x h ，所以0)0(=>h b ，即0>b 成立. 22.解：（1）2)1()1(;0222=-+-=++y x y x ；（2）由（1）知，曲线2C 为圆心)1,1(M ，半径为2的圆，故222||2||)2(||MP MP PT +--=+-=，当且仅当||MP 取得最小值时，||PT 取得最小值，222|211|||min =++=MP ，所以，6||min =PT .23.解：（1）当2>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<++-≤-=---=a x a a x a x x a x a x x g ,22,222,2|2|||)(；当2<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<++-≤-=---=2,22,22,2|2|||)(x a x a a x a x a x a x x g ；当2=a 时，0)(=x g .因为)(x g 为定义在R 上的非严格单增函数，根据定义，可得：2≤a .（2）函数)(x g 为定义在R 上的非严格单减函数，由（1）知2≥a ，且]2,2[)(--∈a a x g . 所以，当42≤≤a 时，不等式2)(>x g 的解集为：∅； 当4>a 时，不等式2)(>x g 的解集为：}2|{ax x <.。
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河南省豫北豫南名校2018届高三上学期第二次联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}1|{},2|{-====x y x B y y A x，则=⋂B A （ ）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y 2.若原命题为：“若21,z z 为共轭复数，则||||21z z =”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）A ．真真真B ．真真假C ．假假真D ．假假假3.设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)1(log )(3+=x x f ，则=-)2(f （ ） A ．1- B ．3- C ．1 D ．34.若)0,(c F 是椭圆12222=+b y a x 的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2mM +的点的坐标是（ ） A ．),(2a b c ± B ．),(2ab c ±- C.),0(b ± D ．不存在5.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A ．π-24B ．π324- C.π+24 D ．π224-6.线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AB BC AC ⋅=2，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，在ABC ∆中，36,==A AC AB ，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点，利用上述结论，可以求出=36cos （ ）A ．415- B ．415+ C.215- D ．215+ 7.函数1,0,)21(|log |)(≠>-=a a x x f xa .若该函数的两个零点为21,x x ，则（ ） A ．121>x x B ．121=x x C.121<x x D ．无法判定 8.等差数列}{n a 中，3016104=++a a a ，则14182a a -的值为（ ） A ．20 B ．20- C.10 D ．10-9.已知矩形3,4,==BC AB ABCD .将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角D AC B --，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是（ ）A ．π9B ．π16 C.π25 D ．与θ的大小无关10.已知圆4:22=+y x O ，点)0,1(),0,1(B A -，若过B A ,两点的动抛物线的准线始终与圆422=+y x 相切，则该抛物线的焦点的轨迹是（ ）的一部分.A ．直线B ．椭圆 C.双曲线 D ．抛物线 11.数列}{n a 满足)(11,56*11N n a a a a n n n ∈--==+，若对*N n ∈，都有na a a k 11121+++> 成立，则最小的整数k 是（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．612.若关于x 的方程021)(ln 2=-+x x x a 有唯一的实数解，则正数=a （ ） A ．21 B ．31 C.41 D ．91第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知)2,1(),6,(-=-=→→b a λ，若→a 与→b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ．14.设变量y x 、满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤-2220x y x y x ，则|3|y x -的取值范围是 ．15.已知直线1+=x y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 交于B A ,两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，则该双曲线的离心率为 ．16.已知非常数数列}{n a 满足n n n n n n n S N n a a a a a a ),(0))((4)(*11222∈=----++++为数列}{n a 的前n 项和.若2,201520152==S S ，则=2017S ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且135cos =B . （1）若54sin =A ，求C cos ； （2）若4=b ，求最小值→→⋅BC AB .18. 如图：四棱锥⊥-PA ABCD P ,平面ABCD .底面ABCD 为直角梯形，,,//AD AB CD AB ⊥,2CD AB PA ==E BC CD AB .=+为BC 边上一点，且BE AB =.（1）求证：DE PE ⊥；（2）求二面角B PE D --的余弦值.19. 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它“相似”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相似”是指它们之间的直线距离不超过1米.（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相似”的概率； （2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布与数学期望.20. 已知：如图，两同心圆：122=+y x 和422=+y x .P 为大圆上一动点，连结OP （O 为坐标原点）交小圆于点M ，过点P 作x 轴垂线PH （垂足为H ），再过点M 作直线PH 的垂线MQ ，垂足为Q .（1）当点P 在大圆上运动时，求垂足Q 的轨迹方程；（2）过点)0,3102(的直线l 交垂足Q 的轨迹于B A 、两点，若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求直线l 的方程. 21. 已知函数),()(R b a b ax exx f x ∈++=. （1）若)(x f 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围； （2）若当)0,1(-∈a 时，函数)(x f 的最大值为b 2，求证：0>b .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=--=ty tx 2121（t 为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4sin(22πθρ+=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）P 为曲线1C 上任一点，过点P 作曲线2C 的切线PT （T 为切点），求||PT 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲定义在A 上的函数A x x x f ∈∀21,),(，若21x x >，有)()(21x f x f ≥，则称函数)(x f 为定义在A 上的非严格单增函数；若21x x >，有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 为定义在A 上的非严格单减函数.已知：|2|||)(---=x a x x g .（1）若函数)(x g 为定义在R 上的非严格单增函数，求实数a 的取值范围. （2）若函数)(x g 为定义在R 上的非严格单减函数，试解不等式2)(>x g .数学（理科）参考答案一、选择题1-5:BCACA 6-10:BCDCB 11、12：CA二、填空题13.12->λ且3≠λ 14.]8,0[ 15.3 16.2017-三、解答题17.解：（1）在ABC ∆中，由135cos =B 得，1312sin =B ， A B A B >∴>=,sin 1312sin ，故53cos ),2,0(=∴∈A A π，6533sin sin cos cos )cos(cos =+-=+-=B A B A B A C . （2）由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=得，16131022=-+ac c a ，13,222≤∴≥+ac c c a ，5135cos )cos(-≥-=-=-=⋅→→ac B ac B ac BC AB π 故→→⋅BC AB 的最小值为5-.18.证明：（1）⊥PA 平面DE PA ABCD ⊥∴, 又BE AB BC CD AB ==+,ABE ∆∴和CDE ∆为等腰三角形，90,//=∠∴AED CD AB ，即DE AE ⊥而⊥∴=⋂DE A AE PA ,平面PAEDE PE ⊥∴.（2）建立如图所示空间直角坐标系，不妨设1=CD ，则)0,34,324(),2,0,0(),0,0,22(),0,2,0(),0,0,0(E P D B A )2,2,0(),2,34,324(),2,0,22(-=-=-=→→→PB PE PD不妨设平面PDE 的一个法向量为→1n ，平面PBE 的一个法向量为→2n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→021PE n PD n ，可求得：)2,22,1(1=→n 同理可得：)2,2,21(2=→n 所以，17238417272121,cos 21=⨯++>=<→→n n 由图可知，二面角B PE D --的平面角为钝角，故其余弦值为17238-.19.解析：（1）由图知，三角形边界共有12个格点，内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有1,2,1,0,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,0对格点，共8对格点恰好“相似”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相似”的概率923128=⨯=P . （2）三角形共有15个格点，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别)4,0)(0,4(，所以，152)51(==Y P 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为)1,3(),2,2(),3,1(),0,0(，所以154)48(==Y P 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为),0,3(),0,2(),0,1(),1,0(),2,0()3,0(.所以156)45(==Y P 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为)1,2(),2,1(),1,1(.所以153)42(==Y P 如下表所示：4615151542154515481551)(===⨯+⨯+⨯+⨯=∴Y E .20.解 ：（1）设垂足),(y x Q ，则)2,(y x P因为P 在422=+y x 上，所以4422=+y x ，所以1422=+y x 故垂足Q 的轨迹方程为：1422=+y x 方法二：设垂足a POH y x Q =∠),,( 则⎩⎨⎧==a y ax sin cos 2故垂足Q 的轨迹方程为：1422=+y x （2）不妨设直线l 的方程为),(),,(,31022211y x B y x A my x +=，则有：||1)()(||122212212y y m y y x x AB -+=-+-=，又因为圆与x 轴相切，故：||212||12221y y m y y -+=+ 即2122122122122124)()()()(1y y y y y y y y y y m -++=-+=+（*） 联立直线方程和曲线方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=14310222y x my x 得：0943104)4(22=+++my y m 故，)4(94,)4(3104221221+=+-=+m y y m m y y 代入（*）式中得：2222521099160)4(494111m m m m -=⨯+⨯⨯-=+，解之得：1±=m故所求的直线l 的方程为：010233=-±y x21.解：（1）xx eae x x f +-='1)(，设xae x x g +-=1)(， 由题意知：0)(≥x g 在R 上恒成立，即xe x a 1-≥恒成立. 设xx exx e x x -='-=2)(,1)(ϕϕ，因此)(x ϕ在)2,(-∞上是单调增加的，在),2(+∞上是单调减少的，2max 1)2()(e x ==ϕϕ，故21ea ≥.（2）xx xx ae x g ae x x g eae x x f --='+-=+-='1)(,1)(,1)(，因为0)(),0,1(<'-∈x g a ，故函数)(x g 在R 上是单调递减.又0)1(,01)0(<=>+=ae g a g ，故必)1,0(0∈∃x ，使得0)(0=x g ，即100-=x aex （*），因为0>xe ，所以10<x .当),(0x x -∞∈时，0)(>x g ，则0)(>'x f ； 当),(0+∞∈x x 时，0)(<x g ，则0)(<'x f .因此，函数)(x f 的增区间为),(0x -∞，减区间为),(0+∞x .00000max 00,2)()(ax e x b b b ax e x x f x f x x +==++== 000x ae x a b x +=，由（*）式得，011020000<-=+-=x x x x x a b因为)0,1(-∈a ，故0>b .法二：（2）x x xxae x g ae x x g eae x x f --='+-=+-='1)(,1)(,1)(，因为0)(),0,1(<'-∈x g a ，故函数)(x g 在R 上是单调递减.又0)1(,01)0(<=>+=ae g a g ，故必)1,0(0∈∃x ，使得0)(0=x g ，即100-=x aex （*），因为0>xe ，所以10<x .当),(0x x -∞∈时，0)(>x g ，则0)(>'x f ； 当),(0+∞∈x x 时，0)(<x g ，则0)(<'x f .因此，函数)(x f 的增区间为),(0x -∞，减区间为),(0+∞x .00000max 00,2)()(ax e x b b b ax e x x f x f x x +==++== 由100-=x ae x 得：)0,1(100-∈-=x e x a ，即0100<-x e x 且1100->-x e x ，因为0>xe ，所以⎩⎨⎧>+<-10100x e x x ，解得：100<<x ，又0000200000)1(x x x x e x e x x e x ax e x b =-+=+=， 令02)(),1,0(,)(22>-='∈=xx e x x x h x e x x h ，所以0)0(=>h b ，即0>b 成立. 22.解：（1）2)1()1(;0222=-+-=++y x y x ；（2）由（1）知，曲线2C 为圆心)1,1(M ，半径为2的圆，故222||2||)2(||MP MP PT +--=+-=，当且仅当||MP 取得最小值时，||PT 取得最小值，222|211|||min =++=MP ，所以，6||min =PT . 23.解：（1）当2>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<++-≤-=---=a x a a x a x x a x a x x g ,22,222,2|2|||)(；当2<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<++-≤-=---=2,22,22,2|2|||)(x a x a a x a x a x a x x g ；当2=a 时，0)(=x g .因为)(x g 为定义在R 上的非严格单增函数，根据定义，可得：2≤a .（2）函数)(x g 为定义在R 上的非严格单减函数，由（1）知2≥a ，且]2,2[)(--∈a a x g . 所以，当42≤≤a 时，不等式2)(>x g 的解集为：∅； 当4>a 时，不等式2)(>x g 的解集为：}2|{ax x <.。