2-3冲激响应和阶跃响应[1]

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求解思路: 求解思路 方程右端激励太复杂 将激励简单化 ˆ 设右端只有δ(t)作用 作用, 设右端只有δ(t)作用,其响应为 h(t)
ˆ δ(t) →h(t) M M
ˆ ˆ d(n) h(t) d(n−1) h(t) ˆ an + an−1 +L+ a0h(t) = Aδ(t) n n− 1 dt dt
冲激响应h(t) 冲激信号
δ(t)
→根据系统的线性和时不变性求复杂激励作用系统的零状态响应X 根据系统的线性和时不变性求复杂激励作用系统的零状态响应. 根据系统的线性和时不变性求复杂激励作用系统的零状态响应
第
一．冲激响应
1．定义
作用下产生的零状态响应， 零状态响应 系统在单位冲激信号 δ (t) 作用下产生的零状态响应， 称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。 表示。 称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用 表示
X
第
分析h(t)解的形式 解的形式 分析
= bmδ (m) (t) +bm−1δ (m−1) (t) +L bδ (1) (t) +b δ (t) + 1 0 anh (t) +an−1h
(n) (n−1)
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(t) +L a h (t) +a0h(t) + 1
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及其导数在t>0时为零 时为零， 由于δ (t) 及其导数在 时为零，因而方程式右端等 于零，因此系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 于零，因此系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 ①与特征根有关 n αit 设特征根为单根（无重根的单根） 设特征根为单根（无重根的单根）h(t) = ∑Ae ε(t) i i=1 ②与n, m相对大小有关 相对大小有关 n •当 > m时 h(t )不 δ (t)及 各 导 ； ， 含 其 阶 数
) ε(t)
X
第
方法二．间接求解(称δ(t)匹配法)
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示 对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示 高阶微分方程
dn y(t) dn−1 y(t) d y(t) an +an−1 +L+a +a0 y(t) = 1 n n− 1 dt dt dt dm f (t) dm−1 f (t) d f (t) bm +bm−1 +L+b +b0 f (t) 1 m m− 1 dt dt dt
0− 0−
含δ(t)项 ) 积分不为0 积分不为0 ˆ(n−1)
有界函数，在无穷 有界函数， 小区间积分为0 小区间积分为0
积分 为A
ˆ ˆ ˆ h(n−1) (0− ) = h(n−2) (0− ) =L= h(0− ) = 0 ˆ ˆ ˆ h(n−2) (0 ) = h(n−3) (0 ) =L= h(0 ) = 0
方程左端最高阶（ 方程左端最高阶（n阶）微分中含有δ(t)项， 项 (n-1)阶微分中含有ε(t)项， 阶微分中含有ε 项 阶微分中含有 (t)函数匹配法确定初始条件0 函数匹配法确定初始条件 由δ(t)函数匹配法确定初始条件0+值
只与A与 只与 与an 有关
( n)
( n−1)
第
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h(n−1) (0+ ) = A , h(0+ ) = h′(0+ ) = h′′(0+ ) = Lh(n−2) (0+ ) = 0 an
vC (t) = Ae ε(t) 1 dvC (t) A −RCt = Aδ(t) − e ε(t) dt RC 注意！
t − RC
t t − 1 −RC RC− Ae ε(t) + RCAδ (t) + Ae RCε(t) =δ (t) RC 整理， 整理，方程左右奇异函数项系数相平衡
此方法比奇异函数系数平衡法简单。 此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更 有优越性。 有优越性。 ˆ 思考: 思考 系统的冲激响应 h(t)与零输入响应和自由响应的 X 不同和相同? 不同和相同
第
定初始条件
an ∫
0+ 0− 0−
程 端 ∫ 方 两 在 积 分
0−
0+
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ˆ(n) (t) dt + a 0+h(n−1) (t) dt +L+ a 0+ h(t)dt = 0+ Aδ(t)dt ˆ ˆ h n− ∫ 1 0∫ ∫
→寻求最简单基本的信号作用于系统的求解问题 寻求最简单基本的信号作用于系统的求解问题; 寻求最简单基本的信号作用于系统的求解问题 →可将复杂激励化分解成一系列简单信号的线性组合 可将复杂激励化分解成一系列简单信号的线性组合; 可将复杂激励化分解成一系列简单信号的线性组合 →求基本信号作用于系统的响应 求基本信号作用于系统的响应; 求基本信号作用于系统的响应
RCAδ (t) = δ (t)
1 RCA= 1 ⇒ A= RC
vC (t) = 1 e ε(t) RC
t − RC
X
第
波形
VC(0+)=1/RC
vC (t) = h(t)
1 RC
6 页
1 1 −RCt h(t) = vC(t) = e ε(t) RC
dvC (t) O iC (t) = C 注意！ 注意！ dt 1 − t 1 RC 1 = − 2 e ε(t) + δ (t) RC R O
δ (t )
LTI
h(t )
2 页
2．求解方法
X
第
例2-3-1 一阶系统的冲激响应(课后自学）
v 求下图RC电路的冲激响应。 条件： 求下图 电路的冲激响应。 条件： C (0− ) = 0 电路的冲激响应 （ ）
R
3 页
iC (t)
+ 列系统微分方程： 列系统微分方程： δ(t) vC (t) C dvC (t) RC + vC (t) = δ(t) − dt t > 0,δ (t) = 0 齐次方程 dvC (t) RC + vC (t) = 0 dt 时转为系统的储能（ 体现）， 冲激 δ (t) 在 t = 0时转为系统的储能（由 vC (0+ )体现）， t >0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统 时 在非零初始条件下齐次方程的解， 的冲激响应。 的冲激响应。
d2 h(t) d h(t) dδ(t) +4 + 3h(t) = + 2δ(t) 2 dt dt dt
t〉0时
h′′(t) + 4h′(t) + 3h(t) = 0
h(t)满 齐 方 足 次 程
求特征根
α2 + 4α + 3 = 0 ⇒α1 = −1,α2 = −3
带 ε (t)
( 不 含 激 n = 2, m = 1, n > m h t)中 包 冲 项
−t
−3t
)ε(t)
h′′(t) = ( A + A )δ′(t) +(− A −3A )δ(t) +( Ae−t +9Ae−3t ) ε(t) 1 2 1 2 1 2
h 将 (t), h′(t), h′′(t)代 原 程 入 方
= ( A + A )δ (t) +(− Ae−t −3A e−3t )ε(t) 1 2 1 2
X
第
求解
特征方程 RC +1= 0 α =
1 特征根 α = − RC
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vC (t) = Ae ε(t)
t − RC
(t > 0+时 解) 的
下面的问题是如何确定系数A： 下面的问题是如何确定系数 ：
方法1:直接解法(奇异函数项相平衡原理)
X
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已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
dvC (t) RC +vC (t) = δ(t) dt
(n)
(n−1)
(t) +L+a1h (t) +a0h(t)
(1)
X
anh (t) + an−1h
(n)
(n− ) 1
= b δ (m) (t) +b −1δ (m−1) (t) +L bδ (1) (t) +b δ (t) + 1 m m 0
(t) +L a h (t) + a0h(t) + 1
f (t) = bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ(t)
X
例2-3-3
Hale Waihona Puke d r(t) d r(t) d e(t) +4 + 3r(t) = + 2e(t) 求h(t)13 页 2 dt dt dt
2
第
ˆ(t) = ( Ae−t + A e−3t )ε(t) h 1 2
( A + A2)δ′(t) +(3A + A2)δ(t) +0⋅ε(t) =δ′(t) +2δ(t) 1 1
1 1 A + A = 1 A = 2 1 2 ⇒ 根据系数平衡， 根据系数平衡，得 1 2 3A + A = 2 A = 1 2 2 1 −t −3t
h(t) = (e +e 2
第
第三节 冲激响应和阶跃响应
问题的提出: 问题的提出 时域经典法求零状态响应遇到困难 确定零状态的初始条件0+值比较烦琐 确定零状态的初始条件 值比较烦琐; 值比较烦琐