2018年高考数学大一轮复习 增分训练 导数的综合应用一 文科 Word版 含答案
2018高考文科数导数及应用专项100题(WORD版含答案)
2018高考文科数导数及应用专项100题（WORD版含答案）一、选择题（本题共22道小题）1.设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）2.曲线在x=e处的切线方程为（）A．y=x B．y=e C．y=ex D．y=ex+13.设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．[﹣1，1]4.已知4()(2)(0)1xf x a x xx=-+>+，若曲线()f x上存在不同两点A，B，使得曲线()f x在点A，B处的切线垂直，则实数a的取值范围是A. (B. (-2, 2)C. (2)D. (2-5.等差数列{a n}中，a1，a4025是函数的极值点，则log2a2013等于（）A．2 B．3 C．4 D．56.对任意x∈R*，不等式lnx≤ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，+∞） C．（﹣∞，] D．[e，+∞）7.已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对∀x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（）A．f（x）＞0恒成立B．f（x）＜0恒成立C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定8.若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．9.函数，则函数的导数的图象是（）A．B．C．D．10.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数x有f′(x)+ f(x)＞0，且f(0)=1，则不等式e x f(x) ＞1的解集为（）A．(－∞，0) B．(0，+∞) C. (－∞，e) D．(e，+∞)11.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B．C． D．12.已知△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为（）A．2 B．C．4 D．13.定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．414.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2x2﹣f（﹣x）．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜2x；若f（m+2）﹣f（﹣m）≤4m+4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣2] C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）15.已知定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）为其导函数，且f（x）＜f′（x）•tanx恒成立，则（）A． f（）＞f（）B． f（）＜f（）C． f（）＞f（）D．f（1）＜2f（）•sin116.设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．D．17.已知，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（）①f（x0）＜x0；②f（x0）=x0；③f（x0）＞x0；④；⑤．A．①④B．②④C．②⑤D．③⑤18.若函数在区间（1，2）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．[2，+∞）19.设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）20.已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）21.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）22.函数f（x）=x+的极值情况是（）A．既无极小值，也无极大值B．当x=﹣2时，极大值为﹣4，无极小值C．当x=2，极小值为4，无极大值D．当x=﹣2时，极大值为﹣4，当x=2时极小值为4二、填空题（本题共17道小题）23.若函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+3x+2，则f′（1）= ．24.函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为．25.已知曲线f（x）=e x﹣mx+1存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为．26.已知函数f（x）满足xf′（x）=（x﹣1）f（x），且f（1）=1，则f（x）的值域为．27.点P（x0，y0）是曲线y=3lnx+x+k（k∈R）图象上一个定点，过点P的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则实数k的值为．28.若函数f（x）=ae x﹣x有两个零点，则实数a的取值范围是．29.函数y=（x+a）e x在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直，则a的值为．30.结合所学知识，土地革命是指打土豪、分田地，题目中并未牵涉，故A项错误；根据题目中“建立革命平民的民权的城市政府”得出：此时中共还坚持以城市为中心的革命模式，故B项正确；结合所学知识，此时中共并未摆脱共产国际的影响，中共独立作出决策，摆脱共产国际的影响是在1935年遵义会议，故C项错误；主张走农村包围城市的革命道路是在秋收起义进攻长沙失败后，与题意不符，故D项错误。
2018届高考数学(文)大一轮复习教师用书第2章函数、导数及其应用第7节函数的图象Word版含答案
第七节 函数的图象———————————————————————————————— 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图象．(4)翻转变换x轴下方部分翻折到上方y＝|f(x)|的图象；①y＝f(x)的图象―――――――――――→x轴及上方部分不变y轴右侧部分翻折到左侧y＝f(|x|)的图象．②y＝f(x)的图象―――――――――――――→原y轴左侧部分去掉，右侧不变1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( )(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．( )(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )(1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )①②③④图271A．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④B3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1D4．(2016·浙江高考)函数y＝sin x2的图象是( )D5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：31222055】(0，＋∞)(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.(1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.3分① ②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.6分(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.9分③ ④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出 画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.(1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.6分(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图②.12分( )(2)(2015·全国卷Ⅱ)如图272，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图272A B C D(1)D (2)B 是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.(2)当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ， 在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.]函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(1)已知函数f (x )的图象如图273所示，则f (x )的解析式可以是( )图273A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x(2)(2016·河南平顶山二模)函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图274所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )图274(1)A (2)C☞角度1已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) C☞角度2 确定函数零点的个数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．5☞角度3 求参数的值或取值范围(2016·浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x ＞0，－－x ，x ＜0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)B☞角度4 求不等式的解集函数f (x )是定义在上的偶函数，其在上的图象如图275所示，那么不等式f xcos x＜0的解集为________．图275⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2 函数图象应用的常见题型与求解方法 (1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．1．识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．2．用图：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等．1．图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错． 2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．课时分层训练(十) 函数的图象A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 的图象上所有的点( )A ．向右平行移动2个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动2个单位长度D ．向左平行移动1个单位长度 B2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )【导学号：31222056】A B C DC3．(2016·广西桂林高考一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )A B C DB4．已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]D ，故选D.]5．(2017·洛阳模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈ 二、填空题6．已知函数f (x )的图象如图276所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________. 【导学号：31222057】图276(2,8] ．]7．如图277，定义在8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5].(1)在如图278所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；图278(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． (1)函数f (x )的图象如图所示．4分(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为，.8分(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.12分10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．(1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图象为：4分(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；，2．已知函数f (x )＝若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________．【导学号：31222058】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2，3分 ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.5分 (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2].7分 ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.9分令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]， q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7，故a 的取值范围为[7，＋∞).12分。
2018年高考大题增分专项1 函数与导数
高考中的函数与导数
专题总结 策略一 策略二
-7策略三
(2) 证明 由(1)知,a=1 时,
2������-1 1 2 2 − 1 + ������2 ������ ������2 ������3 3 1 2 =x-ln x+ + 2 − 3 -1,x∈[1,2]. ������ ������ ������ 3 1 2 设 g(x)=x-ln x,h(x)= + 2 − 3 -1,x∈[1,2]. ������ ������ ������
高考大题增分专项一
考情分析 典例突破
高考中的函数与导数
专题总结 策略一 策略二
-8策略三
设 φ(x)=-3x2-2x+6, 则 φ(x)在 x∈[1,2]单调递减, 因为 φ(1)=1,φ(2)=-10, 所以∃x0∈(1,2),使得 x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0. 所以 h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减. 由 h(1)=1,h(2)=2,可得 h(x)≥h(2)=2, 当且仅当 x=2 时取得等号.
2 ,+∞ ������ 2 ������
内单调递减,在
内单调递增;
2 ������ 2 ,1 ������
当 a=2 时,f(x)在(0,+∞)内单调递增; 当 a>2 时,f(x)在 0, (1,+∞)内单调递增. 内单调递增,在 内单调递减,在
高考大题 增分专项
题型一 题型二 题型三
高考大题增分专项一
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2018版高考数学全国用文科一轮专题练习：专题3 导数及其应用 第17练 含解析 精品
1．若函数y ＝f (x )在x ＝a 处的导数为A ，则li m Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a －Δx )Δx为( )A ．AB ．2A C.A2D ．02．(2016·云南统一检测)函数f (x )＝ln x －2xx 在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝03．(2016·山东青岛58中期中)直线y ＝x 是曲线y ＝a ＋ln x 的一条切线，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．(2016·东营一模)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )5．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则P 点处切线倾斜角α的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，πC.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π66．(2016·昆明模拟)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 015(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x7．(2017·长沙调研)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.29 B.19 C.13D.238．(2016·安庆期中)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝2x 3＋x 2f ′(1)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－72B.72 C ．－7 D ．7二、填空题9．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程是____________． 10．已知函数f (x )＝－f ′(0)e x ＋2x ，点P 为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线l 上的一点，点Q 在曲线y ＝e x 上，则|PQ |的最小值为________．11．(2016·黄冈模拟)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________. 12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 015＝________.答案精析1．B [由于Δy ＝f (a ＋Δx )－f (a －Δx )， 其改变量对应2Δx ， 所以0()()lim x f a x f a x x ∆→+∆--∆∆＝0()()2lim2x f a x f a x x∆→+∆--∆∆＝2f ′(a )＝2A ，故选B.]2．C [f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故函数f (x )在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.]3．B [曲线y ＝a ＋ln x 的导数y ′＝1x ，由题意直线y ＝x 是曲线y ＝a ＋ln x 的一条切线，可知1x ＝1，所以x ＝1，所以切点坐标为(1,1)，因为切点在曲线y ＝a ＋ln x 上，所以a ＝1. 故选B.]4．C [根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又当x ＝0时，y ＝0， 故选C.]5．C [因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3， 所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.] 6．D [∵f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，…， ∴f n (x )＝f n ＋4(x )，故f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x ， ∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－cos x ，故选D.]7．B [y ′＝f ′(x )＝x 2＋1，在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线斜率k ＝f ′(1)＝2， 所以切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，与坐标轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23，⎝⎛⎭⎫13，0，所以三角形的面积为12×13×⎪⎪⎪⎪－23＝19，故选B.] 8．A [由题意，f ′(x )＝6x 2＋2xf ′(1)＋1x ，则f ′(1)＝6＋2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－7，故f ′(2)＝24＋2×2×(－7)＋12＝－72，故选A.]9．y ＝2e x －e解析 ∵f (x )＝x e x ，∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e. 10. 2解析 由f ′(x )＝－f ′(0)e x ＋2，令x ＝0可得f ′(0)＝－f ′(0)e 0＋2，即f ′(0)＝1，所以f (x )＝－e x ＋2x ，所以切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，又f (0)＝－1，故切线方程为y ＋1＝x －0，即x －y －1＝0.由题意可知与直线x －y －1＝0平行且与曲线y ＝e x 相切的切点到直线x －y －1＝0的距离即为所求．设切点为Q (t ，e t )，则k 1＝e t ＝1，故t ＝0，即Q (0,1)，该点到直线x －y －1＝0的距离为d ＝22＝2，故答案为 2. 11．－120解析 f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)·(x －4)(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 12.12 016解析 y ′＝(n ＋1)x n ，y ′|x ＝1＝n ＋1， 切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0152 016＝12 016.。
2018高考数学(文)大一轮复习习题 升级增分训练 利用导数探究含参数函数的性质 Word版含答案
升级增分训练 利用导数探究含参数函数的性质1．已知函数f (x )＝x －12ax 2－ln(1＋x )(a ＞0)．(1)若x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：f ′(x )＝x－a －ax x ＋1，x ∈(－1，＋∞)．(1)依题意，得f ′(2)＝0，即－a －2a 2＋1＝0，解得a ＝13．经检验，a ＝13符合题意，故a 的值为13．(2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1a－1．①当0＜a ＜1时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，a －1，单调减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭⎪⎫a－1，＋∞．②当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)．③当a ＞1时，－1＜x 2＜0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1，0，单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，a－1和(0，＋∞)．综上，当0＜a ＜1时，f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a－1，单调减区间是(－1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1，＋∞；当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)；当a ＞1时，f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0，单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a－1和(0，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x ＜1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在(e 为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x ＜1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：＝3．(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增．因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在上单调递增， 则f (x )在上的最大值为f (e)＝a ．综上所述，当a ≥2时，f (x )在上的最大值为a ； 当a ＜2时，f (x )在上的最大值为2． 3．已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R)． (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点． 当a ＞0时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1a，由f ′(x )＞0，得x ＞1a，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值．∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点， 当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点．(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，解得a ＝1，∴f (x )≥bx －2⇒1＋1x －ln xx≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝ln x －2x2， 令g ′(x )＝0，得x ＝e 2．则g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2，故实数b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－1e 2．4．已知方程f (x )·x 2－2ax ＋f (x )－a 2＋1＝0，其中a ∈R ，x ∈R ． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在．当a ＜0时，由(1)得，f (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )在．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪(0,1]． 5．设函数f (x )＝x 2－ax ＋b ．(1)讨论函数f (sin x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； (2)记f 0(x )＝x 2－a 0x ＋b 0，求函数|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值D ；(3)在(2)中，取a 0＝b 0＝0，求z ＝b －a 24满足条件D ≤1时的最大值．解：(1)由题意，f (sin x )＝sin 2x －a sin x ＋b ＝sin x (sin x －a )＋b ，则f ′(sin x )＝(2sin x －a )cos x ， 因为－π2＜x ＜π2，所以cos x ＞0，－2＜2sin x ＜2． ①a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递增，无极值； ②a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递减，无极值；③对于－2＜a ＜2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内存在唯一的x 0，使得2sin x 0＝a ． －π2＜x ≤x 0时，函数f (sin x )单调递减； x 0≤x ＜π2时，函数f (sin x )单调递增．因此，－2＜a ＜2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值f (sin x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝b －a 24． (2)当－π2≤x ≤π2时，|f (sin x )－f 0(sin x )|＝|(a 0－a )sin x ＋b －b 0|≤|a －a 0|＋|b－b 0|，当(a 0－a )(b －b 0)≥0，x ＝π2时等号成立，当(a 0－a )(b －b 0)＜0时，x ＝－π2时等号成立． 由此可知，|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为D ＝|a －a 0|＋|b －b 0|．(3)D ≤1即为|a |＋|b |≤1，此时0≤a 2≤1，－1≤b ≤1，从而z ＝b －a 24≤1．取a ＝0，b ＝1，则|a |＋|b |≤1，并且z ＝b －a 24＝1．由此可知，z ＝b －a 24满足条件D ≤1的最大值为1．6．已知函数f (x )＝x －1x，g (x )＝a ln x (a ∈R)．(1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，求h (x 1)－h (x 2)的最小值．解：(1)由题意得F (x )＝x －1x－a ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1x2，令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4． ①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0， 所以F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＞2时，Δ＞0，设F ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，所以F (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42．综上，当－2≤a ≤2时，F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a ＞2时，F (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42．(2)对h (x )＝x －1x＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)求导得，h ′(x )＝1＋1x 2＋a x ＝x 2＋ax ＋1x 2，h ′(x )＝0的两根分别为x 1，x 2，则有x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ，所以x 2＝1x 1，从而有a ＝－x 1－1x 1．令H (x )＝h (x )－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x －1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ln x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x －x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ·ln 1x＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ln x ＋x －1x ，即H ′(x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x2－1ln x ＝－x ＋x xx2(x ＞0)．当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，H ′(x )＜0，所以H (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减， 又H (x 1)＝h (x 1)－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x1＝h (x 1)－h (x 2)，所以min ＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝5ln 2－3．。
(word完整版)2018高考一轮复习导数专题
2018高考复习导数题型分类解析一.导数的概念1. 导数的概念：函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ，那么函数y 相应地有增量 y =f (x 0+ x )— f (x 0),比值―y 叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+ x 之间的平均变化率，即 丄=——x)一上必。
如果当xxxx 0时，一y有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做 f (x )在点x 0处x由导数的定义可知，求函数 y=f (x )在点x 0处的导数的步骤:① 求函数的增量 y =f (x 0+ x )— f (x 0兀② 求平均变化率」=一x)一;xx③取极限，得导数f ' (x 0)= lim - oXx例1：若函数y f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0 (a b)则lim―h)―f (x0 h)的值为( )hhA . f '(x 0)B . 2f '(x °)C . 2f '(x °)D . 0例 2:若 f '(x 。
) 3，则 limf (x °h) f (x °3h)()h 0hA. 3 B .6 C . 9 D .122. 导数的意义：①物理意义：瞬时速率，变化率② 几何意义：切线斜率 k limf(x n ) f(x。
)f (x 0)x 0XX XXx n x 0③ 代数意义：函数增减速率例3:已知函数f x f — cosx sinx ，贝y f — 的值为44例 4:已知 f x x 2 3xf 2，贝y f 2_______3. 导数的物理意义：如果物体运动的规律是 s=s (t ),那么该物体在时刻 t 的瞬间速度v=s ( t )o 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v (t ),则该物体在时刻t 的加速度a=v '( t )o例5： —个物体的运动方程为 s 1 t t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3秒末的瞬时速度是 _____________的导数，记作f ' (x 0 )或y ' | X 冷，即f (x 0) = limPx 0f (X 。
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.3 导数的综合应用(讲)
专题3.3 导数的综合应用【考纲解读】【知识清单】考点1 利用导数研究恒成立问题及参数求解利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围, (2)已知函数的单调性求参数的取值范围 ,(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围．考点2 利用导数证明不等式问题利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)．【考点深度剖析】1.利用导数研究函数的零点与方程的根的问题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现,是近几年高考命题热点,一般有两种形式考查:(1)确定函数零点、图像交点及方程根的个数问题.(2)应用函数零点、图像交点及方程解的存在情况,求参数的值或取值范围问题.2.利用导数解决不等式问题是近几年高考热点,常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题.(1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间A 上恒成立(存在性),求参数取值范围. (2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立.(3)大小比较问题,一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式、三角式结构,可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题.【重点难点突破】考点1 利用导数研究恒成立问题及参数求解 【1-1】设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) 单调减区间为(－∞，＋∞)．(2) (－∞，2－e 2)．【1-2】函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________． 【答案】20.【解析】因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 【思想方法】(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．【温馨提醒】已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数 f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x )≥0(或 f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，且 f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数 f (x )在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x 0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间． 考点2 利用导数证明不等式问题【2-1】已知函数f (x )＝12x 2－13ax 3(a >0)，函数g (x )＝f (x )＋e x(x －1)，函数g (x )的导函数为g ′(x )．(1)求函数f (x )的极值； (2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g (x )的单调区间；(ⅱ)求证：x >0时，不等式g ′(x )≥1＋ln x 恒成立．【答案】(1) 极小值为f (0)＝0，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝16a2.(2) (ⅰ) 单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． (ⅱ)详见解析g′(x)＝x(e x－e x＋1)．(ⅰ)记h(x)＝e x－e x＋1，则h′(x)＝e x－e，当x∈(－∞，1)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，∴h(x)≥h(1)＝1>0，则在(0，＋∞)上，g′(x)>0；在(－∞，0)上，g′(x)<0，【2-2】记函数f n (x )＝a ·x n －1(a ∈R ，n ∈N *)的导函数为f ′n (x )，已知f ′3(2)＝12. (1)求a 的值；(2)设函数g n (x )＝f n (x )－n 2ln x ，试问：是否存在正整数n 使得函数g n (x )有且只有一个零点？若存在，请求出所有n 的值；若不存在，请说明理由； (3)若实数x 0和m (m >0且m ≠1)满足f n ′x 0f n ＋1′x 0＝f n mf n ＋1m，试比较x 0与m 的大小，并加以证明．【答案】(1) a ＝1. (2) n ＝1， (3) 当m >1时，x 0<m ，当0<m <1时，x 0>m . 【解析】(1)f 3′(x )＝3ax 2，由f 3′(2)＝12得a ＝1. (2)g n (x )＝x n－n 2ln x －1，g ′n (x )＝nx n －1－n 2x ＝n x n －nx.因为x >0，令g n ′(x )＝0得x ＝nn ， 当x >nn 时，g n ′(x )>0，g n (x )是增函数； 当0<x <nn 时，g n ′(x )<0，g n (x )是减函数． 所以当x ＝nn 时，g n (x )有极小值，也是最小值，g n (nn )＝n －n ln n －1.当x →0时，g n (x )→＋∞； 当x →＋∞时，g n (x )→＋∞.当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x0－m<0，所以x0<m.当0<m<1时，(n＋1)(m n－1)<0.设h(x)＝－x n＋1＋x(n＋1)－n(0<x≤1)，则h′(x)＝－(n＋1)x n＋n＋1＝－(n＋1)(x n－1)≥0，当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在(0,1]上是增函数．又因为0<m<1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x0－m>0，所以x0>m.综上所述，当m>1时，x0<m，当0<m<1时，x0>m.【思想方法】利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．【温馨提醒】构造函数是证明不等式常用方法，但要根据题意明确作一个差函数还是作左右两个函数．【易错试题常警惕】1、函数()f x 的单调性问题，一般是先确定函数()f x 的定义域，再求导数()f x '，最后令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间．如：设函数()ln f x x x =-，讨论()f x 的单调性． 【分析】函数()f x 的定义域是()0,+∞，()11f x x'=-，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 单调递增，当()0f x '<，即01x <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．【易错点】用导数研究函数的单调性时容易忽视函数的定义域而致误．。
(全国通用)高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2.3 导数与函数的综合应用课时作业 文 北
（全国通用）2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.3 导数与函数的综合应用课时作业文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用）2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.3 导数与函数的综合应用课时作业文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3课时导数与函数的综合应用基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R（x)＝错误!则总利润最大时，年产量是（）A．100 B．150C．200 D．300解析由题意得，总成本函数为C＝C（x）＝20 000＋100 x,总利润P（x）＝错误!又P′（x)＝错误!令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．答案D2．设f（x）是定义在R上的奇函数,且f(2）＝0,当x〉0时，有错误!〈0恒成立，则不等式x2f（x）>0的解集是( ）A．（－2，0)∪（2,＋∞）B．(－2，0）∪（0，2）C．(－∞，－2）∪（2,＋∞）D．(－∞，－2)∪（0，2)解析x〉0时错误!′〈0，∴φ（x)＝错误!在(0，＋∞)为减函数，又φ（2）＝0,∴当且仅当0<x<2时，φ(x)〉0，此时x2f（x)>0。
又f（x）为奇函数，∴h（x）＝x2f(x）也为奇函数．故x2f（x）〉0的解集为(－∞，－2)∪（0，2)．答案D3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈［－2,2]恒成立，则m的取值范围是（）A．（－∞，7] B．（－∞，－20]C．（－∞，0］D．[－12,7］解析令f（x）＝x3－3x2－9x＋2，则f′（x）＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f（－1）＝7，f(－2)＝0，f（2）＝－20，∴f(x）的最小值为f(2）＝－20，故m≤－20.答案B4．(2017·景德镇联考）已知函数f（x）的定义域为[－1，4］,部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x）的导函数y－a的零点的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4解析根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x）的大致图像如图所示．由于f（0)＝f(3）＝2，1<a〈2，所以y＝f(x）－a的零点个数为4.答案D5．(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x）＝ax3－3x2＋1，若f(x）存在唯一的零点x0，且x0〉0，则a的取值范围是（）A．(2，＋∞）B．(1,＋∞)C．(－∞，－2) D．（－∞，－1）解析a＝0时，不符合题意，a≠0时,f′(x）＝3ax2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝错误!.若a>0,则由图像知f（x)有负数零点，不符合题意．则a<0，由图像结合f(0）＝1〉0知，此时必有f错误!>0，即a×错误!－3×错误!＋1>0，化简得a2〉4.又a〈0，所以a〈－2.答案C二、填空题6．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝错误!x3－错误!x2－40x(x>0）,为使耗电量最小,则速度应定为________．解析由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40,由于0<x〈40时，y′〈0;x〉40时，y′>0。
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升级增分训练 导数的综合应用（一）1．设函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋x －a －1(a ∈R)． (1)当a ＝－12时，求函数f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥0时，不等式f (x )≥x －1在[1，＋∞)上恒成立． 解：(1)当a ＝－12时，f (x )＝ln x －12x 2＋x －12，且定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝1x－x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52x，(x ＞0)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调增区间是⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋52；单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，＋∞．(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ＋1＝ln x ＋ax 2－a ， 则g ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x，所以当a ≥0时，g ′(x )＞0在[1，＋∞)上恒成立， 所以g (x )在[1，＋∞)上是增函数，且g (1)＝0， 所以g (x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即当a ≥0时，不等式f (x )≥x －1在[1，＋∞)上恒成立． 2．(2016·海口调研)已知函数f (x )＝mx －m x，g (x )＝3ln x ． (1)当m ＝4时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若x ∈(1，e](e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝4时，f (x )＝4x －4x ，f ′(x )＝4＋4x2，f ′(2)＝5，又f (2)＝6，∴所求切线方程为y －6＝5(x －2)， 即y ＝5x －4．(2)由题意知，x ∈(1，e]时，mx －mx－3ln x ＜3恒成立，即m (x 2－1)＜3x ＋3x ln x 恒成立， ∵x ∈(1，e]，∴x 2－1＞0， 则m ＜3x ＋3x ln x x 2－1恒成立．令h (x )＝3x ＋3x ln xx 2－1，x ∈(1，e]，则m ＜h (x )min ．h ′(x )＝－3 x 2＋1 ·ln x －6 x 2－1 2＝－3 x 2＋1 ·ln x ＋6x 2－1 2， ∵x ∈(1，e]， ∴h ′(x )＜0，即h (x )在(1，e]上是减函数．∴当x ∈(1，e]时，h (x )min ＝h (e)＝9e2 e－1 ．∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，9e 2e －2．3．(2017·广西质检)设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)； (2)若f (x )＝0恰有两解，求实数c 的取值范围．解：f ′(x )＝c x ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋cx(x ＞0)，又f ′(1)＝0，所以f ′(x )＝ x －1 x －cx(x ＞0)且c ≠1，b ＋c ＋1＝0．(1)因为x ＝1为f (x )的极大值点，所以c ＞1， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当1＜x ＜c 时，f ′(x )＜0； 当x ＞c 时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )． (2)①若c ＜0，则f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．f (x )＝0恰有两解，则f (1)＜0，即12＋b ＜0，所以－12＜c ＜0；②若0＜c ＜1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ，f (x )极小值＝f (1)＝12＋b ，因为b ＝－1－c ，则f (x )极大值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极小值＝－12－c ＜0，从而f (x )＝0只有一解；③若c ＞1，则f (x )极小值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极大值＝－12－c ＜0，则f (x )＝0只有一解．综上，使f (x )＝0恰有两解的c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0． 4．(2017·福建省质检)已知函数f (x )＝ax －ln(x ＋1)，g (x )＝e x－x －1．曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处的切线相同．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ≥0时，g (x )≥kf (x )，求k 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a －1x ＋1(x ＞－1)，g ′(x )＝e x－1， 依题意，f ′(0)＝g ′(0)，即a －1＝0，解得a ＝1， 所以f ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1， 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0． 故f (x )的单调递减区间为(－1,0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)由(1)知，当x ＝0时，f (x )取得最小值0， 所以f (x )≥0，即x ≥ln(x ＋1)，从而e x≥x ＋1．设F (x )＝g (x )－kf (x )＝e x＋k ln(x ＋1)－(k ＋1)x －1， 则F ′(x )＝e x＋k x ＋1－(k ＋1)≥x ＋1＋kx ＋1－(k ＋1)， (ⅰ)当k ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋1x ＋1－2≥0(当且仅当x ＝0时等号成立)，此时F (x )在[0，＋∞)上单调递增， 从而F (x )≥F (0)＝0，即g (x )≥kf (x )．(ⅱ)当k ＜1时，因为f (x )≥0，所以f (x )≥kf (x )． 由(ⅰ)知g (x )－f (x )≥0，所以g (x )≥f (x )≥kf (x )， 故g (x )≥kf (x )．(ⅲ)当k ＞1时，令h (x )＝e x＋kx ＋1－(k ＋1)，则h ′(x )＝e x－kx ＋12，显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增， 又h ′(0)＝1－k ＜0，h ′(k －1)＝ek －1－1＞0，所以h ′(x )在(0，k －1)上存在唯一零点x 0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在[0，x 0)上单调递减， 从而h (x )＜h (0)＝0，即F ′(x )＜0， 所以F (x )在[0，x 0)上单调递减， 从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )＜F (0)＝0， 即g (x )＜kf (x )，不合题意．综上，实数k 的取值范围为(－∞，1]．5．(2016·石家庄质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x－e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≥g x ，g x ，f x ＜g x ，试讨论函数h (x )零点的个数．解：(1)由已知，f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x， 所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1， 由题意，知a ＝－1．(2)易知函数g (x )＝e x－e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x ＜1时，g (x )＜0，又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R 上单调递减，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，f (－1)＝34－a ＞0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点， 此时y ＝h (x )有两个零点；②当a ＞0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0， 两根为x 1＝－a3＜0，x 2＝ a3＞0， 则－ a3是函数f (x )的一个极小值点，a3是函数f (x )的一个极大值点， 而f ⎝⎛⎭⎪⎫－ a 3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－ a 33＋a ⎝⎛⎭⎪⎫－ a 3－14＝－2a3a 3－14＜0； 现在讨论极大值的情况：fa3＝－a 33＋aa 3－14＝2a3a 3－14， 当fa3＜0，即a ＜34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零， 此时y ＝h (x )有两个零点； 当fa3＝0，即a ＝34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝ a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点； 当fa3＞0，即a ＞34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a3， 若f (1)＝－1＋a －14＜0，即a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点；。