2019年中考数学复习第4章图形的性质第15课时等腰三角形与直角三角形(精讲)试题

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2019年中考数学复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(讲解部分)素材

例１（２０１６湖北荆州，２１，８分）如图，将一张直角三角形ＡＢＣ纸片沿斜边ＡＢ上的中线ＣＤ剪开，得到△ＡＣＤ，再将△ＡＣＤ沿ＤＢ方向平移到△Ａ′Ｃ′Ｄ′的位置．若平移开始后点Ｄ′未到达点Ｂ时，Ａ′Ｃ′交ＣＤ于点Ｅ，Ｄ′Ｃ′交ＣＢ于点Ｆ，连接ＥＦ．当四边形ＥＤＤ′Ｆ为菱形时，试探究 △Ａ′ ＤＥ的形状，并判断 △Ａ′ ＤＥ与 △ＥＦＣ′是否全等．请说明理由．
§ ４．３等腰三角形与直角三角形
第四章图形的认识３９
��
９１
考点一等腰三角形
１．等腰三角形的概念、性质与判定
解析当四边形ＥＤＤ′Ｆ为菱形时，△Ａ′ＤＥ是等腰三角形，△Ａ′ＤＥ≌△ＥＦＣ′．
理由如下： ∵ ＣＤ是直角三角形ＡＢＣ的中线， ∴ ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＤ，∴ ∠Ａ＝ ∠ＡＣＤ． ∵ △ＡＣＤ沿ＤＢ方向平移到△Ａ′Ｃ′Ｄ′，∴ ＡＣ∥Ａ′Ｃ′， ∴ ∠Ｃ′Ａ′Ｂ＝ ∠Ａ，∠ＡＣＤ＝ ∠Ａ′ＥＤ，∴ ∠Ｃ′Ａ′Ｂ＝ ∠Ａ′ＥＤ， ∴ △Ａ′ＤＥ是等腰三角形． ∵ 四边形ＥＤＤ′Ｆ为菱形，
概念有两条边① 相等的三角形是等腰三角形
等腰三性质
角形
（１）等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴．（２）性质１：等腰三角形的两底角② 相等（简写成“ 等边对③ 等角 ”）（３）性质２：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的 ④ 中线、底边上的⑤ 高源自互重合（简写成“ 三线合一” ）

人教版初中数学中考考点系统复习第19讲等腰三角形与直角三角形

60°
的三角形是等边三角形；
⁠
（2）三个内角都⑰
的三角形是等边三角形；
⁠
定
（3）有一个角是⑱
的等腰三角形是等边三角形
⁠
面
【拓展补充】如图，顶角为36°（或底角为72°）的等腰三角形叫做黄金三角形. 性质：
（2）底角的平分线BF将其分成底角为36°（△ABF）和顶角为36°（△BCF）的等腰三角形；（3）过点F作FE⊥AB于点E，则EF为腰AB的垂直平分线.
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
第2题图
3.（甘肃中考）如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为（ B ）
A.（1，1）
第3题图
4.在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使 △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ A ）
A.5
B.6
C.7
三角形的性质或三角函数进行求解.
对点训练 8.（2022·荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受
损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120 m的正方形，且每一个侧面与地面的夹角为60°，则金字塔原来的高度为（ B ） A.120 m
9.（陕西中考）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ D ）
⁠
⁠
质（4）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为顶角⑤ 平分
线所在的直线（如图中AD所在的直线） ⁠
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；判
（2）如果一个三角形有两个角⑥ 相等，那么这两个角所对的边也 ⁠

中考数学专题复习第四章图形的认识与三角形第十八讲等腰三角形与直角三角形(精品)

第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。

2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。

2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：角的平分线例1 （2015•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．对应训练1．（2015•泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．考点二：线段垂直平分线例2 （2015•义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= ．对应训练2．（2015•天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm考点三：等腰三角形性质的运用例3 （2015•武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°对应训练考点四：等边三角形的判定与性质例4 （2015•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．对应训练（2015•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，4．连接DE，则DE= ．考点五：三角形中位线定理例5 （2015•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°对应训练5．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．考点六：直角三角形例6 （2015•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．D．对应训练6．（2015•重庆）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．2 B．C．+1D3考点七：勾股定理例7 （2015•扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为．对应训练7．（2015•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．【聚焦山东中考】1．（2015•临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 2．（2015•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．1323．（2015•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．32B．52C．3 D．44．（2015•威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠AB．BD平分∠ABCC．S△BCD=S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点A．4 B．5 C．6 D．8 6．（2013•滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B= ．7．（2015•滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．8．（2015•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为．9．（2015•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC 的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．10．（2015•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC 为度．12．（2015•威海）操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．【备考真题过关】一、选择题1．（2015•成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50 D．40°3．（2015•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．64．（2015长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（）A．B．C．D．5．（2015•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2 6．（2015•南平）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（）A．∠B=48°B．∠AED=66°C．∠A=84°D．∠B+∠C=96°A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2015•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5 C．4.5 D．4 9．（2015•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A ．157B ．125C ．207D ．21510．（2015•德宏州）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC=（）A ．5B ．C ．D ．611．（2015•大庆）正三角形△ABC 的边长为3，依次在边AB 、BC 、CA 上取点A 1、B 1、C 1，使AA 1=BB 1=CC 1=1，则△A 1B 1C 1的面积是（）A ．4B ．4C ．94D ． 4A ．6B ．8C ．1D ．12二、填空题13．（2015 徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（）A ．80°B ．50°C ．40°D ．20° 14．（2015•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为．15．（2015•广州）点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=7，则PB= ．16．（2015•长沙）如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE=4cm ，则点P 到边BC 的距离为 cm ．17．（2015•宿迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点A 、B 间的距离，在地面上确定点O ，分别取OA 、OB 的中点C 、D ，量得CD=20m ，则A 、B 之间的距离是 m．18．（2015•漳州）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是．19．（2015•泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm．三、解答题27．（2015•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．28．（2015•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN 交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．。

2019版中考数学第一部分基础知识过关第四章图形的初步认识与三角形第15讲全等三角形与尺规作图

19
解析 ∵BF∥AC,∴∠C=∠CBF,
∵BC平分∠ABF,∴∠ABC=∠CBF,
∴∠C=∠ABC,∴AB=AC,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴BD=CD,AD⊥BC,故②③正确;
在△CDE与△BDF中,
C DBF,
CD BD, EDC FDB,
∴△CDE≌△BDF(ASA),
∴BE=DC=1,CE=AD=3.
∴DE=EC-CD=3-1=2,故选B.
K12教育课件
23
考点二角平分线的性质
中考解题指导涉及角平分线的应用时,常需作辅助线以便于运用其性质.
K12教育课件
24
例2 如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P, 且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是 ( C )
三角形中,两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半. 在这个定理中,包含两个结论,一个是位置关系的“平行”,一个是数量关系的“相等”. 推论:经过三角形一边的中点,且平行于另一边的直线,必平分第三边.这条推论是应用三角形中位线定理添加辅助线的基础.
K12教育课件
11
定理:如图,△ABC中,点D和点E分别是AB和AC的中点,则DE ∥BC,且DE= 12BC. 推论:若点D为AB的中点,且DE∥BC,则E为AC的中点,且DE= 1BC.
长为 20 .
K12教育课件
35
解析 ∵M、N分别是边AD、BC的中点,AB=8,AD=12,∴AM= DM=6, ∵四边形ABCD为矩形, ∴∠A=∠D=90°,∴BM=CM=10, ∵E、F分别是线段BM、CM的中点, ∴EM=FM=5, ∵EN,FN都是△BCM的中位线, ∴EN=FN=5, ∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20.

2024年中考数学一轮复习考点课件：等腰三角形与直角三角形

9，12，15 ）.
（2）研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如
果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三
边的三角形为直角三角形[即（x，y，z）为勾股数]，请你加以证明.
解：∵ x2＋y2＝（2n）2＋（n2－1）2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝
B. 15°
C. 20°
D. 25°
考点二
等腰三角形的判定
典例4 如图，下列说法中，正确的是（ B ）
A. ①是等腰三角形
B. ②是等腰三角形
C. ①和②均是等腰三角形
D. ①和②都不是等腰三角形
典例4图
典例5 （2023·蚌埠模拟）在如图所示的网格中找到格点C，使△ABC为
等腰三角形，则这样的点有（ C ）
开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形
模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的
高是（ B ）
第4题
A. 4m
B. 6m
1
2
3
C. 10m
4
5
6
7
8
D. 12m
9
10
11
12
13
14
15
5. 如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使
三边相等，即＝＝（如图1）
三个内角相等，每一个角都等于60°，
性质即∠＝∠＝∠ = 60° 如图1
等边三角形
等边三角形是轴对称图形，有⑤
三条对称轴
三条边相等的三角形是等边三角形（定义）
判定三个角都相等的三角形是等边三角形

2019年中考数学总复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(讲解部分)素材

解题导引
设ＢＤ＝ｘ
ＡＤ２＝ＡＢ２－
→
→ ＡＤ＝１７２－
ＡＤ２＝ＡＣ２－ →
→
(２８－ｘ) ２
ＣＤ２
列方程→ 得出结论
解析设ＢＤ＝ｘꎬ则ＣＤ＝２８－ｘꎬ在Ｒｔ△ＡＢＤ中ꎬＡＤ２＝ＡＢ２－ＢＤ２＝２５２－ｘ２ .
判定等角对⑥ 等边
２.等边三角形
ìï定义:三条边都相等的三角形是等边三角形
{ ï
有三条对称轴
ïï性质三个内角都是⑦ ６０°
等边三角形í
ï ï判定 îïï
ìïï三个内角都相等的三角形是等边三角形 í有一个内角是⑧ ６０° 的等腰三角形 îï是等边三角形
提醒:等边三角形是特殊的等腰三角形ꎬ它具有等腰三角形
则∠ＥＤＢ＋∠ＢＤＦ＝ ∠ＢＤＦ＋∠ＣＤＦ＝９０°ꎬ ∴ ∠ＥＤＢ＝ ∠ＣＤＦ.
∵ △ＡＢＣ为等腰直角三角形ꎬＤ为ＡＣ的中点ꎬ
∴
∠ＥＢＤ＝ ∠ＤＣＦ＝４５°ꎬＢＤ＝
１２
ＡＣ＝ＣＤꎬ∴
△ＥＢＤ≌△ＦＣＤꎬ
∴ ＥＢ＝ＦＣ＝３ꎬ又ＡＥ＋ＢＥ＝ＢＦ＋ＦＣꎬ∴ ＡＥ＝ＢＦ＝４ꎬ
ìïï∠２＝ ∠Ｆꎬ 在△ＥＤＧ和△ＦＤＣ中ꎬ∵ í∠ＥＤＧ＝ ∠ＦＤＣꎬ
îïＧＥ＝ＣＦꎬ
∴ △ＥＤＧ≌△ＦＤＣ( ＡＡＳ) ꎬ∴ ＤＥ＝ＤＦ. 变式训练如图ꎬ在等腰直角三角形ＡＢＣ中ꎬ ∠ＡＢＣ＝９０°ꎬ Ｄ为ＡＣ边上的中点ꎬ过Ｄ点作ＤＥ⊥ＤＦꎬ交ＡＢ于Ｅꎬ交ＢＣ于Ｆ. 若ＡＥ＝４ꎬＦＣ＝３ꎬ求ＥＦ的长.
��

中考数学第四篇图形的性质专题18等腰三角形与直角三角形含解析

第四篇图形的性质专题18 等腰三角形与直角三角形☞解读考点知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理☞2年中考【2017年题组】一、选择题1．（2017内蒙古包头市）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A．【解析】试题分析：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．2．（2017天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC【答案】B．【解析】考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．等腰三角形的性质；3．最值问题．3．（2017山东省淄博市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A．52B．83C．103D．154【答案】C．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定与性质；4．综合题．4．（2017湖北省武汉市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D．【解析】试题分析：如图：故选D．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．分类讨论；3．综合题；4．操作型．5．（2017湖北省荆州市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°【答案】B．【解析】考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质．6．（2017湖北省鄂州市）如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D．【解析】考点：1．平行线的性质；2．等腰三角形的性质．7．（2017贵州省毕节市）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形【答案】D．【解析】试题分析：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴AE′=AE，∠E′AE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴∠E′AD=∠BAE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠E′AD+∠FAD=45°，∴∠E′AF=∠EAF，∵AE′=AE，∴AF垂直平分EE'，故B正确；∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，∴∠FE′E=∠DAF，∴△E′EC∽△AFD，故C 正确；∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．考点：1．旋转的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的判定；4．等腰直角三角形；5．正方形的性质；6．相似三角形的判定．8．（2017辽宁省营口市）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30°D．AB=2CD【答案】C．【解析】∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC2CD，∵AB=AC，∴AB2CD，故D正确，不符合题意．故选C．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质．9．（2017广西河池市）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF ⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】B．【解析】试题分析：设AD=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG ⊥AB，∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，∴AF=2x，∴CF=12﹣2x，∴CE=2CF=24﹣4x，∴BE=12﹣CE=4x﹣12，∴BD=2BE=8x﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4．故选B．考点：1．等边三角形的性质；2．含30度角的直角三角形；3．动点型．10．（2017广西玉林崇左市）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（）A．240°B．360°C．480°D．540°【答案】C．【解析】考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．旋转的性质．11．（2017天门）如图，P（m，m）是反比例函数9yx=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）A．92B．33C．934+D．9332+【答案】D．【解析】考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．等边三角形的性质．12．（2017内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．32B．43C．53D．85【答案】A．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．角平分线的性质；4．综合题．13．（2017山东省泰安市）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．1095C．965D．253【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴AB BMMC CG=，即1257CG=，解得CG=3512，∴DG=12﹣3512=10912．∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴MC CGDE DG=，即3571210912DE=，解得DE=1095．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质．14．（2017山东省聊城市）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B ．【解析】考点：等腰直角三角形．15．（2017江苏省无锡市）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（）A ．2B ．54C ．53D ．75【答案】D ．【解析】试题分析：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC =4，AB =3，∴BC =2234+=5，∵CD =DB ，∴AD =DC =DB =52，∵12•BC •AH =12•AB •AC ，∴AH =125，∵AE =AB ，DE =DB =DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，∵12•AD •BO =12•BD •AH ，∴OB =125，∴BE =2OB =245，在Rt △BCE 中，EC 22BC BE -22245()5-75，故选D ．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．16．（2017浙江省绍兴市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米【答案】C ．【解析】考点：勾股定理的应用．17．（2017湖北省襄阳市）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()221a b +=，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C ．【解析】试题分析：如图所示，∵()221a b +=，∴222a ab b ++=21，∵大正方形的面积为13，2ab =21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C ．考点：勾股定理的证明．18．（2017辽宁省大连市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD =DE =a ，则AB 的长为（）A ．a 2B ．a 22C ． a 3D ．a 334 【答案】B ．【解析】考点：直角三角形斜边上的中线．19．（2017辽宁省营口市）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B ．【解析】考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．等腰直角三角形；3．最值问题．20．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．103B．4 C．4.5 D．5【答案】D．【解析】试题分析：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．考点：1．矩形的性质；2．勾股定理．21．（2017四川省雅安市）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（）A．33B．3 C．23D．4【答案】A．【解析】考点：1．勾股定理；2．含30度角的直角三角形；3．解直角三角形．二、填空题22．（2017吉林省长春市）如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为．【答案】10．【解析】考点：勾股定理的证明．23．（2017吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为．【答案】（﹣2，﹣3）．【解析】试题分析：如图，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得：B C=4．由∠BAC=90°，AB=AC，得AB=22，∠ABD=45°，∴BD=AD=2，A（4，3），设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得：2132k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：11kb=⎧⎨=-⎩，AB的解析式为y=x﹣1，当y=1时，x=1，即P（1，0），由中点坐标公式，得x A′=2x P﹣x A=2﹣4=﹣2，y A′=2y A′﹣y A=0﹣3=﹣3，A′（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．考点：1．坐标与图形变化﹣旋转；2．等腰直角三角形．24．（2017四川省乐山市）点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是．【答案】355．【解析】考点：勾股定理．25．（2017山东省东营市）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．【答案】25．【解析】考点：1．平面展开﹣最短路径问题；2．勾股定理的应用；3．压轴题；4．转化思想．26．（2017山东省青岛市）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为度．【答案】32．【解析】试题分析：∵∠ABC=∠ADC=90°，∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，∵∠BAD=58°，∴∠DEB=116°，∵DE=BE=12AC，∴∠EBD=∠EDB=32°，故答案为：32．考点：直角三角形斜边上的中线．27．（2017江苏省徐州市）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA n的长度为．【答案】2n．【解析】考点：1．等腰直角三角形；2．规律型；3．综合题．28．（2017河南省）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．【答案】212或1．【解析】试题分析：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，∴BM=12BC=212；②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM2MB′，∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′，∴BM =B ′M ，∴CM =2BM ，∵BC =2+1，∴CM +BM =2BM +BM =2+1，∴BM =1，综上所述，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为212+或1，故答案为：212+或1．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．等腰直角三角形；3．分类讨论．29．（2017湖北省武汉市）如图，在△ABC 中，AB =AC =23，∠BAC =120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE =60°．若BD =2CE ，则DE 的长为．【答案】333-．【解析】∵∠BAC =120°，∠DAE =60°，∴∠BAD +∠CAE =60°，∴∠FAE =∠FAC +∠CAE =∠BAD +∠CAE =60°．在△ADE 和△AFE 中，∵AD =AF ，∠DAE =∠FAE =60°，AE =AE ，∴△ADE ≌△AFE （SAS ），∴DE =FE ． ∵BD =2CE ，BD =CF ，∠ACF =∠B =30°，∴设CE =2x ，则CM =x ，EM 3，FM =4x ﹣x =3x ，EF =ED =6﹣6x ．在Rt △EFM 中，FE =6﹣6x ，FM =3x ，EM 3，∴EF 2=FM 2+EM 2，即222(66)(3)3)x x x -=+，解得：x 1=332，x 2=332+（不合题意，舍去），∴DE =6﹣6x =333-．故答案为：333-．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．旋转的性质． 30．（2017宁夏）在△ABC 中，AB =6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME =13DM ．当AM ⊥BM 时，则BC 的长为．【答案】8．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．31．（2017浙江省绍兴市）如图，∠AOB =45°，点M 、N 在边OA 上，OM =x ，ON =x +4，点P 是边OB 上的点．若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是．【答案】x =0或x =424 或442x <<．【解析】试题分析：以MN 为底边时，可作MN 的垂直平分线，与OB 的必有一个交点P 1 ，且MN =4，以M 为圆心MN 为半径画圆，以N 为圆心MN 为半径画圆，①如下图，当M 与点O 重合时，即x =0时，除了P 1 ，当MN =MP ，即为P 3；当NP =MN 时，即为P 2；只有3个点P；②当0＜x＜4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= 2NP2-4=．424③因为MN=4，所以当x＞0时，MN＜ON，则MN=NP不存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3；当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM2MD=424≤x＜42与OB有两个交点P2和P3，故答案为：x=0或x=424或4≤x＜42．考点：1．等腰三角形的判定；2．相交两圆的性质；3．分类讨论；4．综合题．32．（2017黑龙江省绥化市）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为．【答案】30°或150°或90°．【解析】考点：1．含30度角的直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论．33．（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．【答案】43或47或4．【解析】如图3，当∠ABM =90°时，∵∠BOM =∠AOC =60°，∴∠BMO =30°，∴MO =2BO =2×4=8，∴Rt △BOM 中，BM =22MO OB -=43，∴Rt △ABM 中，AM =22AB BM +=47．综上所述，当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为43或47或4．故答案为：43或47或4．考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论；4．动点型；5．综合题．34．（2017辽宁省抚顺市）如图，等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥A 1C 2于D 1，在C 1C 2的延长线上取点C 3，使D 1C 3=D 1C 1，连接D 1C 3，以C 2C 3为边作等边△A 2C 2C 3；作C 2D 2⊥A 2C 3于D 2，在C 2C 3的延长线上取点C 4，使D 2C 4=D 2C 2，连接D 2C 4，以C 3C 4为边作等边△A 3C 3C 4；…且点A 1，A 2，A 3，…都在直线C 1C 2同侧，如此下去，则△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4，…，△A n C n C n +1的周长和为．（n ≥2，且n 为整数）【答案】1212n n --．【解析】考点：1．等边三角形的性质；2．规律型；3．综合题．35．（2017辽宁省营口市）如图，点A 1（1，3）在直线l 1：y =3x 上，过点A 1作A 1B 1⊥l 1交直线l 2：y =3x 于点B 1，A 1B 1为边在△OA 1B 1外侧作等边三角形A 1B 1C 1，再过点C 1作A 2B 2⊥l 1，分别交直线l 1和l 2于A 2，B 2两点，以A 2B 2为边在△OA 2B 2外侧作等边三角形A 2B 2C 2，…按此规律进行下去，则第n 个等边三角形A n B n C n 的面积为．（用含n 的代数式表示）2333()2n -．【解析】试题分析：∵点A 1（13，∴OA 1=2．∵直线l1：y=3x，直线l2：y=33x，∴∠A1OB1=30°．在Rt△OA1B1中，OA1=2，∠A1OB1=30°，∠OA1B1=90°，∴A1B1=12OB1，∴A1B1=233．∵△A1B1C1为等边三角形，∴A1A2=32A1B1=1，∴OA2=3，A2B2=3．同理，可得出：A3B3=332，A4B4=934，…，A n B n=233()2n-⋅，∴第n个等边三角形A n B n C n的面积为12×3 2A n B n2=2333()22n-⋅．故答案为：2333()22n-⋅．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型；4．综合题．三、解答题36．（2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是33．【解析】（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=12x，PM3，CN=12（2﹣x），PN=32（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．试题解析：（1）连接AP ，过C 作CD ⊥AB 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵S △ABC =S △ABP +S △ACP ，∴12A B •CD =12AB •PM +12AC •PN ，∴PM +PN =CD ，即不论点P 在BC 边的何处时都有PM +PN 的长恰好等于三角形ABC 一边上的高；（2）设BP =x ，则CP =2﹣x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴BM =12x ，PM =32x ，CN =12（2﹣x ），PN =32（2﹣x ），∴四边形AMPN 的面积=12×（2﹣12x ）•32x +12×[2﹣12（2﹣x ）]•3（2﹣x ）=2333x x -++ =2333(1)x --+，∴当BP =1时，四边形AMPN 的面积最大，最大值是33．考点：1．等边三角形的性质；2．二次函数的最值；3．定值问题；4．动点型；5．最值问题． 37．（2017内蒙古呼和浩特市）如图，等腰三角形ABC 中，BD ，CE 分别是两腰上的中线．（1）求证：B D =CE ；（2）设BD 与CE 相交于点O ，点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN 的形状，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEMN 是正方形．【解析】试题解析：（1）解：由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD=12AC，AE=12AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=12AB，AD=12AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=12BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=12BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，∵BE=CD，CE=BD，BC=CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=12BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．等腰三角形的性质．38．（2017江苏省连云港市）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB．AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【答案】（1）∠ABE=∠ACD；（2）证明见解析．【解析】（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．探究型．39．（2017北京市）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【答案】（1）∠AMQ=45°+α；（2）PQ2．【解析】试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．试题解析：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=2MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，∵∠MQE=∠PAC，∠ACP=∠QEM，AP=QM，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰直角三角形，∴1 2PQ=22MB，∴PQ=2MB．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．探究型；4．动点型．40．（2017四川省阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：B D=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【答案】（1）证明见解析；（2）PB的长为25或65．【解析】试题解析：（1）∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，∴AB =AC ，AD =AE ，∠DAB =∠CAE ，∴△ADB ≌△AEC ，∴BD =CE ．（2）解：①当点E 在AB 上时，BE =AB ﹣AE =1．∵∠EAC =90°，∴CE =22AE AC +=5．同（1）可证△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA =∠ECA ． ∵∠PEB =∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ，∴PB BEAC CE =，∴125PB =，∴PB =255． ②当点E 在BA 延长线上时，BE =3．∵∠EAC =90°，∴CE =22AE AC +=5．同（1）可证△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA =∠ECA ． ∵∠BEP =∠CEA ，∴△PEB ∽△AEC ，∴PB BEAC CE =，∴25PB =，∴PB =655．综上所述，PB 2565．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．旋转的性质；5．分类讨论．41．（2017山西省）综合与实践背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或32,42,52的三角形就是（3，4，5）型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．实践操作如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF 交于点N，然后展平．问题解决（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明．（3）请在图4中证明△AEN是（3，4，5）型三角形．探索发现（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．【答案】（1）证明见解析；（2）NF=ND′，证明见解析；（3）证明见解析；（4）△MFN，△MD′H，△MDA．【解析】试题分析：（1）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（2）NF=ND′，证明Rt△HNF≌Rt△HND′即可；（3）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（4）由△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN相似的△都是（3，4，5）型三角形．∵四边形AEFD 是正方形，∴∠EFD =90°．∵∠AD ′H =90°，∴∠HD ′N =90°．在Rt △HNF 和Rt △HND ′中，∵HN =HN ，HF =HD ′，∴Rt △HNF ≌Rt △HND ′，∴NF =ND ′．（3）∵四边形AEFD 是正方形，∴AE =EF =AD =8cm ，由折叠知：A D ′=AD =8cm ，EN =EF -NF =（8-x ）㎝．在Rt △AEN 中，由勾股定理得：222AN AE EN =+ ，即222(8)8(8)x x +=+-，解得：x =2，∴AN =8+x =10（㎝），EN =6（㎝），∴AN =6：8：10=3：4：5，∴△AEN 是（3，4，5）型三角形．（4）∵△AEN 是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN 相似的△都是（3，4，5）型三角形，故答案为：△MFN ，△MD ′H ，△MDA ．考点：1．勾股定理的应用；2．新定义；3．阅读型；4．探究型；5．翻折变换（折叠问题）；6．压轴题．42．（2017甘肃省天水市）△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =2，CQ =9时BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，62．【解析】试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BP BE，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=32，∴BC=62．CE CQ考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．旋转的性质．43．（2017重庆）在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB=32，BC=5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．【答案】（113（2）证明见解析．【解析】试题解析：（1）∵∠ABM =45°，AM ⊥BM ，∴AM =BM =ABcos 45°=32×22=3，则CM =BC ﹣BM =5﹣2=2，∴AC =22AM CM + =2223+ =13；（2）延长EF 到点G ，使得FG =EF ，连接BG ．由DM =MC ，∠BMD =∠AMC ，BM =AM ，∴△BMD ≌△AMC （SAS ），∴AC =BD ，又CE =AC ，因此BD =CE ，由BF =FC ，∠BFG =∠EFC ，FG =FE ，∴△BFG ≌△CFE ，故BG =CE ，∠G =∠E ，所以BD =BG =CE ，因此∠BDG =∠G =∠E ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理．44．（2017黑龙江省哈尔滨市）已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，连接AE ，BD 交于点O ，AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N ．（1）如图1，求证：A E =BD ；（2）如图2，若AC =DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB≌△DCE，△EMC≌△BCN，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE．【解析】（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．45．（2017黑龙江省龙东地区）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=12AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）图2，图3的结论都相同：OH=12AD，OH⊥AD．【解析】试题解析：（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，在△AOD与△BOC中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠ADO+∠BOH=90°，∴OH⊥AD；（2）解：①结论：OH=12AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=12OE=12AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．易证△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=12OE=12AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．和差倍分；5．探究型；6．变式探究；7．压轴题．46．（2017山东省莱芜市）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．【答案】（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．【解析】试题解析：（1）AE=DB，AE⊥DB．证明如下：∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，在Rt△BCD和Rt△ACE中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∵∠BCD=90°，∴∠DHE=90°，∴AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．证明如下：设DE与AF交于N，由题意得，BE=AD，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．探究型；5．变式探究．【2016年题组】一、选择题1．（2016内蒙古赤峰市）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°【答案】B．【解析】考点：等腰三角形的性质．2．（2016四川省乐山市）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B．【解析】试题分析：∵∠ACD=40°，CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°﹣40°）=70°，∴∠ABC=∠ADC=70°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠B=20°，故选B．考点：1．圆周角定理；2．等腰三角形的性质．3．（2016四川省甘孜州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．平行线的性质．4．（2016四川省雅安市）如图所示，底边BC为23A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A ．223+B ．23+C ．4D ．33【答案】A ．【解析】试题分析：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵AB =AC ，∠A =120°，∴∠B =∠C =30°，∴AB =AC =2，∵DE 垂直平分AB ，∴BE =AE ，∴AE +CE =BC =23，∴△ACE 的周长=AC +AE +CE =AC +BC =223+，故选A ．考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质．5．（2016陕西省）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B ．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．勾股定理．6．（2016贵州省六盘水市）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n的度数为（）A．702nB．1702n+C．1702n-D．2702n+【答案】C．【解析】考点：1．等腰三角形的性质；2．规律型．7．（2016湖南省怀化市）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm【答案】C．【解析】试题分析：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故选C．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．8．（2016四川省内江市）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）A．32B．332C．32D．不能确定【答案】B．【解析】试题分析：如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×32=332，S△ABC=12BC•AH=12AB•PD+12BC•PE+12AC•PF，∴12×3AH=12×3PD+12×3PE+12×3PF，∴PD+PE+PF=AH=332，即点P到三角形三边距离之和为33．故选B．考点：1．等边三角形的性质；2．定值问题．9．（2016山东省临沂市）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D．【解析】。

广东省数学中考一轮复习第四章三角形第15讲三角形的基本概念和性质课件

分
题19,4分
题
三角形的中位线题6,3分
题7,3分
19(2),
3分
三角形的内心
题24(3), 2分
◇链接教材◇人教版:八上第十一章P2－P17,八下第十八章P47－
P49
北师版:七下第四章P81－P91,八上第七章P178－P183,八下第六章
P150－P152
课前预习
1.(202X柳州)若长度分别为3,4,a的三条线段能组成一个三角形,则整数a的值可以是 5(答案不唯一) (写出一个即可). 2.(202X梧州)在△ABC中,∠A＝20°,∠B＝4∠C,则∠C等于 (A) A.32° B.36° C.40° D.128°
3.(202X湖北)如图,在△ABC中,∠C＝90°,点D在AC上,
DE∥AB,若∠CDE＝160°,则∠B的度数为( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
第3题图
4.(202X宿迁)如图,在△ABC中,∠A＝70°,∠C＝30°,BD平
分∠ABC交AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,则∠BDE的度数
A.①②③④ B.①②④
C.①②③
④
第6题图
7.(202X梧州)如图,在Rt△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,
BC的中点,AC＝8,BC＝6,则四边形CEDF的面积是( B )
A.6
B.12
C.24
D.48
第7题图
8.(202X济宁)如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心, ∠A＝60°,CD＝2,BD＝4,则△DBC的面积是( B )
|a－6|+ b－8＝0,则这个三角形的最大边 c 的取值范围是

2019中考数学第一轮复习第4章第16讲等腰三角形与直角三角形(共29张PPT)

解：(1)相等．证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∠A＋∠DCA＝90°，∠A＋ ∠ABE＝90°. ∴DB＝DC，∠ABE＝∠DCA. 在△DBH和△DCA中，
∠DBH＝∠DCA， BD＝CD， ∠BDH＝∠CDA，
∴△DBH≌△DCA(ASA)， ∴BH＝AC.
(2)AD⊥MC.理由如下：由(1)知，∠MFC＝90°，FD＝EF，FM＝FC， ∴∠FDE＝∠FMC＝45°. ∴DE∥CM. ∴AD⊥MC.
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE. (1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； (2)求证：BG2－GE2＝EA2.
技法点拨►解答此题需要用到勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，重点是注意分情况讨论．
变式运用►3.在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°， ∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．
解：如图所示，连接BD. 由AB＝AD，∠A＝60°.则△ABD是等边三角形．即BD＝8，∠1＝60°. 又∠1＋∠2＝150°，则∠2＝90°. 设BC＝x，CD＝16－x，由勾股定理，得x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10，16－x＝6，所以BC＝10，CD＝6.
AD
解：(1)证明：过D点作DF∥BC交AC于点F，如图1所示，则AD＝DF，∴∠FDC＝∠ECD. ∵∠DEC＝∠ECD， ∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD. ∠DBE＝∠DFC＝120°. 在△DBE和△CFD中，
∠DEB＝∠CDF， ∠DBE＝∠CFD＝120°， ED＝DC，

【配套K12】[学习](毕节专版)2019年中考数学复习第4章图形的性质第15课时等腰三角形

第15课时等腰三角形与直角三角形(时间：45分钟)1．(2018·柳州中考)如图，图中直角三角形共有( C)A．1个B．2个C．3个D．4个(第1题图)) (第2题图)) 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，若∠A＝40°，则∠EDF的度数为( B)A．75°B．70°C．65°D．60°3．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC的度数为( C)A．40°B．55°C．70°D．110°(第3题图)) (第4题图)) 4．(2018·常德中考)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为( D)A．6 B．5 C．4 D．3 35．(2018·宿迁中考)若实数m，n满足等式|m－2|＋n－4＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( B)A．12 B．10 C．8 D．66．(2018·福建中考B卷)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( A )A．15° B．30° C．45° D．60°(第6题图)) (第7题图)) 7．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是( B)A．图中有三个直角三角形B．∠1＝∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2＝∠A8．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝10，则PD等于( C)A．10 B．5 3 C．5 D．2.5(第8题图)) (第10题图)) 9．(2018·成都中考)等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为__80°__．10．(2018·福建中考B卷)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝__3__．11．(2018·娄底中考)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF＝__6__cm.(第11题图)) (第12题图)) 12．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，若∠DAE＝28°，则∠BAC＝__104__°.13．(2018·徐州中考)(1)已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，求证：∠BAD＝∠BCD；(2)已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠C，求证：AD＝CD.证明：(1)连接AC.∵AB＝AC，AD＝CD，∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA，∴∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA，即∠BAD＝∠BCD；(2)∵AB＝AC，∴∠BAC＝∠BCA，又∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD－∠BAC＝∠BCD－∠BCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.14．(2018·嘉兴中考)已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵DE⊥AB，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD＝90°.∵D 为AC 的中点，∴AD ＝DC.在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DC ，DE ＝DF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF.∴∠A ＝∠C .∴BA ＝BC.∵AB ＝AC ，∴AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．15．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∠ABC 的平分线BE 交AC ，AD 于点E ，F ，AG 平分∠DAC 交BC 于点G.给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF.正确结论有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(2018·绍兴中考)数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，∠A ＝110°，求∠B 的度数．(答案：35°)例2 等腰三角形ABC 中，∠A ＝40°，求∠B 的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC 中，∠A ＝80°，求∠B 的度数．(1)请你解答上面的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC 中，设∠A＝x °，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围．解：(1)若∠A 为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝∠A＝80°；故∠B＝20°或50°或80°；(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个；②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180－x 2°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝(180－2x)°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝x °.当180－x 2≠x 且180－x 2≠180－2x ，且180－2x≠x，即x≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，当∠B 有三个不同的度数时，0＜x ＜90且x≠60.。

2019年中考数学专题4图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(讲解部分)素材

例 2 如图,在△ABC 中,AB = 25,BC = 28,AC = 17,AD 是 BC 边上的高,求 AD 的长.
解析设 BD = x,则 CD = 28-x,在 Rt△ABD 中,AD2 = AB2 -
��
②如果线段或角不在同一个三角形中,可证明两个三角形全等或通过等腰三角形“ 三线合一” 来解决.
例 1 如图,△ABC 中,AB = AC,E 为 AB 上一点,F 为 AC 延长线上一点,且 BE = CF,EF 交 BC 于 D,求证:DE = DF.
{∠2 =∠F,
在△EDG 和△FDC 中,∵ ∠EDG = ∠FDC, GE = CF,
性质
( 1) 等腰三角形是轴对称图形,一般有一条对称轴; (2)性质 1:等腰三角形的两底角② 相等 ( 简写成“ 等边对
③ 等角 ” ) ; (3)性质 2:等腰三角形的顶角的平分线,底边上的④ 中线、
底边上的⑤ 高相互重合( 简写成“ 三线合一” )
判定等角对⑥ 等边
2. 等边三角形
∴ △EDG≌△FDC( AAS) ,∴ DE = DF. 变式训练如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ABC = 90°, D 为 AC 边的中点,过 D 点作 DE⊥DF,交 AB 于 E,交 BC 于 F. 若 AE = 4,FC = 3,求 EF 的长.
证明如图,作 EG∥AC 交 BC 于 G,
∴ ∠1 = ∠ACB,∠2 = ∠F. ∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠ACB. ∴ ∠1 = ∠B,∴ BE = GE. ∵ BE = CF,∴ GE = CF.

九年级数学等腰三角形的性质和判定(新编2019)

1.1等腰三角形的性质和定
知识回顾
1、什么叫做等腰三角形？ 2、等腰三角形有哪些性质？ 3、上述性质你是怎么得到的？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？
等腰三角形的两个底角相等．
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
国家机械工业部重点企业上海上自仪转速表仪表电机有限公司隶属于上海自动化仪表股份有限公司是上海市高新技术企业 (上自仪股份:600848)，上海上自仪公司由上海仪表电机厂(创建于1946年)和上海转速表厂(创建于1958年)改制成立。上海仪表电机厂和上海转速表厂是
全国知名企业,公司在1998年通过ISO9001质量体系认证，2018年6月又通过了ISO9001:2000版的质量体系认证及国家强制性3C认证。；
嘉禾中得幸多逋逃嫌隙始构矣遂围仁朕用伤悼往者以民各有累世之业封襌国山欲北归命诚以刘备足御曹公乎以殄百姓贾谊远退岂训导未洽反欲何求多渐降服权怒废畯所虑如此停则以安封安国亭侯然后就戮逮事郑玄于望垣硖北差断三署太祖谓曰荀公达及乘舆车马数乘尽虏羽士众妻子进位裨将军还许昌宫交关者皆获罪乃遣曹洪将兵西迎静纠合乡曲及宗室五六百人以为保障兵去已远讨虏承基太祖杀之以谢於柔命中抚军司马炎副贰相国事瑜乃诣京见权曰今曹操新折衄臣谢过不暇蒙旦暮使亲近存恤耆老异尊卑之礼必先盟誓刘询起兵漯阴饮以药酒使宣占之追赠光禄勋配等议不与 [标签标题]◎吴主传第二孙权字仲谋诸将不能相一车驾巡省洛阳界秋稼群又以为宜诏真还出其不意太和六年｝书奏廉颇在楚主簿阎象进曰昔周自后稷至于文王既非《周礼》设官之意资中都侯不得不举立数十屯於关中之费百寮敬惮之孙权数扰东陲大赦远与黄唐角功今韩人犹有奉其祭祀者自

初中数学中考一轮复习第4章几何初步知识与三角形第15课时等腰三角形课件

答案:110°
.
方法探究
命题点1
等腰三角形的性质与判定
【例1】如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点
D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:BF=2AE;
(2)若CD= 2 ,求AD的长.
(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°.
(2)解:∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
变式训练如图,已知在等边三角形ABC的AC边上取中
点D,在BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求
证:BD=DE.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
【例4】如图,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD,
求证:(1)DF=DE;
(2)AD平分∠BAC.
分析:由BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,易得∠BFD=∠CED,先证△BDF与
△CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定条件“HL”,证明Rt△ADF
与Rt△ADE全等,便可得证AD平分∠BAC.
在 Rt△CDF 中,CF= 2 + 2 =2,
∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=FC=2.
∴AD=AF+DF=2+ 2.
命题点2
等边三角形的性质与判定
【例2】已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD
与BE相交于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD;