2017届高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：策略(四) 回扣六 立体几何 Word版含答案

环节一：记牢概念公式，避免临场卡壳 1．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线长)， S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′，r 分别为上、下底的半径，l 为母线长)． (5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S ，S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积 S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.2．证明空间位置关系的方法 (1)线面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊂αa ⊄α⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α. (2)线线平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ∥c ⇒c ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b . (3)面面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥β，b ∥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ. (4)线线垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b . (5)线面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ⇒l ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α ⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α. (6)面面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β. 环节二：巧用解题结论，考场快速抢分 1．把握两个规则： (1)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高．(2)画直观图的规则：画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x 轴、z 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度为原来的一半．2．长方体的对角线与共点三条棱之间的长度关系d 2＝a 2＋b 2＋c 2；长方体外接球半径为R 时有(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2.3．棱长为a 的正四面体内切球半径r ＝612a ，外接球半径R ＝64a . 环节三：明辨易错易混，不被迷雾遮眼1．易混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ⊂α.2．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．3．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13.4．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件．环节四：适当保温训练，树立必胜信念1．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β ”是“α∥β ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上可知，“m ∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．2．已知空间中有不共线的三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 异面C ．AB 与CD 相交D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交解析：选D 若三条线段共面，则直线AB 与CD 相交或平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线．3．(2016·全国甲卷)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高为4)，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23，所以圆锥的母线长为（23）2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为12×4π×4＝8π.所以该几何体的表面积为S ＝16π＋4π＋8π＝28π.4．如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的正视图是边长为1的正方形，俯视图是边长为1的正三角形，点P 是A 1B 1上一动点(异于A 1，B 1)，则该三棱柱的侧视图是( )解析：选C 由正视图与俯视图知，A 1B 1垂直于投影面，且侧视图为长方形，PC 的投影线为虚线．5．三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.253πB.252πC.833πD.832π 解析：选D 由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，∴x 2＝32＋()x －62，解得x ＝564，∴R 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝832π，故选D.6．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P -ABC 的体积等于________．解析：由题意得，V P -ABC ＝13·S △ABC ·P A ＝13×12×2×3×3＝ 3. 答案： 37．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．解析：由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥所剩的几何体，底面是直角边为1的等腰直角三角形，高为2，∴所求体积V ＝V 柱－V 锥＝⎝⎛⎭⎫12×1×1×2－13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×2＝23. 答案：238．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S -ABCD ，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为________．解析：设所给半球的半径为R ，则四棱锥的高h ＝R ，底面正方形中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2R ，所以23R 3＝423，则R 3＝22，于是所求半球的体积为V ＝23πR 3＝423π.答案：423π9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由； (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .解：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB . 又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ， 所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ， 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD .10.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝4，CB ＝2，AA 1＝2，∠ACB ＝60°，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)证明：平面AEB ⊥平面BB 1C 1C ； (2)证明：C 1F ∥平面ABE ；(3)设P 是BE 的中点，求三棱锥P -B 1C 1F 的体积． 解：(1)证明：在△ABC 中，∵AC ＝2BC ＝4，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝23，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴AB ⊥BC ，由已知AB ⊥BB 1，且BC ∩BB 1＝B ，可得AB ⊥平面BB 1C 1C ， 又AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面BB 1C 1C .(2)证明：取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM ， 在△ABC 中，FM ∥AB ，而FM ⊄平面ABE ，∴直线FM ∥平面ABE ， 在矩形ACC 1A 1中，E ，M 分别是A 1C 1，AC 的中点， ∴C 1M ∥AE ，而C 1M ⊄平面ABE ，∴C 1M ∥平面ABE ， ∵C 1M ∩FM ＝M ，∴平面ABE ∥平面FMC 1， 又C 1F ⊂平面FMC 1，故C 1F ∥平面ABE .(3)取B 1C 1的中点H ，连接EH ，则EH ∥AB ，且EH ＝12AB ＝3，又AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴EH ⊥平面BB 1C 1C ， ∵P 是BE 的中点，∴VP -B 1C 1F ＝12VE -B 1C 1F ＝12×13S △B 1C 1F ·EH ＝12×13×2×3＝33.。