高中数学课时跟踪检测一变化率问题导数的概念新人教A版选修2-2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时跟踪检测(一) 变化率问题 导数的概念
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＜0 B ．Δx ＞0 C ．Δx ＝0
D ．Δx ≠0
解析：选D 根据定义知Δx 可正、可负，但不能为0. 2．设f (x )＝1
x
，则f ′(a )等于( )
A ．－1a
B.2a
C ．－1a
2 D.1a
2
解析：选C ∵f
a ＋Δx －f a Δx ＝1a ＋Δx －1
a Δx
＝
－Δx
a Δx a ＋Δx ＝
－1
a
a ＋Δx
，
∴f ′(a )＝lim Δx →0
－1a
a ＋Δx ＝－1
a
2.
3．函数y ＝x 2
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )
A ．k 1＞k 2
B ．k 1＜k 2
C ．k 1＝k 2
D ．不确定
解析：选D k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝
x 0＋Δx
2
－x 2
Δx ＝2x 0＋Δx ；
k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx ＝
x 20－
x 0－Δx 2
Δx
＝2x 0－Δx .
因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定．
4．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2
，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )
A ．－3
B ．3
C ．6
D ．－6
解析：选D 当Δt 趋于0时，式子－3Δt －6趋于－6. 5．设函数在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0
f 1＋Δx －f 1
3Δx
等于( )
A ．f ′(1)
B ．3f ′(1)
C.1
3f ′(1) D ．f ′(3)
解析：选C lim Δx →0
f 1＋Δx －f 1
3Δx
＝13lim Δx →0
f 1＋Δx －f 1Δx ＝1
3
f ′(1)．
二、填空题
6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.
解析：水位涨幅的平均变化率为105.1－102.7
24＝0.1(m/h)．
答案：0.1
7．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．
解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，
∴Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝13－12＝－16， ∴k AB ＝Δy Δx ＝－16.
答案：－1
6
8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3
，则m 的值为________．
解析：∵ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3
－1)，
∴ΔV ΔR ＝4π3m 3
－1
m －1＝28π3
， 即m 2
＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)． 答案：2 三、解答题
9．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2
，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解：∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx
＝lim
Δx→0[13－8x0＋Δx＋2x0＋Δx2]－13－8x0＋2x20
Δx
＝lim
Δx→0－8Δx＋22x0Δx＋2Δx2
Δx
＝lim
Δx→0
(－8＋22x0＋2Δx)
＝－8＋22x0，
∴－8＋22x0＝4，
∴x0＝3 2.
10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度．
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
解：(1)初速度v0＝li m
Δt→0sΔt－s0
Δt
＝lim
Δt→03Δt－Δt2
Δt
＝li m
Δt→0
(3－Δt)＝3(m/s)，
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝lim
Δt→0s2＋Δt－s2
Δt
＝lim
Δt→032＋Δt－2＋Δt2－3×2－4
Δt
＝lim
Δt→0－Δt2－Δt
Δt
＝lim
Δt→0
(－Δt－1)＝－1(m/s)，
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)v＝s2－s0
2－0
＝
6－4－0
2
＝1(m/s)，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.