人教A版高中数学必修五学业分层测评1

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高中数学人教A版必修五第二章数列学业分层测评14 pdf版含答案

21－2n 又∵Sn＝126，∴ 1－2 ＝126，∴n＝6. 【答案】 6 三、解答题 9．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2 成等差数列. 【导学号： 05920072】 (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. 【解】 (1)依题意有 a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
( )1
1－ B. 4n π
( )1
1－ D．3 4n π
3
3
3
【解析】根据条件，第一个内切圆的半径为 6 ×3＝ 2 ，面积为 4π，第二
3
3
个内切圆的半径为 4 ，面积为 16π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，
4．设数列 1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前 n 项和为 Sn，则
Sn 的值为( )
A．2n
B．2n－n
C．2n＋1－n
D．2n＋1－n－2
【解析】法一特殊值法，由原数列知 S1＝1，S2＝4，在选项中，满足 S1＝1，S2＝4 的只有答案 D.
法二看通项，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1. 22n－1
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的 2 倍，一共点 381
盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A．190 B．191 C．192 D．193
1 【解析】设最下面一层灯的盏数为 a1，则公比 q＝2，n＝7，由
[ ( ) ]1
a1 1－ 7 2 1
1－ 2 ＝381，
解得 a1＝192. 【答案】 C
1－24 比为 2 的等比数列，故所求代数式的值为 1－2 ＝15.
【答案】 15 8．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sn＝126，则 n＝________. 【解析】 ∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，

高中数学人教A版必修五第一章解三角形学业分层测评5 Word版含答案

高中数学必修五《解三角形》单元测试（含答案）一、选择题1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足() A．b＝ac B．b2＝acC．a＝b＝c D．c＝ab【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac.【答案】 B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为()A.57B.37C.21 D．13【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A＝12×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×12＝13.∴a＝13.【答案】 D3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝()A.12B．1C．2 2 D．52 2【解析】S△ABC ＝12ac sin B＝24c＝2，∴c＝4 2.b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－82×22＝25，∴b＝5.∴R＝b2sin B＝52×22＝522.【答案】 D4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62D．3＋394【解析】在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3＝0.解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝332.【答案】 B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4【解析】由题意知：a ＝b ＋1，c ＝b －1，所以3b ＝20a cos A ＝20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc＝20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)，整理得7b 2－27b －40＝0，解之得：b ＝5(负值舍去)，可知a ＝6，c ＝4.结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4.【答案】 D二、填空题6．在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为．【解析】画出三角形知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝3，∴AD ＝ 3.【答案】 37．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是 cm 2.【解析】解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45.故S △＝12×3×5×45＝6(cm 2)．【答案】 68．(2021·郑州模拟)在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为．【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即49＝a 2＋25－2×5×a cos 120°.整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)．∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin 120°＝1534.【答案】 1534三、解答题9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2＝5c 2.【证明】由已知得cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴(1－sin 2A )(1－sin 2B )－sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴1－sin 2A －sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C .由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＋b 2＝5c 2.10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3. [能力提升]1．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C ，D 两点处进行测量．在C 点测得塔底B 在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( )A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米【解析】如图，由题意得，AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD .设塔高AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝AB tan 30°＝3x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos 120°，∴(3x )2＝x 2＋100＋10x ，解得x ＝10或x ＝－5(舍去)，故选B.【答案】 B2．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( ) A.1507分钟 B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15小时【解析】如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5142＋6757.当t ＝514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．【答案】 A3．如图1-2-28所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝ .图1-2-28【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC⇒ sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos 30°－sin∠ACB·sin 30°＝2114.【答案】21 144．如图1-2-29，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．图1-2-29(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314.。

高中数学人教A版必修五第一章解三角形学业分层测评2 Word版含答案

高中数学必修五解三角形单元测试（内含答案）一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【解析】由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19【解析】由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 【答案】 D3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.【答案】 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π 【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A. 【答案】 A二、填空题6．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于．【解析】 ∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.【答案】 17．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是．【解析】由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ，∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3. 【答案】 π38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为．【解析】由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝32c.又b－c＝14a，∴12c＝14a，即a＝2c.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－34c23c2＝－14.【答案】－1 4三、解答题9．A，B，C，D四个景点，如图1-2-14，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D 相距2 km，C，D相距(32－6)km，求A，B两景点的距离．图1-2-14【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得BDsin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，即BD＝CD·sin 75°sin 60°＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.答：A，B两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB ＝30(m)，∴BC ＝30(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝30tan 30°＝303(m)．在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 30°＝900，∴CD ＝30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得，a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14<0，所以90°<C <180°，即三角形为钝角三角形，故选A.【答案】 A2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( )A ．(5，5)B ．(1, 5)C ．(5，13)D ．(13，5) 【解析】三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎨⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x <13. 【答案】 C3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝ .【解析】由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 【答案】 14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．【解】 (1)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223. 因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.。

新人教A版高中数学必修二全册同步课时分层练习

新人教A版高中数学必修二全册同步课时分层练习课时分层作业(一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．观察如下所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台B[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．]2．下列说法正确的是( )A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形D[选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误：选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．]①②3．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )①②③④A．①②B．②③C．③④D．①④B[在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而①④则不同．]4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定A[如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形C[按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．]①②二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.12[该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.] 7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．10[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.]8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．3[如图，三棱台可分成三棱锥C1ABC，三棱锥C1ABB1，三棱锥AA1B1C1，三个．]三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．10．试从正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图①所示，三棱锥A1AB1D1(答案不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B1ACD1(答案不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一)．①②③[能力提升练]1．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是( )A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥B[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．10 [在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]课时分层作业(二) 旋转体与简单组合体的结构特征(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A ．①和⑤B ．①C ．③和④D ．①和④D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )① ②A ．圆锥、棱柱B ．圆锥、棱锥C ．球、棱锥D ．圆锥、圆柱B [根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°等腰三角形D ．其他等腰三角形A [设圆锥底面圆的半径为r ，依题意可知2πr ＝π·a 2，则r ＝a 4，故轴截面是边长为a 2的等边三角形．]4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )A ．一个棱柱中挖去一个棱柱B ．一个棱柱中挖去一个圆柱C ．一个圆柱中挖去一个棱锥D ．一个棱台中挖去一个圆柱B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.]5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC .16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.] 二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]8．一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆面积为________ cm 2.9π [设截面圆半径为r cm ，则r 2＋42＝52，所以r ＝3.所以截面圆面积为9π cm 2.]三、解答题9．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解] 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．10．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底面半径O 1A ＝2(cm)，下底面半径OB ＝5(cm)，又因为腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－（5－2）2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.[能力提升练]1．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A ．一个球体B ．一个球体中间挖出一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体B [圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.]2．如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .则绳子的最短长度的平方f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4) [将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，所以L ＝2πr ＝2π，所以∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°. 由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．所以f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．]课时分层作业(三) 中心投影与平行投影空间几何体的三视图(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．直线的平行投影可能是( )A ．点B ．线段C ．射线D ．曲线A [直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.]2．下列说法错误的是( )A ．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度B ．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度C ．侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度D ．一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样D [正视图和俯视图长度一样；正视图和侧视图高度一样；侧视图和俯视图宽度一样．故3．有下列说法：①从投影的角度看，三视图是在平行投影下画出来的投影图；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，平行线还是成平行的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法有( )A．1个B．2个C．3个D．4个C[由投影的知识知①②④正确．只有③错误，空间图形经过中心投影后，直线变成直线、平行线有可能变成了相交直线，综上可知正确说法有3个，故选C.]4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )C[正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B，D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.]5．如图所示，五棱柱的侧视图应为( )A B C DB[从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.]二、填空题6．如下图，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是________(说出视图名称)．① ② ③ ④正视图侧视图俯视图 [由几何体的位置知，①为正视图，②为侧视图，③为俯视图．]7．若线段AB 平行于投影面，O 是线段AB 上一点，且AO OB ＝m n，点A ′，O ′，B ′分别是A ，O ，B 在投影面上的投影点，则A ′O ′O ′B ′＝________． m n [由题意知AB ∥A ′B ′，OO ′∥AA ′，OO ′∥BB ′，则有A ′O ′O ′B ′＝AO OB ＝m n.] 8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．23 [由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D BCC 1B 1，最长棱为DB 1＝DC 2＋BC 2＋BB 21＝4＋4＋4＝2 3.]三、解答题9．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱；(2)画出它的三视图．[解](1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图：10．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．[解]该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．[能力提升练]1．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为( )A B C DA [显然AB 1，AC ，B 1D 1，CD 1分别投影得到正视图的外轮廓，B 1C 为可见实线，AD 1为不可见虚线．故A 正确．]2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是________．15 [皮球的直径d ＝103sin 60°＝103×32＝15.]课时分层作业(四) 空间几何体的直观图(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图，已知等腰三角形ABC ，则如下所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是( )① ② ③ ④A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④D [原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别为在∠x ′O ′y ′成135°和45°的坐标系中的直观图．]2．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是( ) A ．三角形的直观图仍然是一个三角形 B ．90°的角的直观图会变为45°的角 C ．与y 轴平行的线段长度变为原来的一半 D ．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同B [对于A ，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A 正确；对于B ，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B 错误；C ，D 显然正确．]3．把△ABC 按斜二测画法得到△A ′B ′C ′(如图所示)，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边互不相等的三角形A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB ＝BC ＝AC ＝2，故△ABC 为等边三角形，故选A.]4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm ，1 cm ，2 cm ，1.6 cmB ．4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，0.8 cmC ．4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cmD ．2 cm ，0.5 cm ，1 cm ，0.8 cmC [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm ，1 cm ，2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋ 2A [画出其相应平面图易求，故选A.]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．M′(4，2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．2.5 [由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．如图所示，水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．2 [△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD.所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC.[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′；(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取二点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC.10．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解] (1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，如图①. (2)画底面．以O 为中心在xOy 平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD . (3)画顶点．在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.① ② [能力提升练]1．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm D [由题意可知其直观图如下图：由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.]2．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________．72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA .所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′，又在Rt △O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′，所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2. 又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]课时分层作业(五) 柱体、锥体、台体的表面积与体积(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．πC [底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.]2．已知高为3的直棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34D [由题意，锥体的高为BB 1，底面为S △ABC ＝34，所以V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.] 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8πB [设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1, 所以V圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.]4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10πD [用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.]5．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A ．54B ．54πC ．58D ．58πA [设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似得r 3r ＝h －h 1h，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.]二、填空题6．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________． 3 [设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.]7．已知一个圆台的正视图如图所示，若其侧面积为35π，则a 的值为____．2 [圆台的两底面半径分别为1，2，高为a , 则母线长为1＋a 2，则其侧面积等于π(1＋2)·（1＋a 2）＝35π，解得a 2＝4，所以a ＝2(舍去负值)．]8．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________．S2[如图所示，设圆锥的底面半径为r , 母线长为l .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12πl 2＝S ，πl ＝2πr ，解得r ＝S2π.所以圆锥的底面面积为πr 2＝π×S 2π＝S2.]三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． [解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157，圆锥的高h ＝35·157， V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C A 1DD 1，求棱锥C A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．[解] 已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C A 1DD 1的体积为：VC A 1DD 1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12S h ＝16Sh ，余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比1∶5.[能力提升练]1．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．14 [如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.] 2．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．8 [如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方体，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.]课时分层作业(六) 球的体积和表面积(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．59倍B ．95倍 C ．2倍 D ．3倍 B [设小球半径为1，则大球的表面积S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.]2．把半径分别为6 cm ，8 cm ，10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．12 cmD [由43πR 3＝43π·63＋43π·83＋43π·103，得R 3＝1 728，检验知R ＝12.]3．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6πB [由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积， S ＝π×12＋12×4×π×12＝3π.]4．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( ) A ．163πB ．4π3C ．323πD ．4πB [根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r ＝1，所以V ＝43πr 3＝43π.]5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4B [设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B.] 二、填空题6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 3 [设此球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，R ＝3.]7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．33π [由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S ＝12×4π×32＋π×3×5＝33π.]8．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．32[设球O 的半径为R ， ∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.] 三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积．[解] 因为AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.又球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt △ABC 的外接圆的圆心，所以斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示)，设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径为R ，截面圆半径为r ，在Rt △O ′CO 中，由题设知sin ∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12，所以∠O ′CO ＝30°，所以rR＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，(*) 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入(*)得R ＝10 3.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1 200π. 球的体积为V ＝43πR 3＝43π×(103)3＝4 0003π.[能力提升练]1．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶4C [作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R ，则圆锥的高h ＝3R ，圆锥底面半径r ＝3R ，则l ＝（h 2＋r 2）＝23R ，所以S 圆锥侧S 球＝πrl 4πR 2＝π×3R ·23R 4πR 2＝32.] 2．在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球. 若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________.9π2[当球的半径最大时，球的体积最大. 在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r ＝6＋8－102＝2，直径为4>侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为32，此时体积V ＝9π2.]课时分层作业(七) 平面(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点A ，直线a ，平面α，以下命题表述正确的个数是( )①A ∈a ，a ⊄α⇒Aα；②A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α；③Aa ，a ⊂α⇒A α；④A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α.A ．0B ．1C ．2D ．3A [①不正确，如a ∩α＝A ；②不正确，∵“a ∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a ，a ⊂α，但A ∈α；④不正确，“A ⊂α”表述错误．]2．下列命题中正确命题的个数是( ) ①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形； ④圆是平面图形． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [根据公理2可知①④正确，②③错误．故选B.] 3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( ) A ．相交 B ．重合C ．相交或重合D ．以上都不对C [若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．]4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.] 5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )A．0 B．1C．0或1 D．1或3D[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.]二、填空题6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.∈[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 7．在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.5[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．] 8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．1或2或3 [当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]三、解答题9．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图所示．求证：直线AD，BD，CD共面．[证明]因为D l，所以l与D可以确定平面α，因为A∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．10．求证：三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点．[证明]如图，延长AA1，BB1,设AA1∩BB1＝P，又BB1⊂面BC1，∴P∈面BC1，AA1⊂面AC1，∴P∈面AC1，∴P为平面BC1和面AC1的公共点，又∵面BC1∩面AC1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.[能力提升练]1．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点DD[A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．]2．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．共线[∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．]课时分层作业(八) 空间中直线与直线之间的位置关系(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面D[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．]2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面D[可能相交也可能异面，选D.]3．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直A[如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]4．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30° B．45°C．60°D．90°C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C ＝60°.]5．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条A[如图，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．因此，这样的异面直线有无数条．]二、填空题6．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．3 [PA与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线，∴共3对．]7．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.②④[①错，可以异面；②正确，公理4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．]8．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．。

人教A版高中数学必修第一册课后习题第2章一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 (2)

2.2 基本不等式A 级必备知识基础练1.[探究点一]不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为( )A.x ≥2yB.x>2yC.x ≤2yD.x<2y2.[探究点三]已知0<x<1,则当x(5-5x)取最大值时,x 的值为( ) A.54B.12C.13D.343.[探究点三]已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab 的最大值为( ) A.14B.12C.1D.24.[探究点三]设x>0,y>0,且xy=4,则1x+1y的最小值是( ) A.1B.2C.-1D.-25.[探究点三]已知x<0,则x+1x的最大值为( ) A.2B.-12C.-2D.126.[探究点三·江西宜春高一期中]已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β的最小值是( )A.2B.3C.4D.57.[探究点一·湖北十堰高一检测](多选题)下列推导过程正确的是( )A.因为a,b 为正实数,所以ba+ab≥2√ba·ab=2B.因为a>3,所以4a +a>2√4a·a =4C.因为a<0,所以4a+a ≥2√4a·a =4D.因为x,y ∈R,xy<0,所以x y+y x=-[(-x y)+(-y x)]≤-2√(-x y)·(-yx)=-2,当且仅当x=-y≠0时,等号成立8.[探究点二](多选题)若a,b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )A.a 2+b 2≥2abB.a+b ≥2√abC.1a+1b >√abD.b a+ab≥29.[探究点三]已知t>0,则t 2-3t+1t的最小值为 .10.[探究点二]已知a,b,c 为正数,求证:b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.[探究点一]下列是一道利用基本不等式求最值的习题: 已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=1a+2b 的最小值.小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同.小明的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b+1-1=1a+2b+a+b-1=a+1a+b+2b-1,而a+1a≥2√a ·1a =2,b+2b ≥2√b ·2b =2√2.那么y ≥2+2√2-1=1+2√2,则最小值为1+2√2.小华的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2a b,而3+b a+2a b≥3+2√b a ·2ab=3+2√2,则最小值为3+2√2. (1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误? (2)请说明你判断的理由.B 级关键能力提升练12.已知当x=a 时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=( )A.-3B.2C.3D.8A.∀x ∈R,且x≠0,x+1x≥2 B.∃x ∈R,使得x 2+1≤2x C.若x>0,y>0,则√x 2+y 22≥2xy x+yD.若x>0,y>0,且x+y=18,则√xy 的最大值为9 14.若a>0,b>0,则在①1a+1b ≤4a+b,②b 2a+a 2b≥a+b,③√a 2+b 22≥a+b 2,这三个不等式中,不正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个15.[安徽高一校联考期中](多选题)已知正实数a,b 满足a+b=2,则下列结论正确的是( ) A.ab ≤1 B.√a +√b ≥2 C.a 3+b 3≤2D.a 2+b 2≥216.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是( ) A.√ab 2<1a+1b B.ab ≤a 2+b 22C.ab ≤(a+b 2)2 D.(a+b 2)2≤a 2+b 2217.已知a>b>c,则√(a -b )(b -c )与a -c 2的大小关系是 .18.已知不等式(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,求正实数a 的最小值.C 级学科素养创新练19.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=1x 的图象上,则1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是 . 答案：1.B 基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B.2.B 由0<x<1,可得1-x>0,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·(x+1-x 2)2=54,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立,所以x=12时,x(5-5x)取得最大值54.故选B. 3.A 因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b ≥2√4ab =4√ab ,可得ab ≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab 的最大值为14.故选A.4.A 因为x>0,y>0,且xy=4,所以1x >0,1y >0,1x +1y ≥2√1x ·1y =2√1xy =2×12=1,当且仅当1x=1y ,即x=y=2时,等号成立.故选A.5.C 因为x<0,可得-x>0,则x+1x=-[(-x)+1-x]≤-2√(-x )·1-x=-2,当且仅当-x=1-x,即x=-1时,等号成立,所以x+1x的最大值为-2.故选C.6.D 由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b 2)2=5,当且仅当a=b=12时,等号成立,所以α+β的最小值为5.故选D.7.ABD 对于A,a,b 为正实数,有ba>0,ab>0,且ba·ab=1,又当且仅当a=b 时,ba=a b成立,满足基本不等式的条件,A 正确;对于B,当a>3时,4a>0,4a+a ≥2√4a·a =4,当且仅当4a=a,a=2时,等号成立,与a>3矛盾,所以不存在大于3的正数a 使a=4a成立,所以4a+a>4,B 正确;对于C,因为a<0,则4a<0,不符合基本不等式成立的条件,C 错误;对于D,x,y ∈R,xy<0,则-x y>0,-yx>0,且(-x y)·(-y x)=1,又当且仅当-x=y≠0时,-x y=-yx成立,满足基本不等式的条件,D 正确.故选ABD.8.AD 对于A 选项,a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0,故a 2+b 2≥2ab,A 正确;对于B,取a=b=-1,此时a+b=-2<2√ab =2,B 错误;对于C,取a=b=-1,此时1a+1b=-2<√ab=2,C 错误;对于D,因为ab>0,所以a b>0,b a>0,所以b a+a b≥2√b a·ab=2,当且仅当a=b≠0时,等号成立,D 正确.故选AD. 9.-1 ∵t>0,∴t 2-3t+1t =t+1t-3≥2√t ·1t-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.10.证明左边=ba +ca -1+cb +ab -1+ac +bc -1=(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3.∵a,b,c 为正数,∴ba+ab≥2(当且仅当a=b 时,等号成立);ca+ac≥2(当且仅当a=c 时,等号成立);c b +b c ≥2(当且仅当b=c 时,等号成立).从而(b a +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )≥6(当且仅当a=b=c 时,等号成立).∴(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3≥3,即b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.解(1)小华的解法正确,小明的解法错误.(2)在小明的解法中,a+1a≥2√a ·1a=2,当等号成立时a=1;b+2b≥2√b ·2b =2√2,当等号成立时b=√2,那么y 取得最小值1+2√2时,a+b=1+√2,这与条件a+b=1是相矛盾的,所以小明的解法错误.小华的解法中,b a+2a b≥2√2,等号成立的条件为b 2=2a 2,即b=√2a,再由已知条件a+b=1,即可解得满足条件的a,b 的值,所以小华的解法正确. 12.C x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由基本不等式得x+1+9x+1-5≥2√(x +1)·9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.13.BCD 对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B 正确;对于C,若x>0,y>0,则(x 2+y 2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x 2y 2,可化为√x 2+y 22≥2xyx+y,当且仅当x=y>0时,等号成立,C 正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2√xy ,当且仅当x=y=9时,等号成立,∴√xy ≤9,D 正确.故选BCD.14.B 因为a,b>0,对于①,由(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√ba·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,所以1a+1b≥4a+b,所以①错误;对于②,由不等式a 3+b 3-a 2b-ab 2=(a+b)(a-b)2≥0,可得a 3+b 3≥a 2b+ab 2,两边同除ab,可得b 2a+a 2b≥a+b 成立,所以②正确;对于③,由2a 2+2b 2=a 2+b 2+a 2+b 2≥a 2+b 2+2ab=(a+b)2,可得a 2+b 2≥(a+b )22,即a 2+b 22≥(a+b )24,所以√a 2+b 22≥a+b 2成立,所以③正确.故选B.15.AD 因为正实数a,b 满足a+b=2,对于A 选项,ab ≤(a+b 2)2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,A 正确;对于B 选项,因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ≤2(a+b)=4,则√a +√b ≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,B 错误;对于C 选项,当a=32,b=12时,a 3+b 3=(32)3+(12)3=72>2,C 错误;对于D 选项,a 2+b 2=a 2+b 2+a 2+b 22≥a 2+b 2+2ab2=(a+b )22=2,当且仅当a=b=1时,等号成立,D 正确.故选AD. 16.BCD 当a>0,b>0时,因为21a +1b≤√ab ,所以√ab≤1a+1b,当且仅当a=b 时,等号成立,故A 不正确;显然B,C,D 均正确. 17.√(a -b )(b -c )≤a -c 2∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a -c 2=(a -b )+(b -c )2≥√(a -b )(b -c ). 当且仅当b=a+c 2时,等号成立.18.解(x+y)(1x +ay )=1+a+yx +ax y,∵x>0,y>0,a>0,∴y x+ax y≥2√y x·ax y=2√a ,∴1+a+yx +ax y≥1+a+2√a ,当且仅当y=√a x 时,等号成立.∴要使(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,只需1+a+2√a ≥9恒成立即可.∴(√a +1)2≥9,即√a +1≥3,∴a ≥4,故a 的最小值为4.19.8 ∵点(a,b)在反比例函数y=1x的图象上,∴b=1a,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,∴1a 2b+1ab2+16ab a+b=1a+1b+16a+b=a+b ab+16a+b=a+b+16a+b≥8,当且仅当a+b=16a+b,即a+b=4时,等号成立,所以1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是8.。

高中数学人教A版必修五第二章数列学业分层测评11 pdf版含答案

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等差数列前n 项和为S n ，若a 3＝4，S 3＝9，则S 5－a 5＝( )A ．14B ．19C ．28D ．60【解析】　在等差数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝3a 2＝9，∴a 2＝3，S 5－a 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝2×7＝14.【答案】　A2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15【解析】　a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7＝3×＝×＝S 13.a 1＋a 13231313(a 1＋a 13)2313于是可知S 13是常数．【答案】　C3．已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项【解析】　由Error!得Error!所以Error!故|a 6|>|a 7|.【答案】　C4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27【解析】　∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.【答案】　B5．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.B.2n ＋1n n ＋1nC.D ．n －1n n ＋12n【解析】　∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝，S 偶(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴＝.故选B.n (a 2＋a 2n )2S 奇S 偶n ＋1n 【答案】　B二、填空题6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝ .【解析】　∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.【答案】　57．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝ .【解析】　∵a n ＝Error!∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.【答案】　88．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝时，S n 取到最大值．【解析】　∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0，∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0.故当n ＝5或6时，S n 最大．【答案】　5或6三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？【解】　(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)法一　a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋·(－2)＝－n 2＋10nn (n －1)2＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．法二　由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤.112∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .【解】　∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋d ＝13n ＋×(－4)n (n －1)2n (n －1)2＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×－(15n －2n 2)(13＋1)×42＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝Error![能力提升]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18【解析】　S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝＝210，得n ＝14.n (a 1＋an )2【答案】　B2．(2015·海淀高二检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】　因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有Error!所以Error!所以≤k ≤.193223因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.【答案】　B3．(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是，项数是．【解析】　设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝＝(n ＋1)a n ＋1，(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，所以＝＝，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇S 偶n ＋1n 4433S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．【答案】　11　74．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2.【导学号：05920069】(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？【解】　(1)S n ＝na 1＋d ＝12n ＋×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．n (n －1)2n (n －1)2(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－2＋，n ∈N *，(n －132)1694∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42.(3)由图象得{S n }中有12项大于零．。

高中数学人教A版必修五第三章不等式学业分层测评17 pdf版含答案

学业分层测评（十七）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个 B ．4个C ．3个D ．2个【解析】　根据一元二次不等式的定义知①②正确．【答案】　D2．(2015·开封高二检测)二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!【解析】　结合二次函数的图象(略)，可知若ax 2＋bx ＋c <0，则Error!【答案】　D3．已知不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{x |1<x <b }，则a ，b 的值等于( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1【解析】　因为不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{x |1<x <b }，所以方程ax 2＋3x －2＝0的两个根分别为1和b ，根据根与系数的关系，得1＋b ＝－，b ＝－，所以a ＝－1，b ＝2.3a 2a 【答案】　C4．(2016·晋江高二检测)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (x )的图象为( )【解析】　因为不等式的解集为(－2,1)，所以a <0，排除C ，D ，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.【答案】　B5．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为Error!，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}【解析】　由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为Error!.而f (10x )>0，∴－1<10x <，12解得x <lg ，即x <－lg 2.12【答案】　D二、填空题6．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)【解析】　由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.【答案】　(－4,1)7．设函数f (x )＝Error!则不等式f (x )>f (1)的解集是________.【导学号：05920075】【解析】　f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．【答案】　(－3,1)∪(3，＋∞)8．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．【解析】　A ＝{x |3x －2－x 2<0}＝{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x <1或x >2}，B ＝{x |x <a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.【答案】　(－∞，1]三、解答题9．求下列不等式的解集：(1)x 2－5x ＋6>0；(2)－x 2＋3x －5>0.12【解】　(1)方程x 2－5x ＋6＝0有两个不等实数根x 1＝2，x 2＝3，又因为函数y ＝x 2－5x ＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x 轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x |x >3，或x <2}．(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，对于方程x 2－6x ＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x 轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x 的不等式x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0.【解】　∵原不等式等价于(x －m )(x －m －1)<0，∴方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的两根分别为m 与m ＋1.又∵m <m ＋1.∴原不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．[能力提升]1．已知0<a <1，关于x 的不等式(x －a )>0的解集为( )(x －1a )A.Error!B ．{x |x >a }C.Error!D.Error!【解析】　方程两根为x 1＝a ，x 2＝，1a ∵0<a <1，∴>a .相应的二次函数图象开口向上，故原不等式的解集为Error!.1a 【答案】　A2．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为( )A ．[1,3)B ．(1,3)C ．(－∞，1)D ．(3，＋∞)【解析】　原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a >1时，<x <，由题意知b1－a b a ＋10<<1，∴要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤<－2.整理，b a ＋1b 1－a 得2a －2<b ≤3a －3.结合题意b <1＋a ，有2a －2<1＋a .∴a <3，从而有1<a <3.综上可得a ∈(1,3)．【答案】　B3．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______．【解析】　∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.【答案】　{x |－1＜x ＜2}4．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．【解】　原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0，所以a <－1或a >.32若a <－1，则－2a ＋3－＝(－a ＋1)>5，a ＋1252所以3－2a >，a ＋12此时不等式的解集是Error!；若a >，由－2a ＋3－＝(－a ＋1)<－，32a ＋125254所以3－2a <，a ＋12此时不等式的解集是Error!.综上，当a <－1时，原不等式的解集为，当a >时，原不等式(a ＋12，3－2a )32的解集为.(3－2a ，a ＋12)。

高中数学人教A版必修五第一章《解三角形》章末知识整合

数学·必修5(人教A版)题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a .如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a ，b ，A ，由正弦定理a sin A＝b sin B，得sinB ＝b sin A a .若sin B ＞1，则无解；若sin B ＝1，则有一解；若sin B ＜1，则可能有两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a ，b ，A ，由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．。

高中数学人教A必修5学业分层测评12 等比数列 Word版含解析

学业分层测评（十二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．2＋3与2－3的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2【解析】 2＋3与2－3的等比中项为G ＝±(2＋3)(2－3)＝±1，故选C.【答案】 C2．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 015，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】因为a 2 016＝8a 2 015，所以a 1q 2 015＝8a 1·q 2 014，解得q ＝8.【答案】 D3．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的( )A ．第2项B ．第4项C ．第6项D ．第8项【解析】由x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解得x ＝－1或－4，又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4，∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项a n ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，由－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝－1312，得n ＝4.【答案】 B4．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2【解析】由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，得b ＝1，c ＝2.又a ，b ，c ，d 成等比数列，即a,1,2，d 成等比数列，所以d ＝4，a ＝12，故ad ＝4×12＝2.【答案】 B5．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84【解析】 ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21， ∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B.【答案】 B二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝ .【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由已知条件得a 25＝4·a 25q 4.∴q 4＝14，q 2＝12，∴a 3＝a 1q 2＝2×12＝1.【答案】 17．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝ .【解析】由已知得a 10a 3＝a 1q 9a 1q 2＝q 7＝128＝27，故q ＝2. 所以a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3·q n －3＝3×2n －3.【答案】 3×2n －38．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5＝ .【解析】由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9， ∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.【答案】 27三、解答题9．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？【解】 (1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，所以a 21⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，由于各项均为负，故a 1＝－32，a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项．10．数列{a n }，{b n }满足下列条件：a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，b n ＝a n ＋1－a n .(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{b n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵2a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，∴b n ＋1b n＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a n ＋a n ＋12－a n ＋1a n ＋1－a n ＝－12. ∴{b n }是等比数列．(2)∵b 1＝a 2－a 1＝1，公比q ＝－12，∴b n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.[能力提升]1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于( ) A.2＋1B ．3＋2 2C ．3－2 2D ．22－3【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得 q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q >0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1(1＋2)2＝3－2 2. 【答案】 3－2 22．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D ．18【解析】法一 ∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.【答案】 C3．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝，d ＝ .【解析】 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7， ∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.① 又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1.【答案】 23 －14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式. 【导学号：05920070】【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，故a 1＋1≠0，由上式易知a n ＋1≠0，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)可知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1，即a n ＝2n －1.。

新教材高中数学课时跟踪检测五充分条件与必要条件新人教A版必修第一册(含答案)

新教材高中数学新人教A版必修第一册：充分条件与必要条件层级(一) “四基”落实练1．若p是q的充分条件，则q是p的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上答案均不正确解析：选B 由充分条件和必要条件的概念知选项B正确．2．“x＞0”是“x≠0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上均不正确解析：选A ∵x＞0⇒x≠0，∴x＞0是x≠0的充分条件．故选A.3．已知条件p：－1＜x＜1，条件q：x≥－2.则q是p的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上答案均不对解析：选B 由题意，得－1＜x＜1⇒x≥－2.即p⇒q，所以q是p的必要条件．4．(多选)以下选项中，是a＜0，b＜0的一个必要条件的为( )A．a－b＞0 B.ab<－1C．a＋b＜0 D．a＋2b＜1解析：选CD 由a＜0，b＜0，可得：a＋b＜0，a＋2b＜0＜1.而a与b大小关系不确定，ab＞0，因此是a＜0，b＜0的一个必要条件的为C、D.5．已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为( ) A．{m|m＞4} B．{m|m＜4}C．{m|m≤4} D．{m|m≥4}解析：选D 令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，∵p是q的充分条件，∴p⇒q，即A⊆B，∴m≥4.故选D.6．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的________．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．答案：(1)必要条件(2)充分条件7．已知条件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为________．解析：∵条件p ：2k －1≤x ≤1－k ，q ：－3≤x ＜3，且p 是q 的必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1≤－3，3≤1－k ，解得k ≤－2.则实数k 的取值范围是{k |k ≤－2}．答案：{k |k ≤－2}8．指出下列各命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：x 2>0，q ：x >0；(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；(3)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除；(4)p ：两个角不都是直角，q ：两个角不相等．解：(1)p ：x 2>0则x >0或x <0，q ：x >0，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2，则x ＋2≠y 且x ＋2≠－y ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(3)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(4)p ：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q ：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．层级(二) 能力提升练1．(多选)若不等式x －2＜a 成立的充分条件是0＜x ＜3，则实数a 的取值范围可以是( )A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≥1}C ．{a |3＜a ≤5}D ．{a |a ≤2} 解析：选ABC 不等式x －2＜a 成立的充分条件是0＜x ＜3，设x －2＜a 的解集为A ，则{x |0<x <3}是集合A 的真子集，∵A ＝{x |x <2＋a }，∴2＋a ≥3，解得a ≥1，则A 、B 、C 均正确．2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜1}，集合B ＝{x |－a ＜x －b ＜a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．{b |－2≤b ＜0}B ．{b |0＜b ≤2}C ．{b |－2＜b ＜2}D ．{b |－2≤b ≤2}解析：选C A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |b －a ＜x ＜b ＋a }．∵a ＝1⇒A ∩B ≠∅，又a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1＞－1，b －1＜1，解得－2＜b ＜2.∴实数b 的取值范围是{b |－2＜b ＜2}．故选C.3．已知圆B 在圆A 内，点M 是平面上任意一点，请从“充分”“必要”中选出适当的一种填空．(1)“点M 在圆B 内”是“点M 在圆A 内”的________条件．(2)“点M 在圆A 外”是“点M 在圆B 外”的________条件．解析：圆B 在圆A 内，将圆A ，圆B 内部的点组成的集合分别记为A ′，B ′，则有B ′A ′.(1)如图①，因为B ′A ′，所以x ∈B ′⇒x ∈A ′，但x ∈A ′x ∈B ′，所以“点M 在圆B 内”是“点M 在圆A 内”的充分条件．(2)如图②，因为B ′A ′，所以∁U A ′∁U B ′，其中U 为整个平面区域内所有点组成的集合，故x ∈∁U A ′⇒x ∈∁U B ′，但x ∈∁U B ′x ∈∁U A ′，所以“点M 在圆A 外”是“点M 在圆B 外”的充分条件．答案：充分充分4．设α：0≤x ≤1，β：x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1，m ∈R ，若α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．解：记A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝{x |x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1}．因为α是β的充分条件，所以A ⊆B .①当2m －1＞－2m ＋1，即m ＞12时，B ＝R ，满足A ⊆B ； ②当m ≤12，即B ≠R 时，1＜2m －1或0＞－2m ＋1，m 无解．综上可得，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ＞12.层级(三) 素养培优练1．(1)是否存在实数m ，使得“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件？解：(1)欲使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件，只需⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－m 2⊆{x |x ＜－1或x ＞3}，只需－m 2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，当m ≥2时，“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件．(2)欲使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件，只需{x |x ＜－1或x ＞3}⊆⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－m 2，这是不可能的．故不存在实数m 使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件．2．某校高一年级为丰富学生的课外生活，提高学生的探究能力，特开设了一些社会活动小组，现有其中的甲、乙两组同学在参加社团活动中，设计了如下两个电路图．并根据在数学课上所学的充分条件与必要条件知识，提出了下面两个问题：(1)①中开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件？(2)②中开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件？你能根据本节课所学知识解答上述两个问题吗？解：(1)充分条件．(2)必要条件.。

人教A版高中数学必修五1.同向不等式：的不等式,叫做同向不等式.

1．同向不等式：________________的不等式，叫做同向不等式．2．不等式的性质：(1)性质1(对称性)a>b ⇔________；(2)性质2(传递性)a>b ，b>c ⇒________；(3)性质3 a>b ⇔____________.①推论1(移项法则) a ＋b>c ⇔____________.②推论2 a>b ，c>d ⇒____________.③推论2的推广：a>b ，c>d ，…，m>n ⇒a ＋c ＋…＋m>b ＋d ＋…＋n.(4)性质4a>b ，c>0⇒__________；a>b ，c<0⇒__________.①推论1 a>b>0，c>d>0⇒__________.②推论1的推广：a>b>0，c>d>0，…，m>n>0⇒ac …m>bd …n.③推论2 a>b>0⇒________(n ∈N ＋，n>1)．④推论3 a>b>0⇒____________(n ∈N ＋，n>1)．3．设b<a ，d<c ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －c>b －dB ．ac>bdC ．a ＋c>b ＋dD ．a ＋d>b ＋c4．已知a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，则a d 与b c的大小关系是________． 5．已知60<x <84,28<y <33，则x －y 的取值范围为________，x y的取值范围为________． 6.若α，β满足－π2<α<β<π2，求α－β的取值范围．请你分析下题解题过程是否存在错误？若有错误请纠正．∵－π2<α<β<π2，∴－π2<－β<π2，正确过程：___________________________________________ ∴－π<α－β<π． _______________________________________________________7.已知－π2<β<α<π2，求2α－β的取值范围． 8.已知－6<a<8,2<b<3，分别求2a ＋b ，a －b 的取值范围．9.若a >b >0，c <d <0，求证：a d <b c.课后作业：。

人教A版高中数学必修五学业分层测评4.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评（四）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°【解析】根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.【答案】 B2．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为()A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】如图所示，sin ∠CAB ＝2040＝12，∴∠CAB ＝30°. 【答案】 B3．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且A 、B 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )A ．28海里/小时B ．14海里/小时C ．142海里/小时D ．20海里/小时【解析】如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ，在△ABC 中，AC ＝10×2＝20(海里)， AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝784， ∴BC ＝28海里， ∴v ＝14海里/小时．【答案】 B4．地上画了一个角∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为( )A ．14米B ．15米C ．16米D ．17米【解析】如图，设DN ＝x m ，则142＝102＋x 2－2×10× x cos 60°， ∴x 2－10x －96＝0. ∴(x －16)(x ＋6)＝0. ∴x ＝16或x ＝－6(舍)． ∴N 与D 之间的距离为16米．【答案】 C 二、填空题5．(2015·湖北高考)如图1-2-26，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝ m.图1-2-26【解析】由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33 ＝1006(m)．【答案】 100 66．某船在岸边A 处向正东方向航行x 海里后到达B 处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C 处，若A 处与C 处的距离为3海里，则x 的值为．【解析】 x 2＋9－2·x ·3cos 30°＝(3)2，解得x ＝23或x ＝ 3. 【答案】3或2 37．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为 km. 【导学号：05920062】【解析】如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°， ∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝302(km)．【答案】 30 28．一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68 n mile 的M 处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为n mile/h.【解析】如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠PNM ＝45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得 MN sin 120°＝PMsin 45°，∴MN ＝68×3222＝34 6.又由M 到N 所用时间为14－10＝4(h)，∴船的航行速度v＝3464＝1726(n mile/h)．【答案】172 6三、解答题9．平面内三个力F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态．已知F1、F2的大小分别为1 N、6＋22N，F1与F2的夹角为45°，求F3的大小及F3与F1的夹角的大小．【解】如图，设F1与F2的合力为F，则F3＝－F.∵∠BOC＝45°，∴∠ABO＝135°.在△OBA中，由余弦定理得|F|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|cos 135°＝4＋2 3.∴|F|＝1＋3，即|F3|＝3＋1.又由正弦定理得sin∠BOA＝|F2|sin∠ABO|F|＝12.∴∠BOA＝30°.∴∠BOD＝150°.故F3的大小为(3＋1)N，F1与F3的夹角为150°.10. (2016·焦作模拟)如图1-2-27，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B 处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．图1-2-27【解】设∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30，BD＝42，∠BAD＝60°.由正弦定理得ADsin α＝BDsin∠BAD，sin α＝ADBD sin∠BAD＝3042sin 60°＝5314，又∵AD<BD，∴0°<α<60°，cos α＝1－sin2α＝11 14，cos∠BDC＝cos(60°＋α)＝－1 7.在△BDC中，由余弦定理得BC2＝DC2＋BD2－2DC·BD cos∠BDC＝402＋422－2×40×42cos(60°＋α)＝3 844，BC＝62 km，即渔政船乙要航行62 km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．[能力提升]1．(2016·湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为() A．5米B．10米C．15米D．20米【解析】如图，由题意得，AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD . 设塔高AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°， ∴BD ＝AB tan 30°＝3x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos 120°， ∴(3x )2＝x 2＋100＋10x ，解得x ＝10或x ＝－5(舍去)，故选B. 【答案】 B2．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507分钟 B.157分钟 C ．21.5分钟D ．2.15小时【解析】如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5142＋6757.当t ＝514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．【答案】 A3．如图1-2-28所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝ .图1-2-28【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207. 由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB ·cos 30°－sin ∠ACB ·sin 30°＝2114.【答案】 21144．如图1-2-29，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．图1-2-29(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．【解】(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB ＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314.。

人教A版高中数学必修五学业分层测评3.docx

学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图129，测得下面四组数据，较合理的是( )图129A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】 D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是( )A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 (n mile)．【答案】 B3．如图1210，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(3＋1)，则A，B间距离是( )图1210A．202米B．203米C．206米D．402米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(3＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB 中，由余弦定理得AB＝206(米)．【答案】 C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】 C5．如图1211所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( )图1211A．15 6 m B．20 6 mC．25 6 m D．30 6 m【解析】设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝2h，PC＝233h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝602＋2h2－4h22×60×2h，①cos∠PBC＝602＋2h2－43h22×60×2h. ②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.【答案】 D二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长千米．【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，ABsin C＝ACsin ∠ABC，∴AC＝AB·sin ∠ABCsin C＝1×2212＝2(千米)．【答案】 27．如图1212，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m.图1212【解析】tan 30°＝CDAD，tan 75°＝CDDB，又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，∴AD＝603，故CD＝60.【答案】608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图1213所示，已知AB＝4 2 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点 dm的C处截住足球. 【导学号：05920061】图1213【解析】设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即x2＝(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝37 3.∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．【答案】7三、解答题9．A，B，C，D四个景点，如图1214，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距(32－6)km，求A，B两景点的距离．图1214 【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得BDsin ∠BCD＝CDsin ∠CBD，即BD＝CD·sin 75°sin 60°＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.答：A，B两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，在Rt△ABD中，BD＝30tan 30°＝303(m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，∴CD＝30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为( )A．d1>d2B．d1＝d2C．d1<d2D．不能确定大小【解析】如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β.在△PBC中，d1sin α＝PBsin∠PCB，在△PCD中，d2sin β＝PDsin∠PCD，∵sin α＝sin β，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴d1d2＝PBPD.∵PB<PD，∴d1<d2.【答案】 C2．如图1215，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m, 3＝1.732)( )图1215 A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m【解析】在△ACE中，tan 30°＝CEAE＝CM－10AE.∴AE＝CM－10tan 30°(m)．在△AED中，tan 45°＝DEAE＝CM＋10AE，∴AE＝CM＋10tan 45°(m)，∴CM－10tan 30°＝CM＋10tan 45°，∴CM＝10(3＋1)3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．【答案】 C3.如图1216所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°；从B 处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为米．图1216【解析】在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°. 因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，所以200sin 30°＝ADsin 120°.所以AD＝200×sin 120°sin 30°＝2003(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝10039(米)．故石竹山这条索道AC长为10039米．【答案】100394．2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1217)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．图1217【解】方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B 点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝d sin α2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝d sin β2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝AM2＋AN2－2AM·AN cos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N 点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝d sin α1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝d sin β1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝BM2＋BN2－2BM·BN cos(β2＋α2).。

人教A版高中数学必修五学业水平测试题答案(上交,正考)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作乌鲁木齐市高级中学2008/2009学年第二学期第一学段学业水平考试高一数学（必修5）（正考）参考答案一、选择题（批改：杨帆，林强）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C B B C C C DDADCBABDB二、填空题（批改：杨帆，林强）17．（－2，5） 18．13 19．(4,0)- 20．（教材P45改编）5,(1)2,(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩三、解答题21．（批改：唐惠玲） ∵a ＞c ＞ b,∴A 最大， 22201cos 12022b c a A A bc +-==-∴= 22．（批改：唐惠玲）证明：∵+∈R c b a ,,∴ab b a 2≥+，bc cb b 2≥+ac c a 2≥+，∴ca bc ab c b a 222222++≥++ ∴ a b c ab bc ca ++≥++ 23．（批改：陆永红）（1）398)1(1+-=-+=n d n a a n （2）当n =4时n S 最大，76=n S24．（教材P85+P90）（批改：杨华）解：设,x y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，能够产生利润z 万元。

目标函数为0.5.z x y =+于是满足以下条件：40,181516,0,0,x y x y x x N y x N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩可行域如图，由图可以看出，当直线22y x z =-+经过181566410x y x y +=⎧⎨+=⎩的交点(2,2)时，z 的值最大，此时max 3z =。

答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。

25．（批改：王治国）解：（Ⅰ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．因为c 非零，∴c ＝2（Ⅱ）a 1=2,当n ≥2时，12(1)n n a a n -=+-,122(2)n n a a n --=+-，……，2121a a =+⨯ 将这n －1个式子相加得 212(121)2n a a n n n n =+-+-++=-+∴22n a n n =-+，显然n ＝1时也符合。

人教A版数学必修一学业分层测评(五)

学业分层测评(五) 补集及综合应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有( )A．3个B．5个C．7个D．8个【解析】A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7.【答案】 C2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( ) A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x ＜1}．【答案】 D3．(2015·天津高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( )A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}【解析】由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．【答案】 A4．(2016·中山高一检测)设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图112中的阴影部分表示的集合为( )图112A．{2} B．{4,6}C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}【解析】全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，∵∁U A＝{4,6,7,8}，∴(∁U A)∩B＝{4,6}．故选B.【答案】 B5．(2016·南阳高一检测)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且AB)＝R，则实数a的取值范围是( )【导学号：97030023】∪(∁RA．a≤2 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2【解析】∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x≤1或x≥2}，∴∁R因为A∪∁R B＝R，所以a≥2，故选C.【答案】 C二、填空题6．(2016·杭州模拟)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝________.【解析】∵集合S＝{x|x>－2}，S＝{x|x≤－2}，∴∁R由x2＋3x－4≤0，得T＝{x|－4≤x≤1}，S)∪T＝{x|x≤1}．故(∁R【答案】(－∞，1]7．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝________.【解析】∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．【答案】{3}8．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________．【解析】∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁U A⊆∁U B.【答案】∁U A⊆∁U B三、解答题9．(2016·宁波高一检测)设A＝{x∈Z||x|＜6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩∁A(B∪C)．【解】A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，(1)由B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．(2)由B∪C＝{1,2,3,4,5}，∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}，∴A∩∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}．10．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求：(1)A∩B；A；(2)∁R(A∪B)．(3)∁R【解】(1)∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，∴A∩B＝{x|3≤x＜7}．(2)又全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，∴∁R A＝{x|x＜3或x≥7}．(3)∵A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．[能力提升]1．(2016·石家庄高一检测)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)【解析】∵全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，∴M∪N＝{1,2,3,4}，则(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}．故选D.【答案】 D2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁(A∪B)中元素个数为( )UA．1 B．2C．3 D．4【解析】∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}．【答案】 B3．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．【解析】 ∵U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，∁U A ＝{1}，∴a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.【答案】－1或24．(2016·哈尔滨师大附中高一检测)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}．求(1)∁U (A ∪B )；(2)记∁U (A ∪B )＝D ，C ＝{x |2a －3≤x ≤－a }，且C ∩D ＝C ，求a 的取值范围.【导学号：97030024】【解】 (1)由题意知，A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∪B ＝{x |x ≤2或x ≥5}，又全集U ＝R ，∁U (A ∪B )＝{x |2＜x ＜5}．(2)由(1)得D ＝{x |2＜x ＜5}，由C ∩D ＝C 得C ⊆D ， ①当C ＝∅时，有－a ＜2a －3，解得a ＞1；②当C ≠∅时，有⎩⎨⎧2a －3≤－a2a －3>2－a <5，解得a ∈∅.综上，a 的取值范围为(1，＋∞).。

高中数学人教A版必修五第二章数列学业分层测评9 Word版含答案.doc

学业分层测评（九）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2015·汉口高二检测)下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列【解析】不妨设a＝1，b＝2，c＝3.A选项中，a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然a2，b2，c2不成等差数列．B选项中，log21＝0，log22＝1，log23>1，显然log2a，log2b，log2c也不成等差数列．C选项中，a＋2＝3，b＋2＝4，c＋2＝5，显然a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．D选项中，2a＝2,2b＝4,2c＝8，显然2a,2b,2c也不构成等差数列．【答案】 C2．等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根【解析】由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无解．【答案】 A3．设{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝()A．0 B．37C．100 D．－37【解析】设c n＝a n＋b n，由于{a n}，{b n}都是等差数列，则{c n}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{c n}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100.【答案】 C4．若{a n}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A．39 B．20C．19.5 D．33【解析】由等差数列的性质，得a1＋a4＋a7＝3a4＝45，a2＋a5＋a8＝3a5＝39，a3＋a6＋a9＝3a6.又3a5×2＝3a4＋3a6，解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.【答案】 D5．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝()A．6 B．7C．8 D．10【解析】设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{a n}，则a2＝2 500，a5＝4 000.由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.由a m＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7.【答案】 B二、填空题6．(2015·广东高考)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝.【解析】因为等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10.【答案】 107．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为．【解析】 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 【答案】 438．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为．【解析】不妨设角A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos 120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin 120°＝15 3.【答案】 15 3三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．【解】 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 【导学号：05920067】【解】设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.[能力提升]1．已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0C．a3＋a99＝0 D．a51＝51【解析】根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.【答案】 C2．(2016·郑州模拟)在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为()A．14 B．15C．16 D．17【解析】设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－13a11＝(a8＋d)－13(a8＋3d)＝23a8＝16.【答案】 C3．数列{a n}中，a1＝1，a2＝23，且1a n－1＋1a n＋1＝2a n，则a n＝. 【解析】因为1a n－1＋1a n＋1＝2a n，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n为等差数列，又1a1＝1，公差d＝1a2－1a1＝32－1＝12，所以通项公式1a n＝1a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×12＝n＋12，所以a n＝2n＋1.【答案】2 n＋14．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？【解】设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n}，c1＝11，又等差数列5,8,11，…的通项公式为a n＝3n＋2，等差数列3,7,11，…的通项公式为b n＝4n－1.所以数列{c n}为等差数列，且公差d＝12，①所以c n＝11＋(n－1)×12＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，c n＝12n－1≤302，②得n≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项.。

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学业分层测评（一）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( ) A.3＋1 B．23＋1
C．2 6 D．2＋2 3
【解析】由已知及正弦定理，得
4
sin 45°
＝
b
sin 60°
，
∴b＝4sin 60°
sin 45°
＝
4×
3
2
2
2
＝2 6.
【答案】 C
2．在△ABC中，∠A＝60°，a＝43，b＝42，则∠B等于( ) A．45°或135°B．135°
C．45°D．以上答案都不对
【解析】∵sin B＝b sin A
a
＝
42×
3
2
43
＝
2
2
，
∴∠B＝45°或135°.
但当∠B＝135°时，不符合题意，
所以∠B＝45°，故选C.
【答案】 C
3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( ) A．1∶2∶3 B．1∶3∶2
C．2∶3∶1 D．3∶1∶2
【解析】设三角形内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x，
则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°.
由正弦定理
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
，
可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
∴a∶b∶c＝sin30°∶sin60°∶sin90°
＝1
2
∶
3
2
∶1＝1∶3∶2.
【答案】 B
4．在△ABC中，若3b＝23a sin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为( ) A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解析】由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，
则3b＝23a·sin B可化为：
3sin B＝23sin A·sin B.
∵0°<∠B<180°，
∴sin B≠0，
∴sin A＝
3 2
，
∴∠A＝60°或120°，
又cos A＝cos C，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
【答案】 C
二、填空题
5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b
为最小边，由正弦定理
b
sin B
＝
c
sin C
得b＝
c sin B
sin C
＝
1×
2
2
3
2
＝
6
3
.
【答案】
6 3
6．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a
＝3，sin B＝1
2
，C＝
π
6
，则b＝________.
【解析】在△ABC中，∵sin B＝1
2
，0<B<π，∴B＝
π
6
或B＝
5
6
π.
又∵B＋C<π，C＝π
6
，∴B＝
π
6
，
∴A＝π－π
6
－
π
6
＝
2
3
π.
∵
a
sin A
＝
b
sin B
，∴b＝
a sin B
sin A
＝1.
【答案】 1
7．在△ABC中，若3a＝2b sin A，则B＝________. 【解析】由正弦定理得3sin A＝2sin B·sin A，
∵sin A≠0，∴sin B＝
3 2
.
又0<B<180°，
∴B＝60°或120°. 【答案】60°或120°三、解答题
8．在△ABC中，已知a
cos A ＝
b
cos B
＝
c
cos C
，试判断△ABC的形状.【导学号：
05920059】
【解】令
a
sin A
＝k，
由正弦定理得a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C.
代入已知条件，得sin A
cos A
＝
sin B
cos B
＝
sin C
cos C
，
即tan A＝tan B＝tan C.
又A，B，C∈(0，π)，
∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．
9．在△ABC中，∠A＝60°，sin B＝1
2
，a＝3，求三角形中其它边与角的大
小．
【解】由正弦定理得
a
sin A
＝
b
sin B
，
即b＝a·sin B
sin A
＝
3×
1
2
sin 60°
＝ 3.
由于∠A＝60°，则∠B<120°，
又sin B＝1 2，
∴∠B＝30°，则∠C＝90°，则c＝a sin C
sin A
＝2 3.
[能力提升]
1．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
若3a＝2b，则2sin2B－sin2A
sin2A
的值为( )
A.19
B.13C ．1D ．72 【解析】 ∵
a sin A
＝
b sin B
，∴
sin B sin A ＝b
a
. ∵3a ＝2b ，∴b a ＝3
2.
∴
sin B sin A ＝3
2
. ∴2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322
－1 ＝92－1＝7
2. 【答案】 D
2．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A
D ．a ≥b sin A
【解析】由正弦定理
a sin A
＝
b sin B
，∴a sin B ＝b sin A ，在△ABC 中，0<sin B
≤1，故a sin B ≤a ，∴a ≥b sin A ．故选D.
【答案】 D
3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，B ＝π4，________，
求角A .”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝π
6.(试在
横线上将条件补充完整)
【解析】分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由
a sin A
＝
b sin B ，得b ＝a sin B
sin A ＝3sin
π4sin
π
6
＝6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A
＋B＋C＝π，B＝π
4
，A＝
π
6
，知C＝
7π
12
，再运用正弦定理，得c＝
32＋6
2
.
【答案】b＝6或c＝32＋6
2
4．已知方程x2－b cos Ax＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，∠A、∠B为a、b的对角，试判断△ABC的形状．【解】设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系得x1＋x2＝b cos A，x1x2＝a cos B，由题意得b cos A＝a cos B.
由正弦定理得2R sin B cos A＝2R sin A cos B.
∴sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin(A－B)＝0.
在△ABC中，0<∠A<π，0<∠B<π，－π<∠A－∠B<π.
∴∠A－∠B＝0即∠A＝∠B，∴△ABC为等腰三角形.。

人教A版高中数学必修五学业分层测评1

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