2020年安徽省高考数学(文科)模拟试卷(5)
安徽省2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
参考答案
一、选择题
1.A 2.A3.B 4.A5.C 6.D 7.B 8.B 9.D 10.C 11.B 12.A
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：(1)由已知及余弦定理得2c× ＝2a＋b,
整理得a2＋b2－c2＝－ab,
A．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
B．命题“存在 ，使得 ”的否定是：“任意 ，都有 ”
C．若命题“非 ”与命题“ 或 ”都是真命题，那么命题 一定是真命题
D．命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题
6.三个数 的大小顺序是
A. B.
C. D.
7.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为
所以△ABC为等腰三角形，且BC＝AC＝ .
所以△ABC的面积
S＝ BC·AC·sin ＝ × × × ＝ .
18.（1）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为
.
（Ⅱ）根据题意，得出如下 列联表
骑行爱好者
非骑行爱好者
总计
青年人
700
100
800
非青年人
800
200
1000
总计
1500
300
在四边形 中， ,及(1) 为 中点， ,得 为等腰三角形，
故 ,
则
20.（1）由题设 ， ，
所以 .又 ，
所以 . 的方程为 .
（2）由题设 不平行于 轴，设 ： ，联立 ，
得 . ， .
因为 ，所以四边形 为平行四边形，
四边形 面积
安徽省黄山市2020届高考数学模拟考试(文科)试题Word版含解析
安徽省黄山市2020届高考数学模拟考试（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B（）A．（0，2] B．[﹣1，3）C．[2，3）D．[﹣1，0）2．若复数z满足，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数为=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i3．已知数列{an }是等差数列，a3+a13=20，a2=﹣2，则a15=（）A．20 B．24 C．28 D．344．若圆锥曲线Γ： =1（m≠0且m≠5）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则实数m=（）A．9 B．7 C．1 D．﹣15．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A．B．C．D．6．中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器．下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）（）A．2000 B．2800 C．3000 D．60007．已知，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a8．若函数f（x）=（ax2+bx）e x的图象如图所示，则实数a，b的值可能为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=2 D．a=﹣1，b=﹣29．三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA=2，PB=PC=，则当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积和最大时，经过点P，A，B，C的球的表面积是（）A．4π B．8π C．12πD．16π10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．11．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．右面是一个算法的程序框图，当输入n的值为12时，则输出的结果为（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知数列{an }满足，Sn是数列{an}的前n项和，若S 2017+m=1010，且a1•m＞0，则的最小值为（）A．2 B．C．D．二、填空题13.已知平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），且（+）∥（﹣），则m= ．14．已知θ是第四象限，且，则= ．15．过定点P（2，﹣1）作动圆C：x2+y2﹣2ay+a2﹣2=0的一条切线，切点为T，则线段PT长的最小值是．16．已知实x，y数满足，则的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：年龄段18﹣24岁25﹣49岁50﹣64岁65岁及以上频数35202520支持脱欧的人数10101515（Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数不支持“脱欧”人数合计附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.01K1.3232.0722.7063.8415.0246.635（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从18﹣64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18﹣24岁的概率．19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，．P 为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得．（Ⅰ）求证：PH⊥平面AEF；（Ⅱ）求多面体ABDEFH的体积．20．（12分）如图所示，在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x，Q（﹣1，0），设点P是第一象限内抛物线C上一点，且PQ为抛物线C的切线．（1）求点P的坐标；（2）圆C1、C2均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切，求圆C1、C2的半径之和．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当0＜a＜2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a=1，函数．若对任意x1∈（0，e]，都存在x2∈（0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．安徽省黄山市2020届高考数学模拟考试（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B（）A．（0，2] B．[﹣1，3）C．[2，3）D．[﹣1，0）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|2≤x＜3}=[2，3）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．若复数z满足，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数为=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵，∴z=i（1+i）=﹣1+i，∴，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知数列{an }是等差数列，a3+a13=20，a2=﹣2，则a15=（）A．20 B．24 C．28 D．34【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知结合等差数列的性质求得a8，进一步求得公差，再由等差数列的通项公式求得a15．【解答】解：∵a3+a13=2a8=20，∴a8=10，又a2=﹣2，∴d=2，得a15=a2+13d=24．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．4．若圆锥曲线Γ： =1（m≠0且m≠5）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则实数m=（）A．9 B．7 C．1 D．﹣1【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的性质求得焦点坐标，则c=2，由椭圆的性质可得m﹣5=4，即可求得m的值．【解答】解：由抛物线y2=8x的焦点（2，0），则抛物线的焦点在x轴上，c=2，∴m﹣5=4，∴m=9，故选A．【点评】本题考查圆锥曲线的简单几何性质，属于基础题．5．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】利用在的函数值相等为，得到φ的表达式，利用已知范围求角．【解答】解：，或，或，又因为0≤φ≤π，所以；故选A．【点评】本题考查了函数值的求法，关键是将问题转化为在的函数值相等为，求出范围内的角．6．中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器．下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）（）A．2000 B．2800 C．3000 D．6000【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得出该几何体是正四棱台，结合图中数据计算四棱台的体积即可．【解答】解：由三视图得该几何体是正四棱台，其上、下底面边长分别为10、20，棱台的高为12，所以棱台的体积为=×（102+202+10×20）×12=2800．V四棱台故选：B．【点评】本题考查了几何体三视图与棱台体积公式的应用问题，是基础题．7．已知，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用诱导公式与和差公式可得c，再利用指数的运算性质可得a，b．【解答】解：＞1，b==∈，c=cos50°cos10°﹣sin50°sin10°=cos（50°+10°）=cos60°=．∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了诱导公式与和差公式、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．若函数f（x）=（ax2+bx）e x的图象如图所示，则实数a，b的值可能为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=2 D．a=﹣1，b=﹣2【考点】函数的图象．【分析】根据函数的零点可得其中一个零点x=﹣＞1，即可判断．【解答】解：令f（x）=0，则（ax2+bx）e x=0，解得x=0或x=﹣，由图象可得﹣＞1，故当a=1，b=﹣2时符合，故选：B【点评】本题考查了函数的图象和识别，属于基础题．9．三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA=2，PB=PC=，则当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积和最大时，经过点P，A，B，C的球的表面积是（）A．4π B．8π C．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：当PA，PB，PC两两垂直时，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积和最大，此时2R==4，S=4π•4=16π，故选D．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意∠F1PF2=90°，利用直角三角形的边角关系即可得到|PF2|=c，|PF1|=c，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，∠PF2F1=2∠PF1F2=60°，∠F1PF2=90°，∴|PF2|=c，|PF1|=c，由双曲线的定义可得：|PF1|﹣|PF2|=2a，∴，解得e==．故选：D．【点评】熟练掌握圆的性质、直角三角形的边角关系、双曲线的定义、离心率的计算公式是解题的关键．11．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．右面是一个算法的程序框图，当输入n的值为12时，则输出的结果为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量j的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=12，i=2，j=0满足条件i＜12，MOD（12，0）无意义，其逻辑值为0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（12，1）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（12，2）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（12，3）=0，j=4，i=6满足条件i＜n，MOD（12，4）=0，j=5，i=7满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=8满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=9满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=10满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=11满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=12不满足条件i＜n，退出循环，输出j的值为5．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（n，i）的值是解题的关键，属于基础题．12．已知数列{an }满足，Sn是数列{an}的前n项和，若S 2017+m=1010，且a1•m＞0，则的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】数列与函数的综合；基本不等式．【分析】由S2017﹣a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017），结合余弦函数值求和，再由S2017+m=1010，可得a1+m=2，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：数列{an}满足，可得a2+a3=3cosπ=﹣3，a4+a5=5cos2π=5，a6+a7=7cos3π=﹣7，…，a2016+a2017=2017cos1008π=2017，则S2017﹣a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017）=﹣3+5﹣7+9﹣…+2017=1008，又S2017+m=1010，所以a1+m=2，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，则=（a1+m）（）=（2++）≥（2+2）=2．当且仅当a1=m=1时，取得最小值2．故选：A．【点评】本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13.已知平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），且（+）∥（﹣），则m= ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求出m的值．【解答】解：平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），则+=（1+m，m+3），﹣=（﹣1m﹣5），且（+）∥（﹣），∴（1+m）（m﹣5）+（m+3）=0，m2﹣3m﹣2=0，解得m=或m=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题目．14．已知θ是第四象限，且，则= ﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，求得cos（θ﹣）和sin（θ﹣）的值，再利用两角差的正切公式求得的值．【解答】解：因为θ为第四象限角且=cos（﹣θ）=cos（θ﹣），∴θ﹣还是第四象限角，故，∴==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，以及三角函数在各个象限中的符号，两角差的正切公式的应用，属于基础题．15．过定点P（2，﹣1）作动圆C：x2+y2﹣2ay+a2﹣2=0的一条切线，切点为T，则线段PT长的最小值是．【考点】圆的切线方程．【分析】利用勾股定理表示PT，即可得出结论．【解答】解：由题意，当a=﹣1时PT长最小为，故答案为．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．已知实x，y数满足，则的取值范围为[0，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，﹣1）连线的斜率结合导数求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣1）连线的斜率．设过P（0，﹣1）的直线与曲线y=lnx相切于点B（x0，lnx），则，切线方程为y﹣lnx0=（x﹣x），把（0，﹣1）代入得：﹣1﹣lnx0=﹣1，得x=1．∴切线的斜率为1．则的取值范围为[0，1]．故答案为：[0，1]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•安徽模拟）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用三角恒等变换求得f（A）的解析式，由f（A）=5求得 sin（2A+）的值，从而求得2A+的值，可得A的值．（2）利用余弦定理，基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面积bc•sinA的最大值．【解答】解：（1）由题意可得：=3+sin2A+cos2A+1=4+2sin（2A+），∴sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，∴A=．（2）由余弦定理可得：，即4=b2+c2﹣bc≥bc（当且仅当b=c=2时“=”成立），即bc≤4，∴，故△ABC面积的最大值是．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．18．（12分）（2017•安徽模拟）某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：年龄段18﹣24岁25﹣49岁50﹣64岁65岁及以上频数35202520支持脱欧的人数10101515（Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数不支持“脱欧”人数合计附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.01K1.3232.0722.7063.8415.0246.635（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从18﹣64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18﹣24岁的概率．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，即可得出这2人至少有1人年龄在18﹣24岁的概率．【解答】解：（Ⅰ）年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数203050不支持“脱欧”人数351550合计5545100所以有99%的把握认为以50岁为分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异．（Ⅱ）18﹣24岁2人，25﹣49岁2人，50﹣64岁3人．记18﹣24岁的两人为A，B；25﹣49岁的两人为C，D；50﹣64岁的三人为E，F，G，则AB，AC，AD，AE，AF，AG，BC，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共21种，其中含有A或B的有11种．故．【点评】本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•安徽模拟）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得．（Ⅰ）求证：PH⊥平面AEF；（Ⅱ）求多面体ABDEFH的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，说明∠PAO为AP与平面ABCD 所成角，通过计算勾股定理证明AP⊥PH．结合PH⊥EF．证明PH⊥平面AEF．（Ⅱ）证明AC⊥平面BDEF．求解，推出点H到平面BFED的距离等于点C到平面BFED的距离，通过V=VA﹣BFED +VH﹣EFBD，求解即可【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，∴OP⊥DE∴OP⊥平面ABCD，∴∠PAO为AP与平面ABCD所成角，∴∠PAO=60°．在Rt△AOP中，∴．在Rt△AHC中，．梯形OPHC中，．∴AP2+PH2=AH2∴AP⊥PH．又EH=FH，∴PH⊥EF．又AP∩EF=P，∴PH⊥平面AEF．（2）由（1）知，OP⊥平面ABCD，∴OP⊥AC．又AC⊥BD，BD∩OP=O，∴AC⊥平面BDEF．∴．∵CG∥BF，BF⊂平面BFED，CG⊄平面BFED，∴CG∥平面BFED，∴点H到平面BFED的距离等于点C到平面BFED的距离，∴．．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．20．（12分）（2017•安徽模拟）如图所示，在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x，Q（﹣1，0），设点P是第一象限内抛物线C上一点，且PQ为抛物线C的切线．（1）求点P的坐标；（2）圆C1、C2均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切，求圆C1、C2的半径之和．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）设直线PQ 的方程为：x=my ﹣1，联立利用PQ 为抛物线C 的切线，所以△=0求出m ，可得点P （1，2）．（2）OP 直线方程为：y=2x ，设圆C 1、C 2的圆心坐标分别为（a 1，b 1），（a 2，b 2），其中b 1＞0，b 2＞0，则圆C 1、C 2的半径分别为b 1、b 2，利用圆C 1与直线OP 相切于点P ，推出．说明圆C 1、C 2的半径b 1、b 2是方程b 2﹣5b+5=0的两根，利用韦达定理求解即可． 【解答】解：（1）设直线PQ 的方程为：x=my ﹣1因为PQ 为抛物线C 的切线，所以△=16m 2﹣16=0⇒m=±1． 又因为点P 是第一象限内抛物线C 上一点，所以m=1， 此时点P （1，2）．（2）OP 直线方程为：y=2x ，设圆C 1、C 2的圆心坐标分别为（a 1，b 1），（a 2，b 2），其中b 1＞0，b 2＞0， 则圆C 1、C 2的半径分别为b 1、b 2，因为圆C 1与直线OP 相切于点P ，所以．同理因为圆C2与直线OP相切于点P，所以．即圆C1、C2的半径b1、b2是方程b2﹣5b+5=0的两根，故b1+b2=5．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2017•安徽模拟）已知函数．（Ⅰ）当0＜a＜2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a=1，函数．若对任意x1∈（0，e]，都存在x2∈（0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当0＜a＜2时，求出函数的导数，当时，当时，分别求解导函数的符号，判断函数的单调性求解单调区间即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，f（x）在（0，1）内单调递减，（1，2）内单调递增，（2，e）内单调递减，推出x1∈（0，e]，f（x）|min=f（1）=﹣1，∀x1∈（0，e]，∃x2∈[0，2]有f（x1）≥g（x2），转化为：只需g（x）在[0，2]上最小值小于等于﹣1即可．【解答】解：（Ⅰ）当0＜a＜2时，，当时，或0＜x＜2，f（x）在上递增，在（0，2）和上递减；当时，或，f（x）在上递增，在和（2，+∞）上递减；，f（x）在（0，+∞）上递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，f（x）在（0，1）内单调递减，（1，2）内单调递增，（2，e）内单调递减，又，∴x1∈（0，e]，f（x）|min=f（1）=﹣1故∀x1∈（0，e]，∃x2∈[0，2]有f（x1）≥g（x2），只需g（x）在[0，2]上最小值小于等于﹣1即可．x=2b＜0即b＜0时g（x）最小值，不合题意，舍去；x=2b∈[0，2]，即0≤b≤1时g（x）最小值，；x=2b＞2即b＞1时g（x）最小值，∴b＞1；综上所述：．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及极值的求法，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•安徽模拟）已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】化简直线的参数方程为普通方程，设椭圆的P的参数，利用点到直线的距离公式，通过三角函数的最值求解即可．【解答】解：由条件：．设点，点P到C2之距离.．此时cosθ=﹣，此时点．【点评】本题考查直线的参数方程椭圆的参数方程的应用，点到直线的距离公式以及三角函数的最值，考查转化思想以及计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•安徽模拟）已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出，然后推出2≤|2a﹣1|≤3求解即可．（Ⅱ）设g（a）=t•a+t2﹣3，利用恒成立列出不等式组，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当x∈[0，3]时，2≤|2a﹣1|≤3且，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，设g（a）=t•a+t2﹣3，则，可得或t≥3．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．。
2020年高考模拟试卷安徽芜湖市(3月份)高考数学仿真模拟测试试卷(文科) 含答案
2020年高考模拟试卷高考数学仿真模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题1．集合A＝{x|﹣3＜x≤2}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．C、{﹣1，0，1，2}D．{2}2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6B．C．D．23．某课外小组为了了解什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类，随机对该校同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如图所示的统计图，已知每个回答该问卷的同学都只能在问卷的五个选项中选择一个，以下结论错误的是（）A．回答该问卷的总人数不可能是100B．回答该问卷的同学中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C．回答该问卷的同学中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D．回答该问卷的同学中，选择播放“播放公益广告”的人数比选择“学校要求”的人数少84．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．5．已知P（，）为双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）上一点，则点P到双曲线C的渐近线的距离为（）A．B．或C．D．或6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②7．实数x，y满足不等式组，若z＝3x+y的最大值为5，则正数m的值为（）A．2B．C．10D．8．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知椭圆的右顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），过A，B，C三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知将曲线y＝sin（2x+）向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，得到的曲线y＝g（x）经过点（﹣，1），有下列四个结论：①函数g（x）的最小正周期T＝π；②函数g（x）在[，]上单调递增；③曲线y＝g（x）关于直线x＝；④曲线y＝g（x）关于点（，0）对称．其中所有正确的结论是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a（cos C+sin C），a＝2，c＝，则角C＝（）A．B．C．D．12．已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（2，﹣1），＝（1，3），且⊥（+m），则m＝．14．已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a＝．15．已知tan（+α）＝﹣2，则＝．16．已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，，若四面体ABCD的体积为，球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项的和为S n，满足a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝a2n，数列{b n}的前n项和与积分别为R n与T n，求R n与T n．18．某省确定从2021年开始，高考采用“3+1+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门：“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目．某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行调查（1）已知抽取的n名学生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的2×2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由性别选择物理选择历史总计男生50女生30总计（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率附：，其中n＝a+d+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001 K0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若PB＝PC，E为棱CD的中点，∠PEA＝90°，BC＝2，求四面体A﹣PED的体积．20．已知f（x）＝sin x﹣ax2+2a．（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线过点P（1，2），求a的值；（2）当a∈[，1]时，求证：f（x）＜．21．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＝4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且＝5，求直线l方程．二、选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜x2的解集；（2）若f（x）的最大值为M，且a2+b2＝M，求证：ab≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x|﹣3＜x≤2}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．C、{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】利用交集的性质求解．解：∵A＝{x|﹣3＜x≤2}，B＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6B．C．D．2【分析】先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求b的值．解：由题意，＝＝∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数∴∴b＝，故选：C．3．某课外小组为了了解什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类，随机对该校同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如图所示的统计图，已知每个回答该问卷的同学都只能在问卷的五个选项中选择一个，以下结论错误的是（）A．回答该问卷的总人数不可能是100B．回答该问卷的同学中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C．回答该问卷的同学中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D．回答该问卷的同学中，选择播放“播放公益广告”的人数比选择“学校要求”的人数少8【分析】根据统计图，一一判断即可．解：根据题意，里面含有13.5%等，所以不可能100人，从统计图可得最多的是⑤，最少的是③，回答该问卷的同学中，选择播放“播放公益广告”的人数比选择“学校要求”的人数少8%，故D错误，故选：D．4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可．解：设“东方模板”的面积是4，则阴影部分的三角形面积是1，阴影部分平行四边形的面积是，则满足条件的概率p＝＝，故选：C．5．已知P（，）为双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）上一点，则点P到双曲线C的渐近线的距离为（）A．B．或C．D．或【分析】把点P的坐标代入双曲线方程求得b，在利用点到直线距离公式即可求解．解：∵P（，）为双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）上一点，∴，∴．∴双曲线C的渐近线方程为则点P到双曲线C的渐近线的距离为＝．故选：B．6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；故选：A．7．实数x，y满足不等式组，若z＝3x+y的最大值为5，则正数m的值为（）A．2B．C．10D．【分析】由题意作出其平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z 的纵截距，从而解方程可求出m，即可．解：由题意作出实数x，y满足不等式组的平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x＝1，y＝2；故m＝2；故选：A．8．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数奇偶性，对称性，单调性和最值之间的关系进行判断即可．解：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，则图象关于原点对称，故排除D．当x∈（0，π）时，f′（x）＝，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，x∈（，π）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，则当x＝时，f（x）取得极大值同时也是最大值f（）＝＝＜1，故选：A．9．已知椭圆的右顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），过A，B，C三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】画出图形．利用射影定理转化求解离心率即可；另解：设过A，B，C三点的圆的圆心为M（m，0），由|MA|＝|MB|，列出方程，转化求解即可．解：射影定理可得：BE2＝AE•ED，即，所以即椭圆的离心率．故选：D．另解：设过A，B，C三点的圆的圆心为M（m，0），由|MA|＝|MB|得：，解得：，所以，∴．故选：D．10．已知将曲线y＝sin（2x+）向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，得到的曲线y＝g（x）经过点（﹣，1），有下列四个结论：①函数g（x）的最小正周期T＝π；②函数g（x）在[，]上单调递增；③曲线y＝g（x）关于直线x＝；④曲线y＝g（x）关于点（，0）对称．其中所有正确的结论是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【分析】根据三角函数的变化关系求出函数的解析式，结合三角函数的周期性，对称性，以及单调性分别进行判断即可．解：将曲线y＝sin（2x+）向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，得到y＝sin[2（x+φ）+]＝sin（2x+2φ+），∵y＝g（x）经过点（﹣，1），∴sin[2×（﹣）+2φ+]＝sin（﹣+2φ+）＝sin2φ＝1，即2φ＝2kπ+，则g（x）＝sin（2x+2φ+）＝sin（2x+2kπ++）＝sin（2x++）＝cos（2x+），①函数g（x）的最小正周期T＝＝π；故①正确，②当x∈[，]时，2x∈[，]，2x+∈[2π，3π]，此时函数为减函数，即函数g（x）在[，]上单调递增错误，故②错误；③当x＝时，g（）＝cos（2×+）＝cos＝0，曲线y＝g（x）关于直线x＝不正确；故③错误，④当x＝时，g（）＝cos（2×+）＝cos＝0，曲线y＝g（x）关于点（，0）对称，故④正确，故正确的是①④，故选：C．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a（cos C+sin C），a＝2，c＝，则角C＝（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tan A＝，结合范围A∈（0，π），可求sin A的值，进而根据正弦定理可得sin C的值，结合大边对大角可求C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．解：∵b＝a（cos C+sin C），∴由正弦定理可得：sin B＝sin A cos C+sin C sin A，又∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴可得：sin A＝cos A，可得：tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，可得：sin A＝，又∵a＝2，c＝，∴由正弦定理可得：sin C＝＝＝，∵c＜a，C为锐角，∴C＝．故选：D．12．已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．【分析】求导数，确定函数的单调性，可得x＝2时，函数取得极小值，关于x的方程有四个相异实根，则t+＝λ的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，再由对勾函数的单调性即可得出结论．解：由题意，函数的导数为f′（x）＝，∴0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝2时，函数取得极小值，关于x的方程x的方程有四个相异实根，设t＝，则t+＝λ的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，∴y＝t+在t＝处取得最小值+，∴λ＞+，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（2，﹣1），＝（1，3），且⊥（+m），则m＝5．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，列方程求出m的值．解：向量＝（2，﹣1），＝（1，3），且⊥（+m），∴•（+m）＝+m•＝0，即22+（﹣1）2+m（2﹣3）＝0，解得m═5．故答案为：5．14．已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a＝1．【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a 的值．解：函数f（x）＝e x﹣x2的导数为f′（x）＝e x﹣2x，函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e﹣2，切点为（1，e﹣1），由切线过点（0，a），可得：e﹣2＝，解得a＝1，故答案为：1．15．已知tan（+α）＝﹣2，则＝．【分析】由已知求得tanα，把要求值的式子化弦为切求解．解：由tan（+α）＝＝＝﹣2，得tanα＝3，∴＝＝＝．故答案为：．16．已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，，若四面体ABCD的体积为，球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为16π．【分析】确定△ABC外接圆直径为AC，由四面体ABCD中球心O恰好在侧棱DA上，V＝＝，可得D到面ABC的距离为2，即可得球半径R＝AO＝即可．解：∵点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC，∴△ABC外接圆直径为AC，圆心O1是AC中点，∵四面体ABCD中球心O恰好在侧棱DA上，∵四面体ABCD的体积为，∴V＝＝，∴h＝2，即D到面ABC的距离为2，∴球心O到面ABC的距离为．∴球半径R＝AO＝，∴这个球的表面积S＝4πR2＝4π×22＝16π．故答案为：16π．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项的和为S n，满足a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝a2n，数列{b n}的前n项和与积分别为R n与T n，求R n与T n．【分析】（Ⅰ）a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．n＝1时，6a1＝3a2﹣1，解得a1．n≥2时，6a n ＝6S n﹣6S n﹣1．化为：a n+1＝3a n，n＝1时满足．利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）b n＝a2n＝32n﹣2＝9n﹣1．分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．解：（Ⅰ）∵a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．∴n＝1时，6a1＝3a2﹣1，解得a1＝．n≥2时，6a n＝6S n﹣6S n﹣1＝3a n+1﹣1﹣（3a n﹣1）．化为：a n+1＝3a n，n＝1时满足．∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为3．∴＝3n﹣2．（Ⅱ）b n＝a2n＝32n﹣2＝9n﹣1．∴R n＝＝．T n＝90+1+2+……+（n﹣1）＝＝．18．某省确定从2021年开始，高考采用“3+1+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门：“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目．某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行调查（1）已知抽取的n名学生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的2×2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由性别选择物理选择历史总计男生6050110女生306090总计90110200（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率附：，其中n＝a+d+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001 K0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）根据题意列方程求出n的值，再求出女生人数；（2）根据题意填写列联表，计算K2的值，对照临界值得出结论；（3）利用分层抽样法和列举法，求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据题意知，＝，解得n＝200，所以女生人数为200﹣110＝90（人）；（2）根据题意填写列联表如下，性别选择物理选择历史总计男生6050110女生306090总计90110200计算K2＝≈8.999＞7.879，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关；（3）从90个选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，这这6名学生中有4名男生，记为a、b、c、d，2名女生，记为E、F，从这6人中抽取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；抽取的2人中至少有1名女生的基本事件为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF、EF共9种；故所求的概率为P＝＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若PB＝PC，E为棱CD的中点，∠PEA＝90°，BC＝2，求四面体A﹣PED的体积．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得CD⊥BC．再由已知结合面面垂直的性质可得CD⊥平面PBC，进一步得到CD⊥PB．再由PB⊥PD，利用线面垂直的判定可得PB⊥面PCD，进一步得到平面PAB⊥平面PCD；（2）取BC的中点O，连接OP、OE．由PB⊥平面PCD，可得PB⊥PC，求得OP，然后求解三角形可得ED，再求出三角形AED的面积，利用等积法即可求得四面体A﹣PED 的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC．∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，则CD⊥PB．∵PB⊥PD，CD∩PD＝D，CD、PD⊂平面PCD，∴PB⊥平面PCD．∵PB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）解：取BC的中点O，连接OP、OE．∵PB⊥平面PCD，∴PB⊥PC，∴，∵PB＝PC，∴PO⊥BC．∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，∴PO⊥平面ABCD，∵AE⊂平面ABCD，∴PO⊥AE．∵∠PEA＝90°，∴PE⊥AE．∵PO∩PE＝P，∴AE⊥平面POE，则AE⊥OE．∵∠C＝∠D＝90°，∴∠OEC＝∠EAD，∴Rt△OCE～Rt△EDA，则．∵OC＝1，AD＝2，CE＝ED，∴，∴＝．20．已知f（x）＝sin x﹣ax2+2a．（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线过点P（1，2），求a的值；（2）当a∈[，1]时，求证：f（x）＜．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知直线的斜率公式即可求解a；（2）要证：f（x）＜即证sin x﹣ax2+2a﹣＜0，构造函数g（a）＝（2﹣x2）a+sin x ﹣，a∈[，1]，结合一次函数的性质，只要证g（）＜0，g（1）＜0，结合函数的性质及导数即可证明．解：（1）f′（x）＝cos x﹣2ax，因为函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线过点P（1，2），所以切线的斜率k＝f′（0）＝1＝，所以a＝；（2）要证：f（x）＜即证sin x﹣ax2+2a﹣＜0，令g（a）＝（2﹣x2）a+sin x﹣，a∈[，1]，因为g（）＝sin x﹣x2﹣，故只要证明g（1）＝sin x﹣x2＜0，令h（x）＝sin x﹣x2，则h′（x）＝cos x﹣2x，因为h′（x）在（0，）上单调递减，且h′（0）＞0，＝＜0，故存在使得cos x0﹣2x0＝0，则x∈（0，x0）时，h′（x）＞0，函数单调递增，当x时，h′（x）＜0，函数单调递减，所以h（x）≤h（x0）＝sin x0﹣＝sin x0﹣＝，＝﹣＜0，∴g（1）＝sin x﹣x2＜0，根据一次函数的性质可得，当a∈[，1]时，f（x）＜．21．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＝4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且＝5，求直线l方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线定义知MF＝2+＝3，⇒p＝2．即可得抛物线方程．（Ⅱ）设AB中点坐标（2，m），＝，由得y2﹣2my+2m2﹣8＝0，其中△＞0得到m2＜8，．AB的垂直平分线方程为：y﹣m＝﹣，可得G（4，0），，．由＝5 可得m＝，即可．解：（Ⅰ）由抛物线定义知MF＝2+所以2+＝3，⇒p＝2．所以，抛物线方程为y2＝4x．（Ⅱ）设AB中点坐标（2，m），直线l的斜率存在，所以m≠0，＝，所以直线AB方程为：y﹣m＝，即2x﹣my+m2﹣4＝0．由得y2﹣2my+2m2﹣8＝0，其中△＞0得到m2＜8，．AB的垂直平分线方程为：y﹣m＝﹣，，令y＝0，得x＝4，所以G（4，0），，．因为＝5，所以（x1﹣4）（x2﹣4）+y1y2＝5．x1x2﹣4（x1+x2）+16+y1y2＝5，③，把②代入③得（（m2﹣4）2+8（m2﹣4）﹣20＝0，（m2+6）（m2﹣6）＝0，m2＝6＜8，m＝，所以，直线l方程为2x﹣或2x+．二、选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x＝ρcosθ、y＝ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8＝0的距离为，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ＝8，所以x+y﹣8＝0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8＝0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8＝0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜x2的解集；（2）若f（x）的最大值为M，且a2+b2＝M，求证：ab≥．【分析】（1）对x讨论，分x＜0，0＜x＜1，x≥1，去绝对值，结合二次不等式的解法，求并集可得所求解集；（2）由分段函数的最值求法，可得M，再由重要不等式结合绝对值不等式的解法，即可得证．解：（1）不等式f（x）＜x2即为﹣|x﹣1|＜x2，可得或或，即有x＞1或x∈∅或x＜0，综上可得原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1．+∞）；（2）证明：当x≥1时，f（x）＝2﹣x，此时f（x）≤1；当0＜x＜1时，f（x）＝x∈（0，1）；当x＜0时，f（x）＝x﹣2，此时f（x）＜﹣2，可得f（x）的最大值为1，即a2+b2＝1，由a2+b2≥2|ab|，可得﹣≤ab≤，故ab≥﹣．。
2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)
高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A ={x |0＜x ＜4}，B ={x |-4＜x ≤2}，则A ∩B =（ ）A. （0，4）B. （-4，2]C. （0，2]D. （-4，4）2.若复数z 满足，则|z |=（ ）A.1B. C. 2 D.3.若双曲线（m ＞0）的焦点到渐近线的距离是2，则m 的值是（ ）A.2B.C. 1D. 44.在△ABC 中，，若，则=（ ).A.B.C.D.5.如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是（ ）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低6.若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的概率是（ ）A.B. C. D.7.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何?”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是(注：1丈＝10尺)( )A. 1946立方尺 B. 3892立方尺 C. 7784立方尺 D. 11676立方尺8.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数g （x ）的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数g （x ）的图象关于点对称B. 函数g （x ）的周期是C. 函数g（x）在上单调递增D. 函数g（x）在上最大值是19.设函数，若函数g（x）=f（x）-b有三个零点，则实数b的取值范围是（ ）A. （1，+∞）B.C. （1，+∞）∪{0}D. （0，1]10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A. 17π+12B. 12π+12C. 20π+12D. 16π+1211.函数f（x）=x2+x sinx的图象大致为（ ）A. B.C. D.12.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点（0，1），（0，3），且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx（k＞0）关于y轴对称，则k 的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是______．14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若3a5-a1=10，则S13=______．15.若，则=______．16.已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．18.如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB=2GF，BF=CF．(Ⅰ)求证：AB⊥CG；(Ⅱ)若△ABC和梯形BCGF的面积都等于，求三棱锥G-ABE的体积．19.为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y（百个）0.300.60 1.00 1.40 1.70（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）．参考公式：r=，（x i-）2=10，（y i-）2=1.3，，=，=．20.已知直线与焦点为的抛物线()相切.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)过点的直线与抛物线交于，两点，求，两点到直线的距离之和的最小值.21.已知函数f(x)＝x2－3ax＋a2ln x (a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x≥e2(e为自然对数的底数)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为ρ2=4ρsinθ-3．（Ⅰ）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求|PQ|的最大值．23.已知f（x）=|3x+2|（1）求f（x）≤1的解集；（2）若f（x2）≥a|x|恒成立，求实数a的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|0＜x＜4}，B={x|-4＜x≤2}；∴A∩B=（0，2]．故选：C．进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：由=，得z=1+2i．∴|z|=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：双曲线（m＞0）的焦点设为（c，0），渐近线方程设为bx-ay=0，可得：d==b，由题意可得b=m=2．故选：A．求得双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵；∴；∴．故选：A．根据即可得出，求出，然后代入即可．考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算．5.【答案】B【解析】解：根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为-0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选：B．根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，是基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式表示的平面区域及几何概型中的面积型，属中档题．由不等式表示的平面区域得：x2+y2≤1所围区域为以原点为圆心，1为半径的圆面，|x|+|y|≤1所围区域为正方形ABCD所围成的区域，由几何概型中的面积型得：该点落在|x|+|y|≤1所围区域内的概率是P===，得解．【解答】解：x2+y2≤1所围区域为以原点为圆心，1为半径的圆面，|x|+|y|≤1所围区域为正方形ABCD所围成的区域，由几何概型中的面积型可得：该点落在|x|+|y|≤1所围区域内的概率是P===，故选：B．7.【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，是基础题．【解答】解：如图所示，正四棱锥P-ABCD的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺；截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A'B'=6尺，所以，解得OO'=21，所以该正四棱台的体积是V=×21×（202+20×6+62）=3892（立方尺）．故选：B．8.【答案】C【解析】解：函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）=2sin（2x+）-1的图象，故：①函数g（x）的图象关于点对称，故选项A错误．②函数的最小正周期为π，故选项B错误．③当时，，所以函数的最大值取不到1．故选项D错误．故选：C．直接利用函数的图象的伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】D【解析】【分析】根据函数零点的定义转化为f（x）=b有三个根，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据函数与方程的关系转化为两个函数图象之间的关系是解决本题的关键．【解答】解：函数g（x）=f（x）-b有三个零点，则函数g（x）=f（x）-b=0，即f（x）=b有三个根，当x≤0时，f（x）=e x（x+1），则f′（x）=e x（x+1）+e x=e x（x+2），由f′（x）＜0得x+2＜0，即x＜-2，此时f（x）为减函数，由f′（x）＞0得x+2＞0，即-2＜x＜0，此时f（x）为增函数，即当x=-2时，f（x）取得极小值f（-2）=-，作出f（x）的图象如图：要使f（x）=b有三个根，则0＜b≤1，故选：D．10.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：半个以3为半径的圆柱截取一个半径为1的圆柱．故：S=+=20π+12．故选C．首先把三视图转换为几何体进一步利用表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.【答案】A【解析】解：函数f（x）=x2+x sinx是偶函数，关于y轴对称，故排除B，令g（x）=x+sin x，∴g′（x）=1+cos x≥0恒成立，∴g（x）在R上单调递增，∵g（0）=0，∴f（x）=xg（x）≥0，故排除D，当x＞0时，f（x）=xg（x）单调递增，故当x＜0时，f（x）=xg（x）单调递减，故排除C．故选：A．根据函数的奇偶性排除B，再根据函数的单调性排除C，D，问题得以解决．本题考查了函数图象识别和应用，考查了导数和函数单调性的关系，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，∵圆C经过点（0，1），（0，3），且与x轴正半轴相切，∴圆心纵坐标为2，半径为2，则圆心横坐标为，∴圆心坐标为（，2），设过原点与圆相切的直线方程为y=k1x，由圆心到直线的距离等于半径，得，解得k1=0或．∴若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y=kx（k＞0）关于y轴对称，则k的最小值为．故选：D．由题意画出图形，求出圆C的圆心坐标与半径，再求出过原点与圆相切的直线的斜率，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．13.【答案】m＞2【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．【解答】解：若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，则{x|x＞m}⊊{x|x＞2}，即m＞2，即实数m的取值范围是m＞2，故答案为：m＞214.【答案】65【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，3a5-a1=10，∴3（a1+4d）-a1=2a1+12d=2a7=10，∴S13===．故答案为：65．利用等差数列通项公式求出2a7=10，由此能求出S13的值．本题考查等差数列的前13项和的求法，考查等差数列的性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.【答案】【解析】解：∵，∴=cos[-（-2x）]=cos2（x+）=1-2sin2（x+）=1-2×=．故答案为：．利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的定义及简单几何性质,同时考查定理的应用,可得P，F2，M三点共线，|PF1|+|PM|+|MF1|=4a,可得|PF1|=，|PF2|=,由余弦定理可|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2可得a，c的关系，即可求离心率．【解答】解: 如图，∵F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，∴P，F2，M三点共线，设|PF1|=m，则|PM|=m，|MF1|=m,又|PF1|+|PM|+|MF1|=4a=3m,∵|PF1|=，|PF2|=,由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2，∴a2=3c2，e=．故答案为.17.【答案】解：（Ⅰ）∵，由正弦定理可得∴，∵B为三角形的内角，∴sin B≠0，∴，∴，∵C∈（0，π），∴，∴；（Ⅱ）由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab cos C，∴b2+4b-12=0，∵b＞0，∴b=2，∴．【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈（0，π），可求C的值；（Ⅱ）由已知利用余弦定理可求得b2+4b-12=0，解得b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．18.【答案】证明：（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF．由ABC-EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，∴BC∥FG．∵CB=2GF，∴，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF．∵BF=CF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∴CG⊥BC．∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴CG⊥AB.（Ⅱ）∵三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，且CB=2GF，∴AC=2EG，∴S△ACG=2S△AEG，∴．由（Ⅰ）知，CG⊥平面ABC．∵正△ABC的面积等于，∴BC=2，GF=1．∵直角梯形BCGF的面积等于，∴，∴，∴．【解析】（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF．推导出BC∥FG，四边形CDFG为平行四边形，从而CG∥DF．再求出DF⊥BC，从而CG⊥BC．进而CG⊥平面ABC，由此能证明CG⊥AB．（Ⅱ）由．能求出三棱锥G-ABE的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ），，∴y与x线性相关性很强．…………………………（5分）（Ⅱ），，∴y关于x的线性回归方程是．当x=2019时，，即A地区2019年足球特色学校有208个．…………………………（12分）【解析】（Ⅰ），，∴y与x线性相关性很强．（Ⅱ）根据公式计算线性回归方程，再令x=2019可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵直线l：x-y+1=0与抛物线C相切．由消去x得，y2-2py+2p=0，从而=4p2-8p=0，解得p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为ty=x-1，A（x1，y1），B（x2，y2）．由消去x得，y2-4ty-4=0，∴y1+y2=4t，从而，∴线段AB的中点M的坐标为（2t2+1，2t）．设点A到直线l的距离为d A，点B到直线l的距离为d B，点M到直线l的距离为d，则，∴当时，可使A、B两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为．【解析】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．（Ⅰ）由消去x，=4p2-8p=0，解得p=2．即可．（Ⅱ）由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为ty=x-1，A（x1，y1），B（x2，y2）.联立方程求得线段AB的中点M的坐标，求得点M到直线l的距离为d，即可求解21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．．①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＞0时，由f′（x）＞0，解得∪（a，+∞），由f′（x）＜0解得．∴f（x）的单调递增区间为和（a，+∞），单调递减区间是；（2）①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（e2）=e4-3ae2+2a2≥0恒成立，符合题意．②当a＞0时，由（1）知，f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在上单调递减．（ⅰ）若，即a≥2e2时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．∴对任意的实数x≥e2，f（x）≥0恒成立，只需f（e2）≥0，且f（a）≥0．而当a≥2e2时，f（e2）=2a2-3ae2+e4=（2a-e2）（a-e2）≥0且f（a）=a2-3a2+a2ln a=a2（ln a-2）≥0成立．∴a≥2e2符合题意．（ⅱ）若时，f（x）在[e2，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．∴对任意的实数x≥e2，f（x）≥0恒成立，只需f（a）≥0即可，此时f（a）=a2-3a2+a2ln a=a2（ln a-2）≥0成立，∴e2≤a＜2e2符合题意．（ⅲ）若a＜e2，f（x）在[e2，+∞）上单调递增．∴对任意的实数x≥e2，f（x）≥0恒成立，只需f（e2）=e4-3ae2+2a2≥0，即f（e2）=e4-3ae2+2a2=（2a-e2）（a-e2）≥0，∴符合题意．综上所述，实数a的取值范围是．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法与分类讨论的数学思想方法，属难题．（1）求出原函数的定义域，再求出导函数．然后对a分类求解原函数的单调区间；（2）由（1）知，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（e2）≥0恒成立，符合题意．当a＞0时，由（1）知，f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在上单调递减．然后分，和a＜e2三类求解实数a的取值范围．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4y-3，即x2+（y-2）2=1． (5)）（Ⅱ）设P点的坐标为（2cosθ，sinθ）．|PQ|≤|PC2|+1=，当时，|PQ|max=．…………………………（10分）【解析】（Ⅰ）根据平方关系式可得C1的直角坐标方程，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）|PQ|的最大值为C1上的点到圆心C2的最大值加上半径．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）由f（x）≤1得|3x+2|≤1，所以-1≤3x+2≤1，解得，所以，f（x）≤1的解集为．…………………………（5分）（2）f（x2）≥a|x|恒成立，即3x2+2≥a|x|恒成立．当x=0时，a∈R；当x≠0时，．因为（当且仅当，即时等号成立），所以，即a的最大值是．…………………………（10分）【解析】（1）去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为，根据基本不等式的性质求出a的最大值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．。
2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷(文科)
2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−1<x<3}，集合B={x|−2<x<2}，则A∩B=()A. (−2,2)B. (−1,2)C. (−2,3)D. (−1,3)2.已知i是虚数单位，则复数z=1−2i1+i在复平面上所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 234.若x，y∈R，则x2>y2是xy>1成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)=1a x−a x(a>1)，则不等式f(2x2)+f(x−1)>0的解集是()A. (−∞,−1)∪(12,+∞) B. (−∞,−12)∪(1,+∞)C. (−12,1) D. (−1,12)6.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−2b⃗ |，其中b⃗ 是单位向量，则a⃗在b⃗ 方向上的投影是()A. 1B. 34C. 12D. 147.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米()A. 10×810810−710斗 B. 10×89810−710斗 C. 10×88810−710斗 D. 70×89810−1斗8.在△ABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π69.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移f p =2vsinφλ，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm(1nm =10−9m)，测得某时刻频移为9.030×109(1/ℎ)，则该时刻高铁的速度约等于( )A. 320km/ℎB. 330km/ℎC. 340km/ℎD. 350km/ℎ10. 已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，则|AF|+4|BF|的最小值为( )A. 4B. 8C. 9D. 1211. 点P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧面DCC 1D 1内的一个动点，若△APD 与△BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是( )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分12. 若关于x 的不等式(a +2)x ≤x 2+alnx 在区间[1e ,e](e 为自然对数的底数)上有实数解，则实数a 的最大值是( )A. −1B. 1−2ee(e+1)C.e(3−e)e−1D.e(e−2)e−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)={2e x ,x <elog 2(x 2−5),x ≥e (其中e 为自然对数的底数)，则f(f(3))的值等于______． 14. 某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a =______．15. 已知数列{a n }中a n =n ，数列{b n }的前n 项和S n =2n −1.若数列{a nb n }的前n 项和T n <M 对于∀n ∈N ∗都成立，则实数M 的最小值等于______．16. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1=2，AD =3，点E ，F 分别为棱BC ，CC 1上的动点．若四面体A 1B 1EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是______.(写出所有正确命题的编号) ①存在点E ，使得EF ⊥A 1F ；②不存在点E，使得B1E⊥A1F；③当点E为BC中点时，满足条件的点F有3个；④当点F为CC1中点时，满足条件的点E有3个；⑤四面体A1B1EF四个面所在平面，有4对相互垂直．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：空气质量指数(0,50](50,100](100,150](150,200](200,300]300以上空气质量等级一级(优)二级(良)三级(轻度污染)四级(中度污染)五级(重度污染)六级(严重污染)(1)在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率；(2)根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？18.如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC//B1C1，BC=2B1C1，A1C=√3AC1．(1)求证：A1B1//平面ABC；(2)求多面体ABC−A1B1C1的体积V．)的部分图象如图所示．19.已知函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向左平移π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到4原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π]上的值域．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：x 24+y 2=1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E于A ，B 两点．(1)若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；(2)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．21. 已知函数f(x)=e x −e −x ，g(x)=ax(e 为自然对数的底数)，其中a ∈R ．(1)试讨论函数F(x)=f(x)−g(x)的单调性；(2)当a =2时，记函数f(x)，g(x)的图象分别为曲线C 1，C 2.在C 2上取点P n (x n ,y n )作x 轴的垂线交C 1于Q n ，再过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n+1(x n+1,y n+1)(n ∈N ∗)，且x 1=1． ①用x n 表示x n+1；②设数列{x n }和{lnx n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求证：S n −T n+1>nln2．22. 在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，0≤α<π).以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−3=0，直线m 与曲线E交于A，C两点．(1)求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程；(2)过原点且与直线m垂直的直线n，交曲线E于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−2|−|x+1|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若a+b+c+m=0，证明：a2+b2+c2−2b+4c+2≥0．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|−1<x<3}，集合B={x|−2<x<2}，∴A∩B={x|−1<x<2}=(−1,2)．故选：B．求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i，∴z在复平面上所对应的点的坐标为(−12,−32)，位于第三象限．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．每个小区安排1人，基本事件总数n=A33=6，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数m=C21C11C11=2，∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为p=mn =26=13．故选：B．基本事件总数n=A33=6，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数m=C21C11C11=2，由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：xy >1⇔x−yy>0⇔y(x−y)>0⇔{y>0x−y>0，或{y<0x−y<0，⇒x2>y2，反之不成立，例如x=2，y=−1，满足x2>y2，而x y>1不成立．∴x2>y2是xy>1成立的必要不充分条件．故选：B．x y >1⇔x−yy>0⇔y(x−y)>0，解出不等式可得：x2>y2成立；反之，举例可知不成立．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=1a x −a x(a>1)，其定义域为R，有f(−x)=a x−1a x=−(1a x−a x)=−f(x)，则f(x)为R上的奇函数，f(x)=1a x −a x=(1a)x+(−a x)，函数y=(1a)x和y=(−a x)都是R上的减函数，则函数f(x)=1a x−a x在R上为减函数，f(2x2)+f(x−1)>0⇒f(2x2)>−f(x−1)⇒f(2x2)>f(1−x)⇒2x2<1−x⇒2x2+x−1<0，解可得：−1<x<12，即不等式的解集为(−1,12)；故选：D．根据题意，分析可得f(x)为R上的奇函数且在R上是减函数，据此可得原不等式等价于2x2+x−1<0，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，注意分析函数的奇偶性与单调性，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：b⃗ 是单位向量，∴|b⃗ |=1，∵|a⃗+b⃗ |=|a⃗−2b⃗ |，∴(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−2b⃗ )2，化简得2a⃗⋅b⃗ =b⃗ 2=1，即a⃗⋅b⃗ =12，∴a⃗在b⃗ 方向上的投影是a⃗ ⋅b⃗|b|⃗⃗⃗ =12，将已知等式两边平方，由b ⃗ 是单位向量，可求出向量a ⃗ 和b ⃗ 的数量积，代入公式计算即可． 本题考查向量的投影的定义，以及与向量有关的运算，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题可得：每人所得玉米数构成公比为78的等比数列； 且数列的前10项和为10； 设首项为a ； 则有：a(1−(78)10)1−78=10；∴a =10×181−710810=10×89810−710；故选：B ．直接根据等比数列的求和公式求解即可．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.【答案】A【解析】解：由题可知，1sinA +1sinB =2(1tanA +1tanB )=2(cosAsinA +cosBsinB )， ∴sinB +sinA =2(sinBcosA +cosBsinA)=2sin(A +B)=2sinC ， 由正弦定理知，asinA =bsinB =c sinC ，∴b +a =2c ， 由均值不等式可知，ab ≤(a+b)24=c 2， 由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab =3c 2−2ab 2ab=3c 22ab −1≥3c 22c2−1=12， ∵C ∈(0,π)，∴0<C ≤π3，即C 的最大值为π3． 故选：A ．由商数关系，可得1sinA +1sinB =2(1tanA +1tanB )=2(cosAsinA +cosBsinB )，结合辅助角公式，化简整理为sinB +sinA =2sinC ，于是b +a =2c ，由均值不等式可知，ab ≤(a+b)24=c 2，由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab，将所得结论代入进行运算可得cosC ≥12，而C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故而得解．本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，采用了角化边的思维，还用到了同角三角函数的商数关系、辅助角公式和均值不等式等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．【解析】解：sinφ=−3√1+(20×10−3)2=√1.0004，故9.030×109=2v⋅√1.00041550×10−9，即9.03=1550√1.004，故v=9.03×1550√1.00040.04≈349982.48米/小时≈350km/ℎ．故选：D．先计算sinφ，再根据所给公式计算v即可．本题考查了三角函数计算，计算量较大，可借助计算器完成．10.【答案】C【解析】解：设AF，BF的长分别为m，n，由题意，1m +1n=2p=1，∴m+4n=(1m +1n)(m+4n)=5+4nm+mn≥5+2√4nm⋅mn=9，当且仅当m=2n时，m+4n的最小值为9，故选：C．设AF，BF的长分别为m，n，由题意，1m +1n=2p=1，再利用基本不等式可求m+4n的最小值．本题考查抛物线的性质和应用，正确运用基本不等式是关键．11.【答案】A【解析】解：由题意得，若△APD与△BCP的面积之比等于2，因为两个三角形的底相等；故对应的高之比为2：1；动点P到侧棱BC的距离实际上是P点到点C的距离，点P到侧棱AD的距离就是P到点D的距离．即PD=2PC；建立如图所示的坐标系； 则C(0,0)，D(a,0)，设P(x,y) 故有：PD 2=(2PC)2； ∴(x −a)2+y 2=4(x 2+y 2)； ∴3x 2+2ax +3y 2−a 2=0； 故点P 的轨迹是圆的一部分． 故选：A ．根据题意得，动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离；根据面积比转化为高的比，建立平面直角坐标系求解即可得到结论． 本题的考点是轨迹方程，主要考查立体几何中的轨迹问题，关键是将题意合理转化．12.【答案】D【解析】解：因为(a +2)x ≤x 2+alnx 在区间[1e ,e]上有实数解，所以不等式变形为a(x −lnx)≤x 2−2x ， ∵x ∈(0,1)，则x −lnx >0，∴a ≤x 2−2x x−lnx ，设f(x)=x 2−2xx−lnx ，下面求f(x)的最大值．∵f′(x)=(2x−2)(x−lnx)−(x 2−2x)(1−1x)(x−lnx)2=(x−1)(x−2lnx+2)(x−lnx)2，∵x ∈[1e,e]，∴x −2lnx +2=x +2(1−lnx)>0，则1<x ≤e 时，f′(x)>0， 则f(x)在[1,e]单调递增；[1e ,1)单调递减， 又f(e)=e 2−2e e−1；f(1e )=1e 2−2e 1e+1=1−2ee+e ，∴f(x)max =f(e)=e(e−2)e−1，则a ≤e(e−2)e−1，即实数a 的最大值是e(e−2)e−1．故选：D ．把不等式分离变量，由不等式有解转化成求函数f(x)=x 2−2x x−lnx的最大值，利用导数判断函数在区间[1e ,e]上的单调区间，进而求出最大值，可求a ．本题通过分离变量把不等式有解问题转化成函数最值问题，进而考查函数的导数的应用，同时考查了函数在闭区间上的最值，属于中档题．13.【答案】2e 2【解析】解：因为函数f(x)={2e x ,x <elog 2(x 2−5),x ≥e ；所以：f(3)=log 2(32−5)=log 24=2； ∴f(f(3))=f(2)=2e 2； 故答案为：2e 2．由分段函数与复合函数知f(3)=2，从而再求f(f(3))=f(2)即可得到结论． 本题考查了分段函数与复合函数的简单应用，属于基础题目．14.【答案】480【解析】解：由题意可得80592+563+520+528+517+a =27563+517，求得a =480， 故答案为：480．由题意利用分层抽样的定义和方法，求出a 的值． 本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：∵数列{b n }的前n 项和S n =2n −1，∴当n ≥2时，有b n =S n −S n−1=(2n −1)−(2n−1−1)=2n−1；又当n =1时，有S 1=2−1=1=b 1也适合上式，故b n =2n−1.∵a n =n ，∴a n b n=n ⋅(12)n−1．∴T n =1×(12)0+2×(12)1+3×(12)2+⋯+n ⋅(12)n−1①，12T n =1×(12)1+2×(12)2+3×(12)3+⋯+(n −1)⋅(12)n−1+n ⋅(12)n ②，由①−②可得：12T n =1+12+(12)2+⋯+(12)n−1−n ⋅(12)n=1−(12)n1−12−n ⋅(12)n =2−(n +2)⋅(12)n ，即T n =4−n+22n−1<4．又∵T n <M 对于∀n ∈N ∗都成立，∴M ≥4，故M 的最小值等于4． 故答案为：4．先利用b n =S n −S n−1求得b n ，再检验n =1时是否适合，从而求得b n ，然后根据a n =n 求得a nb n=n ⋅(12)n−1，再利用错位相减法求得前n项和T n，进而求得实数M的最小值．本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法求和在数列求和中的应用，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：如图，由题意知A1B1⊥面B1EF，则A1B1⊥B1E，A1B1⊥B1F，A1B1⊥EF，则△A1B1E2，△A1B1F为直角三角形，在△B1EF中，由题意知B1E不能垂直B1F，又△B1EF为直角三角形，则∠B1EF=90°或∠B1FE=90°．①假设存在点E，使得EF⊥A1F，又A1B1⊥EF，A1B1∩A1F=A1，则EF⊥面A1B1F，即EF⊥B1F，满足题意，故①正确；②假设存在点E，使得B1E⊥A1F，又A1B1⊥B1E，A1B1∩A1F=A1，则B1E⊥面A1B1F，则B1E⊥B1F这与B1E不能垂直B1F矛盾，所以不存在点E，使得B1E⊥A1F，故②正确；③建立如图所示的空间坐标系，设BE=m，C1F=n，则0<m<3，0<n<2，由题意得B 1(0,0,0),E(2,32,0),F(n,3,0)， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n −2,32,0),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,3,0)，若EF ⊥B 1F ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即n(n −2)+92=0，整理得：2n 2−4n +9=0， △<0，所以方程无实根，③错误； ④B 1(0,0，0)，E(2,m ，0)，F(1,3，0)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3−m,0),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,0),B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,m,0)， 若EF ⊥B 1F ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则−1+3(3−m)=0，解得m =83， 若EF ⊥B 1E ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则−2+m(3−m)=0，解得m =1或m =2，故④正确； ⑤由题意知A 1B 1⊥面B 1EF ，若EF ⊥面A 1B 1E ， 由图形观察可知：有3对相互垂直，分别为面A 1B 1E ⊥面B 1EF ，面A 1B 1F ⊥面B 1EF ，面A 1B 1E ⊥面A 1EF ， 故⑤不正确． 故答案为：①②④．①②利用假设存在，推出条件正确，推出矛盾，则不存在；③④建立空间直角坐标系利用已知条件设BE =m ，C 1F =n ，写坐标，利用垂直关系，求出m ，n 的值，即可得出结论；⑤利用线面垂直推面面垂直关系即可得出结论．本题主要考查线面垂直判定定理性质定理以及利用空间向量求值的问题，属于较难题．17.【答案】解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间[90,110)内的天数为30−[(7300+7 600+1100+1600)×20]×30=2天，空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为P=1−1+130=1415．(2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有[(7300+7600+1100)×20]×30=27(天)，∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动．【解析】(1)先算出在这30天中，空气质量指数在区间[90,110)内的天数天，在这30天中随机抽取一天，再计算其空气质量等级是优或良的概率为P=1415．(2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有[(7300+7600+1100)×20]×30=27(天)，即可得出答案．本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，也考查了数据计算能力的应用问题，是综合性问题．18.【答案】(1)证明：∵四边形A1ACC1是菱形，∴AC//A1C1．又∵AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，∴A1C1//平面ABC．同理得，B1C1//平面ABC．∵A1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，且A1C1∩B1C1=C1，∴平面ABC//平面A1B1C1．又∵A1B1⊂平面A1B1C1，∴A1B1//平面ABC．(2)解：∵AC//A1C1，B1C1//BC，∴∠A1C1B1=∠ACB=60°．∵A1C1=AC=2，2B1C1=BC=2，∴S△A1B1C1=12×1×2×√32=√32．在菱形A1ACC1中，∵A1C=√3AC1，∴∠ACC1=60°，S A1ACC1=2×2×√32=2√3．∵平面ABC⊥平面ACC1，取AC的中点为M，连接BM，C1M，∴BM⊥平面ACC1，C1M⊥平面ABC．由(1)知，平面ABC//平面A1B1C1，∴点B到平面A1B1C1的距离为C1M=√3．又∵点B到平面A1ACC1的距离为BM=√3，连接BC1，则V=V B−A1B1C1+V B−A1ACC1=13×(√32+2√3)×√3=52．【解析】(1)证明AC//A1C1.推出A1C1//平面ABC.然后证明平面ABC//平面A1B1C1.说明A1B1//平面ABC．(2)取AC的中点为M，连接BM，C1M，连接BC1，通过V=V B−A1B1C1+V B−A1ACC1.求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象得{√2sinφ=−1ω⋅π8+φ=0，解得{ω=2ϕ=−π4，∴f(x)=√2sin(2x−π4)．(2)将函数f(x)的图象向左平移π4个单位，可得y=√2sin(2x+π4)的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=√2sin(x+π4)的图象．∵x∈[0,π]，∴x+π4∈[π4,5π4]，∴sin(x+π4)∈[−√22,1]，∴g(x)的值域为[−1,√2]．【解析】(1)由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω、φ的值，可得f(x)得解析式．(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出函数g(x)在区间[0,π]上的值域．本题主础题要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析，由五点法作图、特殊点的坐标求出ω和φ的值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．20.【答案】解：设点P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2).(1)∵直线l经过坐标原点，∴x2=−x1，y2=−y1．∵x024+y02=1，∴y02=1−x024．同理得，y12=1−x124．∴k PA⋅k PB=y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=y02−y12x02−x12=(1−x024)−(1−x124)x02−x12=−14，∴直线PA与直线PB的斜率之积为定值；(2)证明：设线段AB 的中点为Q(x,y)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{x 0=−2xy 0=−2y， 将{x 0=−2x y 0=−2y 代入x 024+y 02=1中可得：x 2+4y 2=1， 所以线段AB 的中点Q 的轨迹方程为：x 2+4y 2=1同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为x 2+4y 2=1． ∴△ABP 三边的中点在同一个椭圆x 2+4y 2=1上．【解析】(1)设P ，A 的坐标，由题意可得B 的坐标用A 的坐标的表示，将A ，P 的坐标代入椭圆的方程，两式相减可得直线PA ，PB 的斜率之积的值；(2)设线段AB 的中点D 的坐标，可得则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得Q 的坐标用P 的坐标表示，而P 在椭圆上，所以线段AB 的中点Q 的轨迹方程为：x 2+4y 2=1同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为x 2+4y 2=1，△ABP 三边的中点在同一个椭圆x 2+4y 2=1上．本题考查直线与椭圆的综合，及中点坐标用向量表示的等式，和相关点法求轨迹方程的方法，属于中档题．21.【答案】解：(1)F′(x)=e x −e −x −a ，当a ≤2时，F′(x)=e x +e −x −a ≥2−a ≥0恒成立，F(x)R 上单调递增． 当a >2时，由F′(x)=0得，e x =a±√a2−42，∴x =ln a±√a2−42．∴F(x)在(−∞,ln a−√a2−42)和(lna+√a2−42,+∞)上单调递增，在(ln a−√a2−42,lna+√a 2−42)上单调递减．…………………………………(5分)(2)①由(1)知，当x ≥1时，F(x)≥F(1)>0， 即当x ≥1时，曲线C 1恒在C 2上方．按题意有，f(x n )=g(x n+1)，即e x n −e −x n =2x n+1， ∴x n+1=e x n −e −x n2．②由①知x n+1=e x n −e −x n2<e x n 2．注意到x 1=1，∴x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2=x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2⋅x 1<e x n 2⋅e x n−12⋅…⋅e x 12，∴x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2⋅x 1<(12)n ⋅e x n +x n−1+⋯+x 1，两边同取自然对数得，lnx n+1+lnx n +⋯+lnx 2+lnx 1<nln 12+(x n +x n−1+⋯+x 1)，即S n −T n+1>nln2.…………………………………………(12分)【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)①求出f(x n )=g(x n+1)，代入整理即可；②根据x n+1=e x n −e −x n2<e x n 2，得到x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2⋅x 1<(12)n ⋅e x n +x n−1+⋯+x 1，证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)曲线E 的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=4，直线m 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)． (2)设点A ，C 的极坐标分别为(ρ1,α)，(ρ2,α)． 由{θ=αρ2+2ρcosθ−3=0得，ρ2+2ρcosα−3=0， ∴ρ1+ρ2=−2cosα，ρ1ρ2=−3， ∴|AC|=|ρ1−ρ2|=2√cos 2α+3． 同理得|BD|=2√sin 2α+3．∵S ABCD =12|AC|⋅|BD|=2√cos 2α+3⋅√sin 2α+3≤cos 2α+3+sin 2α+3=7， 当且仅当cos 2α+3=sin 2α+3，即α=π4或3π4时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】(1)解：f(x)=|2x −2|−|x +1|={3−x,x <−11−3x,−1≤x <1x −3,x ≥1，作出函数的图象如图：根据函数图象得，f(x)的最小值为−2，∴m=−2；(2)证明：由(1)知，a+b+c=2，∴[a2+(b−1)2+(c+2)2]⋅(12+12+12)≥[a⋅1+(b−1)⋅1+(c+2)⋅1]2=(a+b+c+1)2=9，∴a2+(b−1)2+(c+2)2≥3，当且仅当a=b−1=c+2，a+b+c=2，即a=1，b=2，c=−1时等号成立，∴a2+b2+c2−2b+4c+2≥0．【解析】(1)写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；(2)结合(1)可得a+b+c=2，然后配凑柯西不等式证明a2+b2+c2−2b+4c+2≥0．本题考查分段函数最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用柯西不等式求最值，是中档题．。
2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（文科）
2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意）1.（5分）已知集合A={\,2,3},5={.r|（x+lXx-2）＜0,xcZ},则）A.{1}B.{0,1}C.{0,I,2,3}D.{-1,0,1,2, 3}2.（5分）在复平面内，复数」-（，•为虚数单位）对应的点位于（）3+iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（5分）在区间［0,4］上随机地取一个数x,则事件“O^log,（.r-l）^l”发生的概率为（）A.,—B.—C.—D.—54544.（5分）已知平面。
.直线,n,若n ua,则"m±n n是"m—a"的（）A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D,既不充分也不必要条件5.（5分）函数y（x）= sin v-v,的部分图象是（）cosx+x"6. （5分）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三 三数之余二，五五数之余三，问物儿何？ ”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数量N除以正整数m后的余数为n,则记为N=n(bmodm),例如11三2(bmod3),现将该问题以程序框图的算法给出，我行该程序框图，则输出的结果等于()n=35w=w+l/球/A.35B.36C.37D.387.(5分)已知双曲线C的中心在坐标原点且焦点在坐标轴上，C的一个焦点与抛物线y=^-的焦点F重合，且点r到双曲线C的渐近线的距离等于2,则双曲线C的方程为( 16)A.=1B.—-^-=1C.=1D.—= 11241242042048.(5分)已知定义在/?上的偶函数/(x)满足，当xe[0,*o)时，也上竺>0(玉。
.马)，a=f(log4-L),b=f(20J),c=f(0.42),则下列不等式成立的玉—x216是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a9.(5分)已知函数/(x)=73sin+cosd)x(6>>0),当|/(x,)-/(x,)|=4时，氐一.弓|最小值为三，把函数/(X)的图象沿X轴向右平移壬个单位，得到函数g(x)的图象，关于函46数g(x),下列说法正确的是()A.在［三，己］上是增函数42B.其图象关于直线x=£对称6C.在区间上的值域为［-2,-1］1224D.函数g(x)是奇函数10.(5分)设等差数列｛%｝的公差不为0,其前〃项和为S”，若(%—2)3+sin(%-2)=2020,(^18-2)3 +sin(。
安徽省2020年高考文科数学模拟试题及答案(二)
安徽省2020年高考文科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3}A =，集合{3,5}B =，则()U A C B = A ．{2,3,5}B ．{1,4,6}C ．{2}D ．{5}2．已知扇形OAB 的圆周角．．．为2rad ，其面积是28cm ，则该扇形的周长．．是（ ）cm ．A ．8B ．4C ．D ．3.“k ”是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若非零向量,a b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则,a b 的夹角为 A.6π B.3π C.56π D.23π 5. 已知两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，1l 与圆C ：224x y +=相切，2l 与C 相交于A ，B 两点，则AB =C. 3D. 6. 函数()·ln xf x e x =的大致图象为 A. B. C. D.7. 以下列函数中，最小值为2的是 A ．1y x x=+B ．33x xy -=+C ．()1lg 01lg y x x x =+<< D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭8. 已知实数02224sin 24cos -=a ，0225sin 21-=b ，02023tan 123tan 2-=c ，则c b a ,,的大小关系为 A ．c a b >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a b c >>9．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的图象沿x 轴向左平移m (m ＞0)个单位后，得到一个奇函数的图象，则m 的最小值为 A.7π16B.15π16C.7π8D.π1610．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±2xB ．y ＝±22x C ．y ＝±12x D ．y ＝±2x 11. 已知点F 1，F 2分别是椭圆E ：22x y 259+=1的左、右焦点，P 为E 上一点，直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线，过点F 2作l 的垂线，交F 1P 的延长线于M ，则|F 1M|= A. 10B. 8C. 6D. 412. 已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （a-x ），若函数y=|x 2-ax-5|与y=f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），且mi i 1x =∑=2m ，则a=A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年安徽高三一模数学试卷(文科)
2020年安徽高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.B.C.D.1.已知集合，，则（ ）．A.B.C.D.2.已知复数（为虚数单位），则（ ）．A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为，并在扇形弧上正面等距安装个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）．4.函数在上的图象大致为（ ）．A.xyOB.xyOC.xyOD.xyO5.在年春节前夕，为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节，某市质检部门对辖区内的某大型超市中的一品牌袋装食品进行抽检，将超市中该袋装食品编号为，，，，，从中用系统抽样（等距抽样）的方法抽取袋进行检测，如果编号为的食品被抽到，则下列个编号的食品中被抽到的是（ ）．A.号B.号C.号D.号6.已知，则（ ）．A.B.C.D.7.已知，，，则，，的大小关系为（ ）．A.B.C.D.8.执行下面的程序框图，则输出的值为（ ）．开始，否是输出结束？A.B. C.D.9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于的偶数都可以写成两个质数（素数）之和．也就是我们所谓的“”问题．它是年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将拆成两个正整数的和．则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）．A.B.C.D.10.在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为（ ）．A.B.C.D.11.已知椭圆的焦距为，为右焦点，直线与椭圆相交于，两点， 是等腰直角三角形，点的坐标为，若记椭圆上任一点到点的距离的最大值为，则的值为（ ）．A.B.C.D.12.已知．给出下列判断：①若，，且，则；②存在，使得的图象右移个单位长度后得到的图象关于轴对称；③若在上恰有个零点，则的取值范围为；④若在上单调递增，则的取值范围为．其中，判断正确的个数为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．14.已知双曲线的离心率为，则双曲线的右顶点到双曲线的渐近线的距离为 ．15.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为 ．16.已知在三棱锥中，，，，四点均在以为球心的球面上，若，，，则球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列是递增的等比数列，是其前项和，，．求数列的通项公式．记，求数列的前项和．（1）（2）18.移动支付是指移动客户端利用手机等电子产品来进行电子货币支付，移动支付将互联网、终端设备、金融机构有效地联合起来，形成了一个新型的支付体系，使电子货币开始普及．某机构为了研究不同年龄人群使用移动支付的情况，随机抽取了名市民，得到如下表格：年龄（岁）使用移动支付不使用移动支付画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，并估计使用移动支付的平均年龄．完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系？年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计附：，．（1）（2）19.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点．求证：平面．求三棱锥的体积．（1）（2）20.已知函数．当时，讨论的单调区间．若对，成立，求实数的取值范围．（1）（2）21.已知抛物线，若圆与抛物线相交于，两点，且．求抛物线的方程．过点的直线与抛物线相切，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，直线，交于点，求证：．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．若直线，的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线．求曲线的普通方程．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点为射线与曲线的交点．求点的极径．23.已知函数．【答案】解析:，，则．故选．解析:由，则．故选．解析:因为弧长比较短的情况下分成等分，每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，所以导线长度为（厘米）．故选．解析:由，可知函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，当时，．故选．解析:由系统抽样的特点知，从编号为，，，的食品中抽取袋，需要将它们分成组，每组个，因为抽到的编号为，则所有被抽到的食品编号满足，所以所给四个编号符合条（1）（2）求不等式的解集．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．D1.A2.B3.C4.D5.件的是号．故选．解析:由，．故选．解析:因，所以，因为，所以，，即，故有．故选．解析:，故选．解析:由古典概型的基本事件的等可能性可得拆成两个正整数的和含有的基本事件有：，，，，，而加数全为质数的有，所以所求概率为．故选．解析:因为，由正弦定理得，所以，所以．C 6.A 7.D 8.A 9.B 10.因为，所以，所以，所以，因为，，，所以，所以，所以．故选：．解析:由题意可得，所以点的坐标为，代入椭圆方程有，又，所以，解得或（舍去），所以，所以椭圆的方程可化为，设点的坐标为，则，所以，所以，．故选．解析:因为，所以周期．对于①，由条件知，周期为，所以，故①错误；对于②，函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；对于③，由条件得，解得，故③正确；对于④，由条件得，解得，又，所以，故④正确．C 11.B 12.故选．13.解析:的导函数为，∴，∵,∴在处的切线方程为，即．14.解析:设双曲线的焦距为，因，，所以，，故双曲线的右顶点的坐标为，一条渐近线的方程为，则右顶点到渐近线的距离为．故答案为：．15.解析:∵点在的平分线上，∴存在，使，又∵，∴，∴．16.解析:设球О的半径为，过作平面，垂足为，连接，，，由易得，即为的外心，（1）（2）所以球心在射线上，在中，，，设外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，所以，连接，则，即，解得，所以．解析:由题意，设等比数列的公比为，∵，，∴，，∴，，∴，解得或，∵数列是递增的等比数列，∴，∴，∴．，∴，两式相减得：∴．（1）．（2）．17.（1）（2）解析:样本中使用移动支付的人数为人，所以每段的频率分别为：，，，，，0.025.所以其频率分布直方图为年龄（岁）频率组距所以使用移动支付的平均年龄为，所以估计使用移动支付的平均年龄为岁．完成列联表如下：年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计由，故在犯错误概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系．（1）画图见解析，岁．（2） 年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计在犯错误概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系．18.（1）证明见解析．19.（1）（2）解析:如图所示，取中点，连接和，∵点为的中点，∴为的中位线，∴且，∵，∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．方法一：如图所示，取中点，连接，和，∵为等腰直角三角形，∴，且，（2）．∴平面，∵平面，∴，∴为直角三角形，∵，，∴，∵四边形为等腰梯形，∴，在中，由余弦定理知，∵，∴，∴的面积为，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为，∵的面积,∴三棱锥的体积为，∵，∴，∴，即点到平面的距离为，∵平面，∴点到平面的距离为．则三棱锥的体积为．方法二：由知，平面，∴点到平面的距离等于到平面的距离，∴．如图取的中点，连接，∵，∴，（1）（2）平面，∴平面，∵为等腰三角形，，，∴．∵四边形为等腰梯形，且，，，∴梯形的高为，则．∴三棱锥的体积为．解析:的定义域为，则，的两根为，．①当，即时，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间，上单调递增；②当，即时，对，，所以在上单调递增；③当，即时，当时，，当时，，所有在区间上单调递减，在区间，上单调递增．综上所述，当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减．方法一：因为对恒成立，所以，即恒成立，所以．（1）当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减．（2）．20.（1）令，则问题转化为，，令，则，所以在上单调递增，又，所以在上，在上，所以在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为．方法二：因为对恒成立，所以，即恒成立．令，，由二次函数性质可知，存在，使得，即，且当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，由题意可知，设，则，即单调递增，又，∴的解集为，即，∴．解析:如图所示，（1）抛物线方程为．（2）证明见解析．21.（2）设，由题意可知，∴，∵点在圆上，∴，解得，∵点也在抛物线上，∴，解得，∴抛物线方程为．对抛物线方程求导，点在抛物线上，故，，设直线的方程为，联立， 得，设，，；，，，联立，得，，，，（1）（2）（1）（2），代入韦达定理得：，∴．解析:直线的普通方程为，直线的普通方程为，联立直线，方程消去参数，得曲线的普通方程为，整理得．设点的直角坐标系坐标为，由，可得，，代入曲线的方程可得，解得，（舍），所以点的极径为．解析:①当时，不等式可化为，得，无解；②当时，不等式可化为，得，故；③当时，不等式可化为，得，故．综上，不等式的解集为．由题意知在上恒成立，所以，（1）．（2）点的极径为．22.（1）．（2）．23.令，则当时，，又当时，取得最小值，且，又，所以当时，与同时取得最小值，所以，所以．即实数的取值范围为．。
2020年安徽合肥市高考(文科)数学(4月份)模拟试卷 (解析版)
2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）1．设z＝（2+5i）（3﹣i），则|z|＝（）A．5B．C．2D．42．已知集合U＝{x∈Z|﹣3＜x＜8}，∁U M＝{﹣2，1，3，4，7}，N＝{﹣2，﹣1，2，4，5，7}，则M∩N的元素个数为（）A．1B．2C．3D．43．已知a＝，b＝log，c＝（）2.9，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b 4．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的．若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）A．小明B．小红C．小金D．小金或小明5．函数f（x）＝+在[﹣2π，0）∪（0，2π]上的图象大致为（）A．B．C．D．6．为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1，2，3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，有下述三个结论：①若25号员工被抽到，则105号员工也会被抽到；②若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了10人；③若88号员工未被抽到，则10号员工一定未被抽到，其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．37．已知向量＝（m，1），＝（﹣1，2），若（﹣2）⊥，则与夹角的余弦值为（）A．﹣B．C．D．8．若tan（α+β）＝3，tanβ＝2，则＝（）A．B．7C．﹣D．﹣79．框图与程序是解决数学问题的重要手段．实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决．例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入x1＝15，x2＝16，x3＝18，x4＝20，x5＝22，x6＝24，x7＝25，则图中空白框中应填入（）A．i＞6，S＝B．i≥6，S＝C．i＞6，S＝7S D．i≥6，S＝7S10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，m）．若线段F2M与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，且△NOF2的面积是△MON 的2倍，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan C＝，c＝2a，b＝3时，则△ABC的面积为（）A．3B．C．D．12．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1）在椭圆C上，其中x1＞0，y1＞0，若|PQ|＝2|OF2|，||，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．（0，]B．（0，﹣2]C．（，]D．（0，﹣1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在（0，0）处的切线方程为．14．设S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S2＝4，S4＝20，则a n＝．15．函数f（x）＝tan60°sin2x+2sin2x在[]上的值域为．16．已知四棱锥P﹣ABCD中的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥M﹣ABCD体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．（1）求a的值；（2）求A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；（3）不经过计算，直接给出A地区200家实体店经济损失的平均数与6000的大小关系．18．记S n为等差数列{a n}的前n项和，且a10＝4，S15＝30．（1）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n；（2）记数列{2+a n}的前n项和为T n，求满足T n＞0的最小正整数n的值．19．四棱锥S﹣ABCD如图所示，其中四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD⊥DC，SA ⊥平面ABCD，DA＝DC＝AB，AC与BD交于点G，直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为，点M线段SA上．（1）若直线SC∥平面MBD，求的值；（2）若DA＝1，求点A到平面SCD的距离．20．已知函数f（x）＝．（1）判断函数f（x）在（0，2π）上的单调性；（2）若0＜a＜π，求证：当x∈（0，π）时，f（x）＞aln．21．已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在椭圆C上．（1）若线段MN的中点坐标为（2，），求直线MN的斜率；（2）若M，N，O三点共线，直线NF1与椭圆C交于N，P两点，求△PMN面积的最大值．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q两点，且|OP|＝2|OQ|，点M的坐标为（2，0），求△MPQ的面积．[选修4-5不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0．（1）求证：a4﹣a2b2+b4≥；（2）若abc＝1，求证：a3+b3+c3≥ab+bc+ac．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设z＝（2+5i）（3﹣i），则|z|＝（）A．5B．C．2D．4【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：依题意，z＝（2+5i）（3﹣i）＝6﹣2i+15i+5＝11+13i，故．故选：B．2．已知集合U＝{x∈Z|﹣3＜x＜8}，∁U M＝{﹣2，1，3，4，7}，N＝{﹣2，﹣1，2，4，5，7}，则M∩N的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据条件即可求出集合M，然后进行交集的运算即可求出M∩N，从而可得出M∩N的元素个数．解：U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7}，则M＝{﹣1，0，2，5，6}，∴M∩N＝{﹣1，2，5}，∴M∩N的元素个数为3．故选：C．3．已知a＝，b＝log，c＝（）2.9，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b【分析】先化简，和0，1，b比较，然后可得出结论．【解答】解析：依题意，．故选：B．4．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的．若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）A．小明B．小红C．小金D．小金或小明【分析】分别假设”鸿福齐天”是三个人的一个人做的，再判断他们的说法是否正确，即可得到结论．解：①假若”鸿福齐天”是小明做的，则小明说法正确，假设“国富民强”是小红做的，则小红说法也正确，故不合题意；假设“国富民强”小金做的，则小金说法也正确，故不合题意②假若”鸿福齐天”是小红做的，则小明的说法错误，若小明做的“国富民强”，小金做的“兴国之路”，则小红说法正确，小金说法错误，故合题意；若小明做的“兴国之路”，小金做的“国富民强”，则小红说法错误，小金说法正确，故合题意；③假若”鸿福齐天”是小金做的，则小金的说法正确，假若小明做的“国富民强”，小红做的“兴国之路”，则小明说法也错误，小红说法也正确，故不合题意；假若小明做的“兴国之路”，小红做的“国富民强”，则小明说法也错误，小红说法也正确，故不合题意；综上所述则“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B．5．函数f（x）＝+在[﹣2π，0）∪（0，2π]上的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，再利用特殊值分析f（π）、f（2π）的值，排除B、D，由排除法分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝+，则有，故函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；而，排除B，，排除D．故选：A．6．为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1，2，3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，有下述三个结论：①若25号员工被抽到，则105号员工也会被抽到；②若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了10人；③若88号员工未被抽到，则10号员工一定未被抽到，其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】求出抽样间隔f＝，由此能求出结果．解：为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1，2，3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，在①中，抽样间隔f＝，若25号员工被抽到，即第4组的第一名员工被抽到，则第14组的第一名员工即105号员工也会被抽到，故①正确；在②中，若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了12人，故②错误；在③中，若88号员工未被抽到，则8号员工和16号员工被抽到，10号员工一定未被抽到，故③正确．故选：C．7．已知向量＝（m，1），＝（﹣1，2），若（﹣2）⊥，则与夹角的余弦值为（）A．﹣B．C．D．【分析】利用向量坐标运算法则求出，再由向量垂直求出m＝﹣8，由此能求出与夹角的余弦值．解：∵向量＝（m，1），＝（﹣1，2），若﹣2⊥，∴依题意，，而，即﹣m﹣2﹣6＝0，解得m＝﹣8，则cos＜＞＝．故选：B．8．若tan（α+β）＝3，tanβ＝2，则＝（）A．B．7C．﹣D．﹣7【分析】由已知结合tanα＝tan[（α+β）﹣β]，利用两角差的正切公式可求tanα，然后对所求式子结合诱导公式及同角基本关系进行化简可求．α+β解：∵tan（α+β）＝3，tanβ＝2则，∴．故选：B．9．框图与程序是解决数学问题的重要手段．实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决．例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入x1＝15，x2＝16，x3＝18，x4＝20，x5＝22，x6＝24，x7＝25，则图中空白框中应填入（）A．i＞6，S＝B．i≥6，S＝C．i＞6，S＝7S D．i≥6，S＝7S【分析】由题意知该程序的作用是求样本x1，x2，…，x7的方差，模拟程序的运行，即可得解．解：程序框图是为了计算7个数的方差，即输出的，观察可知．故选：A．10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，m）．若线段F2M与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，且△NOF2的面积是△MON 的2倍，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由椭圆的方程可得F2的坐标及渐近线的方程，及直线F2M的方程，由△NOF2的面积是△MON的2倍可得则2|MF2|＝3|NF2|，可得a，b的关系，进而求出离心率的值．解：不妨设m＞0，|NF2|即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故|NF2|＝b，因为△NOF2的面积是△MON的2倍，故，不妨设m＞0，则直线，故．则2|MF2|＝3|NF2|，则．即3a2＝c2，故．故选：B．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan C＝，c＝2a，b＝3时，则△ABC的面积为（）A．3B．C．D．【分析】结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sin A，cos A，cos C的值，又由sin B ＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C求出sin B的值，最后由正弦定理求出a的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．解：因为，且sin2C+cos2C＝1，解得，，而c＝2a，，所以，，故因为，，故a＝2，故．故选：B．12．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1）在椭圆C上，其中x1＞0，y1＞0，若|PQ|＝2|OF2|，||，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．（0，]B．（0，﹣2]C．（，]D．（0，﹣1]【分析】设PF1＝n，PF2＝m，由|PQ|＝2|OF2|，可得四边形PF1QF2为矩形，可得QF1＝PF2，再由||，转化m，n的关系，由题意的定义可得a，c与m，n的关系，可得设参数t，（注意t的范围），进而可得离心率的范围．解：设PF1＝n，PF2＝m，由x1＞0，y1＞0，知m＜n，因为P，Q在椭圆C上，|PQ|＝2|OF2|，所以四边形PF1QF2为矩形，QF1＝PF2；由，可得＜1，由椭圆的定义可得m+n＝2a，n2+m2＝4c2①，平方相减可得mn＝﹣（a2﹣c2）②，由①②得＝＝；令t＝+，令v＝，所以t＝v+，即2，所以a2﹣c2＜c2（a2﹣c2），所以1﹣e2＜e2（1﹣e2），所以，解得；故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在（0，0）处的切线方程为y＝2x．【分析】先对曲线y＝求导，然后得到曲线在（0，0）处切线的斜率k＝y'|x＝0，再求出切线方程．解：由y＝，得，∴曲线y＝在（0，0）处切线的斜率k＝y'|x＝0＝2，∴切线方程为y＝2x．故答案为：y＝2x．14．设S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S2＝4，S4＝20，则a n＝．【分析】由题意可得q≠1，q＞0，由等比数列的求和公式可得S2＝（1﹣q2）＝4，S4＝（1﹣q4）＝20，两式相除可求q，进而可求a1，即可求出通项公式．解：由题意可得q≠1，q＞0，由等比数列的求和公式可得S2＝（1﹣q2）＝4，S4＝（1﹣q4）＝20，两式相除可得1+q2＝5，又数列是正项数列，∴q＝2，∴a1＝，∴a n＝×2n﹣1＝，故答案为：．15．函数f（x）＝tan60°sin2x+2sin2x在[]上的值域为[﹣，2]．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）＝sin（2x﹣）+，结合范围x∈[]，可得：2x﹣∈[，]，进而利用正弦函数的性质即可得解．解：∵f（x）＝tan60°sin2x+2sin2x＝sin2x+2×＝sin2x+﹣cos2x＝sin（2x﹣）+又∵x∈[]，可得：2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，可得f（x）＝sin（2x﹣）+∈[，2]．故答案为：[，2]．16．已知四棱锥P﹣ABCD中的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥M﹣ABCD体积的最大值为．【分析】求出球半径，将四棱锥P﹣ABCD补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，要使得四棱锥M﹣ABCD的体积最大，只需点M为平面ABCD的中心O'与球心O所在的直线与球的交点，由此能求出M﹣ABCD体积的最大值．解：依题意，＝36π，解得R＝3，将四棱锥P﹣ABCD补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，且c＝3，由于a2+b2＝27，又a2+b2≥2ab，当且仅当时等号成立，此时，要使得四棱锥M﹣ABCD的体积最大，只需点M为平面ABCD的中心O'与球心O所在的直线与球的交点，又，故M﹣ABCD体积的最大值为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．（1）求a的值；（2）求A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；（3）不经过计算，直接给出A地区200家实体店经济损失的平均数与6000的大小关系．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a的值．（2）由图可知，A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为3000，第一块小矩形的面积S1＝0.3，第二块小矩形的面积S2＝0.4，从而所求中位数在[2000，4000）之间，由此能求出中位数．（3）由频率分布直方图得．解：（1）依题意．（0.00015+0.0002+a+0.0006）×2000＝1，解得a＝0.00009．（2）由图可知，A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为3000，第一块小矩形的面积S1＝0.3，第二块小矩形的面积S2＝0.4，故所求中位数在[2000，4000）之间，故所求中位数为．（3）由频率分布直方图得．18．记S n为等差数列{a n}的前n项和，且a10＝4，S15＝30．（1）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n；（2）记数列{2+a n}的前n项和为T n，求满足T n＞0的最小正整数n的值．【分析】第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差为d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{a n}的通项公式以及前n项和S n；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{2+a n}的通项公式，再运用分组求和法计算出前n项和T n，再判断出前n项和T n构成的数列{T n}的单调性，并计算出数列{T n}的前几项的正负性即可得到满足T n＞0的最小正整数n的值．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，整理，得，解得，∴a n＝﹣5+1•（n﹣1）＝n﹣6，n∈N*．S n＝﹣5n+•1＝n2﹣n．（2）由（1）知，+a n＝2n﹣6+4+n﹣6＝2n﹣2+n﹣6，T n＝（+a1）+（+a2）+…+（+a n）＝（2﹣1﹣5）+（20﹣4）+…+（2n﹣2+n﹣6）＝[﹣5﹣4+••+（n﹣6）]+（2﹣1+20+…+2n﹣2）＝+＝+．T n+1﹣T n＝+﹣﹣＝﹣+﹣＝n﹣5+2n﹣1，∵当1≤n≤2时，n﹣5+2n﹣1＜0；当n≥3时，n﹣5+2n﹣1＞0，即当1≤n≤2时，T n+1﹣T n＜0；当n≥3时，T n+1﹣T n＞0，∴T1＞T2＞T3＜T4＜T5＜T6＜…当n＝1时，，当n＝2时，，当n＝3时，，当n＝4时，，当n＝5时，T5＝＞0，∴满足T n＞0的最小正整数n的值为5．19．四棱锥S﹣ABCD如图所示，其中四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD⊥DC，SA ⊥平面ABCD，DA＝DC＝AB，AC与BD交于点G，直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为，点M线段SA上．（1）若直线SC∥平面MBD，求的值；（2）若DA＝1，求点A到平面SCD的距离．【分析】（1）连接MG，由已知得AB∥CD，再由已知结合平行线截线段成比例可得，由线面平行的性质得到SC∥MG，则；（2）在平面SAD内作AN⊥SD于点N，由已知证明AN⊥平面SCD．再由直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为，求解三角形得到AN，即点A到平面SCD的距离．解：（1）连接MG．∵AB⊥AD，AD⊥DC，且AB，CD在同一平面内，∴AB∥CD，设DC＝1，AB＝2，得，∵SC∥平面MBD，平面SAC∩平面MBD＝MG，SC⊂平面SAC，∴SC∥MG，故；（2）在平面SAD内作AN⊥SD于点N，∵SA⊥平面ABCD，∴DC⊥SA，又DC⊥AD，SA∩AD＝A，得DC⊥平面SAD．∵AN⊂平面SAD，∴CD⊥AN．又SD∩CD＝D，∴AN⊥平面SCD．∵直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为，即，又，∴SC＝，则，而AD＝1，SA⊥AD，求得，，即点A到平面SCD的距离为．20．已知函数f（x）＝．（1）判断函数f（x）在（0，2π）上的单调性；（2）若0＜a＜π，求证：当x∈（0，π）时，f（x）＞aln．【分析】（1）依题意，f′（x）＝，再令g（x）＝﹣x cos x+sin x﹣π，利用导数可求得[g（x）]max＝g（π）＝0，即f'（x）≤0，从而可得函数f（x）在（0，2π）上单调递减；（2）依题意，．再证明①当x∈（0，π）时，；②当0＜a＜π时，之后，构造函数令，利用导数即可证得结论成立．解：（1）依题意，f′（x）＝，令g（x）＝﹣x cos x+sin x﹣π，则g'（x）＝x sin x，故当x∈（0，π）时，g'（x）＞0，当x∈（π，2π）时，g'（x）＜0．故[g（x）]max＝g（π）＝0，故g（x）≤0在（0，2π）上恒成立，故f'（x）≤0，即函数f（x）在（0，2π）上单调递减．（2）证明：依题意，．下面证明：①当x∈（0，π）时，；②当0＜a＜π时，；事实上，h（x）＝x﹣sin x，则h'（x）＝1﹣cos x＞0，所以h（x）＝x﹣sin x在（0，π）上单调递增，故h（x）＞h（0）＝0，则x﹣sin x＞0，又x＞0，sin x＞0，则①；令，则．由s'（x）＝0，得s（x）的极小值点为，若，则1＜a＜π，则，故，若，即0＜a≤1，则s（x）在（0，π）上单调递减，故s（x）＞s（π）＝1+alnπ＞1．综上所述，当0＜a＜π时，②；。
2020年安徽省十校联盟高考数学模拟试卷(文科)(带答案)
2020 年安徽省十校联盟高考数学模拟试卷（文科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|x＞1}，B={x|3x＞2}，则 A∩B=（ ）A. （0，1）B. （1，2）C. （1，+∞）2. 复数 z= ，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）D. （0，+∞）A. |z|=B. z 的共轭复数为 + iC. z 的实数与虚部之和为 1D. z 在平面内的对应点位于第一象限3. 雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），原先是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析．图为甲、乙两人在五个方面的评价值的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A. 甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同 B. 甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙 C. 在培训与销售两个方面上，甲的综合表现优于乙 D. 甲在这五个方面的综合表现优于乙4. 若 a=log3 ，b=log23，c=（ ）3，则 a，b，c 的大小关系为（ ）A. c＞b＞aB. b＞c＞aC. b＞a＞cD. c＞a＞b5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为 86，则正整数 k 的最小值为（ ）A. 43B. 1860C. 48D. 426. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6=3，S8=12，则{an}的公差为（ ）A. -1B. 1C. 2D. 3第 1 页，共 15 页7. 已知直线 l⊥平面 α，直线 m∥平面 β，则“α∥β”是“l⊥m”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件8. 已知实数 x，y 满足，若 z=x+my 的最大值为 10，则 m=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成，它的三视图如图所示（单位：dm），则该几何体的表面积是（ ）（侧视图中间有小圆）A. dm2B. 11πdm2C. dm2D. 9πdm210. 已知点 A（1，1）和 B（ ， ），直线 l：ax+by-7=0，若直线 l 与线段 AB 有公共点，则 a2+b2 的最小值为（ ）A. 24B.C. 25D.11. 设 ω＞0，函数 f（x）=sinωxcosφ+cosωxsinφ（ω＞0，|φ|＜ ）的图象经过点（0，- ），将该函数的图象向右平移 个单位后所得函数图象关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线交于 P，Q 两个不同的点，O 为坐标原点，P，Q 两点在直线 x=-p 上的射影分别为 M，N，若|MO|=2 ，|NO|= ，则 p2=（ ）A. 1B.C. 4D. 6二、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分）13. 已知向量 =（-k，k+2）， =（2，-3），若 ∥（ +2 ），则实数 k=______．14. 在△ABC 中，A=60°，b=1，S△ABC= ，则 的值为______．15. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出 x（单位：万元） 与年销售额 y（单位：万元）进行了初步统计，如表所示． 年广告支出 x/万元 2 3 5 7 8 年销售额 y/万元 28 37 a 60 70经测算，年广告支出 x 与年销售额 y 满足线性回归方程 =6.4x+18，则 a 的值为______．第 2 页，共 15 页16. 已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，准线 l：x=- ，点 M 在抛物线 C 上， 点 A 在准线 l 上，若 MA⊥l，直线 AF 的倾斜角为 ，则|MF|=______．17. 若变量 x，y 满足，且 z=2x+y，则 z 的最大值是______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 18. 已知数列{an}为等差数列，数列{bn}满足 bn=an+n+4，若 b1，b3，b6 成等比数列，且b2=a8． （1）求 an，bn；（2）求数列{ }的前 n 项和 Sn．19. 2019 年国际篮联篮球世界杯，将于 2019 年在的北京、广州、南京、上海、武汉、 深圳、佛山、东莞八座城市举行．为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取 了 120 名学生，对是否收看篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查，统计数据如下：会收看不会收看男生6020女生2020（1）根据上表说明，能否有 99%的把握认为收看篮球世界杯赛事与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看篮球世界杯赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取 4 人参加 2019 年国际篮联篮球世界杯赛志愿者宣传活动．（i）求男、女学生各选取多少人；（ii）若从这 4 人中随机选取 2 人到校广播站开展 2019 年国际篮联篮球世界杯赛宣传介绍，求恰好选到 2 名男生的概率．附：，其中 n=a+b+c+d．P（K2≥k0） k00.10 2.7060.05 3.8410.025 5.0240.01 6.6350.005 7.87920. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA⊥平面 ABCD，∠ABC= ，M 是 PC 上一动点．第 3 页，共 15 页（1）求证：平面 PAC⊥平面 MBD； （2）若 PB⊥PD，三棱锥 P-ABD 的体积为 ，求四棱锥 P-ABCD 的侧面积．21. 已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的左顶点为 A（-2，0），焦距为 2．（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为点 M，与圆 O：x2+y2=4 的另一个交 点为点 N，是否存在直线 l 使得|AM|=|MN|？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在， 请说明理由．22. 已知函数 f（x）=x2-x-lnx． （1）求函数 f（x）的极值； （2）若 x1，x2 是方程 ax+（f x）=x2-x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．第 4 页，共 15 页23. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），直线 l 的参数方程为（t 为参数，α 为直线 l 的倾斜角）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位．（Ⅰ）当 α= 时，求直线 l 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线 C 和直线 l 交于 M，N 两点，且|MN|= ，求直线 l 的倾斜角．24 已知 f（x）=|2x+4|+|x-3|． （1）解关于 x 的不等式 f（x）＜8；（2）对于正实数 a，b，函数 g（x）=f（x）-3a-4b 只有一个零点，求 + 的最小值．2020 年安徽省十校联盟高考数学模拟试卷（文科）答案和解析【答案】1. C2. D3. C4. B5. A6. B7. A8. B9. A10. B 11. B 12. B13. 414.15. 5516.17.18. 解：（1）设等差数列{an}是公差为 d，由 bn=an+n+4，若 b1，b3，b6 成等比数列， 可得 b1b6=b32， 即为（a1+5）（a6+10）=（a3+7）2， 由 b2=a8，即 a2+6=a8，第 5 页，共 15 页可得 d= =1，则（a1+5）（a1+5+10）=（a1+2+7）2， 解得 a1=3， 则 an=a1+（n-1）d=3+n-1=n+2； bn=an+n+4=n+2+n+4=2n+6；（2） == （ - ），则前 n 项和 Sn= （ - + - + - +…+ - ）= （ - ）= ．19. 解：（1）因为=7.5＞6.635，所以有 99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关．（2）（i）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的 4 人中，男生有 3 人，女生有 1 人． （ii）设抽取的 3 名男生分别为 A，B，C，1 名女生为甲； 从中抽取两人，分别记为（A，B），（A，C），（A，甲），（B，C））， （B，甲），（C，甲），共 6 种情形， 其中 2 男的有（A，B），（A，C），（B，C），共 3 种情形．所以，所求概率．20. 解：（1）证明：∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PA⊥BD．∵底面 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC． 又∵PA∩AC=A，PA⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC， ∴BD⊥平面 PAC． 又∵BD⊂平面 MBD，∴平面 PAC⊥平面 MBD．（2）解：设菱形 ABCD 的边长为 x，∵，∴．在△ABD 中，，∴．又∵PA⊥平面 ABCD，AB=AD，PB⊥PD，∴，∴．又，∴，∴x=1，∴，∵，∴AC=AB=1．又∵PA⊥平面 ABCD，∴，第 6 页，共 15 页∴四棱锥 P-ABCD 的侧面积为：S=．21. 解：（1）由题意，可知 a=2，c=1．则a2=4，b2=a2-c2=4-1=3．∴椭圆 C 的标准方程为 + =1．（2）由题意，假设存在直线 l 使得|AM|=|MN|，可设直线 l 的斜率为 k． 则直线 l：y=k（x+2）． ∵|AM|=|MN|，即点 M 为线段 AN 中点， ∴根据圆的性质，可知 OM⊥AN，且 OM 平分 AN． 根据题意画图如下：则|OM|==．在 Rt△AMO 中，AM==联立直线 l 与椭圆 C 方程，可得：=．，消去 y，整理得（4k2+3）x2+16k2x+4（4k2-3）=0． 则△=256k4-16（4k2+3）（4k2-3）=144＞0．x1+x2=-，x1•x2=．|AM|=•=•=．∴=．整理，得 2k2+3=0．很明显矛盾， 故直线 l 不存在．22. 解：（1）依题意，f′（x）=2x-1- ==．故当 x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当 x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0． 故当 x=1 时，函数 f（x）有极小值 f（1）=0，无极大值；第 7 页，共 15 页证明：（2）∵x1，x2 是方程 ax+f（x）=x2-x（a＞0）的两个不同的实数根．∴，两式相减得，解得 a= ．要证：lnx1+lnx2+2lna＜0，即证：x1x2＜ ，即证：x1x2＜，即证＜=，不妨设 x1＜x2，令＞1．只需证 ln2t．设，则；令 h（t）=2lnt-t+ ，则 h′（t）=＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减， ∴h（t）＜h（1）=0，即 g′（t）＜0， ∴g（t）在（1，+∞）上为减函数，则 g（t）＜g（1）=0．即 ln2t＜在（1，+∞）上恒成立，∴原不等式成立，即 lnx1+lnx2+2lna＜0．23. 解：（I）由，消去参数 t 可得：x-y-1=0，可得极坐标方程：ρcosθ-ρsinθ-1=0，即=1．（II）由曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），消去参数 θ 可得：（x-2）2+y2=4．将直线 l 的参数方程为（l 为参数，代入圆的方程：t2-2tcosα-3=0，△＞0．则 t1+t2=2cosα，t1•t2=-3，|MN|=|t1-t2|===，cosα=± ．∴α= 或 ．∴直线 l 的倾斜角为 或 ．24. 解：（1）由题意可得 f（x）=，故当 x≤-2 时，不等式可化为-3x-1＜8，解得 x＞-3， 故此时不等式的解集为（-3，-2]； 当-2＜x＜3 时，不等式可化为 x+7＜8，解得 x＜1， 故此时不等式的解集为（-2，1）；当 x≥3 时，不等式可化为 3x+1＜8，解得 x＜ ，此时不等式无解．综上，不等式的解集为（-3，1）． （2）作出函数 f（x）的大致图象及直线 y=3a+4b，如图． 由图可知，当 g（x）=f（x）-3a-4b 只有一个零点时，3a+4b=5， 即（2a+b）+（a+3b）=5，第 8 页，共 15 页故 + = （ + ）[（2a+b）+（a+3b）]= •[4+1+ +]=1+ •[ +]≥1+ •2=1+ = ，当且仅当 =时等号成立．所以 + 的最小值为 ．【解析】1. 解：∵集合 A={x|x＞1}，B={x|3x＞2}={x|x＞log32}， ∴A∩B={x|x＞1}． 故选：C． 求出集合 A，B，由此能求出 A∩B． 本题考查交集的求法，考查交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：复数 z= == + i，∴|z|== ，A 错误；z 的共轭复数为 - i，B 错误；z 的实数与虚部之和为 + =2，C 错误；z 在平面内的对应点是（ ， ），位于第一象限，D 正确．故选：D． 化简复数 z，分别求出 z 的模长、共轭复数以及实数与虚部和 z 在平面内的对应点坐标． 本题考查了复数代数形式的运算问题，也考查了复数的概念与应用问题，是基础题．3. 解：由雷达图可知，乙在培训方面的数据大于甲、乙在销售方面的数据小于甲，显然 C 选项的分析不正确． 故选：C． 对比两人在雷达图中的相应数据，即可得到结论． 本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．4. 解：∵a=log3 ＜log31=0，b=log23＞log22=1，0＜c=（ ）3＜（ ）0=1，∴a，b，c 的大小关系为 b＞c＞a． 故选：B． 利用指数函数、对数函数的单调性能求出 a，b，c 的大小关系． 本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运 算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5. 解：第一次进入循环后：S=3，n=2第二次进入循环后：S=8，n=6 第三次进入循环后：S=22，n=42 第四次进入循环后：S=86，n=1086 由于 n=42，不满足条件 n≥k，n=1086，满足 n≥k，第 9 页，共 15 页所以正整数 k 的最小值为 43． 故选：A． 模拟程序的运行过程，即可得出 k 的最小值． 本题考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行是解答此类问题常用的方法，是基础 题．6. 解：∵等差数列{an}中，a6=3，S8=12，∴，解方程可得，a1=-2，d=1， 故选：B． 直接利用等差数列的通项公式及求和公式即可求解 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．7. 解：若 α∥β，∵直线 l⊥平面 α，∴直线 l⊥β， ∵m∥β， ∴l⊥m 成立． 若 l⊥m，当 m∥β 时，则 l 与 β 的位置关系不确定， ∴无法得到 α∥β． ∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件． 故选：A． 结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间直线和平面的位置关系是解决本题 的关键．8. 解：由实数 x，y 满足，作出可行域如图， 联立，解得 A（2，4），化目标函数 z=x+my 为 y=- x+ ，由图可知，当直线 y=- x+ 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为：10， 即 2+4m=10．解得 m=2． 故选：B． 画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联 立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9. 解：由三视图可知几何体左右各是半球，直径为 2，左右两个圆柱的高为 1，底面直径为 2，中间圆柱的高为 3，底面直径为 1，则该几何体的表面积是S=4π+2π×2+π×3+[]×2= （dm2）．故选：A． 由三视图可知几何体左右各是半球，直径为 2，左右两个圆柱的高为 1，底面直径为 2， 中间圆柱的高为 3，底面直径为 1，即可求出该几何体的表面积．第 10 页，共 15 页本题考查三视图，考查几何体的表面积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关 键．10. 解：直线 l 经过点 A 时，可得 a+b-7=0；直线 l 经过点 B 时，可得-7=0，化为：3a+2b-18=0．a2+b2 表示点（a，b）到原点 O 的距离的平方．原点 O 到直线 a+b-7=0 的距离 d1= ．原点 O 到直线 3a+2b-18=0 的距离 d2= ，又==- ＜0，∴a2+b2 的最小值为 ．故选：B．直线 l 经过点 A 时，可得 a+b-7=0；直线 l 经过点 B 时，可得-7=0，化为：3a+2b-18=0．a2+b2 表示点（a，b）到原点 O 的距离的平方．原点 O 到直线 a+b-7=0 的距离 d1．原点 O 到直线 3a+2b-18=0 的距离 d2，又＜0，即可得出．本题考查了直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11. 解：由已知得 f（x）=sin（ωx+φ）．由 f（0）=- 得 sin φ=- ，因为|φ|＜ ，所以 φ=- ．所以 f（x）=sin（ωx- ）．解法一：将函数（f x）的图象向右平移 个单位后所得函数图象对应的函数为 y=sin[ω（x- ）- ]=sin（ωx- - ）．由已知可得，所得函数为偶函数，所以 + =kπ+ （k∈Z），解得 ω=6k+2（k∈Z）． 因为 ω＞0，所以 ω 的最小值是 2． 解法二：令 ωx- =kπ+ （k∈Z），解得 x= π+ （k∈Z）．所以函数 f（x）的图象的对称轴为直线 x= π+ （k∈Z）．将该函数的图象向右平移 个单位后所得函数图象关于 y 轴对称，即函数 f（x）的图象的一条对称轴向右平移 个单位后与 y 轴重合，故有 π+ + =0（k∈Z），解得 ω=-（6k+4）（k∈Z）． 因为 ω＞0，所以当 k=-1 时，ω 取得最小值 2． 故选：B．由已知得 f（x）=sin（ωx+φ）．由 f（0）=- 代入可求 φ，解法一：先求出将函数 f（x）的图象向右平移 个单位后所得函数图象对应的函数解析式，结合偶函数的对称性可求； 解法二：先求出 f（x）的对称轴，然后把对称轴进行平移，结合已知可求． 本题主要考查了函数的图象的平移及由正弦函数的部分图象性质求解函数解析式，还考 查了正弦函数性质的应用，属于中档试题．第 11 页，共 15 页12. 【分析】本题考查了抛物线的性质，考查了计算能力，属于中档题． 设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由|MO|2=（-p-0）2+（y1-0）2=p2+y12，可得 y12=12-p2．由|NO|2=（-p-0）2+（y2-0）2=p2+y22，可得 y =3-p2．又 y1y2=-p2，即可求解． 【解答】 解：作出图象如图所示．设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由题意可得 M（-p，y1），N（-p，y2）． 故|MO|2=（-p-0）2+（y1-0）2=p2+y12 所以（2 ）2=p2+y12，即 y12=12-p2． |NO|2=（-p-0）2+（y2-0）2=p2+y22，所以（ ）2=p2+y22，即 y =3-p2．又直线 PQ 过焦点 F，设直线 PQ 的方程为：,联立,消去 x 可得：,,可得 y1y2=-p2， 所以（y1y2）2=（-p2）2， 即（y1y2）2=（12-p2）（3-p2）=p4， 解得 p2= ． 故选：B．13. 解：∵ =（-k，k+2）， =（2，-3），∴ +2 =（4-k，k-4），又 ∥（ +2 ），∴-k（k-4）-（k+2）（4-k）=0，解得：k=4． 故答案为：4．由已知求得 +2 的坐标，再由 ∥（ +2 ）列式求得 k 值．本题考查向量的坐标加法运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．14. 解：因为 A=60°，b=1，S△ABC===，则 c=4，由余弦定理可得，cosA= =，解可得，a= ，由正弦定理可得，== ．故答案为：第 12 页，共 15 页由已知结合三角形的面积公式可求 c，然后结合余弦定理可求 a，再由正弦定理即可求 出． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，属于基础试题．15. 【分析】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得 a 值． 【解答】解：∵，，∴样本点的中心坐标为（5， ），代入 =6.4x+18，得，解得 a=55．故答案为：55．16. 解：抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，准线 l：x=- ，抛物线 C：y2=5x点 M 在抛物线 C 上，点 A 在准线 l 上，若 MA⊥l，且直线 AF 的倾斜角为 ，直线 AF 的斜率 kAF= ，设|MF|=m，可得 m+ m= ，|MF|= ．故答案为： ．画出图形，抛物线的性质，结合直线的斜率，计算|MF|即可． 本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，三角形的面积计算， 属于中档题．17. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由 z=2x+y 得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z， 由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 B 时，直线 y=-2x+z 的截距最大， 此时 z 最大．由，解得 A（ ， ），将 A（ ， ）的坐标代入目标函数 z=2x+y，得 z=2× + = ．即 z=2x+y 的最大值为 ．故答案为： ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大 值．第 13 页，共 15 页本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是 解决此类问题的基本方法．18. 本题考查等差数列通项公式的运用，等比数列的性质，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题． （1）设等差数列{an}是公差为 d，运用等比数列性质和等差数列的通项公式，解方程可 得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得 == （ - ），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．19. （1）求出 K2=7.5＞6.635，从而有 99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关．（2）（i）根据分层抽样方法能求出选取的 4 人中，男生有 3 人，女生有 1 人． （ii）设抽取的 3 名男生分别为 A，B，C，1 名女生为甲，利用列举法能求出恰好选到 2 名男生的概率． 本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查古典概型、分层抽样、列举法等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题．20. （1）推导出 PA⊥BD．BD⊥AC．从而 BD⊥平面 PAC，由此能证明平面 PAC⊥平面MBD．（2）设菱形 ABCD 的边长为 x，由，得．推导出．由 PA⊥平面 ABCD，AB=AD，PB⊥PD，得，．推导出，从而求出 x=1，由此能求出四棱锥P-ABCD 的侧面积． 本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21. （1）据题意有 a=2，c=1，则通过计算可得椭圆 C 的标准方程；（2）可先假设直线 l 存在，可设直线 l 的斜率为 k，则直线 l：y=k（x+2）．根据|AM|=|MN| 及圆的性质可知 OM 垂直平分 AN．再根据点到直线的距离公式可得 OM 的关于 k 的表 达式，再解 Rt△AMO 可得 AM 的关于 k 的表达式．然后联立直线与椭圆方程，消去 y 整理可得一元二次方程，根据韦达定理有 x1+x2=-，x1•x2=．根据弦长公式可得 AM 的关于 k 的另一个表达式．根据存在性则两个表达式相等，如果 k 值存在则直线 存在；如果没有 k 值则直线不存在． 本题主要综合考查直线，圆和椭圆三者综合的问题，考查了弦长公式的应用，方程思想 的应用，圆的基本性质，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．22. （1）求出原函数的导函数，得到原函数的单调区间，进一步求得函数极值；（2）由 x1，x2 是方程 ax+f（x）=x2-x（a＞0）的两个不同的实数根．可得，得到 a= ，把要证明的结论转化为证：x1x2＜ ，即证：x1x2＜，也就是证＜=，不妨设 x1＜x2，令＞1．只需证 ln2t．构造函数，利用导数证明 g（t）在（1，+∞）上为减函数，可得 g（t）＜g （1）=0，则结论得证．第 14 页，共 15 页本题考查利用导数研究函数的极值，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证 明恒成立问题，属难题．23. （I）由，消去参数 t 可得：x-y-1=0，利用互化公式可得极坐标方程．（II）由曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），消去参数 θ 可得普通方程．将直线 l 的参数方程为（l 为参数，代入圆的方程：t2-2tcosα-3=0，利用|MN|=|t1-t2|== ，代入解出即可的．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程及其应用、一元二次方程的 根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24. （1）利用分段函数去掉绝对值，分类讨论求出不等式的解集．（2）由题意可得当 g（x）=f（x）-3a-4b 只有一个零点时，3a+4b=5，根据 + =（ + ）[（2a+b）+（a+3b）]，变形后利用基本不等式，求出它的最小值． 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的零点，基本不等式的应用，属于难题．第 15 页，共 15 页。
2020年安徽高三二模数学试卷(文科)
2020年安徽高三二模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.B.C. D.1.已知集合或，集合，则集合中的元素个数为（ ）．A.B.C.D.2.已知复数满足：（为虚数单位），则（ ）．3.已知命题，，则为（ ）．A.，B.，C.，D.，4.为实现国民经济新”三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为．年开始全面实施”精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比(参加该项目户数占年贫困户总数的比)及该项目的脱贫率见下表：实施项目种植业养殖业工厂就业服务业参加户占比脱贫率那么年的年脱贫率是实施”精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍．A.B.C.D.5.已知首项为正数的等比数列中，，则（ ）．A.，B.C.D.6.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）．A.B.C.D.7.已知双曲线： （，） 的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）．A.B.C.D.8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是《易经》中记载的几何图形八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为，代表阴阳太极图的圆的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ）．A.B.C.D.9.锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（ ）．A.B.C.D.10.函数在上的大致图象是（ ）．A.xyB.xyC.xyD.xy11.若定义在上的增函数的图象关于点对称，且 ，令，则下列结论一定成立的是（ ）．A.不.B.C.D.B 1C 1D 1A 1B CDAP MN12.如图所示，棱长为的正方体中，为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，，满足，，，则向量，的夹角为 ．14.已知函数，则使得的的取值范围为 ．15.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 ．正视图侧视图俯视图16.已知点为直线上一点，，是椭圆的两条切线，若恰好存在一点使得，则椭圆的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列的前项和为，且（）．设，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式．设，，求．（1）（2）18.受”非洲猪瘟”的影响，月份起，某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨，具体情形统计如下表所示：自受影响后第周猪肉单价（元斤）求猪肉单价关于的线性回归方程．当地有关部门已于月初购入进口猪肉，如果猪肉单价超过元斤，则释放进口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格，试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉？参考数据：，参考公式：，．19.如图，四棱锥中，侧面是等腰直角三角形，，平面，，．（1）（2）求证：平面．求顶点到平面的距离．（1）（2）20.已知函数，且曲线在处的切线经过点．求实数的值．若函数，试判断函数的零点个数并证明．（1）（2）21.已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，为坐标原点．若的最小值为，求实数的值．若梯形内接于抛物线，，，的交点恰为，且，求直线的方程．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为．求线段长的最小值．求点的轨迹方程．（1）（2）23.已知非零实数，满足．求证：．是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解析:由集合或，，∴，包含个元素．故选．解析:∵，∴，∴，故选．解析:全称命题的否定为特称命题，∴命题，的否定，，故选：．解析:由表格可知该地区的综合脱贫率．∴年脱贫率是年以前的倍．故选．解析:B 1.A 2.D 3.C 4.B 5.，∵首项为正数，∴，又由等比数列性质得，，∴．故选．解析:的图象为由上图可知，若的值域为，，即，故符合条件的值为．故选解析:由题意可知，，∴，则．又∵ ，则．B 6.A 7.∴ 双曲线的方程为．故选．解析:由题可知，正八边形面积，由余弦定理可得，，则，∴，则，阴阳太极图面积为，则每块八卦田的面积为故选．解析:∵，∴，由已知得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，由余弦定理知，C 8.D 9.∴，即，由正弦定理知，∴．∵为锐角三角形，∴，∴．故选．解析:当时，，，∴函数在区间单调递增，又当时，函数是减函数，当时，函数是增函数，则函数的图象在越来越平缓，在越来越陡峭，排除、；当时，，，∴函数在区间单调递增，又当时，函数是增函数，当时，函数是减函数，则函数的图象在越来越陡峭，在越来越平缓．排除．故选．解析:若的图象关于点对称，则的图象关于点对称，∵的定义域为，∴为奇函数，∵在上单调递增，∴在上单调递增，∵，∴，∴，B 10.A 11.，∴，，故可能成立，也可能不成立，故不一定成立；∵，∴，故选一定成立；∵，故一定成立；∵，∴，∴，即，故一定成立.故选．解析:如图向，，作垂线，垂足分别为，，，B 1C 1D 1A 1B CD A P M NFG E由对称性易知≌，C 12.，而注意到平面，有，即，有，，，在为中点，时取得最小值．故选．13.解析:记与夹角为，由，，又∵，即，∴，又∵，则．14.解析:由，可得．即，，∴，，又∵，∴．15.解析:如图所示，三棱柱即为三视图还原后的直观图，由三视图可知，，，即为等腰三角形，取的中心为，的中心为，则的中点即为三棱柱外接球球心，取中点,连接和，设，则，,∵，∴，∴，∴，则虽然在外，且在延长线上，并使，∵，，∴，即三棱柱外接球半径，∴该几何体外接球面积为．16.解析:由结论知点轨迹为，又∵在直线上，且存在一点，故圆与直线相切，故，，，又，∴，，即．（1）（2）（1）（2）（1）解析:由已知（）①，时，②，①②得：，故，即（），又时，，则，故数列是以为首项，为公差的等差数列，∴．由，得，．解析:，，，则，∴，故．时，，时，，故应从第周开始．解析:由题：，平面，又，故平面．（1）证明见解析，．（2）．17.（1）．（2）第周．18.（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）（2）取的中点，连接，，∵，均为等腰三角形，故，，又平面平面平面，平面平面，故平面，∴，易求得，，，，故，∵，，为矩形，故，，在三棱锥中，设顶点到平面的距离为，由，则，故顶点到平面的距离为．解析:，，，所以曲线在处的切线方程为，将代入得．考虑方程，等价于，记，则（1）．（2）函数存在唯一零点，证明见解析．20.（1）（2），于是函数在上单调递增，又，，所以函数在区间上存在唯一零点，即函数存在唯一零点．解析:①当线段与抛物线没有公共点，即时，设抛物线的准线为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则，故；②当线段与抛物线有公共点，即时，，故，综上：或．方法一：设，，（，，，，），由题，，共线，，，共线，当时，，，联立得（），又时，则即代入（）得，当时，由题：，故，，设直线的方程为，，，，，，，解得：，故直线的方程为即．方法二：设，，，则，（1）或．（2）．21.（1）（2）（1），∵，∴，即，即线段与的中点纵坐标相同，故中点与中点连线平行于轴，由平面几何知识知：点在与中点连线上，故，于是，，设直线的方程为，后同解法一．解析:曲线的方程化成直角坐标方程为，即，圆心，半径，曲线为过定点的直线，易知在圆内，当时，线段长最小为．当点与点不重合时，设，∵，∴，化简得：，当点与点重合时，也满足上式，故点的轨迹方程为．解析:（1）．（2）．22.（1）证明见解析．（2）存在，．23.（2），∵，∴，又，∴．，即，即（），①当时，（）即恒成立，∵（当且仅当时取等号），故，②当时，（）即恒成立，∵（当且仅当时取等号）故，综上，．。
2020年安徽省高考文科科数学仿真模拟试题二(附答案)
2020年安徽省高考文科数学仿真模拟试题二（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合}1|{≥=x x A ，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A. [0,)+∞B. [1,)+∞C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2. 在复平面内，复数22ii+-对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“x＞5”是“＞1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件4. 以A （－2，1），B （1，5）为半径两端点的圆的方程是( ) A. （x ＋2）2＋（y －1）2＝25 B. （x －1）2＋（y －5）2＝25C. （x ＋2）2＋（y －1）2＝25或（x －1）2＋（y －5）2＝25D. （x ＋2）2＋（y －1）2＝5或（x －1）2＋（y －5）2＝5 5. 已知函数2()21x f x a =-+（a R ∈）为奇函数，则(1)f =（ ） A. 53-B. 13C. 23D. 326. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，510a =-，则1a =（ ） A. -3B. -2C. 2D. 37. 在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则（ ） A. 1212p p << B. 1212p p << C. 2112p p << D.2112p p << 8. 已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ） A. 58-B.118C.14D.189. 已知4616117421⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= T ，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①和②处可以分别填入( ) A.i m m i +=≤，?10 B.1?10++=≤i m m i ， C.i m m i +=≤，?11 D.1?11++=≤i m m i ，10．已知点()12,0F -，圆()222:236F x y -+=，点M 是圆上一动点，线段1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N .则点N 的轨迹方程为A.22192x y -=B.320x y --=C.2236x y += D.22195x y += 11．函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年安徽省安庆市示范高中高考数学模拟试卷(文科)(5月份)
2020年安徽省安庆市示范高中高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤2,x∈Z}，B={x|2x<1}，则集合A∩B的子集个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4(i是虚数单位)，则z在复平面内对应的点在()2.若复数z=i−1√2−iA. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限3.若平面向量m⃗⃗⃗ =(2,0)，m⃗⃗⃗ −n⃗=(1,−√3)，则m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=()A. 3+√3B. 2C. 1−√3D. 2√34.某单位统计了本单位的职工一天行走步数(单位：百步)得到如图频率分布直方图：估计该单位职工一天行走步数的平均值为(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)()A. 125B. 125.6C. 124D. 1265.已知项数为奇数的等比数列{a n}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为()A. 5B. 7C. 9D. 116.古代《冰糖葫芦》算法题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子．若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为()A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.67.已知函数f(x)=2|x|+|x|−3，则不等式f(x)>0的解集为()A. (−1,1)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)8.我国古代数学专著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与古老的算法“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图既源于“辗转相除法”.当输入a= 1081，b=805时，输出的a=()A. 7B. 11C. 23D. 479. 已知函数f(x)=2cos ωx 2(sin ωx 2+cosωx 2)(ω>0)(ω>0)，若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，将f(x)的图象向左平移√π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)任意两个不同零点之差的绝对值得最小值为( )A. √πB. πC. 3√πD. 3π10. COVID −19是一种新型冠状病毒(因其表面有类似王冠上的突起而得名)，感染者在潜伏期便已具备传染能力．为方便病人的转移及隔离，某企业设计了一种微型全封闭有底的隔离舱，其三视图如图所示(单位：m)，其中正视图的上半部分是一段圆弧，则该隔离舱的表面积为( )A. 3√3+43π+2B. 3√3+2π3+2C. 5√32+2(π+1)D. 5√32+23π+211. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 23−y 29=1的左、右焦点，过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，设点H(x H ,y H )，G(x G ,y G )分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，若|y H |=3|y G |，则|HG|=( )A. 2√3B. 3C. 3√3D. 412. 下列命题为真命题的是( )①1nπ>√π1n2 ②π>e √πe ③sin3<sin4 ④sin1>32sin 12A. ①④B. ②④C. ②③D. ①②④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=−1+1nx x 2的图象在点(1,f(1))处的切线方程为______．14. 已知变量x ，y 满足不等式组{3x −y ≥0,2x +4y −5≤0,y ≥0,则z =x +3y 的最大值为______．15. 已知椭圆E ：x 22m+y 2m =1(m >0)的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1,−1)，则椭圆E 的方程为______．16. 已知在矩形ABCD 中，AB =4，AD =1，AF ⊥平面ABCD ，且AF =3，E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△DAE 翻折成△D′AE ，M 为BD′的中点，则三棱锥M −BCF 体积的最小值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在3+1+2的新高考模式下，某学校计划在高一下学期开设“物理”和“历史”两个选修科目．为了了解学生对这两个科目的选课意向，以便提前规划教育资源，教务处从高一年级500名学生(其中男生200人，女生300人)中，采用分层抽样的方法从中抽取部分学生进行调查．其中，女生比男生多抽取20人．(1)请问总共抽取了多少名学生进行调查；(2)新高考模式要求每名学生在“物理”和“历史”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目，下表是根据调查结果得到的一个不完整的列联表，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择科目与性别有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(c+d)(b+d),n =a +b +c +d ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA a+cosB b=sinC c．(1)当cosB =√22时，求ac 的值；(2)在(1)的条件下，若2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且△ACD 的面积为43，求△ABC 的周长．19. 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 是边长为2的正三角形，F是CD 的中点，且BC =BE =√5． (1)求证：AF//平面BCE ； (2)求点D 到平面BCE 的距离．20. 已知抛物线C ：y 2=2px 上一点M(13,y 0)到其焦点F 的距离等于56．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若不垂直于x 轴的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线FA 与FB 的倾斜角互补，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21. 已知函数f(x)=e 2x +2ae x +2ax ，其中a <0．(1)当a =−1时，求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处切线方程；(2)若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =tcosαy =tsinα，(t 是参数，π2<α<π)，曲线C 1的参数方程是{x =12a +acosφy =√32a +asinφ(φ为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=4bsinθ． (1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若a =12,b =1，l 与C 1交于O ，M 两点，l 与C 2交于O ，N 两点，求|OM||ON|的取值范围．23.已知函数f(x)=|3x+m|−2m(m∈R)．(1)当m=−1时，求不等式f(x)<10的解集；(2)若∀x∈R，f(x)+3|x−1|≥5恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查交集的子集的个数的求法，考查交集的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出集合A，B，从而求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B的子集个数．【解答】解：∵集合A={x|−1≤x≤2,x∈Z}={−1,0，1，2}，B={x|2x<1}={x|x<0}，∴集合A∩B={−1}，∴集合A∩B的子集个数为2．故选：B．2.【答案】C【解析】解：∵z=√2−i =√2+i)(√2−i)(√2+i)=−√2−13+√2−13i，∴z在复平面内对应的点的坐标为(−√2+13,√2−13)，在第二象限．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：平面向量m⃗⃗⃗ =(2,0)，m⃗⃗⃗ −n⃗=(1,−√3)，可得n⃗=(1,√3)，所以m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(2,0)⋅(1,√3)=2．故选：B．利用已知条件求出n⃗，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的求法，向量的坐标运算，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：由频率分布直方图： 估计该单位职工一天行走步数的平均值为：x −=60×0.002×20+80×0.006×20+100×0.008×20+120×0.012×20+140×0.010×20+160×0.008×20+180×0.002×20+200×0.002×20=125.6． 故选：B ．由频率分布直方图能估计该单位职工一天行走步数的平均值．本题考查平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设a n =a 1⋅q n−1=q n−1， 又由数列{a n }的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则q =21−110=2，故s n =21+10=a 1(1−q n )1−q⇒2n −1=31⇒n =5；故选：A ．根据题意，设a n =a 1⋅q n−1=q n−1，由等比数列的前n 项和公式可得q 的值，进而求得结论． 本题考查等比数列的求和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设5个山楂的“冰糖葫芦”有x 个，2个山楂、3个小桔子的“冰糖葫芦”有y 个， 则{5x +2y =6403y =360，解得x =80，y =120， 基本事件总数n =80+120=200，这个“冰糖葫芦”是5个山楂包含的基本事件个数m =80， 则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为P =m n=80200=0.4．故选：B ．设5个山楂的“冰糖葫芦”有x 个，2个山楂、3个小桔子的“冰糖葫芦”有y 个，列出方程组求出x =80，y =120，基本事件总数n =80+120=200，这个“冰糖葫芦”是5个山楂包含的基本事件个数m =80，由此能求出这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】C【解析】解：由f(x)=2|x|+|x|−3>0，得2|x|>−|x|+3，作出函数y=2|x|与y=−|x|+3的图象如图，当x>0时，由2|x|>−|x|+3，得2x>−x+3，再令g(x)=2x+x−3，当x>0时，该函数为增函数，而g(1)=0，∴x>0时，函数y=2|x|与y=−|x|+3的图象的交点的横坐标为1，由对称性可得，x<0时，函数y=2|x|与y=−|x|+3的图象的交点的横坐标为−1，由图可知，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．故选：C．由f(x)=2|x|+|x|−3>0，得2|x|>−|x|+3，作出函数y=2|x|与y=−|x|+3的图象，数形结合得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．8.【答案】C【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=1081，b=805，执行循环体，r=276，a=805，b=276，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=253，a=276，b=253，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=23，a=253，b=23，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=23，b=0，此时，满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为23．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．9.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=2cos ωx 2(sinωx 2+cosωx 2)(ω>0)=sinωx +cosωx +1=√2sin(ωx +π4)+1(ω>0)，若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，ωx +π4∈(−ω2+π4,ω2+π4)， ∴−ω2+π4≥−π4，ω2+π4≤π2，求得ω≤√π2．又函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，∴ω2+π4=kπ+π2，即ω=√kπ+π4，∴ω=√π2，f(x)=√2sin(√π2x +π4)+1．将f(x)的图象向左平移√π6个单位长度后得到函数g(x)=√2sin(√π2x +π12+π4)+1=√2sin(√π2x +π3)+1的图象． 令g(x)=0，求得sin(√π2x +π3)=−√22，则函数g(x)任意两个不同零点之差的绝对值得最小值为T 4=14⋅2π√π2=√π，故选：A ．由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，结合正弦函数的周期性和零点，求出函数g(x)任意两个不同零点之差的绝对值得最小值． 本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性和零点，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由圆柱的一部分和四棱柱体构成的组合体． 如图所示：所以侧面的弧半径为：r =√(√32)2+(12)2=1，该几何体的表面积为：S═2×12×12×√32×2+2×120×π×12360+120×π×1180×2+2×√3+2×1=5√32+2π+2．故选：C ．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.【答案】D【解析】解：不妨设直线AB 的斜率大于0，连接HG ，HF 2，GF 2，设△AF 1F 2的内切圆与三边的交点分别为D ，E ，F ，则|AF 1|−|AF 2|=|AD|+|DF 1|−(|AE|+|EF 2|)−|DF 1|−|EF 2|=|F 1F|−|FF 2|，即为2a =c +x H −(c −x H )，可得x H =a ，同理可得x G =a ，则HG ⊥F 1F 2， 在直角三角形F 2FG 中，|FG|=|FF 2|tan θ2=(c −a)tan θ2，在直角三角形F 2FH 中，|FH|=|FF 2|tan(π2−θ)=(c −a)tan(π2−θ)， 又|y H |=3|y G |，所以|FH|=3|HG|，即(c −a)tan(π2−θ)=c−a tan θ2=3(c −a)tan θ2，解得tan θ2=√33，tanθ=2×√331−13=√3，可得θ=π3，所以|HG|=4|FG|=4(2√3−√3)tan π6=4， 故选：D ．不妨设直线AB 的斜率大于0，连接HG ，HF 2，GF 2，设△AF 1F 2的内切圆与三边的交点分别为D ，E ，F ，运用切线的性质和双曲线的定义，求得G ，H 的横坐标为a ，结合直角三角形的正切函数的定义和二倍角公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查切线的性质和直角三角形中锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，考查化简运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：(1)令f(x)=lnx −√x ⋅ln2，则f′(x)=1x −2√x=2−√xln22x，∴当0<x <4时，f′(x)>0，故f(x)在(0,4)上单调递增，∴f(π)<f(4)，即lnπ−√πln2<0，故lnπ<√πln2，故①错误；(2)令f(x)=lnx−√xe ，则f′(x)=1x2√ex=√e−√x2√ex，∴当0<x<4e时，f′(x)>0，故f(x)在(0,4e)上单调递增，∴f(π)>f(e)，即lnπ−√πe >0，即lnπ>√πe，故π>e√πe，故②正确；(3)令f(x)=sinx，则f(x)在(π2,3π2)上单调递减，又π2<3<4<3π2，∴sin3>sin4，故③错误；(4)sin1−32sin12=sin12(2cos12−32)，∵y=cosx在(0,π2)上是减函数，∴cos12>cosπ6=√32>34，∴2cos12−32>0，又sin12>0，∴sin1−32sin12>0，即sin1>32sin12，故④正确．故选：B．构造函数f(x)=lnx−√xln2，根据函数单调性判断①，构造函数f(x)=lnx−√xe，根据函数单调性判断②，根据正弦函数单调性判断③，作差，提公因式，再根据余弦函数单调性判断④．本题考查了函数单调性的应用，根据要比较的式子构造函数是解题的关键所在，属于中档题．13.【答案】y=3x−4【解析】解：函数f(x)=−1+1nxx2的导数为f′(x)=x−2x(lnx−1)x4，可得f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=1+2=3，又f(1)=−1，则切线的方程为y+1=3(x−1)，即为y=3x−4．故答案为：y=3x−4．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的几何意义，以及直线方程的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．14.【答案】257【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z =x +3y 得y =−x3+z3，平移直线y =−x3+z 3，由图象知当直线经过A 点时直线的纵截距最大，此时z 最大，由{3x −y =02x +4y −5=0，得A(514,1514)， 此时z =514+3×1514=257，即目标函数的最大值为257， 故答案为：257．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用直线平移法结合直线截距和z 的关系是解决本题的关键．15.【答案】x 218+y29=1【解析】解：由题意可知，点F(√m,0)，所以直线AB 的斜率为k =1√m−1， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则{x 122m+y 12m =1x 222m +y 22m=1，两式相减，整理得，y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 22(y 1+y 2)=−1×22×(−1)×2=12，所以k =1√m−1=12，解得m =9， ∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．故答案为：x 218+y 29=1．由题意可知，点F(√m,0)，所以直线AB 的斜率为k =√m−1，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，利用点差法可得，y 1−y 2x1−x 2=−x 1+x 22(y 1+y 2)=12=k ，从而求得m 的值，再代入椭圆E 的方程中即可得解． 本题考查求椭圆的方程，合理运用点差法是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】76【解析】解：三棱锥M −BCF 的底面三角形BCF 是固定的， 又AF ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AF ⊥BC ，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，AB∩AF=A，∴BC⊥平面ABF，又BF⊂平面ABF，∴BF⊥BC．∴S△BCF=12BC⋅BF=12×1×√32+42=52．要求三棱锥M−BCF体积的最小值，只需求点M到平面BCF距离的最小值h即可．∵M为BD′的中点，∴点M到平面BCF的距离等于D′到底面BCF距离ℎ′的一半．∵E为DC上的动点，且AD′=1，∴D′的轨迹为以A为球心，以为半径的球面的一部分，作AG⊥BF，交BF于G，当D′为AG与球面的交点时，ℎ′最小，此时ℎ′=AG−AD′=125−1=75，∴V M−BCF≥13×52×75=76．故答案为：76．由题意画出图形，可得△BCF的面积为定值，求出D′到平面BCF的最小值，可得M到平面BCF的最小值，则三棱锥M−BCF的体积的最小值可求．本题考查多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．17.【答案】解：(1)设女生抽取x人，则男生抽取(x−20)人，则x：(x−20)=3：2，解得x=60，所以总共抽取了60+(60−20)=100(人)；(2)根据题意补充完整列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(30×35−25×10)240×60×55×45=3200297≈10.774<10.828，所以没有99.9%的把握认为选择科目与性别有关．【解析】(1)设女生抽取x人，则男生抽取(x−20)人，利用抽样比例列方程求出即可；(2)根据题意补充完整列联表，计算K2，对照数表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)因为cosA a+cosB b =sinC c，cosB =√22，由正弦定理可得，cosAsinA +cosBsinB =sinCsinC =1，且sinB =√22整理可得，sinBcosA +sinAcosB =sinAsinB ， 即sin(A +B)=sinC =sinAsinB =√22sinA ，由正弦定理可得，ac =sinAsinC =√2； (2)由(1)可得a =√2c ，B =π4，由2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且△ACD 的面积为43，可得△ACB 的面积为2， 故12×√2c ×c ×√22=2， 所以c =2，a =2√2，由余弦定理可得，b 2=a 2+c 2−2ac ×cos π4=4+8−2×2×2√2×√22=4，故b =2，故△ABC 的周长为4+2√2．【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，即可求解．(2)由已知结合三角形的面积公式可求c ，进而可求a ，b ，从而可求三角形的周长．本题主要考查了正弦定理、和差角公式、三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．19.【答案】(1)证明：取CE 的中点G ，连接BG ，FG ．∵F ，G 分别是CD ，CE 的中点， ∴FG//DE ，FG =12DE ，∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB//DE ，∵AC =AD =2，BC =BE =√5，∴AB =1，DE =2或DE =0(舍)， ∴AB =12DE ， ∴FG//AB ，FG =AB ，∴四边形ABGF 是平行四边形，∴AF//BG ，又BG ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ， ∴AF//平面BCE ．(2)解：∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ， ∴DE ⊥AF ，又AF//BG ， ∴DE ⊥BG ，∵BC =BE ，G 是CE 的中点， ∴BG ⊥CE ，又CE ∩DE =E ，CE ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ， ∴BG ⊥平面CDE ．∵△ACD 是边长为2的等边三角形，∴BG =AF =√3， ∴V B−CDE =13S △CDE ⋅BG =13×12×2×2×√3=2√33， ∵BC =BE =√5，CE =√CD 2+DE 2=2√2， ∴S △BCE =12×2√2×(√2)=√6，设D 到平面BCE 的距离为h ，则V D−BCE =13S △BCE ⋅ℎ=13×√6×ℎ=√6ℎ3， ∴√6ℎ3=2√33，解得ℎ=√2．∴点D 到平面BCE 的距离为√2．【解析】(1)取CE 的中点G ，连接BG ，FG.证明四边形ABGF 是平行四边形可得AF//BG ，故AF //平面BCE ；(2)证明BG ⊥平面CDE ，计算三棱锥B −CDE 的体积，根据V B−CDE =V D−BCE 计算点D 到平面BCE 的距离． 本题考查了线面平行的判定，线面垂直判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：x =−p2，由M(13,y 0)到其焦点F 的距离等于56可得：13+p2=56，解得：p =1， 所以抛物线的方程为：y 2=2x ；(2)显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +t ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与抛物线的方程：{x =my +ty 2=2x ，整理可得：y 2−2my −2t =0，△=4m 2+8t >0，即m 2+2t >0， y 1+y 2=2m ，y 1y 2=−2t ，因为直线FA与FB的倾斜角互补，由(1)得F(12,0)，所以k FA+k FB=0，而k FA+k FB=y1x1−12+y2x2−12=y1my1+t−12+y2my2+t−12=y1(my2+t−12)+y2(my1+t−12)(my1+t−12)(my2+t−12)=2my1y2+(t−12)(y1+y2)(my1+t−12)(my2+t−12)=−4mt+2m(t−12)(my1+t−12)(my2+t−12)=−m(2t+1)(my1+t−12)(my2+t−12)=0，因为m≠0，所以2t+1=0，即t=−12，所以直线l恒过定点(−12,0)．【解析】(1)由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得p的值，进而求出抛物线的方程；(2)设直线l的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线FA，FB的斜率之和，由题意可得两条直线的斜率值为0，可证得恒过定点．本题考查求抛物线的方程，及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的证明方法，属于中档题．21.【答案】解：已知函数f(x)=e2x+2ae x+2ax，其中a<0．(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程；当a=−1时，f(x)=e2x−2e x−2x，f(0)=−1，∴f′(x)=2e2x−2e x−2，f′(0)=2−2−2=−2∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为：y=−2x−1；(2)若对于任意的x∈R，关于x的不等式f(x)≥0恒成立⇔e2x+2ae x+2ax≥0对于任意的x∈R恒成立⇔12a ≤−e x−xe2x对于任意的x∈R恒成立⇔12a≤[−e x−xe2x]min，令g(x)=−e x−xe2x ，则：g′(x)=ex+2x−1e2x，令g′(x)=0，即e x+2x−1=0，解得：x=0，∴当x∈(−∞,0)时，g′(x)<0，当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，∴函数g(x)在区间(−∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(0)=−1，∴12a ≤−1，解得：a≥−12，又已知a<0，所以a的取值范围是：−12≤a<0，【解析】第(1)问求出切点坐标和斜率即可写出切线方程；第(2)问等价转换变量分离，求出函数的最小值即可求出a的取值范围．本题考查了利用导数求函数的最值，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程是{x =tcosαy =tsinα，(t 是参数，π2<α<π)，转换为极坐标方程为θ=α(π2<α<π).曲线C 1的参数方程是{x =12a +acosφy =√32a +asinφ(φ为参数).转换为直角坐标方程为(x −a 2)2+(y −√32a)2=a 2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ2−aρcosθ−√3aρsinθ=0，整理得：ρ=acosθ+√3asinθ．(2)由于a =12，b =1，直线l 与曲线C 1交于O ，M 两点，则：ρM =12cosθ+√32sinθ，直线l 与曲线C 2交于O ，N 两点，所以ρN =4sinθ，所以|OM||ON|=ρM ⋅ρN =|4(12cosθ+√32sinθ)sinθ|=|2sinθcosθ+2√3sin 2θ|=|sin2θ+√3(1−cos2θ)|=|2sin(2θ−π3)−√3|，由于π2<θ<π， 所以2π3<2θ−π3<5π3，故−1≤sin(2θ−π3)<√32，所以0<|2sin(2θ−π3)−√3|≤2−√3， 故|OM||ON|的取值范围为：(0,2−√3].【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当m =−1时，不等式f(x)<10即为|3x −1|<8，即−8<3x −1<8，解得−73<x <3， 则原不等式的解集为(−73,3)；(2)若∀x ∈R ，f(x)+3|x −1|≥5恒成立， 即为|3x +m|+|3x −3|≥5+2m ，由|3x +m|+|3x −3|≥|3x +m −(3x −3)|=|m +3|，当(3x +m)(3x −3)≤0时取得等号， 可得|m +3|≥5+2m ，等价为{m +3≥0m +3≥5+2m 或{m +3<0−m −3≥5+2m ，解得−3≤m ≤−2或m <−3， 则m 的取值范围是m ≤−2．【解析】(1)由题意可得|3x −1|<8，运用绝对值不等式的解法，可得所求解集；(2)由题意可得(|3x +m|+|3x −3|)min ≥5+2m ，由绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．。
2020年安徽省池州市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)
2020年安徽省池州市高考数学模拟试卷（文科） （5月份）一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的•C . 5C . 3（5分）中国剪纸是我国广大劳动人民在生产与生活实践中创造出来的一种平面剪刻艺 术.民间剪纸艺术是我国优秀的非物质文化遗产之一，在千百年的发展过程中，积淀了丰厚的文化历史，取得了卓越的艺术成就 .2020年3月发行的邮票《中国剪纸（二 ）》共4枚， 第一枚邮票《三娘教子》（如图1）出自“孟母教子”的故事，讲述了母亲通过断织等行为教 育孩子努力上进，懂得感恩.图2是某剪纸艺术家根据第一枚邮票用一张半径为4个单位的圆形纸片裁剪而成的 《三娘教子》剪纸.为了测算图2中有关部分的面积， 在圆形区域内随 机投掷400个点，其中落入图案上的点有225个，据此可估计剪去部分纸片的面积为（1.（5分）已知集合 A {x| 1 剟X 2} , B {x|x 2t 1, t Z}，则 A | B ()A . { 1 , 0, 1,2} B . { 1 ,1}C . {x|x 2t 1 , tZ} D .2. （5分）已知i 为虚数单位，则z 4 3i ---- 在复平面内对应的点为 3 4i3. A . (0,i)2x（5分）若双曲线 ------ 2a 4(i,0)2丄1 a 1 C .(0,1)(1,0)的两条渐近线互相垂直，则 4.（5分）在 ABC 中，若AB 13 , BC 3, C 120，则AC6. ( 5 分)A . a beA . 12B . 9I I fl- 4 *- 4 4 flu2 :"<!叩.^也Jt A二；』J C .7. ( 5分)设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，若m , n ，则卜列命题判断为真的是( )A.m n是n的充要条件B.m/ /n是m/ /的充分不必要条件C.//是m//n的既不充分也不必要条件D.m n是的必要条件5& ( 5分)已知函数f(x) cos(2x ) 2si n(2 x ) 1，则关于f (x)的有关性质说法中, 3 6正确的是()kA .极值点为(k Z) B.最小正周期为26 2C .最大值为3D .在［0,—］上单调递减22 sin x9. ( 5分)函数f (x) xgn ----------------- 的部分图象可能是()2 sin x10. (5分)已知椭圆牛每1(a b 0)的左，右焦点分别为F! , F2，若椭圆上存在点P ,a b使得PF PF2，则椭圆离心率的取值范围是( )A . ©AB . (0,二C. 2 [,1)V3 D.[一⑴222211. ( 5分)“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列, 最初是由意大利可数学家斐波那契于1202年通过兔子繁殖问题提出来的.在斐波那契数列｛a n｝中，1 , a2 1 , a n 2 a n 1 a n(n N*) •某同学设计了一个如图所示的求斐波那契数列前n项和S的程序框ABC 中，M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，且MN AM , SA 2 3 , 则此三棱锥S ABC 外接球的表面积为it12 . （5分）已知函数 f(x) X 4，且 xX 2 X 3X 4B . i, 8(x 1)2 |log 2 x|,x，则 x |gx 4C . i, 9 2,x, 0，若方程 f(x)—2的取值范围是X 3（X 1 X 2）D . i, 10a 有四个不同的解石,x 2, x 3 ,fl 71A . (；, 2C.[ 7,31 3D .(' 2]二、填空题：本大题共 4小题，每小题 共20分，把答案填在答题卡的相应位置13 .（ 5分）已知向量(2, 6) , |b|、帀， 且（a b ） b ，则a 与b 的夹角为14 . （ 5分）设变量x , y 满足约束条件x x 2y 2, 02y, 4 ，则目标函数 z 3y x 1的最小值2-015.（ 5分）已知函数f （x ） Xae x b ，若函数f (x)在(0 , f(0))处的切线方程为y 2x 5 ,则ab 的值为16.（ 5分）在正三棱锥S 图，若S 88，那么 填入（三、解答题：本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•解答写在答题卡上的指定区域内17•已知数列｛a n｝的前n项和为S n ,且满足S n 2何1).(I)求数列｛a n｝通项公式;(□)若b n b2n的值.a n, n为奇数求b bIog2am,n 为偶数，' 1 218•如图，已知三棱锥P ABC的平面展开图中，四边形ABCD为边长等于2的正方形,ABE和BCF均为等边三角形.(I)求证：AC PB ;(H)求三棱锥P ABC的体积.19.某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品. 经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图. 甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元.(I)求乙公司给超市的日利润y (单位：元)与日销售数量n的函数关系；(H)若将频率视为概率，回答下列问题：(1 )求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；(2 )如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由.。
2020年安徽省名校高考冲刺数学模拟试卷(文科) (含答案解析)
2020年安徽省名校高考冲刺数学模拟试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1，2，3}，B ={x ∈R|−2<x <2}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {1}C. {0,1，2}D. {0,2}2. 复数Z =3−4i ，则|Z|等于( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率( )．A. 3π B. π3 C. π2 D. 2π4. 设a =214,b =(15)0.2,c =log 136则( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <a <c5. 已知a ⃗ =(3,4)，|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a ⃗ ·b⃗ 的值是( ) A. 7B. 12C. 5D. 256. 函数在[−π2,π2]上的图象为( )A.B.C.D.7. 已知α∈(π3,π)，且sin (α+π6)=35，则cosα=( )A. −3−4√310B. 3+4√310C. 3−4√310D. −3+4√3108.函数y=2sin(π3−x)−cos(x+π6)(x∈R)的最小值为()A. −3B. −2C. −1D. −√59.若如图所示的程序框图运行后输出的S的值为20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A. k=9B. k≤8C. k<8D. k>810.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线倾斜角为π6，则双曲线C的离心率为()A. 2或√3B. 2√33C. 2或2√33D. 211.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若acos C+ccos A=2bcos B，且cos2B+2sin Asin C=1，则a−2b+c=()A. √22B. √2C. 2D. 012.直线y=x+m与椭圆x24+y2=1有两个不同的交点，则m的取值范围是()A. −5<m<5B. m<−√5或m>√5C. m<√5D. −√5<m<√5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=e x−x−2在(0,f(0))处切线方程是______．14.设x，y满足约束条件{x+2y≤12x+y≥−1x−y≤0，则z=3x−2y的最小值为________．15.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1，则|a1−18|+|a2−18|+⋯+|a10−18|=________．16.三棱锥S−ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠B=60°，SA=2√5，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．(1)求a n和b n；(2)求数列{nb n}的前n项和S n．18.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为2√3的菱形，∠BAD=60°，点E是棱BC的中点，DE∩AC=O，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点．(Ⅰ)求证：平面PED⊥平面BCF；(Ⅱ)若BF//平面PDE，PO=2，求四棱锥F−ABED的体积．19.学生学习的自律性很重要．某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到2×2列联表的部分数据如下表：自律性一般自律性强合计成绩优秀40成绩一般20合计50100(1)补全2×2列联表中的数据；(2)判断是否有99.9％的把握认为学生的成绩与自律性有关．．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=e x−x2．e(1)证明：函数f(x)有两个极值点x1，x2；(2)若g(x)=f(x)+ax为增函数，求实数a的取值范围．21.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴交于点P，抛物线C交于点Q，|PQ|．且|QF|=54(1)求抛物线C的方程；(2)过原点O作斜率为k1和k2的直线分别交抛物线C于A，B两点，直线AB过定点T(2,0)，k1k2是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ+3=0．(1)求曲线M的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若直线l过圆心C且与曲线M交于A，B两点，求1|CA|+1|CB|的最大值．23.已知函数f(x)=｜2x+1｜−｜x−2｜−1，不等式f(x)≤k的解集为[−5,1]．(1)求实数k的值；(2)若正数a、b满足√ab2=k，求2a+4b的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x∈R|−2<x<2}，∴A∩B={0,1}．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：∵Z=3−4i，∴|Z|=√32+(−4)2=5．故选：C．直接利用复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：D解析：此题考查几何概型，解题的关键是利用割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．解：设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC．不妨令OA=OB=2，则OD=DA=DC=1．在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1=π4+12×1×1−(π4−12×1×1)=1，所以整个图形中空白部分面积S2=2．又因为S扇形OAB =14×π×22=π，所以P=2π．故选D．4.答案：B解析：本题考查了对数函数、指数函数的性质的应用，属于基础题．解题时直接利用指，对数函数的单调性，可以求出结果．解：．故选B．5.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题．利用数量积的定义即可得出．解：∵a⃗=(3,4)，∴|a⃗|=5．又|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos60°=5×2×12=5．故选C．6.答案：B解析：本题考查函数图像识别，是基础题．直接利用函数的性质奇偶性和特殊区间结合排除法求出结果．解：函数的解析式满足f(−x)=−f(x)， 且的定义域R 关于原点对称，则函数为奇函数，排除C 、D 选项， 当0<x ≤π2时，由sinx ≤1,x 2+|x|+1≥1 可知：当0<x ≤π2时f(x)≤1，排除A 选项． 故选：B ．7.答案：C解析：本题主要考查两角差的余弦公式和同角三角函数基本关系的应用，属于基础题． 先根据α的范围利用平方关系求出cos (a +π6)，再利用两角差的余弦公式即可求出． 解：因为a ∈(π3,π)，所以α+π6∈(π2,7π6)，即有cos (a +π6)=−√1−sin 2(a +π6)=−45． ∴cosα=cos [(α+π6)−π6]=cos (α+π6)cos π6+sin (α+π6)sin π6=(−45)×√32+35×12=3−4√310． 故选：C ．8.答案：C解析：本题考查诱导公式及正弦函数的图象与性质，根据题意可得cos (x +π6)=sin (π3−x)，进而利用正弦函数的性质即可求得结果． 解：cos (x +π6)=sin (π3−x)，因此y =2sin (π3−x)−cos (x +π6)=2sin (π3−x)−sin (π3−x)=sin (π3−x)=−sin (x −π3)， 所以函数的最小值为−1． 故选C ．9.答案：D解析：本题考查了程序框图中条件的确定，属于基础题．运行程序框图，确定条件．解：如图：可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D．10.答案：B解析：本题主要考查了双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程，可得b=√33a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到双曲线的离心率．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，则tanπ6=ba即为b=√33a，则c=√a2+b2=2√33a，即有e=ca =2√33．故选B．11.答案：D解析：本题主要考查了正弦定理，和差角公式的综合应用，属于中档试题．由已知结合正弦定理可求cos B，进而可求B，然后结合三角形的内角和及和差角公式进行化简可求A，从而可得△ABC为正三角形可求．解：∵acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理可得，sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB ， ∴sin(A +C)=2sinBcosB =sinB ， ∵sinB ≠0， ∴cosB =12， ∵0<B <π， ∴B =13π，∵cos2B +2sinAsinC =1， ∴sinAsinC =34，∴sinAsin(2π3−A)=34，化简可得，，，∴sin(2A −π6)=1，∵0<A <π， ∴A =13π=B =C ，∴△ABC 为正三角形，则a −2b +c =0， 故选：D ．12.答案：D解析：本题考查了直线和椭圆的位置关系，属于基础题． 根据题意，可得△=64m 2−20(4m 2−4)>0，即可得解． 解：由{y =x +mx 24+y 2=1， 得5x 2+8mx +4m 2−4=0， 由直线y =x +m 与椭圆x 24+y 2=1有两个不同的交点，得：△=64m2−20(4m2−4)>0，解得：−√5<m<√5，故选：D．13.答案：y=−1解析：本题主要考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，属于基础题．求导函数f′(x)=e x−1，确定切线的斜率与切点的坐标，即可得到切线方程．求导函数可得f′(x)=e x−1，当x=0时，f′(0)=e0−1=0，∵f(0)=e0−0−2=−1，∴切点为(0,−1)，∴曲线f(x)=e x−x−2在点(0,f(0))处的切线方程是y=−1，故答案为y=−1．14.答案：−5解析：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，即可求得答案．解：由x，y满足约束条件{x+2y≤ 12x+y≥−1x−y≤0作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立{x +2y =12x +y =−1，解得A(−1,1)． ∴z =3x −2y 的最小值为−3×1−2×1=−5．故答案为：−5．15.答案：961解析：本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用． 由已知条件推导出{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1，进而判断a n −18的符号，去掉绝对值后结合等比数列的求和进行求解．解：∵S n =2a n −1(n ∈N ∗)，∴n =1时，a 1=S 1=2a 1−1，解得a 1=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2a n −2a n−1，整理，得a n =2a n−1，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n =1×2n−1=2n−1．n ≥6，a n −18>0∴|a 1−18|+|a 2−18|+⋯+|a 10−18|=−a 1+18−a 2+18+⋯−a 5+18+a 6−18+···+a 10−18=S 10−2S 5=1−2101−2−2×1−251−2=961．故答案为961．16.答案：256π3解析： 本题主要考查球的内接多面体，正、余弦定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于一般题．该三棱锥的外接球，即为以△ABC 为底面以SA 为高的直三棱锥的外接球，利用正弦定理求出r ，然后求解球的半径，即可得到球的表面积．解：由余弦定理得，AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos60°=7，该三棱锥的外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的直三棱锥的外接球，∵在△ABC中，设△ABC的外接圆半径为r，则ACsin60∘=2r，∴r=7√3，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=√5，∴球的半径R=√5+493=√643．∴该三棱锥的外接球的表面积为4π×643=256π3．故答案为：256π3．17.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．∴a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，联立解得：a1=−2，d=2，b1=12，q=2，∴a n=−2+2(n−1)=2n−4，b n=2n−2．(2)数列{nb n}的前n项和S n=12+2+3×2+4×22+⋯…+n⋅2n−2，∴2S n=1+2×2+3×22+⋯…+(n−1)⋅2n−2+n⋅2n−1，∴−S n=12+1+2+22+⋯…+2n−2−n⋅2n−1=12(2n−1)2−1−n⋅2n−1，化为：S n=(n−1)⋅2n−1+12．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a2=0，b2=1，且a3=b3，a4= b4.a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，联立解得：a1，d，b1，q，利用通项公式即可得出．(2)利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)∵PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO依题意△BCD是等边三角形，E为棱BC的中点，∴BC⊥DE，又PO∩DE=O，PO，DE⊂平面PED，∴BC⊥平面PED，∵BC⊂平面BCF，∴平面PED⊥平面BCF．解：(Ⅱ)取AD的中点G，连结BG，FG，∵底面ABCD是菱形，E是棱BC的中点，∴BG//DE，∵BG⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，∴BG//平面PDE，∵BF//平面PDE，BF∩BG=B，∴平面BGF//平面PDE，又平面BGF∩平面PAD=GF，平面PDE∩平面PAD=PD，∴GF//PD，∴F为PA的中点，∵S四边形ABED =32×12×2√3×2√3×sin60°=9√32，点F到平面ABED的距离为d=PO2=1，∴四棱锥F−ABED的体积：V F−ABED=13⋅S四边形ABED⋅d=13×9√32×1=3√32．解析：(1)推导出BC⊥PO，BC⊥DE，从而BC⊥平面PED，由此能证明平面PED⊥平面BCF．(Ⅱ)取AD的中点G，连结BG，FG，从而BG//DE，进而BG//平面PDE，平面BGF//平面PDE，由此能求出四棱锥F−ABED的体积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)因为总人数为100，可填写列联表如下：(2)根据表中数据，得K2=100×(40×30−20×10)240×60×50×50=503≈16.667>10.828，所以有99.9％的把握认为学生的自律性与学生成绩有关．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，属于基础题．(1)结合抽取的100名学生，填写2×2列联表即可；(2)利用K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算观测值，对照临界值得出结论．20.答案：(1)证明：f′(x)=e x−1−2x．设f′(x)=p(x)=e x−1−2x，则p′(x)=e x−1−2，p′(x)=0，得x0=1+ln2．又函数p′(x)是单调增函数，所以x∈(−∞,x0)时，p′(x)<0；x∈(x0,+∞)时，p′(x)>0，所以f′(x)在(−∞,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增．所以f′(x)≥f′(x0)=−2ln2<0，f′(0)=1e>0,f′(4)=e3−8>0，由零点存在性定理，得f′(x)=0存在两个根x1，x2且0<x1<x0,x0<x2<4，列表，所以函数f(x)有两个极值点x1，x2．(2)解：g(x)=e x−1−x2+ax，则g′(x)=e x−1−2x+a.因为函数g(x)为增函数，所以g′(x)≥0恒成立．即e x−1−2x+a≥0，所以a≥2x−e x−1．设ℎ(x)=2x−e x−1，则ℎ′(x)=2−e x−1，由ℎ′(x)=0，得x=1+ln2，当x<1+ln2时，ℎ′(x)>0，当x>1+ln2时，ℎ′(x)<0，所以1+ln2为函数ℎ(x)的极大值点，所以ℎ(x)≤ℎ(1+ln2)=2ln2．所以a≥2ln2．解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性，属于中档题．(1)先求出函数的导数f′(x)，然后根据导函数的单调性与零点存在性定理证明出结论．(2)根据函数g(x)为增函数，转化为g′(x)≥0恒成立，利用分离参数法求解．21.答案：解：(1)P(0,4),Q(8p,4)，由|QF|=54|PQ|以及抛物线定义可知，8p+p2=54⋅8p，∵p>0，∴p=2，抛物线C的方程为y2=4x．(2)不妨设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB ：x =my +2，由{x =my +2y 2=4x，得y 2−4my −8=0，y 1y 2=−8， 故k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=16y 1y 2=−2．解析：本题考查抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．(1)利用已知条件求出p ，得到抛物线方程即可．(2)设出A 、B 坐标，直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解k 1k 2为定值． 22.答案：解：(1)由曲线M 的参数方程消去参数t ，得y 2=4x ，即曲线M 的普通方程为y 2=4x ．将ρ2=x 2+y 2，ρsinθ=y 代入圆C 的极坐标方程，得x 2+y 2+4y +3=0，即圆C 的直角坐标方程为x 2+(y +2)2=1．(2)由(1)知圆心C(0,−2)．设直线l 的参数方程为为参数)，代入曲线M 的普通方程得t 2sin 2α−4(sinα+cosα)t +4=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则， 所以， 当α=π4时等号成立，此时满足题意，所以1|CA|+1|CB|的最大值为√2．解析：本题主要考查参数方程与普通方程间的互化，极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，圆的参数方程的应用，属于中档题．(1)将曲线M 的参数方程消去参数得普通方程，将ρ2=x 2+y 2，ρsinθ=y 代入圆C 的极坐标方程得直角坐标方程;(2)利用直线l 的参数方程与曲线M 的普通方程联立，根据韦达定理及三角函数性质求最值． 23.答案：解：(1)不等式f(x)≤k ，即|2x +1|−|x −2|≤k +1，当x ≥2时，2x +1−x +2≤k +1，解得：x ≤k −2，当−12<x <2时，2x +1+x −2≤k +1，解得：x ≤k+23， 当x ≤−12时，−2x −1+x −2≤k +1，解得：x ≥−(k +4)，而不等式的解集是[−5,1]，对应[−(k +4),k+23]，故{−(k +4)=−5k+23=1， 解得：k =1，经检验，k =1时满足题意，故k =1；(2)由(1)中，得√ab 2=1，即ab =2， 故2a +4b ≥2√8ab =8，当且仅当a =2，b =1时成立．故2a +4b 的最小值为8．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想以及基本不等式的性质，是一道中档题．(1)通过讨论x 的范围求出不等式的解集，根据对应关系求出k 的值即可；(2)求出ab =2，根据基本不等式的性质，求出代数式的最小值即可．。
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2020年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（5）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（1，3）B ．（1，3]C ．[3，+∞）D ．（3，+∞）2．（5分）若复数z =a1+i +1为纯虚数，则实数a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．（5分）设x ∈R ，则“2x ＜1”是“x 3＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）cos （ωx +φ）（ω＞0）的相邻的两个对称中心的距离为1，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是（ ） A ．−3π4B ．−5π4C ．7π4D ．π25．（5分）已知程序框图如图所示，则输出的S ＝（ ）A ．4760B ．712C ．3760D ．5126．（5分）数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，∀n ∈N +，a n +2＝a n +1﹣a n ，则a 2020＝（ ） A ．1B ．5C ．﹣2D ．﹣37．（5分）已知tan(α+π4)=−2，则sin(2α−π4)的值是（ ）A ．√53B ．7√210C ．√33D ．−2√558．（5分）若直线2x +y +√m =0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2√3，则m ＝（ ） A ．√5B ．5C ．10D ．259．（5分）从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B ．抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C ．抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D ．抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为5010．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数y =√33|x |图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线x 2﹣3y 2+3＝0上，则△OAB 的面积为（ ） A ．2B ．√3C ．√32D ．√3311．（5分）在四面体ABCD 中，AD ＝DB ＝AC ＝CB ＝2，则当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球表面积为（ ） A ．20π3B ．14π3C ．4πD ．8π12．（5分）已知函数f （x ）＝x 2+ax ﹣lnx ，若m ，n ∈[1，+∞），且f(m)−f(n)m−n＞3恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．[3−2√2，+∞)C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知圆M ：x 2+y 2＝4，直线l 过点P （1，1），且以P 为中点，则直线l 的方程是 ．14．（5分）已知函数f （x ）＝lnx+11−ax为奇函数，则a ＝ ．15．（5分）已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中AB ＝2，AA 1＝3，O 为上底面中心．设正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1与正四棱锥O ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1，S 2，则S 2S 1= ．16．（5分）已知向量a →=（x ，2），b →=（﹣x ，6﹣x ），则a →•b →的最大值为 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）随着时代的发展，A 城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程．A 城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A 城市的常住人口大约为1300万．近日，某报社记者作了有关“你来A 城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25～44岁之间．收集到的相关数据如表：来A 城市发展的理由 人数合计 自然环境1．森林城市，空气清新 2003002．降水充足，气候怡人100 人文环境3．城市服务到位 150 7004．创业氛围好 300 5．开放且包容250 合计10001000 （Ⅰ）根据以上数据，预测400万25～44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A 城市发展的有多少人；（Ⅱ）从所抽取选择“自然环境”作为来A 城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品．求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；（Ⅲ）在选择“自然环境”作为来A 城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A 城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？自然环境人文环境合计男女合计附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 18．（12分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n=a bn，（﹣1）n d n＝n c n+n，求数列{d n}的前项和为T n．19．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．（1）求证：AB⊥平面ACC1A1；（2）若CD＝2，求四棱锥C1﹣A1B1CD的体积．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，点M(√3，√32)在椭圆C上，R（x0，y0）是椭圆C上的一点，从原点O向圆R：(x−x0)2+ (y−y0)2=127作两条切线，分别交椭圆于P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1•k2的值；（3）试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．（12分）已知f（x）＝2e x−13x3−1，g(x)=(x+a)2．（1）若f（x）≥g（x），求a的所有可能整数值；（2）证明：f （x ）存在唯一极小值点x ＝t 且﹣1＜t ＜﹣0.85；（3）记函数R （b ）等于直线y ＝kx +b （k 是常数）与f （x ），g （x ）的交点个数之和，若当a ＝1时R （b ）的值域是{0，2，4}，求k 的全体可能值． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数，θ∈R ）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ﹣sin θ）＝3．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 与y 轴的上下两个交点分别为P ，Q ，M 为l 上一动点，求|MP |+|MQ |的最小值．五．解答题（共1小题）23．已知x ，y 都是正数，且x ≠y ，求证： （1）xy +y x＞2；（2）2xyx+y＜√xy ．2020年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（5）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（1，3）B ．（1，3]C ．[3，+∞）D ．（3，+∞）【解答】解：A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，∁R A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}， （∁R A ）∩B ＝{x |x ≥3}＝[3，+∞）． 故选：C ． 2．（5分）若复数z =a1+i+1为纯虚数，则实数a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【解答】解：复数z =a1+i +1=a(1−i)(1+i)(1−i)+1=a(1−i)2+1=a 2+1−a2i ， 由于复数z =a1+i +1为纯虚数， ∴a2+1＝0，且−a 2≠0，∴a ＝﹣2， 故选：A ．3．（5分）设x ∈R ，则“2x ＜1”是“x 3＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：“2x ＜1”⇔x ＜0．“x 3＜1”⇔x ＜1． ∴“2x ＜1”是“x 3＜1”的充分不必要条件． 故选：A ．4．（5分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）cos （ωx +φ）（ω＞0）的相邻的两个对称中心的距离为1，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是（ ）A ．−3π4B ．−5π4C ．7π4D ．π2【解答】解：∵函数f （x ）＝sin （ωx +φ）cos （ωx +φ）=12sin2（ωx +φ）=12sin （2ωx +2φ） （ω＞0）的相邻的两个对称中心的距离为1， ∴12⋅2π2ω=1，解得ω=π2．再根据x ＝2时取得最大值，可得2•π2⋅2+2φ=2k π+π2，k ∈z ，解得 φ＝k π−3π4，k ∈z ， 故选：A ．5．（5分）已知程序框图如图所示，则输出的S ＝（ ）A ．4760B ．712C ．3760D ．512【解答】解：a ＝1，n ＝1，S ＝0； S ＝1，a ＝﹣1，n ＝2； S =1−12，a ＝1，n ＝3； S =1−12+13，a ＝﹣1，n ＝4； S =1−12+13−14=712，a ＝1，n ＝5； 跳出循环，输出结果S =712． 故选：B ．6．（5分）数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，∀n ∈N +，a n +2＝a n +1﹣a n ，则a 2020＝（ ） A ．1B ．5C ．﹣2D ．﹣3【解答】解：因为数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，∀n ∈N +，a n +2＝a n +1﹣a n ， ∴a 3＝a 2﹣a 1＝1； a 4＝a 3﹣a 2＝﹣2；a 5＝a 4﹣a 3＝﹣3； a 6＝a 5﹣a 4＝﹣1； a 7＝a 6﹣a 5＝2＝a 1； a 8＝a 7﹣a 6＝3＝a 2；∴数列{a n }是周期为6的数列； ∵2020＝6×336+4； ∴a 2020＝a 4＝﹣2； 故选：C ．7．（5分）已知tan(α+π4)=−2，则sin(2α−π4)的值是（ ） A ．√53B ．7√210C ．√33D ．−2√55【解答】解：tan(α+π4)=−2=1+tanα1−tanα，∴tan α＝3．则sin(2α−π4)=√22sin2α−√22cos2α=√22（sin2α﹣cos2α）=√22•2sinαcosα−cos 2α+sin 2αsin 2α+cos 2α=√22•2tanα−1+tan 2αtan α+1=√22•6−1+99+1=7√210， 故选：B ．8．（5分）若直线2x +y +√m =0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2√3，则m ＝（ ） A ．√5B ．5C ．10D ．25【解答】解：因为圆的圆心坐标为（0，0），半径r ＝2， 由直线被圆截得的弦长为2√3，可得圆心到直线的距离为d =22−(232)2=√m5=1，则m ＝5． 故选：B ．9．（5分）从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B ．抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C ．抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D ．抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50 【解答】解：年龄在40～45岁的频率为： 1﹣（0.01+0.05+0.06+0.02+0.02）×5＝0.2，∴抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为：100×0.2＝20人， 年龄在35～45岁频率为：1﹣（0.01+0.05+0.02+0.02）×5＝0.5，∴抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为100×0.5＝50人， 故A 正确，B ，C ，D 均错误． 故选：A ．10．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数y =√33|x |图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线x 2﹣3y 2+3＝0上，则△OAB 的面积为（ ） A ．2B ．√3C ．√32D ．√33【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点M （x ，y ）， 由题意不妨设：x 1＜0，x 2＞0，∵{x =x 1+x22y =y 1+y 22，y ═y 1+y 22=√33•x 2−x 12， 所以x 2﹣3y 2＝x 1x 2，∴x 1x 2＝﹣3，∵OA =√x 12+y 12=−2√33x 1，OB =2√33x 2，∠AOB =2π3， ∴S △AOB =12OA •OB sin ∠AOB =−√33x 1x 2=√3． 故选：B ．11．（5分）在四面体ABCD 中，AD ＝DB ＝AC ＝CB ＝2，则当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球表面积为（ ） A ．20π3B ．14π3C ．4πD ．8π【解答】解：取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AD ＝DB ＝AC ＝CB ＝2，所以CE ⊥AB ， DE ⊥AB ，DE ∩CE ＝E ，∴AB ⊥面CED ， 设AB ＝2x ，x ∈（0，2），所以BE ＝AE ＝x ， 则CE ＝DE =√4−x 2，所以当面ABC ⊥面ABD 时，四面体的体积最大，面ABC ∩面ABD ＝AB ，CE 在面ABC ，所以CE ⊥面ABD ， V =13S △CED •AB =13⋅12⋅2x ⋅√4−x 2⋅√4−x 2sin ∠CED =13x •（4﹣x 2）sin ∠CED ≤−13x 3+43x ，令f （x ）=−13x 3+43x ，x ∈（0，2）， f '（x ）＝﹣x 2+43，令f '（x ）＝0，则x =2√33， x ∈（0，2√33），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；x ∈(23√3，+∞)，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以当x =2√33，f （x ）最大，即四面体的体积最大， 即AE ＝BE =2√33，DE ＝CE =4−(233)2=2√63，设底面ABD ，侧面ABC 的外接圆圆心分别为M ，N ，则MD ＝CN 为外接圆的半径，过M ，N 分别做外接圆的垂线交于O ，则O 为外接球的球心，连接OD ，则OD 为外接球的半径R ，由题意可得sin ∠EDB =BE BD =2√332=√33，cos ∠EDB =√63，所以sin ∠ADB ＝2sin ∠EDB •cos∠EDB =2√23，所以2MD =AB sin∠ADB =2⋅2√33223，所以MD =√62，EM ＝EN ＝OM ＝DE ﹣MD =2√63−√62=√66，在△ODM 中，R 2＝DO 2＝DM 2+MO 2＝（√64）2+（√66）2=53， 所以外接球的表面积S ＝4πR 2=20π3．故选：A ．12．（5分）已知函数f （x ）＝x 2+ax ﹣lnx ，若m ，n ∈[1，+∞），且f(m)−f(n)m−n＞3恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．[3−2√2，+∞)C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）【解答】解：若m ＞n ，由f(m)−f(n)m−n＞3，得f （m ）﹣3m ＞f （n ）﹣3n 若m ＜n ，由f(m)−f(n)m−n＞3，得f （m ）﹣3m ＜f （n ）﹣3n ，令g （x ）＝f （x ）﹣3x ＝x 2+（a ﹣3）x ﹣lnx ，g '（x ）＝2x +a ﹣3−1x =2x 2+(a−3)x−1x，（x ＞0）∵g （x ）在[1，+∞）上单调递增， ∴1≥−a−34且g （1）≥0，解得a ≥2． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知圆M ：x 2+y 2＝4，直线l 过点P （1，1），且以P 为中点，则直线l 的方程是 y ＝﹣x +2 ．【解答】解：，直线与圆相交，且以P 为中点，圆心为（0，0），设圆M 的圆心为O ，则OP 直线的斜率为k =1−01−0=1，∴直线l 的斜率为﹣1， 又直线过点P （1，1），∴直线l 的方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣1），即y ＝﹣x +2． 故答案为：y ＝﹣x +2．14．（5分）已知函数f （x ）＝lnx+11−ax为奇函数，则a ＝ 1或﹣1 ． 【解答】解：因为f （x ）＝ln x+11−ax为奇函数，所求f （﹣x ）+f （x ）＝ln （1−x1+ax ⋅1+x1−ax）＝0，故1−x 21−(ax)=1，所以a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝﹣1时，f （x ）＝0符合题意， 当a ＝1时，f （x ）＝ln1+x 1−x符合题意．综上可得，a ＝1或a ＝﹣1 故答案为：1或﹣115．（5分）已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中AB ＝2，AA 1＝3，O 为上底面中心．设正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1与正四棱锥O ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1，S 2，则S 2S 1=√106． 【解答】解：如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1＝4×2×3＝24； 正四棱锥O ﹣A 1B 1C 1D 1的斜高为2+32=√10．∴正四棱锥O ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面积S 2=4×12×2×√10=4√10． ∴S 2S 1=4√1024=√106． 故答案为：√106．16．（5分）已知向量a →=（x ，2），b →=（﹣x ，6﹣x ），则a →•b →的最大值为 13 ． 【解答】解：∵向量a →=（x ，2），b →=（﹣x ，6﹣x ），∴a →⋅b →=−x 2+12﹣2x ＝﹣（x +1）2+13， ∴当x ＝﹣1时，a →•b →的最大值为13． 故答案为：13．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）随着时代的发展，A 城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程．A 城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A 城市的常住人口大约为1300万．近日，某报社记者作了有关“你来A 城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25～44岁之间．收集到的相关数据如表：来A 城市发展的理由 人数 合计 自然环境1．森林城市，空气清新 2003002．降水充足，气候怡人100 人文环境3．城市服务到位 150 7004．创业氛围好 300 5．开放且包容250 合计10001000 （Ⅰ）根据以上数据，预测400万25～44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A 城市发展的有多少人；（Ⅱ）从所抽取选择“自然环境”作为来A 城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品．求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；（Ⅲ）在选择“自然环境”作为来A 城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A 城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？自然环境人文环境合计男 女 合计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【解答】解：（Ⅰ）400×3001000=120（万）（Ⅱ）从所抽取选择“自然环境”作为来A 城市发展理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，其中4人是选择“森林城市，空气清新”，2人是选择“降水充足，气候怡人”．记事件A 为选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”，则P(A)=C 42×C 21+C 34C 63=45．（Ⅲ）2×2列联表如下自然环境 人文环境 合计 男 100 400 500 女 200 300 500 合计3007001000K 2=1000×(100×300−200×400)2300×700×500×500=100021≈47.619＞10.828，所以有99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关．18．（12分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0， a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列， 可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q +2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2， 则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）c n =a b n =2n +1﹣1， （﹣1）n d n ＝n c n +n ＝n •2n +1， 则d n ＝2n •（﹣2）n ，前项和为T n ＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n •（﹣2）n ， ﹣2T n ＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n •（﹣2）n +1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n •（﹣2）n +1 ＝﹣4+2•4(1−(−2)n−1)1−(−2)−2n •（﹣2）n +1，化简可得T n =−49−6n+29•（﹣2）n +1． 19．（12分）如图所示的几何体中，ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°． （1）求证：AB ⊥平面ACC 1A 1；（2）若CD ＝2，求四棱锥C 1﹣A 1B 1CD 的体积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°． ∴∠ACD ＝∠BAC ＝90°，∴AB ⊥AC ，∵几何体中，ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ， ∴AB ⊥AA 1，∵AC ∩AA 1＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1．（2）解：连结A 1C ，∵AB ⊥平面ACC 1A 1，CD ∥AB ， ∴CD ⊥平面CC 1A 1，∴四棱锥C 1﹣A 1B 1CD 的体积： V =V D−CC 1A 1+V C−A 1B 1C 1=13×CD ×S △A 1C 1C +13×CC 1×S △A 1B 1C 1=13×2×12×2√3×2√3+13×2√3×12×2×2√3＝8．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点M(√3，√32)在椭圆C 上，R （x 0，y 0）是椭圆C 上的一点，从原点O 向圆R ：(x −x 0)2+(y −y 0)2=127作两条切线，分别交椭圆于P ，Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求k 1•k 2的值； （3）试问|OP |2+|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）因为离心率为12，所以c 2a 2=a 2−b 2a 2=14，所以b 2=34a 2，椭圆方程可化为x 2a 2+y 234a 2=1，代入点M(√3，√32)得a 2＝4，所以椭圆方程为x 24+y 23=1．（2）因为直线OP ：y ＝k 1x 和OQ ：y ＝k 2x 都与圆R 相切， 所以100√1+k 12=√847，200√1+k 22=√847， 所以k 1，k 2是方程k 2(x 02−127)−2kx 0y 0+y 02−127=0的两根，所以k 1⋅k 2=y 02−127x 02−127，因为点R （x 0，y 0）在椭圆上所以y 02=3−34x 02，所以k 1⋅k 2=y 02−127x 02−127=−34(x 02−127)x 02−127=−34．（3）①当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）联立{y =kx 3x 2+4y 2=12得x 12=123+4k 12，y 12=12k 123+4k 12，所以x12+y12=12(1+k12)3+4k12，同理x22+y22=12(1+k22)3+4k22因为k1⋅k2=−3 4所以x22+y22=12(1+k22)3+4k22=16k12+93+4k12，所以|OP|2+|OQ|2=x12+y12+x22+y22=7(3+4k12)3+4k12=7，②当直线OP、OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2+|OQ|2＝7综上，|OP|2+|OQ|2＝7．21．（12分）已知f（x）＝2e x−13x3−1，g(x)=(x+a)2．（1）若f（x）≥g（x），求a的所有可能整数值；（2）证明：f（x）存在唯一极小值点x＝t且﹣1＜t＜﹣0.85；（3）记函数R（b）等于直线y＝kx+b（k是常数）与f（x），g（x）的交点个数之和，若当a＝1时R（b）的值域是{0，2，4}，求k的全体可能值．【解答】解：（1）令ℎ(x)=f(x)−g(x)=2e x−13x3−1−(x+a)2，则h′（x）＝2e x﹣x2﹣2x﹣2a，h''（x）＝2e x﹣2x﹣2＝2（e x﹣x﹣1），h'''（x）＝2（e x﹣1），令h'''（x）＝0，解得x＝0，当x＜0时，h'''（x）＜0，此时函数y＝h''（x）单调递减；当x＞0时，h'''（x）＞0，此时函数y＝h''（x）单调递增．所以h''（x）min＝h''（0）＝0，则h''（x）≥0，所以，函数y＝h′（x）在R上单调递增，当x→﹣∞时，h′（x）→﹣∞，当x→+∞时，h′（x）→+∞，所以存在x0∈R，使得ℎ′(x0)=2e x0−x02−2x0−2a=0，则x0+a=e x0−x02 2，且当x＜x0时，h′（x）＜0，函数y＝h（x）单调递减；当x＞x0时，h′（x）＞0，函数y＝h（x）单调递增．所以ℎ(x)min=ℎ(x0)=2e x0−13x03−1−(x0+a)2=2e x0−13x03−1−(e x0−x022)2，构造函数f1(x)=2e x−13x3−1−(e x−x22)2，f1（0）＝0，则f′1(x)=2e x−x2−2(e x−x22)2(e x−x)=−（2e x﹣x2）（e x﹣x﹣1），易知e x﹣x﹣1＞0（x≠0），令f2(x)=2e x−x2，则f2′(x)=2(e x−x)≥2(x+1−x)=2＞0，所以函数y＝f2（x）在R上单调递增，当x≥0时，f2（x）≥f2（0）＝2＞0，此时，f1'（x）≤0，即函数y＝f1（x）在[0，+∞）上单调递减，则f1（x）≤f1（0）＝0；∵f2(−1)=2e−1＜0，f2(0)=2＞0，由零点存在定理知，存在x1∈（﹣1，0），使得f2(x1)=2e x1−x12=0，且当x＜x1时，f2（x）＜0，则f′1（x）＞0，此时函数y＝f1（x）单调递增；当x1＜x＜0时，f2（x）＞0，则f1'（x）＜0，此时，函数y＝f1（x）单调递减．当x＜0时，f1（x）max＝f1（x1）＞f1（0）＝0，∵f1(−2)=6e2−1e4−73＜0，∴存在x3∈（﹣2，﹣1）使得f1（x3）＝0，则不等式h（x0）≥0的解集为[x3，0]，即x0∈[x3，0]⊆（﹣2，0]．又a=e x0−x022−x0，构造函数f3(x)=e x−x22−x，则f3′(x)=e x−x−1≥0，所以函数y＝f3（x）在R上单调递增，∵x0∈（﹣2，0]，∴1e＜a≤1，因此，a的所有可能整数值为1；（2）证明：f(x)=2e x−13x3−1，则f′（x）＝2e x﹣x2，函数y＝f′（x）在R上单调递增，由（1）知，当x≥0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′(−1)=2e−1＜0，f′(−0.85)=20.85−(−0.85)2＞0，由零点存在定理知，存在t∈（﹣1，﹣0.85），使得f′（t）＝0，当x＜t时，f′（x）＜0；当x＞t时，f′（x）＞0，所以函数y＝f（x）存在唯一极小值点x＝t且﹣1＜t＜﹣0.85；（3）当a＝1时，由（1）知，f（x）≥g（x）恒成立，当且仅当x＝0时等号成立，如图所示，若k ≤0，当直线y ＝kx +b 过点（0，1）时，则R （b ）＝3，不合乎题意；考查直线y ＝kx +b 与两个函数同时相切于点（0，1）时，则k ＝f ′（0）＝g ′（0）＝2， 此时，R （b ）＝1，不合乎题意；若0＜k ＜2，当b ＝1时，直线y ＝kx +b 过点（0，1），直线y ＝kx +b 在y 轴左侧必然会与两个函数的图象各有一个交点， 此时R （b ）＝3，不合乎题意；若k ＞2时，当b ＝1时，直线y ＝kx +b 过点（0，1），直线y ＝kx +b 在y 轴右侧必然会与两个函数的图象各有一个交点， 此时R （b ）＝3，不合乎题意． 综上所述，符合条件的实数k 不存在．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数，θ∈R ）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ﹣sin θ）＝3．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 与y 轴的上下两个交点分别为P ，Q ，M 为l 上一动点，求|MP |+|MQ |的最小值．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数，θ∈R ）．可得直角坐标方程为：x 29+y 24=1，直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ﹣sin θ）＝3．可得x ﹣y ＝3．（2）曲线C 与y 轴的上下两个交点分别为P （0，2），Q （0，﹣2），M为l上一动点，|MP|+|MQ|的最小值就是Q关于直线x﹣y＝3对称点Q′到P的距离．所以Q′（1，﹣3），|MP|+|MQ|的最小值：√22+32=√13．五．解答题（共1小题）23．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：（1）xy +yx＞2；（2）2xyx+y＜√xy．【解答】证明：（1）x，y都是正数，且x≠y，xy +yx=x2+y2xy≥2xyxy=2，当且仅当x＝y时，等号成立．因为x≠y，所以xy +yx＞2；（2）x，y都是正数，且x≠y，2xyx+y =2√xy⋅√xyx+y≤√xy(x+y)x+y=√xy，当且仅当x＝y是等号成立，因为x≠y，所以2xyx+y＜√。