指数函数(第一课时)教学设计
《指数函数》的优秀教案最新9篇
《指数函数》的优秀教案最新9篇高一数学《指数函数》优秀教案篇一我本节课说课的内容是高中数学第一册第二章第六节“指数函数”的第一课时——指数函数的定义,图像及性质。
我将尝试运用新课标的理念指导本节课的教学。
新课标指出,学生是教学的主体,教师的教要应本着从学生的认知规律出发,以学生活动为主线,在原有知识的基础上,建构新的知识体系。
我将以此为基础从教材分析,教学目标分析,教法学法分析和教学过程分析这几个方面加以说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用:函数是高中数学学习的重点和难点,函数的贯穿于整个高中数学之中。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上,进一步研究指数函数,以及指数函数的图像与性质,同时也为今后研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。
因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用。
2、教学的重点和难点:根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况,我将本节课教学重点定为指数函数的图像、性质及其运用,本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程,及指数函数图像与底的关系。
二、教学目标分析基于对教材的理解和分析,我制定了以下的教学目标:1、知识目标(直接性目标):理解指数函数的定义,掌握指数函数的图像、性质及其简单应用。
2、能力目标(发展性目标):通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类讨论,增强学生识图用图的'能力。
3、情感目标(可持续性目标):通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,培养学生勇于提问,善于探索的思维品质。
三、教法学法分析1、教学策略:首先从实际问题出发,激发学生的学习兴趣。
第二步,学生归纳指数的图像和性质。
第三步,典型例题分析,加深学生对指数函数的理解。
2、教学:贯彻引导发现式教学原则,在教学中既注重知识的直观素材和背景材料,又要激活相关知识和引导学生思考、探究、创设有趣的问题。
3、教法分析:根据教学内容和学生的状况,本节课我采用引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学。
指数函数第一课时教案
教材分析1、教材的地位和作用函数是高中数学学习的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上,进一步研究指数函数,以及指数函数的图象与性质。
它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用,研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。
因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用。
2、教法分析•采用引导发现式的教学方法•充分利用多媒体辅助教学•通过教师点拨,启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受3、学法分析•学生思维活跃,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导•从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下创设疑问,通过合作交流,共同探索,逐步解决问题4、教学目标知识与技能:了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图像,探索并理解其单调性与特殊点。
过程与方法:通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法,增强识图用图的能力情感态度价值观:通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,构建和谐的课堂氛围,培养学生勇于提问,善于探索的思维品质。
教学重点:指数函数的图像、性质教学难点:指数函数图象和性质的发现过程,及指数函数图像与底的关系。
5、教学过程一、创设情境,形成概念请同学们思考下列问题:问题1:某种细胞分裂时,每次每个细胞分裂为2个,则1个这样的细胞第1次分裂后变为2个细胞,第2次分裂后变为4个,,第3次分裂成8个,…,依此类推,那么细胞分裂的次数x与得到的细胞个数y之间的函数关系式是什么?问题2: 质量为1的某种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的50%.写出这种物质的剩留量y 随时间x(单位为年)变化的函数关系.式问题1:2()x y x N =∈问题2:*1()()2x y x N =∈设计意图:由实际问题引入,不仅能激发学生学习兴趣,而其可以培养学生解决实际问题的能力。
指数函数(第一课时)教案
指数函数教案(第一课时)教学目标培养学生自主探究的习惯和掌握研究函数的一般方法; 教学生从生活中提炼和学习数学,认识指数函数与生活的联系。
教学重难点重点:指数函数的概念、图像、性质及其运用。
难点:是指数函数图像和性质的发现过程,及指数函数图像与底的关系。
教学流程一、 复习分数指数幂(作业题)1、a a a (a>0)a a a =212121))((a a a ⋅⋅讲评:不能出现21a a a ⋅,2121)(a a a ⋅⋅等,这些都是不规范的表示法。
一般情况下:(1)根式与分数指数不同时出现n mnm a a =(2)分母与负指数不同时出现 nm nmaa1=-因为根式与分数指数形式可以统一起来,要么用根式要么用分数指数一般不混用,分母与负指数情况类似。
2、)32)(32(41214121---+b a b a讲评:(1)乘法公式在分数指数幂中仍可放心使用,如思考运用题要用到完全平方公式和立方差公式;(2)注意系数:2124122419)(3)3(---=⋅=b b b3⎩⎨⎧==为偶数为奇数n a n a a annn )a (n 4、大家已经清楚对于)0(>a a x这个表达是,x 取有理数都有意义,P49阅读材料告诉我们x 取无理数也可以,也就是指数x 可以推广到实数范围。
(为后面讲指数函数定义域是R 做准备)二、新课引入(指数函数定义)问题1:请大家比较一下2xy =与xy 2=的差别(让学生注意到自变量的位置)问题2:生活中有没有哪两个变量,它们的关系像xy 2=中因变量与自变量的关系?S :细胞分裂(分裂个数与分裂次数)、拉面、叠纸(层数与折叠次数)……T 提示:能否举一些底数不是2,可以是其它常数的S :存款利息、元素衰变如)84.0(xy =、叠纸(每一张纸面积与折叠次数xy )21(=)……T总结:从上面许许多多的实例可以看出,像xy 2=,xy )21(=等是生活中很重要的一种模型,非常有研究的必要。
人教课标版高中数学必修1《指数函数及其性质(第1课时)》教学设计
2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质第一课时一、教学目标(一)学习目标1.掌握指数函数的概念(定义、解析式).2.掌握指数函数的图像及其性质.3.灵活运用指数函数的图像及性质.(二)学习重点1.指数函数的定义和解析式.2.指数函数的图像及其性质.(三)学习难点1.指数函数的图像性质与底数a的关系.2.如何由图像、解析式归纳指数函数的性质.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第54页至第58页,填空:一般地,函数0y x且)1a=a(>a叫做指数函数(exponential function),其中x是自变量,≠函数的定义域是R.指数函数的解析式x ay=中,x a的系数是1.指数函数0y x且)1a=a(>a的图象和性质:≠(2)写一写:指数函数x a y =中为什么要规定0>a 且1≠a 呢? ①若0=a ,则当0>x 时,0=x a ;当0≤x 时,x a 无意义. ②若0<a ,则对于x 的某些数值,可使x a 无意义.③若1=a ,则对于任意的R ∈x ,1=x a 是一个常量,没有研究的必要性. 2.预习自测(1)下列函数中是指数函数的是( ) A .x y 32⋅=B .x a y =C .x y 2=D .2x y =【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】【解题过程】只有选项C 符合0(>=a a y x 且)1≠a . 【思路点拨】理解指数函数满足的条件. 【答案】C .(2)已知函数x y 2=的图象经过点),1(0y -,那么=0y ( ) A .21 B .21-C .2D .2-【知识点】指数函数图像上点的坐标.【数学思想】【解题过程】点),1(0y -满足x y 2=,则102-=y ,解得210=y . 【思路点拨】根据指数函数图像上点的坐标特征,将点),1(0y -代入x y 2=即可求得0y . 【答案】A .(3)函数x a a y 2)2(-=是指数函数,则a 的值是( ) A .1=a 或3=aB .1=aC .3=aD .0>a 且1≠a【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】【解题过程】由⎩⎨⎧=-≠>1)2(102a a a 且 解得3=a . 【思路点拨】理解指数函数的系数为1,底数范围为0>a 且1≠a . 【答案】C . (二)课堂设计 1.知识回顾(1)一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根(n th root ),其中n >1,且*∈N n(2)当n 为奇数时,a a nn=;当n 为偶数时,⎩⎨⎧<-≥=0,0,a a a a a nn(3)有理数指数幂的运算性质:),,0(Q ∈>=+s r a a a a s r s r ),,0()(Q ∈>=s r a a a rs s r ),0,0()(Q ∈>>=r b a b a ab r r r2.问题探究探究一 结合实例,认识指数函数 ●活动① 提炼概念(归纳指数函数模型) 请你想一想,这两个函数的结构有什么共同特征?①设x 年后我国的GDP 为2000年的y 倍,那么: 1.073(N ,20)x y x x *=∈≤②生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系:57301(0)2t P t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭在x y 073.1=,573021t P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=中,x ,t 是自变量,底数是一个大于0且不等于1的常量.一般地,函数(01)x y a a a =>≠且叫做指数函数(exponential function ),其中x 是自变量,函数的定义域是R .【设计意图】考虑到知识间的联系,以本章开篇的两个例子为出发点,找出两个函数表达形式上的共同特征——底数是常数而指数是自变量,进而提炼出指数函数模型x a y =. ●活动② 辨析概念(判定指数函数解析式)分析指数函数定义,你能判断下列哪些不是指数函数吗?22x y += (2)x y =- 2x y =- π=x y 2y x = 24y x =x y x = (1)(12)x y a a a =->≠且 根据指数函数的定义来判断说明:若a >0,x 是任意一个实数时,x a 是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R .若a =0,⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0x a x a x x无意义,.若a <0,如x y )2(-=,对于81,61==x x 等等,在实数范围内的函数值不存在.若a =1,11==x y 是一个常量,没有研究的意义.通过探究,你能否归纳出判断一个函数是否为指数函数的方法呢?(抢答)底数的值是否符合要求(01)a a >≠且;x a 前面的系数是否为1;指数是否符合要求. 【设计意图】通过概念辨析,加深对指数函数概念(定义及解析式)的理解,掌握指数函数解析式中的隐藏条件.探究二 探究指数函数的图像★▲ ●活动① 大胆操作 累积经验★在直角坐标系下,请用描点法分别作出函数x y 2=和函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像,并探究图像分别位于哪几个象限?与x 轴的相对位置关系如何?图像中有哪些特殊的点?图像在y 轴左、右两侧的分布情况如何?函数x y 2=的图像如图所示:由该图像可知,函数x y 2=的图像位于第一、二象限;始终在x 轴上方,且有特殊点(0,1),图像在y 轴左侧无限接近于-∞、在y 轴右侧无限接近于+∞.函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像如图所示:由该图像可知,函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像也位于第一、二象限;也始终在x 轴上方,且有特殊点(0,1),但图像在y 轴左侧无限接近于+∞、在y 轴右侧无限接近于-∞.【设计意图】通过具体的动手操作,归纳出指数函数的图像特征,以及对比底数与1的大小,培养学生学会数形结合的思想. ●活动② 巩固理解 发现性质★在同一坐标系下,你能画出函数a x y +-=和x a y =的大致图像吗?x y11O当a >1时,a x y +-=单调递增,x a y =也单调递增,且直线在y 轴交点为(0,1)上边. 【设计意图】通过一次函数和指数函数的结合,深入认识指数函数中图像底数a 的特征,培养学生数学抽象、归类整理意识. ●活动③ 反思过程 认识性质★▲在同一坐标系中,你能分别作出函数xy 2=,xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,x y 10=,xy ⎪⎭⎫⎝⎛=101的图像吗?列表如下:指数函数的图像和性质透析: 当底数a 大小不确定时,必须分a >1或0<a <1两种情况讨论函数的图像和性质, 当a >1时,x 的值越小,函数的图像越接近x 轴, 当0<a <1时,x 的值越大,函数的图像越接近x 轴,指数函数的图像都经过点(0,1),且图像都只经过第一、第二象限.【设计意图】通过观察xy 2=,xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,x y 10=,xy ⎪⎭⎫⎝⎛=101的图像特征,就可以得到xa y =的图像和特征,培养从特殊到一般的思想方法.从给出的例子到学生自行举出例子,检查反馈学生对指数函数图像的理解,加深对指数函数的认识,培养数形结合的思想方法. ●活动④ 发散思维 重新认识如图是指数函数(1)x a y =,(2)x b y =,(3)x c y =,(4)x d y =的图像,你能判断出a,b,c,d 与1的大小关系吗?x y1(4)(3)(2)(1)O我们经过实际操作,会得到(2)>(1)>1>(4)>(3),也即b >a >1>d >c .由指数函数图像特征判断指数函数底数大小的方法: 由第一象限内“底大图高”的规律判断,取特殊值x =1得函数值的大小即底数大小进行判断.【设计意图】通过学生对图像的深化认识,并通过具体的操作,归纳指数函数中图像的特征,培养学生数学抽象、归类整理意识.探究三 指数函数的概念、图像性质及其应用★▲ ●活动① 巩固基础 检查反馈例1 下列函数中是指数函数的个数是( ) ①x y 32-= ②13+=x y ③x y 3= ④3x y = A .0个B .1个C .2个D .3个【知识点】指数函数的定义. 【数学思想】类比归纳思想.【解题过程】只有函数x y 3=和13+=x y 符合指数函数定义)1,0(≠>=a a a y x ,则上述函数中有2个是指数函数.【思路点拨】理解指数函数的定义形式,进行运用. 【答案】C .同类训练 已知函数x a a a x f ⋅+-=)33()(2是指数函数,则a 的值为( ) A .1B .2C .1或2D .0>a 且1≠a【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】【解题过程】由指数函数定义得⎩⎨⎧≠>=+-101332a a a a 且,故2=a .【思路点拨】根据指数函数的定义进行求解待定系数即可. 【答案】B .例2 已知指数函数x a x f =)(的图像经过点(-1,3),则f (2)=( )A .31B .91C .3D .9【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】【解题过程】由过点(-1,3)得xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(,则91)2(=f .【思路点拨】通过指数函数的解析式形式求解. 【答案】B .同类训练 已知函数b x x f b x ,42(3)(≤≤=-为常数)的图像经过点)(1,2,则)(x f 的取值范围为( ) A .[]81,9B .[]9,3C .[]9,1D .[)∞+,1【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】【解题过程】23)(-=x x f ,且42≤≤x ,故9)(1≤≤x f .【思路点拨】通过求得指数函数解析式,再求其定义域下的值域. 【答案】C .【设计意图】掌握指数函数的基本概念、定义,以及解析式的常规应用. ●活动② 强化提升 灵活应用例3 要使t x g x +=+13)(的图像不经过第二象限,则t 的取值范围是( ) A .1-≤tB .1-<tC .3-≤tD .3-≥t【知识点】指数函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】函数t x g x +=+13)(过定点)3,0t +(且为增函数,则03≤+t ,得到3-≤t . 【思路点拨】通过指数函数过定点和其图像特征列出不等式解得范围. 【答案】C .同类训练 已知1,10-<<<b a ,则函数b a y x +=的图象必定不经过( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【知识点】指数函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】图像恒过点(0,1+b ),且1-<b ,故)1,0(b +在y 轴的负半轴上,也即图像不经过第一象限.【思路点拨】通过图像过定点这一图像特征进行判断图像的位置. 【答案】A .例4 函数)1()(||>=a a x f x 的图像是( )xy1Oxy1Oxy 1Oxy1OA .B .C .D .【知识点】指数函数的图像和性质、奇偶性的函数图像. 【数学思想】数形思想和分类讨论思想.【解题过程】去绝对值,可得(0)1(0)x x a x x a ⎧≥⎪⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩,又因为a >1,由指数函数图像易知选A .【思路点拨】通过指数函数图像和性质求解即可. 【答案】A .同类训练 已知指数函数(1)x m x f =)(,(2)x n x g =)(满足不等式01>>>m n ,则它们的图像是( )xy (2)(1)1Oxy (2)(1)1Oxy(2)(1)1Oxy(2)(1)1OA .B .C .D .【知识点】指数函数的图像和性质. 【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】由01>>>m n 可知(1)(2)为两条单调递减曲线,再选特殊点x =1,(1)(2)对应的函数值分别为m 和n ,由n m <可知选C .【思路点拨】首先根据底数的范围判断图像的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 【答案】C .【设计意图】通过对比指数函数图像的各种形式,从图像中探索指数函数的底数问题,体会到分类讨论和数形结合的思想,培养学生的思维转化能力,以及图像的运用能力. ●活动③ 深入探究 实际应用例 5 若关于x 的方程)1,0(21≠>=-a a a a x 且有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是 .【知识点】指数函数图像的应用. 【数学思想】分类讨论思想和换元思想.【解题过程】由题得,函数1-=x a y 与a y 2=有两个交点;①当0<a <1时,又满足有两个交点,则0<2a <1,即102a <<,如图所示:k 无解?有一解?有两解? 【知识点】指数函数的值域、图象. 【数学思想】数形结合和分类讨论的思想.【解题过程】将方程分解成函数|13|-=x y 和k y =,首先画出|13|-=x y 的图象,如图所示:x y y=k1O由图可知,当函数0<=k y ,两函数无交点,方程k x =-|13|无解;当0==k y 时,两函数有一个交点,方程k x =-|13|有一解;当10<=<k y 时,两函数有两个交点,方程k x =-|13|有两解;当1≥=k y 时,两函数有一个交点,方程k x =-|13|有一解.【思路点拨】该类问题可将函数转化为常见的函数图像的交点问题,分类讨论交点个数,判断解的个数.【答案】当0<k 时,k x =-|13|无解;当0=k 和1≥k 时,k x =-|13|有一解;当10<<k 时,k x =-|13|有两解.例6 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字).【知识点】指数函数的图象及其实际应用. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】设这种物质量初的质量是1,经过x 年,剩留量是y .经过1年,剩留量()1184.0%841=⨯=y ;经过2年,剩留量()2284.0%841=⨯=y ;……一般地,经过x 年,剩留量x y 84.0=. 根据这个函数关系式可以列表如下:用描点法画出指数函数x y 84.0=的图象.从图上看出y =0.5只需x ≈4.【思路点拨】通过恰当假设,将剩留量y 表示成经过年数x 的函数,并可列表、描点、作图,进而求得所求. 【答案】4年.同类训练 某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为b ,2009年该市生活垃圾量为a 吨,由此可预测2019年垃圾量为( ) A .)101(b a +吨B .)91(b a +吨C .10)1(b a +吨D .9)1(b a +吨【知识点】指数函数的实际应用. 【数学思想】递推法.【解题过程】先逐年计算前几年的生活垃圾量,再递推可得. 【思路点拨】关注指数函数的实际应用中的指数递增的特征. 【答案】C .【设计意图】从图像中发现性质并应用性质,体会方程和方程分解为函数的思想,数形结合的思想,培养学生的思维转化能力、分类讨论能力,以及图像的运用能力.从生活的具体到数学的数字抽象,体会指数函数的指数递增规律. 3.课堂总结 知识梳理(1)定义:一般地,函数(01)x y a a a =>≠且叫做指数函数(exponential function ),其中x 是自变量,函数的定义域是R . (2)指数函数的图象与性质:(3)指数函数的图像特征:(4)指数函数记忆口诀:指数增减要看清,抓住底数不放松;反正底数大于0,不等于1已表明;底数若是大于1,图像从下往上增,底数0到1之间,图像从上往下减,无论函数增或减,图像都过(0,1)点. 重难点归纳(1)在解决指数函数有关问题时,如果底数a 大小不确定,那么必须分a >1和0<a <1两种情况讨论.(2)利用指数函数的性质(单调性)课比较两个数的大小:当x >0时,同底数幂,0<a <1时,幂大指数小,a >1时,幂大指数大. (三)课后作业 基础型 自主突破1.若函数x a a x f ⋅-=)321()(是指数函数,则=)21(f ( )A .2B .2-C .22-D .22【知识点】指数函数的定义. 【数学思想】【解题过程】由题意,131201a a a ⎧-=⎪⎨⎪>≠⎩且,得8=a ;则xx f 8)(=,即228)21(21==f .【思路点拨】由指数函数的定义和解析式即可求解. 【答案】D .2.已知函数)(x f 是指数函数,且255)23(=-f ,则=)(x f .【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】【解题过程】设)1,0()(≠>=a a a x f x且,由255)23(=-f 得232212355---==a ,解得5=a .【思路点拨】利用指数函数的定义解未知数即可. 【答案】x 5.3.下列函数中,随x 的增大,增长速度最快的是( )A .)(50Z ∈=x yB .x y 1000=C .124.0-⋅=x yD .x e y ⋅=1000001【知识点】指数函数的实际应用. 【数学思想】【解题过程】指数函数增长速度最快,且2>e ,因而x e y ⋅=1000001增长最快.【思路点拨】直接根据幂函数、正比例函数、指数函数的增长差异得出结论. 【答案】D .4.函数xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(的图像是( )xy1Oxy1Oxy1Oxy1OA .B .C .D .【知识点】指数函数的解析式、图像. 【数学思想】数形结合的思想. 【解题过程】由于1310<<,所以指数函数单调递减,且函数过定点)1,0(. 【思路点拨】熟练掌握关于指数函数底数不同时的函数图像问题. 【答案】B .5.设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab,那么( )A .10<<<a bB .10<<<b aC .1>>b aD .1>>a b【知识点】指数函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】根据函数xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21)(在R 上是减函数,由1212121<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab得01>>>a b .【思路点拨】掌握指数函数单调性这一基本性质. 【答案】B .6.已知()x f x a -=(0a >且1)a ≠,且(2)(3)f f ->-,则实数a 的取值范围是 . 【知识点】指数函数的解析式、单调性的应用. 【数学思想】【解题过程】由xxa ax f ⎪⎭⎫⎝⎛==-1)(且(2)(3)f f ->-,则)(x f 单调递增,即11>a .【思路点拨】.由指数函数的解析式和单调性可得. 【答案】)1,0( 能力型 师生共研7.某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50吨,如果按照这样的年增长率计算,则该钢厂2010年的年产量约为( ) A .60万吨B .61万吨C .63万吨D .64万吨【知识点】指数函数的实际应用. 【数学思想】【解题过程】可设年增长率为x ,根据题意列方程得50)1(4010=+x ,解得45)1(10=+x ,如果按照这样的年增长率计算,则该钢厂2010年的年产量约为635.624540)1(40220≈=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+x .【思路点拨】可设年增长率为x ,第一年(1990年)产量为)1(40x +,第二年(1991年)产量为2)1(40x +,...,列出指数函数方程求解x ,再解答该钢厂2010年的年产量即可两个集合相等,则两个集合的元素对应相等. 【答案】C .8.若函数b a y x +=的部分图像如图所示,则( )B .10,10<<<<b aC .01,1<<->b aD .10,1<<>b a【知识点】指数函数的定义、解析式、图像及其性质. 【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】由图像可以看出,函数为减函数,故10<<a ,又由函数x a y =过定点)1,0(,则函数b a y x +=过定点)1,0(+b ,即01<<-b . 【思路点拨】根据指数函数的图像和性质即可判断. 【答案】A . 探究型 多维突破9.设函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且在区间[]21,上的最大值比最小值大2a,求a 的值. 【知识点】指数函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合、分类讨论的思想.【解题过程】当1>a 时,函数)(x f 在区间[]21,上单调递增,所以2)1()2(2aa a f f =-=-,解得23=a 或0=a (舍去); 当10<<a 时,函数)(x f 在区间[]21,上单调递减,所以2(1)(2)2a f f a a -=-=,解得21=a 或0=a (舍去).【思路点拨】正确理解指数函数的图像和性质,注意指数函数底数的分情况讨论就不会漏掉部分答案. 【答案】23=a 或21=a . 10.在下列函数中,二次函数bx ax y +=2与指数函数xa b y ⎪⎭⎫⎝⎛=的图像只可能是( )【知识点】指数函数图像的应用.【数学思想】数形结合、分类讨论、排除法的思想.【解题过程】根据xa b y ⎪⎭⎫⎝⎛=可知b a ,同号且不相等,则二次函数bx ax y +=2的对称轴02<-a b 可排除 B 和D 选项;选项C 中,0,0<>-a b a ,所以1>ab,则指数函数单调递增,故选项C 不正确,因此选项D 正确.【思路点拨】分类讨论b a ,的取值排除错误图像即可. 【答案】D . 自助餐1.若函数x a a a y )33(2+-=是指数函数,则( ) A .0>a 且1≠aB .1=aC .1=a 或2=aD .2=a【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】【解题过程】若函数x a a a y )33(2+-=是指数函数,则1332=+-a a ,解得1=a 或2=a ;又∵指数函数的底数0>a 且1≠a ,故2=a .【思路点拨】利用指数函数的定义和解析式底数的条件求解. 【答案】D .2.在同一坐标系下,函数a x y +-=和x a y =图象可能是( )A .B .C .D .【知识点】指数函数的图象及其性质. 【数学思想】数形结合、分类讨论的思想.【解题过程】当1>a ,易知a x y +-=单调递减,x a y =单调递增,且直线在y 轴交点为)1,0(上边,故选项D 是符合题意的.【思路点拨】分类讨论函数的单调性. 【答案】D .3.函数)1,0()(2≠>=-a a a x f x 的图象过定点( ) A .()1,0B .()0,1C .()0,2D .()1,2【知识点】指数函数的定义、解析式和图象的平移. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】x a y =的图象沿着x 轴向右平移2个单位得到2-=x a y ,故过定点()1,2. 【思路点拨】由指数函数的定义和解析式出发,探索图象的平移问题. 【答案】D .4.已知集合},24|{},|{2M x y y N x x x M x∈==>=,则=⋂N M ( )A .}210|{<<x xB .}121|{<<x x C .}10|{<<x x D .}21|{<<x x【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】【解题过程】集合}10|{<<=x x M ,集合}221|{<<=y y N ,求其交集为}121|{<<x x . 【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合N M ,,再利用交集的运算即可得出. 【答案】B .5.按复利计算利率的储蓄,存入银行2万元,如果年息3%,5年之后支取,本利和应为人民币( )元. A .5)3.01(2+B .5)03.01(2+C .4)3.01(2+D .4)03.01(2+【知识点】指数函数的实际应用. 【数学思想】【解题过程】由题意,存入银行2万元后,每一年的本利和都是前一年的03.131=+%,故五年之后支取,本利和应为人民币5)03.01(2+⋅.【思路点拨】根据找出每一年的本利和和前一年的关系进行求解. 【答案】B .21 / 21 6.若函数1()(4)212xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数,则实数a 的取值范围为( )A .()∞+,1B .)(8,1C .)(8,4D .[)8,4 【知识点】指数函数单调性的应用.【数学思想】数形结合以及分类讨论思想.【解题过程】因为)(x f 在R 上是增函数,故在(]1,∞-上和),1(+∞上都单调递增,即)1(>=x a y x 和(4)1(1)2a y x x =-+≤都是增函数,且(4)12a y x =-+在(]1,∞-上的最大值不大于x y a =在),1(+∞上的最小值. 由此可得111408244122⎧⎪>>⎪⎧⎪⎪->⇒<⎨⎨⎪⎪≥⎩⎪⎛⎫-⋅+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩a a a a a a a ,解得48a ≤<. 【思路点拨】由分段函数结合图象对参数进行讨论.【答案】D .。
指数函数第1课时教案
指数函数第1课时教案指数函数【教学目标】1.理解指数函数的概念,能正确表述指数函数的定义域,能区分指数函数与幂函数.2. 能用描点法作指数函数的图象..3.体会数学与现实生活的联系;体会研究具体函数方法,如具体到一般的过程、数形结合等.【教学重点】理解指数函数的概念.【教学难点】指数函数的判断以及用五点法做出函数图像.【教学方法】这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法.本节课由生活中的真实例子导入新课,引入指数函数的定义,并通过一组练习深化指数函数的定义.先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象,然后在教师的启发下,指导学生利用函数的图象了解函数的有关性质.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,一个这样的细胞分裂5次后,得到个细胞;分裂8次后,得到个细胞;若分裂次,得到的细胞个数与之间的关系是 .(2)有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩下绳子的一半,……,剪了4次后剩下米;剪去次后绳子剩下的长度米与之间的关系是 .教师分析解题的过程,得到y=2x 和y=(1/2)x..通过实例引入,让学生得到指数函数的一些特征,从而有了感性认识,对理解和掌握指数函数的定义、性质会起到很好的帮助作用.新课新课新课一、指数函数的定义一般地,函数y=ax (a>0且a¹1,xîr)叫做指数函数.其中x是自变量,定义域为r.探究1y=2×3x是指数函数吗?探究2为什么要规定a>0,且a≠1呢?(1) 若a=0,则当x>0时,ax =0;当x≤0时,ax无意义.(2) 若a<0,则对于x的某些数值,可使ax无意义.如 (-2)x,这时对于x=14 ,x=12 ,…等等,在实数范围内函数值不存在.(3) 若a=1,则对于任何x r,ax=1,是一个常量,没有研究的必要性.为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a1.在规定以后,对于任何x r,ax都有意义,且 ax>0. 因此指数函数的定义域是r,值域是 (0,+∞).【例1】判断下列函数是否是指数函数?① ; ② ; ③ ; ④练习1 指出下列函数哪些是指数函数:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7) .二、指数函数的图象和性质【例2】在同一坐标系中分别作出函数y=2x和y=(12)x的图象.(1)列表:略.(2)描点:略.(3)连线:略.练习2 作函数y=3x与y=(13)x的图象.【例3】观察例1所作函数的图象,完成下表:函数定义域值域与轴的交点图象位置、升降趋势练习3仿照例3,结合例2的试金石,自制完成表格.函数定义域值域与轴的交点图象位置、升降趋势【思考题】若指数函数的图像过点,求,, .教师板书课题.通过探究问题,教师强调指数函数的解析式y=ax中,ax的系数是1.学生分组合作探究教师提出的问题.教师在学生分组探究的过程中要注意巡视指导.师:函数的图象是研究函数性质的有力工具,那么指数函数的图象是怎样的?如何作指数函数的图象呢?教师引导学生一起把描出的点用光滑的曲线连接起来,得到指数函数y=2x的图象.重复描点、连线的步骤,在同一坐标系中完成指数函数y=(12)x的图象.请同学分组完成练习2,教师巡查指导.学生完成题目后,利用实物投影将学生的解答投影到屏幕.师:指数函数:y=2x,y=(12)x,y=3x与y=(13)x的图象有什么共同的特征?又有哪些不同?师:你能用学过的数学语言来表示这些函数的性质吗?教师引导学生用数学语言来表示这些函数的性质.学生分组,采用小组合作形式完成.全体学生一起回答.学生分组,采用小组合作形式完成.由实例的引入,进而归纳出这种自变量在指数位置上的函数——指数函数.对于a>0,且a≠1这一点,学生容易忽略,通过讨论研究,可以加深学生的印象,从而把新旧知识衔接得更好.同时又可以强化学生对指数函数的定义的理解记忆.让学生完成画图过程,从画图过程中加深对指数函数的感性认识.有条件的学校可以让学生通过计算机画图软件上机操作.为了学习指数函数的性质,先引导学生观察四个函数的图象特征,从而顺理成章地总结出指数函数的性质,这符合人认识问题的一般规律:由特殊到一般,学生很容易接受.增加本例是为学生顺利学习指数函数性质做准备.增加此思考题是想对本节课的知识点做个简单整合,也为后续的学习做些准备.小结1.指数函数的定义;2.指数函数的图象与有关性质.师生共同回顾本节主要内容,加深理解指数函数的概念、图象并了解有关性质.简洁明了概括本节课的重要知识,学生易于理解记忆.作业1.必做题:《导学》上的《导练》选做题:教材 p103,练习第2题;习题第2题.2.计算机上的练习在同一坐标系中画出函数y=10x与y=(110)x的图象,并指出这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系(操作步骤参照教材167页).标记作业.针对学生实际,对课后书面作业实施分层设置,安排基本练习题和计算机上的练习两层.。
《5.2指数函数》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21基础模块下册
《指数函数》教学设计方案(第一课时)一、教学目标1. 掌握指数函数的定义和性质;2. 能够根据实际情境正确建立指数函数的模型;3. 提高学生运用指数函数解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点:掌握指数函数的定义和性质;2. 教学难点:正确建立指数函数的模型,解决实际问题。
三、教学准备1. 准备教学用具:黑板、白板、笔、几何画板等;2. 准备教学资料:指数函数的相关图片、视频、案例等;3. 准备教学评估表,以便课后进行教学评估。
四、教学过程:(一)导入新课1. 回顾初中所学函数知识,如正比例函数、反比例函数等,并指出指数函数是其中的一种常见函数。
2. 展示一些实际生活中指数函数的例子,如细胞分裂、放射性物质的衰变等,帮助学生理解指数函数的概念。
(二)探索新知1. 介绍指数函数的定义:形如y=a^x(a>0且a≠1)的函数称为指数函数。
2. 讲解指数函数的性质,如单调性、图像等。
3. 举例说明指数函数在实际生活中的应用,如股票投资、生物生长等。
(三)实践活动1. 让学生自己动手画一些指数函数的图像,通过观察图像来加深对指数函数性质的理解。
2. 让学生利用指数函数的性质解决一些实际问题,如计算投资回报率等。
(四)课堂小结1. 回顾本节课所学的指数函数的定义、性质和图像等知识点。
2. 强调指数函数在实际生活中的应用,帮助学生认识到数学知识的实用价值。
3. 鼓励学生积极探索,发现更多与指数函数相关的知识。
(五)布置作业1. 完成课后练习题。
2. 搜集一些生活中指数函数的例子,加深对指数函数的理解。
教学设计方案(第二课时)一、教学目标1. 学生能够理解指数函数的概念,掌握其表达式。
2. 学生能够运用指数函数知识解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和应用能力。
二、教学重难点1. 教学重点:指数函数的概念和表达式的理解与应用。
2. 教学难点:如何将实际问题转化为指数函数模型。
三、教学准备1. 准备教学素材:搜集一些实际问题及指数函数的相关图片或视频。
指数函数第一课时教学设计
(三)知识应用
1 定点问题
例 1: y f x a x2 1 a 1 必过定点
2 引导学生归纳总结定点问题的处理方法: a0 1
学生练习:
函数 y 4 a x1 的图象过定点
2 单调性应用
(1) y 2 ax 在定义域内是减函数, a 的范围
例 2 比较下列各题中两个值的大小
1 学生思考:
细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次由 4 个分 裂成 8 个,如此下去,如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细胞个数 y 与次数 x 的函数关
系式是什么?这个函数式与 y= x2 有什么不同?
2 引导学生归纳
一般地,函数
(
)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为
.
3 引导学生观察
(2)指数函数解析式 y=ax(a>0,且 a≠1)的特征: ①底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数,不含有自变量 x; ②指数位置是自变量 x,且 x 的系数是 1; ③ax 的系数是 1. 一个函数解析式只有完全满足上述条件时才是指数函数.
练习:
4 学生
(二)指数函数的图像与性质
1 请学生动手画出下列函数的图像
(1) y 2x
(2) y 1 x 2
(3) y 3x
请学生到黑板上作图,引导学生归纳图像和性质
a>1
(4) y 1 x 义域
质
值域
过定点 单调性
过定点 是 R 上的
,即 x= 时,y= 是 R 上的
2)从上图中总结出一般性结论为:
(1) y a x 与 y 1 x 的图像关于 y 轴对称 a
(四)知识小结
教学设计1: 指数函数(一)
3.1.2 指数函数(一)一.教学目标:1.知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景;②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想;2.情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.②培养学生观察问题,分析问题的能力.3.过程与方法展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质.二.重、难点重点:指数函数的概念和性质及其应用.难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用.三、学法与教具:①学法:观察法、讲授法及讨论法.②教具:多媒体.教学过程提出问题1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.(y=0.84x)2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.(y=2x)提出问题(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?(4)为什么指数函数的定义域是实数集?(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数?请你说出它的步骤.活动:先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值. 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量. 问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.问题(4)在(3)的规定下,我们可以把a x 看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义. 问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.讨论结果:(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x 都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1,0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x 和y .(2)对于两个解析式y =0.84x 和y =2x ,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示,这样我们得到指数函数的定义:一般地,函数y =a x (a >0,a ≠1)叫做指数函数,其中x 叫自变量,函数的定义域是实数集R . (3)a =0时,x >0时,a x 总为0;x ≤0时,a x 没有意义.a <0时,如a =-2,x =21,a x =(-2)21=2-显然是没有意义的.a =1时,a x 恒等于1,没有研究的必要.因此规定a >0,a ≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.(4)因为a >0,x 可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R .(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数. 提出问题(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢? (2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤. (3)利用上面的步骤,作函数y =2x 的图象. (4)利用上面的步骤,作函数y =(21)x的图象. (5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗? (7)把y =2x 和y =(21)x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗? (8)你能证明上述结论吗? (9)能否用y =2x 的图象画y =(21)x的图象?请说明画法的理由. 活动:教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识. 讨论结果:(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.(2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象. (3)列表.作图如图1图1(4)列表. 作图如图2图2(5)通过观察图1,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x 轴上方,说明值域大于0.图象经过点(0,1),且y 值分布有以下特点,x <0时0<y <1,x >0时y >1.图象不关于x 轴对称,也不关于y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.通过观察图2,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x 轴上方,说明值域大于0.图象经过点(0,1),x <0时y >1,x >0时0<y <1.图象不关于x 轴对称,也不关于y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数. 可以再画下列函数的图象以作比较,y =3x ,y =6x ,y =(31)x ,y =(61)x .重新观察函数图象的特点,推广到一般的情形.(6)一般地,指数函数y =a x 在a >1和0<a <1的情况下,它的图象特征和函数性质如下表所示.一般地,指数函数y =a x 在底数a >1及0<a <1这两种情况下的图象和性质如下表所示:(7)在同一坐标系中作出y=2x和y=(2)x两个函数的图象,如图3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y轴对称.图3(8)证明:设点p(x1,y1)是y=2x上的任意一点,它关于y轴的对称点是p1(-x1,y1),它满足方程y=(21)x=2-x,即点p1(-x1,y1)在y=(21)x的图象上,反之亦然,所以y=2x和y=(21)x两个函数的图象关于y轴对称.(9)因为y=2x和y=(21)x两个函数的图象关于y轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处.应用示例例1判断下列函数是否是一个指数函数?y=x2,y=8x,y=2·4x,y=(2a-1)x(a>21,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2.活动:学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=a x的形式,教师强调y=a x的形式的重要性,即a前面的系数为1,a是一个正常数(也可是一个表示正常数的代数式),指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.解:y =8x ,y =(2a -1)x (a >21,a ≠1),y =(-4)x ,y =πx 是指数函数;y =x 2,y =2·4x ,y =6x 3+2不是指数函数. 变式训练函数y =23x ,y =a x +k ,y =a -x ,y =(a 2)-2x (a >0,a ≠1)中是指数函数的有哪些? 答案:y =23x =(23)x ,y =a -x =(a 1)x ,y =(a 2)-2x =[(a2)-2]x 是指数函数.例2比较下列各题中的两个值的大小: (1)1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1.活动:学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出(最好用实物投影仪展示写得正确的答案),比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.解法一:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出y =1.7x 的图象,如图4.图4在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.解法二:用计算器直接计算:1.72.5≈3.77,1.73≈4.91, 所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.7.3>0.93.1.解法三:利用函数单调性,①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y =1.7x ,当x =2.5和3时的函数值;因为1.7>1,所以函数y =1.7x 在R 上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73; ②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y =0.8x ,当x =-0.1和-0.2时的函数值;因为0<0.8<1,所以函数y =0.8x 在R 上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2;③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.点评:在第(3)小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值. 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用?活动:学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现. 变式训练1.已知a =0.80.7,b =0.80.9,c =1.20.8,按大小顺序排列a ,b ,c . 答案:b <a <c (a 、b 可利用指数函数的性质比较,而c 是大于1的). 2.比较a 31与a 21的大小(a >0且a ≠0).答案:分a >1和0<a <1两种情况讨论.当0<a <1时,a 31>a 21;当a >1时,a 31<a 21.例3求下列函数的定义域和值域:(1)y =241-x ;(2)y =(32)||x -;(3)y =10112-+x x .活动:学生先思考,再回答,由于指数函数y =a x ,(a >0且a ≠1)的定义域是R ,所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使指数有意义即可,转化为解不等式. 解:(1)令x -4≠0,则x ≠4,所以函数y =241-x 的定义域是{x ∈R ∈x ≠4},又因为41-x ≠0,所以241-x ≠1,即函数y =241-x 的值域是{y |y >0且y ≠1}.(2)因为-|x |≥0,所以只有x =0. 因此函数y =(32)||x -的定义域是{x ∈x =0}.而y =(32)||x -=(32)0=1,即函数y =(32)||x -的值域是{y ∈y =1}.(3)令12+x x ≥0,得12+x x ≥0,即11+-x x ≥0,解得x <-1或x ≥1, 因此函数y =10112-+x x 的定义域是{x ∈x <-1或x ≥1}.由于12+x x -1≥0,且12+x x≠2,所以112-+x x ≥0且112-+x x ≠1. 故函数y =10112-+x x的值域是{y ∈y ≥1,y ≠10}.点评:求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y >0. 变式训练求下列函数的定义域和值域: (1)y =(21)22x x -;(2)y =91312--x ;(3)y =a x -1(a >0,a ≠1). 答案:(1)函数y =(21)22x x -的定义域是R ,值域是[21,+∞);(2)函数y =91312--x 的定义域是[21-,+∞),值域是[0,+∞);(3)当a >1时,定义域是{x |x ≥0},当0<a <1时,定义域是{x |x ≤0},值域是[0,+∞). 知能训练课本P 58练习 1、2. 【补充练习】1.下列关系中正确的是( )A .(21)32<(51)12<(21)31B .(21)31<(21)32<(51)32C .(51)32<(21)31<(21)32D .(51)32<(21)32<(21)31答案:D2.函数y =a x (a >0,a ≠1)对任意的实数x ,y 都有( ) A .f (xy )=f (x )·f (y ) B .f (xy )=f (x )+f (y ) C .f (x +y )=f (x )·f (y ) D .f (x +y )=f (x )+f (y ) 答案:C3.函数y =a x +5+1(a >0,a ≠1)恒过定点________. 答案:(-5,2) 拓展提升探究一:在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,比较这三个函数增长的快慢.活动:学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,如图5.图5从表格或图象可以看出:(1)x<0时,有2x>3x>10x;(2)x>0时,有2x<3x<10x;(3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1 024,而函数y=3x的值从1增加到59 049.这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快.因此得:一般地,a>b>1时,(1)x<0时,有a x<b x<1;(2)x=0时,有a x=b x=1;(3)x>0时,有a x>b x>1;(4)指数函数的底数越大,x>0时其函数值增长就越快.探究二:分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图6),对照底数为2、3、5的指数函数的图象,研究指数函数y=a x(0<a<1)中a对函数的图象变化的影响.图5由此得:一般地,0<a<b<1时,(1)x>0时,有a x<b x<1;(2)x=0时,有a x=b x=1;(3)x<0时,有a x>b x>1;(4)指数函数的底数越小,x>0时,其函数值减少就越快.课堂小结1.指数函数的定义.2.指数函数的图象和性质.3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法.4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法.作业课本P59习题2.1 A组5、6、8、10.。
最新人教版高一数学《指数函数》教案15篇
人教版高一数学《指数函数》教案15篇人教版高一数学《指数函数》教案15篇人教版高一数学《指数函数》教案(1)课题:§2.1.2指数函数及其性质教学任务:(1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;(2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性和特殊点;(3)在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等.教学重点:指数函数的的概念和性质.教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.教学过程:一、引入课题(备选引例)1.(合作讨论)人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引起全世界关注.世界人口2000年大约是60亿,而且以每年1.3%的增长率增长,按照这种增长速度,到2050年世界人口将达到100多亿,大有“人口爆炸”的趋势.为此,全球范围内敲起了人口警钟,并把每年的7月11日定为“世界人口日”,呼吁各国要控制人口增长.为了控制人口过快增长,许多国家都实行了计划生育.我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界7%的国土上,却养育着22%的世界人口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000年第五次人口普查,中国人口已达到13亿,年增长率约为1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本国策.按照上述材料中的1%的增长率,从2000年起,x年后我国的人口将达到2000年的多少倍?到2050年我国的人口将达到多少?你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响?2.上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x(x∈N*,x≤20)能否构成函数?3.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的84%,那么以时间x年为自变量,残留量y的函数关系式是什么?4.上面的几个函数有什么共同特征?二、新课教学(一)指数函数的概念一般地,函数叫做指数函数(exponential function),其中x是自变量,函数的定义域为R.注意:指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析;注意指数函数的底数的取值范围,引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1.巩固练习:利用指数函数的定义解决(教材P68例2、3)(二)指数函数的图象和性质问题:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法吗?研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质.研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.探索研究:1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:(1)(2)(3)(4)(5)2.从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系?可否利用的图象画出的图象?3.从画出的图象(、和)中,你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律?4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗?5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[a,b]上,值域是或;(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;(3)对于指数函数,总有;(4)当时,若,则;(三)典型例题例1.(教材P56例6).解:(略)例2.(教材P57例7)解:(略)巩固练习:(教材P59习题A组第7题)三、归纳小结,强化思想本节主要学习了指数函数的图象,及利用图象研究函数性质的方法.四、作业布置1.必做题:教材P59习题2.1(A组)第5、6、8、12题.2.选做题:教材P60习题2.1(B组)第1题.人教版高一数学《指数函数》教案(2)3.1.2指数函数的概念教学设计一、教学目标:知识与技能:理解指数函数的概念,能够判断指数函数。
指数函数的图象和性质教案(第一课时) 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《指数函数的图象和性质(第一课时)》教学设计课例名称: 指数函数的图象和性质(第一课时)课时教学设计理念高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向。
因此该课时教学设计创设符合学生认知规律的问题探究,提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式,促进学生创新意识的发展。
该课时教学设计多种教学方法进行,注重信息技术与数学课程的深度融合,提高教学的时效性,提升学生应用数学解决实际问题的能力,提升数学核心素养的培养。
该课时教学设计关注学生的不同层次差异,设计有层次的学习内容,实现不同的学生在数学上得到不同的发展。
课时教学内容分析类比研究幂函数性质的过程和方法来进一步研究指数函数。
在同一直角坐标系内画出不同指数函数的图象,之后对所作的图象进行探讨,从“数”和“形”的角度得到:底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称。
从具体到一般,应用信息技术作出若干个底数a不同的值,观察图象的位置、公共点和变化趋势,找出共性,从而概括出指数函数的性质。
接下来对性质进行了如下的应用:利用指数函数的单调性比较大小。
通过构建函数,帮助学生进一步熟悉指数函数的性质,促使他们形成用函数观点解决问题。
总而言之,这节课的内容是观察图象、概括性质,由性质进一步认识图象。
即“以形助数”、“以数助形”,突出数形结合的思想方法,通过解析式、图象、性质等多元联系地认识函数的本质和函数模型的特征。
课时学情分析本课的学习对象为高一年级普通班的学生,处于初高中数学学习的衔接阶段。
通过前面三章的学习,学生对函数的概念与性质有了初步的认识,能够用函数的观点解决问题。
但是对于“比较大小化成同底并同时借助中间值的方法”的理解存在一定的困难。
学生对数学课的学习兴趣高,积极性强。
但学生在学习课堂上较为依赖老师的引导。
学生的群体性小组交流能力与协同讨论学习的能力不强,对学习资源和知识信息的获取、加工、处理和综合的能力一般。
课时教学目标新课程内容目标核心素养目标1.能用描点法或借助信息技术画出具体指数函数的图象.直观想象2.根据函数图象探索并理解指数函数的单调性.逻辑推理3.能够应用指数函数的图象和性质解决相关问题.数据分析数学运算数学抽象课时教学重点、难点教学重点:观察图象,概括性质.教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索,概括指数函数的性质.课时教学资源教学媒体:希沃教学一体机、摄影机、教学课件、几何画板、翻页笔等.工具:三角尺等素材:人教版高一数学必修1教材、教师教学用书、全优课堂、网络资源等.课时教学过程教学步骤教学活动设计意图组织形式【学习目标】向学生展示本课时新课程内容目标和数学核心素养要求.教师对本节课的目标要求作说明引导学生有了目标便明确了该课时学习的方向。
高中数学必修1 “指数函数”(第一课时)教案
“指数函数”(第一课时)教案教材分析(一)本课时在教材中的地位及作用:“指数函数”的教学共分三个课时完成。
第一课时为指数函数的定义,图像及性质;第二课时和第三课时为指数函数的应用。
“指数函数”第一课时是在学习指数概念的基础上学习指数函数的概念和性质,通过学习指数函数的定义,图像及性质,可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,并且为学习对数函数作好准备。
(二)教学目标:1.知识目标:掌握指数函数的概念,图像和性质2.能力目标:通过数形结合,利用图像来认识,掌握函数的性质,增强学生分析问题,解决问题的能力。
3.德育目标:对学生进行辩证唯物主义思想的教育,使学生学会认识事物的,培养学生善于探索的思维品质。
(三) 教学重点,难点:1、重点:指数函数的定义、性质和图象2、难点:底数a对于函数值变化的影响。
设计思想:本课时的整体设计是按照一般研究函数的规律设计的,由实例引入定义,然后根据定义画出函数的图像,再根据图像得到函数的性质。
由于本课时的容量比较大,为了提高效率,我采用多媒体教学手段,借助信息技术强大的作图和分析功能,让学生观察函数图像变化的动态演示,使学生方便的观察函数的整体变化情况。
而且本课时基本上都是由学生观察,分析特点,然后自己归纳规律,最后由老师进行总结,贯彻了新课标的现代教学理念,培养了学生自主探究,合作交流的精神。
学生分析:指数函数虽是在学生系统的学习了函数概念、基本掌握了函数的性质的基础上进行学习的,但是指数函数对学生来说还是完全陌生的一类函数,对于这样的一类函数,要怎么样进行较为系统的研究是学生要面临的重要问题。
学生在学习函数的时候,往往会感到比较困难和抽象,不易理解和掌握,在学习指数函数的时候,还是会出现这样的问题,但是由于学生在前面的课时里面已经掌握了学习函数的一般规律,因而学习指数函数,不会产生无所适从的感觉。
教学过程:。
指数函数(第一课时)教学设计
指数函数(第一课时)教学设计贾海荣北京师范大学附属平谷中学一、课标要求理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.二、教学指导思想与理论依据以新课程标准的设计理念和培养目标为指导思想,面向全体学生,充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位,促进学生全面发展.本节课遵循“提出问题——分析问题——解决问题”三个层次要素,侧重学生的“思、探、究”的自主学习,由旧知识类比得新知识,让学生动脑思和究,教师“诱”在点子上,在精上.整个教学过程贯穿“亲自体验,思维碰撞,达成共识”,学生的学习要达到“亲自画图感悟,观察分析、总结概括得性质”.同时借助几何画板强大的作图分析功能,及其对函数图象能进行直接操作的优越性增大学生在单位课时内接受信息的量和质,使学生学到更多的知识,并通过这种教学示范培养学生的创新意识.三、教学背景分析(一)教学内容分析1.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型描述.函数是高中数学学习的重点和难点,函数思想贯穿于整个高中数学始终.学生在初中就已经学习过函数,就知道了函数的描述性定义,并学习了三个具体的函数模型:一次函数、二次函数、反比例函数.用描点法得到了它们的图象分别是直线、抛物线、双曲线,但读图、识图的能力较弱,图形语言、文字语言、符号语言的转译也相当困难.在高中学习了集合之后,我们又用集合语言刻画了函数的概念,使学生对函数的认识得以提升,认识到函数的图象不仅仅是连续的直线、抛物线,还可以是孤立的点、段开的线等等.在学习了函数的基本性质:单调性、最值、奇偶性之后,学生对初中学习的三个具体函数模型的认识又多了几个视角,得到了深化和加强.指数函数是学生高中阶段学习函数具体的模型(指、对、幂、三角)之一,也是第一个,它的作用是承上启下.所以在教学过程中,一定要让学生不仅仅学到指数函数知识本身,更要让学生体验、感悟到研究一类函数的一般方法,以便将来可以类比地研究对数函数、幂函数,从而获得较为系统的函数知识,并初步培养起函数模型应用意识,为今后的学习奠基.2.本节课是人教A 版教材“指数函数”的第一课时,教学重点是理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质.教学难点是①指数函数的概念中对底数a 的规定;②从具体到一般地探究、概括指数函数的性质.(二)学生情况分析1.已有知识:函数的概念;函数的基本性质;一次函数、二次函数、反比例函数.2.学习能力:通过对函数概念的再认识,对一次函数、二次函数、反比例函数的再学习,对解决数学问题有了一定的能力,但需教师启发引导.3.学习心理:高一学生认知水平从形象向抽象、由特殊向一般过渡,由学习常量数学到学习变量数学,思维能力的提高是一个转折期,有主动学习的愿望,但很是力不从心.4.学习方法:学生主动探究指数函数定义、图象和性质,在对比中进行思考,在发现中得到乐趣,有利于提高学生仔细观察问题,不断探究问题的能力,培养良好的学习习惯.(三)教学方式:启发诱思;采用问题解决的教学模式,引导学生不断地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.(四)教学手段:自己亲自设计PPT 课件、现场几何画板绘图、动态演示及实物投影展示学生作品等辅助教学.为了能使学生更好的理解和掌握本节课内容,培养学生自主学习能力,本节课课前下发了《学案》,尤其强调要用列表描点法分别画下列函数的图象:x y 2=,x y 3=,x y 10=;x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101 ;然后再在同一直角坐标系内分别画下列各组函数的图象: 第一组x y 2=,x y 3=,xy 10=;第二组x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101 ;第三组:x y 2=,x y 3=,xy 10=,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101.上课实物投影展示交流学生作品.学生虽然亲自手绘了六个、三组指数函数的图象,对指数函数的图象已经有了较丰富的感性认识,但要上升到理性认识,实现教学目标,还需借助信息技术印证,为此我让学生说出具体指数函数名称,先猜想其图象,再现场几何画板验证.之后又利用几何画板通过改变底数a的值获得更多指数函数图象,使学生感悟到由特殊到一般的思想方法,从而验证了自己“发现”的那些指数函数的性质,体验了学习成功的快乐,提升了数学能力.四、教学目标设计(一)知识与技能1.了解指数函数模型的实际背景;2.理解指数函数的概念,能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的单调性和图象通过的特殊点;3.知道指数函数是一类重要的函数模型.(二)过程与方法1.通过探讨指数函数的概念,感知数学概念的严谨性和科学性;2.在学习指数函数过程中体验研究具体函数及其性质的过程和方法,如从特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法.(三)情感态度与价值观1.通过学生自己画图象,观察图象,总结性质,亲身感受知识的形成过程;2.通过指数函数的学习,发展学生的观察、分析、判断能力和理性思维能力;3.通过几何画板的恰当使用,使学生体会到几何画板是绘制函数图象、探究函数性质的有效手段.(四)教学重点与难点教学重点:理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质.教学难点:①指数函数的概念中对底数a的规定;②从具体到一般地探究、概括指数函数的性质.五、教学过程与教学资源设计(一)基本教学流程设计:(二)教学过程及情境设计1.复习有关知识,为提出和研究指数函数概念提供资料(1)提出问题:前面我们学习了函数的概念、表示法和基本性质,在这个过程中我们加深了对一次函数、二次函数、反比例函数的认识,同时我们还学习了分段函数,从今天开始我们学习:指、对、幂函数和三角函数,这些是我们高中阶段要学习的四种基本初等函数.请看我们学习指数运算时的两个引例:问题1中x 年后GDP 值是2000年的y 倍,y 与x 之间的函数关系是 1.073(x y x =∈N *,20)x ≤问题2中死亡生物体内碳14含量P 与死亡时间t 之间的函数关系是()0215730≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=t P t 这两个函数有什么共同特征?师生互动:教师讲解,学生回顾.教师引导学生从函数的概念出发解释两个问题中变量之间的关系.从而体会函数三要素中的核心要素:对应法则的关键作用.设计思想:整体把握高中数学课程.在学生已有认知的基础上学习新知——创设学习情境.通过对问题的思考与解答,使学生感受到在生产实践中共性的问题,就是我们要研究的问题,激发学生的兴趣.(2)提出问题:你能给指数函数下个定义吗?师生互动:教师提出问题,引导学生把解析式概括到()()1,0≠>==a a a x f y x 且的形式.设计思想:提炼出指数函数模型.(3)提出问题:你能说出指数函数解析式的形式特征吗?师生互动:教师引导学生与学过的一次函数类比,使学生发现指数函数解析式的形式特征,注意提示a 的取值范围.并判断下列函数是否是指数函数:①x y 2-=; ②()x y 2-=; ③x y -=2; ④12-=x y ;⑤()02>=x y x ;⑥()1(1,2xy m m m =->≠的常数); ⑦2x y =; ⑧12+=x y ; ⑨x y 23⋅=. 设计思想:使学生巩固概念,深化认识,强化对概念形式特征的把握,感知数学概念的严谨性和科学性.同时准确把握与旧知识的连接点.(4)提出问题:确定指数函数解析式需要几个条件?师生互动:教师引导学生与学过的三种函数对比,用待定系数法确定指数函数表达式,只需列一个关于a 方程.并就《学案》上的两个小题进行讲评.y①已知指数函数的图象经过点()9,2,求指数函数的表达式;②已知指数函数()x f x a =()1,0≠>a a 的图象经过点()π,3,求()()()3,1,0-f f f 的值. 设计思想:从科学方法和思维训练的价值看,可使学生学会运用方程思想解决问题.2.设置问题情境,手绘指数函数图象,把握其特征(1)提出问题:你是怎样手绘指数函数x y 2=的图象的?在列表描点前,你是否利用解析式探究或者说推测了一下它的分布状况、大致走向了?师生互动:教师引导学生回顾如何通过函数解析式探究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性,从而把握图象的分布状况及大致走向.之后再胸有成竹地列表描点手绘图象.设计思想:给出由解析式手绘函数图象的思路.(2)提出问题:列表描点法手绘指数函数x y 2=,x y 3=,x y 10=,xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101的图象,并与事先推测的分布状况、大致走向对比,看是否一致? 师生互动:首先实物投影展示交流学生的作品,教师给予鼓励性评价;之后教师在同一直角坐标系内手绘x y 2=,x y 3=,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的图象,注意突破对于同一个自变量值两个指数函数图象上相应点“谁在上、谁在下”的问题.设计思想:训练学生作图的基本功,让学生在实践中认识指数函数的图象.3.将指数函数的图象特征翻译成指数函数的性质(1)提出问题:你能将指数函数的图象特征翻译成相应的指数函数的性质吗? 师生互动:教师引导学生从宏观、微观上分别读出指数函数的性质,将图形语言翻译成文字语言、符号语言.强调:从特殊到一般、数形结合、分类讨论思想方法的运用.设计思想:调动学生的思维,产生思维交锋与碰撞.培养学生的抽象概括、归纳能力,以及语言表达能力.树立团结协作意识,体会研究函数的一般方法.体现学生的主体性.(2)提出问题:将六个指数函数的图象画在同一直角坐标系内时,你又发现了什么?师生互动:教师引导学生发现:底数互为倒数的两个指数函数的图象特征,以及底数不同的多个指数函数图象在同一直角坐标系内的相对位置与底数大小的关系.设计思想:通过探究指数函数随底数的变化而变化的规律,把部分学生的思维拓展到更广阔的空间,满足个性发展的需要,进一步培养学生的问题意识.4.几何画板验证指数函数图象和性质(1)提出问题:很多重要定理、公式的发现都是从观察、归纳、推测开始的,但推测出的结论必须进行验证或严格的证明.怎样验证或证明我们由六个具体指数函数的图象得到的指数函数的性质是正确的呢?师生互动:让学生说出具体指数函数名称,先猜想其图象,再现场几何画板验证.之后再利用几何画板通过改变底数a 的值获得更多指数函数图象,使学生再次感悟到由特殊到一般的思想方法,从而验证了自己“发现”的那些指数函数性质的正确性,体验学习成功的快乐.同时使学生了解到信息技术是探索函数图象及性质的有效途径.设计思想:从学生认知角度出发,有必要让他们从疑惑的情境中走出来,验证自己“发现”的那些结论的正确性,体验成功,从而获得数学能力.进一步加深对指数函数图象的认识,体会数学美.(2)提出问题:四个指数函数x x b y a y ==,,x x d y c y ==,在同一直角坐标平面内的图象如图请从小到大排列六个数0,1,,,,d c b a . yO x师生互动:教师几何画板给出问题,学生思考后回答,再次感知指数函数中底数a 对图象形状、位置的决定作用,从而提升学生对指数函数的再认识.设计思想:熟练掌握知识.由形到数,由数到形,使学生再次体会数形结合思想、分类讨论思想.5.系统知识结构,收获分享,深化思维训练(1)提出问题:这节课,我们主要学习了哪些知识?师生互动:学生回答:指数函数概念、图象和性质,教师同步PPT展示.(2)提出问题:这节课,在能力、方法上有哪些提高?师生互动:学生回答后,教师点出:指数函数是一类重要的函数模型,进一步了解了研究函数的一般方法.注意数形结合、分类讨论等思想方法的运用.(3)提出问题:这节课,在情感、态度方面有何感想?师生互动:学生回答后,教师点出:数学是很有用的,学习要严谨,要踏踏实实.设计思想:使学生养成及时回顾总结、反思的良好学习习惯和行为习惯.系统知识网络,在“学习—反思—深化”过程中提高数学修养.使学生从“模糊”的情景转化为清晰、连贯、确定和谐的情境.(4)布置作业:P58的3,1;P59的9,8,7;P60的4,1.思考:P57的例8及其后的“探究”.师生互动:学生书面完成,教师批阅,检查教学效果.通过作业的完成可以加深学生对指数函数的深入理解,使学生的认知水平和逻辑数理智力在原有的基础上得到发展.设计思想:从学生的心理角度看,他们渴望运用自己发现的结论去解决有关问题.六、板书设计:七、学习效果评价设计(一)在教学过程中观察学生的反应,考察学生已有认知水平和学习新知的能力及教师的导学能力.下表所示评价方案用于教师自我评价.(二)学生学习效果及运用新知能力评价测验题(每小题2分,满分16分,测验时间:12分钟)1.比较下列各题中两个值的大小:①35.27.1,7.1;②2.01.08.0,8.0--;③()1,0,1.33.0≠>a a a a ;④1.33.09.0,7.1;⑤()()3.03.02.0,3.0--.2.已知下列不等式,比较n m ,的大小①n m 22<;②;n m 2.02.0>;③()1,0≠>>a a a a n m .(三)通过作业评价学生学习效果.八、 教学设计说明:本教学设计内容是人民教育出版社A 版数学必修1,第二章基本初等函数(Ⅰ)中的2.1.2指数函数第一课时,主要学习“指数函数的概念、图象和性质”,在具体的操作过程中我设计了以下八个环节:1.复习引入;2.形成概念;3.探究图象;4.读出性质; 5.收获分享;6.学以致用;7.课堂小结;8.布置作业.八个环节层层递进,逐步走向深入,充分体现了教师与学生的交流互动,在教师的整体调控下,学生通过动手操作,动眼观察,动脑思考,亲身经历了知识的形成和发展过程,以问题为驱动,使学生在掌握了知识的前提下,提高了学习能力,由“要我学”向“我要学”转化.九、教学反思自己感觉本节课最大的亮点是,教师在引导学生学会知识的同时,掌握了研究一类函数的一般方法,并能有效地迁移到研究对数函数、幂函数的学习活动中去.。
指数函数及其性质(第一课时)教学设计
教学难点:探索、概括指数函数的性质
教学过程:
教学内容
问题、任务
师生活动
设计意图
一、指数函数的概念
二、对数函数的图象
三、指数函数的性质
四、小结
1.问题1中时间 与GDP值 的对应关系 、问题2中时间 和碳14含量P的对应关系 能不能构成函数?
2.这三个函数有什么共同特征?
师:巡视学生作图情况,要注意学生作图时是否分了 和 两种情况。
师生:再一次观察几何画板所显示的指数函数的图象,注意当 时,函数 的图象与 的类似,当 时,函数 的图象与 的类似。师生共同作出指数函数的草图。
师生:根据投影,分析图象特征,讨论函数性质,并完成课件中的表格1。
师生:根据投影,分析图象特征,讨论函数性质,并完成课件中的表格2。
师生:回顾需研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意注意数形结合。
师:几何画板展示,动态显示指数函数的图象随底数a的变化而变化。提示学生注意底数a的取值范围与图象的形状的关系,底数在何值时图象发生了质的变化。
生:根据老师提示观察,并注意图象经过的关键点。
师:提示作函数图象的过程:列表、描点、连线。巡视学生作图情况。
13.分析指数函数 的性质。
14.谈谈本节课的收获。
师:投影展示问题1、问题2、问题3,引导学生根据函数的定义进行分析。
生:思考、讨论并回答问题。
师:引导学生把解析式概括到 的形式。
生:归纳概括共同特征。
师:板书定义。
师生:根据指数相关知识,给出底数的取值范围及函数的定义域。
生:根据对数函数的形式进行辨别。
会用描点法作具体指数函数的图象。
指数函数(第一课时)教案
《指数函数》第一课时教案
教材人教版高中数学必修1第二章第一节
课题 2.1.2指数函数
教学目标
知识与技能:掌握指数函数的定义及结构特征;能对指数函数进行简单应用。
过程与方法:培养归纳推理的能力和分类讨论的思想。
情感态度价值观:体会从特殊到一般的认知过程并培养其分类讨论的思维。
教学重点、难点
重点:理解指数函数的定义及结构特征。
难点:学生辨清指数函数的结构特征并不会把指数函数与其他函数混淆。
关键:教师引导学生深入分析指数函数特有的结构特征。
(说明:此为指数函数的第一课时,主要教授指数函数的定义以及结构特征,而第二课时教授指数函数的图像及性质,第二课时的教案此处先不给出。
)
教学过程设计
一、情景引入(5min)
例2.已知指数函数图像经过点(3,8),求)3(),1(),0(-f f f 的值。
例3.设银行活期存款一年的利率为3%,小明到银行开户存1万元,问三年后,小明的户口一共有多少钱?
练习1.已知x a a a x f ⨯--=)1()(2是指数函数,求a 的值。
2.截至1999年底,我国人口约13亿。
如果今后能将人口年增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?
设计意图:学生现学现用,巩固指数函数的概念。
四、
课堂小结 (5min )
必做题 1.P68 1.2.3
选做题 比较P68第1题中两个函数图像的异同。
思考题 为什么x x f 2)(=的函数值越变越大而x x f )21
()(=的函数值越变越小。
板书设计。
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指数函数(第一课时)教学设计一、课标要求理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.二、教学指导思想与理论依据以新课程标准的设计理念和培养目标为指导思想,面向全体学生,充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位,促进学生全面发展.本节课遵循“提出问题——分析问题——解决问题”三个层次要素,侧重学生的“思、探、究”的自主学习,由旧知识类比得新知识,让学生动脑思和究,教师“诱”在点子上,在精上.整个教学过程贯穿“亲自体验,思维碰撞,达成共识”,学生的学习要达到“亲自画图感悟,观察分析、总结概括得性质”.同时借助几何画板强大的作图分析功能,及其对函数图象能进行直接操作的优越性增大学生在单位课时内接受信息的量和质,使学生学到更多的知识,并通过这种教学示范培养学生的创新意识.三、教学背景分析(一)教学内容分析1.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型描述.函数是高中数学学习的重点和难点,函数思想贯穿于整个高中数学始终.学生在初中就已经学习过函数,就知道了函数的描述性定义,并学习了三个具体的函数模型:一次函数、二次函数、反比例函数.用描点法得到了它们的图象分别是直线、抛物线、双曲线,但读图、识图的能力较弱,图形语言、文字语言、符号语言的转译也相当困难.在高中学习了集合之后,我们又用集合语言刻画了函数的概念,使学生对函数的认识得以提升,认识到函数的图象不仅仅是连续的直线、抛物线,还可以是孤立的点、段开的线等等.在学习了函数的基本性质:单调性、最值、奇偶性之后,学生对初中学习的三个具体函数模型的认识又多了几个视角,得到了深化和加强.指数函数是学生高中阶段学习函数具体的模型(指、对、幂、三角)之一,也是第一个,它的作用是承上启下.所以在教学过程中,一定要让学生不仅仅学到指数函数知识本身,更要让学生体验、感悟到研究一类函数的一般方法,以便将来可以类比地研究对数函数、幂函数,从而获得较为系统的函数知识,并初步培养起函数模型应用意识,为今后的学习奠基.2.本节课是人教A版教材“指数函数”的第一课时,教学重点是理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质.教学难点是①指数函数的概念中对底数a的规定;②从具体到一般地探究、概括指数函数的性质.(二)学生情况分析1.已有知识:函数的概念;函数的基本性质;一次函数、二次函数、反比例函数.2.学习能力:通过对函数概念的再认识,对一次函数、二次函数、反比例函数的再学习,对解决数学问题有了一定的能力,但需教师启发引导.3.学习心理:高一学生认知水平从形象向抽象、由特殊向一般过渡,由学习常量数学到学习变量数学,思维能力的提高是一个转折期,有主动学习的愿望,但很是力不从心.4.学习方法:学生主动探究指数函数定义、图象和性质,在对比中进行思考,在发现中得到乐趣,有利于提高学生仔细观察问题,不断探究问题的能力,培养良好的学习习惯.(三)教学方式:启发诱思;采用问题解决的教学模式,引导学生不断地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.(四)教学手段:自己亲自设计PPT课件、现场几何画板绘图、动态演示及实物投影展示学生作品等辅助教学.为了能使学生更好的理解和掌握本节课内容,培养学生自主学习能力,本节课课前下发了《学案》,尤其强调要用列表描点法分别画下列函数的图象:xy2=,xy3=,xy10 =;xy⎪⎭⎫⎝⎛=21,xy⎪⎭⎫⎝⎛=31,xy⎪⎭⎫⎝⎛=101;然后再在同一直角坐标系内分别画下列各组函数的图象:第一组xy2=,xy3=,xy10=;第二组xy⎪⎭⎫⎝⎛=21,xy⎪⎭⎫⎝⎛=31,xy⎪⎭⎫⎝⎛=101;第三组:xy2=,xy3=,xy10=,xy⎪⎭⎫⎝⎛=21,xy⎪⎭⎫⎝⎛=31,xy⎪⎭⎫⎝⎛=101.上课实物投影展示交流学生作品.学生虽然亲自手绘了六个、三组指数函数的图象,对指数函数的图象已经有了较丰富的感性认识,但要上升到理性认识,实现教学目标,还需借助信息技术印证,为此我让学生说出具体指数函数名称,先猜想其图象,再现场几何画板验证.之后又利用几何画板通过改变底数a的值获得更多指数函数图象,使学生感悟到由特殊到一般的思想方法,从而验证了自己“发现”的那些指数函数的性质,体验了学习成功的快乐,提升了数学能力.四、教学目标设计(一)知识与技能1.了解指数函数模型的实际背景;2.理解指数函数的概念,能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的单调性和图象通过的特殊点;3.知道指数函数是一类重要的函数模型.(二)过程与方法1.通过探讨指数函数的概念,感知数学概念的严谨性和科学性;2.在学习指数函数过程中体验研究具体函数及其性质的过程和方法,如从特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法.(三)情感态度与价值观1.通过学生自己画图象,观察图象,总结性质,亲身感受知识的形成过程;2.通过指数函数的学习,发展学生的观察、分析、判断能力和理性思维能力;3.通过几何画板的恰当使用,使学生体会到几何画板是绘制函数图象、探究函数性质的有效手段.(四)教学重点与难点教学重点:理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质.教学难点:①指数函数的概念中对底数a的规定;②从具体到一般地探究、概括指数函数的性质.五、教学过程与教学资源设计(一)基本教学流程设计:(二)教学过程及情境设计1.复习有关知识,为提出和研究指数函数概念提供资料y(1)提出问题:前面我们学习了函数的概念、表示法和基本性质,在这个过程中我们加深了对一次函数、二次函数、反比例函数的认识,同时我们还学习了分段函数,从今天开始我们学习:指、对、幂函数和三角函数,这些是我们高中阶段要学习的四种基本初等函数.请看我们学习指数运算时的两个引例:问题1中x 年后GDP 值是2000年的y 倍,y 与x 之间的函数关系是 1.073(x y x =∈N *,20)x ≤问题2中死亡生物体内碳14含量P 与死亡时间t 之间的函数关系是()0215730≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=t P t 这两个函数有什么共同特征?师生互动:教师讲解,学生回顾.教师引导学生从函数的概念出发解释两个问题中变量之间的关系.从而体会函数三要素中的核心要素:对应法则的关键作用.设计思想:整体把握高中数学课程.在学生已有认知的基础上学习新知——创设学习情境.通过对问题的思考与解答,使学生感受到在生产实践中共性的问题,就是我们要研究的问题,激发学生的兴趣.(2)提出问题:你能给指数函数下个定义吗?师生互动:教师提出问题,引导学生把解析式概括到()()1,0≠>==a a a x f y x 且的形式.设计思想:提炼出指数函数模型.(3)提出问题:你能说出指数函数解析式的形式特征吗?师生互动:教师引导学生与学过的一次函数类比,使学生发现指数函数解析式的形式特征,注意提示a 的取值范围.并判断下列函数是否是指数函数:①x y 2-=; ②()x y 2-=; ③x y -=2; ④12-=x y ;⑤()02>=x y x ; ⑥()1(1,2xy m m m =->≠的常数); ⑦2x y =; ⑧12+=x y ; ⑨x y 23⋅=. 设计思想:使学生巩固概念,深化认识,强化对概念形式特征的把握,感知数学概念的严谨性和科学性.同时准确把握与旧知识的连接点.(4)提出问题:确定指数函数解析式需要几个条件?师生互动:教师引导学生与学过的三种函数对比,用待定系数法确定指数函数表达式,只需列一个关于a 方程.并就《学案》上的两个小题进行讲评.①已知指数函数的图象经过点()9,2,求指数函数的表达式;②已知指数函数()x f x a =()1,0≠>a a 的图象经过点()π,3,求()()()3,1,0-f f f 的值.设计思想:从科学方法和思维训练的价值看,可使学生学会运用方程思想解决问题.2.设置问题情境,手绘指数函数图象,把握其特征(1)提出问题:你是怎样手绘指数函数x y 2=的图象的?在列表描点前,你是否利用解析式探究或者说推测了一下它的分布状况、大致走向了?师生互动:教师引导学生回顾如何通过函数解析式探究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性,从而把握图象的分布状况及大致走向.之后再胸有成竹地列表描点手绘图象.设计思想:给出由解析式手绘函数图象的思路.(2)提出问题:列表描点法手绘指数函数x y 2=,x y 3=,x y 10=,xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101的图象,并与事先推测的分布状况、大致走向对比,看是否一致? 师生互动:首先实物投影展示交流学生的作品,教师给予鼓励性评价;之后教师在同一直角坐标系内手绘x y 2=,x y 3=,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的图象,注意突破对于同一个自变量值两个指数函数图象上相应点“谁在上、谁在下”的问题.设计思想:训练学生作图的基本功,让学生在实践中认识指数函数的图象.3.将指数函数的图象特征翻译成指数函数的性质(1)提出问题:你能将指数函数的图象特征翻译成相应的指数函数的性质吗? 师生互动:教师引导学生从宏观、微观上分别读出指数函数的性质,将图形语言翻译成文字语言、符号语言.强调:从特殊到一般、数形结合、分类讨论思想方法的运用.设计思想:调动学生的思维,产生思维交锋与碰撞.培养学生的抽象概括、归纳能力,以及语言表达能力.树立团结协作意识,体会研究函数的一般方法.体现学生的主体性.(2)提出问题:将六个指数函数的图象画在同一直角坐标系内时,你又发现了什么?师生互动:教师引导学生发现:底数互为倒数的两个指数函数的图象特征,以及底数不同的多个指数函数图象在同一直角坐标系内的相对位置与底数大小的关系.设计思想:通过探究指数函数随底数的变化而变化的规律,把部分学生的思维拓展到更广阔的空间,满足个性发展的需要,进一步培养学生的问题意识.4.几何画板验证指数函数图象和性质(1)提出问题:很多重要定理、公式的发现都是从观察、归纳、推测开始的,但推测出的结论必须进行验证或严格的证明.怎样验证或证明我们由六个具体指数函数的图象得到的指数函数的性质是正确的呢?师生互动:让学生说出具体指数函数名称,先猜想其图象,再现场几何画板验证.之后再利用几何画板通过改变底数a 的值获得更多指数函数图象,使学生再次感悟到由特殊到一般的思想方法,从而验证了自己“发现”的那些指数函数性质的正确性,体验学习成功的快乐.同时使学生了解到信息技术是探索函数图象及性质的有效途径.设计思想:从学生认知角度出发,有必要让他们从疑惑的情境中走出来,验证自己“发现”的那些结论的正确性,体验成功,从而获得数学能力.进一步加深对指数函数图象的认识,体会数学美.(2)提出问题:四个指数函数x x b y a y ==,,x x d y c y ==,在同一直角坐标平面内的图象如图请从小到大排列六个数0,1,,,,d c b a . yO x师生互动:教师几何画板给出问题,学生思考后回答,再次感知指数函数中底数a 对图象形状、位置的决定作用,从而提升学生对指数函数的再认识.设计思想:熟练掌握知识.由形到数,由数到形,使学生再次体会数形结合思想、分类讨论思想.5.系统知识结构,收获分享,深化思维训练(1)提出问题:这节课,我们主要学习了哪些知识?师生互动:学生回答:指数函数概念、图象和性质,教师同步PPT展示.(2)提出问题:这节课,在能力、方法上有哪些提高?师生互动:学生回答后,教师点出:指数函数是一类重要的函数模型,进一步了解了研究函数的一般方法.注意数形结合、分类讨论等思想方法的运用.(3)提出问题:这节课,在情感、态度方面有何感想?师生互动:学生回答后,教师点出:数学是很有用的,学习要严谨,要踏踏实实.设计思想:使学生养成及时回顾总结、反思的良好学习习惯和行为习惯.系统知识网络,在“学习—反思—深化”过程中提高数学修养.使学生从“模糊”的情景转化为清晰、连贯、确定和谐的情境.(4)布置作业:P58的3,1;P59的9,8,7;P60的4,1.思考:P57的例8及其后的“探究”.师生互动:学生书面完成,教师批阅,检查教学效果.通过作业的完成可以加深学生对指数函数的深入理解,使学生的认知水平和逻辑数理智力在原有的基础上得到发展.设计思想:从学生的心理角度看,他们渴望运用自己发现的结论去解决有关问题.六、板书设计:七、学习效果评价设计(一)在教学过程中观察学生的反应,考察学生已有认知水平和学习新知的能力及教师的导学能力.下表所示评价方案用于教师自我评价.(二)学生学习效果及运用新知能力评价测验题(每小题2分,满分16分,测验时间:12分钟)1.比较下列各题中两个值的大小:①35.27.1,7.1;②2.01.08.0,8.0--;③()1,0,1.33.0≠>a a a a ;④1.33.09.0,7.1;⑤()()3.03.02.0,3.0--.2.已知下列不等式,比较n m ,的大小①n m 22<;②;n m 2.02.0>;③()1,0≠>>a a a a n m .(三)通过作业评价学生学习效果.八、 教学设计说明:本教学设计内容是人民教育出版社A 版数学必修1,第二章基本初等函数(Ⅰ)中的2.1.2指数函数第一课时,主要学习“指数函数的概念、图象和性质”,在具体的操作过程中我设计了以下八个环节:1.复习引入;2.形成概念;3.探究图象;4.读出性质;5.收获分享;6.学以致用;7.课堂小结;8.布置作业.八个环节层层递进,逐步走向深入,充分体现了教师与学生的交流互动,在教师的整体调控下,学生通过动手操作,动眼观察,动脑思考,亲身经历了知识的形成和发展过程,以问题为驱动,使学生在掌握了知识的前提下,提高了学习能力,由“要我学”向“我要学”转化.九、教学反思自己感觉本节课最大的亮点是,教师在引导学生学会知识的同时,掌握了研究一类函数的一般方法,并能有效地迁移到研究对数函数、幂函数的学习活动中去.。