求两条直线平行
两直线平行、重合、相交、垂直的条件
2=0平行，那么系数a的值为（ B ）
（A）－ 3
2
（C）－3
（B）－6 （D） 2
3
2．若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2 －a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则（ C ）
（A）a=2 （B）a=－2 （C）a=2或a=－2 （D）a=2，0，－2
例3：求直线3x 4 y 7 0平行，且与两坐标轴围成 三角形面积为 1 的直线方程。
(1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x－4y+5=0垂直。 （1）解: 设过两直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0
将点（2，1）代入方程，得：
2 2 4 (2 1 2) 0
解得: 4
故所求直线方程为：x+2y－4=0
(1)解2: 联立方程组
24
解：设直线方程为3x+4y+c=0
直线与坐标轴交点A(0,- c ),B(- c ,0)
4
3
1 c - c 1 c 1 2 4 3 24
3x+4y+1=0或x+4y-1=0
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
两条直线的位置关系
位置
直线方 程
l1
:
y
k1 x: y k2 x b2
重 合 k1 k2且b1 b2
平行 垂直
k1 k2且b1 b2 k1k2 1
或k1 0，k2不存在
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
10.2两条直线平行与垂直的条件
10.2.2两条直线垂直的条件
如图，当 l1 l2 时，
（1）斜率均存在时：l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2x b2
k1
tan1
BC AB
k2
tan2
tan(π 3 )
tan3
AB BC
所以 k1 k2 1.
（2）如直线 l1 的斜率不存在，即1 90 ，则直线 l2 的倾斜
（1）斜率存在时，l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2 x b2（ b1 b2 ）
若 1
平行；
2
0 时，则k1
k2
0，直线
y b1 和直线 y b2
若 1 2 0 时，则 k1 k2 0 ，直线 y k1x b1 和直
线 y k2x b2 平行.
（2）斜率不存在时：l1 : x x1 ，l2 : x x2（ x1 x2 ），
2．P(1,0) 是直线 l上一点，且平行于经过 A(3,5) 和 B(2, 7)两点
的直线，求直线 l 的方程.
3．直线 ax y 5 0 与直线 3x 2y c 0平行，判断 a, c
的取值.
10.2.2两条直线垂直的条件
如图：l1 l2他们的倾斜角之间满足 1 2 90 ，那么 他们的斜率之间又存在着什么样的关系呢？
解：（1）两条直线斜率都不存在，即两条直线都与 x 轴垂直，
所以 l1 / /l2 .
（2）l2 可化为y
以 l1 / /l2 .
3x 5，有 kl1
kl2
3
且 bl1
1 bl2
5，所
（3）kl1
2 3
kl2
2 3
，所以 l1与l2 相交
证明两条直线平行的六种方法
证明两条直线平行的六种方法1 斜率法斜率法是最常用的证明两条直线平行的方法，即如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的，否则不是平行的。
斜率的计算方法为$斜率=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，其中$y_2$和$y_1$分别代表两条直线上两点的纵坐标，$x_2$和$x_1$代表两条直线上两点的横坐标。
从上式可以看出，如果$斜率_1=斜率_2$，则此时两条直线平行。
2 线性方程法如果两条直线对应的线性方程相同，则它们是平行的。
根据直线的线性方程可以得出$y=kx+b$，其中$k$表示斜率，$b$为常数。
如果$k_1=k_2$，则此时两条线是平行的。
3 向量法如果两条直线对应的向量齐平，则它们是平行的。
证明两条直线平行则可以将它们对应的向量做点积，如果此时点积为零，则它们是平行的。
4 极坐标法极坐标法是指若两条直线的极角相同，则它们是平行的。
根据极坐标可以得出$x=rsin\theta$，$y=rcos\theta$，其中$\theta$表示极角，$r$为极径，$\theta_1=\theta_2$ 则此时两条线是平行的。
5 比例法该方法是指两条直线由同一点遍及的时候，它们的另外两个坐标点的坐标的比例相等，其中的比例为$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，三点式为$(x_1,y_1) \ \ (x_2,y_2) \ \ (x_3,y_3)$，当$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}$，则它们是平行的。
6 水平角法水平角法是指当两条直线对应的水平角大小零度时，它们是平行的。
用平面直角坐标系表示，两条线分别由点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$和$(x_3,y_3)，(x_4,y_4)$分别经过，水平角就等于$\angle{P}_3P_1P_2$与$\angle{P}_4P_1P_2$的夹角，若$\angle{P}_3P_1P_2=\angle{P}_4P_1P_2=0°$，则它们是平行的。
两条直线平行的定义
两条直线平行的定义
两条直线平行指的是在同一平面内，两条直线不会相交，且它们的方
向始终保持相同。
这意味着，如果我们沿着其中一条直线移动，那么
它永远不会与另一条直线相交。
同时，如果我们从任何角度观察这两
条直线，它们看起来都是始终保持距离平行的。
换句话说，在几何学中，两条直线平行是指它们具有相同的斜率，并
且在坐标系中具有不同的截距。
由于斜率代表了直线的倾斜程度，因
此如果两条直线具有相同的斜率，则它们始终保持相对位置不变。
在实际生活中，我们可以看到很多例子来说明两条直线平行的概念。
例如，在公路上行驶时，我们可以看到路面上有时会出现两条平行的
白色或黄色实线。
这些实线之间的距离始终保持一致，并且他们表示
车辆应该行驶在其之间。
此外，在建筑设计和制图中，建筑师和工程
师经常需要使用平行概念来确保他们所设计和建造的结构物能够稳定
地支撑重量。
总之，两条直线平行是几何学中的一个基本概念。
它们具有相同的斜率，但在坐标系中具有不同的截距，且始终保持相对位置不变。
这个
概念在日常生活中也有很多应用，如建筑设计和道路交通规划等领域。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
,
������ -1 ������ -0
=
3-0 4-1
,
解得
������ = 3, ������ = 4.
所以顶点 D 的坐标为(3,4).
反思解决与平行有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系 来解决,即不重合的两条直线l1与l2平行⇒k1=k2或k1与k2都不存在.
-14-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
关系 都不为零)⇔k1k2=-1
为 0⇒l1⊥l2
-6-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
12
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典例透析
【做一做2】 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=5,l1⊥l2,则
k2=
.
解析:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∵k1=5,∴5k2=-1,∴k2=−
1.
-12-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
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典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组
成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
解析:因为
kAB=
5-3 2-(-4)
=
13,kCD=
0-3 -3-6
=
1,
3
所以 AB∥CD.
又
kAD=
0-3 -3-(-4)
=
−3,kBC=
3-5 6-2
=
−
1,
2
所以 kAD≠kBC,kAD·kCD=-1,
两条直线平行
§8.3.1 两条直线平行1、知识与技能：（1）掌握两条直线平行的条件；（2）能应用两条直线平行的条件解题．2、过程与方法：从初中平面几何中两条直线平行的知识出发，通过“数”“形”结合的方式，讲解两条直线平行的判定方法，介绍两条直线平行的条件，学生容易接受．知识讲解的顺序为：两条直线平行Û同位角相等Û倾斜角相等9090a a ìï观ïíï= ïî倾斜角斜率相等;倾斜角斜率都不存在.3、情感、态度、价值观：体会数形结合的数学思想的地位和作用；培养学生的数学思 维能力及分析问题和解决问题的能力．*创设情境 兴趣导入我们知道，平面内两条直线的位置关系有三种：平行、相交、重合．并且知道，两条直线都与第三条直线相交时，“同位角相等”是“这两条直线平行”的充要条件． 【问题】两条直线平行，它们的斜率之间存在什么联系呢？二、新课导学 ※ 学习探究新知：当两条直线1l 、2l 的斜率都存在且都不为0时（如图8－11（1）），如果直线1l 平行于直线2l ，那么这两条直线与x 轴相交的同位角相等，即直线的倾角相等，故两条直线的斜率相等；反过来，如果直线的斜率相等，那么这两条直线的倾角相等，即两条直线与x轴相交的同位角相等，故两直线平行．图8－11(1)当直线1l 、2l 的斜率都是0时（如图8－11（2）），两条直线都与x 轴平行，所以1l //2l ． 当两条直线1l 、2l 的斜率都不存在时（如图8－11（3）），直线1l 与直线2l 都与x 轴垂直，所以直线1l // 直线2l ．显然，当直线1l 、2l 的斜率都存在但不相等或一条直线的斜率存在而另一条直线的斜率不存在时，两条直线相交．由上面的讨论知，当直线1l 、2l 的斜率都存在时，设111:l y k x b =+222:l y k x b =+当两条直线的斜率都存在时，就可以利用两条直线的斜率及直线在y 轴上的截距，来判断两直线的位置关系．判断两条直线平行的一般步骤是： 判断两条直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行；若只有一个不存在，则相交．若两条直线的斜率都存在，将它们都化成斜截式方程，若斜率不相等，则相交； 若斜率相等，比较两条直线的纵截距，相等则重合，不相等则平行． 巩固知识 典型例题例1 判断下列各组直线的位置关系： （1）12:210:240l x y l x y ++=-=（2）124:5:43103l y x l x y =--+= （3）12:340:2680l x y l x y +-=--+=分析 分别将各直线的方程化成斜截式方程，通过比较斜率k 和直线在y 轴上的截距b ．判断两条直线的位置关系．解 （1）由210x y ++=得1122y x =-- 直线1l 的斜率为12-，在y 轴上的截距为12-．由240x y -=得12y x =，故直线2l 的斜率为12，在y 轴上的截距为0．因为12k k ¹，所以直线1l 与2l 相交．（2）由453y x =-知，故直线1l 的斜率为43，在y 轴上的截距为5-．由4310x y -+=得4133y x =+， 故直线2l 的斜率为43，在y 轴上的截距为13． 因为12k k =，且12b b ¹所以直线1l 与2l 平行． （3）由340x y +-=得 1433y x =-+，故直线1l 的斜率为13-，在y 轴上的截距为43．由2680x y --+=得1433y x =-+ 故直线2l 的斜率为13-，在y 轴上的截距为43．因为12k k =且12b b =，所以直线1l 与2l 重合．说明 例1（3）题中，将方程2680x y --+=两边同时除以−2，得到340x y +-=，可以看到，这两个方程是同解方程，因此它们表示的是同一条直线，故1l 与2l 重合． 【注意】如果求得两条直线的斜率相等，那么，还需要比较它们在y 轴的截距是否相等，才能确定两条直线是平行还是重合． 【知识巩固】例2 已知直线l 经过点(2,2)M -，且与直线112y x =+平行，求直线l 的方程． 解 设112y x =+的斜率为1k ，则112k =． 设直线l 的斜率为k ，由于两条直线平行，故112k k ==． 又直线l 经过点(2,2)M -，故其方程为12(2)2y x +=-，即 260x y --=．※ 强化练习1．判断下列各组直线的位置关系：（1）1 :0l x y +=与2:2310l x y -+=； （2）1:2l y x =--与2:2240l x y ++=； （3）1:43l x y =与24:13l y x =-． 2．已知直线l 经过点(0,1)P -，且与直线210x y -+=平行，求直线l 的方程．．三、总结提升（1）本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？（2）通过本次课的学习，你会解决哪些新问题了？（3）你是如何进行学习的，在学习方法上有哪些体会？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）： 1.判断下列各对直线的位置关系： （1）y x =与3350x y -+=（2）240x y +-=与220x y +-=（3）20x -+=30-+=。
例谈证明两条直线平行的常用方法
数学篇学思导引数、负数、非正数、非负数等.在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有解，同学们要注意如下两点：一是认真审读题目，弄清题设中解的情况，即明确该解是正数，还是负数等；二是参数的取值要使分式有意义，即分式方程的分母不能为零.例3若关于x 的分式方程x +a x -5+6a 5-x=4的解为正数，则a 的值满足（）.A.a <4B.a >-4C.a <4且a ≠1D.a >-4且a ≠-1分析：本题分式方程有根，求解时既要考虑根为正数的情形，又要考虑分式方程的分母不能为零.解：原方程同时乘以（x -5），可得（x +a ）-6a =4(x -5)，整理可得3x =20-5a ，解得x =20-5a 3.因为分式方程的解为正数，所以20-5a 3>0，即20-5a >0，解得a <4.又因为x -5≠0，所以x ≠5，即20-5a 3≠5，解得a ≠1.所以当a <4,且a ≠1时，原分式方程的解为正数，故正确答案为C 项.评注：求分式方程参数的取值范围，一般先去分母，化分式方程为整式方程；然后用含参数的代数式把分式方程的解表示出来，再由分式方程中解的条件（正数、负数等），将其转化为不等式问题.在这一过程中，同学们特别要注意分式方程有解的隐含条件：分母不能为零.总之，分式方程中参数的值或取值范围与分式方程的增根、无解、有解息息相关.在平时做题时，同学们要仔细审题，把握已知条件，尤其是隐含条件，并注意结合具体情况展开分类讨论，及时检验和修正，从而规避漏解、多解以及错解，提高解题的准确性.我们知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.那么，如何证明两条直线平行呢？有关两条直线平行的证明方法有许多，笔者归纳了如下三种常用的证明方法，以期对同学们证题有所帮助.一、利用“平行线判定定理”平行线的判定定理是指两条直线被第三条直线所截，如果同位角、内错角相等，或同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称为“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.”它是判定两直线平行的基本定理，也是证明两条直线平行最为常用的一种方法.例1如图1所示，在△MNP 中，∠MNP =90°，NQ 是MP 边上的中线，将△MNQ 沿MN 边所在的直线折叠，使得点Q恰好落在点R 处，从而得到四边形MPNR .求证：RN ∥MP .分析：要想证明RN ∥MP ，关键是确定第三条直线.观察图形，很容易看出，这两条直线是被MN 所截的，由题意易知NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM ，∠RNM =∠QNM ，这样易推出∠QMN =∠RNM ，再由“内错角相等，两直线平行”进而得到RN ∥MP .证明：因为NQ 是MP 边上的中线，且∠MNP =90°，所以NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM .例谈证明两条直线平行的常用方法江阴市夏港中学姚菁菁图127数学篇学思导引又因为△MNR由△MNQ沿MN边所在的直线折叠，所以∠RNM=∠QNM，∠QMN=∠RNM.所以RN∥MP.(内错角相等，两直线平行)评注：在证明两条直线平行时，同学们要注意借助平行线的判定定理，证明这两条直线被第三条直线所截成的同位角、内错角相等，或者同旁内角互补.二、利用“三角形或梯形的中位线定理”由三角形或梯形的中位线定理可知，三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.因此，在证明两条直线平行时，若题目涉及中点，同学们要注意构造中位线，利用三角形或梯形的中位线定理进行求证.例2如图2所示，已知AM平分∠BAC，BM⊥AM，垂足为M，且BN=NC.求证：MN∥AC.分析：由题意可知，点N为边BC的中点，因此要证明MN与AC平行，可以从三角形中位线入手.不妨延长BM交AC于点P，这样只要证明M为边BP的中点，问题自然得证.证明：延长BM交AC于点P.因为AM平分∠BAC，所以∠BAM=∠CAM.因为BM⊥AM，所以∠AMB=∠AMP=90°.又因为AM为公共边，所以△AMB≌△AMP，所以BM=PM.因为BN=NC，所以MN为△BCP的中位线，所以MN∥PC，即MN∥AC.评注：三角形或梯形中位线定理反映了图形间线段的位置关系和数量关系.因此，当问题涉及三角形或梯形的中点时，同学们要注意考虑三角形或梯形的中位线，利用三角形或梯形的中位线定理来破解问题.三、利用“平行四边形对边平行”的性质对边平行且相等，是平行四边形的重要性质之一.因此，在证明两条直线平行时，若问题涉及平行四边形，同学们要注意结合已知条件，先证明这两条直线所在的四边形为平行四边形，再根据“平行四边形对边平行”这一性质判定这两条直线平行.例3如图3所示，已知BD平行四边形ABCD的一条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AF∥EC.分析：本题涉及平行四边形，仔细观察图形，不难发现，要想证明AF∥EC，实际上只要证明四边形AECF为平行四边形即可.根据已知条件AE⊥BD，CF⊥BD，可以得到AE∥CF.然后由四边形ABCD为平行四边形，易知AB与DC是平行且相等的，进而推出∠ABE=∠ADF.再由∠AEB=∠CFD=90°，易知Rt△ABE与Rt△CDF为全等三角形，由此得到AE=CF，最后根据平行四边形的性质，确定四边形AECF为平行四边形，从而得出AF∥EC.证明：因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以AE∥CF，且∠AEB=∠CFD=90°.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥DC，且AB=DC，∠ABE=∠CDF.由此可证Rt△ABE≌Rt△CDF.所以AE=CF，所以四边形AECF为平行四边形.所以AF∥EC(平行四边形对边互相平行).评注：平行四边形的两组对边是平行且相等的，利用这一性质既可以证明两直线平行，也可以证明两直线相等.总之，证明两条直线平行的方法多种多样，同学们在平时的学习中，既要注意夯实基础知识，掌握基本定理和推论，又要注意强化训练，结合具体问题，灵活选择恰当的证明方法，从而快速、准确、高效地解题.图2图328。
两条直线平行与垂直的判定 课件
又∵kBC＝3－2（－－572）＝－163， kDA＝2－－（3－－44）＝－76， ∴kBC≠kDA，从而直线 BC 与 DA 不平行． ∴四边形 ABCD 是梯形．
题型二 两直线垂直
例 2 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1，2)，直线 l2 经过 点 C(1，2)，D(－2，a＋2)．
两条直线平行与垂直的判定
要点 1 两条直线平行的条件 (1)设两条不重合的直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1 ∥l2⇔k1＝k2． (2)若两条不重合直线 l1 与 l2 都没斜率，则直线 l1 与 l2 平行．
要点 2 两条直线垂直的条件 (1)设直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝ －1． (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于 0， 则两条直线垂直．
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. ∴由 k2k1＝－1，可得 a＝3，或 a＝－4.
探究 2 由 C，D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，由 A，B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此 应注意对 a 的取值的讨论．
(2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3， 因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不 存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2. (4)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝32－ －43＝1，所以 l1 与 l2 重 合或平行，需进一步研究 E、F、G、H 四点是否共线． kFG＝43－ －（ （－ －12） ）＝1，∴E、F、G、H 四点共线． ∴l1 与 l2 重合．
判定两直线平行的六种方法 (共12张PPT)
课后作业
Listen attentively
12．如图，∠1=∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F、E，
求证：FG∥BC．
证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知），
∴∠BED=90°，∠BFC=90°，∴∠BED=∠BFC，
∴∴∠E1D=∠同BC位F∥（角相FC等（，两直线平行
）， ）.
又∵∠1=∠2（已知）， ∴∠两2=直∠线BC平F（行,同位角相等 ），
课后作业
Listen attentively
10．如图，∠1=∠ABC=∠ADC，
∠3=∠5，∠2=∠4，
∠ABC+∠BCD=180°，
将下列推理过程补充完整：
（1）∵∠1=∠ABC（已知），
∴AD∥BC（ 同位角相等，两直）线. 平行
（2）∵∠3=∠5（已知），
∴ AB∥ C（D 内错角相等，两直线平行）
七年级下册数学（北师版）
第二章 相交线与平行线
专题训练 判定两直线平行的六种方法
平行线的判定方法：∵
一．平行线的定义 二．平行于同一条直线的两直线平行 三．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 四．同位角相等，两直线平行 五．内错角相等，两直线平行 六．同旁内角互补，两直线平行
一、利用平行线的定义
∴FG∥BC（
等量代换
）.
内错角相等，两直线平行
课后作业
13．如图Lis，ten∠atteEn=tiv∠ely 1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角
平分线．求证：DF∥AB
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1=∠2 （ 角平分线定义
）
又∵∠E=∠1
∴∠E=∠2 （ 等量代换
2022-2023学年高一数学：两条直线平行和垂直的判定
k AB k BC 1，
ABC是直角三角形.
B
O
x
A
练一练
1.已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，
求m的值.
解
m＋1 1＋1
若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 即 2－5 ·1－5＝－1，解得 m＝－7；
1＋1 m－1
1
A.
1
B.a
C.-
1
)
1
D.- 或不存在
解析:若 a≠0,则 l2 的斜率为-;若 a=0,则 l2 的斜率不存在.
答案:D
3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为
-(-1)
=1,即
3-(-2)
解析:由题意,得
.
a=4.
答案:4
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则
可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.
典例4
已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ
的位置关系.
解：直线AB的斜率k AB
2
3
, 直线PQ的斜率k PQ .
3
2
y
2 3
4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,
则实数m=
.
解析:设直线 AD,BC 的斜率分别为 k ,k ,由题意,得 AD⊥BC,
AD
则有 k ·k =-1,
AD
所以有
8.4.2两条直线平行垂直的条件
例1 已知两条直线： l1:2x-4y+7=0,l2:2x+y-5=0, 求证:l1⊥l2.
• 变式1:求过点A(2,1)且与直线2x+y10=0垂直的直线方程. • 变式2:已知直线ax+(1-a)y-3=0与直线 (a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直,求a的值.
判定定理： 当直线Ｌ１和Ｌ２有斜截式方程 L1：y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 时，
结论：
l1 l2 a·b 0 1 k1k 2 0 即k1k 2 1
l1 l2 A1 A2 B1B2 0
④若两直线斜率都不存在,则两直线平 行. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行 平行
经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1
经过点P(1,0)且斜率为1的直线 l2 2. 已知过A(-2, m)和B(m ,4)的直线与 斜率为-2的直线平行,则m的值为( A ) A. - 8 B. 0 C. 2 D. 10
那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2
l1 // l2 k1 k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重合
• 练习： 判断下列直线组的位置关系： • (1)l1：2x-4y+7=0，l2：x=2y-5；
•
(2)l1：x-2y+1=0， l2：3x=6y-3．
练习：求过点A(1,-4)，且与直线 2x+3y+5=0平行的直线方程。
例1 ： 两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2： 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
两条直线平行的判定
两条直线平行的判定
【变式训练】
解析：
AB边所在直线的斜率kAB =
2 2
，
CD边所在直线的斜率kCD =
2 2
，
BC边所在直线的斜率kBC = 2 ,
DA边所在直线的斜率kDA = 2 ．
kAB = kCD ， kBC = kDA ，AB ∥CD ，BC ∥DA ，
即四边形 ABCD为平行四边形．
两条直线平行的判定
【要点诠释】
1.公式 l1 ∥ l2 k1 =k2 成立的前提
条件是①两条直线的斜率存在分别为 k1,k2 ；② l1与l2不重合； 2.当两条直线的斜率都不存在且不重 合时, l1与l2 的倾斜角都是90 ° ，则 l1 ∥ l2 .
两条直线平行的判定
【典型例题】 已知 A(1,-1)，B(2,2) ，C(3,0) 三点，求点 D，使 直线 CD ⊥ AB，且CB ∥AD ．
又kAB kBC =
2 2
2
1，∴AB⊥BC ，即四边
形 ABCD为矩形．
两条直线平行的判定
【变式训练】
总结升华： 证明不重合的的两直线平行，只需要他们 的斜率相等，证明垂直，只需要他条直线平行的判定
【两直线平行】
设两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为 k1,k2 .若l1 ∥ l2，则l1与l2的倾斜角α1与 α2相等.由 α1 = α2可得tan α1 = tan α2 ， 即k1 =k2 .因此，若l1 ∥ l2 ，则k1 =k2 . 反之,若 k1 =k2 ，则 l1 ∥ l2 .
y x3
y1 x1
两条直线平行的判定
【变式训练】
四边形 ABCD的顶点为A(2,2+ 2 2 ) ，B(-2,2) ， C(0,2- 2 2 )，D(4,2) ，试判断四边形ABCD 的形 状．
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
的取值范围。
1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
重合。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
两条直线平行与垂直的判定
l1 // l2 k1 = k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重
例1 ： 两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2： 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。
甲
乙
丙
结论2： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直 的充要条件是k1·k2= -1 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立． 特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率为0时， 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
x
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2. 那么 L1∥L2 k1=k2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立．
特殊情况下的两直线平行: 两直线的倾斜角都为90°，互相平行.
例题讲解
例1 例2
0
。
1
2 若直线 x + ay = 2a + 2和 ax + y = a + 1平行，则 a =
3 直线 Ax - 2 y - 1 = 0和直线 6 x - 4 y + C = 0平行 的条件是 。
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
两条直线平行和垂直的判定(人教A版2019选修一)高二数学
解析：(1)①k1＝12－－－－12＝2，k2＝12－－－－12＝12，
k1k2＝1，∴l1与l2不垂直． ②k1＝－10，k2＝230－－210＝110，k1k2＝－1，
∴l1⊥l2. ③由A，B的横坐标相等得 l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． k2＝104－0－－4100＝0，则l2∥x轴，
若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝y－x 3，kCD＝x－y 3， 由于AD⊥AB，∴y－x 3·3＝－1.① 又AB∥CD，∴x－y 3＝3.②
解①②两式可得xy＝＝5195.8，
此时AD与BC不平行．
若DC为直角梯形的直角腰， 则DC⊥BC，且AD∥BC. ∵kBC＝0， ∴DC的斜率不存在． 故x＝3，又AD∥BC，则y＝3. 故D点坐标为(3,3)． 综上可知，使四边形ABCD斜率为 k1＝aa－－21，直线 l2 的斜率为 k2＝
1－a ，若 2a2－3
l1
与
l2
互相垂直，则实数
a
的值为(
)
A．－1
B．1
或－1 2
C．±1 D．－1
2
解析：由题意，得k1k2＝
a－2 a－1
×
1－a 2a2－3
＝－1，解得a＝－
1 2
或a
＝1(舍去)．
答案：D
由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13，kCD＝－0－3－36＝13， kAD＝－30－－3－4＝－3，kBC＝36－－52＝－12. 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行． 又因为kAB·kAD＝13×(－3)＝－1，所以AB⊥AD， 故四边形ABCD为直角梯形．
两条直线平行
(3)l1
:
4x
3 y, l2
:
y
4 3
x
1.
两个方程的系数关系 k1 k2
两条直线的位置关系 相交
k1 k2
b1 b2 b1 b2
平行
重合
2、判断两条直线位置关系的一般步骤：
（1）判断两条直线的斜率是否存在，若都 不存在，则平行（或重合），若只有一 个不存在则相交；若一个不存在一个等 于零则垂直。
（2）若两条直线斜率都存在，将它们都化 成斜截式方程，若斜率不相等，则相交；
(1)若K1 K2，且b1 b2时，则l1 // l2。如下图
l1
y
l2
o x
(2)若K1 K2，且b1 b2时，则l1与l2重合。如下图
y l1 l2
o x
(3)若K1 K2，则l1与l2相交或垂直。如下图
y
o
x
y l2
l1
o
x
由以上讨论知，当直线l1、l2的斜率都存在时，
设l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2则
2．问题
在平面内，两条直线要么平行，要么相交，要么重合．那么，给定 平面直角坐标系中的两条直线，能否借助于方程来判断它们的位置关系？
平面内两条直线位置关系有哪些？
思考：平面内两直线的位置关系如何？
相交
平行
重合
y
o
x
y
l1
l2
o x
两直线平行的条件是什么？
y l1 l2
o x
新知讨论
1、若l1 : y k1x b1 和 l2 : y k2 x b2
(2)由y
4 3
x
5知，
直线l1的斜率为