相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题

学生： 科目： 数 学 教师：

知识框架

一、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法

欲证

AB BC

BE BF

=

，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法

欲证AB DE

BC EF

=

，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．

比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．

倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．

复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．

二、函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．

的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之

后利用相似来列方程求解。

课 题

相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题

教学内容

【例题精讲】

“三点定型”法

一类：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定型”

例1， 已知：∠ACB=900，CD ⊥AB 。求证：AC 2

=AD •AB

分析：要证AC 2

=AD •AB ，可先证

AC

AB

AD AC =

，这时看等号的左边A 、C 、D 三点可确定一个三角形，而等号右边A 、C 、B 三点也可确定一个三角形，即证△ACD ∽△ABC 。都看上面的分子为A 、B 、C 及都看下面的分母为A 、C 、D 也可确定去证△ACD ∽△ABC 。

例2， 已知：等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。求

证：BP •PC=BM •CN

二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。

例1， 已知；AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 与BC 的延长线交于F 。求证：DF 2

=BF •CF

分析：由已知可得DF=AF ，直接证DF 2=BF •CF 找不出相似三角形，可改证AF 2

=BF •CF ，即证

AF

CF

BF AF =，这时用“左看、右看”或“上看、下看”定出△ABF ∽△CAF

例2， 已知；在Rt △ABC 中，∠A=900

，四边形DEFG

为正方形。求证：EF 2

=BE •FC

三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。

例1，已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于O 点，作BE//CD,交CA 的延长线于点E.

求证：OC 2

=OA.OE

分析：要证OC 2

=OA.OE,这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”都发现O,C,A,E 在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？这时，我们可以利用转化的数学思想，先证

OD OB OA OC =，用“上看、下看”定出△OBC ∽△ODC,然后再证OC

OE

OD OB =

,用同样的方法确定证△OBE ∽△ODC 相似即可。

例2，已知：BD 、CE 是△ABC 的两个高，DG ⊥BC ，与CE 交于F ，GD 的延长线与BA 的延长线交于H 。

求证：GD 2

=GF •GH

一、等积式、比例式的证明：

等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 （一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。

等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，

就可找出相似三角形。

例1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900

，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。求证：CD 2

=DE ·DF 。

（二）若由求证的等积式或比例式

中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。

例2．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点。

求证：BP 2

=PE ·PF 。

例3．如图，已知：在△ABC 中，∠BAC=900

，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于F 。

求证： 。

函数中因动点产生的相似三角形问题

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．

求得抛物线的解析式为x x 4

1y 2

+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行