人教新课标数学·选修1-2(A版)第三章 3.1.2
2017-2018学年数学人教A版选修1-2优化课件：第三章 3.1 3.1.2 复数的几何意义
∵2>1，∴|z1|>|z2|. (2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|， 则 1≤|z|≤2. 所以满足 1≤|z|≤2 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 1 与 2 为半径的两圆所夹的 圆环．
利用复数在复平面内对应的点求参数的范围 [典例] (本小题满分 12 分)设复数 z＝log2(1＋m)＋i log 1 (3－m)(m∈R)，
[规范与警示] 解决复数问题的基本方法是复数问题实数化，解决涉及复数几何意义 的问题时，要抓住复数在复平面内对应的点的坐标，利用相关公式解决，如本例中解 方程所得 m 的值要满足对数的真数大于零这个条件.
[随堂训练] 1．下列有关复数概念的说法中正确的个数是( ①复数 a＋bi(a，b∈R)的实部为 a，虚部是 b； ②两个虚数只能说相等或不相等，但它们的模能比较大小； ③复平面上，实轴上的点都表示实数； ④复数集 C 和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的． A．1 B．2 C．3 D．4 )
复平面内的点Z(a，b) ． → 平面向量OZ .
→ ，并且规定，相等的向 为方便起见，我们常把复数 z＝a＋bi 说成点 Z 或说成向量OZ 量表示 同一个 复数．
3．复数的模
→ (1)定义：复数 z＝a＋bi(a、b∈R)对应的 向量OZ 的模叫复数 z 的模，记为|z|.
2 2 a ＋ b (r≥0 且 r∈R) ． (2)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝
2分
(2)由已知得点(log2(1＋m)，log 1 (3－m))，在直线 x－y－1＝0 上，
2
即 log2(1＋m)－log 1 (3－m)－1＝0，8 分
2
所以 log2[(1＋m)(3－m)]＝1， 所以(1＋m)(3－m)＝2， 即 m2－2m－1＝0， 所以 m＝1± 2，10 分 且当 m＝1± 2时都能使 1＋m>0,3－m>0. 故 m＝1± 2.12 分
人教版A数学选修1-2：3.1.2知能演练轻松闯关
1.在复平面内，复数z ＝i －2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵z ＝i －2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限．2.若两个不相等的复数a ＋b i 和c ＋d i 表示的点在复平面上关于虚轴对称(a ，b ，c ，d ∈R)，则a ，b ，c ，d 之间的关系为( )A ．a ＝－c ，b ＝dB ．a ＝－c ，b ＝－dC ．a ＝c ，b ＝－dD ．a ≠c ，b ≠d解析：选A.两点关于虚轴对称，则这两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．3.若32＜m ＜2，则复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于第________象限． 解析：∵32<m <2， ∴2m －2>0，3m －7<0.∴复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于第四象限．答案：四4.复数z ＝sin π3－icos π6，则|z |＝________． 解析：∵z ＝32－32i ， ∴|z |＝ （32）2＋（－32）2＝62. 答案：62[A 级 基础达标]1.复数2－3i 对应的点在直线( )A ．y ＝x 上B ．y ＝－x 上C ．3x ＋2y ＝0上D ．2x ＋3y ＝0上解析：选C.将点(2，－3)代入检验．2.设O 是坐标原点，向量OA 、OB 分别对应向量2－3i 和－3＋2i ，则向量BA 对应的复数是( )A ．5－5iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－5＋5i解析：选A.由向量的减法知OA －OB ＝BA ，BA ＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5)． ∴向量BA 对应的复数为5－5i.故选A.3.设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i(t ∈R)，则下列结论正确的是( )A ．z 对应点在第一象限B ．z 一定不是纯虚数C ．z 对应点在实轴下方D ．z 一定不是实数解析：选D.∵t 2＋2t ＋2＞0恒成立，而2t 2＋5t －3可正可负可为零．故A 、B 、C 均不正确．故选D.4.复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数为________．解析：由题意可知A (2，3)，B (3，2)，C (－2，－3)，设D (x ，y )，则AD ＝BC ，即(x －2，y－3)＝(－5，－5)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.故D 点对应的复数为－3－2i. 答案：－3－2i5.设z ＝(k 2－k )＋(k 2－1)i ，k ∈R ，且z 对应的复平面上的点在第三象限，则k 的取值范围是________．解析：复数z 在复平面内对应的点为(k 2－k ，k 2－1)，此点在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2－k ＜0，k 2－1＜0，解得0＜k ＜1.答案：(0，1)6.设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R)．(1)若z 是虚数，求m 的取值范围；(2)若复数z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围．解：(1)因为z 是虚数，所以log 12(3－m )≠0，1＋m ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＞0，3－m ≠1，1＋m ＞0.所以－1＜m ＜2或2＜m ＜3.(2)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1＋m ）＜0log 12（3－m ）＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＞01＋m ＜13－m ＞1⇒－1＜m ＜0.[B 级 能力提升]7.(2012·厦门高二质检)复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：选B.z ＝1＋cos α＋isin α， ∴|z |＝（1＋cos α）2＋（sin α）2＝2＋2cos α ＝4cos 2 α2. ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2π， ∴|z |＝－2cos α2. 8.已知z ＝cos π4＋isin π4i 为虚数单位，那么平面内到点C (1，2)的距离等于|z |的点的轨迹是( )A ．圆B ．以点C 为圆心，半径等于1的圆C ．满足方程x 2＋y 2＝1的曲线D ．满足(x －1)2＋(y －2)2＝12的曲线 解析：选B.设所求动点为(x ，y )，又|z |＝cos 2π4＋sin 2π4＝1， 所以（x －1）2＋（y －2）2＝1，即(x －1)2＋(y －2)2＝1.故选B.9.(2012·三门峡高二期中)设z ∈C ，则满足条件2≤|z |≤4的点Z 的集合对应的图形的面积为________．解析：满足条件2≤|z |≤4的点Z 的集合是以原点为圆心，以2和4为半径的圆所夹的圆环．其面积S ＝π·42－π·22＝12π.答案：12π10.当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)?解：(1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3.(2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4， ∴m ＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.11.(创新题)如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于12，那么复数z 的对应点组成的平面图形的面积是多少？解：∵|z |≤1，∴z 对应的点组成的图形是一个以原点为圆心，以1为半径的圆面(包括边界)，又∵虚部的绝对值不小于12∴所求复数对应点组成的图形如图所示(阴影部分)．∵∠AOB ＝23π， ∴S 扇形AOB ＝π3. 又S △AOB ＝34， ∴上面的阴影部分面积为π3－34. ∴整个阴影部分的面积为23－32， 即复数z 的对应点组成的平面图形的面积为23－32.。
2021人教新课标数学·选修1-2(A版)第三章 3.1.1
基础预习点拨 要基点础探预究习归点纳拨 知要能点达探标究演归练纳 课知后能巩达固标作演业练 课后巩固作业
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人教版高中数学选修2-1第三章3.1.2空间向量的数乘运算
导入新课复习上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.(1) 加法法则及减法法则平行四边形法则或三角形法则. (2) 运算律加法交换律及结合律.两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律.借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律．教学目标知识目标正确理解共线、方向向量等基本概念；初步掌握数乘运算，理解运算律；熟练掌握共线向量基本定理、推论及应用.能力目标经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法.情感目标1. 通过自主探究与合作交流，不断体验“成功”，激发学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；2. 通过类比思想和方法的应用，感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.教学重难点重点共线向量概念、基本定理及推论．难点共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定.知识要点1. 空间向量数乘运算的定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vetor by salar）运算.（1）结果仍然是一个向量;（2）方向:当λ>0时，λa与a方向相同;当λ<0时，λa与a方向相反;当λ=0时，λa是零向量0; （3）大小: λa的长度是a长度的|λ|倍.aλa(λ<0)a λa(λ>0)2.数乘运算的运算律显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律（）λ(a +b )=λa +λbλ+μa =λa +μaλ(μa )=(λμ)a 即：知识要点（1） λa与a 之间是什么关系？（2） λa 与a 所在直线之间的关系？对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似.知识要点3.共线向量（或平行向量）的定义表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）记作a//b（1）向量平行与直线平行的比较;（2）关注零向量; （3）对空间任意两个向量a 与b ,如果 ,那么a 与b 有什么相等关系?反过来呢?b //a 零向量与任何向量平行（1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线;（2）当我们说a // b时，也具有同样的意义.知识要点4.共线向量基本定理对于空间任意两个向量a ,b(b≠0)，a // b的充要条件是存在实数λ，使a = λb（1）b≠0的理解.若b=0，则a任意，λ不唯一;（2）若a // b，b // c，则a一定平行于c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量）5.共线向量基本定理的推论如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对于空间任意一点像O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使 OP = OA + ta. (1) AaOP B其中向量a叫做直线l的方向向量（direction vector）在l上取AB=a，则(1)式可化为OP = (1- t)OA + t OB.(2)说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.知识要点6.共面向量定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）.空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.7.共面向量的定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使p = x a + y b8.共面向量的定理的推论空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使MP = xMA + yMB或对空间任一定点O，有OP = OM + xMA + yMB.Ma AbB A' p P对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1）的四点P 、A 、B 、 C 是否共面？OP =xOA+yOB +zOC解答原式可以变形为OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC,OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA), AP=y AB+z AC,所以，点P与点A，B，C共面.例题如下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使OE OF OG OH====kOA OB OC OD求证：四点E、F、G、H共面.D'A'B'C'DA B CO分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB，AC共面来证明.证明:因为 所以 OE=kOA ，OF=kOB ， OG=kOC ，OH=kOD. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC=AB+AD. 解答OE OFOGOH====kOA OB OC OD继续因此EG=OG-OE=kOC-kOA=k AC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EH.由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.课堂小结1.空间向量的数乘运算.2.空间向量的数乘运算的运算律.满足分配律及结合律.3.共线向量与共面向量共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平行或重合. 平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 定理 推论 运用 判断三点共线，或两直线平行 判断四点共线，或直线平行于平面)0a (b //a ≠b λa =p b a b y αx p +=ABt OA OP +=AC y AB x OA OP ++=共面1)y (x OBy OA x OP =++=1)z y (x 0OC z OB y OA x OP =++=++=高考链接1.（2006年福建卷）已知|OA|=1，|OB|= ，OA·OB=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB (m 、n ∈R)，则 等于_______. 3nm 3D. 33 C. 3B. 31 A. BOA =1,OB =3,OA.OB =0,解析: 点C 在AB 上，且∠AOC=30°设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0， )C 点的坐标为(x ，y)=( ， ) OC =mOA+nOB(m,n R)∈33434则∴ 3n m ，41，n 43m ===课堂练习1.选择（1）若对任一点O 和不共线的三A,B,C,且有 则x+y+z=1是四点P 、A 、B 、C 共面的（） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 R),z y,(x,OC z OB y OA x OP ∈++= C（2）对于空间任意一点O ，下列命题正确的是（）. A.若 ，则P 、A 、B 共线 B.若 ，则P 是AB 的中点C.若 ，则P 、A 、B 不共线D.若 ，则P 、A 、B 共线 OP =OA+t AB3OP =OA+AB OP=OA -t AB OP=-OA+AB A（3）下列命题正确的是（）CA.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面C.零向量没有确定的方向D.若a // b，则存在唯一的实数λ使得a = λb解答A.中向量b为零向量时要注意，B.中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D.中需保证b不为零向量.答案C.点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处.像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 .2.解答题已知：且m，n，p不共面.若a∥b,求x，y的值.,p2yn8m1)(xb0,p4n2m3a+++=≠--=空间向量在运算时，注意到如何利用空间向量共线定理.解答 ∵a // b,且a ≠0， ∴b= λ a ，即 又∵m ，n ，p 不共面，∴.p 4λn 2λm 3λp 2y n 8m 1)(x --=+++8.y 13,x ,42y 2831x =-=∴-=-=+习题答案1. （1）AD; （2）AG;（3）MG2. （2）x=1; （2）x=y=1/2; （3） x=y=1/2;3.CA QBRPSO。
新课堂高中数学人教A版选修1-2教师必备用书：第3章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 Word版含答案
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标：1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．复数的概念：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }，叫做复数集． 2．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d . 3．复数的分类z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎨⎧非纯虚数(a ≠0)纯虚数(a ＝0)思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示][基础自测]1．思考辨析(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( )(2)复数i 的实部不存在，虚部为0. ( ) (3)b i 是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．复数i －2的虚部是( )【导学号：48662114】A ．iB ．－2C ．1D ．2C [i －2＝－2＋i ，因此虚部是1.]3．如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝－1 B ．x ＝0，y ＝－1 C ．x ＝1，y ＝0 D ．x ＝0，y ＝0A [∵(x ＋y )i ＝x －1，∴⎩⎨⎧x ＋y ＝0， x －1＝0，∴x ＝1，y ＝－1.] 4．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________.【导学号：48662115】0,1＋i ，πi ，3＋2i ，13－3i ，π3i.1＋i ，πi ，3＋2i ，13－ 3 i ，π3i πi ，π3i [根据虚数的概念知：1＋i ，πi ，3＋2i ，13－3i ，π3i 都是虚数；由纯虚数的概念知：πi ，π3i 都是纯虚数．][合 作 探 究·攻 重 难]①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i －1虚部是2i ； ③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是①实数？②虚数？③纯虚数？【导学号：48662116】(1)[解析] (1)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部为2，不是2i ，所以②为假命题； 对于③，2i ＝0＋2i ，其实部是0，所以③为真命题． [答案] B(2)①当x 满足⎩⎨⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．②当x 满足⎩⎨⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．③当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．设复数为纯虚数1．(1)若复数z ＝a 2－3＋2a i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________________．(2)实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．(1)1或－3 [由条件知a 2－3＋2a ＝0， ∴a ＝1或a ＝－3.](2)由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. ①当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. ②当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.③当⎩⎨⎧ k 2－3k －4＝0k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.④当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.1．由3>2能否推出3＋i>2＋i ？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i ，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．2．若复数z ＝a ＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 提示：若复数z ＝a ＋b i>0，则实数a ，b 满足a >0，且b ＝0.(1)若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于_______． (2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，求实数m 的值.【导学号：48662117】思路探究 (1)等价转化为虚部为零，且实部小于零； (2)根据复数相等的充要条件求解．(1)－3 [(1)∵z <0，∴⎩⎨⎧m 2－9＝0m ＋1<0，∴m ＝－3.](2)设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0，即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0，所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( )【导学号：48662118】A ．2，1B ．2，5C ．±2，5D ．±2，1C [令⎩⎨⎧a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.]2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．0A [(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，所以a ＝3，b ＝－2，所以a ＋b ＝1，故选A.]3．已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，则实数x ＝________，y ＝________.【导学号：48662119】－1 －1 [∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.]4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为________．2 [由题意得⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2－1>1，解得m ＝2.]5．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.【导学号：48662120】[解] 由m 2＋5m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2－2m －15＝0得m ＝5或m ＝－3.(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， ∴m ＝5或－3；(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数， ∴m ≠5且m ≠－3.(3)当⎩⎨⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2.(4)当⎩⎨⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是0，∴m ＝－3.。
人教版高中数学选修1-2第3章3.1.2优质课件
方法感悟
方法技巧
1．复数的两种几何意义 由于复数 z＝a＋bi(a、b∈R)与复平面内的点 Z(a， b)以及平面向量O→Z都是一一对应的，即：
这种对应关系架起了联系复数与解析几何之 间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解 决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数 形结合法)，增加了解决复数问题的途径． 2．复数的模 (1)复数 z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝ a2＋b2； (2)从几何意义上理解，表示复数 z 在复平面
【思路点拨】 计算复数的模，应先找好复数的 实部、虚部，然后用求模公式计算．
【解】 |z1|＝ 32＋42＝5，
|z2|＝
－122＋－ 22＝32.
∵5>32，∴|z1|>|z2|.
【思维总结】 复数的模表示复数在复平面内对 应的点到原点的距离，复数的模可以比较大小．
互动探究 2 在本例中，若复数 z3 的模为 2|z1|，且O→Z3∥O→Z1，求复数 z3.
内的对应点和原点间的距离，类比向量的模
可进一步引申：|z1－z2|表示复数 z1 对应点和
复数 z2 对应点之间的距离．
失误防范 1．注意虚轴与纯虚数的关系：原点在虚轴上， 但表示实数零． 2．复数的模|z|不能等同于实数的绝对值．
课堂互动讲练
考点突破
复数的几何意义
复数的几何意义包含两种：(1)复数与复平面 内的点一一对应；(2)复数与复平面内的向量 一一对应．
例1 在复平面上，复数i,1,4＋2i的对应的点分别 是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的 复数．
【思路点拨】 法一： 复数 → 点的坐标 →
中点坐标公式 → D点坐标 → D对应复数
复数 z＝a＋bi 与点 Z(a，b)及向量O→Z是一一对应关系．
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：椭圆的方程及其性质的应用 难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。
人教A版高中数学选修1-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
(2)由于������������ = ������������ − ������������ , 而(3+2i)-(-2+2i)=5,即������������ 对应的复数是 5. (3)因为������������ = ������������=- ������������ = - ,-2 ,������������ = ������������= 所以������������ ·������������=- ,而|������������|= 所以
答案: 4-3i
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
混淆复数运算与实数运算致误 【典例】 已知复数z满足|z+1|=1,|z+i|=|z-i|,求复数z. 错解分析:本题常见错解:由|z+1|=1得z+1=±1,解得z=0或-2,又因 为|z+i|=|z-i|,所以得到z=0.这一结果是错误的,原因是混淆了复数运 算与实数运算. 解:设复数z=x+yi(x,y∈R),则由已知条件可得
变式训练3若复数z满足|z|-1-3i=z,则z=
.
解析: 设 z=x+yi(x,y∈R),依题意有 ������ 2 + ������ 2 -1-3i=x+yi, ������ = 4, ������ 2 + ������ 2 -1 = ������, 于是 解得 于是 z=4-3i. ������ = 3 , -3 = ������,
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解:(1)(2-i)+(-3+5i)+(4+3i)=(2-3+4)+(-1+5+3)i=3+7i; (2)4-(5+12i)-i=(4-5)+(-12-1)i=-1-13i; (3)法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为z-(-3+5i)=-2+6i, 所以(x+yi)-(-3+5i)=-2+6i, 即(x+3)+(y-5)i=-2+6i, ������ + 3 = -2, ������ = -5, 因此 解得 ������ = 11, ������-5 = 6, 于是z=-5+11i. 法二:由z-(-3+5i)=-2+6i可得z=-2+6i+(-3+5i), 所以z=(-2-3)+(6+5)i=-5+11i.
2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第三章 3.1.2 复数的几何意义
栏 目 链 接
注： (1) 习惯上，用大写字母 Z 表示点，小写字母 z 表示复 数． (2)复数z＝a＋bi用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内点 栏 Z 的坐标是 (a ， b) ，而非 (a ， bi) ．例如，复平面内的点 ( － 2,3) 目 表示复数－2＋3i；反之，复数－2＋3i对应复平面内的点的坐 链 接 标是(－2,3)．
复数 的平面，叫 (1) 定义：建立了直角坐标系来表示 ________ 做复平面．
(2)实轴：x轴叫做实轴． (3)虚轴：y轴(除去原点)叫做虚轴． 2．复平面内的点与复数的对应关系．
栏 目 链 接
(1)实轴↔实数．
(2)虚轴(除原点)↔纯虚数． (3)各象限的点↔非纯虚数．
∴m＝4 时，复数在复平面对应的点位于 y 轴的负半轴上．
2 栏 m ＋3m－28＜0， －7＜m＜4， (2) 由已知 2 ⇒ ⇒ － 7 ＜ m ＜ 2.∴ 目 链 m －8m＋12＞0 m＜2，或m＞6 接
－7＜m＜2 时，复数在复平面对应的点在第二象限．
点评：此类题型，要明确复数的实部和虚部分别是它对应 的点的横坐标和纵坐标，然后根据要求列出相应的关系式求 解．
3．复数的两种几何形式(点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b)． Z(a，b) ． (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)↔点________ (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)↔向量________． 栏 4．复数的模．
梳理 1．复数2－3i对应的点在直线( A．y＝x上 C．3x＋2y＝0上 )
跟 踪 训 练
2 a －a－2 2 i(a∈R)对应的点 Z， 1．a 取何值时，z＝(a －2a－8)＋ a ＋ 1
新课标人教版高中A版数学目录(超详细完美版)
人教版高中数学A版目录新课标A版必修1•第一章集合与函数概念•第二章基本初等函数（Ⅰ）•第三章函数的应用•单元测试•综合专栏第一章集合与函数概念• 1.1集合• 1.2函数及其表示• 1.3函数的基本性质•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合1.1集合• 1.1.1集合的含义与表示• 1.1.2集合间的基本关系• 1.1.3集合的基本运算•本节综合1.2函数及其表示• 1.2.1函数的概念• 1.2.2函数的表示法•本节综合1.3函数的基本性质• 1.3.1单调性与最大(小)值• 1.3.2奇偶性•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第二章基本初等函数（Ⅰ）• 2.1指数函数• 2.2对数函数• 2.3幂函数•同步练习•单元测试•本章综合2.1指数函数• 2.1.1指数与指数幂的运算• 2.1.2指数函数及其性质•本节综合2.2对数函数• 2.2.1对数与对数运算• 2.2.2对数函数及其性质•本节综合2.3幂函数同步练习单元测试本章综合第三章函数的应用• 3.1函数与方程• 3.2函数模型及其应用•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合3.1函数与方程• 3.1.1方程的根与函数的零点• 3.1.2用二分法求方程的近似解•本节综合3.2函数模型及其应用• 3.2.1几类不同增长的函数模型• 3.2.2函数模型的应用实例•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修2•第一章空间几何体•第二章点、直线、平面之间的位置关系•第三章直线与方程•第四章圆与方程•单元测试综合专栏第一章空间几何体• 1.1空间几何体的结构• 1.2空间几何体的三视图和直观图• 1.3空间几何体的表面积与体积•复习参考题•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合•第二章点、直线、平面之间的位置关系• 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系• 2.2直线、平面平行的判定及其性质• 2.3直线、平面垂直的判定及其性质•同步练习•单元测试•本章综合第三章直线与方程• 3.1直线的倾斜角与斜率• 3.2直线的方程• 3.3直线的交点坐标与距离公式•同步练习•单元测试•本章综合第四章圆与方程• 4.1圆的方程• 4.2直线、圆的位置关系• 4.3空间直角坐标系•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修3•第一章算法初步•第二章统计•第三章概率•单元测试•综合专栏第一章算法初步• 1.1算法与程序框图• 1.2基本算法语句• 1.3算法与案例•同步练习•单元测试•本章综合1.1算法与程序框图• 1.1.1算法的概念• 1.1.2程序框图和算法的逻辑结构•本节综合1.2基本算法语句• 1.2.1输入、输出、赋值语句• 1.2.2条件语句• 1.2.3循环语句•本节综合1.3算法与案例同步练习单元测试本章综合第二章统计• 2.1随机抽样• 2.2用样本估计总体• 2.3变量间的相关关系•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合2.1随机抽样• 2.1.1简单随机抽样• 2.1.2系统抽样• 2.1.3分层抽样•本节综合2.2用样本估计总体• 2.2.1用样本的频率分布估计总体• 2.2.2用样本的数字特征估计总体•本节综合2.3变量间的相关关系• 2.3.1变量之间的相关关系• 2.3.2两个变量的线性相关•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第三章概率• 3.1随机事件的概率• 3.2古典概型• 3.3几何概型•同步练习•单元测试•本章综合3.1随机事件的概率• 3.1.1随机事件的概率• 3.1.2概率的意义• 3.1.3概率的基本性质•本节综合3.2古典概型• 3.2.1古典概型• 3.2.2随机数的产生•本节综合3.3几何概型• 3.3.1几何概型• 3.3.2均匀随机数的产生•本节综合同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修4•第一章三角函数•第二章平面向量•第三章三角恒等变换•单元测试•综合专栏第一章三角函数• 1.1任意角和弧度制• 1.2任意的三角函数• 1.3三角函数的诱导公式• 1.4三角函数的图象与性质• 1.5函数y=Asin（ωx+ψ）• 1.6三角函数模型的简单应用•同步练习•单元测试•本章综合第二章平面向量• 2.1平面向量的实际背景及基本概念• 2.2平面向量的线性运算• 2.3平面向量的基本定理及坐标表示• 2.4平面向量的数量积• 2.5平面向量应用举例•同步练习•单元测试•本章综合第三章三角恒等变换• 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式• 3.2简单的三角恒等变换•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修5•第一章解三角形•第二章数列•第三章不等式•单元测试•综合专栏第一章解三角形• 1.1正弦定理和余弦定理• 1.2应用举例• 1.3实习作业•探究与发现解三角形的进一步讨论•同步练习•单元测试•本章综合第二章数列• 2.1数列的概念与简单表示法• 2.1等差数列• 2.3等差数列的前n项和• 2.4等比数列• 2.5等比数列的前n项和•同步练习•单元测试•本章综合第三章不等式• 3.1不等关系与不等式• 3.2一元二次不等式及其解法• 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性• 3.4基本不等式：•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版选修一•新课标A版选修1-1•新课标A版选修1-2新课标A版选修1-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章导数及其应用•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•综合专栏第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•单元测试•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1椭圆• 2.2双曲线• 2.3抛物线•同步练习•单元测试•本章综合第三章导数及其应用• 3.1变化率与导数• 3.2导数的计算• 3.3导数在研究函数中的应用• 3.4生活中的优化问题举例•同步练习•单元测试•本章综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试新课标A版选修1-2•第一章统计案例•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•第四章框图•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•本章综合点击这里展开-- 查看子节点索引目录，更精确地筛选资料！第一章统计案例• 1.1回归分析的基本思想及其初步应用• 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用•实习作业•同步练习•综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明•同步练习•综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•综合第四章框图• 4.1流程图• 4.2结构图•同步练习•综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试本章综合新课标A版选修二•新课标人教A版选修2-1•新课标人教A版选修2-2•新课标人教A版选修2-3新课标人教A版选修2-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章空间向量与立体几何•单元测试•本册综合第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1曲线与方程• 2.2椭圆• 2.3双曲线• 2.4抛物线•同步练习•本章综合第三章空间向量与立体几何• 3.1空间向量及其运算• 3.2立体几何中的向量方法•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-2•第一章导数及其应用•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•单元测试•本册综合第一章导数及其应用• 1.1变化率与导数• 1.2导数的计算• 1.3导数在研究函数中的应用• 1.4生活中的优化问题举例• 1.5定积分的概念• 1.6微积分基本定理• 1.7定积分的简单应用•同步练习•本章综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明• 2.3数学归纳法•同步练习•本章综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-3•第一章计数原理•第二章随机变量及其分布•第三章统计案例•单元测试•本册综合第一章计数原理• 1.1分类加法计数原理与分步乘法计.• 1.2排列与组合• 1.3二项式定理•同步练习•本章综合第二章随机变量及其分布• 2.1离散型随机变量及其分布列• 2.2二项分布及其应用• 2.3离散型随机变量的均值与方差• 2.4正态分布•同步练习•本章综合第三章统计案例• 3.1回归分析的基本思想及其初步应用• 3.2独立性检验的基本思想及其初步•本章综合•同步练习单元测试本册综合新课标A版选修三•新课标A版选修3-1•新课标A版选修3-3•新课标A版选修3-4新课标A版选修3-1•第一讲早期的算术与几何•第二讲古希腊数学•第三讲中国古代数学瑰宝•第四讲平面解析几何的产生•第五讲微积分的诞生•第六讲近代数学两巨星•第七讲千古谜题•第八讲对无穷的深入思考•第九讲中国现代数学的开拓与发展•单元测试•本册综合第一讲早期的算术与几何•一古埃及的数学•二两河流域的数学•三丰富多彩的记数制度•同步练习•本章综合第二讲古希腊数学•一希腊数学的先行者•二毕达哥拉斯学派•三欧几里得与《原本》•四数学之神──阿基米德•同步练习•本章综合第三讲中国古代数学瑰宝•一《周髀算经》与赵爽弦图•二《九章算术》•三大衍求一术•四中国古代数学家•同步练习•本章综合第四讲平面解析几何的产生•一坐标思想的早期萌芽•二笛卡儿坐标系•三费马的解析几何思想•四解析几何的进一步发展•同步练习•本章综合第五讲微积分的诞生•一微积分产生的历史背景•二科学巨人牛顿的工作•三莱布尼茨的“微积分”•同步练习•本章综合第六讲近代数学两巨星•一分析的化身──欧拉•二数学王子──高斯•同步练习•本章综合第七讲千古谜题•一三次、四次方程求根公式的发现•二高次方程可解性问题的解决•三伽罗瓦与群论•四古希腊三大几何问题的解决•同步练习•本章综合第八讲对无穷的深入思考•一古代的无穷观念•二无穷集合论的创立•三集合论的进一步发展与完善•同步练习•本章综合第九讲中国现代数学的开拓与发展•一中国现代数学发展概观•二人民的数学家──华罗庚•三当代几何大师──陈省身•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-3•第一讲从欧氏几何看球面•第二讲球面上的距离和角•第三讲球面上的基本图形•第四讲球面三角形•第五讲球面三角形的全等•第六讲球面多边形与欧拉公式•第七讲球面三角形的边角关系•第八讲欧氏几何与非欧几何•单元测试•本册综合第一讲从欧氏几何看球面•一平面与球面的位置关系•二直线与球面的位置关系和球幂定理•三球面的对称性•同步练习•本章综合第二讲球面上的距离和角•一球面上的距离•二球面上的角•同步练习•本章综合第三讲球面上的基本图形•一极与赤道•二球面二角形•三球面三角形•同步练习•本章综合第四讲球面三角形•一球面三角形三边之间的关系•二、球面“等腰”三角形•三球面三角形的周长•四球面三角形的内角和•同步练习•本章综合第五讲球面三角形的全等•1．“边边边”(s.s.s)判定定理•2．“边角边”(s.a.s.)判定定理•3．“角边角”(a.s.a.)判定定理•4．“角角角”(a.a.a.)判定定理•同步练习•本章综合第六讲球面多边形与欧拉公式•一球面多边形及其内角和公式•二简单多面体的欧拉公式•三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式•同步练习•本章综合第七讲球面三角形的边角关系•一球面上的正弦定理和余弦定理•二用向量方法证明球面上的余弦定理•三从球面上的正弦定理看球面与平面•四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离•同步练习•本章综合第八讲欧氏几何与非欧几何•一平面几何与球面几何的比较•二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型•三欧氏几何与非欧几何的意义•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-4•第一讲平面图形的对称群•第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•第三讲对称与群的故事•综合专栏•单元测试第一讲平面图形的对称群•平面刚体运动•对称变换•平面图形的对称群•同步练习•本章综合第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•n元对称群S•多项式的对称变换•抽象群的概念•同步练习•本章综合第三讲对称与群的故事•带饰和面饰•化学分子的对称群•晶体的分类•伽罗瓦理论•同步练习•本章综合综合专栏单元测试新课标A版选修四•新课标人教A版选修4-1•选修4-2•新课标A版选修4-4•新课标A版选修4-5新课标人教A版选修4-1•第一讲相似三角形的判定及有关性质•第二讲直线与圆的位置关系•第三讲圆锥曲线性质的探讨•单元测试•本册综合第一讲相似三角形的判定及有关性质•一平行线等分线段定理•二平行线分线段成比例定理•三相似三角形的判定及性质•四直角三角形的射影定理•同步练习•本章综合第二讲直线与圆的位置关系•一圆周角定理•二圆内接四边形的性质与判定定理•三圆的切线的性质及判定定理•四弦切角的性质•五与圆有关的比例线段•同步练习•本章综合第三讲圆锥曲线性质的探讨•一平行射影•二平面与圆柱面的截线•三平面与圆锥面的截线•同步练习•本章综合单元测试本册综合选修4-2•第一讲线性变换与二阶矩阵•第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•第三讲逆变换与逆矩阵•第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•单元测试•本册综合第一讲线性变换与二阶矩阵•一线性变换与二阶矩阵•二二阶矩阵与平面向量的乘法•三线性变换的基本性质•同步练习•本章综合第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•一复合变换与二阶短阵的乘法•二矩阵乘法的性质•同步练习•本章综合第三讲逆变换与逆矩阵•一逆变换与逆矩阵•二二阶行列式与逆矩阵•三逆矩阵与二元一次方程组•同步练习•本章综合第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•一变换的不变量---矩阵的特征向量•二特征向量的应用•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-4•第一章坐标系•第二章参数方程•单元测试•本册综合第一章坐标系• 1.1直角坐标系、平面上的伸缩变换• 1.2极坐标系• 1.3曲线的极坐标方程• 1.4圆的极坐标方程• 1.5柱坐标系与球坐标系•同步练习•本章综合第二章参数方程• 2.1曲线的参数方程• 2.2直线和圆的参数方程• 2.3圆锥曲线的参数方程• 2.4一些常见曲线的参数方程•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-5•第一讲不等式和绝对值不等式•第二讲讲明不等式的基本方法•第三讲柯西不等式与排序不等式•第四讲数学归纳法证明不等式•单元测试•本册综合第一讲不等式和绝对值不等式•一不等式•二绝对值不等式•单元测试•本章综合第二讲讲明不等式的基本方法•一比较法•二综合法与分析法•三反证法与放缩法•单元测试•本章综合第三讲柯西不等式与排序不等式•一二维形式的柯西不等式•二一般形式的柯西不等式•三排序不等式•单元测试•本章综合第四讲数学归纳法证明不等式•一数学归纳法•二用数学归纳法证明不等式•单元测试•本章综合单元测试本册综合11 / 11。
人教A版选修2-1第三章第三课时同步练习3.1.2空间向量的数乘运算(二)
§3.1.2 空间向量的数乘运算(二)一、选择题1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.A ．0 B.1 C. 2 D. 32．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－2AC →D.OA →＋2AB →－3AC →3．i 、 j 不共线，则存在两个非零常数m ，n ，使k ＝m i ＋n j 是i ，j ，k 共面的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件4．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( )A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC → D ．以上皆错 5．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A ．12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12c C ．12a ＋12 b －23cD ．23a ＋23b －12c6．有下列命题：①当λ∈R ，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝0时，λa 1＋λa 2＋…＋λa n ＝0；②当λ1，λ2，…，λn ∈R ，且λ1＋λ2＋…＋λn ＝0时，λ1a ＋λ2a ＋…＋λn a ＝0；③当λ1，λ2，…，λn ∈R ，且λ1＋λ2＋…＋λn ＝0时，a 1，a 2，…，a n 是n 个向量， 且a 1＋a 2＋…，a n ＝0，则λ1a 1＋λ2a 2＋…＋λn a n ＝0.其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题7．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ∶MC ＝2∶1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，则x ＋y ＋z ＝________.三、解答题9．如图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 在AC ′上，且AE ∶EC ′＝1∶2，点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，求下列各式中的x ，y ，z 的值．(1)AE →＝xAA ′→＋yAB →＋zAD →；(2)BF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →；(3)GF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →.10．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p ，q ，r 是否共面？参考答案一、选择题1. [答案]A2．[答案] C[解析] 根据A ，B ，C ，P 四点共面的条件即可求得AP →＝xAB →＋yAC →.即OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，由图知x ＝3，y ＝－23．[答案] A[解析] 本题考查空间三个向量共面的条件．若i 不平行j ，则k 与i ，j 共面⇔存在惟一的一对实数x ，y 使k ＝x i ＋y j .故选A.4．[答案] B[解析] 解法一：∵13＋13＋13＝1，∴选B. 解法二：∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， ∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P 、A 、B 、C 共面．5．[答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .∴应选B. 6．[答案] C[解析] 由于λa 1＋λa 2＋…＋λa n ＝λ(a 1＋a 2＋…＋a n )＝λ0＝0， 故命题①为真命题．由于λ1a ＋λ2a ＋…＋λn a ＝(λ1＋λ2＋…＋λn )a ＝0×a ＝0，故命题②也为真命题．命题③为假命题，例如当n ＝2时，取λ1＝1，λ2＝－1，a 1＝a (a ≠0)，a 2＝－a ， 则λ1a 1＋λ2a 2＝a ＋(－1)(－a )＝2a ≠0，但此时有λ1＋λ2＝0，a 1＋a 2＝0，命题③不成立．二、填空题7．[答案] －23 －16 16[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ∶FD ＝2∶1，连结MF ，则MN →＝MF →＋FN →∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP → ＝16DP →＝16(AP →－AD →) MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB → ∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP → ∴x ＝－23 y ＝－16 z ＝168．[答案] 76[解析] 在进行空间向量的线性表示时，一定要与所求一致，才不至于犯错．如图所示，有AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →.又∵AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，∴x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →，有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2y ＝1，3z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝12，z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76. 三、解答题9．[解析] (1)∵AE ∶EC ′＝1∶2，∴AE →＝13AC →＝13(AB →＋BC →＋CC ′→)＝13(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝13AA ′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13. (2)∵F 为B ′D ′的中点，∴BF →＝12(BB ′→＋BD ′→)＝12(BB ′→＋BA →＋AA ′→＋A ′D ′→) ＝12(2BB ′→＋BA →＋BC →)＝BB ′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12. (3)∵G 、F 分别为BD ′、B ′D ′的中点，∴GF →＝12BB ′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0. 10．[解析] 假设存在实数λ，μ，使p ＝λq ＋μr ，则a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c ，∵a ，b ，c 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ－7μ＝1－3λ＋18μ＝1－5λ＋22μ＝－1，∴⎩⎨⎧ λ＝53μ＝13， 即存在实数λ＝53，μ＝13， 使p ＝λq ＋μr ，故p 、q 、r 共面．。
选修2-1 第三章 3.1.2 空间向量的数乘运算
→ → → → → 又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN 1 → → → 1→ ＝－2CA＋CE－AF－2FB， 1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴2CA＋AF＋2FB＝－2CA＋CE－AF－2FB. → → → → → → → ∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)． → → → → → → ∴CE＝2MN，∴CE∥MN，即CE与MN共线．
新知导学
6．a∥α是指a所在的直线____________ 在平面α内 或_____________. 平行于平面α 同一个平面 的向量叫做共面向量，共面向量所在 平行于____________ 异面 ． 的直线可能相交、平行或________
7.空间任意两个向量总是共面的， 但空间任 意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长 → → → 方体，向量AB、AC、AD，无论怎样平移都不 能使它们在同一平面内．
指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．
如右图，已知四边形 ABCD 是空间 四边形， E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点， → F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且CF＝ 2→ → 2 → 3CB，CG＝3CD. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
[证明] ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点， → 1→ → 1 → ∴AE＝2AB，AH＝2AD. → 2→ → 2 → ∵CF＝3CB，CG＝3CD， → 3→ → 3 → ∴CB＝2CF，CD＝2CG，
共线向量 温故知新 回顾复习平面向量中数乘向量与共线向量的概念与定理， 运算律． 思维导航 1 ．参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义， 运算律，共线向量定理还成立吗？
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第三章 3.1.2复数的几何意义 (共80张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第三章 3.1.2复数的几何意义 (共80张PPT)
人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到达尽头，而在乎你有没有跑完全程。 只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐；只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。 能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。 天气影响身体，身体决定思想，思想左右心情。 经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。 生命力的意义在于拚搏，因为世界本身就是一个竞技场。 上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 遇到困难时不要抱怨，既然改变不了过去，那么就努力改变未来。 自己要先看得起自己，别人才会看得起你。 每件事情都必须有一个期限，否则，大多数人都会有多少时间就花掉多少时间。 就算学习和生活再艰难，也要一边痛着，一边笑着，给生活一张漂亮的脸。 进取用汗水谱写着自己奋斗和希望之歌。 嘲讽是一种力量，消极的力量。赞扬也是一种力量，但却是积极的力量。 如你想要拥有完美无暇的友谊，可能一辈子找不到朋友。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。 现在不努力，将来拿什么向曾经抛弃你的人证明它有多瞎。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 按照自己的活法，快乐的生活，活得像自己就好了，何必在意那么多，勇敢地走自己的路，让别人说去吧。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2课件：第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
[活学活用] 1．已知 x，y∈R，i 为虚数单位，且 xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y
的值为
()
A．2
B．－2i
C．－4
D．2i
解析：选 D 由 xi－y＝－1＋i 得 x＝1，y＝1，所以(1＋i)x＋y ＝(1＋i)2＝2i.
2．已知 a，b∈R，i 是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则 a＋bi ＝________.
复数运算的综合问题解决方法 在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等 式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决 此类问题常将复数设为 x＋yi(x，y∈R)的形式，利用有关条件 及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点 的坐标及向量问题进行解决．
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( ×) (√ )
2．(北京高考)复数 i(2－i)＝
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
答案：A
3．若复数 z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1·z2＝
A．4＋2i
B．2＋i
C．2＋2i
D．3＋4i
答案：A
4．复数i2＋1－i3＋i i4＝________. 答案：12－12i
() ()
法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0， ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)， ∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016， ＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋ i2 015＋i2 016)＝0. [答案] (1)A (2)0
虚数单位 i 的周期性 (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》精品课件_26
1．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将 i2 换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i.
解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，所以 a－1＝0， a＋1＝b，即 a＝1，b＝2，所以 a＋bi＝1＋2i. 答案：1＋2i
复数代数形式的除法运算
[典例] (1)若复数 z 满足 z(2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则 z
为
()
A．3＋5i
B．3－5i
C．－3＋5i
C．－1＋2i
D．－1－2i
答案：A
3．若复数 z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1·z2＝
A．4＋2i
B．2＋i
C．2＋2i
D．3＋4i
答案：A
4．复数i2＋1－i3＋i i4＝________. 答案：12－12i
() ()
复数代数形式的乘法运算
[典例] (1)已知 i 是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，
i 的乘方的周期性及应用
[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i607 的共轭复数为( )
A．i
B．－i
C．1
D．－1
(2)计算 i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.
[解析] (1)因为 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为 i， 故选 A.
(2)法一：原式＝i(1－1－i2i016)＝i[1－1(－i2)i1 008]＝i(11－－i1)＝0.
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