人教备战中考数学《平行四边形的综合》专项训练附详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．

（1）当点N落在边BC上时，求t的值．

（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．

（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．

（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．

【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）

t=1或

【解析】

试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；

（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．

（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．

试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，

∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．

∴DQ=3

∴2t=3．

∴t=；

（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，

∴PD=DQ，

当0＜t＜时，

此时，PD=t，DQ=2t

∴t=2t

∴t=0（不合题意，舍去），

当≤t＜3时，

此时，PD=t，DQ=6﹣2t

∴t=6﹣2t，

解得t=2；

综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t

当点M在BC边上时，

∴MN=BQ

∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t

∴3t=3﹣2t

∴解得t=

如图①，当0≤t≤时，

S△PNQ=PQ2=t2；

∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，

如图②，当≤t≤时，

设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，

∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，

∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，

∵△EMF是等边三角形，

∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2

．

；

（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，

此时＜t＜，

t=1或．

考点：几何变换综合题

2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且

∠ABC+∠ADC=180°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形．

（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．

【答案】(1)见解析；（2）18°.

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；

（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出

OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．

【详解】

（1）证明：∵AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，

∴∠FDC=36°，

∵DF⊥AC，

∴∠DCO=90°﹣36°=54°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OC=OD，

∴∠ODC=54°

∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以

4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=15

2

或12.

【解析】

【分析】

（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；

（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.

【详解】

解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，

∴AB=1

2AC=

1

2

×60=30cm，

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=1

2

CD=2t，∴DF=AE；