四种命题

个性化辅导讲义

学校：年级：课时数：2

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课课题四种命题的关系

授课时间及时段2019年月日星期六时段： 16:00 — 18：00教学目标

1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点)

2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点)

3.利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点、易错点)

教学内容与过程

四种命题

1.四种命题的概念

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.

2.四种命题的形式

原命题：若p，则q.

逆命题：若q，则p.

否命题：若﹁p，则﹁q.

逆否命题：若﹁q，则﹁p.

四种命题间的相互关系

1.四种命题之间的相互关系

2.四种命题的真假关系

(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

真假假真

假真真假

假假假假

(2)四种命题的真假性之间的关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

[基础·初探]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)有的命题没有逆命题.()

(2)四种命题中，原命题是固定的.()

(3)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.()

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题都没有.()

(2)两个互逆命题的真假性相同.()

(3)命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数有3个.()

[小组合作型]

四种命题的概念

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x＞10，那么x＞0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.

【精彩点拨】根据四种命题的结构写出所求命题.

1.写出一个命题的其他三种命题的步骤

(1)分析命题的条件和结论；

(2)将命题写成“若p，则q”的形式；

(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.

注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变.

2.常见词语的否定

词语是都是＞至少有n个至多有n个

否定不是不都是≤至多有n－1个至少有n＋1个

[再练一题]

1.(1)命题“若m＞n，则m－1＞n－2”的逆否命题为________.

(2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：

①正数的平方根不等于0；

②若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0.

四种命题真假的判断

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：

(1)正偶数不是素数；

(2)平行于同一条直线的两条直线平行.

在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假.

[再练一题]

2.下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题.

其中是真命题的是________.

[探究共研型]

等价命题的应用

探究1我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？

【提示】可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.

探究2根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假，是哪种证明方法的理论基础？

【提示】是反证法的理论基础.

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假.

【精彩点拨】法一：分析已知命题→写出逆否命题→利用Δ求a的范围→判断命题真假

法二：判断原命题真假→判断逆否命题真假

这种问题的解决通常有两种方法：一是直接法，先写出逆否命题，后判断，如法一；二是间接法，不写逆否命题，从判断原命题的真假证明逆否命题的真假，如法二.

[再练一题]

3.证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

1.命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()

A.“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”

B.“若一个数的相反数是正数，则它是负数”

C.“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”

D.“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”

2.命题“如果x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()

A.如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1

B.如果－1＜x＜1，则x2＜1

C.如果x＞1或x＜－1，则x2＞1

D.如果x≥1或x≤－1，则x2≥1

3.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

4.有下列四个命题：

①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；