1.4逻辑连接词与四种命题

• ③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆 否命题;
• ④“若A∩B=B,则 A B ”的逆命题.
• 其中真命题是( C ) • A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ③
④
•
①“若xy=1，则x,y互为倒数”的
逆命题“若x,y互为倒数，则xy=1”正确；
• ②“面积相等的三角形全等”的否命题“面 积不相等的三角形不全等”正确；
盾，故假设不成立. • 所以a+b＜0.
• 点评：反证法证题，其根据是原命题与它 的逆否命题等价.其一般步骤是：
• ①反设：作出与求证结论相反的假设；
• ②归谬：将反设作为条件，并由此通过一 系列的正确推理导出矛盾；
• ③结论：说明反设不成立，从而肯定原命 题成立.值得注意的是：反证法证题时，一 定要用到“反设”进行推理，否则就不是 反证法.
• 已知下列三个方程：
• x2+4ax-4a+3=0，
• x2+(a-1)x+a2=0，
• x2+2ax-2a=0
• 至少有一个方程有实根，
• 则实数a的取值范围
是
.
•
若三个方程均无实根，
则 16a2-4(3-4a)＜0
• (a-1)2-4a2＜0
• 4a2+8a＜0，解得 • 故三个方程至少有一 32个＜方a＜程1有. 实根的实数
(23)
;“任意”的否定形式为
(24)
；
• “ 至至少多有n有+1n个个 ” 的 否 定 形 式 为
(25)
非;p或非q
• “p 且 q” 的 否 定非p形且非式q 为
(26)
；
• “ 存p在某或个xq不” 成的立 否 定 形 式 为
(27)
;
• “ 对存所在某有个的x成x 立成 立 ” 的 否 定 形 式 为
断是非的能力和推理能力，尤其要重视
“等价转化”思想和“反证法”的应用.
• 一、逻辑联结词与命题
• 1. 逻 辑 联 结 词 为 (1) 或
(2)非
、(3)
且、 .
• 2. 复合命题的定义是
• (4) 有逻辑联结词的命题叫做复合命题
.
• 二、命题真值表
假
• 1. 非 p 型 ：真若 p 真 ， 则 非 p 为
集
4
3
<0}为空
• 3x2+2mx+m+34 <0无解
• 3x2+2mx+m+34
3
≥0恒成立
• 所以命题q：{m|-1≤m≤4}，
• 又“p且q”为假，“p或q” 真一假.
p、q必一
• 画数轴图可得实数m的范围是{m|m<-1或 -1<m<0或4<m≤5或m≥6}.
点评：要判断复合命题的真假，应先判断各简单
第一章 集合与简易逻辑
第 4讲
逻辑联结词与四种命题
考 点 搜 索
●与命题有关的几个概念 ●四种命题及其之间的关系 ●反证法的步骤及应用 ●利用简易逻辑知识解决数学综合题高
逻辑部分的内容是新教材新增内容，
高基本的逻辑知识是人们认识和研究问题 考 不可缺少的工具，因此这是高考命题的 猜 热点，常以选择题的形式出现.高考中主 想 要考查命题与命题间的逻辑关系以及判
• A. 若a＜b，则a-8＜b-8
• B. 若a-8＞b-8，则a＞b
• C. 若a≤b，则a-8＞b-8
• D. 若a-8≤b-8，则a≤b
•
否命题即是将原命题的条件与结
论都否定的命题.故选C.
• 题型二：复合命题的真假判断的应用
• 2. 已知m∈R，
• 设命题p：函数f(x)=x2-ax-2与x轴交于
函数f(x)=x2-ax-2与x轴交于
A(x1,0), B(x2,0)两点， • 所以x1、x2是方程x2-ax-2=0的两个根， • 则x1+x2=a,x1x2=-2. • 所以
• 当a∈［| x1-1x,21|］(时x1， xa2)22+ 84x的1x2最大a值2 是8.9，即
|x1-x2|≤3.
• 3. 已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的增 函 数 ， a ， b∈R ， 对 命 题 “ 若 a+b≥0 ， 则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
• (1)写出逆命题，判断其真假，并证明 你的结论；
• (2)写出其逆否命题，并证明你的结论.
•
(1)逆命题：已知函数f(x)是(-
;若p、q假，则p或
q为(12)
.
• 三、四种命题及其相互关系
• 1.四种命题：原命题为“若p则q”，则它的
逆命题为(13) (14)
若q则p
;它的否命为 ;它的逆否命题为
(15) 若非p则非q
.
• 2. 若非相q则关非p系 ： 原 命 题 与 它 的
(16)
等价；逆命题与它的
(17) 逆否命题 等价.
否命题
• 四、几个重要结论
•“ 至 少 有 一 个 ” 的 否 定 形 式 为
(18一) 个也没有
; “至多有一个”的否
定 至少有两个形
式
为
(19不)都是
;“都是”的
否定任形意式一为个(20)
；“某个”
的否某定些形式为(21)
；“所
有的某”两否个定形式为(22)
;“任意
两 某个 ” 的 否 定 形 式 为
2
2
• 若(p假， q0真］U，［1则，c的)取I 值(1范，围是) ［1， ).
2
• 因(此0， c1的］取U［ 值1范，围是).
2
• 1. 复合命题的真假应由构成复合命题的 简单命题的真假，结合复合命题真值表 加以判断.
• 2. 当原命题的真假不易判断时，可考虑 判断其逆否命题的真假；当否命题的真 假不易判断时，可考虑判断逆命题的真 假.
a的取值范围为{a|a≥-1，或a≤ }，
• 故填(-∞， ］∪［-1，+∞).3
2 3
2
参考题
•
题型 命题中的逻辑推理
• 已知c＞0，设
• p:函数y=cx在R上单调递减，
• q:不等式x+|x-2c|＞1的解集为R.
• 如果p和q有且仅有一个正确，求c的取 值范围.ຫໍສະໝຸດ •函数y=cx在R
0＜c＜
• (1)命题S:两次都击中飞机;
• (2)命题R:两次都没有击中飞机;
• (3)命题T:恰有一次击中飞机;
• (4)命题U:至少有一次击中飞机.
•
(1)p且q；
• (2)
• (3) p且q
• (4)pp且且q，q或，p或或qp.且q;
D
• 2.命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是
(
• 由题意，不等式|x1-x2|≤|m2-5m-3|对任 意实数a∈［-1,1］恒成立
• |m2-5m-3|≥3 m≤-1或0≤m≤5
或m≥6，
• 所以命题p：{m|m≤-1或0≤m≤5或
m≥6}；
• {x∈R|3x2+2mx+m4+
有一个
3
<0}的子集只
• {x∈R|3x2+2mx+m4+
(28)
；
• 五、反证法
• 反证法常用于证明唯一性、以否定形式
出现、正面考虑较难的题型.在推证矛盾
时，一般有三种已表知现条形件式： • 一是与(30)
产生矛
盾；
• 二是与自身产生矛盾；
• 三是与已知真命题产生矛盾.
• 1.在一次模拟打飞机的游戏中,小王连续射 击两次.设命题p：“第一次击中飞机”,命 题q：“第二次击中飞机”.试用p,q以及逻 辑联结词表示下列命题:
• 3. 在证明问题中，若结论中含有“至 少”“至多”“唯一”“没 有”“无”“不”等词，可考虑用反 证法.
• 4. 反证法中矛盾的构设可以多种多样， 如与已知条件矛盾，与假设矛盾，与 某些定义、定理、性质或是显而易见 的结论矛盾，证明过程中自相矛盾等.
• (2)逆否命题：若 f(a)+f(b)＜f(-a)+f(b)，则a+b＜0.
• 下面用反证法给出证明： • 假设a+b≥0，则a≥-b且b≥-a; • 又 f(x) 为 增 函 数 ， 所 以 f(a)≥f(-b) ，
f(b)≥f(-a); • 两式相加，得f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)， • 这与题设条件f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b)矛
命题的真假，而判断各简单命题的真假，需综合
运用各知识.
• 给出下列两个命题，p:负数的平方是正
数；q:方程x2-x+C1=0有实根，则下列
哪个复合命题是真命题(
)
• A. p或q
B. p且q
• C. p或q
D. p且q
•
因为p是真命题，q为假命题，
所以p或q为真命题，故选C.
•
题型三：反证法的运用
• •
((12))若若两 条 3直线，没则c有os公 共12；点，则这两直线
平行.
•
(1)逆命题：若
cos

1 2
，则
3
命题)

cos 1
• 否命题：若
3
cos ，1 则

2

命题)
2
3
；(假 ； (假
• 逆否命题：若
，则
.(真
命题)
• (2)逆命题：若两直线平行，则这两条直线 没有公共点；(真命题)