第二十九章 投影与视图

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俯视图是一个圆及圆心，那么这个几何体的侧面积是 分析 这个几何体为圆锥，底面圆的半径为 锥的母线长 1，扇形的弧长为 2π × 面积为 S＝
1 π π ×1×π ＝ .故填 2 2 2
知识网络结构图
专题总结及应用
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一、知识性专题 专题 1 画立体图形的三视图 【专题解读】 画一个几何体的三视图时，要有—定的想象能力，想象出它从正面、侧 面和上面看分别是什么图形，然后把各个图形画出来即可． 例 1 如图 29－77 所示，这个几何体的主视图是图 29－78 中的 ( )
解：(1)圆锥． (2)表面积 S＝S 扇形＋S 圆＝π rl＋π r2 ＝12π ＋4π ＝16π (平方厘米)． (3)如图 29－90 所示，将圆锥侧面展开，线段 BD 为所求的最短路程． 由条件得∠BAB′＝120°，C 为弧 BB′的中点，所以 BD＝3 3 , 二、规律方法专题 专题 3 投影在实际生活中的应用 【专题解读】 投影在现实生活中有很多应用，解决这类问题时，应把它转化为数学问 题来解决． 例 10 如图 29－9l 所示，不透明圆锥体 DEC 放在直线 BP 所在的水 平面上， 且 BP 过圆锥底面圆的圆心， 圆锥的高为 2 3 m， 底面半径为 2 m， 某光源位于点 A 处，照射圆锥体在水平面上留下的影长 BE＝4 m． (1)求∠ABC 的度数； (2)若∠ACP＝2∠ABC，求光源 A 距平面的高度． 解：(1)过点 D 作 DF⊥BC 于点 F， 由题意得 DF＝2 3 m，EF＝2m，BE＝4m． 在 Rt△DFB 中，BF＝BE＋EF＝4＋2＝6(m)， DB＝ DF 2 BF 2 (2 3)2 62 ＝4 3 (m)，
分析 从左边观察几何体所得的平面图形即为左视图，故选 A． 例 4 由两块大小不同的正方体搭成如图 29－83(1)所示的几何体，它的主视图是如图 29－83(2)所示的 ( )
分析 C．
先细心观察原立体图形中两个正方体的位置关系， 结合四个选项选出答案． 故选
专题 2 由三视图到立体图形 【专题解读】 根据三视图描述立体图形的形状，也是本章的重点知识，它需要将三个 平面图形结合起来进行整体分析， 这样有利于形成整体意识、 空间观念及综合分析问题的能 力． 例 5 如图 29－84 所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 l 的正三角形，
1 1 AC＝ ×8＝4(m)， 2 2
∴AH＝ AC 2 CH 2 ＝ 82 42 ＝4 3 (m)， 即光源 A 距平面的高度为 4 3 m．
三、思想方法专题 专题 4 分类讨论思想 【专题解读】 一个几何体只给出了部分视图，条件很宽松时，要注意分类讨论． 例 11 用小方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图 29－92 所示，这样的几何体有几种? 分析 根据第二层块数的不同进行分类讨论． 解：9 种，第一层有 5 个小方块，第二层可以有 2，3，4 个小方 块，当第二层有 2 个或 3 个小方块时，分别有 4 种情况；当第二层有 4 个小方块时，有 1 种情况，所以共有 9 种这样的几何体. 2011 中考真题精选 1. （2011 湖北荆州，4，3 分）如图．位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成， 相似比为 2：5，且三角尺的一边长为 8cm，则投影三角形的对应边长为（ ） A、8cm B、20cm C、3.2cm D、10cm
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 分析 圆柱的左视图为长方形，圆锥的左视图为三角形，球的左视图为圆，正方体的左 视图为正方形．故选 B． 例 8 如图 29－87 所示的是某几何体的展开图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)画出这个几何体的三视图； (3)求这个几何体的体积．(π 取 3.14) 分析 (1)两底面为圆，侧面展开图为矩形，很显然是圆柱体；(2)主视图、左视图、俯视 图分别为矩形、矩形、圆；(3)底面半径为 5，高为 20，由圆柱体的体积公式即可求解． 解：(1)圆柱 (2)如图 29－88 所示．
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第二十九章
本章小结
投影与视图
小结 1 本章概述 本章在平面知识的基础上加入空间概念的研究， 教材从平行投影和中心投影入手， 介绍 了几何体的三视图， 把立体图形转化为平面图形， 然后再综合这两方面的知识把平面图形组 合成立体图形——制作立体模型． 小结 2 本章学习重难点 【本章重点】 通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用；会画基本几何体(直 棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图，左视图、俯视图)，会画简单物体的三视图，能根 据三视图描述基本几何体或实物的原型． 【本章难点】 了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的联系，通过典型实 例知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装)． 【学习本章应注意的问题】 新课标提出“抽象概念的数学，要关注概念的实际背景与形成过程” ．学习概念时，要 注意联系实际，加深对概念的理解与应用，淡化过于形式化的叙述．画三视图时，应注意看 不见部分的轮廓线要画成虚线，看得见部分的轮廓线要画成实线，要注意找准物体的位置， 且要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即主视图、俯视图的长相等，左视图、主视 图的高相等，左视图、俯视图的宽相等． 小结 3 中考透视 本章内容与其他章内容有较为明显的区别， 它与直观图形的关系密切， 需要在图形形状 方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图，制作模型等类型题，而很少涉及与度 量或计算有关的问题，一般以选择题的形式出现，约占 3~9 分． 灯光和影子是新课程标准的添加内容， 在以往的教材中没有这部分知识， 故在近几年中 考中没有对该部分内容的考查，在今后的中考试题中，估计会有部分考查点以填空题、选择 题的形式出现，或以作图题的形式出现．
考点：位似变换；中心投影． 专题：几何图形问题． 分析：根据位似图形的性质得出相似比为 2：5，对应变得比为 2：5，即可得出投彩三角形 的对应边长． 解答：解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为 2：5，三角尺 的一边长为 8cm， ∴投彩三角形的对应边长为：8÷ 25=20cm． 故选：B． 点评：此题主要考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应变得比为 2：5，再 得出投彩三角形的对应边长是解决问题的关键． 2. （2011 广西崇左，17，3 分）一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角 形木框在地面上的影子不可能是( )
A、
B、
C、
D
、
考点：简单组合体的三视图。 分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解答：解：从正面看易得正方体位于长方体的上方， 故选 B． 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2. （2011 江苏连云港，8，3 分）如图，是由 8 个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个 视图都是 2×2 的正方形，若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉 ） ，其三个视图仍都 ．．． 为 2×2 的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ A．1 B．2 C．3 ） D ．4
(
分析 从正面看应选 A 【解匙策略】 解此类题时要注意发挥空间想象能力． 例 2 如图 29－79 所示的是一根钢管的直观图，则它的三视图为(如图 29－80 所示) )
分析 由直观图可确定 D 正确．故选 D． 例 3 由四个大小相同的正方体组成的几何体如图 29－81 所示，那么它的左视图是如 图 29－82 所示的 ( )
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考点：平行投影． 专题：应用题． 分析：根据看等边三角形木框的方向即可得出答案． 解答：解：竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到 C，延与平面不平行 的方向看可得到 D，不论如何看都得不到一点． 故选 B． 点评：本题主要考查对平行投影的理解和掌握，能熟练地观察图形得出正确结论 是解此题的关键． 1. （2011 江苏淮安，4，3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A、
B、
C、
D、
考点：简单几何体的三视图。 分析：本题主要考查三视图的俯视图知识，仔细观察简单几何体，便可得出选项． 解答：解：A、圆柱的俯视图为圆，故本选项错误；B、长方体的的俯视图为矩形，故
图与左视图也为 2× 2 的正方形，所以上面一层必须保留交错的两个立方块，即可知最 多能拿掉小立方块的个数． 解答：解：根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为 2× 2 的正方形，所以最多 能拿掉小立方块的个数为 2 个． 故选 B． 点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．解决此类图的关键是由立体图形得 到三视图；学生由于空间想象能力不够，易造成错误． 3. （2011 江苏南京，5，2 分）如图是一个三棱柱．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱 柱的是（ ）
考点：简单几何体的三视图。 分析：拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为 2× 2 的正方形，所以 最底下一层必须有四个小立方块，这样能保证俯视图仍为 2× 2 的正方形，为保证正视
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．
1 ，侧面展开图为扇形，扇形的半径为圆 2
1 1 ＝π ，由扇形的面积公式 S＝ lR 得这个几何体的侧 2 2
.
【解题策略】 本题主要考查由三视图到立体图形， 以及立体图形的侧面展开图和扇形 面积公式． 例 6 某几何体的三种视图如图 29－85 所示，则该几何体可能是 ( )
来自百度文库
A．圆锥体 B．球体 C．长方体 D．圆柱体 分析 根据三视图来描述立体图形的形状，需要将三个平面图形结合起来，整体分析， 并进行空间想象，以利于形成整体意识．故选 D． 例 7 在 如 图 29 － 86 所 示 的 四 个 几 何 体 中 ， 左 视 图 是 四 边 形 的 几 何 体 共 有 ( )
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(3)V＝π R2·h＝π ·52×20＝500π ≈1570． 【解题策略】 本题综合考查了由侧面展开图到立体图形， 以及立体图形到三视图和立 体图形的体积计算． 例 9 如图 29－89 所示的是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据所示数据计算这个几何体的表面积； (3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点 B 出发，沿表面爬到 AC 的中点 D，请你求出 这个线路的最短路程．
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∴DF＝
1 BD，∴∠ABC＝30°． 2
(2)过点 A 作 AH⊥BP 于点 H． ∵∠ACP＝2∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°， ∴AC＝BC＝8 m，∠CAH＝90°－∠ACP＝90°－60°＝30°． 在 Rt△ACH 中，∠CAH＝30°，∴CH＝
A、
B、
C、
D、
考点：展开图折叠成几何体。 专题：几何图形问题。 分析：利用三棱柱及其表面展开图的特点解题．三棱柱上、下两底面都是三角形． 解答：解：A、折叠后有二个侧面重合，不能得到三棱柱； B、折叠后可得到三棱柱； C、折叠后有二个底面重合，不能得到三棱柱； D、多了一个底面，不能得到三棱柱． 故选 B． 点评：本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且都是 三角形． 4. （2011•南通）下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的为（ ）