如何培养学生在解不等式问题中的应变能力和研究对策

如何培养学生在解不等式问题中的应变能力和研究对策 湖南耒阳一中 谢正炎 徐松洋

不等式既是中学数学的一个重要内容，又是学好其它数学内容必须

掌握的一门工具，在高考中有很大比例。所以，学好不等式是非常必要的。但在做题当中，学生常因忽略不等式成立的条件而出现一些错误。针对这种情况，教师若能培养学生思维的批判性。 一、 不等式性质应用中的易错题对策与研究

例1：已知(0)a b b >≠，则a

b

与1的大小关系为 。

误解：a b >，1a

b

∴>

分析与对策：由1a

a b b

>⇒>，是在a b >两边除以b 而得，但

未知0b >，所以应分为0b >与0b <两种情况。 正解：当0b >时，1a

a b b

>⇒

> 当0b <时，1a

a b b

>⇒<

例2：若022αβπ<-<，22

π

αβπ-

<-<，则α

β

+的取

值范围是 。 误解：

(2)(2)αβαβαβ+=---

2

π

αβπ∴

<+< 分析与对策：已知两个不等式是同向不等式，不能相减。故结论是错误的。可化为同向不等式，再相加。

正解：22

π

αβπ

-

<-<，22

π

π

βα∴-<-<

又02αβπ

<-<

3

2

παβπ∴-<+<

例3：下列命题正确的是（ ） A ．22

a

b a

c bc

>⇒>

B ．,0c c

a b c b a

<>⇒>

C ．22

,()()a b c d a b c d >>⇒->-

D ．0,0a b

a b c d d c

>>>>⇒

> 误解一：选A 误解二：选B 误解三：选C

分析与对策：选A 虽然注意到2

0c >，但忽视了0c =的情况；

选B 虽然注意到0c >且11b a <时有c c

b a

<，但由a b <无法推出

11

b a

<；选C 虽有a c b d +>+，即a b d c ->-，但只有0a b d c ->->时，才有22()()a b c d ->-，这里0a b ->，

0c d ->不能成立。运用不等式性质解题，必须准确掌握这些性

质成立的前提。 正解：选D

二、 应用重要不等式求最值中的易错题对策与研究

例4：求函数1

y x x

=+的值域(0)x ≠。

误解：

12y x x =+≥=

所以1

y x x

=+(0)x ≠的值域为[2,)+∞。

分析与对策：

忽略重要不等式2

a b

+≥成立的条件：0a >，0b >。

正解：当0x >

时，12y x x =+

≥= 当且仅当1

x x

=

即1x =时取等号。 当0x <

时，11()2y x x x

x

=+=---≤-=-，

当且仅当1

x x

-=-即1x =-时取等号

所以1

y x x

=+(0)x ≠的值域为(,2][2,)-∞-⋃+∞。

例5：已知0a >，0b >，且a 、

b 为常数，x 、y 为正数，1a

b x y

+=，求x y +

的最小值。

误解：

1a b x y =+

≥⇒≥

x y ∴+≥≥

x y +

的最小值为

分析与对策：两次用基本不等式，但两次等号成立的条件不尽相

同，取等号的条件是，取等号的条件是x y =；

因此，x y +=成立必须a b

x y =且x y =，即x y =且a b =，而题中没有这个条

件，因此需另辟蹊径。

正解：

()()a b

x y x y x y

+=++

2

y x a b a b a b x y

+++≥++=+

当且仅当y x a b x y =

即y x =时取等号， 所以x y +

的最小值为2。

例6：

求2)y x R =∈的最小值

误解：22

2y x

=

=≥

y 的最小值为2。

分析与对策：等号不能成立。因为当且仅当=

即

21

x =-时取等号，而2

1x =-在x R ∈时无解。

正解：

令(t t =≥

1

(y t

t t

∴=+≥

因为当[1,)t ∈+∞时为增函数（证明略）

所以t =即0x =时，y 2=。

例7：已知0a >，0b >，2

1a b =，求a b +的最小值。

误解：

0a >，0b >

a b ∴+≥a

b =时取等号

由21

a b a b =⎧⎨=⎩得 1a =，1b =

a b ∴+的最小值为2

分析与对策：上述解法错误在于忽略a b ⋅应为定值的条件。欲求和的最小值，应构造积为定值。 正解：

0,0a b >>

22a a a b b ∴+=

++≥当且仅当2a b =

即a =

2

b =时取等号

三、 解不等式中的易错题对策与研究

例8：解不等式

2x --> 误解：将原解不等式两边平方，得22

4416x x x ++>-

解得5x >-

分析与对策：一是漏掉了2

160x -≥这个条件，二是没有考虑内含条

件20x -->的限制。

正解：原不等式等价于222160204416x x x x x ⎧-≥⎪

-->⎨⎪++>-⎩

解得4425x x x x ≤-≥⎧⎪

<-⎨⎪>-⎩

或