2012年高数专升本真题及其参考答案

2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题 （每小题2 分，共60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数 xx y 1arctan 4++=的定义域是 （ ）A ．[4-,+∞）B ．(4-,+∞)C ．[4-, 0）⋃(0,+∞)D ．（4-, 0）⋃(0,+∞) 【答案】C.【解析】 x +4要求04≥+x ，即4-≥x ；x1arctan 要求0≠x .取二者之交集，得∈x [4-, 0）⋃(0,+∞) 应选C.2．下列函数为偶函数的是（ ）A ．()x x y -+=1log 32B ．x x y sin =C ． ()x x ++1ln D. x e y =【答案】B.【解析】 显然A ，D 中的函数都是非奇非偶，应被排除；至于C ， 记 ()()x x x f ++=1ln 2 则 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-x x x f 1ln 2()x x-+=1ln2=++=xx 11ln2()().1ln 2x f x x -=++-所以()x f 为奇函数，C 也被排除.应选B.3．当0→x 时，下列无穷小量中与)21ln(x +等价的是（ ）A ． xB ．x 21C ．2xD ．x 2 【答案】D.【解析】因为12)21ln(lim0=+→xx x ，所以应选D.4．设函数()xx f 1sin 2=， 则0=x 是()x f 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点 【答案】D ．【解析】 因为()x f 在0=x 处无定义，且无左、右极限，故0=x 是()x f 的第二类间断点.选D ． 5．函数3x y =在0=x 处A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导 【答案】C.【解析】因为3x y =是初等函数，且在0=x 处有定义，故()x f 在0=x 处连续；又321.31x y ='，故()x f 在0=x 处不可导.综上，应选 C.6．设函数()()x x x f ϕ= ，其中()x ϕ在0=x 处连续且的()00≠ϕ，则()0f '（ ）A ．不存在B ．等于()0ϕ'C ．存在且等于0D ．存在且等于()0ϕ 【答案】A. 【解析】()()()00lim 00--='-→-x f x f f x ()xx x x 0lim0--=-→ϕ()()0lim 0ϕϕ-=-=-→x x ； ()()()00lim 00--='+→+x f x f f x ()x x x x 0lim 0-=+→ϕ()()0lim 0ϕϕ==+→x x ； 因为()≠'-0f ()0+'f ，所以()0f '不存在，选A. 7．若函数()u f y =可导，x e u =，则=dy （ ）A ．()dx e f x 'B ．()()x x e d e f 'C ．()dx e x f x .'D ．()[]()x x e d e f '【答案】D B.【解析】根据一阶微分形式的不变性知 ()()()x x e d e f du u f dy '='=，故选B. 8．过曲线()x f y 1=有水平渐进线的充分条件是（ ） A ．()0lim =∞→x f x B ．()∞=∞→x f x limC ．()0lim 0=→x f x D ．()∞=→x f x 0lim【答案】B.【解析】根据水平渐进线的定义： 如果()C x f x =∞→lim 存在，则称C y =为曲线()x f y =的一条水平渐进线，易判断出应选B.9．设函数x x y sin 21-=，则=dydx（ ） A ． y cos 211- B ．x cos 211-C ．ycos 22- D ．x cos 22-【答案】D .【解析】因为x x x dx dy cos 211sin 21-='⎪⎭⎫⎝⎛-=，所以，=-==x dx dy dy dx cos 21111xc o s 22-，选D . 10．曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B.【解析】 因为()()()00lim00--='-→-x f x f f x ()x x x 1sin 1lim 0-+=-→1sin lim 0==-→xx x ； ()()()00lim00--='+→+x f x f f x ()111l i m 0=-+=+→xx x ，故()10='f 存在. 所以，曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是()10='f ，选B.11． 方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间()1,0内实根最多有（ ） A ．4个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个 【答案】D ．【解析】 令c x x y ++=33.则0332>+='x y ，因此曲线c x x y ++=33在()1,0内是上升的，它至多与x 轴有一个交点，即方程033=++c x x 在区间()1,0内至多有一个实根.选D ．12．若()x f '连续，则下列等式正确的是（ ）A ．()[]()x f dx x f ='⎰ B ．()()x f dx x f ='⎰ C ．()()x f x df =⎰ D ．()[]()x f dx x f d =⎰【答案】A ．13．如果()x f 的一个原函数为x x arcsin -，则()=⎰dx x f 在（ ） A ．C x +++2111 B ．C x+--2111 C ．C x x +-arcsin D ．C x+-+2111【答案】C.【解析】根据原函数及不定积分的定义，立知()=⎰dx x f C x x +-arcsin ，选C. 14．设()1='x f ，且()10=f ，则()=⎰dx x f （ ）A ．C x +B ．C x x ++221C ．C x x ++2D ．C x +221【答案】B.【解析】因为()1='x f ，故 ()C x dx x f +==⎰1 .又()10=f ，故.1=C 即 ()1+=x x f .所以，()=⎰dx x f ().2112C x x dx x ++=+⎰选B. 15． =-⎰dt t dx d x2012sin 2)cos (（ ） A ．2cos x - B ．()x x cos .sin cos 2C ． 2c o s x xD ． ()2i n c o s x【答案】B. 【解析】 =-⎰dt t dx d x 2012sin 2)cos (()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--x x sin .sin cos 2()x x cos .sin cos 2=，选B. 16．=-⎰dx e x x 2132（ ）A ．1B ．0C ．121--eD ．11--e 【答案】C. 【解析】=-⎰dx e x x 2132)(212x e d x -⎰-（分部）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--21010222|x d e e x x x 11121|2----=--=e ee x .选 C.17．下列广义积分收敛的是（ ）A ． ⎰10ln 1xdx x B.⎰10031dx xxC ．⎰+∞1ln 1xdx xD ．dx e x ⎰+∞--35 【答案】D. 【解析】因为 ⎰+→+100ln 1lim εεxdx x ()⎰+→=10ln ln lim εεx xd∞==+→|120ln 21lim εεx ，所以，⎰10031dx xx 发散； 因为 ⎰+→+10031lim εεdx xx ⎰-→+=1034lim εεdx x ∞=-=+→|1031lim 3εεx ，所以，⎰10ln 1xdx x发散； 因为⎰+∞1ln 1xdx x ()⎰+∞=1ln ln x xd ∞==+∞|12ln 21x ，所以，⎰+∞1ln 1xdx x发散；dx e x⎰+∞--35()()151535355105151551|e e e x d e x x =--=-=--=+∞--+∞--⎰收敛。

综上分析，应选 D.18．微分方程122=+dx dyy dxy d 是（ ） A ． 二阶非线性微分方程 B. 二阶线性微分方程C ．一阶非线性微分方程D ．一阶线性微分方程 【答案】A. 19.微分方程yxx dx dy cos sin =的通解为（ ） A ． C x y +=22c o s B. C x y +=22sin C ．C x y +=2sin D ．C x y +=2cos 【答案】B.【解析】原方程可化为x d x x y d y c o s .s i n =两边积分得 ⎰⎰⎰==)(c o s s i n c o s .s i n xxd xdx x ydy 即2s i n 212122C x y += 化简得通解为C x y +=22s i n所以，选B.20.在空间直角坐标系中，若向量与ox 轴和oz 轴正向的夹角分别为045和060，则与oy 轴正向的夹角为（ ）A ． 030 B. 060 C ．045 D ．060或0120 【答案】D.【解析】设与oy 轴正向的夹角为α，则由于 160cos 45cos cos 02022=++α 得 4160cos 45cos 1cos 02022=+-=α 故 21c o s±=α，所以060=α或0120=α，选D. 21.直线32211:+=-=-z y x L 与平面02:=+y x π的位置关系是（ ） A ．直线L 在平面π内 B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直 【答案】B.【解析】直线32211:+=-=-z y x L 的方向{}3,2,1-=；平面02:=+y x π的法向量{}0,1,2=n .因为s 0.=n ，所以直线与平面平行. 选B ．22．下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是（ ）A ．12322=+z x B ．22y x z -= C ．22z x y -= D ．2222y x z =- 【答案】C.【解析】 由C ：22z x y -=，得 22z y x +=，所以选 C. 23．()()=--→11lim1,1,xy xy y x （ ） A ． 0 B. 21 C ．31D ．2 【答案】B. 【解析】()()=--→11lim1,1,xy xy y x ()()()()111lim1,1,+--→xy xy xy y x()()2111lim1,1,=+=→xy y x .选B . 24．函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微是()y x f ,在该点处两个偏导数x z ∂∂和yz ∂∂存在的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A.25．已知()xy y x z sin ++=，则=∂∂∂yx z2（ ）A. ()xy sinB. ()()xy xy +1sinC. ()()xy xy xy sin cos -D. ()xy xy cos - 【答案】C.【解析】()xy y x z cos 1+=∂∂，=∂∂∂yx z 2()()xy xy xy sin cos -， 所以选C.26．幂级数!2)1(1n x nn n n∑∞=-的和函数()x s 为（ ）A ．x e -B ．x e 2-C ．2x e - D ．x e 22- 【答案】B ．【解析】!2)1(1n x n n n n∑∞=-()∑∞=-=-=12!2n x ne n x ，所以选B .27．下列级数发散的是（ ）A ．)2)(1(43)1(21++--∑∞=n n n n nB ．11)1(1+-∑∞=n n nC ．n n n 31)1(11∑∞=-- D ．()∑∞=+123121n n 【答案】A.【解析】因为04)2)(1(43lim 2≠-=++-∞→n n n n ，从而()0)2)(1(431lim 2≠++--∞→n n n nn ，因此)2)(1(43)1(21++--∑∞=n n n n n发散，故选A. 28．若级数∑∞=-0)2(n n n x a 在点0=x 处条件收敛，则在1-=x ，2=x ，3=x ，4=x ，5=x 中使该级数收敛的点有（ ）A ．0个B ．1 个C ．2个D ．3个 【答案】C ．【解析】令2-=x t ，则原级数化为标准幂级数∑∞=0n nn t a 。