实用文库汇编之和差化积、积化和差、万能公式
和差化积、积化和差、万能公式
和差化积、积化和差、万能公式在数学的三角函数领域中，和差化积、积化和差以及万能公式是一组非常重要且实用的公式。
它们在解决各种与三角函数相关的问题时，发挥着至关重要的作用。
首先，咱们来聊聊和差化积公式。
和差化积公式包括四个，分别是：sinα ＋sinβ ＝2sin(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 2sinα sinβ ＝2cos(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2cosα ＋cosβ ＝2cos(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 2cosα cosβ ＝－2sin(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2这些公式的作用在于将两个三角函数的和或差转化为乘积的形式。
这在处理一些复杂的三角函数表达式时，能够大大简化计算过程。
比如说，当我们遇到形如 sin5x ＋ sin3x 的式子，如果直接计算可能会比较困难。
但通过和差化积公式，将其转化为 2sin4xcosx，计算就会变得相对简单许多。
接下来，再看看积化和差公式。
它们是：sinαcosβ ＝1/2sin(α ＋β) ＋sin(α β)cosαsinβ ＝1/2sin(α＋β) sin(α β)cosαcosβ ＝1/2cos(α ＋β) ＋cos(α β)sinαsinβ ＝－1/2cos(α ＋β) cos(α β)积化和差公式则是把两个三角函数的乘积形式转化为和或差的形式。
比如说，计算∫sin2xcos3xdx 这样的积分问题，如果先使用积化和差公式将sin2xcos3x 转化为和差形式，再进行积分运算，就会轻松不少。
最后，咱们来认识一下万能公式。
万能公式包括：sinα ＝2tan(α/2) ／（1 ＋tan²(α/2)）cosα ＝（1 tan²(α/2)）／（1 ＋tan²(α/2)）tanα ＝2tan(α/2) ／（1 tan²(α/2)）万能公式的厉害之处在于，它可以将任何一个三角函数用tan(α/2)来表示。
和差化积化和差万能公式
三角函数重要公式一、正弦、余弦的和差化积1、基本公式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】2、证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]二、正切的和差化积1、基本公式tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)2、证明过程左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立三、积化和差公式1、基本公式sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/22、证明过程积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
和差化积、积化和差、万能公式
和差化积、积化和差、万能公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]编辑本段正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立编辑本段注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
和差化积、积化和差与万能公式的应用+课件-2025届高三数学一轮复习
因为 ∈ , ， ∈ (， )， > ，
而 = = − < ，舍去.取 = .
=
=− .
−
二
积化和差公式的应用
[例2] （1）计算sin 20∘ cos 70∘ + sin 10∘ sin 50∘ 的值是(
.
1
，sin2x
2
+ sin2y =
2
，则sin
3
，
因为 + = ，所以
[ + + − ] + [ + − − ] =
所以 + − =
所以 +
×
所以 + =
+
−
可得
= ②.
+
①
可得 +
②
= ，
−
从而
−
+
=
−
−
+
−
+
=
− +
=
− .
−
=____.
和差化积、积化和差
与万能公式的应用
一、三角函数中的积化和差与和差化积公式为：
二、万能公式：
α
sin α =
2tan 2
， cos α =
和差化积积化和差万能公式
和差化积积化和差万能公式和差化积、积化和差以及和差万能公式是高中数学中较为重要的内容，它们在解题中具有重要的作用。
下面详细介绍这些内容。
一、和差化积和差化积是一种将两个角的和（或差）转化为一个角的积的方法。
这种方法适用于解决一些三角函数表达式的展开、简化和求值问题。
1.正弦的和差化积公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB从公式中可以看出，只需要知道sinA、sinB、cosA和cosB的值，就可以通过和差化积公式求得sin(A+B)和sin(A-B)的值。
2.余弦的和差化积公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB类似地，只需要知道sinA、sinB、cosA和cosB的值，就可以通过和差化积公式求得cos(A+B)和cos(A-B)的值。
3.正切的和差化积公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)通过和差化积公式，我们可以将两个角的和（或差）转化为一个角的正切值。
4.余切的和差化积公式：cot(A+B) = (cotAcotB - 1) / (cotA + cotB)cot(A-B) = (cotAcotB + 1) / (cotA - cotB)通过和差化积公式，我们可以将两个角的和（或差）转化为一个角的余切值。
和差化积的公式可以使得我们将复杂的三角函数表达式转化为简单的一步计算，节省了计算的时间和精力。
同时，它们也有助于我们更好地理解三角函数之间的关系。
二、积化和差积化和差是和差化积的逆过程，即将两个角的积转化为一个角的和（或差）。
这种方法适用于解决一些三角函数表达式的合并、求和和简化问题。
1.正弦的积化和差公式：sinAcosB = 1/2 * [sin(A+B) + sin(A-B)]从公式中可以看出，通过将sinAcosB转化为sin(A+B)和sin(A-B)的和的一半，可以实现两个角的积转化为一个角的和（或差）。
和差化积积化和差万能公式
和差化积积化和差万能公式Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】正、余弦和差化积公式指三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
和差化积积化和差万能公式
正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·s in[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±s inβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
和差化积积化和差万能公式
和差化积积化和差万能公式标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]编辑本段正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立编辑本段注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦战好化积公式之阳早格格创做指下中数教三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意左式前的背号】以上四组公式不妨由积化战好公式推导得到道明历程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的道明历程果为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上二式的安排二边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代进，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]编写本段正切的战好化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附道明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)道明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=左边∴等式创制编写本段注意事项正在应用战好化积时，必须是一次共名三角函数圆可真止.假如同名，必须用诱导公式化为共名；假如下次函数，必须用落幂公式落为一次心诀正加正，正正在前，余加余，余并肩正减正，余正在前，余减余，背正弦反之亦然死动的心诀：（战好化积）帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=背嫂嫂反之亦然编写本段影象要领战好化积公式的形式比较搀纯，影象中以下几个圆里是易面，底下指出了各自的简朴影象要领.截止乘以2那一面最简朴的影象要领是通过三角函数的值域推断.sin战cos的值域皆是[-1,1]，其积的值域也该当是[-1,1]，而战好的值域却是[-2,2]，果此乘以2是必须的.也不妨通过其道明去影象，果为展启二角战好公式后，已对消的二项相共而制成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]=2sinαsinβ故末尾需要乘以2.惟有共名三角函数能战好化积无论是正弦函数仍旧余弦函数，皆惟有共名三角函数的战好不妨化为乘积.那一面主假如根据道明影象，果为如果不是共名三角函数，二角战好公式展启后乘积项的形式皆分歧，便不会出现相对消战相共的项，也便无法化简下去了.乘积项中的角要除以2正在战好化积公式的道明中，必须先把α战β表示成二角战好的形式，才搞够展启.死知要使二个角的战、好分别等于α战β，那二个角该当是(α+β)/2战(α-β)/2，也便是乘积项中角的形式.注意战好化积战积化战好的公式中皆有一个“除以2”，然而位子分歧；而惟有战好化积公式中有“乘以2”. 使用哪二种三角函数的积那一面较佳的影象要领是拆分成二面，一是是可共名乘积，二是“半好角”(α-β)/2的三角函数名.是可共名乘积，仍旧要根据道明影象.注意二角战好公式中，余弦的展启中含有二对于共名三角函数的乘积，正弦的展启则是二对于同名三角函数的乘积.所以，余弦的战好化做共名三角函数的乘积；正弦的战好化做同名三角函数的乘积.(α-β)/2的三角函数名程序为：战化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现；反之，以sin(α-β)/2的形式出现.由函数的奇奇性影象那一面是最便利的.如果要使战化为积，那么α战β变更位子对于截止不效率，也便是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，截止应当是一般的，进而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况不妨类似道明.余弦-余弦好公式中的程序好同/背号那是一个特殊情况，真足不妨死记下去.天然，也有其余要领不妨助闲那种情况的判决，如(0,π]内余弦函数的单调性.果为那个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ.然而是那时对于应的(α+β)/2战(α-β)/2正在(0,π)的范畴内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过去把cosβ搁到cosα前里，要么便正在式子的最前里加上背号.积化战好公式sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2（注意：此时好的余弦正在战的余弦前里）或者写做：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有背号）cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2编写本段道明积化战好恒等式不妨通过展启角的战好恒等式的左脚端去道明.即只需要把等式左边用二角战好公式拆启便能道明：sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]其余的3个式子也是相共的道明要领.（拜睹战好化积）编写本段效率积化战好公式不妨将二个三角函数值的积化为另二个三角函数值的战乘以常数的形式，所以使用积化战好公式不妨达到落次的效验.正在履历上，对于数出现之前，积化战好公式被用去将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表.运算历程：将二个数通过乘、除10的圆幂化为0到1之间的数，通过查表供出对于应的反三角函数值，将要本式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化战好后再次查表供三角函数的值，并末尾利用加减算出截止.对于数出现后，积化战好公式的那个效率由越发便利的对于数与代.编写本段影象要领积化战好公式的形式比较搀纯，影象中以下几个圆里是易面，底下指出了各自的简朴影象要领.截止除以2那一面最简朴的影象要领是通过三角函数的值域推断.sin战cos的值域皆是[-1,1]，其战好的值域该当是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，果此除以2是必须的.也不妨通过其道明去影象，果为展启二角战好公式后，已对消的二项相共而制成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)=2sinαsinβ故末尾需要除以2.使用共名三角函数的战好无论乘积项中的三角函数是可共名，化为战好形式时，皆应是共名三角函数的战好.那一面主假如根据道明影象，果为如果不是共名三角函数，二角战好公式展启后乘积项的形式皆分歧，便不会出现相对消战相共的项，也便无法化简下去了.使用哪种三角函数的战好仍旧要根据道明影象.注意二角战好公式中，余弦的展启中含有二对于共名三角函数的乘积，正弦的展启则是二对于同名三角函数的乘积.所以反过去，共名三角函数的乘积，化做余弦的战好；同名三角函数的乘积，化做正弦的战好.是战仍旧好？那是积化战好公式的使用中最简单堕落的一项.程序为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为战；反之，则乘积化为好.由函数的奇奇性影象那一面是最便利的.如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，截止应当是一般的，也便是含α+β战α-β的二项变更位子对于截止不效率，进而截止的形式应当是战；另一种情况不妨类似道明.正弦-正弦积公式中的程序好同/背号那是一个特殊情况，真足不妨死记下去.天然，也有其余要领不妨助闲那种情况的判决，如[0,π]内余弦函数的单调性.果为那个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β).然而是那时对于应的α战β正在[0,π]的范畴内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过去把cos(α-β)搁到cos(α+β)前里，要么便正在式子的最前里加上背号.万能公式【词汇语】：万能公式【释义】：应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2} cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2}将sinα、cosα、tanα代换成tan（α/2）的式子，那种代换称为万能置换.【推导】：（字符版）sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[sin(α/2)^2+cos(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1+(tanα/2)^2]cosα=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]/[sin(a/2)^2+cos(a/2)^2]=[1-tan(α/2)^2]/[1+(tanα/2)^2]tanα=tan[2*(α/2)]=2tan(α/2)/[1-tan(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1-(tanα/2)^2]。
附录13 积化和差与和差化积,万能及半角公式
2
64
f (x) 的值域为[ 3 , 1]
44
③求函数 f (x) sin 2x cos(2x ) 的值域
法2：
f
(
x)
sin[
2x
(2x
6
6 )]
sin[
2x
(2x
6
)]
2
sin( 4x ) sin( )
6
6
2
1 sin( 4x ) 1
2 cos1000 cos800 1 1
22
③求函数 f (x) sin( x ) sin( 5 x) 的值域
12
12
解：
f (x) sin( x ) sin( x 5 )
12
12
sin[( x ) ] sin[( x ) ]
②求cos400+cos600+cos800+cos1600的值 解：原式= (cos1600 cos 400 ) cos800 1
2 [cos(1000 600 ) cos(1000 600 )] cos800 1
2 2 cos1000 cos 600 cos800 1
1
2t t
2
③
cos 2
1 tan 2 1 tan 2
1t2 1 t2
设t tan ，则
1+t2 2t
2
1-t2
此记忆方法乃代数换元法，体现了三角式与代数式可代换
注2.万能公式的证明：三角变换的技巧——数式互换
及差化积、积化及差、万能公式
正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·si n[(α-β)/2]【注意右式前的负号】以上四组公式能够由积化和差公式推导获得证明过程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程由于sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2,β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin+φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]θsin正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左侧=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cos α·cosβ)=右侧∴等式建立注意事项在应用和差化积时，一定是一次同名三角函数方可推行。
假如异名，一定用引诱公式化为同名；假如高次函数，一定用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然1生动的口诀：（和差化积）+帅=帅哥-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂反之亦然记忆方法和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下边指出了各自的简单记忆方法。
和差化积 积化和差
[基本要求][知识要点]1、积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。
其中后两个公式可合并为一个：sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2、和差化积公式sinθ+sinφ=2sin cossinθ-sinφ=2cos sincosθ+cosφ=2cos coscosθ-cosφ=-2sin sin和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。
如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。
和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。
正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。
[例题选讲]1、求下列各式的值①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°③csc40°+ctg80°④cos271°+cos71°cos49°+cos249°解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=+cos80°+2cos100°cos60°=+cos80°-cos80°=②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°=2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)=sin22°+-sin22°=③csc40°+ctg80°=+=======2cos30°=④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49°=(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°)=cos211°+-cos22°=cos211°+-(2cos211°-1)=cos211°+-cos211°+=解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=+(cos120°+cos22°)+=+cos142°-+cos22°++=+(cos142°+cos98°)++cos22°=+cos120°cos22°+cos22°=解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)=2+cos22°x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°) =cos142°+cos120°+cos98°=-+(cos142°+cos98°)=-+2cos120°cos22°=--cos22°联立二式得x=2、已知sinα+sinβ= cosα+cosβ=求tgαtgβ的值解：①2+②2得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=∴cos(α-β)=②2-①2得 cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=-∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=-∴2²cos(α+β)+2cos(α+β)=-∴cos(α+β)=-又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)=cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=-∴tgαtgβ==-=-3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1 (a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f()= +4(1)求a、b的值(2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。
三角函数的和差化积与积化和差的计算与应用
三角函数的和差化积与积化和差的计算与应用三角函数是数学中重要的概念，它的和差化积与积化和差是三角函数运算中常用的技巧。
本文将介绍这两种运算的计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、和差化积的计算方法1. 和差化积的基本公式和差化积指的是将两个三角函数的和或差转换为一个三角函数的乘积。
具体而言，和差化积的基本公式如下：sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinBcos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)其中，A和B是任意角度。
这些公式可以通过三角函数的定义和三角恒等式推导得到。
2. 和差化积的具体应用和差化积在解决三角函数的复杂表达式时非常有用。
通过将一个复杂的表达式转化为乘积形式，可以简化计算，并且得到更为简洁的结果。
举例说明，假设我们需要计算sin75°的值。
根据和差化积的公式，sin75°可以表示为sin(45°+30°)。
将45°和30°代入公式，可以得到sin75°的计算式为：sin75° = sin(45°+30°) = sin45° cos30° + cos45° sin30°之后，再结合已知的三角函数值，进行计算即可得到sin75°的数值。
二、积化和差的计算方法1. 积化和差的基本公式积化和差指的是将两个三角函数的乘积转换为一个三角函数的和或差。
具体而言，积化和差的基本公式如下：sinA sinB = 1/2 [cos(A-B) - cos(A+B)]cosA cosB = 1/2 [cos(A-B) + cos(A+B)]sinA cosB = 1/2 [sin(A+B) + sin(A-B)]2. 积化和差的具体应用积化和差运算常用于解决三角函数乘积的展开式。
三角函数的和差化积与积化和差公式知识点总结
三角函数的和差化积与积化和差公式知识点总结三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
而求解三角函数的和差化积与积化和差公式是学习三角函数的基础内容之一。
本篇文章将系统总结这些知识点，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、和差化积公式1. 正弦函数的和差化积公式：对于任意角A和B，有以下公式成立：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBsin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB2. 余弦函数的和差化积公式：对于任意角A和B，有以下公式成立：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB3. 正切函数的和差化积公式：对于任意角A和B，有以下公式成立：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)二、积化和差公式1. 正弦函数的积化和差公式：对于任意角A和B，有以下公式成立：sinA * sinB = 1/2 * (cos(A - B) - cos(A + B))2. 余弦函数的积化和差公式：对于任意角A和B，有以下公式成立：cosA * cosB = 1/2 * (cos(A - B) + cos(A + B))3. 正切函数的积化和差公式：对于任意角A和B，有以下公式成立：tanA * tanB = (1 - tanA * tanB) / (tan(A + B) + tan(A - B))三、应用示例1. 求解三角函数的和差化积公式：以求解sin(75°)为例，可以使用和差化积公式将其转化为更简单的表达式：sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin45° * cos30° + cos45° * sin30°= (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2)= √6/4 + √2/4= (√6 + √2) / 42. 求解三角函数的积化和差公式：以求解sin75° * sin15°为例，可以使用积化和差公式将其转化为更简单的表达式：sin75° * sin15° = 1/2 * (cos(75° - 15°) - cos(75° + 15°))= 1/2 * (cos60° - cos90°)= 1/2 * (1/2 - 0)= 1/4综上所述，三角函数的和差化积与积化和差公式是求解三角函数的重要工具。
积化和差公式和和差化积公式
积化和差公式和和差化积公式
积化和差公式和和差化积公式是高中数学中常见的公式，以下是它们的定义和应用方法。
1. 积化和差公式
积化和差公式指的是将两个数的积表示为它们的和或差的形式。
具体来说，设a、b为任意两个数，则有以下公式：
a *
b = (a + b) * (a - b) / 2 + (a + b) * (b - a) / 2
这个公式的意义是把两个数的积拆分成两个平方差的和，即(a + b) * (a - b)和(b + a) * (b - a)。
因为(a + b)和(b + a)是相等的，所以它们的积也是相等的，即2 * (a + b) * (a - b)。
把这个式子展开后，就可以得到积化和差的公式。
2. 和差化积公式
和差化积公式指的是将两个数的和或差表示为它们的积的形式。
具体来说，设a、b为任意两个数，则有以下公式：
a +
b = (a^2 - b^2) / (a - b) + (a^2 - b^2) / (a + b)
a -
b = (a^2 - b^2) / (a + b) - (a^2 - b^2) / (a - b)
这个公式的意义是将两个数的和或差分别表示为它们的平方差的比值。
具体地，设两个数为a和b，则它们的平方差为(a^2 - b^2)。
将这个式子乘以一个适当的比值，即可将和或差表示为两个数的积的形式。
以上就是积化和差公式和和差化积公式的定义和应用方法。
这些公式在解决数学问题时非常有用，能够帮助我们快速计算出两个数的积、和或差。
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*实用文库汇编之正、余弦和差化积公式*指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]编辑本段正切的和差化积tanα±ta nβ=sin(α±β)/(cosα·co sβ)（附证明）cotα±co tβ=sin(β±α)/(sinα·si nβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·si nβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·si nβ)证明：左边=tanα±ta nβ=sinα/cosα±si nβ/cosβ=(sinα·co sβ±co sα·si nβ)/(cosα·co sβ)=sin(α±β)/(cosα·co sβ)=右边∴等式成立编辑本段注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然生动的口诀：（和差化积）帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂反之亦然编辑本段记忆方法和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。
结果乘以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]=2sinαsinβ故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。
这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
乘积项中的角要除以2在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。
熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2，也就是乘积项中角的形式。
注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。
是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
(α-β)/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现；反之，以sin(α-β)/2的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，结果应当是一样的，从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况可以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。
但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。
积化和差公式sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）或写作：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有负号）cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2编辑本段证明积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]其他的3个式子也是相同的证明方法。
（参见和差化积）编辑本段作用积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。
在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。
运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过查表求出对应的反三角函数值，即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数的值，并最后利用加减算出结果。
对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。
编辑本段记忆方法积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。
结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)=2sinαsinβ故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。
这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差？这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。
规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。
但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。
万能公式【词语】：万能公式【释义】：应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2}cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2}将sinα、cosα、tanα代换成tan（α/2）的式子，这种代换称为万能置换。
【推导】：（字符版）sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[sin(α/2)^2+cos(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1+(tanα/ 2)^2]cosα=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]/[sin(a/2)^2+cos(a/2)^2]=[1-tan(α/2) ^2]/[1+(tanα/2)^2]tanα=tan[2*(α/2)]=2tan(α/2)/[1-tan(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1-(tanα/2)^2]。